Embed Size (px)
Citation preview
0
А.П. КОТЕНКО М.Б. БУКАРЕНКО
А.В. ДОКУЧАЕВ
ПРИЛОЖЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Учебное пособие
Самара, 2015
1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра «Прикладная математика и информатика»
А.П. КОТЕНКО М.Б. БУКАРЕНКО
А.В. ДОКУЧАЕВ
ПРИЛОЖЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Учебное пособие
Самара, 2015
2
Издается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ
УДК 510(075.8)
ББК 22.12я73
Котенко А.П., Букаренко М.Б., Докучаев А.В.
Приложения математической логики: учеб. пособие [электронное изда-ние] / А.П. Котенко, М.Б. Букаренко, А.В. Докучаев. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2015. – 1 Мб.
ISBN 978-5-7964-1863-5
Приведены приложения математической логики к построению имитацион-ных моделей поведения конечных автоматов и систем массового обслуживания. Описываются методы получения уравнений состояния в дискретном времени для систем массового обслуживания с неоднородными приборами и раздель-ными очередями с помощью детерминированных и вероятностных конечных автоматов.
Предназначено для студентов высших технических учебных заведений специальности (направления) «Прикладная математика и информатика».
Р е ц е н з е н т ы: д-р техн. наук Б.А. Горлач; канд. физ.-мат. наук Е.Н. Огородников Учебное издание
Минимальные системные требования: Windows XP, MS Office 2003
А.П. Котенко, М.Б. Букаренко, А.В. Докучаев, 2015 Самарский государственный технический университет, 2015
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящем учебном пособии изучаются часто встречающиеся на практике системы массового обслуживания (СМО) с неоднород-ными приборами, имеющими разную производительность и/или раз-дельные очереди. Такой тип систем будем называть системами мас-сового обслуживания с различимыми приборами.
Известные пакеты имитационного моделирования дискретных систем либо вовсе не позволяют моделировать СМО с различимыми приборами, либо предоставляют чрезвычайно неудобные инструмен-ты для этого. Поэтому имитационное моделирование подобных си-стем в случаях больших размерностей невозможно как классически-ми пакетами прикладных программ (Simulink), так и языками сверх-высокого уровня (GPSS).
Цель настоящего учебного пособия – описание нового инстру-ментария для имитационного моделирования СМО средствами де-терминированных и вероятных конечных автоматов.
В первой части приводятся основные определения и понятия, ка-сающиеся систем с различимыми приборами, основами теории аб-страктных автоматов и алгебры Жегалкина.
Во второй части рассмотрены четыре частных случая простейшей системы массового обслуживания с неоднородными приборами без очереди. На этих примерах показано, как средствами теории конеч-ных автоматов получить уравнения состояния таких систем в дис-кретном времени, причём в удобной для последующего имитацион-ного моделирования форме.
Пособие входит в Учебно-методические комплексы дисциплин «Математическая логика» и «Дискретная математика» для специаль-ности (направления) «Прикладная математика и информатика».
4
ВВЕДЕНИЕ
Математическая логика – фундамент современной математики, – является в настоящее время конгломератом самых многообразных идей. При этом собственно «вычисления» в математической логике так же прозрачны, как и в большинстве общеизвестных разделов ма-тематики, завоевавших приложения.
Такой инструментарий математической логики как абстрактные автоматы позволяет моделировать широкий класс систем различной природы. Несмотря на свою простоту, модель конечного автомата оказалась чрезвычайно удобной в огромном числе приложений не только в информатике, но и во многих других областях инженерной деятельности.
С другой стороны, всё большее развитие получает теория вероят-ностных автоматов, опирающаяся с одной стороны на мощные мето-ды теории детерминированных автоматов, а с другой – на статисти-ческие методы, теорию марковских цепей и теорию игр. Определе-ния, касающиеся теории вероятностных автоматов, приводимые в данном учебном пособии, существенно упрощены и справедливы лишь для решения частных задач имитационного моделирования.
На примере важного раздела теории систем массового обслужива-нии – системы с неоднородными приборами, видно насколько полезны общие фундаментальные математические теории для практически важ-ных приложений. Такие системы чрезвычайно сложно изучать анали-тическими методами в связи с высокой размерностью возникающих при этом систем дифференциальных уравнений. С другой стороны, разнообразие графов таких систем и экспоненциальное усложнение за-дач с ростом размерности затрудняет имитационное моделирование. В этой ситуации чрезвычайно плодотворными оказались методы матема-тической логики, в частности, теории детерминированных и абстракт-ных автоматов, которые позволили разработать универсальные алго-ритмы имитационного моделирования подобных СМО.
5
При этом становится ясно, что возрастающая точность описания реальных жизненно важных задач влечёт усложнение необходимых математических методов. Тем не менее, наработанный поколениями исследователей материал позволяет рано или поздно решить задачи любой сложности.
6
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. Системы массового обслуживания с неоднородными приборами и раздельными очередями
Рассмотрим классическую систему массового обслуживания с общей очередью длины m и k приборами равной пропускной способ-ности µ. Далее такие приборы будем называть однородными (рис.
1.1). Через λ обозначим интенсивность входящего потока заявок.
Рис. 1.1 – 2-канальная СМО с общей ограниченной очередью длины 3 с однородными приборами
Такая СМО, как известно, представляетcя орграфом процесса ги-
бели и размножения (рис. 1.2).
Рис. 1.2 – Граф СМО с общей очередью длины m и k однородными приборами
Здесь состояние СМО обозначено двухкомпонентным вектор-
столбцом
=
y
xS , где x – число занятых каналов, y – длина очереди.
Такую СМО можно задать сигнатурой T=T(µ;k;m), k>0. Пример 1. СМО сигнатуры T(µ;2;2) имеет множество различи-
мых состояний
=
2
2,
1
2,
0
2,
0
1,
0
0S . При этом состояние
1
1 считаем
7
невозможным, так как пришедшая заявка не может находиться в оче-реди, если свободен один из каналов обслуживания.
Если приборы неоднородные при общей очереди, то сигнатура
примет вид T=T(µ1,µ2,…,µk;m). Этот случай нельзя представить гра-фом процесса гибели и размножения (ср. рис. 1.2 и 1.4) и требует вве-дения понятия диспетчеризации, или оптимальной политики [2, 4].
Если приборы однородные при раздельных очередях к ним (рис. 1.3), их сигнатура [3] примет вид T=T(µ;m1,m2,…,mk).
Рис. 1.3 – 2-канальная СМО с раздельными ограниченными очередями
Состояние такой СМО можно описать двухкомпонентным век-
тор-столбцом
=
y
xS
�
�
. Здесь цифра 0 в двоичном k-значном представ-
лении числа ( ) kkxxxx 2,0: 221 ∈= …
� обозначает свободный, а 1 – занятый ка-
нал. Тогда при ( ) 1,,,max: 21 += kmmmr … в r-ичном k-значном представлении
числа ( ) krk ryyyy ,0: 21 ∈= …
� цифры { }k
tttt mxy 1,0 =∈ будут соответствовать напол-
ненности очередей. Пример 2. СМО сигнатуры T(µ;1,1) имеет множество различи-
мых состояний ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
11,
01
11,
10
11,
00
11,
01
01,
10
10,
00
01,
00
10,
00
00S .
В более привычной десятичной системе счисления получим ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
=
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
3
3,
1
3,
2
3,
0
3,
1
1,
2
2,
0
1,
0
2,
0
0S .
8
При этом состояние ( )( )
( )( )
=
10
10
2
2
1
2
01
10 считаем невозможным, так как
пришедшая заявка не может находиться в очереди канала 2, если он
свободен. Однако состояния ( )( )
2
2
00
10 и ( )( )
2
2
00
01 считаем различными, так
как различаем прохождение заявки через канал 1 или канал 2. Пример 3. На рис. 1.4 приведён граф 2-канальной СМО с макси-
мальной длиной 2 очереди первого канала и максимальной длиной 1 очереди второго канала.
Рис. 1.4 – Граф 2-канальной СМО с раздельными очередями каналов
В общем случае СМО с неоднородными приборами и раздельны-
ми очередями к ним сигнатура T примет вид [3]: T=T(µ1,µ2,…,µk;m1,m2,…,mk), k >0.
В заключение приведем список введенных в данном параграфе определений, которые будем использовать в дальнейшем.
Определение 1.1. Системой массового обслуживания с неодно-родными приборами будем считать СМО, в которой пропускная спо-собность, по крайней мере, двух приборов различна.
Определение 1.2. Системой массового обслуживания с раздель-ными очередями будем считать СМО без общего накопителя, каждый прибор которой имеет собственный независимый накопитель. (То
9
есть входящая заявка, попав в накопитель одного прибора, не может перейти в накопитель другого прибора за все время ожидания обслу-живания.)
