ТВ и МС БИ+ - dgunh.ru · достижении воспитательных и развивающих целей . Важно , чтобы каждый студент понимал

2

3

Содержание

Введение ................................................................................................................... 4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 ........................................................................... 5

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 ........................................................................... 7

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 ......................................................................... 10







ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10 ....................................................................... 34



ПРИЛОЖЕНИЕ ..................................................................................................... 41

4

Введение Одной из форм организации исследовательской деятельности являются

лабораторные работы. При их выполнении у обучающихся рождается истина, новое знание или понимание математических законов на практике. Таким образом, использование лабораторных работ на занятиях позволит повысить интерес обучающихся к дисциплине.

Помимо образовательных целей лабораторные работы играют роль в достижении воспитательных и развивающих целей. Важно, чтобы каждый студент понимал то, что он делает – этого можно достичь с применением практической деятельности, в которой обучающийся не только применяет полученные знания, но и учится самостоятельно выполнять задания, ответст-венности за проделанную работу, усваивает отдельные моменты изучаемой темы.

Таким образом, использование лабораторных работ при обучении дис-циплине «Теория вероятностей и математическая статистка» помогут дос-тичь следующих целей: образовательные: усвоение математических знаний, формирование практи-ческих умений и навыков, обучение решению практико-ориентированных за-дач; воспитательные: формирование аккуратности и ответственности за свою деятельность, активизация учебной деятельности исследовательского харак-тера, формирование умений работать в коллективе; развивающие: развитие наблюдательности, умения выдвигать и проверять гипотезы и предположения, опровергать ошибочные обобщения и суждения, развитие интереса к изучаемому предмету.

Применение лабораторных работ, систематическое включение их в учебную работу обучающихся для повышения научно-теоретического уров-ня, для усиления творческого характера процесса обучения помогает улуч-шить качество математических знаний, является средством формирования прочных конструктивных и вычислительных умений и навыков.

Практикум имеет следующую структуру: −лабораторные работы по разделам и темам дисциплины, включающие примеры решения типовых задач; −варианты, предлагаемые студентам для самостоятельного выполнения.

5

Раздел 1. Теория вероятностей ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Элементы комбинаторики

Задача. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 чело-век на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандида-тов? Решение. В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как группы по три человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать числоразмещений из 10 элементов по 3:

7208910310 =⋅⋅== AN .

Значит, можно составить 720 групп по 3 человека из 10. Варианты заданий:

Вариант 1 1. В вазе 10 красных и 4 розовых розы. Сколько существует различных спо-собов выбора трех цветков из вазы? 2. В шахматном турнире участвует 16 человек. Между любыми двумя участ-никами должна быть сыграна одна партия. Сколько партий должно быть сыграно в турнире? 3. На фирме работают 5 менеджеров и 3 аудитора. Сколькими способами можно образовать экспертную группу из трех менеджеров и двух аудиторов?

4.Упростите выражение: .)!2(

1

)!1(

1

+−

+ nn

Вариант 2 1. Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно вы-брать стартовую шестерку? 2. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

3. Упростите выражение: .!

)!1(

)!1(

!

n

n

n

n −−+

4. В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими спосо-бами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт). Вариант 3 1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? 2. В 12-ти этажном доме на 1 этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими спо-собами они могут это сделать, если на втором этаже лифт не останавливает-ся?

6

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

4. Упростите выражение: )!2(

)!1(

−+

n

n

Вариант 4


!

+n

n

2. Разложите на простые множители число 30. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30? 3. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цве-том) былым, черным и зеленым? 4. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсме-нок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 по 100 на первом, втором, третьем и четвертом этапах? Вариант 5


!

+n

n

2. Сколько можно составить из простых делителей числа 2730 составных чи-сел, имеющих только два простых делителя? 3. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки были закрашены красным цветом, а 4 другие – белым, черным, зеленым и синим? (каждый своим цветом)? 4. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписа-ние учебного дня из 6 различных уроков? Вариант 6 1.Найти число размещений выбора 3 человек из 10. 2. Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях? 3. Найти число размещений выбора 2 человек из 10. 4. Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг с горизонталь-ными полосами, если имеется материал 5 различных цветов? Вариант 7 1. Найти число сочетаний выбора 3 человек из 10. 2. Сколькими способами можно группу из 17 учащихся разделить на 2 груп-пы так, чтобы в одной группе было 5 человек, а в другой – 12 человек? 3. Найти число сочетаний выбора 5 человек из 12. 4. Сколько всевозможных хорд определяют 8 точек на окружности?

7

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 Вероятность событий

Задача. Среди 14 билетов 4 выигрышных. Найти вероятность того, что из 6 купленных билетов ровно 2 выигрышных. Решение.Решим задачу с помощью классического определения вероятности события A:

( )n

mAP = ,

где n - общее число случаев, m - число случаев, благоприятных событию A. Из 14 билетов 6 штук можно выбрать 6

14C способами. Здесь 614C - число соче-

таний из 14 элементов по 6 элементов. Значит, 614Cn = . Два выигрышных би-

лета могут быть выбраны из 4 билетов 24C способами. Остальные (4 билета)

должны быть невыигрышными, их можно выбрать из 10 невыигрышных 410С

способами. Так как на один способ выбора двух выигрышных билетов приходится 4

10С

способов выбора невыигрышных билетов, то на 24C способов выбора двух вы-

игрышных билетов приходится 410

24 СС ⋅ способов выбора невыигрышных би-

летов.

Итак, 410

24 CCm ⋅= . Тогда ( )

614

410

24

C

CC

n

mAP

⋅== .

Число сочетаний из r элементов по k элементов находим по формуле:

( )!!

!

krk

rC k

r −= .

При этом получим: ( )143

60

!14 !6 !4 !2 !2

!8 !6 !10 !4614

410

24 ==

⋅=

C

CCAP .

Варианты заданий:

Вариант 1 1. В шар радиуса 100 наудачу бросаются 4 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до самой удаленной точки будет не больше 50. 2. Независимо друг от друга 5 человек садятся в поезд, содержащий 13 ваго-нов. Найдите вероятность того, что все они поедут в разных вагонах. 3.В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлечённая деталь ока-жется окрашенной. 4.Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна единица.

8

Вариант 2 1. В партии из 13 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 7 дета-лей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 5 стан-дартных. 2.В квадрат со стороной 15м. случайным образом вбрасывается точка. Най-дите вероятность того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем на 2м. от центра квадрата. 3. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков. 4.На экзамене студенту предлагается 30 билетов; в каждом билете два вопро-са. Из 60 вопросов, вошедших в билеты, студент знает только 40. Найти ве-роятность того, что взятый студентом билет будет состоять из известных ему вопросов. Вариант 3 1.В группе учатся 13 юношей и 9 девушек. Для дежурства случайным обра-зом отобраны три студента. Найдите вероятность того, что все дежурные окажутся юношами. 2.На отрезок AB длины 240 наудачу поставлена точка X . Найдите вероят-ность p того, что меньший из отрезков AX и XB имеет длину большую, чем 48. 3.Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5. 4.На экзамене студенту предлагается 30 билетов; в каждом билете два вопро-са. Из 60 вопросов, вошедших в билеты, студент знает только 40. Найти ве-роятность того, что взятый студентом билет будет состоять из неизвестных ему вопросов. Вариант 4 1.Имеется 25 экзаменационных билетов, на каждом из которых напечатано условие некоторой задачи. В 15 билетах задачи по статистике, а в остальных 10 билетах задачи по теории вероятностей. Трое студентов выбирают науда-чу по одному билету. Найдите вероятность того, что хотя бы одному из них не достанется задачи по теории вероятностей. 2.На отрезок AB длины 120 наудачу поставлена точка X . Найдите вероят-ность p того, что меньший из отрезков AX и XB имеет длину меньшую, чем 30. 3.В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиков можно бу-дет прочесть слово «спорт». 4.Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна шестерка.

