1関係 (relation)

集合Ａの要素 a とＢの要素 b とが、ある条件Ｒを満たすとき「Ｒの関係にある」といい、 aRb と書く。

Ｒの関係にある要素の対 <a,b> の全体は 直積ＡＸＢの部分集合　　　　　　　　　　　と同一視できる。

例：二つの実数の関係 　　は，集合　　　　　　　　　　　のことである。

yxyxyx ,,, RR

x

y 別の例： グー

チョキパー

, , , aRbBbAaba

Ver. ２

このように “ ,” で区切って書くときには「かつ」 (and) の意味になる。

2

n 項関係 x と y が関係 R を満たす、つまり のとき、良く と書く (infix notation) 。これは二項関係。 集合ＡからＢへの関数 f ( 写像 ) のグラフは、直積　　　の部分集合であり、一つの二項関係である。Ａの要素 a の関数 f による像 f(a) は A と A の間の関係を A 上の関係ともいう。

前出の例題「ジャンケンの関係」 3 項以上の関係もある。

例 : a 氏が b 氏に c というメールを出した <a,b,c> 例 : 夫 a と妻 b には子供 c がいる <a,b,c>

BA

Ryx ,yRx

. ,1 )( Aaaf

3二項関係の性質 二項関係　　　　　においては、次の性質が基本的

反射律 推移律 対称律 反対称律

関係Ｒが反射律を満たすとき、Ｒは反射的という。 例： Ｎ上の大小関係　は反射的、推移的、反対称的 平面上の二直線の平行関係は反射的、推移的、対称的

AAR

)( xRxAx

) ( yxxRyyRxAyAx

)( zRxzRyyRxAzAyAx

)( xRyyRxAyAx

∀x すべての x

4同値関係 (equivalence relation)

反射的、推移的、対称的な関係を同値関係という 例：平面上の直線の間の「平行関係」二つの三角形が「合同である」「相似である」 例：自然数 m, 整数 x, y に対して　　　　　　　　　　 例：関数 が与えられた時　　　　　に対

して 例：自然数の上の等号（＝）　

)(| def

yxmyx m x と y は m を法として合同BAf : Aba ,

)()(~def

bfafba

5同値類 集合 A 上の同値関係 R とが与えられたとき

　（ x の属する同値類）x と R の関係にある y の集合

x を代表元という 集合 A の任意の同値関係 R に対して、

R の定める同値類の全体の集合は A の直和分割＊。逆に A の任意の直和分割は A のある同値関係の定める同値類の全体の集合に一致する。

yRxyxRdef

][

＊直和分割：　集合 A を、互いに交わらない（空でない）集合の和集合として表すことができる意味。

6商集合 A の R による分割，商集合

例： ３を法として合同な整数

の集合 Z の商集合

は

集合 A から、 A の R による商集合　　への写像 f

を　　　　　により定義すると、この f は全射。

A から への標準的な (canonical な ) 全射という . 。

RA /

3/ Z

AxxRRA ][/def

]}2[],1[ ],0{[

RA /

RA /

][)( aRaf

7関係の合成 集合 A 上の関係の合成（積ともいう）

合成の繰返しをベキ乗として定義する

（ idA : A

上の恒等関係）

)},,(,{ 2121 | RzyRyxAyzxRR

},{0 AxxxR

)(1 N nRRR nn

8関係の閉包 推移的閉包 (reflexive closure)

反射推移的閉包 (reflexive transitive closure)

推移的閉包は推移的である。反射推移的閉包は反射的かつ推移的である。 性質： R が推移的であれば、 R+=R である。

1n

nRR

RRRRn

n 0

0

* ,

9関係と隣接行列

関係の合成は行列の積の０でない成分に対応

a b

d c

)}10{(

0000100001100010

AA,R

2

0000000011100110

0000100001100010

0000100001100010

R

有向グラフ (directed graph) a b c dabc

d

この a, b, c, dは注釈であり、行列の一部ではない

10

Google のページランク 基本的な仕組は数学的グラフの行列による表現　隣接行列（推移行列、遷移行列）固有値と固有ベクトル

0111100001000010

GCSW

GCSW

行列の上と左の W, S, C, G は注釈であり行列に含まれない

に辺がないから頂点頂点０に辺があるから頂点頂点jiji1

ija

W 大学S 学部 C 学科

G 研究室WEB ページのリンクの関係

次回の予告

11隣接行列と閉包 隣接行列の定義

隣接行列の性質 行列 Rnの (i,j) 成分は、 aiから ajに至る長さ n の

相異なる道の数。（道のことを経路ともいう） 行列 R* の (i,j) 成分が０でないとき、 aiから ajに

至る道がある。到達可能。（長さ０の道もあり）

ji

jiij aRa

Raar

if0

if1R を否定している斜線

12二項関係と順序 ()

