الباب الأول النسبة و التناسب : - WordPress.com · Web view10 – من بيانات الجدول الآتي أوجد معامل الإرتباط الخطى

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد

اإلحتمــــــــــالالعشوائية : التجربة

ال ولكن ، إجرائها قبل الممكنة نواتجها جميع معرفة نستطيع تجربة هى فعال سيحدث الذى الناتج تحديد يمكن

العينة : فضاءهو عناصرها عدد و العشوائية للتجربة الممكنة النواتج جميع مجموعة هو

ف ) (نالعينة فضاء على : أمثلة

الظاهر :(1) الوجه مالحظة و واحدة مرة نقود قطعة إلقاء تجربة { = ، ص ۲ = ف ) (نحيث { : كف

(۲) " مرة متمايزتين نقود قطعتى متتالتين مرتين نقود قطعة إلقاء تجربةواحدة "

الكتابات : و الصور ظهور تتابع مالحظة و ( ) ( { = ، ص ، ص ، ص ، ( ) ك، ( ) كف ص ۲ = ف ) (نحيث( { : ك ، ك،

۲ =4 نقود " (3) متمايزة قطع ثالث متتالية مرات ثالث نقود قطعة إلقاء تجربة

واحدة " مرةالكتابات : و الصور ظهور تتابع مالحظة و

( ) ( { = ، ص ، ص ، ص ، ص ، ص ، ( ) كف ص ، ( ) ك، ص ، ص ك، ( ) ك، ك،ص ( ، ص ،، ك، ) ص ص ( ) ك، ك، ( ) ك، 3۲ = ف ) (نحيث( { : ك ، ك، ك،

=8 الوجه (4) على الظاهر العدد مالحظة و واحدة مرة نرد حجر إلقاء تجربة

العلوى :6= ف ) (نحيث { : 6، 5، 4، 3، ۲، 1ف = }

واحدة " "(5) مرة متمايزين نرد حجرى متتالتين مرتين نرد حجر إلقاء تجربةالعلوى : الوجه على الظاهرة األعداد مالحظة و

( { 6، 6، ) 0000، ( ۲، 1، ( ) 1، 1ف = } ) 36= ۲ 6= ف ) (نحيث :

اآلتية: : تدريبات العشوائية التجارب من لكل العينة فضاء أكتبب " " " " " (1) بيضاء ، س سوداء ، ح حمراء كرات ثالث على يحتوى صندوق

كرتان" منه سحبت ،قبل الصندوق إلى اوال المسحوبة الكرة إعادة مع األخرى تلو الواحدة

لونى مالحظة و الثانية الكرة سحبالمسحوبتين الكرتين

الحلـــــــــــف =

الثانوية اإلحصاءالعامة

4

۲

۲

1

13

3

4 5

5

6

6


تتابع (۲) مالحظة و للجرى سبلق فى ع ، ص ، س متسابقين ثالثة إشتراكالسباق لنهاية وصولهم

الحلـــــــــــف =

األحداث العينة : الحدث فضاء من جزئية مجموعة هو

كان : فإن : افإذا ف فى ف e احدثهو : عناصره عدد الحدث ( ا )نو وقوع فرص عدد اأى

كان: مثال ف رقم ا إذا ظهور حدث مرة هو منتظم نرد حجر إلقاء عند زوجىالرقم ومالحظة واحدة

فإن : العلوى الوجه على { 6، 4، ۲ = } االظاهرأن : ف g {6، 4، ۲= } االحظ

المستحيل * الذى: = "Т " الحدث الحدث وقوعه هو يمكن الالمؤكد * الممكنة : الحدث النواتج كل له الذى الحدث هوال * أولى :بسيطالحدث حدث يسمى و واحد عنصر من يتكون حدث هوال * غير :مركبالحدث حدث يسمى و عنصر من أكثر من يتكون حدث هو

بسيطالمتنافيان الحدث* هما : :ان أن أى معا وقوعهما يمكن ال حدثان هما

تقاطعهما = Тحدثان: مالحظة

مثنى مثنى متنافية تكون العينة فضاء فى البسيطة األحداث : تدريب

الوجه على الظاهر العد مالحظة و واحدة مرة نرد حجر إلقاء تجربة فىاألحداث من كال أكتب العلوى

حدث : كل نوع مبينا اآلتيةمن (1) أكبر عدد ظهور 6حدث

على (۲ ) القسمة يقبل عدد ظهور 5حدث

على (3 ) القسمة يقبل عدد ظهور 3حدث

يساوى (4 ) أو من أكبر عدد ظهور 1حدث

زوجى (5 ) عدد ظهور حدث

فردى (6 ) عدد ظهور حدث

من : كل فى الحدثين بين العالقة (6)، (5)ما



اإلحتمال : مسلماتكان : أى ا إذا ما عشوائية لتجربة العينة فضاء أحداث من ف e احدثا

الحدث : إحتمال يأتى ( " : ال " ) افإن ما يحقق حقيقى عدد هو = ( =ال ) (1)

ل : ) 1 ≥ ( ال ) ≥ 0حيث : ، g [ 0 ( اأى 1 ]

عن : يزيد ال موجب حقيقى عدد هو حدث أى وقوع إحتمال أن أىالصحيح الواحد

ف ) ( = ( ۲ ) المؤكد : = 1ل الحث إحتمال أن 1أىصفر ( = : = Тل ) ( 3 ) المستحيل الحدث إحتمال أن أى صفركان : ( 4 ) فإن : اإذا عينة فضاء من متنافين حدثين ب ،

صفر= ب ( ا بال ل ) ل ) ب ( ل ) ( +ا ل= ) ب (ا بآل ،

ف( : = } 5 ) كان فإن : { نا، 000، 3ا، ۲ا، 1اإذا1 ( = نال ) 000 ( + 3ال ( + ) ۲ال ( + ) 1ال )

كان : ( 6 ) ، اإذا عينة فضاء من حدثين ب فإن : e ا، ب( ا ل= ) ب (ا بال ل )

ب ( ل= ) ب (ا بآل ل ) ،

: تدريبالوجه على الظاهر العد مالحظة و واحدة مرة نرد حجر إلقاء تجربة فى

من كال إحتمال أوجد العلوىحدث : كل نوع مبينا اآلتية األحداث

من (1) أكبر عدد ظهور 6حدث

على (۲ ) القسمة يقبل عدد ظهور 5حدث

على (3 ) القسمة يقبل عدد ظهور 3حدث

يساوى (4 ) أو من أكبر عدد ظهور 1حدث


ن ف) (

(ا ) نفضاء عناصر عدد

العينة

عناصر عددا الحدث


زوجى (5 ) عدد ظهور حدث

األحداث : على العمليات

الرمزية اللفظية الصورة الصورة

( ل )( +ا ل= ) ب ( ا بآل ل ) ل –ب ب (ا بال )

الحدث وقوع ب اإحتمال الحدث أوالحدثين كال وقوع إحتمال

على الحدثين أحد وقوع إحتمالاألقل

لب( – ) ل+ ( ا ل )= ب ( ا بال ل )ب ( ا بآل )

ب اوقوع إحتمال ووقوعهما معاإحتمال

ا وقوععدم إحتمال(ا ل – )1( = / ا ل )( ب∩ ا ل– )( ا ل )( = ب –ا ) ل( ب∩ ا ل– )( ا ل )( = / ب∩ ا )ل

فقط اوقوع إحتمالب اوقوع إحتمال وقوع عدم و

ب) – ( – )ال ل ( = ) ب ( ب∩ ا ل( – )ب∩ /ا)ل ل( = ) ب ( ب∩ ا ل

فقط إحتمال ب وقوعوقوع إحتمال عدم و ب اوقوع

ب – ) – 1( = / ببآل ال ) (الب – ) – 1= / (اب) – ل (ال

فقط إحتمال ب وقوع عدمب عدمأو اوقوع إحتمال وقوع

ب – (ال – )1( = ببآل /ال)ب (– ال – )1 = /ب – (ا )ل

فقط إحتمال أ وقوع عدموقوع وقوع إحتمال عدم أو اب

(ب ∩ ال – )1 ( = /ببآل /ال)(ب ∩ ال – )1= / (ب ∩ ا )ل

على إحتمال واحد حدث وقوعوقوع إحتمال األكثر و اعدم

معاب (ببآل ال – )1( = /ب∩ /ال )

(ببآل ال – )1= /(ببآل ا)ل

على إحتمال أحدهما وقوع عدموقوع إحتمال األقل أو اعدم

ب(]ا – ب)بآل ( ب –ا ل[)

( )ا ل= (ب ∩ ا) ل ۲ب( – ل( + أحدهما إحتمال فقطوقوع

وقوع فقطب أو اإحتمال


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائداآلخر دون أحدهما وقوع إحتمال

: تدريب ف اكان إذا من حدثين ب ما ، عشوائية لتجربة عينة كان : ضاء و

( ) ، 0.68( = /ب )ل ، 0.43( = ا ل : أوجد 0.3( = ب ∩ ال ل( ) ب )ل ل( ) /ب∩ /ا، (اب – ،

الحلـــــــــــــــــ A (ب ل – )1= ( /ب )ل B ( ب ل) = ( /ب )ل – 1 = A ( ب∩ /ال/ ) = ( ل )( +ا ل )[ – 1 = (ببآل ال – )1 ب ( ]ا بال ل ) –ب

=

A – (ب ( – )ال ل ( = ) ب ( ب∩ ا ل B – (ب ( =ال

تمارين

مرتين ألقيت – 1 منتظمة نقود على :إحتمالأوجد نمتتاليتيقطعة الحصولفقط صورة – ا األكثر واحدةكتابة – بواحدة على

متتالية ألقيت – ۲ مرات ثالث منتظمة نقود ظهور : أوجدقطعة إحتمالصورتين صورة – ا أو واحدة – بواحدة األقل علىصورة

يلعب – 3 األندية أحد كان تعـــادلـه 30إذا إحتمـــال وكان الدوري في مباراةمن عــدد هو في 0.3المباريات

هو المباريات من عدد في فوزه التي 0.5وإحتمال المباريات عدد أوجدالدوري في النادي هذا يخسرها

علي – 4 يحتوي و 4صندوق بيضاء و 9كرات سوداء حمراء 7كرات كراتأوجـــد منه عشوائيا كرة أختيرت

المختارة : الكرة تكون أن ب –اإحتمال حـ –بيضاء حمراء ليستحمراء – أو سوداءعلى كيس – 5 بيضاء 8يحتوى حمراء 6، 8إلى 1من مرقمةكرات كرات

من ة كر سحبت 14إلى 9مرقمةالمسحوبة :عشوائيا الكرة تكون أن إحتمال أوجد منهأوليا تحمل –ا عددا – ب عددا مربعاتحملفرديا – جـ عددا وتحمل أو – ء بيضاء عددا تحملحمراء

زوجيا به – 6 وجد الشباب بيوت أحد حول دراسة منهم ۲8في دول عدة من شخصا7 ، السودان فرنسا من 1۲من

،4 ، الهند أن 5من إحتمال اوجد عشوائيا منهم شخص اختير البرازيل منالشخص : يكون


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدمن * ** *** ليس الهند أو السودان من فرنسا من