9

Вариант 5 1.В ящике 3 белых и 4 черных шаров. Найдите вероятность того, что из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. Вынутый шар в урну не возвращается. 2.На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы кото-рых 20 и 100 соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошен-ная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное постро-енными окружностями. 3.На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность то-го, что на четырёх, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» кар-точках можно будет прочесть слово «трос». 4. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна четверка. Вариант 6 1. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке четное. 2. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Найти вероятность того, что ему придётся звонить, не более чем в 3 места. 3. В круг радиуса 2 см помещен меньший круг радиуса 1 см. Найти вероят-ность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. 4. В двух ящиках находятся детали: в первом 10 (из них 3 стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартны-ми. Вариант 7 1. Бросается игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет, грань с четным числом очков. 2. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Найти вероят-ность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла". 3. В урне находится 7шаров:2 белых, 4 черных и 1 красный. Вынимается один шар наугад. Найти вероятность того, что вынутый шар будет чёрным. 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпав-ших очков равна 7.

10

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Задача. Компания производит 40 000 холодильников в год, которые реали-зуются в различных регионах России. Из них 10 000 экспортируются в стра-ны СНГ, 8 000 продаются в регионах Европейской части России, 7 000 про-даются в странах дальнего зарубежья, 6 000 в Западной Сибири, 5 000 в Вос-точной Сибири, 4 000 в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: а) произведен на экспорт, б) продан в России? Решение. Обозначим события: A - холодильник будет продан в странах СНГ; B - холодильник будет продан в Европейской части России; C - холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья; D - холодильник будет продан в Западной Сибири; E - холодильник будет продан в Восточной Сибири; F - холодильник будет продан в Дальневосточном районе. Соответствующие вероятности будут равны:

,25,040000

10000)( ==AP ,20,0

40000

8000)( ==CP ,175,0

40000

000)( ==CP

,15,040000

6000)( ==DP ,125,0

40000

5000)( ==EP .10,0

40000

4000)( ==FP

a) Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, озна-чает, что холодильник будет продан или в страны СНГ, или в страны дальне-го зарубежья. Отсюда

.425,0175,025,0)()()( =+=+=+ CPAPCAP б) Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, озна-чает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнейм Востоке. Нахо-дим

.575,010,0125,015,020,0)()()()()( =+++=+++=+++ FPEPDPBPFEDBP

Варианты заданий: Вариант 1 1.В ящике 3 белых и 2 черных шара. Первый вытащенный шар оказался бе-лым. Найти вероятность того, что второй вытащенный шар тоже окажется белым. 2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна p = 0,9. Стрелок произвёл 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание. 3. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадает одной и той же стороной. Найти вероятность того, что опыт окончится до шестого бросания.

11

4. В ящике 8 белых и 13 черных шаров. Два игрока поочередно извлекают по шару, каждый раз возвращая его обратно. Выигрывает тот, кто первым вы-тащит белый шар. Какова вероятность выигрыша для начинающего игру? Вариант 2 1. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Найти вероятность того, что появится, черный или синий шар будет. 2. В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них 3 стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартны-ми. 3. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четы-рёх – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равнове-роятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечётная цифра в первый раз. 4. Из колоды, содержащей 36 карт, достают наугад три карты. Чему равна ве-роятность того, что среди них будет не более одного туза? Вариант 3 1. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного про-дукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Найти вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу. 2. В студии телевидения три телевизионных камеры. Для каждой камеры ве-роятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероят-ность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера. 3. Из ящика, содержащего 3 красных и два белых шара, перекладывается один шар в ящик, содержащий 2 красных и 2 белых шара, после чего из вто-рого ящика извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым. 4. В денежно– вещевой лотерее на серию в100 билетов приходится 12 денеж-ных и 8 вещевых выигрышей. Чему равна вероятность того, что из трех куп-ленных билетов хотя бы два окажутся выигрышным? Вариант 4 1. Из урны, содержащей 1 белый и 3 черных шара, переложен 1 шар в урну с 5 белыми и 1 черным шаром, после чего из второй урны был вынут один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар оказался белым? 2. Чему равна вероятность того, что при бросании трёх игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей? 3. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероят-ность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повы-шенном напряжении тока в цепи не будет.

12

4. Партия из 10 телевизоров содержит 3 неисправных телевизора. Из этой партии выбираются наугад 2 телевизора. Найти вероятность того, что оба они будут неисправными. Вариант 5 1. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наудачу извлекают 2 шара и добавляют 1 белый шар. Найти вероятность того, что после этого наудачу выбранный из урны шар окажется белым. 2. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причём из них 86% - первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие, изготов-ленное на этом предприятии, окажется первого сорта. 3.Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз? 4. Из 10 коммерческих банков 4 находятся за чертой города. Налоговый ин-спектор выбирает наугад для проверки 3 банка. Какова вероятность того, что хотя бы 2 из них– в черте города? Вариант 6 1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. 2. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами. 3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти ве-роятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков. 4. В электрическую цепь последовательно включены два элемента, работаю-щие независимо друг от друга. Вероятности их отказов соответственно равны 0,1 и 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет, если для этого достаточен отказ хотя бы одного элемента. Вариант 7 1. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Веро-ятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное. 2. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей ок-рашена.

13

3. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает, только один сигнализатор. 4. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 Формулы полной вероятности и Бейеса

Задача. Экономист полагает, что в течение периода активного экономиче-ского роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного роста он подорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,20. В те-чение любого периода времени вероятность активного экономического роста - 0, 30; умеренного роста - 0,50 и низкого роста - 0,20. Найти вероятность экономического роста, при условии, что доллар дорожает. Решение. Определим события: A - "Доллар дорожает". Оно может произойти только вместе с одной из гипо-тез:

1B - "Активный экономический рост"; 2B - "Умеренный экономический рост";

3B - "Низкий экономический рост". По условию известны вероятности гипотез и условные вероятности события A: ,30,0)( 1 =BP ,50,0)( 2 =BP ,20,0)( 3 =BP

,70,0)(1

=APB ,40,0)(2

=APB .20,0)(1

=APB

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. События AB1 , AB2 и AB3 - несовместные попарно, так как события 321 ,, BBB - не-

совместны. События 1B и A, 2B и A, 3B и A - зависимые. Требуется найти уточненную вероятность первой гипотезы, т.е. вероятность активного эко-номического роста, при условии, что доллар дорожает (событие A уже про-изошло), т.е. )( 1BPA . Используя формуму Байеса и подставляя заданные значения вероятностей, имеем

=++

=)()()()()()(

)()()(

332211

111 APBPAPBPAPBP

APBPBP

BBB

BA

.467,020,020,040,050,070,030,0

70,030,0 =⋅+⋅+⋅

⋅=

14

Варианты заданий: Вариант 1 1.В первой урне один белый и 2 черных шара, во второй – 100 белых и 100 черных шаров. Из второй урны переложили в первую один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар ранее находился во второй урне, если известно, что он белый? 2. Из 10 каналов радиосвязи 6 каналов защищены от воздействия помех. Ве-роятность того, что защищенный канал в течение времени t не выйдет из строя, равна 0.95, для незащищенного канала - 0.8. Найти вероятность того, что случайно выбранные два канала не выйдут из строя в течение времени t, причем оба канала не защищены от воздействия помех. 3. В ящике содержатся 1 6n = деталей, изготовленных на заводе 1, 2 5n = дета-лей – на заводе 2 и 3 6n = деталей – заводе 3. Вероятности изготовления брака на заводах с номерами 1, 2 и 3 соответственно равны 1 0.04p = , 2 0.02p = и