Определение 1.3. Выражение T=T(µ1,µ2,…,µk;m1,m2,…,mk), опи-сывающее систему массового обслуживания, где µi – пропускная спо-
собность и mi – ёмкость очереди i-го канала, ki ,1∈ ; k>0, будем назы-
вать сигнатурой данной СМО.
Вопросы и задания:
1. Каковы основные отличия СМО с неоднородными приборами от СМО с однородными приборами?
2. Как можно описать состояние СМО? 3. Приведите примеры практической реализации СМО с неоднород-
ными приборами и общей очередью; с однородными приборами и раздельными очередями; с неоднородными приборами и раздель-ными очередями.
4. Приведите численный пример СМО с неоднородными приборами и раздельными очередями. Изобразите её орграф.
5. Опишите алгоритм автоматизированного построения графа СМО с раздельными очередями (без разметки дуг).
Решение: Различимое состояние СМО представимо одномерным
массивом ( )kk yyyxxxSS ,...,,;,...,, 2121= длины 2k. Здесь 1,0∈ix , где значение
0 означает свободный, а 1 – занятый канал; ti my ,0∈ соответствует
наполненности очереди i-того канала. На первом этапе формируем двумерный массив размерности
( )( ) kyk
i ik 212
1×+∏ =
всех возможных комбинаций xi и yi. Для выделения из
него массива S всех допустимых состояний удалим строки, не отве-чающие условию
{ }
=←= ←
∈,1 ,0
,0 0
it
ii xm
xy
так как у свободного канала очереди нет, после чего получим массив размерности n×2k, где n – число допустимых состояний СМО.
10
На следующем этапе для каждого номера nj ,1∈ отыщем те из
оставшихся 1−n состояний, в которые система перейдёт из состояния Sj при поступлении следующей заявки (прямая дуга орграфа состоя-ний) или при выбытии заявки из системы (обратная дуга).
Рассмотрим два произвольных различных допустимых состояния
СМО и соответствующие им вершины орграфа: ., ''' SSS ∈ Обозначим
через ''' , ii ss элементы соответствующих одномерных массивов. Тогда 'S связано направленной дугой с ''S тогда и только тогда, когда
1±=′−′′ ii ss для единственного номера i. При этом если 1=′−′′ ii ss , то дуга
прямая, если же 1−=′−′′ ii ss , то дуга обратная.
Таким образом, для каждого состояния Sj из множества S мощно-
стью n сформируем множество +jS состояний, в которые система пе-
рейдёт при поступлении новой заявки, и множество −jS состояний, в
которые система перейдёт при выбытии заявки из системы. При этом
мощность множества 1≥+jS у всех состояний Sj кроме конечного
(1,1,…,1;m1,m2,…,mk), а 1≥−jS у всех состояний Sj кроме начального
(0,0,…,0;0,0,…,0). Тем самым задан граф состояний СМО. В том слу-
чае, если существует хотя бы одно такое состояние Sj, что 1≥+jS или
1≥−jS , то задан гиперграф состояний СМО.
Для каждого множества +jS и −
jS определим бинарные одномер-
ные массивы +jL и −
jL длиной n. Каждый их элемент ( )−+tt ss соответ-
ствует состоянию СМО в t-той вектор-строке St массива S:
∉←
∈←= +
++
, 0
, 1
jt
jtt
SS
SSs
∉←
∈←= −
−−
. 0
, 1
jt
jtt
SS
SSs
Далее из вектор-строк +jL и −
jL сформируем 2 двумерных n×n-
массива +L и −L , которые ставят в соответствие порядковому номеру каждого допустимого состояния СМО, соответствующего номеру строки, номера допустимых состояний СМО, в которые возможен пе-
11
реход, то есть описывают все дуги гиперграфа состояний. При этом вектора состояний упорядочены по номерам в массиве S.
1.2. Диспетчеризация в СМО с неоднородными приборами и раздельными очередями
Обратимся к графу, изображенному на рис. 1.4. Расставим веса его дуг в соответствии с вероятностью перехода системы из состоя-ния Si в состояние Sj. Так как приборы имеют разную производитель-ность и раздельные очереди, эффективность работы СМО будет зави-сеть от распределения входящих заявок по приборам и их накопите-лям. Правила такого распределения входящих заявок для максимиза-ции эффективности СМО по заданному критерию (например, среднее время обслуживания заявки, среднее число отказов, время простоя и пр.) будем называть диспетчеризацией входных заявок.
Пусть очередная входная заявка обнаруживает систему в состоя-нии (x1,x2,…,xk;y1,y2,…,yk), не являющемся состоянием отказа (1,1,…,1;m1,m2,…,mk). Если существует единственный канал (с номе-
ром i), способный принять заявку ( )10 −≤≤ iii mxy , то заявка направляется к
нему. В противном случае оптимальным считаем выбор i-го канала обслуживания, способного обработать заявку с минимальным сред-ним суммарным временем T обслуживания попавших в него заявок:
( )iiimxyi
yTiii
χµ ++= −
−≤≤1min 1
10: , (1.1)
где χi – случайная величина, характеризующая незавершённость обработки заявки, находящейся в i-м канале в момент поступления
новой заявки, 0≤χi≤1. Для простоты будем здесь и далее считать,
что χi=1. Пример 4. Рассмотрим СМО с 2 неоднородными приборами про-
пускной способности µ1>µ2 без очереди (сигнатура T=T(µ1,µ2;0,0)). При диспетчеризации (1.1) граф такой СМО будет следующим (рис. 1.5).
Мы видим, что согласно выбранной диспетчеризации (1.1) заявка не может поступить на второй прибор при свободном первом.
12
Определение 1.4. Диспетчеризацией входящих заявок СМО с k неоднородными приборами и/или раздельными очередями будем называть правила, по которым поступившая заявка, заставшая систе-му в состоянии (x1,x2,…,xk;y1,y2,…,yk), направляется на обслуживание
к i-му прибору, ki ,1∈ , выбор которого определяется только состояни-
ем СМО в момент поступления заявки.
Рис. 1.5 – Граф СМО T=T(µ1,µ2;0,0) при диспетчеризации (1.1): (00) – оба прибора свободны, (10) – 1-й прибор занят, 2-й свободен,
(01) – 1-й прибор свободен, 2-й занят, (11) – оба прибора заняты
Вопросы и задания: 1. Что такое диспетчеризация в СМО с неоднородынми приборами
и/или раздельными очередями? 2. Привести примеры критериев эффективности работы СМО с неод-
нородными приборами и раздельными очередями. 3. Привести граф СМО с неоднородными приборами и раздельными
очередями сигнатуры T=T(µ1,µ2,µ3;1,0,0); µ1<µ2=µ3 с диспетчериза-цией (1.1).
4. Привести граф СМО с неоднородными приборами и раздельными очередями сигнатуры T=T(µ1,µ2;1,1); µ1<µ2 с диспетчеризацией (1.1).
1.3. Основные понятия теории автоматов
Определение 1.5. Алфавит – конечное множество символов, ко-торые могут производить эффект на систему.
Определение 1.6. Абстрактный автомат – модель дискретного устройства с одним входом, одним выходом и в каждый момент вре-
13
мени находящегося в одном состоянии из множества возможных. На вход этого устройства поступают символы одного алфавита, на выхо-де оно выдаёт символы (в общем случае) другого алфавита. Фор-мально абстрактный автомат определяется как упорядоченный набор
K(S,A,B,δ,γ), где S – множество внутренних состояний автомата, A – конечный входной алфавит, B – конечный выходной алфавит,
δ:S×A→S – функция переходов, γ :S×A→B – функция выходов. Замечание: Будущее поведение автомата как реакция его на последу-ющие входные сигналы определено именно текущим состоянием, но
не тем, как автомат пришел в него. Определение 1.7. Конечным детерминированным автоматом
Мили называется упорядоченный набор K=(S,A,B,s0,δ,γ), где S – ко-нечное множество внутренних состояний автомата, A – конечный
входной алфавит, B – конечный выходной алфавит, s0∈S – начальное
состояние, δ:S×A→S – функция переходов, γ :S×A→B – функция вы-
ходов. Задать конечный автомат можно следующими способами:
1. Орграфом, вершины которого соответствуют внутренним состоя-ниям автомата, а дуга с пометкой a/b из состояния Si в состояние Sj проводится тогда и только тогда, когда автомат из состояния Si под воздействием входного сигнала a переходит в состояние Sj с вы-ходным сигналом b.
2. Таблицей функций переходов и выходов:
δ a1 a2 … aj … an γ b1 b2 … bj … bm
S1 S1
S2 S2
… …
Si Si
… …
Sk Sk
14
Конечный детерминированный автомат – это устройство, рабо-тающее в дискретные моменты времени (такты). На вход конечного автомата в каждом такте поступает один из возможных входных сиг-налов, а на его выходе появляется выходной сигнал, являющийся функцией его текущего состояния и поступившего входного сигнала. Внутреннее состояние автомата также меняется.