البرازيل بين – 7 من بطاقة من 30سحبت مرقمة أن 30إلي 1بطاقة إحتمال اوجد

عددا تحمل المسحوبة البطاقة تكونعلي : * القسمة ويقبل القسمة ** 5زوجيا يقبل

5أو 3علي بين – 8 من بطاقة من 40سحبت مرقمة أن 40إلي 1بطاقة إحتمال اوجد

عددا تحمل المسحوبة البطاقة تكونعلي : * القسمة القسمة ** 6أو 5يقبل يقبل

6و 5علي من 8به صندوق – 9 مرقمة بعد بطاقتانسحبت 8إلى 1بطاقات واحدة

إحتمال أوجد اإلحالل مع ن أاألخرىالعدديين –ا : يكون بين المطلق مجموع – ب 3الفرق

من أقل 8العدديينمن 10بين من – 10 مرقمة الواحدة بطاقتانسحبت 10إلى1بطاقات عشوائيا

أوجد األخرىبعد اإلحالل مععددا إحتمال البطاقتين على العدديين مجموع يكون زوجياأن

منهما صندوقان – 11 من 4بكل مرقمة من سحبت 4إلى1كرات عشوائيا كرةأن إحتمال احسب منهما يكونكل

العدديين –ا: المطلق – ب أوليا عليهمامجموع الفرق ۲عليهما

ولوحظ ألقى – 1۲ متتاليتين مرتين منتظم نرد الوجه العددحجر على الظاهرإحتمال في العلوي أوجد مرة : كل

مختلفين الحصول –ا عدديين مجموع – ب علىمن العدديين أقل 8الظاهرين

ولوحظ ألقى – 13 متتاليتين مرتين منتظم نرد الظاهر العددحجرالوجه مرة العلويعلى كل فى

إحتمال أو مجموع –ا : أوجد من أكبر 7يساوى العدديينالعدديين يكونأن – ب من 4أحد أقل 8والمجموع

ولوحظ ألقى – 14 متتاليتين مرتين منتظم نرد الوجه العددحجر على الظاهرإحتمال أوجد مرة كل فى : العلوى

متساويين الحصول –ا عدديين الفرق – ب علىأوليا عددا العدديين بين المطلق

األرقام } من – 15 عدد{ 6، 5، 4، 3، ۲مجموعة و منكون مختلفين رقمينعلى الحصول إحتمال أوجد

فردى رقم –ا رقم – ب العشرات أولىاآلحاد

رقم – جـ أو فردى العشرات أولى اآلحادرقماألرقام } من – 16 من{ 4، 3، ۲، 1مجموعة عدد أوجد رقمينكون و مختلفين

اآلتيـــــــة األحداث إحتمالزوجيين رقمى –ا والعشرات –ب اآلحاد

فرديين والعشرات اآلحاد رقمى


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدزوجى – جـ واآلخر فردى أحدهما والعشرات اآلحاد رقمى

مرتين ألقى – 17 نرد العلوى متتاليينحجر الوجه على الظاهر العدد ولوحظكان فإذا مرة كل افى

حد هو الحصول هو ب ، األولى فى منه الثانية الرمية فى أكبر عدد علىيكون أن حدث

( ، ( ال) أوجد : 8من أقل الظاهرينالعدديين مجموع ( ب ال ) ، ل ب– (

يحمالن صمم – 18 فيه وجهان يكون بحيث نرد يحمالن ۲ العددحجر وجهان ، العدد 4 العدد يحمالن وجهان ، كان ألقى 6 فإذا متتاليتين مرتين الحجر العدد هو اهذا ظهور ۲ حدثب في ، األولى أن هوالرمية حدث

بين يكون المطلق هو الفرق ( ب بآل ال ) ، ( ب ∩ ال): أوجد ۲ العددين، ( ( /ب∩ /ا ل

)اكان إذا – 19 ل ، ف من حدثين ب )، 8 #؛( = /ب )ل ، 4 !؛( = ا ، ( =ب ∩ ال : أوجد 8!؛

( ل ب ) – ، ( /ب∩ /ال ) ، ب) (ال)اكان إذا – ۲0 ل ، ف من حدثين ب ( = ل، 0.7( = ا، )0.4ب) ل 0.3( = ب∩ ا،

أوجد : ب ) ، ( /ب∩ /ا)ل (ا– ل

)اكان إذا – ۲1 ل ، ف من حدثين ب ( = ، 8 %؛( = /ا، ( ب )، 3 !؛ل ( =ب∩ ال : أوجد 4!؛

( /ب∩ /ال ) ، ب – ( ال ) ، ( ب بآل ا)ل من اكان إذا – ۲۲ حدثين ب )ف، ل ( = 0.3( = ا، ( ب ل ،0.5( ل 0.13( = ب∩ ا،

أوجد) ، ( /ا)ل ) ، (ب بآل ال ( /ب ∩ /ال

)اكان إذا – ۲3 ل ، ف من حدثين ب ( =0.7( = /ا، ( ب ل ،0.8( ل ( =ا، أوجد 0.1ب – ( ال[ ) ؛ (ب بآل ا[)ل (]ا– ب )بآلب –

)اكان إذا – ۲4 ل ف، من حدثين ب ( = ل ، 4 #؛( = ا، )، 8 %؛ب) ( = /ب ∩ /ال أوجد 8!؛

) ؛ ( /ب)ل (ب ∩ ال )إذا – ۲5 ل ف، من حدثين ب أ، ( = ل ، 4 #؛( = اكان )، 3 @؛ب) ( =ب – ال أوجد 8!؛

) ؛ /(ب بآل ا)ل ( /ب بآل /ال )اكان إذا – ۲6 ل ف، من حدثين ب ( = ، 4 #؛( = /بU /ا، ( ب ∩ /ا)ل ، 3 @؛لأوجد 4 !؛( = /ب

) ؛ ( ا)ل ( /ب ∩ال )ا كان إذا – ۲7 ل ف، من حدثين ب )، 2!؛4 !؛( = بU ا، ( = ال ا)ل ، 8 !؛ب -

د : أوج 4 !؛( = ب ∩( ؛ (ا )ل ( ب ) ، ل ( ب ∩ /ال

ل ا كان إذا – ۲8 ف، من حدثين ب )، 4 !؛( = /ب ∩ / ا (، ، 1 ؛2 !؛( = /ب ∩ال : أوجد 1 ؛2 %؛ ( =ب ∩ /ا)ل


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد( ؛ ( ا)ل ( ب ( ب ∩ا)ل ، ل

ف، اكان إذا – ۲9 من حدثين ب )ب U ا، ل = ، ( = 0. ۲( = /اف ( ب ل أوجد 0.5،

)ب ∩ ا)ل ل( ( ب∩ /ا؛ف، اكان إذا – 30 من حدثين ب ، = ب U ا، ( = ، 5 @؛( = ا)لف ( ب 1 ؛0 &؛ل

أوجد) ؛ ( ب ∩ ا)ل ( ا– ب )ل؛( ب -ال

)اكان إذا – 31 ل ، ف من متنافيين حدثين ب ( = 0 . ۲7( = ا، ( ب ل ،0.35 )أوجد ) ، /(ب ∩ ال ( /ب∩ /ال

)ا كان إذا – 3۲ ل ، ف من متنافيين حدثين ب ( = 0.37( = ا، ( ب ل أوجد 0.15،) ؛ ( ب U ا)ل ) ؛ (ب∩ ال ( /ب∩ /ال

)اكان إذا – 33 ل ، ف من متنافيين حدثين ب ( = ل ، 8 !؛( = ا، أوجد 8 #؛ب)) ؛ ( ب بآل ا)ل ) ؛ (ب –ال ( /ب بآل /ال

)اكان إذا – 34 ل ، ف من متنافيين حدثين ب ( = ل ، 2 !؛( = ا، أوجد 3 @؛ب)ب ) – ، ( /ا)ل (ب بآل /ا)ل ، (ال

) اكان إذا – 35 ل ، ف من متنافيين حدثين ب )، 2 !؛( = ب بآل ا، !؛ب( = –ال أوجد 8

( ؛ ( ا)ل ( ب ) ، ل ( /ب بآل /ال ) اكان إذا – 36 ل ، ف من متنافيين حدثين ب )، 5 #؛( = ب بآل ا، ( = –ال !؛ب أوجد 2

( ؛ ( ا)ل ( ب ( /ب بآل/ال) ، لبحيث اكان إذا – 37 ف من متنافيين حدثين ب )3( = ا)ل ۲، ) ( ل ، ب ( =ب بآل ال أوجد 4#؛

( ، ( ا)ل ( ب ) ، ل ب ( /لبحيث اكان إذا – 38 ف من متنافيين حدثين ب )4( = ا)ل 3، ) ( ل ، ب ( =ب بآل ال

أوجد 6%؛)ا)ل ) ( ل( ، ب ل ( /ا،

)اكان إذا – 39 ل ، ف من حدثين ب أوجد 4 !؛( = /ب ∩ /ا)ل ؛ 5 #؛( = ا،(ل كان : ب) إذا

متنافيين ا * حدثين ب ب ا * ،)اكان إذا – 40 ل ، ف من حدثين ب أوجد 3 !؛( = ب بآل ا)ل ؛ 4!؛( = ا،

) ب) كان : ل إذامتنافيين ، ا * حدثين ب ا * ب

من اكان إذا – 41 حدثين ب )ف، ل ( = 0.4( = ا، ( ب ل ،0.8( ل أوجد 0.3( = ب∩ ا، إحتمال

األقل وقوع* على واحد وقوع * حدث ا الحدثينعدممعا ب ،

)اكان إذا – 4۲ ل ، ف من حدثين ب )، 4 #؛( = /ب)ل ، 2 !؛( = ا، ( =ب ∩ ال إحتمال أوجد 8!؛

الحدثين وقوع* فقط االحدث وقوع* كال


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد)اكان إذا – 43 ل ، ف من حدثين ب ( = 0.6( = ا، ( ب ل ،0.7( ل أوجد 0.4( = ب∩ ا،

إحتمالاألكثر وقوع* على الحدثين أحد وقوع * أحد

اآلخر دون الحدثين، اكان إذا – 44 ف من حدثين ب ( = 0.7( = / ا)ل، ( ب ل ،0.8( ل أوجد 0.1( = ب – ا،

إحتمالاألقل وقوع* على واحد الحدثين وقوع * حدث أحد

فقط )اكان إذا – 45 ل ، ف من حدثين ب ( = ل ، 5 !؛( = ا، )، 4 !؛ب) !؛( = ب∩ ال إحتمال أوجد 2 ؛0

فقط وقوع* الحدثين الحدثين* أحد وقوع عدم معا

) اكان إذا – 46 ل ، ف من حدثين ب ( = ، 0.6( = ا، ( ب ) 0.5ل ل 0.7( = /ب بآل / ا، إحتمال أوجد

األقل وقوع* على واحد أ الحدث وقوع * حدث فقط

)اكان إذا – 47 ل ، ف من حدثين ب )، 9 $؛( = ب ∩ ا)ل ، 9 &؛( = ب بآل ا، ( /ال الإحتم أوجد 3 !؛=

فقط وقوع* ب وقوع * الحدث أحدهماعدماألقل على

ما االعبان يصوب – 48 هدف نحو واحد وقت فى ب أن فإذا، إحتمال كانالالعب هو ايصيب ، 5@؛ الهدف

يصيب إحتمال هو أن الهدف ب أن ، 4!؛ الالعب الالعبان يصيبإحتمالهو معا أوجد 6!؛ الهدف

الهدف إحتمال* إصابة* إصابة الهدفإحتمالالالعب فقط امن

أن يصوب – 49 إحتمال كان فإذا ما هدف نحو األول الجندي يصيبجنديانهو أ 0.83الهدف إحتمال يصيب ن،

هو الثاني الجندي هو 0.74الهدف معا الهدف الجنديان يصيب أن إحتمال ، د أوج 0.65الهدف إحتمال * عدم * إصابة إحتمال

الهدف إصابة

إحتمال يطلق – 50 كان فإذا ثعلب على النار الصياد إصابةصيادان من الثعلبهو إحتمال 0.5األول ةإصاب،

الصياد الثعلب الصيادين 0.65هو الثانيمن من الثعلب إصابة إحتمال ، هو إحتمال 0.35معا أوجد