3 0.03p = . Найдите вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажет-ся качественной. 4. В среднем из 100 клиентов банка 53 обслуживаются первым операциони-стом и 47 – вторым. Вероятности того, что клиент будет обслужен без помо-щи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет

1 0.58p = и 2 0.88p = соответственно для первого и второго служащих банка. Какова вероятность, что клиент, для обслуживания которого потребовалась помощь заведующего, был направлен к первому операционисту? Вариант 2 1. Из ящика, содержащего 3 красных и два белых шара, перекладывается один шар в ящик, содержащий 2 красных и 2 белых шара, после чего из вто-рого ящика извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым. 2. Обследовалась группа из 10000 человек в возрасте свыше 60 лет. Оказа-лось, что 4000 человек являются постоянно курящими. У 1800 курящих об-наружились серьезные изменения в легких. Среди некурящих изменения в легких имели 1500 человек. Какова вероятность того, что наугад обследован-ный человек, имеющий изменения в легких, является курящим? 3. В урну, содержащую 20 шаров, опущен белый шар, после чего наудачу из-влечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначаль-ном количестве белых шаров в урне. 4. Имеется 13 монет, из которых 3 штуки бракованные: вследствие заводско-го брака на этих монетах с обеих сторон отчеканен герб. Наугад выбранную монету, не разглядывая, бросают 9 раз, причем при всех бросаниях она ло-жится гербом вверх. Найдите вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами.

15

Вариант 3 1. Из ящика, содержащего 3 красных и два белых шара, перекладывается один шар в ящик, содержащий 2 красных и 2 белых шара, после чего из вто-рого ящика извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым. 2. В продажу поступают телевизоры трех заводов: 30% с первого завода, 20% — со второго, 50% — с третьего. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго — 10%, третьего — 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор? 3. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй – 6 белых и 9 черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, по-сле чего из первой урны берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар – белый? 4. Детали, изготовленные в цехе, попадают к одному из 2-х контролёров. Ве-роятность того, что деталь попадёт к 1-му контролёру, равна 0,8; ко 2-му – 0,2. Вероятность того, что годная деталь будет признана, стандартной 1-м контролёром равна 0,96; 2-м контролёром – 0,98. Годная деталь при проверке оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что эту деталь проверял 1-й контролёр. Вариант 4 1. В первой урне 5 белых и 3 черных шара. Во второй урне 2 белых и 8 чер-ных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность то-го, что этот шар белый? 2. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров. Из наугад выбранного ящика вынут белый шар. Найти вероятность того, что этот шар из второго ящика. 3. С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает 18% деталей, со 2-го и 3-го – по25% и 57% соответственно. Вероятности выдачи бракован-ных деталей составляют для каждого из них соответственно 0.25%, 0.35% и 0.15%. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажет-ся бракованной, а также вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что она оказалась бракованной. 4. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс (А, B, C). Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахожде-ния и равны соответственно 0,4;0,5 и 0,1. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира, имеющиеся в кассе билеты распроданы, равны соответ-ственно 0,4; 0,3 и 0,1. Найдите вероятность того, что билет куплен. В какой из касс это могло произойти с наибольшей вероятностью? Вариант 5 1. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятно-стью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбран-

16

ный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп ве-роятнее всего принадлежал стрелок? 2. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статисти-ческие свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в соотношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принят сигнал «точка». 3. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 23 белых шара, во втором – 9 белых и 14 черных шаров, в третьем – 23 черных шара. Из вы-бранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность того, что шар вынут из второго ящика. 4. В первой урне 1 7m = белых и 1 7n = черных шаров, во второй – 2 8m = бе-лых и 2 6n = черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар, который ока-зывается белым. Какова вероятность того, что два шара, переложенные из второй урны в первую, были разных цветов? Вариант 6 1. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложили 1 шар в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после это-го из второй урны белый шар. 2. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. Найти вероятность попадания на сборку брако-ванной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго 3000 деталей. 3. Из 20 стрелков 15 попадают в мишень с вероятностями 0,5; 5 стрелков – с вероятностями 0,8. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в мишень. 4. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответст-венно 5, 4 и 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт де-фектный. Вариант 7 1. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответст-венно 5, 4 и 2%. Случайно выбранный болт оказался дефектный. Найти веро-ятность того, что он был произведен первой машиной. 2. В двух пакетах по 20 конфет одинаковой формы, в первом пакете 5 конфет с начинкой, а во втором - 8. Наугад выбранная конфета оказалась с начинкой. Найти вероятность того, что она была вынута из второго пакета. 3. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом 1, и две коробки деталей, изготовленных заводом 2. Вероятность того, что деталь за-вода 1 стандартна, равна 0,9, а завода 2 - 0,8. Сборщик извлек стандартную

17

деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что она изготов-лена заводом №1. 4. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два вы-стрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком. Вариант 8 1. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предпри-ятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти веро-ятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта. 2. С первого станка на сборку поступает 30%, со второго-60%, с третьего 10% всех деталей. Среди деталей первого станка бракованных – 2%, второго-1%, третьего-3%. Наудачу взятая деталь оказалось бракованной. Найти веро-ятность того, что эта деталь изготовлена, на втором станке. 3.В стройотряде 70% первокурсников и 30% студентов второго курса. Среди первокурсников 10% девушек, а среди студентов второго курса – 5% деву-шек. Все девушки по очереди дежурят на кухне. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне дежурит первокурсница. 4.В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар белый.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интеграль-

ная формула Лапласа Задача. Известно, что в определенном городе 20% горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 чело-века. Чему равна вероятность того, что среди 4 случайно отобранных чело-век: а) не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу личным автотранстпортом; б) окажется, что хотя бы 1 человек предпочитает добираться на работу личным автотранспортом; в) будет не больше 2 человек, предпочитающих добираться на работу лич-ным автотранспортом? Решение. В качестве случайной величины выступает число людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Обозначим ее через X.

18

Перечислим всвозможные значения случайной величины X: 1, 2, 3, 4. Вероятность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добирать-ся на работу личным автотранспортом, постоянна и равна 0,2 (p=0,2). Веро-ятность противоположного события составляет 0,8 (q=1-p=1-0,2=0,8). Все 4 испытания - независимы. Очевидно, что случайная величина X подчи-няется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4, p=0,2. Итак, по условию задачи: n=4; p=0,2; q=0,8; X=m. Определим вероятность того, что среди 4 случайно отобранных человек: а) Не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом. Расчет искомыхвороятностей осуществляется по формуле Бернулли

.)!(!

!)()( mnmmnmm

nn qpmnm

nqpCmPmXP −−

−====

Получим: .4096,0)0( ==XP б) Будет хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу лич-ным автотранспортом. "Хотя бы 1" - "как минимум 1" - "1 или больше". Другими словами, "хотя бы 1" - это "или 1, или 2, или 3, или 4". Исходя из этого, для определения вероятности того, что среди 4 случайно отобранных будет хотя бы 1, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, можно использовать теорему сложения вероятностей несо-вместных событий:

.5904,00016,00256,01536,04096,0

)4()3()2()1()1(

=+++=

==+=+=+==≥ XPXPXPXPxP

С другой стороны, всевозможные значения случайной величины образуют полную группу событий, а сумма их вероятностей равна 1. По отношению к событию )1( ≥X до полной группы событий не хватает события (X=0), ко-торое является противоположным событию )1( ≥X . Поэтому искомую веро-ятность того, что среди 4 случайно отобранных человек будет хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, проще найти следующим образом:

,1)1()1( =<+≥ XPXP откуда .5904,04096,01)0(1)1( =−==−=≥ XPXP в) Будет не больше 2, предпочитающих добираться на работу личным авто-транспортом. "Не больше 2" - "2 или меньше", т.е. "или 0, или 1, или 2". Используем теорему сложения вероятностей вероятностей несовместных со-бытий

.9728,01536,04096,04096,0)2()1()0()2( =++==+=+==≤ XPXPXPXP

19

Варианты заданий: Вариант 1 1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включён, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора. 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз. 3. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз.

4. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 720p = . Найдите веро-

ятность того, что среди 108n = выпущенных изделий будет хотя бы одно, но не более 37s = бракованных изделий. Вариант 2 1. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых ис-пытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появле-ния события А равна 0,3. 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не более 70 раз. 3. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз. 4. Всхожесть семян данного растения равна 90%. Найдите вероятность того, что из 1200 посаженных семян число проросших семян заключено между 1059 и 1099. Вариант 3 1. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления собы-тия А равна 0,4. 2. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испыта-ний p = 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,001. 3. Монету бросают 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее трех раз. 4. Завод отправил на базу 2000доброкачественных изделий. Вероятность то-го, что в пути изделие повредится, равна 0.001. Какова вероятность P того, что на базу поступят три некачественных изделия?

20

Вариант 4 1. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А поя-вится хотя бы 2 раза. 2. Найти приближённо вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испыта-нии равна 0,2. 3. Монету бросают 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не ме-нее четырех раз. 4. По каналу связи передается 6 сообщений. Каждое из сообщений может быть искажено помехами с вероятностью 0.2 независимо от других. Найти вероятность того, что 4 сообщения из 6 не искажены. Вариант 5 1. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0.4. Найдите вероят-ность того, что среди 104 выпущенных изделий ровно 62 изделий без брака. 2. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз. 3. На лекции по теории вероятностей присутствует 110 студентов курса. Най-ти вероятность того что хотя бы один студент курса родился первого сентя-бря. 4. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя ровно 10 конденсаторов. Вариант 6 1. Монета брошена 5 раз. Найти вероятность того, что«герб» выпадет ровно один раз. 2. В семье пять детей. Вероятность рождения мальчиков и девочек одинако-ва. Найти вероятность того, что в такой семье две девочки и три мальчика. 3. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, вклю-чается, за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут не менее четырех элементов. 4. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Найти вероятность того, что 4 раза появится белый шар. Вариант 7 1. Вероятность выиграть в некоторую игру равна 0.6. Найти вероятность, что из 5 попыток 3 будут успешными. 2.В семье четверо детей. Считая, что рождение мальчика и рождение девочки одинаково вероятны, найти вероятность того, что среди детей все мальчики. 3. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упа-дет гербом вверх?

21

4. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них ровно 2 мальчика. Вариант 8 1. В семье четверо детей. Считая, что рождение мальчика и рождение девоч-ки одинаково вероятны, найти вероятность того, что среди детей хотя бы один мальчик. 2. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт. 3. Определить вероятность того, что в семье, имеющих 5 детей, будут 3 де-вочки и 2 мальчика. Вероятность рождения мальчика и девочки считать рав-новероятными. 4. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит ровно 3 ис-кажения?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 Дискретные случайные величины

Задача. Партия изделий содержит 10% нестандартных. Пусть X - случайная величина - число стандартных в выборке из 5 изделий. Найти функцию рас-пределения X и вероятность P(X>1). Решение. Случайная величина X может принимать значения .5,4,3,2,1,0=kx

Найдем их вероятности по формуле Бернулли knkknk qpCp −= , где kn = ,

,9.0=p 1.0=q . Вычислив вероятности, получим: 00001.00 =p , 00045,01 =p

, `0081,02 =p , 0729,03 =p , 32085,04 =p , 59049.05 =p . По определению функции распределения

∑<

=<=xkxk

kpxXPxF,

)()(

При 0≤x , очевидно, 0)( =xF ; при 10 ≤< x 00001.0)( 0 == pxF ; при 21 ≤< x 00046.0)( 10 =+= ppxF ; при 32 ≤< x 00856.0)( 210 =++= pppxF ; при 43 ≤< x 08146.0)( 3210 =+++= ppppxF ; при 54 ≤< x 40951.0)( 43210 =++++= pppppxF ; при 5>x .1)( =xF График функции распределения )(xF изображен на рис. 3

1-- 0,4-- | | | | | 0 1 2 3 4 5

Вариант 1 1. Случайная величина характеризуется

Определить ее дисперсию2. Найти М(2Х +3 У), если3. Выпущено 500 лотерейныхдельцам выигрыш по по 100000 руб., 5 билетовные — без выигрыша. Найтиодного билета. 4. Дан ряд распределения

Найти математическое ожиданиенение, M[X + 3], D[X + 2]. Вариант 2 1. Найти дисперсию случайной

2. Известно, что М(Х)=4. 3. Стрелок, имея 5 патроновность попадания при каждомления числа использованныхпостроить ее график. 4. Дан ряд распределения

22

| | | | | 0 1 2 3 4 5

Рис. 3.


величина характеризуется таблицей распределения

дисперсию.

У), если МХ=2,4; МУ=1,3. лотерейных билетов, причем 40 билетов принесут

выигрыш по 10000 руб., 20 билетов — по 50000 руббилетов — по 200000 руб., 1 билет — 500000

выигрыша. Найти закон распределения выигры

распределения дискретной случайной величины

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичноеM[X + 3], D[X + 2].

дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения

Х)=4. Найти М(–2Х). патронов, стреляет до первого попадания

попадания при каждом выстреле равна 0.7. Построитьиспользованных патронов, найти функцию рас


таблицей распределения:

билетов принесут их вла-руб., 10 билетов —

500000 руб., осталь-распределения выигрыша для владельца

величины X:

нее квадратичное откло-

зная закон ее распределения.

первого попадания в цель. Вероят-Построить закон распреде-

функцию распределения F(x) и

величины X:

Найти математическое ожиданиенение, M[2X+2], D[X+3]. Вариант 3 1. Найти математическое2.Известно, что 1ξ =D

3. ДанаF(x) некоторой случайной

Записать ряд распределения4. Дан ряд распределения

Найти математическое ожиданиенение, M[2X + 3], D[-3X + 2]. Вариант 4 1. Найти М(3–5Х), если МХ

2.Известно, что 92 =ξМ3. Дискретная случайная

Найти математическое ожидание4. Найти математическоена четырех игральных кубиках Вариант 5 1.Д(Х)=2. Найти Д (3Х2. Распределение дискретнойX 3 4 5 P 0.3 0.2 0.5 Найдите ее математическое3. Дискретная случайнаяx1и x2, причем x1<x2. Известныматематическое ожиданиераспределения случайной

23

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное

D[X+3].

математическое ожидание случайной величины 2Х212 ,.1,2 ξξξ =D – независимы. Найдите

некоторой случайной величины:

распределения для X.



3X + 2].

Х если МХ=1,7. .3,9 =ξМ Найдите DX.

Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения

математическое ожидание и дисперсию случайной величиныматематическое ожидание и дисперсию суммы очков

игральных кубиках при одном бросании.

Найти Д (3Х+2). Распределение дискретной случайной величины X задано

математическое ожидание. Дискретная случайная величина X может принимать только

. Известны вероятность p1 = 0.2 возможногоматематическое ожидание M[X] = 3.8 и дисперсия D[X] = 0.16.распределения случайной величины.


величины 2Х+1, если МХ=1,7. независимы Найдите ( )52 21 ++ ξξD .