Рассмотрим теперь более общую модель. Пусть F – множество всевозможных пар вида (bi,Sj), а G – множество всевозможных пар (ai,Sj) Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве F некоторый закон распределения, заданный следующей таблицей:
(b1,S1) (b1,S2) … (bk,Sm-1) (bk,Sm)
(ai,Sq) p11 p12 … pk(m-1) pkm
При этом выполнено условие нормировки 11 1
=∑ ∑= =
k
i
m
j ijp . Здесь pij –
вероятность перехода автомата в состояние Sj и появления на выходе устройства сигнала bi, если автомат был в состоянии Sq и на его вход поступил сигнал ai. Число таких таблиц-распределений равно числу элементов множества G. Множество этих таблиц обозначим через T.
Определение 1.8. Вероятностным конечным автоматом с по-
стоянной структурой называется упорядоченное множество K=(S,A,B,T), где множества S, A, B, T конечны.
Пусть теперь элементы множества G индуцируют некоторые за-коны распределения на множествах B и S. Эти законы распределения заданы следующими таблицами:
b1 b2 … bk–1 bk
(ai,Sq) q1 q2 … qk–1 qk
S1 S2 … Sm–1 Sm
(ai,Sq) r1 r2 … rm–1 rm
15
При этом 111
==∑∑ ==
k
i i
m
i i qr . Здесь ri и qi – вероятность перехода авто-
мата в состояние Sj и вероятность появления выхода bi при условии, что автомат находился в состоянии Sq и на его вход поступил сигнал ai.
Определение 1.9. Если для всех i и j имеет место соотношение qir j=pij, то конечный автомат называется вероятностным автоматом Мили.
Замечание: Данное требование означает независимость распреде-лений для определения нового состояния вероятностного автомата и определения его выходного сигнала.
В следующих параграфах будут описаны частные случаи детер-минированных и вероятностных конечных автоматов Мили, приме-нимые для имитационного моделирования систем массового обслу-живания.
1.4. Уравнения состояния конечных автоматов
Рассмотрим конечный детерминированный автомат Мили K с множеством состояний S, входным алфавитом A={0,1} и пустым вы-
ходным алфавитом B=∅. Пусть состояние S в такт n может быть описано выражением
S(n)=(s1(n),s2(n)), где s1,2(n) – булевы функции. Тогда множество всех внутренних состояний S={(00),(10),(01),(11)}.
Такой автомат можно задать графом (рис. 1.6) или таблицей функции перехода (табл. 1.1).
Рис. 1.6 – Граф детерминированного конечного автомата Мили K(S,A,δ)
16
Таблица 1.1.
Таблица переходов ДКА K(S,A)
δ 0 1
(00) (00) (10)
(01) (00) (11)
(10) (00) (11)
(11) (10) (11)
Составим таблицу истинности для булевых функций: s1(n+1)=δ1(a(n),s1(n),s2(n)),s2(n+1)=δ2(a(n),s1(n),s2(n)).
Таблица 1.2.
Таблица истинности булевых функций s1(n+1) и s2(n+1) ДКА K(S,A)
a(n) s1(n) s2(n) s1(n+1) s2(n+1)
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
Определение 1.10. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ)
булевой функции называется её представление дизъюнкцией конъ-юнкций литералов.
Определение 1.11. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) булевой функции называется ДНФ, удовлетворяющая условиям: 1) в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций; 2) каждая элементарная конъюнкция содержит все пропозициональные буквы данной ДНФ, причем по одному разу и в одинаковом порядке.
17
Иными словами, СДНФ – это наиболее полная форма представ-ления логического выражения суммой произведений всех аргументов или их инверсий.
Вернемся к табл. 1.2 и составим СДНФ булевых функций s1(n+1), s2(n+1). Для этого сначала выпишем элементарные конъюнкции (табл. 1.3).
Таблица 1.3.
Элементарные конъюнкции булевых функций s1(n+1) и s2(n+1) ДКА K(S,A)
a(n) s1(n) s2(n) s1(n+1) s2(n+1) Элементарные конъюнкции
s1(n+1)
Элементарные конъюнкции
s2(n+1)
0 0 0 0 0 - -
0 0 1 0 0 - -
0 1 0 0 0 - -
0 1 1 1 0 21 ssa ⋅⋅ -
1 0 0 1 0 21 ssa ⋅⋅ -
1 0 1 1 1 21 ssa ⋅⋅ 21 ssa ⋅⋅
1 1 0 1 1 21 ssa ⋅⋅ 21 ssa ⋅⋅
1 1 1 1 1 21 ssa ⋅⋅ 21 ssa ⋅⋅
Запишем СДНФ функций s1(n+1) и s2(n+1):
).()()(
)()()()()()()1(
);()()()()()(
)()()(
)()()()()()()1(
21
21211
2121
21
21211
nsnsna
nsnsnansnsnans
nsnsnansnsna
nsnsna
nsnsnansnsnans
⋅⋅∨∨⋅⋅∨⋅⋅=+
⋅⋅∨⋅⋅∨
∨⋅⋅∨
∨⋅⋅∨⋅⋅=+
(1.2)
Определение 1.12. Уравнения si(n+1)=f(a(n),s1(n),s2(n),…,si(n),…,sk(n)),
определяющие состояние системы в такт n+1 при поступлении в такт n сигнала a с учетом того, что в такт n система находилась в состоя-
18
нии S=(s1(n),s2(n),…,si(n),…,sk(n)), называются уравнениями состоя-ния конечного автомата K.
Уравнения состояния (1.2) удобно представить в виде полинома Жегалкина.
Определение 1.13. Полиномом Жегалкина (по модулю 2) от n переменных x1, x2, …, xn называется выражение вида
,......... 21...12211222110 nnnn xxxcxxcxcxcxccP ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕= (1.3)
где постоянные ck могут принимать значения 0 или 1. Теорема Жегалкина. Каждая булева функция единственным об-
разом представима в виде полинома Жегалкина. Бинарная операция «исключающее ИЛИ» (сложение по модулю 2)
определена следующим правилом:
a b a⊕b
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 0
В дальнейшем используем следующие свойства:
• a⊕0=a,
• a⊕1=a,
• (a⊕b)⊕b=a,
• a⊕b=a⊕b.
Для получения канонического полинома Жегалкина проведем в
СДНФ (1.2) замены: )(1)( nana ⊕= , ),(1)( 11 nsns ⊕= ).(1)( 22 nsns ⊕= Используя
распределительный закон для конъюнкции относительно сложения
по модулю 2, и учитывая, что a⊕a=0, a⊕0=a, получим:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nsnsnansnsnans 21211 1 ⊕⊕=+ , (1.4)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nsnsnansnansnans 21212 1 ⊕⊕=+ . (1.5)
Описанный ДКА K представляет собой СМО с двумя неоднород-ными приборами без очереди с протоколом диспетчеризации (1.1).
19
Пример работы данного автомата:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒
=⊕⊕==⊕⊕=
⇒===;000000001
,10000001000,10
21212
2121121 ssasasas
ssassasssa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒
=⊕⊕==⊕⊕=
⇒=;111111112
,1111111211
21212
21211
ssasasas
ssassasa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) …⇒
=⊕⊕==⊕⊕=
⇒=;122222223
,1222222312
21212
21211
ssasasas
ssassasa
Таким образом, ДКА K переводит входную последовательность 1,1,1,… в последовательность состояний (0,0),(1,0),(1,1),(1,1),…, что легко усмотреть из рис. 1.6.
Вопросы и задания:
1. Построить таблицы истинности следующих булевых функций: ( ) ( )( )( ) ( )( )
( ).;
;
21121 xxxxxy
cyxyx
xzvyx
∨∧∨∧=
⇒⇒∧∨⇒⇒∧⇒
2. Входные сигналы x1, x2, x3 преобразуются в выходной сигнал y в соответствии с диаграммой сигналов:
Полагая нижнее по рисунку состояние сигнала нулевым, а верхнее единичным, составить таблицу истинности, СДНФ и полином Же-галкина функции y=f(x1,x2,x3).
3. Выявить фиктивные переменные, от которых не зависит значение
функции 321321321321 xxxxxxxxxxxxy ⋅⋅∨⋅⋅∨⋅⋅∨⋅⋅= .