األقل* على أحدهما من الثعلب إصابة* إصابةفقط أحدهما من الثعلب

ما االعبان يصوب – 51 هدف نحو واحد وقت فى ب إصابة فإذا، إحتمال كانمن هو االهدف إحتمال 3 ؛0&؛ فقط


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدهو فقط ب من الهدف معا الهدفصابة إإحتمال ، 1 ؛2!؛ إصابة منهما الهدف إصابةإحتمال أوجـد 6!؛ هو إحدى 50 تقدم – 5۲ لشغل أن الوظائف شخصا اللغة منهم35فوجد يجيدون

، يجيدون ۲0 اإلنجليزية اللغةمنهم ، عشوائيا 15الفرنسية منهم شخص أختير معا اللغتين يجيدون منهمالشخص يكونأن إحتمالأوجد هذا

إلنجليزي اللغتين ، فقط ةيجيدا إحدى على ، فقطيجيد اللغتين إحدى يجيد األقل

البرامج فى – 53 أحد لمشاهدة إحصائية أن الثقافيةدراسة وجد التلفاز فىوزوجته زوج يشاهد أن معاإحتمال

هو 0.35هو البرنامج البرنامج فقط الزوج يشاهد أن إحتمال ،0.4، تشاهد أن أن 0.5هو البرنامج الزوجةإحتمال إحتمال تشاهد * : أوجد

البرنامج فقط الزوجةالبرنامج * يشاهد منهما األقل على واحداآلخر* دون أحدهما البرنامج يشاهد

به فصل – 54 منهم 40دراسى نجح فى 17طالبا ، إمتحانطالبا ۲0الفلسفة ، التاريخ إمتحان فى طالبا

أوجد طالب 5 عشوائيا منهم طالب أختير معا االمتحانين فى منهمالطالب يكون أن المختارإحتمال

الفلسفة ناجحا* فى * فى فى* التاريخناجحا ناجحا األقلعلى االمتحانينأحد

به فصل – 55 منهم 30دراسى يمارسون 15طالبا ؛ النشاططالبا 1۲الرياضىالفنى طالبا النشاط يمارسونأن 5 إحتمال أوجد عشوائيا طالب منهم اختير معا النشاطين يمارسون

الطالب يمارس المختاريكونفقط النشاط* يمار * الرياضى يمارس* نشاطاى سالالنشاطي األكثرعلى نأحد

فوز ب، ا العبينثالثة أشترك – 56 إحتمال كان فإذا السباقات إحدى فى جـ ، ، فوز إحتمال 2 !؛ = ا ب

فوز ۲ = افوز إحتمال إحتمال أوجد جـ فوز واحد اإحتمال بأن علما جـ أو الفائز هوفقط

فوز االعبينثالثة أشترك – 57 إحتمال كان فإذا السباقات إحدى فى جـ ، ب ، ، ضعف = ا ب فوز إحتمال

ب = إحتمال جـ إحتمالفوز بأن فوربإحتمال أوجدفوز علما جـ أوالفائز هو فقط واحد

فوز ا العبينثالثة أشترك – 58 إحتمال كان فإذا السباقات إحدى فى جـ ، ب ، ، إحتمال 3 = ا ب فوز

جـ = إحتمال فوز إحتمال 3 !؛فوز إحتمال أوجد ب بأن أو ا فوز علما جـالفائز هو فقط واحد

ف = } إذا – 59 ل{ 4 ا ، 3 ا ، ۲ ا ، 1 اكان كان ل( ۲ ا ) ل 3( = 1 ا ) ، ( = 4 ا) ل ۲( = 3 ا) ، 8!؛

( 3 ا بآل ۲ ا ) ل ؛ ( 1 ا )ل أوجد


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد) 4 ا ،3 ا ، ۲ ا ،1 اف = } كان إذا – 60 ل{ كان )۲( = 1 ا، )3 ال ل( )۲( = ۲ ا، 4 !؛( = 4 ال

أوجد)1 ا)ل ل( ( 4 ا بآل 3 ا؛

حيث إذا – 61 عشوائية لتجربة النواتج فضاء ف وكان { : ا = } فكان جـ ، ب ،

أوجد 2 %؛، = 3 *؛ =

نرد – 6۲ حجر إلقاء تجربة الظاهرة 100فى األوجهه على األعداد سجلت مرةكآلتى : النسبة وكانت

الوجه على العدد1۲3456العلوى

اإلحتمال0.140.170.30.180.16المقابل

ظهور : أوجد إحتمال أوجد أولى* زوجى عدد* ثم عددأولى* فردى عدد* زوجى عدد

أحد – 63 في تليفون بمكتب دقيقة خالل التليفونية المكالمات عدد سجلتكاآلتي : وكانت األيام

المكالمات من 01۲345عدد 5أكثر

اإلحتمال0.040.150.180.190.150.11المقابل

اآلتية : أوجد األحداث من كل إحتمال دقيقة خالل أوجد ثم

من * أكثر األقل ** ***3وقوع علي مكالمة وقوع مكالماتاألكثر علي مكالمتين وقوع

األيام – 64 أحد في المعارض أحد زوار عدد موزعين 1۲0بلغ زائراأن إحتمال أوجد الزوار أحد عشوائيا أختير فإذا بالجدول كما

أجنبعربىى

مجموع

481664ذكر3۲۲456أنثىمجمو

80401۲0ع

ف = } إذا – 65 عشوائية { 5 ا ، 4 ا ، 3 ا ، ۲ ا ، 1 اكان لتجربة نوانج فضاء وكانهى ، 4 !؛( = ۲ ال)

)}، 2 !؛ {( = 4 ا ، 3 ا)}ل )}، 1 ؛2 &؛{( = 5 ا ، 4 ال )أوجد 4 !؛ {( = 5 ا ، 3 ال (1 ال وجهان ، ا – 66 يكون بحيث أ الحجر صمم نرد حجرا ،۲الرقم يحمالنب

الرقم يحمالن وجهان 4وجهان ،الرقم 6الرقم يحمالن يحمالن وجهان يكون بحيث ب الحجر صمم ،1؛

يحمالن وجهان، 3 الرقموجهان


حـ ) ( لحـ ) ( /ل

المختار : الشخص يكونالذكور * من

األجانب ** مناألجانب*** الذكور من

من **** أو الذكور من

(ال ) ( /ال )

ب ) ل)

ل ( /ب)

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدالرقم إحتمال : 5يحمالن أوجد معا الحجران ألقى ،للحجر الرقم* العلوى الوجه على على االظاهر الظاهر الرقم من أكبر

العلوى ب للحجرالوجهالعلويين = الفرق* الوجهين على الظاهرين الرقمين بين 1المطلق

)اكان إذا – 67 ل وكان ف من حدثين ب )ا، ب( = ل ، [ – )، 4 #؛( = /س ف U ال س أوجد 3 @؛(] =ب

متنافيان ا : * كان إذا ب ا ب * ،، إذا – 68 ل ، ع ص، ، س لستة ن، مكانت وكان أنواعترمز األدوية من

كل افيتامين تركيب فى منيدخلالدواء األدوية تركيب فى يدخل الحديد مركب ، ع ، ص ، فيتامين س ، س

فى يدخل من كل تركيبب، األدوية أن ن، م ل إحتمال أوجد بينهما من عشوائيا واحد دواء أختير

هذا فى الدواءيكون تركيب يدخلب: * أو * الحديد * فيتامين ب افيتامينفيتامين * الحديد اال الحديد* وال و ب افيتامين * فيتامين

الحديد ب أوأو فيتامينمع – 69 يتناسب وجه أي ظهور إحتمال يكون إلقائه عند بحيث نرد حجر صمم

الوجه هذا الظاهرعلي العدداآلتية : األحداث إحتمال أوجد

أولي * ** زوجي عدد ظهور فردي عدد ظهورإحتمال صمم – 70 يكون إلقائه عند بحيث نرد فردى = ظهورحجر 2 !؛عدد

زوجى إحتمال عدد أوجدظهورأولى عدد ظهور إحتمال

إحتمال صمم – 71 يكون إلقائه عند بحيث نرد األعداد ظهورحجر من ،۲، 1كلإحتمال 5، 4، 3 ، متساو

ظهورالعدد 6العدد ظهور إحتمال أمثال ثالثة إحتمال 1يساوى أوجدعدد زوجىظهور

كان – 7۲ أن :اإذا فإثبت عشوائية تجربة من أحداث ثالث حـ ، ب ، حـ ( = بآلب بآل ال )

حـ ( + ) ( + ) ( ال ) ل ب ب ) –ب ( ∩ا ل )–ل حـ ) –حـ ( ∩ل ال( + ) ا ∩لحـ ( ∩ب ∩

علي – 73 يحتوي كرتان 6كيس ، زرقاوان كرتان ن حمراوان كرتان متماثلة كراتسحبت فإذا بيضاوان

المسحوبتان : * الكرتان تكون أن إحتمال أوجد الكيس من عشوائيا كرتاناللون نفس لهما

المسحوبتين ** الكرتين إحدي تكون أنبيضاء

من – 74 يتكون منهم 30فصل ، ./.60ولد طبية نظارات منهم ۲0يلبسون ./.30بنتانظارات يلبسون


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدبنتا يكون أن إحتمال فما الفصل هذا من شخص أختيرعشوائيا فإذا طبية

طبية نظارة يلبسن ممنكان – 75 ف اإذا علي إحتمال دالة ل ، ف نواتج فضاء من متنافيين غير حدثين ب ،

بحيث : ب ) 0 ( ال ) ( /ب ∩ ال ) ل ( )/ل أن ب ) ( 0 ( ال )ب ( ∩ اإثبت ل

كان – 76 فإذا المقابل فن شكل يمثلها مجموعات ثالث ع ، ص س، ۲ع ( = ∩ص ) ن، 3ص ( = ∩س ) ن، Zع = ∩س

عنصر يكون : بآل ص بآل س g كأختير أن إحتمال أوجد عس ( –ع ) g كص ( ** –س ) g ك * ع ( ]بآلس ) –ص [ g كص ( ** بآلس ) g ك *

العشوائى المتغيرالثانوية اإلحصاء

العامة

عصس3۲

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدالعشوائى : المتغير

: ، ما عشوائية لتجربة عينة فضاء ف كان األعداد ححإذا مجموعةالحقيقية

دالة : أى حح ←ف : سسفــــإن معرفا عشوائيا متغيرا تسمىف على

الوثاب " " ، المنفصل المتقطع العشوائى : المتغيرالحقيقية األعداد من محدودة مجموعة مداه عشوائى متغير هو

: فمثال العشوائى المتغير كان إذا متتالتين مرتين نقود قطعة إلقاء تجربة فى

أن : سس نجد الصور عدد عن يعبر ( ) ( { = ، ص ، ص ، ص ، ( ) ك، ( ) كف ص ( { ك ، ك،

العشوائى : المتغير مدى أن { ۲، 1، 0= } سسأى

اإلحتمالى : التوزيعكان : المجموعة } سسإذا مداه متقطع عشوائى ، 1متغير ۲ ، 3 ،

000 ، ن } د : : } كاآلتى المعرفة د الدالة ، 1فإن ۲ ، 3 ، 000 ، حح ← { ن

د : ) ن، 000، 3، ۲، 1 = رلكل (ر = ل ( = )رحيثالعشوائى للمتغير اإلحتمالى بالتوزيع يسمى ما يعبر و سستحدد الذى

المرتبة األزواج بمجموعة عنهد الدالة لبيان المحددة

: مالحظات الشرطين : (1 ) تحقق د الدالة

ن، 000، 3، ۲، 1 = رلكل 0 ( ر د ) – 1 1 ( = ند + )000 ( + 3د ( + ) ۲د ( + ) 1د )– ۲

توزيعا تكون أن تصلح الشرطين هذين تحقق دالة أى وعشوائى لمتغير إحتماليا

هو } سسمتقطع ، 1مداه ۲ ، 3 ، 000 ، ن العشوائى (۲ ) للمتغير اإلحتمالى التوزيع بالصورة : سسيكتب

( { 1 ( د ، 1 ( ) ) ، ۲ ( د ،۲ ) ) ،000( ، د )ن ،ن } ) )

: فمثال العشوائى المتغير كان إذا متتالتين مرتين نقود قطعة إلقاء تجربة فى

أن : سس نجد الصور عدد عن يعبرالعشوائى المتغير 4 = ف ) (ن،{ ۲، 1، 0= } سسمدى

د ) د ) 4 !؛( = ۲، د )2 !؛( = 1، 4!؛( = 0،العشوائى للمتغير اإلحتمالى الجدول : سسالتوزيع من يعطى


ر 1 ۲ 3 000 ن (ند )000 ( 3د ) ( ۲د ) ( 1د ) ( رد )

0 1 ۲ – 1 – ۲

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد۲10 4!؛ 2!؛ 4!؛ (د )

للمتغير المعيارى اإلنحراف و الحسابى الوسطالمتقطع العشوائى

كان عشوائى سس إذا لهذا متغير إحصائية دراسة أى فإن إحتمالى توزيع لهعلى التعرف على تعتمد التوزيع

هما : اإلحصائية المقاييس من مقياسين المركزية المتغير: النزعة هذا قيم عندها تتمركز التى القيمة هى و

العشوائى حول: التشتت العشوائى المتغير قيم تتشتت مدى أى إلى يبين هو و

المركزية نزعتهأحد هو التباين ، المركزية النزعة مقاييس أحد هو الحسابى الوسط

المعيارى اإنحراف كذلك و التشتت مقاييس

المعيارى اإلنحراف و التباين و الحسابى :الوسطكان : المجموعة } سسإذا مداه متقطع عشوائى ، 1متغير ۲ ، 3 ،

000 ، ن } د ) د ( ) 1بإحتماالت ،۲ ( ) د ، 3 ) ،000( د ،فإن ( : ن الترتيب على

الحسابى ( ر د ) 0 ر ( = µالتوقع " " ) الوسطأن : ( ند )ن000 + ( + 3د ) 3 0( + ۲د )۲ 0( + 1د ) µ = 1 0أى

σ: ) التباين ۲ = ) رµ – ( ر د ) 0 ۲ ۲

المعيارى σ) ] ( = σ : ) اإلنحراف ۲::: :):

اإلختالف اإلنحراف : معامل و الحسابى الوسط من كل وحدات إختلفت إذااإلختالف معامل نستخدم المعيارى

المجموعتين تشتت بين للمقارنة

اإلختالف = 100 × معامل

: مثالالعشوائى للمتغير اإلحتمالى التوزيع يلى ما عدد سسفى عن يعبر الذى

نقود قطعة إلقاء لتجربة منتظمة الصورلهذا المعيارى اإلنحراف و الحسابى الوسط أحسب متتالية مرات ثالث

اإلختالف معامل أوجد ثم التوزيعالحلــــــــــ ر( د ر ) 0 ر( د ر ) ر

( ر د ) 0 ۲800!؛ 08#؛8#؛ 8#؛ 1!؛8@؛ 8^؛ 8#؛۲


محــــ

ــ

ن1 = ر

محــــ

ــ

ن1 = ر

الوسط الحسابى

اإلنحراف المعيارى

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد8(؛ 8#؛8!؛3

3 = @؛8$؛ 1 2 !؛ = !؛8@؛

التوقع : " " ) الحسابى الوسط الجدول 1 2 !؛ ( = µمنالتباين = المعيارى 4 #؛= ۲ (1.5 ) – 3، اإلنحراف ،=

0.87= 4#؛ ]

اإلختالف = × معامل ،100 = ۲9

تمارين

مرات فى – 1 مرات ثالث نقود قطعة إلقاء المتغير متتاليةتجربة كان إذاعن يعبر ( عددالكتابات) العشوائى

العشوائى أوجد للمتغير اإلختالف معامل ؛ الحسابى سسالوسطمرات فى – ۲ مرات ثالث نقود قطعة إلقاء المتغير متتاليةتجربة كان إذا

عن يعبر العشوائىالكتابات) ( عدد - عدد المعيارى اإلنحراف أوجد الصور

مرات فى – 3 مرات أربع نقود قطعة إلقاء المتغير متتاليةتجربة كان إذاعن سسالعشوائى يعبر

الصور ) - ( عددعدد المعيارىاإلنحراف أوجدالكتابات منهما صندوقان – 4 من 3بكل مرقمة عشوائيا 3 إلى 1كرات كرة سحبت

صندوق كل المتغير وعرفمنالعددين سس العشوائى ضرب حاصل على بأنه الكرتين المكتوبين

أوجد ا التوقعلمسحوبتينمنهما صندوقان – 5 من 5بكل مرقمة عشوائيا سحبت 5 إلى 1 كرات كرة

صندوق كل المتغير وعرف منعلى سس العشوائى المكتوبين العددين بين المطلق الفرق بأنه

اإلنحراف أوجد المسحوبتينالكرتين المعيارى

كان ألقى – 6 فإذا متتاليتين مرتين نرد يعبر سسالعشوائى المتغيرحجرالعددين بين الفرق مقياس عن

المعيارى الظاهرين اإلنحراف أوجدنرد صمم – 7 الرقم بحيثحجر منه وجهان الرقم 1يحمل منه وجهان ،3 ،

الرقم منه هذا 5وجهان ألقىالعشوائى الحجر المتغير وعرف متتاليتين مجموع سسمرتين بانه

التوقع الظاهرينالعددين اوجدمداه } متغيرا سسكان إذا – 8 متقطعا ل{ 3، ۲، 1، 0عشوائيا (=0) بإحتماالت=0.1

ل ، ( =1) = ۲ . 0 ، ل ( =3) =0.4 ل المعيارى( =۲) أوجد اإلنحراف أوجد ثممداه }متغيرا سسكان إذا – 9 متقطعا كان { ۲، 1، ۲ –، 3 – عشوائيا ،

) ( = – 3) ل ) 2 !؛ = ( =۲)ل ، 8 !؛ = ( = – ۲ل= ل أوجد( =1أوجد ثمالمعيارى اإلنحراف


30.87

6ك

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد)عشوائيامتغيرا سسكان إذا – 10 د بالدالة يحدد اإلحتمالى توزيعه متقطعا= ) حيث

= 1 ، ۲ ، اإلختالف ك قيمة أوجد 3 معامل أحسب ثم)عشوائيامتغيرا سسكان إذا – 11 د بالدالة يحدد اإلحتمالى توزيعه (متقطعا =

، = 0 ، ۲ حيث المعيارى ك قيمة أوجد 3 اإلنحراف أحسب ثم)عشوائيامتغيرا سسكان إذا – 1۲ د بالدالة يحدد اإلحتمالى توزيعه متقطعا= ) حيث

= 1 ، التباين ك قيمة أوجد 3 ، ۲ أحسب ثم)عشوائيامتغيرا سسكان إذا – 13 د بالدالة يحدد اإلحتمالى توزيعه (متقطعاحيث =

= 0 ، 1 ، ۲ ، قيمة 3 اإلختالف ك أوجد معامل أحسب ثمبالدالة سسكان إذا – 14 يحدد اإلحتمالى توزيعه متقطعا عشوائيا ()دمتغيراحيث =

= 0 ، 1 ، ۲ ، قيمة 3 التباين ك أوجد أحسب ثمبالدالة سسكان إذا – 15 يحدد اإلحتمالى توزيعه متقطعا عشوائيا ()دمتغيراحيث =

= – 1 ، 0 ، 1 ، قيمة ۲ التباين ك أوجد أحسب ثممداه } سسكان إذا – 16 متقطعا عشوائيا { ۲، 1 ، 0 ، 1 –، ۲ –متغيرا

قدرها ، بإحتماالت

، ؛ أوجد على، ك قيمةالترتيب

المعيارى اإلنحراف ؛مداه } سسكان إذا – 17 متقطعا عشوائيا قدرها{ 7، 3، 1، 0متغيرا بإحتماالت

، ؛ قيمة على، أوجد اإلنحراف؛ ك الترتيبالمعيارى

مداه } سس – 18 متقطع عشوائى كان{ ۲، 1 متغير μالحسابى الوسطفإذا ،( = 1) ل فإوجد 4 %؛=

اإلختالف( = ۲) ل معامل ؛مداه } سس – 19 متقطع عشوائى كان{ 3 ، ۲ متغير μالحسابى الوسطفإذا ،( = ۲) ل فإوجد !؛4 !؛=

اإلختالف( = 3) ل معامل ؛مداه } سس – ۲0 متقطع عشوائي ، امتغير ب 4ب> > احيث { 7، 5، 4،

توزيعه اإلحتمالي وكانلكل ) ( = س د بالدالة س ) > >g كيعطي ب ل كان فإذا س مدي

5) = 0.6

من كال قيمة التباين اأوجد أحسب ثم ب ،


10ك

9 + ك

9 1+ ك

+ 1ك ۲

+ ۲ك

15 ۲ –ك

15 1 –ك

15 ك

15 1 + ك

15 ۲ + ك

6 1 –ك

3 1 –ك

۲4 ك

1۲ +ك ۲

1

۲0 ك

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدكان – ۲1 بالجدول سسإذا مبين اإلحتمالى توزيعه متقطع عشوائى متغير

أوجد المعيارى كالتالى اإلنحراف ، 1۲46ر0.1ك0.3 0 . ۲ ( ر د )

كان – ۲۲ بالجدول سسإذا مبين اإلحتمالى توزيعه متقطع عشوائى متغيرأوجد المعيارى مالتالى اإلنحراف ، 1۲34رم 3م 4م ۲م ( ر د )

توزيعه سسكان إذا – ۲3 متقطع عشوائى بالجدول اإلحتمالىمتغير مبينأوجد كان االتالى إذا ب ،μ = 3 ثم

المعيارى اإنحراف إحسب ا1۲4ر0.40.1ب0 . ۲ ( ر د )

توزيعه إذا – ۲4 متقطع عشوائى متغير س بالجدول اإلحتمالىكان مبينأوجد كان االتالى إذا ب ،μ = ثم 5 *؛

المعيارى اإنحراف أحسب 01۲34ر2 ؛5@؛ 2 ؛5$؛ 2 ؛5^؛ با ( ر د )

توزيعه سسكان إذا – ۲5 متقطع عشوائى بالجدول اإلحتمالىمتغير مبينأوجد كان ك، مالتالى μ = 3إذا

المعياري انحراف أحسب ثم 4ك0۲رم 5م ۲م ۲م ( ر د )

وسطه عشوائي متغير – ۲6 معامل ۲5وتباينه 44 الحسابيمتقطع أوجداإلختالف

الحسابى متغير – ۲7 وسطه متقطع 56له اإلختالفومعامل ۲5عشوائىالتباين أوجد

المعيارى متغير –۲8 إنحرافه متقطع له ومعامل 6عشوائى أوجد 8اإلختالفالحسابى الوسط

وجد – ۲9 القدم كرة العبي من مجموعة وأوزان أعمار بين العالقة بحث عندأعمارهم متوسط ۲1. 6أن

معياري أوزانهم ۲. 4بإنحراف متوسط اإلختالف 72وأن معامل وكاننصف مساويا األوزان لهذه