величины X:


распределения:

случайной величины Y = eX. суммы очков, выпадающих

задано таблицей

принимать только два значения возможного значения x1,

D[X] = 0.16.Найти закон

4. Дан ряд распределения

Найти математическое ожиданиенение, M[X + 5], D[-X + 2]. Вариант 6 1. Дан закон распределения

:

Найти значение a . 2. Дискретная случайная

Найти значение вероятности3.Найти математическоеХ 3 4 6 7 Р 0,2 0,1 0,3 0,44. Дискретная случайнаяX -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 Найти дисперсию. Вариант 7 1. Дискретная случайнаяX -1 0 1 P 1/3 1/3 a Найти значение a. 2. Дискретная случайнаяX -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 Найти математическое ожидание3.Случайная величина характеризуетсяX 0 1 2 P 0,3 0,4 0,3 Определить ee дисперсию4. Найти М(2Х +3 У), если

Основные законы распределения

Х 4 7 6 Р p1 0,2 0,5

24



X + 2].

распределения вероятностей дискретной случайной

Дискретная случайная величина задана законом распределения

начение вероятностиpp1 . атематическое ожидание случайной величины

0,4

Дискретная случайная величина задана рядом распределения



математическое ожидание.

величина характеризуется таблицей распределения

дисперсию.

У), если МХ=2,4; МУ=1,3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

законы распределения дискретных случайных

величины X:


дискретной случайной величины

законом распределения

величины X

распределения



распределения:

случайных величин

25

Задача. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропор-ции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на другом - 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математи-ческое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продук-цией высшего качества. Решение. Вначале составим закон распределения случайной величины X - числа банок с продукцией высшего качества среди купленных трех банок. Вероятность появления события A - куплена банка с продукцией высшего качества - найдем по формуле полной вероятности:

.84,05

38,0

5

29,0)( =+=AP

Закон распределения случайной величины X можно определить, используя

формулу Бернулли mnmmnn qpCmP −=)( . Случайная величина X может при-

нимать значения 0, 1, 2, 3. Закон ее распределения (с учетом того, что p=0,84, q=0,16) примет вид Х 0 1 2 3 Р 0,004 0,066 0,337 0,593 Тогда

,519,2593,03337,02066,01004,00)( =⋅+⋅+⋅+⋅=XM

,406,0519,2593,09337,04066,01)( 2 =−⋅+⋅+⋅=XD

.64,0406,0)( ≈=Xσ Варианты заданий:

Вариант 1 1. В партии 5% нестандартных деталей. Наудачу отобраны пять деталей. На-писать закон распределения дискретной случайной величины X — числа не-стандартных деталей среди пяти отобранных; найти математическое ожида-ние и дисперсию. 2. Отрезок длины 35 поделен на две части длины 25 и 10 соответственно. Наудачу 6 точек последовательно бросают на отрезок. Х – случайная величи-на, равная числу точек, попавших на отрезок длины 10. Найдите математиче-ское ожидание и среднее квадратичное отклонение величины-Х. 3. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероят-ность попадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. Случайная величина X - число возможных выстрелов до первого попадания. Найти дисперсию слу-чайной величины Х для случая, если стрелок намеревается произвести не бо-лее трёх выстрелов. 4. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения:

41 =x с вероятностью 5,01 =p ; 62 =x с вероятностью 3,02 =p и 213 =x

с вероятностью 3p . Найти вероятность 3p . Вариант 2

1.Время обнаружения целизакону

где 1/λ = 10сек. - среднеечто цель будет, обнаружена2. Производится 1920 независимыхвременно подбрасываютсявыпало 3 герба. Найдите3. Из орудия производитсяность попадания в цель- число возможных выстреловчайной величины-Х. 4. Случайная составляющая

случайная величина с параметрами

щая затрат имеет вид Найдите дисперсию прибыли. Вариант 3 1. На плоскости начерченыственно. Меньшая окружностьшой круг наудачу бросаютчек, попавших в малый круг

персию. 2. Производится 14 независимыхваются 4 игральные костипавшие цифры оказались3. Из орудия производитсяность попадания в цель- число возможных выстреловожидание случайной величиныпроизвести не более трёх

4. Для пуассоновской случайной

те математическое ожидание Вариант 4 1. Вероятность появлениямых по схеме Бернуллисобытия.

26

обнаружения цели радиолокатором распределено по

среднее время обнаружения цели. Найти вероятность

будет обнаружена за время от 5 до 15 сек. после началаПроизводится 1920 независимых испытаний, состоящих

подбрасываются 7 монет. Пусть X – число испытанийгерба Найдите математическое ожидание.

производится стрельба по цели до первого попаданияпопадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. Случайнаявозможных выстрелов до первого попадания. Найти

составляющая выручки равна 4X , где X –

величина с параметрами 500n = и 12p = . Случайная

имеет вид 50Y , где Y – пуассоновская случайнаядисперсию прибыли, считая, что X и Y – независимы

плоскости начерчены две окружности, радиусы которыхМеньшая окружность содержится внутри большего

наудачу бросают 5 точек. Пусть случайная величинапопавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание

Производится 14 независимых испытаний, в каждом из которыхигральные кости. Пусть X – число испытаний, в которых

цифры оказались 2≥ . Найдите дисперсию ( )D X . производится стрельба по цели до первого попадания

попадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. Случайнаявозможных выстрелов до первого попадания. Найти

случайной величины Х для случая, если стрелок намереваетсяне более трёх выстрелов.

пуассоновской случайной величины Х отношение

математическое ожидание [ ]M X .

Вероятность появления события А в 5 независимых испытанияхсхеме Бернулли, равна 0,7. Найти дисперсию числа появлений

распределено по показательному

цели Найти вероятность того, сек после начала поиска. состоящих в том, что одно-число испытаний, в которых

первого попадания. Вероят-выстреле Случайная величина X

попадания Найти дисперсию слу-

– биномиальная

Случайная составляю-

пуассоновская случайная величина. независимы, а ( ) 5M Y =

радиусы которых 5 и 25 соответ-внутри большего круга. В боль-случайная величина Х – число то-

математическое ожидание и дис-

каждом из которых подбрасы-испытаний, в которых все вы-

первого попадания. Вероят-

выстреле Случайная величина X попадания Найти математическое

если стрелок намеревается

( 10)( 9) 6P X

P X== = . Найди-

независимых испытаниях, проводи-числа появлений этого

27

2. Вероятность появления события А в 20 независимых испытаниях, прово-димых по схеме Бернулли, равна 0,8. Найти математическое ожидание числа появлений этого события. 3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины ξ, за-данной законом распределения

4. Среди 20 книг, стоящих на полке, 8 книг по математической статистике. Случайная величина X - число книг по математике из четырёх случайно взя-тых с этой полки книг. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Вариант 5 1. Найти дисперсию случайной величины ξ, если дан закон распределения

2. Найти математическое ожидание случайной величины ξ – числа появления события в 100 независимых испытаниях, если вероятность появления собы-тия в одном испытании равна 0,75. 3.Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа стандарт-ных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. 4. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероят-ность попадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. Случайная величина X - число возможных выстрелов до первого попадания. Найти дисперсию слу-чайной величины-Х.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8 Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики. Ос-

новные законы распределения непрерывных случайных величин

Задача. Пусть случайная величина X имеет плотность )1(11

6)( 2 ++= xxxp

при 0<x<1 и p(x)=0 при x<0 и x>1. Найти математическое ожидание и дис-персию X. Решение. По определению математического ожидания

∫

∫ ∫

==

++=++=

=++==+∞

∞−

1

0

23

1

0

2

.5909,022

13

2

1

3

1

4

1

11

6)(

11

6

)1(11

6)(

dxxxx

dxxxxdxxxpMX

Найдем

∫

∫

++=

==+∞

∞−

1

0

234

22

)(11

6

)(

dxxxx

dxxpxMX

Тогда (2 −= MXMXDX

Вариант 1 1.Случайная величинакоторого имеет вид:

Найти дисперсию. 2. Непрерывная случайная

≥

<= −4

004 xприe

хприxр

x

)(

Найти математическое ожидание3. Случайная величина

<−

=−

0 если ,0

если ,1)(

8

x

xexF

x

Найдите плотность вероятности4. Функция плотности вероятности

≥<

=+

0

0,0)(

2811x

xxf

x

C . Найдите

Вариант 2 1. Найти математическоеклонение непрерывной слу

торой

28

∫

=

++=

=++1

0

22

.110

47

3

1

4

1

5

1

11

6

)1(11

6

dx

dxxxx

.0781,022

13

110

47)

22 =

−=MX


величина X подчинена закону распределения график

Непрерывная случайная величина распределена по показательному

0.