次の三つの性質を満たす二項関係 を半順序 (partial order) という。半順序集合を poset という。 反射律 推移律 反対称律

さらに次の性質も満たすとき全順序 (total order) という。全順序を線形順序 (linear order) ともいう。

単に順序という場合には半順序のことを指す。

)( xxx

)( yxxyyxyx )( zxzyyxzyx

)( xyyxyx 論理記号 or

13順序集合 N, Z, R ：数の大小関係　 これは自明な順序。 複素数の集合 C ：ここには自明な順序がない。 文字 (a ～ z, A ～ Z) の集合：それほど自明でない。 単語（文字列）：自明でない。 学校の成績：いろいろな計算法があり自明でない。 {red, green, blue} : 関係の定義が必要。 部分集合の間の順序：包含関係⊂は順序である。

{{ }, {red}, {green}, {blue}, {red,green}, {red,blue},{green,blue}, {red,green,blue}}

C や学校の成績にも特定の要素間には順序あり。

,A

14順序集合（部分集合、直積） 集合 A とその上の半順序 の組 < A, > のこと。

A の上の順序 が明示されていたり、自明な場合には、単に A と書く。 例：集合 A に対して (2A, ) は順序集合。 例：順序集合の直積を順序集合にする方法は複数通り考えられる

直積順序：　 辞書式順序： lexicographic order

''',', * yxyxyyxx BA

)''( ',',

yxyxyxyyxx

BA

Al

15順序集合（ N, 関数） N の自明な順序ではない順序がある。

例： m | n （ m は n の約数という二項関係）これは順序である。ただし全順序ではない［演習のヒント］反射的、推移的、反対称的。

B が順序集合のとき、関数 f , g A B の間の順序を B 上の順序を使って定義できる。 ))()(( xgxfxgf B

16狭義の順序 狭義の順序を、以下の二つの性質を満たす関係として定義する。

推移的： 非反射的：

演習： R を狭義の順序とする。二項関係 R* を次のように定義すると、 R* は順序になる。))(( xxx

)( zxzyyxzyx

yxxRyyxR *

（詳しい説明は省略）

否定 not

17

A の各要素 a, b に対して平面上の点 Pa , Pbをとる。 a<b の時、 Pbを Paよりも Y 座標を大きな位置に描く。

b が a の直後の要素であるとき、 Paと Pb

とを線分で結ぶ。この線分上には Pa , Pb以外の点は描かない。

ハッセ (Hasse) の図式

18直前の要素、直後の要素 順序集合 (A, ) において xA が aA の直後の要

素 (successor) であるとは、次の性質を満たすこと。

同様に、直前の要素 (predecessor) を定義できる。

例： n ( N, n 0) の直前の要素は n 1 例 ： a (Q) の 直 前 の 要 素 は 存 在 し な い 。

順序集合 (A, ) が稠密（ちゅうみつ）であるとは、任意の a, bA に対して a<b ならば必ず a<c<b となる c が存在することである。 Q は稠密。

)( xzazxax

)( xzxzaxa

19

ハッセ (Hasse) の図式の例

全順序 比較不能

{red,blue}{red,green}

{blue}{green}{red}

{red,green,blue}

{ }

{green,blue}

20擬順序 (quasi-order, preorder)

反射律と推移律を満たす関係（反対称律は満たさなくてよい）を擬順序という。 　　　　　　　　　　　で定義される関係 ~ は同値関係になる。商集合 A/~ の上の二項関係　　　　　　　　　は順序になる。

Jane(100)Smith(92)

Tom(85)Mary(85)

Pat(80)Bob(77)

xyyxyx ~

baba ~]*[][ *

別の例：2222

,,

vuyx

vuyx

21最大と極大 順序集合 (A, ) と、その部分集合 B がある。 Bの要素 b が次の性質を満たすとき、 b を B の最大元という。 ∀ x∈B ( x b )

maximum B の要素 b が次の性質を満たすとき、 b を B の極大元という。 ∀ x∈B ( b x ⇒ x=b )

maximalx y

z w

u

最大元が存在すれば、それが極大元。最大元は存在すれば一つ。極大元は複数個が存在することがある。最小元＝極小元

極大元（２つある）