20
2. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОДНОРОДНЫМИ ПРИБОРАМИ И РАЗДЕЛЬНЫМИ
ОЧЕРЕДЯМИ КАК КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ
2.1. СМО с детерминированной диспетчеризацией и недетерминированной выработкой сигналов
на освобождение приборов. Моделирование вероятностным КА
Рассмотрим СМО с 2 неоднородными приборами пропускной
способности µ1>µ2 без очереди (сигнатура T=T(µ1,µ2;0,0)). Предста-вим её поведение в дискретном времени +∞∈ ,0n недетерминированным
конечным автоматом (НКА) K(S,A) с алфавитом внутренних состоя-ний S={(00),(01),(10),(11)} без выделенных начального и конечного состояний, входным алфавитом A={0,1} и пустым выходным алфави-том. Буква 1 входного алфавита A соответствует приходу заявки в си-стему, а 0 – выработке сигнала освобождения заявки одним из кана-лов. Матрица переходов автомата K(S,A) с учётом возможной диспет-черизации (1.1) и недетерминированного выбора переходов (11)→(10) и (11)→(01) приведена в табл. 2.1.
Упростим определение вероятностного КА из предыдущей главы. Определение 2.1. Под недетерминированным (вероятностным)
конечным автоматом будем понимать такой конечный автомат, для
которого хотя бы одна функция перехода δij(ai,Sj) многозначна, при-
чем на pij(Sq,n) – вероятность того, что δij(ai,Sj) примет значение Sq,
принадлежащее множеству значений δij, за n-й такт, накладываются следующие ограничения:
0<pij(Sq,n)<1, .1),( =∑q
qij nSp (2.1)
Иными словами, вероятностным будем считать конечный авто-мат, на орграфе которого есть хотя бы одна вершина, из которой вы-ходят не менее двух дуг, помеченных одной и той же буквой входно-го алфавита. Такие дуги назовём стохастическими и разметим как ai:pj, где pj – вероятность перехода по данной дуге при поступлении сигнала ai.
21
Таблица 2.1.
Матрица переходов НКА K(S,A) с четырьмя стохастическими дугами
0 1
(00) (00) (10) (01)
p1 p2
(01) (00) (11)
(10) (00) (11)
(11) (10) (01)
(11) q1 q2
Здесь p1 – вероятность перехода по стохастической дуге
(00)→(10) в соответствии с оптимальной диспетчеризацией (1.1), p2=1–p1 – дополнительная вероятность перехода по стохастической дуге (00)→(01). При этом входная заявка, заставшая систему в состо-янии простоя обоих каналов (00), выбирает каналы 1 или 2 с частота-ми p1>0 и p2=1–p1>0 соответственно.
Аналогично, q1 – вероятность перехода по стохастической дуге (11)→(10) при освобождении заявки каналом 1, q2=1–q1 – дополни-тельная вероятность перехода по стохастической дуге (11)→(01) при освобождении заявки каналом 2. При этом уход обработанной (вы-
ходной) заявки из системы, находившейся в состоянии отказа (11), переводит систему в состояния (10) или (01) с частотами q1>0 и q2=1–q1>0 соответственно. Остальные дуги орграфа нестохастические, и переход по ним осуществляется при поступлении соответствующего входного сигнала.
На рис. 2.1 представлен граф переходов НКА K(S,A) при детер-минированной оптимальной диспетчеризации (1.1). Детерминирован-ные петли описывают следующие переходы: (11)→(11) – приход входной заявки (входного сигнала 1) в систему, находящуюся в состоянии отказа (11); (00)→(00) – приход входного сигнала 0 в систему, находящуюся в со-стоянии простоя (00).
22
Второй вариант можно считать «холостым ходом» в работе СМО, которая была способна совершить обработку выходной заявки, но та-ковой не оказалось на месте в данный момент времени.
Рис. 2.1. Граф переходов НКА K(S,A) с двумя стохастическими дугами (11)→(10) и (11)→(01)
В случае недетерминированной оптимизации, допускающей пе-реход части входных заявок по неоптимальной дуге (00)→(01), урав-нения состояний S(n+1)=(s1(n+1),s2(n+1)) автомата K(S,A) получим из следующей табл. 2.2 истинности булевых функций s1(n+1) и s2(n+1).
Таблица 2.2.
Таблица истинности стохастических булевых функций s1(n+1) и s2(n+1) НКА K(S,A) с четырьмя стохастическими дугами.
a(n) s1(n) s2(n) s1(n+1) s2(n+1)
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1
q1 q2 q1 q2
1 0 0 1 0 0 1
p1 p2 p1 p2
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
При детерминированной диспетчеризации входных заявок с про-
токолом (1.1) имеем вероятности p1=1, p2=0. Тогда получим для
23
a=a(n), s1=s1(n), s2=s2(n) нелинейные нестационарные рекурсивные
стохастические булевы функции в правой части уравнений состояний
НКА K(S,A) с двумя оставшимися недетерминированными перехода-
ми (11)→(10) и (11)→(01):
( )21
21211 1
asasssans
⊕⊕=+ , (2.2)
( )21
1212112 1
asssasasasans
⊕⊕⊕⊕=+ . (2.3)
Из (2.2) следует линейное явное (то есть не рекурсивное) детер-
минированное (то есть не стохастическое) нестационарное необходи-
мое, но не достаточное условие
( ) ( ) ( ) ( ) ( )naqq
nanansna ==+
211 1 ,
эквивалентное числовому линейному явному нестационарному нера-
венству ( ) ( )nans ≥+11 , которое легко усмотреть из сравнения соот-
ветствующих столбцов табл. 2.2. (Отношение ≥ – обычное отношение
неравенства для чисел 0 и 1.)
Аналогично, из (2.3) получим нелинейное рекурсивное нестацио-
нарное необходимое, но не достаточное стохастическое условие
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21
212121 1
nsnsnsnsnansns =+ ,
из которого следует нелинейное (квадратичное) рекурсивное детерми-
нированное нестационарное необходимое, но не достаточное условие
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nsnsnaqq
nsnsnansnsnansnsna 21
21
212121 1 ==+ ,
эквивалентное утверждению ( ) ( ) ( ) ( )nsnsnsna 221 11 =+⇒= . Это ли-
нейное равенство также легко усмотреть из сравнения соответствую-
щих столбцов и строк табл. 2.2.
24
Вопросы и задания: 1. Дайте определение недетерминированному конечному автомату. 2. Составить граф и матрицу переходов вероятностного конечного
автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2;1,0), µ1>µ2, с диспетчеризацией (1.1). Считать выработку сигналов на осво-бождение приборов недетерминированной.
3. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
4. Составить граф и матрицу переходов вероятностного конечного автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2,µ3;1,0,0),
µ1>µ2>µ3, с диспетчеризацией (1.1). Считать выработку сигналов на освобождение приборов недетерминированной.
5. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
6. Составить граф и матрицу переходов вероятностного конечного автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2,µ3;0,0,0),
µ1>µ2>µ3, с диспетчеризацией (1.1). Считать выработку сигналов на освобождение приборов недетерминированной.
7. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
2.2. СМО с детерминированной диспетчеризацией и недетерминированной выработкой сигналов на освобождение
приборов. Избавление от стохастичности и моделирование детерминированным КА
Избавимся от стохастичности дуг (11)→(10) и (11)→(01) графа на рис. 2.1 с помощью изоморфного детерминированного конечного ав-томата (ДКА) K(S,A1) со входным алфавитом A1={00,01,10}, обозна-чив буквой 00 сигнал срабатывания прибора 1 (в том числе «холостой ход» при простое (01) этого прибора), буквой 01 – сигнал срабатыва-ния прибора 2 (в том числе «холостой ход» при простое (10) этого прибора), буквой 10 – сигнал прихода входной заявки. Соответству-
25
ющим образом заменим матрицу и граф переходов ДКА K(S,A1) (табл. 2.3 и рис. 2.2).
Таблица 2.3.
Матрица переходов ДКА K(S,A1)
00 01 10
(00) (00) (00) (10)
(01) (01) (00) (11)
(10) (00) (10) (11)
(11) (01) (10) (11)
Отметим отсутствие повторов входных сигналов в разметке дуг, выходящих из одной вершины ДКА K(S,A1), в отличие от случая НКА K(S,A) (ср. рис. 2.1).
Тогда уравнения состояний автомата K(S,A1) получим из соответ-
ствующей табл. 2.4 при входном сигнале ( ) ( ) 12121 Aaanana ∈= .
Рис. 2.2. Граф переходов ДКА K(S,A1)
26
Таблица 2.4.
Усечённая таблица истинности булевых функций, описывающих детерминированные булевы функции s1(n+1) и s2(n+1)
уравнения состояний ДКА K(S,A1)
a1(n) a2(n) s1(n) s2(n) s1(n+1) s2(n+1)
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
0 1 1 1 1 0
1 0 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1
1 0 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1
Отсюда получим рекурсивную (то есть разрешимую последова-тельно) систему линейных рекурсивных нестохастических уравнений состояний
( )nssaasaaaans nn 1121122111 )1( βα ⊕=⊕⊕⊕=+ , (2.4)
( )nsssaassasaasans nn 22121222121112 )1( δγ ⊕=⊕⊕⊕⊕=+ ; (2.5)
( ) ( ) { }1,0: 21 ∈= nananα , ( ) ( ) { }1,0: 21 ∈= nananβ ; (2.6)
( ) ( ) ( ) { }1,0: 121 ∈= nsnananγ , ( ) ( ) ( ) ( ) { }1,0: 1212 ∈⊕= nsnanananδ . (2.7)
Замечания:
1. ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2121 ==⇔== nananananα (на вход СМО поступает очередная
заявка на обслуживание).
2. ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2121 ==⇔== nananananβ (на вход поступает сигнал срабаты-
вания «медленного» прибора 2).
27
Пример 5. Полагая начальным состояние простоя системы s1(0)=s2(0)=0, получим в ответ на входные сигналы {10,10,10,…} по-следовательность состояний системы {(1,0);(1,1);(1,0);…}, так как из (2.4)-(2.5) следует
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ⇒
=⊕⊕=⊕==⋅⋅⊕⋅=⊕=⊕=
,00000000001
,1000110000001
212121212002
121211001
ssaaasaass
saaaass
δγβα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ⇒
=⊕⊕=⊕==⋅⋅⊕⋅=⊕=⊕=
⇒,11111111112
,1100111111112
212121212112
121211111
ssaaasaass
saaaass
δγβα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) …⇒
=⊕=⊕⊕=⊕==⋅⋅⊕⋅=⊕=⊕=
⇒,0112222222223
,1100112222223
212121212222
121211221
ssaaasaass
saaaass
δγβα
Рекурсивность системы (2.4)-(2.5) усложняется зависимостью па-раметров γn, δn уравнения (2.5) от решений s1(n) уравнения (2.4). Обо-значив возникающие при этом произведения
( ) { }1,0:,;01 ∈= ∏ = −
k
mkmτ τββπ
�
, (2.8)
( ) { }1,0:,;02 ∈= ∏ = −
k
mkmτ τδδπ
�
, (2.9)
из (2.4)-(2.5) получим явную зависимость координат последователь-
ности состояний ( )aSS�
��
= СМО от последовательности a� входных сиг-
налов
( ) ( ) ( ) ( )nnstnnsn
t tn ,;01,;1 110 11 βπβπα��
⊕−=+ ∑ = − , (2.10)
( ) ( ) ( ) ( )nnstnnsn
t tn ,;01,;1 220 22 δπδπγ��
⊕−=+ ∑ = − . (2.11)
Здесь при t=–1 по обычному правилу произведения нулевого чис-ла сомножителей предполагается равенство
( ) 1:1,;1
02,1 ==− ∏−
= −τ τββπ nn�
.
Замечания:
1. В отличие от произведений ( )( )kma ,;1
�
�
βπ произведения ( )( )kma ,;2
�
�
δπ в
общем случае зависят не только от входной последовательности a� , но
и от начального состояния S(0)=(s1(0),s2(0)). 2. Произведения π1,2 равны 0 тогда и только тогда, когда среди
множителей определений (2.8), (2.9) есть нули. В противном случае π1,2=1.
28
3. ( )( ) 1,;1 =nna�
�
βπ до первого появления такта n1≥0 прихода входного
сигнала (a1(n1),a2(n1)) с нулевым значением параметра ( ) ( ) 012111
== nananβ ; (2.12)
все остальные значения ( )( ) 0,;1 =nna�
�
βπ , n≥n1. Если такого такта n1 нет,
то все значения ( )( ) 1,;1 =nna�
�
βπ .
4. Аналогично, ( )( ) 1,;2 =nna�
�
δπ до первого появления такта n2≥0 при-
хода входного сигнала (a1(n2),a2(n2)) с нулевым значением ( ) ( ) ( ) ( ) 0212221222
=⊕= nsnanananδ ; (2.13)
все остальные значения ( )( ) 0,;2 =nna�
�
δπ , n≥n2. Если такого такта n2 нет,
то все значения ( )( ) 1,;2 =nna�
�
δπ .
5. Рассматривая (2.10) как уравнение, найдём, быть может, пу-стое, множество N1 его решений. Тогда
( )( ) ∅=∩⇔= 11 ,1,; Nmkkma�
�
βπ .
6. Аналогично, рассматривая (2.11) как уравнение, найдём, быть может, пустое, множество N2 его решений. Тогда
( )( ) ∅=∩⇔= 22 ,1,; Nmkkma�
�
δπ .
Пример 6. Для произвольных s1(0) и s2(0) получим в ответ на входные сигналы {10,10,10,…} последовательность состояний
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ){ }…;2,1;1,1;00,1 2221 ssss ⊕ ,
так как ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ⇒
⊕=⋅⊕⊕⋅=⊕==⋅⊕=⊕=
,0000010101
,100101
212112002
11001
sssssss
sss
δγβα
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒
=⊕=⋅⊕⊕⋅=⊕==⋅⊕=⊕=
⇒,11111011112
,110112
2212112112
11111
ssssssss
sss
δγβα
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) …⇒
=⊕=⋅⊕⊕⋅=⊕==⋅⊕=⊕=
⇒,22222012123
,120123
2212112222
11221
ssssssss
sss
δγβα
С другой стороны,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ⇒
⊕=⊕==⊕=
,0001
,101
212002
1001
ssss
ss
δγβα
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ⇒
=⊕⊕=⊕⊕=⊕==⊕⊕=⊕⊕=⊕=
⇒,10012
,10012
2201101200112112
101101100111111
sssss
ssss
δδδγγδγδγδγβββααβαβαβα
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )…
=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕==⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕=
,20023
,10023
22012120212210101222222
1012120212110101221221
sssss
ssss
δδδδδγδγγδδδγγδγδγβββββαβααβββααβαβα
29
Таким образом, входная последовательность сигналов {10,10,10,…}
порождает по определению (2.6)-(2.7) последовательность парамет-ров линейной рекурсии (2.4)-(2.5)
( ) ( ) ( ) ( )
=
+∞
=
…… ,
1
0
1
,,
1
2
0
1
,
1
1
0
1
,
1
0
0
1
1111
0
nssss
nn
n
n
n
δγβα
.
Отсюда с использованием рекурсии (2.4) получим окончательный вид последовательности параметров
( )
=
+∞
=
…… ,
1
1
0
1
,,
1
1
0
1
,
1
1
0
1
,
1
0
0
1
1
0
s
nn
n
n
n
δγβα
.
Тогда рекурсия (2.4)-(2.5) примет вид ( )( ) ( ) ( )
( )
≥←=←⊕
=+
≡+
.1
;0001
;11
2
212
1
nns
nssns
ns
Рассмотренные примеры позволяют предложить следующий ал-
горитм получения последовательности ( ) ( )( ){ }+∞== 021 ,: nnsnsS
�
состояний
СМО по заданной последовательности входных сигналов
( ) ( )( ){ }+∞== 021 ,: nnanaa
� и начальному состоянию (s1(0),s2(0)):
Шаг 1. По определению (2.6) найти последовательности
( ) { }+∞== 0: nna αα �� , ( ) { }+∞
== 0: nna ββ ��
параметров линейной рекурсии (2.4). Шаг 2. По определению (2.8) найти двухиндексную последова-
тельность ( ) ( ){ }+∞
≤≤== nknkna 0;011 ,;: βππ�
�� .
Шаг 3. Подставляя найденные последовательности ( )a��α , ( )a
��
1π и
координату s1(0) начального состояния системы в рекурсию (2.4),
найти последовательность ( ) ( ){ }+∞== 011 : nnsas
��
первых координат искомых
состояний СМО. Шаг 4. По определению (2.7) найти последовательности
( ) { }+∞== 0: nna γγ �� , ( ) { }+∞
== 0: nna δδ ��
30
параметров линейной рекурсии (2.5). Шаг 5. По определению (2.9) найти двухиндексную последова-
тельность ( ) ( ){ }+∞
≤≤== nknkna 0;012 ,;: δππ�
�� .
Шаг 6. Подставляя найденные последовательности ( )a��γ , ( )a
��
2π и
координату s2(0) начального состояния системы в рекурсию (2.5),
найти последовательность ( ) ( ){ }+∞== 022 : nnsas
��
вторых координат искомых
состояний СМО.
Тем самым последовательность ( )aSS�
��
= построена.