математическое ожидание величины. величина X имеет функцию распределения

>.0

0.

плотность вероятности )(xg случайной величиныплотности вероятности случайной величины X

. Найдите константу C и вероятность

математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичноенепрерывной случайной величины X, функция распределения

распределения, график плотности

распределена по показательному закону:


величины 2XY = . X имеет вид

( )91>XP .

и среднее квадратичное от-функция распределения ко-

2. Непрерывная случайная

≥−<

= 44

0 0)(

xприxe

хприxf

Найти дисперсию. 3. Функция плотности вероятности

≥<

=4

4,0)(

3 x

xxf

xC .

Найдите константу C4. Случайная величина

<−

=−

0 если ,0

если ,1)(

8

x

xexF

x

Найдите плотность вероятности Вариант 3 1. Дана плотность вероятности

Найти коэффициент C2. Непрерывная случайная

≥

<= −4

004 xприe

хприxр

x

)(

Найти математическое ожидание3. Случайная величина

<>−

=−

.0 если ,0

0 если ,1)(

2

x

xexF

x

Найдите плотность вероятности4. Случайная величина

деление):22

1)(

π= exP

Вариант 4 1.Найти дисперсию случайнойрой имеет вид

29


≥ 0.

плотности вероятности случайной величины X

и вероятность ( )5<XP . величина X имеет функцию распределения

>.0

;0x.

плотность вероятности )(xg случайной величины

плотность вероятности непрерывной случайной величины

C и функцию распределения F(x).


≥ 0.

математическое ожидание величины. величина X имеет функцию распределения

;0 .

плотность вероятности )(xg случайной величинывеличина ξ имеет плотность вероятностей (нормальное

.,8

)3( 2

∞<<−∞−−

xex

Найти D(Х).

случайной величины Х, плотность распределения

распределена по показательному закону

X имеет вид


величины XY ln81= .

случайной величины X:

распределена по показательному закону:


величины XY = . вероятностей (нормальное распре-

плотность распределения кото-

30

( )

>≤<

≤=

.20

,202/

,00

xпри

xприx

xпри

xf

2. Случайные величины ξ и η независимы. НайтиM( ηξ 2+ ), если M(ξ )=5, M(η )=3. 3. Плотность случайной величины ξ задана следующим образом: ( ) axxf = в интервале (0;2), вне этого интервала ( ) 0=xf . Найти математическое ожида-ние М(ξ). 4. Найти дисперсию показательного распределения, заданного плотностью распределения ( ) xexf 55 −= , 0≥x . Вариант 5 1. Случайные величины ξ и η независимы. НайтиD(2 ξ +3 η), если известно, что D(ξ)=4, D(η)=5. 2. Случайная величина ξ задана плотностью распределения ( ) xxf 2= в интер-вале (0;1), вне этого интервала ( ) 0=xf . Найти дисперсию величины ξ. 3. Случайная величина ξ распределена равномерно в интервале (1;7). Найти математическое ожидание ξ. 4. Найти математическое ожидание показательного распределения, заданного плотностью распределения ( ) xexf 55 −= , 0≥x . Раздел 2. Элементы математической статистики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9

Основные задачи математической статистики. Выборочный метод. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма

Задача. В магазине за день было продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины X - размера обуви: 39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42. Построить дискретный вариационный ряд и эмпирическую функцию распре-деления. Решение. Для построения вариационного ряда различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений запи-сываем его частоту

ix 37 38 39 40 41 42 43 44

im 1 3 5 8 12 9 5 2 По данным таблицы находим накопленные частоты и относительные частоты

ix 37 38 39 40 41 42 43 44 45

ixm 0 1 4 9 17 29 38 43 45

31

ixw 0 0,022 0,089 0,2 0,378 0,644 0,844 0,978 1

На рисунке 5 изображена эмпирическая функция распределения iw

1 -- 0,5-- | | | | | | | | | | 0 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 х Рис. 5.


Вариант 1 1. Выборка дана в виде распределения частот:

ix 2 5 7 8 11 13

in 10 9 21 25 30 5 Найти распределение относительных частот и построить полигон относи-тельных частот. 2. Выборка задана интервальным вариационным рядом

i ix <Х< 1+ix in

1 1—5 10 2 5—9 20 3 9—13 50 4 13—17 12 5 17—21 8

Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности. 3. В магазине за день было продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины X - размера обуви: 39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42. Построить дискретный вариационный ряд, полигон и эмпирическую функ-цию распределения. 4. Найти функцию распределения по данному распределению выборки:

ix 1 3 5 7

32

ip 25 20 22 33

Вариант 2 1. Выборка задана в виде распределения частот

ix 1 4 6 8

in 4 3 2 1 Построить полигон, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. 2.Построить гистограмму частот по данному распределению выборки: Номер интерва-ла ,i

Частичный ин-тервал

Сумма частот вариант интервала, in

1 3-5 4

2 5-7 6

3 7-9 20

4 9-11 40

5 11-13 20

6 13-12 4

7 15-17 6 3. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50 подшипни-ков дали численные значения (в мкм), приведенные в таблице

-1,752 -0,291 -0,933 -0,450 0,512 -1,256 1,701 0,634 0,720 0,490 1,531 -0,433 1,409 1,730 -0,266 -0,058 0,248 -0,095 -1,488 -0,361 0,415 -1,382 0,129 -0,361 -0,087 -0,329 0,086 0,130 -0,244 -0,882 0,318 -1,087 0,899 1,028 -1,304 0,349 -0,293 -0,883 -0,056 0,757 -0,059 -0,539 -0,078 0,229 0,194 -1,084 0,318 0,367 -0,992 0,529

4. Выборка задана в виде распределения частот:

ix 2 5 7

ip 1 3 6

Найти распределение относительных частот. Вариант 3 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 45:

ix 1 2 3 4

in 12 2n 10 17

33

Найти 2n . 2. Выборка задана в виде распределения частот:

ix 4 7 10 15 17

in 2 4 5 6 3 Найти медиану вариационного ряда. 3. Выборка задана в виде распределения частот:

ix 4 7 10 15 21

in 2 4 5 6 3 Найти размах варьирования. 4. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 45:

ix 1 2 3 4

in 5 3 10 2

Найтимоду вариационного ряда. Вариант 4 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:

ix 1 2 3 4

in 12 10

3n 17

Найти 3n . 2. Выборка задана в виде распределения частот:

ix 4 7 8 12 17

in 2 4 5 6 3 Найти моду вариационного ряда. 3. Выборка задана в виде распределения частот:

ix 4 7 8 12 17

in 2 4 5 6 3 Найти медиану вариационного ряда. 4. Выборка задана в виде распределения частот:

ix 4 7 8 12 17

in 2 4 5 6 3 Найти размах варьирования. Вариант 5 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:

ix 1 2 3 4

in 10 2n

8 7

Найти 2n . 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:

34

ix 1 2 3 4

in 12 2n 10 17 Найти 2n . 3. В магазине за день было продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины X - размера обуви: 39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42. Построить дискретный вариационный ряд, полигон и эмпирическую функ-цию распределения. 4. Найти функцию распределения по данному распределению выборки:

ix 1 3 5 7

ip 25 20 22 33

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10 Статистические оценки параметров распределения

Задача. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены следующие результаты (в мм): ,921 =x 942 =x , 1033 =x , 1054 =x , 1065 =x . Найти: а) выборочную среднюю длину стержня, б) выборочную и исправ-ленную дисперсию ошибок прибора. Решение. a) Найдем выборочную среднюю:

∑=

=++++==n

iix

nx

1.100)1061051039492(

5

11

б) Найдем выборочную дисперсию:

.34))100106(

)100105()100103()10094()10092((5

1)(

1

2

1

22222

=−+

−+−+−+−=−= ∑=

n

iiB xx

nD

в) Найдем исправленную дисперсию:

5,42344

5

12 =⋅=

−= BD

n

ns .

Варианты заданий: Вариант 1 1.Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n=50:

ix 2 5 7 10

in 16 12 8 14

Найти несмещенную оценку генеральной средней. 2. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:

35

ix 1240 1250 1270 1280

in 6 2 1 1

3. Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случай-ной величины: 8, 9, 10, 12, 13. Найти несмещенную оценку математического ожидания. 4.Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

ix 2 3 7 8

in 4 2 3 1

Вариант 2 1.Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60:

ix 1 3 6 26

in 8 40 10 2

Найти несмещенную оценку генеральной средней. 2.В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм.): 8, 10, 12. Найти несмещенную оценку дисперсии измерений. 3. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены сле-дующие результаты (в мм): ,941 =x 962 =x , 1053 =x , 1074 =x , 1095 =x . Найти выборочную среднюю длину стержня. 4. Выборка задана таблицей распределения

ix 1 2 3 5

in 15 20 10 5

Найти среднее квадратичное отклонение. Вариант 3 1. Найти общую среднюю для выборки: Группа 1 2 Значение варианты 1 6 1 5 Частота 10 15 20 30 Объем 25 50 2. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены сле-дующие результаты (в мм):

,921 =x 942 =x , 1033 =x , 1054 =x , 1065 =x . Найти выборочную среднюю длину стержня. 3. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены сле-дующие результаты (в мм):

,921 =x 942 =x , 1033 =x , 1054 =x , 1065 =x . Найти выборочную дисперсию ошибок прибора.

36

4. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм.): 14, 17, 17. Найти несмещенную оценку дисперсии измерений. Вариант 4 1. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены сле-дующие результаты (в мм):

,921 =x 942 =x , 1033 =x , 1054 =x , 1065 =x . Найти исправленную дисперсию ошибок прибора. 2. Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случай-ной величины: 5, 6, 9, 10, 11. Найти несмещенную оценку математического ожидания. 3. Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случай-ной величины: 6, 7, 8, 10, 11. Найти несмещенную оценку математического ожидания. 4. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм.): 13, 14, 15. Найти несмещенную оценку дисперсии измерений.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №11 Интервальные оценки параметров распределения

Задача. Найти доверительный интервал для оценки математического ожида-ния нормального распределения при доверительной вероятности (надежно-сти), равной 975,0=γ , если выборочное среднее 12=x , среднее квадратиче-ское отклонение 5=σ , а объем выборки 100=n . Решение. Доверительный интервал для математического ожидания при нор-мальном распределении равен ( )28 :

+−

n

tx

n

tx

σσ γγ , ,

где x - выборочное среднее, σ - среднее квадратическое отклонение, n - объ-

ем выборки,

Φ= −

21 γ

γt , ( )xΦ - затабулированная функция Лапласа ( )21 .

Так как 4875,02

975,0

2==γ

, из соотношения

Φ= −

21 γ

γt получаем

( ) 4875,02

==Φ γγt и с помощью таблиц находим 24,2=γt . Тогда

12,1100

524,2 =⋅=n

t σγ и ( ) ( )12,13;88,1012,112;12,112, =+−=

+−

n

tx

n

tx

σσ γγ .

37

Варианты заданий: Вариант 1 1. На основании опытной носки 64 пар обуви установили, что средний срок службы испытываемой обуви 200 дней, а "исправленная" выборочная дис-

персия 1002 =s (дней2). Найти 95%-ный доверительный интервал для сред-

него срока службы обуви. 2. Производится выборочное обследование среднего дохода семьи г. Махач-

калы. Сколько семей надо обследовать, чтобы с вероятностью 99,0=γ мож-но было утверждать, что выборочная средняя отклонится от генеральной средней не более, чем на 10 тыс. руб., если считать среднее квадратическое отклонение равным 50 тыс. руб., а закон распределения уровня дохода нор-мальным? 3. Авиакомпания, открывшая новый авиамаршрут, желает оценить долю пас-сажиров, путешествующих по служебным делам в этом направлении. Слу-чайная выборка 347 пассажиров, летающих по этому маршруту, определила, что 201 из них – бизнесмены. Постройте доверительный интервал доли пас-сажиров, путешествующих по делам службы. 4. В партии из 3000 изделий проверено 12 изделий. Среди них оказалось 3 бракованных изделия. Найти доверительную вероятность того, что доля бра-ка во всей партии отличается от доли в выборке не более чем на 2%. Вариант 2 1. Известно, что продолжительность горения электрических лампочек подчи-няется нормальному закону с математическим ожиданием a=1000 часов и средним квадратическим отклонением 40 часов. Из большой партии ламп из-

влечена выборка объема n=64. Найти с надежностью 996,0=γ доверитель-ный интервал для средней продолжительности горения ламп всей партии. 2. Для определения среднего процентного содержания белка в зернах пшени-цы было отобрано 626 зерен, обследование которых показало, что выбороч-ное среднее равно 8,16=x , а выборочная дисперсия 42 =s . Чему равна с вероятностью 0,988 точность оценки выборки? 3. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,3, если известно среднее квадратическое откло-нение 1,2 нормально распределенной генеральной совокупности. 4. Найдите 94.0 -доверительный интервал для генерального среднего нор-мально распределенного признака X , если генеральное среднеквадратичное отклонение равно 8, а выборочное среднее при объеме выборки 99 равно 33. Вариант 3 1. При формировании для фирмы портфеля поставок был произведен случай-ный отбор 100 поставщиков, которые осуществляли поставки сырья в про-

38

шлом году. Для процента ω несвоевременно отгрузивших сырье поставщи-ков необходимо определить доверительные границы на уровне 0,997, если в выборке оказалось 25 таких поставщиков. 2. Брокер на бирже желает найти 95.0 -доверительный интервал для матема-тического ожидания недельной доходности выбранной акции. Известно, что выборочная средняя недельная доходность за последний год (52 недели) со-ставила 007.0=r . Найдите искомый доверительный интервал в предположе-нии, что недельные доходности независимы и распределены нормально с по-стоянными параметрами, причем генеральное среднеквадратичное отклоне-ние недельной доходности равно 04.0 . 3. Произведено 00020 независимых испытаний, в каждом из которых неиз-вестная вероятность p события A постоянна. Событие A наступило в 5800 испытаниях. Найдите для вероятности p приближенный 0.994-доверительный интервал. 4. Выборочно обследовали качество кирпича. Из 1700=n проб в 35=m случа-ях кирпич оказался бракованным. В каких пределах заключается доля брака для всей продукции, если результат гарантируется с надежностью 97.0≈γ ? Вариант 4 1. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 10. Найти его интервальную оценку. 2. Производится выборочное обследование возраста читателей массовых библиотек. Сколько карточек необходимо взять для обследования, чтобы с вероятностью 95.0 можно было бы утверждать, что средний возраст в выбо-рочной совокупности отклонится от генерального среднего не более, чем на 2 года? Генеральное среднее квадратичное принять равным 20 годам. 3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при доверительной вероятности (надежности), равной 975,0=γ , если выборочное среднее 12=x , среднее квадратическое отклонение 5=σ , а объем выборки 100=n . 4. Обследуется средняя продолжительность телефонного разговора. Сколько телефонных разговоров должно быть зафиксировано, чтобы с вероятностью

