７．自己相関とパワースペクトル

• 相関（correlation）：たとえば２つの属性ＸとＹが測定されたとき一般に

　ＸとＹの関係を相関と呼ぶ

• 相関の大小は

• X=Y=0のときには，相関度は

†

X - X ( )Â Y -Y ( )

†

XYÂ

自己相関関数と 気的推定法

延回路

乗算回路

自己相関係数・関数

• 相対的な相関度

• 自己共分散係数

• 自己相関係数・関数：自己共分散係数を正 化

†

rx = E yx

È

Î Í ˘

˚ ˙ =E xy[ ]E x 2[ ]

; ry = E yx

È

Î Í ˘

˚ ˙ =E xy[ ]E x 2[ ]

, r =E xy[ ]

E x 2[ ]E y 2[ ]†

E x[ ] =1N

xmm= 0

N-1

Â

†

r j =

xmm= 0

N-1

 xm + j

xm2

m= 0

N-1

Â=

c(t)c(0)

†

C t,t( ) = E x(t)x(t + t)[ ]

スペクトルとは？

• プリズムを通過する太 光から分 された７色• 太 光線は白色光（white）：連続変化• 各メーカから出された野菜ジュースの成分• 複 な組織をもつものを単純な成分に分 し，その成分を，特 づけられるある量の大小の順に並べる

• 頻度分布もある種のスペクトル

パワースペクトル

• パワー：２乗

• 関数の標本値xmの２乗平均

• 先に示したとおり,これを有限複素フーリエ係数で表すと,パーセヴァルの定理から

• 通常は,これに波の継続時間T=Nδtを乗じて

• フーリエ振幅スペクトルと同様の意味を持つ→位相情報を含まないことに注意。すなわち,時間ↄを移動しても不変(invariant)

†

1N

xm2

m= 0

N-1

Â

†

1N

xm2

m= 0

N-1

 = Cn2

n= 0

N-1

 = C02

+ 2 Cn2

n=1

N / 2-1

 + CN / 22

†

xm2

m= 0

N-1

 Dt = T C02

+ 2 T Cn2

n=1

N / 2-1

 + T CN / 22

自己相関関数とパワースペクトルの関係

• （自己共分散係数の数列）のフーリエ変換を求めると

• 自己共分散のフーリエ変換は平均パワーの各成分に対応している。

†

1N

R jj= 0

N-1

 e-i(2pnj / N )

=1N

e- i(2p 2mn / N ) 1N

xmm= 0

N-1

 xm + j

È

Î Í

˘

˚ ˙

m= 0

N-1

Â

=1N

xmm= 0

N-1

 1N

xm + jj= 0

N-1

 e-i(2pnj / N )

=1N

xmm= 0

N-1

 1N

xm + jj= 0

N-1

 e-i(2pn(m + j ) / N ) e- i(2p (-n )m / N )

=1N

xmm= 0

N-1

 e-i(2p (-n )m / N ) 1N

xm + jm + j= m

N-1+m

 e-i(2pn(m + j ) / N )

= C-nCn = Cn2

• 自己共分散係数は平均パワーのフーリエ逆変換

• T=NDTを一定に保ったまま，N->∞にすると

• これの積分範囲を拡張すると

• これをフーリエ変換すると

†

R j = Cn2ei2pnj / N

n= 0

N-1

Â

†

R(t) =1T

x(t)x(t + t )dt-T / 2

T / 2Ú

†

R(t) =1T

x(t)x(t + t )dt-•

•

Ú

• パワースペクトル（G(ω)）：パワースペクトル密度関数ともửう）と自己相関関数（R(τ)）はお互いにフーリエ変換の対をなしている。

†

R(t)e-iwt dt-•

•

Ú =1T

x(t)x(t + t)dt-•

•

ÚÈ

Î Í ˘

˚ ˙ -•

•

Ú e- iwt dt

=1T

x(t)-•

•

Ú x(t + t )e- iwt dt-•

•

Ú[ ]dt

=1T

x(t)-•

•

Ú x(t + t )e- i( t +t )dt-•

•

Ú[ ]eiwtdt

=1T

x(t)-•

•

Ú F(w)[ ]eiwtdt =1T

F(w) x(t)-•

•

Ú eiwtdt =1T

F(w)F(-w) = F(w) 2

†

G(w) = R(t )e- iwt dt-•

•

Ú

R(t) =1

2pG(w)eiwt dw

-•

•

Ú

G(w) =1T

F(w) 2

：パワースペクトル

：自己相関関数

相互相関関数• ２つ以上の時系列データがある（例えば，入力と出力）

• ２つの不ᶉ則変動，x(t),y(t)の相関性を調べる.

• まずは，相互相関関数

• 次に，相互相関係数

†

Cxy t( ) = E x(t)y(t + t)[ ]

†

Rxy t( ) =E x(t)y(t + t)[ ]E x(t)2[ ]E y(t)2[ ]

クロススペクトル

• 自己相関⇔パワースペクトル• 相互相関⇔クロススペクトル

相互相関とクロススペクトル

• x(t)とy(t)の相関性を調べる。• 相互相関の性−• 相互相関はそれぞれの変動の２乗平均値をүえない。

• 相関を有する２つの時系列の例を挙げよ。• 入力地震動と建物の応答• 降ѿ量と流出量• 栄養の量(t)とCO2発生量(t)

クロススペクトル

• 自己相関関数とパワースペクトルの関係のように，クロスでも：

†

G(w) = R(t )e- iwt dt-•

•

Ú

R(t) =1

2pG(w)eiwt dw

-•

•

Ú

G(w) =1T

F(w) 2

†

Sxy (w) = Rxy (t)e-iwt dt-•

•

Ú

Rxy (t ) =1

2pSxy (w)eiwt dw

-•

•

Ú

Sxy (w) =1T

x(w) y(w)e-iq xy (w ), qxy (w) = qx (w) -qy (w)

クロススペクトルの性

†

Sxy -w( ) = Syx w( )Sxy -w( ) = Sxy

* w( )Sxy

* w( ) = Syx w( )

回転フーリエス成分スペクトル

• X(w),Y(w)をベクトル表示してみるまず

Yについても同様であるので

†

X(w) = X(w)eiq x (w )

†

x(t) = X(w)eiwtdw = R X(w)eiwtdw-•

•

Ú[ ]-•

•

Ú

= X(w)cos wt + qx w( )( ) dw-•

•

Ú

†

X * w( )Y w( ) = X w( )e- iq x w( ) Y w( )e-iq y w( ) = X w( ) Y w( )e-iq xy w( )

†

Sxy w( ) =2pT

E X * w( )Y w( )[ ] =2pT

E X w( ) Y w( )e-iq xy w( )[ ]

コスペクトルとクオドスペクトル

†

Sxy w( ) = Kxy w( ) - iQxy w( )

Sxy w( ) = Kxy w( )2+ Qxy w( )2

†

Kxy w( ) = Kxy -w( )Qxy w( ) = -Qxy -w( )

：偶関数：奇関数

宿題

コヒーレンスとフェイズ

• クロススペクトルは複素数であるので，不便• 実 （コヒーレンス）とḅ （フェイズ）とで表現

• コヒーレンス　２つの信号のフーリエ周波数成分の相互相関係数

• フェイズ　２つの変動の時間 れを表す。†

coh2 w( ) =Sxy w( )

2

Sxx w( )Syy w( )=

Kxy2 w( ) + Qxy

2 w( )Sxx w( )Syy w( )

†

qxy w( ) = tan-1 Qxy w( )Kxy w( )

Ê

Ë Á Á

ˆ

¯ ˜ ˜

†

tw =qxy w( )

w

確率密度スペクトル

• 時間波形• ゼロークロス法，ピーク法：波の周期性に着目

• 確率密度分布：波の振幅に着目– スクリーンを通過した光の濃淡