Представим алгоритм схемой: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )asaa
aasa
a
aa
���
�
�
�
��
���
�
�
�
�
��
�
26
254
13
121 →→
→→→
→ δπ
δγ
βπβα
. (2.14)
Поскольку ( ) 0,;01 == ∏ = −
n
nnnτ τββπ
�
, если ( ) ( ) 0:,0 21 ==∈∃ kakank kβ (то есть
входная последовательность содержит хотя бы один сигнал, отлич-ный от сигнала срабатывания прибора 2);
( ) 0,;02 == ∏ = −
n
nnnτ τδδπ
�
, если ( ) ( ) ( ) ( ) 0:,0 1212 =⊕=∈∃ kskakakank kδ ,
то явные уравнения состояний (2.6)-(2.7) примут окончательный вид:
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
=∧==⇒−∈∀∧≥←
==⇒∈∀←⊕=+∑∑
−
= −
= −
;011,0
,1,001
21
1
0
21101
mk
m
t tm
k
n
t tn
aanknm
kakanksns
ββαβα (2.15)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
=⊕=∧=⇒−∈∀∧≥←
=⊕=⇒∈∀←⊕=+∑∑
−
= −
= −
.011,0
,1,001
1212
1
0
1212202
saaanknm
kskakakanksns
mk
m
t tm
k
n
t tn
δδγδγ (2.16)
Выводы: 1. Из (2.15) следует, что первая координата s1(n+1) текущего со-
стояния СМО, однозначно определяющая рабочее состояние медлен-ного прибора, перестаёт зависеть от выбора начального состояния, начиная с такта (2.10) прихода сигнала срабатывания медленного прибора.
2. Из вторых строк равенств (2.15)-(2.16) и определений (2.6)-(2.7) следует свойство наследования координатами (s1(n+1),s2(n+1)) состояний СМО последних значений двумерной функции
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11,,:, 21212112121 −−== nanananananansnanananann γα
после появления нулевых значений
31
( ) ( ) ( ) ( )( )010 121112111=∨=⇔== nananananβ ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 011 2221222122212221222=−−⊕=⊕= nananananansnanananδ .
Пример 7. Воспользовавшись результатами предыдущего приме-ра 6, рассмотрим входную последовательность
{10,10,10,00,00,10,…}. Применим схему (2.14) алгоритма получения последовательности
состояний.
Шаг 1.
=
+∞
=
…,0
1,
0
0,
0
0,
0
1,
0
1,
0
1
0nn
n
βα .
Шаг 2. ( ) ( ) 101 1001 =⊕= ss βα ,
( ) ( ) 102 1011011 =⊕⊕= ss βββαα ,
( ) ( ) 103 10121202121 =⊕⊕⊕= ss βββββαβαα ,
( ) ( ) 004 1012312302313231 =⊕⊕⊕⊕= ss βββββββαββαβαα ,
( ) ( ) 005 1012341234023413424341 =⊕⊕⊕⊕⊕= ss βββββββββαβββαββαβαα ,
( ) ( ) 106 10123451234502345134524535451 =⊕⊕⊕⊕⊕⊕= ss βββββββββββαββββαβββαββαβαα ,
… Шаг 3.
( ) ( )( ) ( )
⊕=⊕=
,01
,01
2002
1001
ss
ss
δγβα ⇒
( ) ( )( ) ( )
⊕⊕=⊕⊕=
,02
,02
2011012
1011011
ss
ss
δδδγγβββαα ⇒
⇒ ( ) ( )( ) ( )
⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=
,03
,03
20121202122
10121202121
ss
ss
δδδδδγδγγβββββαβαα ⇒
⇒ ( ) ( )( ) ( )
⊕⊕⊕⊕=⊕⊕⊕⊕=
,04
,04
2012312302313232
1012312302313231
ss
ss
δδδδδδδγδδγδγγβββββββαββαβαα ⇒
⇒ ( ) ( )( ) ( )
⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕⊕⊕⊕=
,05
,05
2012341234023413424342
1012341234023413424341
ss
ss
δδδδδδδδδγδδδγδδγδγγβββββββββαβββαββαβαα ⇒
( ) ( )( ) ( )
⊕⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕⊕⊕⊕⊕=
,06
,06
20123451234502345134524535452
10123451234502345134524535451
ss
ss
δδδδδδδδδδδγδδδδγδδδγδδγδγγβββββββββββαββββαβββαββαβαα
… Из (2.4) следует необходимое, но не достаточное условие
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nananananansna 2121111 1 =⊕=+ ,
32
эквивалентное числовому неравенству ( ) ( )nans 11 1 ≥+ , которое легко
усмотреть из сравнения соответствующих столбцов табл. 4. Аналогично, из (2.5) получим необходимое, но не достаточное
условие
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nsnsnanansna 211222 1 =+ ,
эквивалентное утверждению ( ) ( ) 011 22 =+⇒= nsna , которое также
легко усмотреть из сравнения соответствующих строк и столбцов табл. 2.4.
Вопросы и задания: 1. Составить граф и матрицу переходов детерминированного конеч-
ного автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2;1,0),
µ1>µ2, с диспетчеризацией (1.1). Считать выработку сигналов на освобождение приборов недетерминированной.
2. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
3. Составить граф и матрицу переходов детерминированного конечно-го автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2,µ3;1,1,0),
µ1>µ2>µ3, с диспетчеризацией (1.1). Считать выработку сигналов на освобождение приборов недетерминированной.
4. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
5. Составить граф и матрицу переходов детерминированного конечно-го автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2,µ3;0,0,0),
µ1>µ2>µ3, с диспетчеризацией (1.1). Считать выработку сигналов на освобождение приборов недетерминированной.
6. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
33
2.3. СМО с детерминированной диспетчеризацией и детерминированной выработкой сигналов
на освобождение приборов
Добавим к условиям задачи описанной в параграфе 2.1 ограниче-ние q1=1, q2=0, означающее запрет работы канала 2 при занятом кана-ле 1. Физически это может происходить при совместном потреблении каналами ресурса, не подлежащего делению на части. Такая диспет-черизация выходных заявок дополняет управление пропускной способностью СМО через более очевидную диспетчеризацию вход-ных заявок. Матрица переходов полученного детерминированного конечного автомата K(S,A) дана в табл. 2.5.
Таблица 2.5.
Матрица переходов ДКА K(S,A)
0 1
(00) (00) (10)
(01) (00) (11)
(10) (00) (11)
(11) (01) (11)
Следовательно, дуги орграфа переходов нестохастические, и пе-реходы осуществляются при поступлении соответствующего входно-го сигнала (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Граф переходов ДКА K(S,A) Тогда уравнения состояний автомата K(S,A) получим из следую-
щей табл. 6 истинности двух нестохастических булевых функций.
34
Таблица 2.6.
Таблица истинности булевых функций s1(n+1) и s2(n+1) ДКА K(S,A)
a(n) s1(n) s2(n) s1(n+1) s2(n+1)
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
Уравнения принимают рекурсивный нелинейный детерминиро-
ванный вид
( ) ans =+11 , (2.17)
( ) 2112 1 ssasans ⊕⊕=+ . (2.18)
Представим их нестационарной системой независимых линейных рекурсивных уравнений:
( ) ( ) ( )111 2212121 +=⊕⊕=++ nssasasasnsns ⇒ ( ) ( ) ( ) 1,221 ≥= nnsnsns
⇒
( )( )
=⊕⊕=+⊕=⊕⊕=+
≥∀.1
,1,1
12212
2221
asasasasns
saaassansn ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
⊕==⊕+=+
⊕==+⊕+=+
≥∀
++
++
,
12,
112
,0
211
22
111
21
ns
nsnananansns
nsnananans
n
nn
nn
δγ
βα
где при 0≥n параметры линейной рекурсии заданы последователь-ностью входных сигналов
( )1:1 +=+ nanα , ( ) ( )nanan 1:1 +=+β , ( ) ( )nanan 1:1 +=+γ , ( ) ( )nanan 1:1 +=+δ .
Отсюда для чётных моментов времени явные уравнения состоя-ний (2.15) и (2.16) примут окончательный вид:
35
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
=∧
∧
=−=
=⇒−∈∀∧≤←
=−=
=⇒∈∀←⊕
=+∑
∑
−
= −
= −
;0
1122
1,1
,1122
,10
22
2
222
0 22
21
2
0 22
1
m
km
t tn
kn
t tn
kaka
mknm
kaka
nks
ns
β
βα
βα
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
=∧
∧
=−=
=⇒−∈∀∧≤←
=−=
=⇒∈∀←⊕
=+∑
∑
−
= −
= −
.0
1122
1,1
,1122
,10
22
2
222
0 22
21
2
0 22
2
m
km
t tn
kn
t tn
kaka
mknm
kaka
nks
ns
δ
δγ
δγ
Для нечётных моментов времени расчёт можно провести из ра-
венств ( ) ( ) ( ) ( )22222232 21 ++⊕+=+ nsnanans , ( ) ( ) ( )222232 12 ++=+ nsnans , 1≥n .
Из (2.17) следует необходимое, но не достаточное условие
( ) ( ) ( )nansna =+11 ,
эквивалентное числовому неравенству ( ) ( )nans ≥+11 , которое легко
усмотреть из сравнения соответствующих столбцов табл. 2.6. Аналогично, из (2.18) получим необходимые, но не достаточные
условия
( ) ( ) ( ) ( )nansnsns 121 1 =+ и ( ) ( ) ( ) ( )nansnsns 222 1 =+ ,
эквивалентные утверждениям
( ) ( ) ( )nansns =+⇒= 11 21 и ( ) ( ) ( )nansns =+⇒= 11 22 ,
которые также легко усмотреть при сравнении соответствующих столбцов и строк табл. 2.6.