72.0 можно было бы утверждать, что отклонение средней продолжительности зафиксированных разговоров от генеральной средней не превосходит 10 се-кунд, если среднее квадратичное отклонение длительности одного разговора равно 2 минутам? Вариант 5 1. Точечная оценка параметра распределения равна 22. Найти его интерваль-ную оценку. 2. В 00050 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 5900 раз. Для веро-ятности выигрыша p приближенный 994.0 найти доверительный интервал. 3. Для определения среднего процентного содержания белка в зернах пшени-цы было отобрано 626 зерен, обследование которых показало, что выбороч-

39

ное среднее равно 8,16=x , а выборочная дисперсия 42 =s . Найти точность оценки выборки с вероятностью 0,988. 4. Нормальная случайная величина X имеет среднее квадратическое от-клонение σ =3. Найти доверительный интервал надежности γ = 0,95 для оценки неизвестного математического ожидания по выборочному сред-

нему вx при объеме выборки n=36.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12 Статистическая проверка статистических гипотез. Элементы теории

корреляций Задача. По данным корреляционной таблицы найти выборочный корреляци-онный момент (ковариацию):

X Y

-1 0 1 2

2 20 10 0 30

3 0 10 20 10

Решение. Выборочный корреляционный момент xyµ определяется равенст-

вом ( )30 :

∑ −= yxxynn xyxy

1µ .

Здесь x , y - варианты (наблюдавшиеся значения) признаков X и Y , xyn -

частота пары вариант ( )yx, , n - объем выборки, x , y - выборочные средние.

Найдем выборочные средние с помощью соотношения ( )27 :

∑ ⋅= xnn

x x1

, ∑ ⋅= ynn

y y1

,

где xn , yn - частоты вариант x и y .

Так как 100102010301020 =+++++=n , получаем ( ) ( ) ( )

8,0100

10302200110100)020(1 =+++++++−=x ,

( ) ( )4,2

100

1020100330010202 =+++++++=y .

Тогда ( ) ( )

.8,04,28,0100

102320131003013302201210022012

=⋅−

−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅−+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+−=xyµ


40

Вариант 1 1. По выборке из 24 вариант выдвинута гипотеза о нормальном распределе-нии генеральной совокупности. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 025,0=α среди заданных значений 2χ = {34, 35, 36, 37, 38} ука-зать наибольшее, для которого нет оснований отвергать гипотезу. 2. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X , если из-вестны: выборочные средние 6,3=x , 4=y , выборочные дисперсии

04,0=xD , 25,0=yD , выборочный коэффициент корреляции 6,0=Br .

3.Найти выборочное уравнение прямых линий регрессии Y на X по данным корреляционной таблицы X Y

18

23

28

33

38

43

48

yn

125 1 1 150 1 2 5 8 175 3 2 12 17

200 1 8 7 16 225 3 3 6 250 1 1 2

xn 1 6 8 20 10 4 1 n=50 Вариант 2 1. По выборке из 24 вариант выдвинута гипотеза о нормальном распределе-нии генеральной совокупности. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 025,0=α среди заданных значений 2χ = {34, 35, 36, 37, 38} ука-зать наименьшее, начиная с которого гипотеза должна быть отвергнута. 2. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y , если из-вестны: выборочные средние 6,3=x , 4=y , выборочные дисперсии

04,0=xD , 25,0=yD , выборочный коэффициент корреляции 6,0=Br .

3. Найти выборочное уравнение прямых линий регрессии Y на X по данным корреляционной таблицы X Y

5

10

15

20

25

30

35

40

yn

100 2 1 3 120 3 4 3 10 140 5 10 8 23

160 1 6 1 1 9 180 4 1 5

xn 5 5 8 11 8 6 4 2 n=50

41

ПРИЛОЖЕНИЕ СПИСОК ФОРМУЛ

)()()()( ABPBPAPBAP −+=+ для произвольных A и B; −−++=++ )()()()()( ABPCPBPAPCBAP

)()()( ABCPBCPACP +−− для произвольных CBA ,, ; ),()()( BPAPBAP +=+ если A иВ несовместны

)()()( BPAPABP A⋅= для произвольных A и B; ),()()( BPAPABP ⋅= если A иВнезависимы

)(1)( APAP −=

42

n

mAP =)(

∑=

=n

kHk APHPAP

k1

)()()( ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑=

=n

kHk

HiiA

APHP

APHPHP

k

i

1

Числовые характеристики дискретных случайных величин )()();()(;)( 22 XDXXMpxXDpxXM

iii

iii =−== ∑∑ σ

Биномиальное распределение npqXDnpXMqpCmP mnmm

nn ==⋅⋅= − )(;)(;)( Распределение Пуассона

aXDXMпрaem

amP a

m

n ===≈ − )()(,,!

)(

Непрерывные случайные величины: )()( xFxf ′=

∫∞

∞−=1)( dxxf

∫=≤≤b

а

dxxfbXaP )()(

∫∞

∞−= dxxxfXМ )()(

∫∞

∞−−= )()()( 22 XМdxxfxXD

)()( XDX =σ

∫∞

∞−= dxxfxk

k )(ν

Показательное распределение

[ ][ ]

∞∉∞∈=

−

.;0,0

;;0,)(

x

xexf

xλλ ;

λ1

)( =XM ; 2

1)(

λ=XD ;

bа ееbXaP λλ −− −=≤≤ )( , если 0,0 ≥≥ ba Равномерное распределение

[ ][ ]

∉

∈−=

.;,0

;;,1

)(bаx

bаxаbxf ; ( )

2

bаXM

+= ; 12

)()(

2abXD

−=

Нормальное распределение

43

2

2

2

)(

2

1)( σ

πσ

mx

exf−−

= ; ( ) mXM = ; σσ =)(X ; ( ) 2σ=XD

−Φ−

−Φ=≤≤σ

ασ

ββα mmXP )(

( ) dzex

zx 2

0

2

2

1−

∫=Φπ

Φ=<−σδδ 2)( mXP

9973,0)3( =<− σmXP

−=npq

npk

npqkPn ϕ1)( , где 2

2

2

1)(

x

ex−

=π

ϕ

−Φ−

−Φ=npq

npk

npq

npkkkPn

1221 ),(

Φ=

<−pq

np

n

mP εε 2

∑=

=k

iii nx

nx

1

1, где ∑

==

k

iinn

1

Доверительный интервал для математического ожидания:

+−

n

tx

n

tx

σσ γγ ,

Φ= −

21 γ

γt , или ( )2

γγ =Φ t 1−−= rSk

∑ ⋅−⋅= yxyxnn xyxy

1µ ( )xxryyx

yB −⋅=−

σσ

( )yyrxxy

xB −⋅=−

σσ

Documents

ТВ и МС БИ+ - dgunh.ru · достижении воспитательных и развивающих целей . Важно , чтобы каждый студент понимал