هذه ألوزان المعياري اإلنحراف فإوجد ألعمارهم اإلختالف معاملالمجموعة

المستمر " " المتصل العشوائى المتغيرالمتصل العشوائى : المتغير

الحقيقية األعداد من مغلقة أو مفتوحة فترة مداه عشوائى متغير هوالمتصل اإلحتمالى : التوزيع

كان الفترة [ سسإذا مداه متصل عشوائى د ] امتغير الدالة ، ب ، د : [ ب ] احيث حح ←،


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدتحقق : ) ب ] ا[ gلكل 0( د )( 1بحيث ،

تكون( ۲ ) بحيث متصل منحنى هو الدالة لهذه البيانى الشكلمنحنى أسفل المنطقة مساحة

فوق [ و الصحيح ] االدالة للواحد مساوية ب ،الكثافة : دالة

كان دالة سسإذا تسمى د الحقيقية الدالة فإن متصل عشوائى متغيرالعشوائى المتغير كان :سسكثافة إذا

محور ( = سس ال ) فوق و د منحنى تحت الواقعة المنطقة مساحة بفى ب ] ا[ السينات ،

حقيقين عددين لكل ذلك حيث ا و ب ب ا ،

: مثالكان هى : سسإذا له اإلحتمال كثافة دالة متصل عشوائى متغير

( = د )

ل : ) أن ل ) 6 = ) 1 1أثبت أوجد ( < 4ثم

الحلـــــــــــــد )0.3= 5!؛0 %؛( = 1د ) 0.1= 5 ؛0 %؛( = 6،

بالشكل ( = " " 6 1ل ) كما المنحرف شبه مساحة ( 1 – 6 ( × ) 0.1 + 0.3 × ) 2 !؛ = = 1

5 ؛0 (؛( = 4د )بالشكل " "= ( < 4) ل كما المنحرف شبه مساحة

( 1 – 4 ( × ) 0.18 + 0.3 × ) 2 !؛ = = 7۲. 0

تمارين

هى : سس كان ذاإ – 1 له اإلحتمال كثافة دالة متصال عشوائيا متغيرا


،1 6

صفر ذلك عدا فيما

5017 – ۲

1 ۲ 3 4 5 6

0.1۲ .0

0.30.4

( د )

1 ۲ 3 4 5 6

0.1۲ .0

0.30.4

( د )

،– 3 3


18 + 3


( =) د

ل حقق* ل * 1( = 3 3– ) أن ( 0) أوجد

هى : سس كان ذاإ – ۲ له اإلحتمال كثافة دالة متصال عشوائيا متغيرا

( =) د

د حقق* للمتغير ( ) أن كثافة * سس دالةل ( 3) أوجد


( =) د

ل حقق* ل * 1( = 4 0 ) أن ( 3) أوجد

متصال سس كان ذاإ – 4 عشوائيا : حيثمتغيرا

( =) د

د حقق* للمتغير ( ) أن كثافة ل* سسدالة ( 3 1 ) أوجد


( =) د

قيمة * ل* كأوجد ( ۲ 1 ) أوجد


( =) د

قيمة * ل* كأوجد ( 4 ۲ ) أوجدالثانوية اإلحصاء

العامة

،۲ 5


۲7۲ + ۲

،0 4


1۲ + 1

،1 5


403 + 1

، ك 0 ۲

عدا صفر فيماذلك

،۲ 7


30 ك – 15



( =) د

قيمة * ل* كأوجد ( 4 3 ) أوجد


( =) د

قيمة * ل* كأوجد ( 6 3 ) أوجد


( =) د

ل : ) كان ، < 3 = ) قيمة * 1 ؛2 &؛ ل* كأوجد ( ۲ ) أوجد


( =) د

( > 3ل )، ( < 5ل )، ( 6 1 ) لأوجد

اإلعتدالى " " الطبيعى التوزيعالطبيعى : التوزيع

عشوائى لمتغير توزيع مداه ] سسهو ، –متصل ] على تعتمد أسية دالة له اإلحتمال كثافة دالة القيمتين و

µ " ، الحسابى المعيارى " "σالوسط اإلنحرافالعشوائى المتغير هذه سسلهذا منحنى و

جاوس منحنى عليه يطلق و الطبيعى بالمنحنى يسمى الدالةالجرس شكل يأخذ و

الطبيعى المنحنى : خواصالسينات – 1 محور فوق بأكمله يقع و متصل المنحنى


،1 5


ك۲ + 3

5 ك،


1813 – ۲

م ك،

عدا صفر فيماذلك

۲4۲ + 3

4 1 ، 6 !؛

، 4< 6


1۲ – ۲

0

(د )

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدللمستقيم : – ۲ بالنسبة = µمتماثلعند – 3 واحدة قيمة = µلهفى ] – 4 ، –يتزايد µ [ [ فى يتناقص و ،µ ، [ يقطعاه – 5 أن دون السينات محور من طرفاه يقترب

المعيارى الطبيعى : التوزيعالحسابى وسطه طبيعى توزيع المعيارى = µهو إنحرافه و ، = σصفر

1

المعيارى الطبيعى المنحنى : خواصالسينات – 1 محور فوق بأكمله يقع و متصل المنحنىللمستقيم : – ۲ بالنسبة صفر = متماثلالمنحنى = – 3 تحت و السينات محور فوق 1المساحة

المستقيم متساويين صفر = و قسمين إلى المساحة هذه يقسممنهما = 0.5كل

الفترة – 4 فوق و المنحنى أسفل الواقعة المنطقة ب ] ا[ مساحة ، المتغير وقوع إحتمال عددا تمثل

ب ] ا[ فى سسالعشوائى أن : ، أىفوق ( = [ سس ال ) و المنحنى تحت الواقعة المنطقة مساحة اب

ب ] ،

المعيارى الطبيعى للمتغير اإلحتماالت : حسابكان وكان صصإذا ، معيارى طبيعى ب سص امتغير

المنحنى = ب ( سص ال )فإن : تحت الواقعة المنطقة مساحةفوق و المعيارى ب ] ا[ الطبيعى ،

فوق و المنحنى تحت تقريبية مساحة تعطى خاصة جداول تستخدم وى ] 0[ الفترة ،

تنتهى و الصفر من تبدأ قيما يأخذ موجب حقيقى عدد ى حيث 3. ۲بالعدد

أن : أىالمنحنى = ب ( سص ال ) تحت الواقعة المنطقة مساحة

فوق و المعيارى ى ] 0[ الطبيعى ،المقابل بالشكل كما

: مثالأوجد : المعيارى الطبيعى المنحنى تحت و المساحات جداول بإستخدام

سص 0 ل )( 3 ) ( 0.67 سص 0 ل )( ۲ ) ( 0.3 سص 0 ل )( 1 )۲ 5 . ۲)

الحلــــــــــــالمعيارى : الطبيعى المنحنى تحت المساحات جدول من جزء

00.0030.0040.0050.0060.0070.0080.009. 00.00100۲ى


0

(د )

با

0

(د )

ى

0

(د )


000.00400.008001۲0. 00.01600.01990۲39.

00۲79.

00.03190.0359

0.10.03980.04680.04780.05170.05570.05960.06360.06750.07140.0753

۲ .00.0793083۲ .00.08710.09100.09480.098710۲6. 00.10640.11030.1141

0.30.11791۲17 .01۲55. 0

1۲93. 00.13310.13680.14060.14430.14800.1517

0.40.15540.159116۲8. 00.16640.17000.1736177۲.

00.18080.18440.1879

0.50.19150.19500.1985۲019. 0

۲054. 0

۲088. 0

۲1۲3. 0

۲157. 0

۲190. 0

۲۲۲4. 0

0.6۲۲59 .0۲۲91 .0۲3۲4. 0

۲357. 0

۲389. 0

۲4۲۲. 0

۲454. 0

۲486. 0

۲518. 0

۲549. 0

000

1 .۲48۲1 .048۲6 .00.48300.48340.4838484۲. 00.48460.48500.48540.4857

۲ .۲0.48610.48640.48680.48710.48750.48780.48810.48840.48870.4890000۲ .30.49930.49930.49940.49940.49940.49940.49940.49950.49950.4995

0.1179 = ( 0.3 سص 0 ل )( 1 )مباشرة الجدول من

۲486. 0 = ( 0.67 سص 0 ل )( ۲ )

۲ سص 0 ل )( 3 ) 5 . ۲) = 0.4878

المعيارى : الطبيعى المنحنى تحت المساحات جدول إستخدام قواعد ملخص

موجب : ى ( سص 0 ل ) – 1 عدد ى حيثمباشرة الجدول من يكشف


0

(د )

0.3

0

(د )

0.67

0

(د )

۲5 .۲

0

(د )

ى

0

(د )

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد ى ( سص 0 ل ) = ( 0 سص ى –ل ) – ۲

موجب : عدد ى حيث

ى ( سص 0 ل ) – 0.5 = ى ( سص ل ) – 3موجب : عدد ى حيث

ى ( سص 0 ل ) + 0.5 = ى ( سص ل ) – 4موجب : عدد ى حيث

ى ( سص 0 ل ) + 0.5 = ى (– سص ل ) – 5موجب : عدد ى حيث

ى ( سص 0 ل ) – 0.5 = ى ( – سص ل ) – 6موجب : عدد ى حيث

= ء ( سص حـ ل ) – 7 حـ ( سص 0 ل ) – ء ( سص 0 ل )

ء : > حـ ، موجبان ء ، حـ حيث

ء ( سص حـ ل ) = حـ (– سص ء – ل ) – 8 حـ ( سص 0 ل ) – ء ( سص 0 ل ) =


= (ء سص حـ – ل ) – 9 حـ ( سص 0 ل ) + ء ( سص 0 ل )


ى ( سص 0 ل ) ۲ = (ى سص ى – ل ) – 10موجب : عدد ى حيث

: أمثلةكان (1) أوجد : صصإذا معيارى طبيعى ( 36 . ۲ سص ل )متغير


–ىى

0

(د )

ى

0

(د )

ى

0

(د )

– ى

0

(د )

– ى

0

(د )

حـء

0

(د )

حـ –ء – حـء

0

(د )

حـ – حـء

ى – ى0

(د )

0

(د )

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدالحلــــــــــ

بالشكل( = 36 . ۲ سص ل ) المظللة المنطقة مساحة ( 36 . ۲ سص 0 ل ) – 0.5 = = 0.5 – 0.4909 = 0.0091

كان (۲) أوجد : صصإذا معيارى طبيعى ( – 0.84 سص ل )متغيرالحلــــــــــ

بالشكل= ( – 0.84 سص ل ) المظللة المنطقة مساحة ( 0.84 سص 0 ل ) + 0.5 = = 0.5 + ۲005 .0 =0.7005

كان (3) أوجد : صصإذا معيارى طبيعى 4 سص 0.86 ل )متغير ۲ . 1 )

الحلــــــــــ 4 سص 0.86 ل ) بالشكل= ( 1 . ۲ المظللة المنطقة مساحة

4 سص 0 ل ) = ( 0.86 سص 0 ل ) – ( 1 . ۲ = 4۲۲۲ .0 – 0.3051 = 0.1171

كان (4) أوجد : صصإذا معيارى طبيعى 0.64 سص 1.13 – ل )متغير)

الحلــــــــــبالشكل= ( 0.64 سص 1.13 – ل ) المظللة المنطقة مساحة

( 0.64 سص 0 ل ) + ( 1.13 سص 0 ل ) = = 0.3708 + ۲389 . 0 =0.6097

كان (5) الحقيقى صصإذا العدد قيمة أوجد معيارى طبيعى متغيريحقق : الذى ى الموجب

0.4013 = (ى سص ل ) الحلــــــــــ

A سص ، 0.5 > 0.4013ى B ( سص ل ) 0.5 = ى – ( 0 ل سص ) 0.4013 = ى B ( 0 ل سص ) 0.0987 = 0.4013 – 0.5 = ى