Вопросы и задания:
1. Составить граф и матрицу переходов для детерминированного ко-нечного автомата, соответствующего СМО сигнатуры
T=T(µ1,µ2;1,0), µ1>µ2, с диспетчеризацией (1.1). Условие на выра-ботку сигнала на освобождение канала: первым всегда освобожда-ется прибор 1.
2. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании и преобразовать их к полиномам Жегалкина.
36
2.4. СМО со стохастической диспетчеризацией и стохастической выработкой сигналов на освобождение приборов
В общем случае стохастического поведения пропускной способ-ности дуг, выходящих из вершин (00) и (11), уравнения перехода за-висят от совместного распределения вероятностей переходов по этим четырём дугам. Из табл. 2.2 получим рекурсивные стохастические булевы функции в правых частях уравнений состояний НКА:
( )
212121
212121
12
212111
1
,
,
,
,
1
sasasaspq
asassspq
apq
sasssapq
ns
⊕⊕⊕⊕
⊕⊕
=+ ,
( )
212121
21
12112
21111
2
,
,
,
,
1
sasssapq
apq
asssapq
sasasapq
ns
⊕⊕
⊕⊕⊕⊕
=+ .
Построим изоморфный ДКА K(S,A2) со входным алфавитом A1={00,01,10,11}, обозначив буквой 00 сигнал освобождения канала 1 (в том числе «холостой ход» при простое (01) этого канала), буквой 01 – сигнал освобождения канала 2 (в том числе «холостой ход» при простое (10) этого канала), буквой 10 – сигнал прихода входной заяв-ки, которую может обработать только канал 1, буквой 11 – сигнал прихода входной заявки, которую может обработать только канал 2. Отношение вероятностей появления букв 00 и 01 во входном потоке
сигналов ДКА K(S,A2) равно 21 qq при условии q1+q2=1, а отношение
букв 10 и 11 во входном потоке сигналов равно 21 pp при условии
p1+p2=1. Соответствующим образом заменим матрицу и граф перехо-дов (табл. 2.7 и рис. 2.4).
37
Таблица 7. Матрица переходов ДКА K(S,A2)
00 01 10 11
(00) (00) (00) (10) (01)
(01) (01) (00) (11) (01)
(10) (00) (10) (10) (11)
(11) (01) (10) (11) (11)
Петли на орграфе вновь являются детерминированными, и пере-
ход по ним осуществляется при поступлении подходящего входного сигнала (ср. рис. 2.1).
Рис. 2.4. Граф переходов ДКА K(S,A2) Тогда уравнения состояний автомата K(S,A2) получим из соответ-
ствующей табл. 2.8 при входной букве ( ) ( ) 22121 Aaanana ∈= .
38
Таблица 2.8.
Таблица истинности детерминированных булевых функций s1(n+1) и s2(n+1) ДКА K(S,A2)
a1(n) a2(n) s1(n) s2(n) s1(n+1) s2(n+1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
Тогда получим линейные независимые рекурсивные детермини-
рованные уравнения состояний ( )nssaaaans nn 1122111 )1( βα ⊕=⊕⊕=+ , (2.19)
( )nsaasasns nn 2212222 )1( δγ ⊕=⊕⊕=+ , (2.20)
где ( ) ( )nanan 21:=α , ( )nan 2:=β , ( ) ( )nanan 21:=γ , ( )nan 2:=δ .
Из (2.19) и (2.20) окончательно получим явный вид уравнений состояний (2.15) и (2.16):
( )
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
==∧
∧
===⇒−∈∀
∧≤←
==⇒∈∀←⊕
=+ ∑
∑−
= −
= −
;0
1
1,0
,1,00
1
2
2
1
0
210
1
ma
ka
mknm
kanks
ns
m
km
t tn
k
n
t tn
β
βα
βα
39
( )
( ) ( )( )( )
( )( )( )
==∧
∧
==
=⇒−∈∀∧≤←
==⇒∈∀←⊕
=+ ∑
∑−
= −
= −
.0
1
1,0
,1,00
1
2
2
1
0
220
2
ma
ka
mknm
kanks
ns
m
km
t tn
k
n
t tn
δ
δγ
δγ
Из (2.19) следует необходимое, но не достаточное линейное условие
( ) ( ) ( ) ( )nsnansna 1212 1 =+ ,
эквивалентное утверждению ( ) ( ) ( )nsnsna 112 11 =+⇒= , которое легко
усмотреть из сравнения соответствующих столбцов и строк табл. 2.8. Аналогично, из (2.20) получим необходимое, но не достаточное
линейное условие
( ) ( ) ( ) ( )nanansna 1222 1 =+ ,
эквивалентное утверждению ( ) ( ) ( )nansna 122 11 =+⇒= , которое
также легко усмотреть из сравнения соответствующих столбцов и строк табл. 2.8.
Вопросы и задания: 1. Составить граф и матрицу переходов вероятностного конечного
автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2;1,0), µ1>µ2. Диспетчеризацию входных заявок и выработку сигналов на осво-бождение приборов считать стохастическими с заданными вероят-ностями.
2. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
3. Составить граф и матрицу переходов вероятностного конечного автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2,µ3;1,0,0),
µ1>µ2>µ3. Диспетчеризацию входных заявок и выработку сигналов на освобождение приборов считать стохастическими с заданными вероятностями.
4. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
5. Составить граф и матрицу переходов вероятностного конечного автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2,µ3;0,0,0),
40
µ1>µ2>µ3. Диспетчеризацию входных заявок и выработку сигналов на освобождение приборов считать стохастическими с заданными вероятностями.
6. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
2.5. СМО со стохастической диспетчеризацией и детерминированной выработкой сигналов на освобождение
приборов. Моделирование вероятностным КА
Аналогично случаю, описанному в параграфе 2.1, при недетер-минированной диспетчеризации входных заявок с вероятностью p1<1 перехода по оптимальной дуге (00)→(10) и вероятностью p2=1–p1>0 перехода по неоптимальной дуге (00)→(01) введём детерминирован-ную диспетчеризацию выходных заявок: q1=1, q2=0. Орграф перехо-дов НКА K(S,A) дан на рис. 2.5, матрица переходов – в табл. 2.9.
Рис. 2.5. Орграф переходов НКА K(S,A) с двумя стохастическими дугами (00)→(10) и (00)→(01)
Таблица 2.9.
Матрица переходов НКА K(S,A) с двумя стохастическими дугами (00)→(10) и (00)→(01)
0 1
(00) (00) (10) (01) p1 p2
(01) (00) (11) (10) (00) (11) (11) (10) (11)
41
Тогда получим для a=a(n), s1=s1(n), s2=s2(n) табл. 2.10 стохастиче-ских уравнений состояний.
Таблица 2.10.
Таблица истинности стохастических булевых функций s1(n+1) и s2(n+1) НКА K(S,A) с двумя стохастическими дугами (00)→(10) и (00)→(01)
a(n) s1(n) s2(n) s1(n+1) s2(n+1) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 0 1 p1 p2 p1 p2
1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
Отсюда получим нелинейные нестационарные рекурсивные сто-хастические булевы функции в правой части уравнений состояний НКА K(S,A) с двумя оставшимися недетерминированными перехода-ми (00)→(10) и (00)→(01):
( )21
212121211 1
pp
ssasassasssans
⊕⊕⊕⊕=+ ,
(2.21)
( )21
21212 1
pp
asasasasns
⊕⊕=+ .
(2.22)
Из (2.21) следуют линейные детерминированные нестационарные необходимые, но не достаточные условия
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nsnapp
nsnansnansnsna 1
21
1111 1 ==+ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nsnapp
nsnansnansnsna 2
21
2212 1 ==+ ,
42
эквивалентные утверждению
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1111 121 =+⇒=∨= nsnsnansna ,
которое можно также усмотреть из сравнения соответствующих столбцов и строк табл. 2.10.
Аналогично, из (2.22) получим линейное детерминированное не-стационарное необходимое, но не достаточное условие
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nanspp
nsnansnansns 1
21
1121 1 ==+ ,
эквивалентное утверждению
( ) ( ) ( )nansns =+⇒= 11 21 .
Это равенство также легко усмотреть из сравнения соответствующих столбцов и строк табл. 2.10.
Вопросы и задания:
1. Составить граф и матрицу переходов вероятностного конечного
автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2;1,0), µ1>µ2. Диспетчеризацию входных заявок считать стохастической с задан-ными вероятностями, а выработку сигналов на освобождение при-боров детерминированной с условием: первым приходит сигнал на освобождение прибора 1.
2. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
2.6. СМО со стохастической диспетчеризацией и детерминированной выработкой сигналов
на освобождение приборов. Моделирование детерминированным КА
Избавимся от стохастичности дуг (00)→(10) и (00)→(01) с помо-щью изоморфного ДКА K(S,A3) со входным алфавитом A3={00,10,11}, обозначив буквой 00 сигнал выхода обработанной заявки (в том числе «холостой ход» при простое (00) системы), буквой 10 – сигнал прихода
43
входной заявки, которую может обслужить только канал 2 (в том числе отказ (01) при занятости этого канала или общий отказ (11) всей СМО), буквой 11 – сигнал прихода входной заявки, которую может обслужить только канал 1 (в том числе отказ (10) при занятости этого канала или общий отказ (11) всей СМО). Соответствующим образом заменим мат-рицу и граф переходов ДКА K(S,A3) (табл. 2.11 и рис. 2.6).
Таблица 2.11.
Матрица переходов ДКА K(S,A3)
00 10 11
(00) (00) (01) (10)
(01) (00) (01) (11)
(10) (00) (11) (10)
(11) (10) (11) (11)
Отметим отсутствие повторов входных сигналов в разметке дуг,
выходящих из одной вершины ДКА K(S,A3), в отличие от случая НКА K(S,A) (ср. рис. 2.5).
Рис. 2.6. Граф переходов ДКА K(S,A3)
Тогда уравнения состояний автомата K(S,A3) получим из табл.
2.12 при входном сигнале ( ) ( ) 32121 Aaanana ∈= .
44
Таблица 2.12.
Усечённая таблица истинности детерминированных булевых функций s1(n+1) и s2(n+1) уравнения состояний ДКА K(S,A3)
a1(n) a2(n) s1(n) s2(n) s1(n+1) s2(n+1)
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0
1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1
Отсюда получим рекурсивные нестохастические уравнения со-стояний
( ),)1(
12121
2122112112111211
nsssaa
ssassasssaasaaans
nn βα ⊕=⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕=+
(2.23)
( )nssaaaaans nn 22212112 )1( δγ ⊕=⊕⊕=+ , (2.24)
где ( ) ( )nanan 21:=α , ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nsnananan 2112: ⊕=β , ( ) ( )nanan 21:=γ , ( ) ( )nanan 21:=δ .
Из (2.14) и (2.15) окончательно получим явный вид уравнений состояний
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
( )
=∧
∧=⇒−∈∀∧≤←
=⊕=
=⇒∈∀←⊕
=+∑
∑−
= −
= −
;0
11,0
,1
,00
1 1
0
2112
10
1
m
k
m
t tn
kn
t tn
mknm
kskakaka
nks
ns
ββα
βα
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
=∧
=⇒
⇒−∈∀∧≤←
==⇒
⇒∈∀←⊕
=+
∑
∑
−
= −
= −
.01
1,0
,1
,00
11
0
21
20
2
m
k
m
t tn
k
n
t tn
mknm
kaka
nks
ns
δδ
γ
δγ
45
Из (2.14) следует необходимое, но не достаточное линейное
условие ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),1 21121 nanansnana =+ эквивалентное утверждению
( ) ( ) ( ) 111 121 =+⇒= nsnana , которое легко усмотреть из сравнения соответ-
ствующих строк и столбцов табл. 2.12. Аналогично, из (2.15) также получим необходимое, но не доста-
точное линейное условие ( ) ( ) ( ) ( )nansnsns 1222 1 =+ , эквивалентное утвер-
ждению ( ) ( ) ( )nansns 122 11 =+⇒= , которое легко усмотреть из сравнения
соответствующих строк и столбцов табл. 2.12.
Вопросы и задания: 1. Составить граф и матрицу переходов детерминированного конеч-
ного автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2;1,0), µ1>µ2. Диспетчеризацию входных заявок считать стохастической с заданными вероятностями, а выработку сигналов на освобождение приборов детерминированной с условием: первым приходит сиг-нал на освобождение прибора 1.
2. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
3. Составить граф и матрицу переходов детерминированного конеч-ного автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2,µ3;1,0,0), µ1>µ2>µ3. Диспетчеризацию входных заявок считать стохастической с заданными вероятностями, а выработку сигналов на освобождение приборов детерминированной с услови-ем: первым приходит сигнал на освобождение прибора 1.
4. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
5. Составить граф и матрицу переходов детерминированного конеч-ного автомата, соответствующего СМО сигнатуры T=T(µ1,µ2,µ3;0,0,0), µ1>µ2>µ3. Диспетчеризацию входных заявок считать стохастической с заданными вероятностями, а выработку сигналов на освобождение приборов детерминированной с услови-ем: первым приходит сигнал на освобождение прибора 1.
6. Составить СДНФ функций перехода автомата, описанного в предыдущем задании, и преобразовать их в полиномы Жегалкина.
46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящем учебном пособии изучены часто встречающиеся на практике системы массового обслуживания (СМО) с неоднородными приборами, имеющими разную производительность и/или раздельные очереди. Такой тип систем называется системами массового обслу-живания с различимыми приборами.
Известные пакеты имитационного моделирования дискретных систем либо вовсе не позволяют моделировать СМО с различимыми приборами, либо предоставляют чрезвычайно неудобные инструмен-ты для этого. Поэтому имитационное моделирование подобных си-стем в случаях больших размерностей невозможно как классически-ми пакетами прикладных программ (Simulink), так и языками сверх-высокого уровня (GPSS).
В настоящем учебном пособии описан новый инструментарий для имитационного моделирования СМО средствами детерминиро-ванных и вероятных конечных автоматов.
Пособие может использоваться в учебном процессе по дисципли-нам «Математическая логика» и «Дискретная математика» для спе-циальности (направления) «Прикладная математика и информатика».
47
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Артамонов Г.Т., Брехов О.М. Аналитические вероятностные модели функ-ционирования ЭВМ. – М.: «Энергия», 1978. – 368 с.
2. Ефросинин Д.В., Рыков В.В. К анализу характеристик производительности СМО с неоднородными приборами // Автоматика и телемеханика. – 2008, № 1. – С. 64–82.
3. Котенко А.П., Букаренко М.Б. Аналитическое описание систем массового обслуживания с использованием колец вычетов // Труды VII Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». – Самара: Изд-во СамГТУ, 2010. – С. 136-140.
4. Шахбазов А.А. Обслуживание приборами разной производительности // Ученые записки Азербайджанского университета: Серия: физико-математические и химические науки. – 1962, № 3. – С. 107-113.
5. Алиев Т.И. Основы моделирования дискретных систем. – СПб.: «ИТМО», 2009. – 363 с.
6. Карпов Ю.Г. Теория автоматов. – СПб.: «Питер», 2003. – 208 с. 7. Поспелов Д.А. Вероятностные автоматы. – М.: «Энергия», 1970. – 88 с.
48
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................................................................... 3 ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................. 4 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ................................................ 6 1.1. Системы массового обслуживания с неоднородными приборами и раздельными очередями .......................................................................................... 6 1.2. Диспетчеризация в СМО с неоднородными приборами и раздельными очередями ................................................................................................................... 11 1.3. Основные понятия теории автоматов............................................................... 12 1.4. Уравнения состояния конечных автоматов ..................................................... 15 2. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОДНОРОДНЫМИ ПРИБОРАМИ И РАЗДЕЛЬНЫМИ ОЧЕРЕДЯМИ КАК КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ .............................................. 20 2.1. СМО с детерминированной диспетчеризацией и недетерминированной выработкой сигналов на освобождение приборов. Моделирование вероятностным КА. ................................................................................................... 20 2.2. СМО с детерминированной диспетчеризацией и недетерминированной выработкой сигналов на освобождение приборов. Избавление от стохастичности и моделирование детерминированным КА. ........................... 24 2.3. СМО с детерминированной диспетчеризацией и детерминированной выработкой сигналов на освобождение приборов ................................................. 33 2.4. СМО со стохастической диспетчеризацией и стохастической выработкой сигналов на освобождение приборов ...................................................................... 36 2.5. СМО со стохастической диспетчеризацией и детерминированной выработкой сигналов на освобождение приборов. Моделирование вероятностным КА .................................................................................................... 40 2.6. СМО со стохастической диспетчеризацией и детерминированной выработкой сигналов на освобождение приборов. Моделирование детерминированным КА ........................................................................................... 42 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... 46 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ......................................... 47
49
Учебное издание
КОТЕНКО Андрей Петрович
БУКАРЕНКО Максим Борисович
ДОКУЧАЕВ Александр Владимирович
Приложения математической логики
Используемое программное обеспечение Microsoft Office 2003
В авторской редакции
Подписано к использованию 21.12.15
Объем издания 1 Мб Тираж 10 CD-R. Рег. № Е8/15
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Самарский государственный технический университет» 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус
