熱核の情報幾何学とShannonのエントロピー

伊藤光弘（筑波大学大学院数理物質科学研究科）

佐藤弘康（筑波大学大学院数理物質科学研究科）

日本数学会 2008年度秋季総合分科会平成 20年 9月 25日

東京工業大学

はじめに熱核写像

(X, g) ϕt−−−−−−−→ (P(X),G)完備 Riemann多様体 X 上の正値確率測度の全体，

Fisher情報計量 G

主定理¶ ³(Xn, g)：調和的 Hadamard多様体

=⇒熱核写像は相似的; ϕ∗t G = C(t) g．

さらに，(X, g)が Damek-Ricci空間ならば

C(t) =1n∂

∂tϕt(x)の Shannonのエントロピー

.µ ´(1)

熱核熱核 H(t, x, y) : 熱方程式の基本解 ;与えられた f ∈ C∞(X)（初期条件）に

たいして(∂∂t + ∆

)u(t, x) = 0, u(0, x) = f (x)の解は

u(t, x) =∫y∈X

H(t, x, y) f (y) dv(y)

で与えられる．

熱核写像 ϕt : X 3 x 7−→ H(t, x, y) dv(y) ∈ P(X)

• H(t, x, y) ∈ C∞(R+ × X × X)，H(t, x, y) = H(t, y, x) > 0

•(∂∂t + ∆x

)H(t, x, y) = 0

• limt→∞ H(t, x, y) dv(y) = δx(y)：Dirac測度• H(t + s, x, y) =

∫z∈X H(t, x, z) H(s, z, y) dv(z)

(2)

調和性と強調和性調和的 ：次のいずれかの条件を満たす;

1. 各点 p ∈ X にたいし，pの正規座標近傍 U と U\p上の動径的調和関数 f (x) = φ(d(p, x))が存在する．

2. 各点 p ∈ X の近傍で定義された任意の調和関数 f にたいし，平均値の定理が成立する; f (p) = 1

Vol(S (p;r))

∫S (p;r) f dµS (p;r).

3. 各点 p ∈ X にたいし，pを中心とする正規座標系に関する体積密度関数ωp =

√det(gi j)が動径関数 ωp(x) = ω(d(p, x))となる．

強調和的 : 熱核が動径的関数; H(t, x, y) = H(t, d(x, y)).

• 強調和的 =⇒調和的．多様体が単連結ならば，強調和的⇐⇒調和的．

(3)

定理の証明• ϕ∗t G(v, v) =

∫y∈X

(v log H(t, x, y)

)2 H(t, x, y) dv(y) (v ∈ TxX).

• (X, g)は単連結，調和的．よって強調和的．

v log H(t, x, y) = ∂H∂r (t, r) · (−〈v, u〉).

dv = Ω(r)dr dµS n−1(1).（Ωは x ∈ X の選び方によらない）

以上のことから

ϕ∗t G(v, v) =∫ ∞

0

(∂H∂r

(t, r))2

Ω(r) dr∫

u∈S n−1(1)〈v, u〉2dµS n−1(1).

右辺は v ∈ TxX に依らないことから，ϕ∗t G = C(t) gと書ける．

（証明おわり）

(4)

相似定数 C(t)

• n C(t) = traceg(ϕ∗t G

)=

∫y∈X| gradx log H(t, x, y)|2H(t, x, y) dv(y)．

• 強調和性より，| gradx log H(t, x, y)| = | grady log H(t, x, y)|．

• 熱方程式より，| grady log H(t, x, y)|2 =(∆y +

∂∂t

)log H(t, x, y)．

traceg(ϕ∗t G

)=

∫y∈X

(∆y +

∂

∂t

)log H(t, x, y) · H(t, x, y) dv(y)

=

∫y∈X∆y log H(t, x, y) · H(t, x, y) dv(y) +

∫y∈X

∂

∂tH(t, x, y) dv(y)

=

∫y∈X

log H(t, x, y) · ∆yH(t, x, y) dv(y)←Damek-Ricciのとき OK

=∂

∂t

(−

∫y∈X

log H(x, t, y) · H(t, x, y) dv(y))

Shannonのエントロピー(5)

Shannonのエントロピー; −∫

X p(x) log p(x) dx

• コイン投げの例；表が出る確率が pのとき

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

• Poisson核写像と Shannonのエントロピー

n traceg(ϕ∗G) = ∆(−

∫∂X

P(x, θ) log P(x, θ) dθ).

(6)

さいごに• 相似定数 C(t)の挙動（tに関して単調非増加？）

• n次元 Euclid空間の熱核 : H(t, x, y) = (4πt)−n/2 exp(−|x − y|

2

4t

)– 相似定数 : C(t) =

12t

– Shannonのエントロピー : H(ϕt(x)) =n2

(log(4πt) + 1

)• Li-Yau’s gradient estimate; (X, g)を Ricci曲率が非負の完備 Riemann多様体とする．このとき，熱方程式の解 u(t, x)は

|∇u|2u2 +

1u∂u∂t≤ n

2t

(=⇒ 1

ntraceg(ϕ∗t G) ≤ 1

2t

).

(7)