الناتجة المساحة تناظر التى ى قيمة عن الجدول فى بالبحث وى : = أن 0 . ۲5نجد

كان (6) الحقيقى صصإذا العدد قيمة أوجد معيارى طبيعى متغيريحقق : الذى ى الموجب

0.8577 = (ى سص ل ) الحلــــــــــ

A سص ، 0.5 > 0.8577ى


36 . ۲

0

(د )

– 0.84

0

(د )

0.86 4۲ . 1

0

(د )

– 1.13 0.64

0

(د )

0

(د )

ى

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد B ( سص ل ) 0.5 = ى + ( 0 ل سص ) 0.8577 = ى B ( 0 ل سص ) 0.3577 = 0.5 – 0.8577 = ى

الناتجة المساحة تناظر التى ى قيمة عن الجدول فى بالبحث و B = 1.07ى

تمارينعشوائيا صصكان إذا فإوجد لهمتغيرا معيارى طبيعى توزيع

:( 0.69 صص 0ل ) ۲( 1.35 صص 0) ل1( 0 صص 1.67 –ل )4( 0 صص 1.4 –) ل3( 1.39 ≤ صص) ل 6( 3.3> صص ) ل5( 1.43 صص ) ل8( 1.34 صص ) ل7( – 1.41 صص ) ل10( -1.41 صص ) ل9( – 1.53 صصل ) 1۲(0.35 – > صص ) ل11( 5 . ۲ صص 1.33ل ) 14( 3.45 صص 1.1) ل13

– صص ۲ . 5 –) ل15( – 1.43 صص 3.33 – ل )16( 1.4

0.15 صص 1.35 –) ل17( 1.35 صص 1.35 –ل )18(

الحقيقى عشوائيامتغيرا صصكان إذا العدد قيمة فإوجد التى ىطبيعيايأتى : مما كال تحقق

0.0985( = ى > صص ) ل۲ 0. 0۲87( = ى > صص) ل10.9370 ( =ى – > صص ) ل4 0 . 933۲( = ى – >صص ) ل30.9893( = ى >ص ) ل0.68796( = ى > صص ) ل50.0548( = ى – >صص ) ل0.07938 ( =ى –> صص ) ل7

( =ى ≥ صص≥ 1 . ۲ –) ل90.9013( = ى ≥ صص ≥ 1.4 –) ل0.716410

( =ى –≥ صص≥ 1 . 7۲ –) ل11 ( =ى –≥ صص ≥ ۲ . 33 –) ل0.03371۲

0.0679

9۲14( = 1.8 ≥ صص ≥ ى –) ل13 .568۲ = ( ۲ . 45≥ صص ≥ ى ) ل14 0.

0

047( = ۲. ۲5≥ صص ≥ى ) ل150.5704( = ى ≥ صص ≥ ى –) ل16 0 . ۲

معيارى غير طبيعى لمتغير اإلحتماالت حسابمعيارى طبيعى متغير إلى التحويل : قاعدة

كان الحسابى صسإذا سطه و معيارى غير طبيعى و µمتغيرالمعيارى σإنحرافه

معيارى طبيعى متغير إلى المتغير هذا بالقاعدة صصنحول

= صص


ى –

σ –س س

µ

σ µ – ا

σ µ – ب

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائديكون : ( سص ل ) = ب ( سس ال ) و

: أمثلةكان (1) الحسابى صسإذا وسطه طبيعى µ = 75متغير

المعيارى إنحرافه ،σ = 7.5 أوجد( 78 ≤ صسل )

الحلــــــــــ

=( ≤ ل ) = ( 78 ≤ صسل ) ( 0.4 ≤ صصل )

0.5 – 0.1554 = 0.3446 = ( 0.4 سص 0 ل ) – 0.5 =

كان (۲) الحسابى صسإذا وسطه طبيعى إنحرافه µمتغير ، قيمة : σالمعيارى أوجد ( µ + σ سص µ – σ ل )

الحلــــــــــ ل ) = ( µ + σ سص µ – σ ل )

)

۲ × 0.3413 = 68۲6 . 0 = ( 1 سص 0 ل ) ۲ = ( 1 سص 1 –ل ) =

كان (3) الحسابى صسإذا وسطه طبيعى إنحرافه µمتغير ، قيمة σ = 10المعيارى µأوجد

تحقق : 0.1587 ( = 65 صس) لالتىالحلــــــــــ

A ل (صس 65 = ) 0.1587 B ل ( = ) 0.1587

B ل (صص ى ) = ى : = 0.1587 حيث A 0.1587 < 0.5 B ( 0 ل سص ) 0.3413 = 0.1587 – 0.5 = ى B = ى الجدول 1من

،A 0.1587 < 0.5 B < 0 : منها µ > 65و

B = 1 B µ – 65 = 10 B µ = 75

كان (4) الحسابى صسإذا وسطه طبيعى إنحرافه µ = 30متغير ، قيمة σالمعيارى σأوجد

تحقق : 0.9938 ( = 40 صس) لالتىالحلــــــــــ

A ل (صس 40 = ) 0.9938 B ل ( = ) 0.9938


0

(د )

0.4

7.5 87– 57

5.7 –سس

57

σ µ – σ – µ

σ µ + σ – µ

σ –س س

µ

01 –سس

µ01 56– µ

01 56– µ

0

(د )

– ى

01 µ – 56

01 56– µ

σ –سس

03σ 04– 03


B ل (صص ى ) = ى : =0.9938 حيث A 0.9938 > 0.5

A ( 0 ل سص ) 0.4938 = 0.5 – 0.9938 = ىى : = الجدول ۲ . 5من

منها : 0، > σ < 10و

B = 5 . ۲ B 5 . ۲ σ = 10 B σ = 4

أجور (5) كانت حسابى 3000إذا بمتوسط طبيعى توزيع تتبع µ = 75عاملإنحراف و ، جنيهاأوجد : σ = 10معيارى

عن – 1 أجورهم تزيد الذين العمال لعدد المئوية 90النسبة جنيهاعن – ۲ أجورهم تقل الذين العمال 55عدد جنيها

الحلــــــــــ ( > ) ل ( = 90 > صس) ل – 1

( 1.5 > صص) ل =

( 1.5 سص 0 ل ) – 0.5 = = 0.5 – 433۲ . 0 = 0.0668

B أجورهم تزيد الذين العمال لعدد المئوية النسبة = 90عن ./. 6.68جنيها

( > ) ل ( = 55 > صس) ل – ۲

( ۲ –> صص) ل =

( – ۲ سص 0 ل ) – 0.5 = = 0.5 – 477۲ . 0 = 0۲۲8 . 0

B عن أجورهم تقل الذين العمال 55عدد جنيهاعامل 68 = 0 . 0۲۲8 × 3000 =

تمارينوسطه سسكان إذا – 1 طبيعيا عشوائيا إنحرافه 18 الحسابىمتغيرا ؛

فإوجد : ۲ . 5المعيارى ( ؛ ( 15 > سس) ل( ا ) ل ) ( ۲1 > سس >17) ب

وسطه سسكان إذا – ۲ طبيعيا عشوائيا ۲5 تباينه ؛ ۲5 الحسابىمتغيرافإوجد :


0

(د )

ى

σ 04– 03

σ 04– 03

σ 04– 03

01 –سس

5701 09– 57

0

(د )

1.5

01 –سس

5701 55– 57

0

(د )

– ۲

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد( ؛ ( 33.5 ≤سس) ل( ا ) ل) ( ۲9 > سس > 14) ب

وسطه سسكان إذا – 3 طبيعيا عشوائيا تباينه 8 الحسابىمتغيرا كان :4؛ و0.1056( = ى ≤ سسل)

( ؛ ى قيمة ( ا ): فإوجد ل) (10 > سس) بوسطه سسكان إذا – 4 طبيعيا عشوائيا تباينه 45 الحسابىمتغيرا أوجد ۲5؛ :

(، (50> سس> 31) ل( ا) ل ىقيمة ب) تحقق سس) التى 0.5675 ( = ى> وسطه سسكان إذا – 5 طبيعيا عشوائيا إنحرافه و ؛ μ الحسابىمتغيرا

قيمة 5المعيارى = علم إذا μفإوجد ۲ . 119 = ( ۲9 . 5 ≤سس ) ل أن

وسطه سسكان إذا – 6 طبيعيا عشوائيا و 64تباينه ؛ μ الحسابىمتغيرال : 0.1587( = 40 ≥ سس) كان

( ؛ μقيمة ( ا) فإوجد ل) (50 >سس) بوسطه سسكان إذا – 7 طبيعيا عشوائيا إنحرافه 55 = الحسابىمتغيرا ؛

يحقق الذى تباينه فإوجد σالمعيارى 0 . 0۲۲8( = 45 ≥ سس) ل

العشوائى – 8 للمتغير كان وسطه سسإذا طبيعى μ الحسابىتوزيع :فإوجد σالمعيارى وإلنحرافه

(μ – 1.9 σ ≥ سس) ل۲ ( μ + ۲ σ ≤ سس) ل1 ( μ + 4 . ۲ σ ≥ سس≥ μ + σ ) ل4 (μ + ۲ σ > سس >μ – ۲ σ ) ل3

μ + 0.15 ≥ سس≥ μ – 1.35 σ ) ل5σ)6سس )ل – μ ≤ ۲ 9 . 1 σ)

!؛≥ μ – سس≥ σ 4 !؛ – ) ل72 σ )8ل( سس – μ ≥ 2 !؛ σ )

كان – 9 الحسابى سسإذا وسطه طبيعيا σ المعيارى وإنحرافه μمتغيرااآلتى كقيمة فإوجد تحقق :التى

111۲ . 0 ( = σ ك + μ ≥ سس) ل( 1 ) 0۲87 . 0 ( = σ ك + μ≤ سس) ل( ۲ ) 64۲4. 0( = σ ك + μ ≥ سس ≥ σ ك – μ ) ل( 3 ) 8۲30 . 0( = μ + 1.35 σ ≥ سس ≥ σ ك + μ ) ل( 4 ) 0.7164( = σ ك + μ ≥ سس ≥ μ – ۲. 1 σ ) ل( 5 )

من إذا – 10 مكونة لمجموعة الشهرى الدخل المصانع عامل ۲00كان أحد فىطبيعى توزيع تتبع

معيارى 175 بمتوسط وإنحراف العاملين 10 جنيها عدد هو فما جنيهاتدخلهم يتراوح بينالذين

جنيها 180 ،جنيها 170 تتبع إذا – 11 الكليات بإحدى الطالب أوزان وسطه توزيعكانت طبيعى

وتباينه 68 الحسابى ۲كجم 16 كجمبين فإوجد أوزانهم تقع الذين للطالب المئوية 7۲، كجم 65النسبة

كجم


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدمن إذا – 1۲ مكونة مجموعة أجور طبيعيا تتوزععامل 500كانت توزيعا

الحسابى و 60وسطه جنيهاعن ./. 30.85 كان فإذا σالمعيارى إنحرافه تزيد ال أجورهم العمال 54من

فإوجد ثم σ جنيهاعن العمال عدد أحسب أجورهم تقل ال جنيها 81الذين

من إذا – 13 مكونة مجموعة أطوال طبيعا تتبعشخص 1000كانت توزيعاحسابى وإنحراف μبوسط

أطوال 5 معيارى وكانت عن ./.۲1. 19سم طولهم يقل األشخاص منأوجد 168 أحسب ثم μ سم

عن األشخاصعدد منهم كل طول يزيد سم 18۲ الذينبمتوسط إذا – 14 طبيعى توزيع يتوزع سلعة سعر تباين 1۲0كان وأن 100و

على شخص حصول إحتمالمعينة سلعة قيمة من أقل قيمة 0 . 0۲87 هو ك ذات ك فما

الطالب فى – 15 من أكبر عدد يضم ما لمادة درجة إذاإمتحان اإلمتحانكانتوكان طبيعى توزيع من ./.14لها

من الطالب أقل على ؛ 30حصل من ./.۲6درجة أكثر على الطالب 50منو متوسط أوجد تبايندرجة

الدرجات توزيعما أخذت – 16 محافظة مدارس طالب من عشوائية طالب 5000 عددهاعينة

تزي الذين الطالب عدد دوكانمساويا 16عن أعمارهم فى ) 3043سنة للسن األقصى الحد بأن علما

المرحلة وكانت ( 19هذه سنةبتباين أعمارهم طبيعى عشوائى الحسابى 1.44متغير الوسط أوجد

وكان 4۲لديه مسافر – 17 بالطائرة للحاق إما عليهدقيقة يستقل أنللمطار لتوصيله األوتوبيس أو التاكسى

المتوسط فإذا فى يستغرق التاكسى 10معيارى بإنحرافدقيقة 30كانيستغرق األوتوبيس وكان دقائق

معيارى 35 المتوسط فى بإنحراف الوسيلتين 5دقيقة فأى دقائق يستخدم

متغير بفرض – 18 هى األمتحانات أحد درجات وإنحراف 76بتوقع طبيعىأن من ./.15يأخذ 15معيارى

العالمة الطلبة بالترتيب على ./.10 ويأخذ α األوائل الحاصلون الطلبة منبالترتيب الدرجات العالمة أقل

β العالمة( ا : )أوجد على الطالب يحصل كى درجة α أقللكى( ) الطالب عليها يحصل درجة أقل يحصل ) يعتيرب ال ناجحا

العالمة ( βعلىكان – 19 متوسطه سسإذا طبيعيا عشوائيا المعياري μمتغيرا σوإنحرافه

وكان : ل ) 0.1151 ( = ۲0. 5 ≤ سسل ) من 0.0778( = 13.95 > سس، كال قيمة أوجد

μ ، σ الدرجات – ۲0 كانت الكليات إحدي طلبة فيها إمتحن ما مادة إختبار في

بمتوسط طبيعيا توزيعا درجة 75موزعةالنهائية ) 100وتباين الدرجة بأن أوجد( : 100علما


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدعلي * حصال ب ، أ لطالبين المعيارية علي 96، 60الدرجات درجة

الترتيب المعيارية * درجاتهم كانت إذا ء ، حـ طالبين عليها حصال التي –الدرجات

0.6 ،۲ .1موزعة – ۲1 المصانع أحد تنتجها التي للحلزونات األقطار أنصاف أن بفرض

توقعه طبيعيا وإنحرافه ۲5توزيعاعن ۲0المعياري يقل قطره نصف كان إذا معيبا الحلزون أو ۲0ويعتبر

عن أن ۲8يكبر إحتمال أوجدمعيبا الحلزون يكون

اإلرتبـــــــــــاط : اإلرتياط

أكثر ) ( أو ىظاهرتين متغيرين بين عالقة هواإلرتباط : درجات

التام( 1 ) قيمة : اإلرتباط علمت إذا المتغيرين أحد قيمة معرفة يمكن فيهاآلخر المتغير

ضلعه : طول و المربع محيط بين اإلرتباط مثلالمنعدم( ) (۲ ) الصفرى بين : اإلرتباط عالقة أى وجود عدم يعنى الذى و

المتغيرين أحد : فى درجاته و المتعلم طول بين العالقة مثل

اإلختباراتالتام( 3 ) غير حد : اإلرتباط إلى تغيره فى اآلخر المتغيرين أحد يتبع فيه و

ما وزنه : و الفرد طول بين اإلرتباط مثل

المتغيرين إتجاه طبيعة حسب اإلرتباط : أنواعالطردى( 1 ) أنهما : اإلرتباط أى واحد إتجاه فى المتغيرين يكون وفيه

النقص و الزيادة فى بعضهما يتبعانخبرته : مدة و عامل أجر بين اإلرتباط مثل

العكسى( ۲ ) إتجاهين : اإلرتباط فى المتغيرين تغير يكون فيه وأحدهما فى زيادة أى أن بحيث متضادتين

العكس أو اآلخر فى نقص يتبعهااآللة : إستخدام على التدريب ساعات عدد بين العالقة مثل

فى األخطاء عدد و الكاتبة


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدعليها الكتابة

اإلرتباط لعالقة التحليلى الوصف حسب اإلرتباط : أنواعخطى( 1 ) خطى( ۲ ) إرتباط غير إرتباط

يسمى " بمقياس متغيرين بين العالقة درجة اإلرتباط تقاس معامل "

المبوبة غير للبيانات بيرسون إرتباط :معاملمتغيرين بين اإلرتباط معامل إيجاد يكون : بفرض حيث ص ،

عددها للمتغير ، 1هى : نقيم ۲ ، 3 ، 000 ، ن

للمتغير عددها ص، نص، 000 ، 3 ص، ۲ ص، 1 صهى : نقيمبيرسون : ) إرتباط معامل أو الخطى اإلرتباط معامل بين ( رفإن

القانون : المتغيرين من يتعين ص ،

= ر

اإلرتباط ) معامل خصائص : ( ربعضاإلرتباط ر (1 ) حالة فى سالبة و الطردى اإلرتباط حالة فى موجبة تكون

العكسى المنعدم = ر (۲ ) اإلرتباط حالة فى صفر، 1 = ر (3 ) التام الطردى اإلرتباط حالة اإلرتباط 1 – = رفى حالة فى

التام العكسى، g [ – 1 ر (4 ) 1 ] من (5 ) ثابت عدد أى جمعنا أو طرحنا إذا يتغير ال بيرسون إرتباط معامل

المتغير قيم ، جميعص المتغير قيم من آخر ثابت عدد أى و

كان : إذا فإن : /ص –ص = صص، / – = سسأى

= ر

: مثال بين " " الخطى اإلرتباط معامل بيرسون إرتباط معامل من أحسب ص ،

اآلتى : الجدول 80705550476068

60655440404859صالحلـــــــــ

ص ۲۲ ص ص8060640036004800706549004۲۲54550555430۲5۲916۲9705040۲5001600۲0004740۲۲091600188060483600۲304۲880


[ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

[ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

محـ ن × ۲ ( سسمحـ– ) ۲ سسمحـ ن ۲ ( صص محـ– ) ۲ صص

محـ ( × ) سسمحـ ) – صص سسمحـ ن (صص

– ۲ص محـ ن × ۲ ( محـ– ) ۲محـ ن ۲ (ص محـ)

ص (محـ ( × ) محـ ) – ص محـ ن :::::::::::::::::: [

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

:::::::::::::::

::::::::::::::::::: [:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد685946۲43481401۲430366۲7۲58197۲6۲309۲

086 = = ر

آخــــــــر حلص / = 60نختار ، / = 50

سسص = – 60ص = صص– سس–۲ سص۲ سس 50

سص8060۲010400100۲0070651015100۲۲51505554– 54۲516– ۲05040– 10 – 101001001004740– 13– 1016910013060480– ۲04068598964817۲

10168586۲663۲

086 = = ر

عليها حصلنا التى النتيجة نفس هى وقوى طردى إرتباط هو و

لسبيرمان الرتب إرتباط :معامللنه متغيرين بين اإلرتباط معامل فيجاد التقريبية المقاييس من يعتبر

المتغيرين قيم ليس ة رتب على يعتمدالقانون : من اإلرتباط معامل يتعين و

– 1 = ر

رتبتين نحيث : كل بين الفرق ف ، المتغيرين قيم عددمتناظرتين

: مثال

بين لسبيرمان اإلرتباط معامل اآلتى : أحسب الجدول من ص ، 80705550476068

60655440404859صالحلـــــــــ

رتبص ص ۲ففرتب80607611


[ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

[ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

7 × ۲7۲85 ( –034) ۲ × 7 × 791 ۲6 – (663 ) ۲

7 × ۲903 ۲ – 034 × 663

[ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

[ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

7 × 858 ( – 01) ۲ × 7 × 6۲6 – (61 ) ۲

7 × 36 ۲ – 01 × 61

(1– ۲ ن ) نف 6 ۲محـ

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد706567– 11555434– 114!؛ 2!؛1 2!؛ 5040۲4!؛ 2!؛ –1 2!؛474016048431168595500

4.5

086 = – 1 = ر

تمارينما لدراسة – 1 سلعة من ص الكمية بين لدينا والسعرالعالقة كانت بالجنيه

اآلتية : ، = 50 مجـالبيانات = ص مجـ 361ص = مجـ ، 60مجـ ،۲ = 310 ، ص أوجد 1 = ن ، 498 = ۲مجـ

معامل محددا والسعر المطلوبة الكمية بين لبيرسون الخطى نوعهاإلرتباط

المتغيرين أوجد – ۲ بين الخطى اإلرتباط ودرجته ، معامل نوعه محددا صمجـ كان ، = 60إذا

ص ۲ = 406مجـ ، 374ص = مجـ ، 70 = ص مجـ 10 =ن ، 536 = ۲مجـالمتغيرين فى – 3 بين للعالقة ص دراسة مجـ : حصلنا، ـ اآلتية النتائج على

= 33 ص مجـ ، = ۲4 ص ، ۲ = 196مجـ ، 135= ص مجـ، معامل 6 = ن ، 106= ۲مجـ قيمة أوجد

اإلرتباطص المتغيرين بين نلبيرسو بين و ، اإلرتباط معامل قيمة إستنتج

/ص ، /المتغيرين 4ص = – /ص ، / = – 5 حيث

معامل من – 4 أوجد اآلتي الجدول لبيرسون : اإلرتباطبيانات الخطى65781067

4756878ص

الجدول من – 5 لبيرسون :اآلتيبيانات الخطى اإلرتباط معامل أوجد۲358101۲

1۲8643۲صالجدول من – 6 لبيرسون :اآلتيبيانات الخطى اإلرتباط معامل أوجد

15131714151۲۲۲۲1۲7۲3۲419ص

الجدول من – 7 ـ : دأوج اآلتيبيانات لبيرسون الخطى اإلرتباط معامل40۲31811۲938

3530۲117۲54۲صالجداول من – 8 لسبيرمان :اآلتيةبيانات الرتب إرتباط معامل أوجد


7 × 48 6 × 4.5

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد8610785

87139105ص

معامل من – 9 أوجد اآلتية الجداول لسبيرمان :إرتباطبيانات الرتب18۲5۲03۲151۲۲4س۲5303638۲۲۲33۲ص

الجداول من – 10 لسبيرمان :اآلتيةبيانات الرتب إرتباط معامل أوجد93491011

7910654ص

الجداول من – 11 لسبيرمان :اآلتيةبيانات الرتب إرتباط معامل أوجد5۲69۲7

376856ص

لسبيرمان من – 1۲ الرتب إرتباط معامل أوجد اآلتية الجداول بيانات :

مقبول

جيدجدا

ممتاز

جيدجدا

مقبول

مقبول

جيدجيدجيدصجدا

ممتاضعيجيدز

ف

الجداول من – 13 لسبيرمان :اآلتيةبيانات الرتب إرتباط معامل أوجدجيدجيد

جيدممتازممتازممتازجداجيدجدا

مقبوصل

مقبو جيدممتازل

جيدجيدجداجدا

ضعيف

الجداول من – 14 لسبيرمان :اآلتيةبيانات الرتب إرتباط معامل أوجدمقبوجيدممتاز

مقبوجيدلل

جيدجيدجدا

جيدجيدصجدا

جيدمقبوجيدممتازجدا

جيدل

الجداول من – 15 لسبيرمان :اآلتيةبيانات الرتب إرتباط معامل أوجدمقبوجيدممتاز

مقبوجيدلممتازل

جيدصمقبوجيدجيدجدا

لمقبو

جيدل

اإلنحــــــــــدارالمتغيرين بين العالقة دراسة المرتبة عند األزواج تمثيل يمكن فإنه ص ،

فى بنقط العالقة لهذه الممثلةللمتغيرين " " اإلنتشار شكل الناتج الشكل يسمى و ص المستوى ،


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدمنحنى " " ، مستقيم مختلفة صورا الشكل هذا يأخذ قذ و

المنحنى " " المستقيم الخط على على النقط هذه جميع تقع قد ومنعدم " " إرتباط بينها رابط دون المستوى أرجاء جميع فى تنتشر أو

بالشكل كما مستقيم خط على متفوتة بنسب تقع أنها تبدو أوالمتغيرين بين العالقة تكون بالتالى يسمى و و خطية عالقة ص ،

اإلنحدار " " خط المستقيم الخطاإلنحدار خط معادلة إيجاد : طرق

الصغرى( 1 ) المربعات : طريقةلمجموعة مستقيم خط أفضل توفيق على الطريقة هذه تعتمد

مجموع جعل على النقط منيمكن ما أصغر المستقيم هذا عن النقط إنحرفات مربعات

على ص إنحدار : معادلةعلى احيث" ب+ اص = ص إنحدار معامل

"

ب = = ا، ،

إنحدار ص معادلة : على = إنحدار" ء+ ص حـ معامل حـ صعلى حيث

"

ء = = ، حـ ،

اإلنحرافات (۲) : طريقةلحساب المتستخدمة الحسابية األعداد تصغير على ، اتعتمد ب ،

ء ، حـبوضع : ذلك ، – = سسو هـ – ص = سص و

حسب : إختيارهما يتم ثابتين عددين أى هـ ، و حيثالمسألة ظروف

تكون : وبالتالىعلى ص إنحدار /ب+ سس /ا = سص هى : معادلة

إنحدار معادلة ، ء + سص / حـ = سسهى : صعلى/ حـ /ا = ا حيث : / حـ = ،

المبسطة( 1 ) اإلنحرافات :طريقةنضع : فيها = /سص،= /سسو

تكون : وبالتالىعلى ص إنحدار //ب+ سس //ا = سص هى : معادلة

إنحدار معادلة ، ء + سص // حـ = سسهى : صعلى//

حـ × //ا = ا حيث : × // حـ = ،


۲( محــ– ) ۲محــ ن × محــ– ص محــ ن

ن صمحــ محــ ا– صمحــ

ص– ) ۲صمحــ ن ۲( محــ × محــ– ص محــ ن

ن صمحــ حـ– محــ ص محــ

ل – و

كهـ – ص

لك

كل

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد: مثال

عندما ص قيمة أوجد التالى الجدول بيانات خط = 13من بإستخدامالمناسب اإلنحدار

91۲1114101۲15۲019۲31718ص

الحلـــــــــــــــــــــعلى : ص إنحدار خط هو المناسب اإلنحدار خط

ص ۲ ۲ ص 91581135

1۲۲0144۲4011191۲1۲0914۲31963۲۲10171001701۲18144۲166811۲7861۲9۲

ب+ اص =

1.48 = = = ا،

1.91ب = = =

+ 1.91 1.48ص = ص : = = 13عندما : ۲1. 13 = 1.91 + 13 × 1.48فإن

اإلرتباط معامل و اإلنحدار معامل بين : العالقة

أن : = احيث

حـ = ،

= ر،

حـ × ا = ۲رفإن : من رحيث : كل إلشارة نفس حـ ايأخذ ،

تمارينمجـ إذا – 1 ص = = 56كان مجـ مجـ 40، ،۲ = 5 ۲ ص ، 4 مجـ ۲56= ۲مجـ ، ص

=364 على 8 = ن ، ص إنحدار خط معادلة عندما فإوجد ص قيمة قدر = ثم

1 ۲الثانوية اإلحصاء

العامة


صمحــ

ن محــ ا– صمحــ

6 × 786 ( –68 )۲6 × 1۲9۲ – 68 ×

11۲

6 11۲ –1.48 × 68


صمحــ

ص– ) ۲صمحــ ن ۲( محــ × محــ– ص محــ ن

صمحــ

محـ ن × ۲ ( سسمحـ– ) ۲ سسمحـ ن ۲ ( صص محـ– ) ۲ صص

محـ ( × ) سسمحـ ) – صص سسمحـ ن (صص

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدمجـ إذا – ۲ ص = = 71كان مجـ مجـ 36، ،۲ = 1039 ، ص مجـ ۲66 = ۲مجـ ، ص =511 ،

إنحدار 5 = ن خط معادلة قيمة فإوجد قدر ثم ص عندما على 18ص =

الكمية لدراسة – 3 بين بالجنيه ص) ( المطلوبةالعالقة والسعر ما سلعة )من) اآلتية البيانات لدينا : كانت

ص = = 65 مجـ مجـ مجـ 85، ، = مجـ 470ص ،۲ = 505 ص مجـ ،۲ = 805 إلى 10 = ن السعر يصل عندما المطلوبة الكمية 9أوجد

جنيهات السن في – 4 بين للعالقة الدم ( )دراسة شخصا ثنيأل ص) ( وضغط عشر

بين أعمارهم سنة 35تتراوحاآلتية : أختيرواسنة 75 ، البيانات لدينا كانت ص = 70 مجـعشوائيا مجـ ،

=60 ،مجـ 374ص = مجـ ،۲ = 536 ص مجـ لشخص أوجد 406 = ۲، الدم ضغط

سنة 45عمره متغيرين في – 5 بين للعالقة حصلنا دراسة ص اآلتية : على، =ن البيانات

س = 10 ،/ – 103 ، مجـ 97 – /ص = ص ،/ = – 3 ، ص /۲ = 341مجـ ، 444 – = /ص /مجـ ، 0 = /مجـبين( ا أوجد : )788 = ۲/ص مجـ، الخطي اإلرتباط مبينا معامل ص ،

نوعه ) على) ص إنحدار خط معادلة ( ب خط ) معادلة جـ

ص إنحدار علىبين – 6 العالقة علي لدراسة حصلنا ص وبوضع : 8، لهما متناظرة =/قيم

، 70 –س مجـ 40 –ص = /ص كآلتي البيانات ص / = 5كانت مجـ مجـ 2 = - /، ،/۲ = 167 ،

ص علي 119 = /ص / مجـ 124 = ۲/مجـ ص إنحدار خط معادلة أوجدالمتغيرين في – 7 بين للعالقة ص دراسة اآلتية : حصلنا، البيانات على

ص =/ ، 8 = ن ص / = 6مجـ حيث : =/، مجـ ،/ = 1

مجـ ،/۲= 1 ۲ ص 9 مجـ مجـ ۲9 = ۲/، ،/ ص 59 = /ص إنحدار معامل اوجدعلي

إنحدار معامل ص ؛ بين علي الخطي اإلرتباط معامل احسب ص ثم ، عندما من – 8 ص قيمة قدر اآلتي الجدول = ۲بيانات 0

861078587139105ص

الجدول من –9 قيمة اآلتيبيانات ص = قدر 8عندما93491011

7910654ص


5 – 40

315 – ص

الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائدالجدول من – 10 معاملي اآلتيبيانات من الخطى اإلرتباط معامل أوجد

اإلنحدار : 84۲1۲711

77381011ص

إنحدار إذا – 11 معامل إنحدار 1.43هو على صكان هو ومعامل ص على15 .۲

معامل بين اإلرتباطفإوجد وحدد الخطي ص نوعه ،

على كان إذا – 1۲ ص إنحدار إنحدار 0.34هو – معامل هو –ومعامل ص على0.41 معامل نوعه بين اإلرتباطإوجد مبينا ص ، على إذا – 13 ص إنحدار معامل بين ومعامل ۲. 7هو – كان الخطي اإلرتباط – هو ص ،0.9

هو ص إنحدار معاملفما علىإنحدار إذا – 14 معامل هو كان ص بين ومعامل 0.807على الخطى اإلرتباط

هو ص ،0.71 على معاملفإوجد ص إنحدار

معادلة في – 15 كانت متغيرين بين للعالقة على خطدراسة ص هي إنحدار + 65. ۲ 1. ۲۲ ص =

إنحدار معادلة ؛ هي خط ص معامل 3.9ص + = 98. ۲على أوجدالخطي بيناإلرتباط

ص نوعه مبينا،

المعياري الطبيعي المنحني أسفل المساحات جدول0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09ي0.00.00000.0040.0080.01200.01600.01990.02390.02790.03190.03590.10.03980.04380.04780.05170.05570.05960.06360.066750.07140.07530.20.07930.08320.08710.09100.09480.09870.10260.10640.11030.11410.30.11790.12170.12550.12930.13310.13680.14060.14430.14800.15170.40.15540.15910.16280.16640.17000.17360.17720.18080.18440.18790.50.19150.19500.19850.20190.20540.20880.21230.21570.21900.22240.60.22590.22910.23240.23570.23890.24220.24540.24860.25120.25490.70.25800.26110.26420.26730.27040.27340.27640.27940.28230.28520.80.28810.29100.29390.29670.29950.30230.30510.30780.31060.31330.90.31590.31860.32120.32380.32640.32890.33150.33400.33650.33891.00.34130.34380.34610.34850.35080.35310.35540.35770.35990.63211.10.36430.36650.36860.37080.37290.37490.37700.37900.38150.38301.20.38490.38690.38880.39070.39250.39440.39620.39800.39970.40151.30.40320.40490.40660.40820.40990.41150.41310.41740.41620.41771.40.41920.42070.42220.42360.42510.42650.42790.42920.43060.43191.50.43320.43450.43570.43700.43820.43940.44060.44180.44290.44411.60.44520.44630.44740.44840.44950.45050.45150.45250.45350.45451.70.45540.45640.45730.45820.45910.45990.46080.46160.46250.46331.80.46410.46490.46560.46640.46710.46780.46860.46930.46990.47061.90.47130.47190.47260.47320.47380.47440.47500.47560.47610.4767


الرياضيات – ا في ثانوي( 3 )اإلحصاءلرائد2.00.47720.47780.47830.47880.47930.47980.48030.48080.48120.48172.10.48210.48260.48300.48340.48380.48420.48460.48500.48540.48572.20.48610.48640.48680.48710.48750.48780.48800.48840.48870.48902.30.48930.48960.48980.49010.49040.49060.49090.49110.49130.49162.40.49180.49200.49220.49250.49270.49460.49310.49320.49340.49362.50.49380.49400.49410.49430.49450.49600.49480.49490.49510.49522.60.49530.49550.49560.49570.49590.49700.49610.49620.49630.49642.70.49650.49660.49670.49680.49690.49780.49710.49720.49730.49742.80.49740.49750.49760.49770.49770.49840.49790.49790.49800.49812.90.49810.49820.49820.49830.49840.49840.49850.49850.49860.49863.00.49870.49870.49870.49880.49880.49890.49890.49890.49900.49903.10.49900.49910.49910.49910.49920.49920.49920.49920.49930.49933.20.49930.49930.49940.49940.49940.49940.49940.49950.49950.49953.30.49950.49950.49950.49960.49960.49960.49960.49960.49960.49973.40.49970.49970.49970.49970.49970.49970.49970.49970.49970.49983.50.49980.49980.49980.49980.49980.49980.49980.49980.49980.4998


+۲س 6س + 3س +

Documents

الباب الأول النسبة و التناسب : - WordPress.com · Web view10 – من بيانات الجدول الآتي أوجد معامل الإرتباط الخطى