UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNFACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA MECÁNICAMÓDULO #2: FUNDAMENTOS SOBRE VECTORESDiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede MedellínÚltima revisión en junio 09 de 2013

Temas Magnitudes vectoriales y escalares. Clasificación de vectores. Suma de vectores por los métodos: paralelogramo, triángulo, polígono. Componentes rectangulares de un vector: en el plano y en el espacio. Suma de vectores por el método de las componentes rectangulares. Producto escalar por vector. Producto escalar de vectores. Producto vectorial de vectores. Derivada de un vector

Nota: En el desarrollo de este módulo se asume que los estudiantes ya cursaron Geometría Vectorial. Es decir, el módulo considera sólo un breve REPASO.

I. ¿Qué es un vector?

Las magnitudes físicas se pueden clasificar en escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares tienen sólo tamaño (que de ahora en adelante se denominará

módulo o simplemente magnitud). Son ejemplos de estas: el tiempo, la masa, la rapidez, la longitud de un recorrido, la energía, el trabajo, el voltaje, la potencia.

Las magnitudes vectoriales poseen además de módulo, dirección y sentido. Se representan mediante un segmento orientado (flecha), como lo indica la figura 1.

Figura 1

La dirección de la cantidad vectorial, está dada por el valor del ángulo que define la pendiente de la recta sobre la cual se "apoya" la "flecha" que la representa. El sentido queda definido por la "cabeza" o "punta" de la misma. El tamaño (módulo o magnitud) del vector lo da el tamaño de dicha "flecha". Así por ejemplo, si la cantidad vectorial se duplica, la "flecha" que la representa se deberá dibujar de doble tamaño. 

Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la posición, el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, la cantidad de movimiento (momentum), la elongación, el peso, el campo eléctrico, el campo magnético.

Algebraicamente los vectores se representan con letras del alfabeto castellano, mayúsculas o minúsculas; usualmente en un texto impreso se utiliza la letra en negrita, por ejemplo b, que significa ambas propiedades del vector, magnitud y dirección

(incluyendo el sentido dentro de la dirección). En la escritura manual se suele poner una flecha sobre la letra, .

La magnitud o longitud de un vector se representa colocando el vector entre barras o

simplemente la letra, .

II. Clasificación de vectores

Línea de acción de un vector es la recta a la que pertenece el vector, Figura 2.

Figura 2

Vectores paralelos

Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas e igual sentido, Figura 3.

Figura 3

Vectores antiparalelos

Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas y sentido opuesto, Figura 4.

Figura 4

Vectores iguales

Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido aunque no tengan el mismo punto de aplicación, Figura 5.

Figura 5

Vector opuesto de un vector

Es aquel que tiene la misma magnitud del vector, pero está rotado 180° respecto a éste, Figura 6.

Figura 6

Vectores fijos

Son aquellos vectores que no pueden deslizarse sobre su línea de acción. Su origen está anclado al punto de aplicación. Ejemplos son: el vector posición (Figura 7), la velocidad (Figura 7), el campo eléctrico.

Figura 7

Vectores deslizantes

Son aquellos vectores que pueden moverse sobre su línea de acción sin cambiar su magnitud y dirección. Ejemplo. Las fuerza que actúan sobre los cuerpos rígidos, Figura 8.

Figura 8

Vectores libres

Son aquellos vectores que pueden moverse libremente en el espacio con sus líneas de acción paralelas. Ejemplo. El torque de una cupla (también denominado par de fuerzas), Figura 9.

Figura 9

Vector unitario (versor de un vector)

Es un vector de magnitud 1 y de igual dirección del vector dado, Figura 10. Se obtiene dividiendo el vector entre su magnitud,

Figura 10

Ejemplos de versores son los que representan las direcciones de los ejes cartesianos (eje x, ; eje

y, ; eje z, ), Figura 11.

Figura 11

III. Suma de vectores por los métodos: paralelogramo, triángulo, polígono

Para sumar vectores se emplean diferentes métodos: el método del paralelogramo, el método del triángulo, el método del polígono y el método de las componentes rectangulares. A continuación se tratarán los tres primeros.

Método del paralelogramo

En este método, se desplazan los vectores para unir sus "colas". Luego se completa el paralelogramo y el vector resultante será la diagonal trazada desde las "colas" de los vectores a sumar. Este vector tendrá también la "cola" unida a las colas de los otros dos y su "cabeza" estará al final de la diagonal. En la Figura 12 se ilustra este método.

Figura 12

Para realizar los cálculos se emplear las leyes de seno y coseno.

Ley de cosenos:

Ley de senos:

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la suma de vectores por el método del paralelogramo. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 12. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics

Figura 12

Ejemplo 1:

Dados dos vectores: de 6,00 unidades haciendo un ángulo +36,0o con el eje X; de 7,00 unidades y apuntando en la dirección negativa del eje X, Figura 13. Hallar la suma de los dos vectores.

Figura 13

Solución:

En la Figura 14 se ilustra la suma de los dos vectores empleando el método del paralelogramo. Aplicandola ley de cosenos se obtiene,

Figura 14

La dirección se obtiene calculando el ángulo que forma con el eje X. Aplicando ley de senos,

Por lo tanto el ángulo que forma el vector resultante con el eje X es igual a,

Ejemplo 2:

Dos vectores forman un ángulo de 110,0o. Uno de ellos tiene 20,0 unidades de longitud y hace un ángulo de 40,0o con el vector resultante (vector suma) de los dos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma.

Solución:

Figura 15

En la Figura 15 se ilustra la suma de estos dos vectores empleando el método del paralelogramo. Sea b= 20 u, aplicando ley de senos,

Pero ya que es el suplemento de 110,0o (esta es una propiedad de los paralelogramos),

y como los ángulos interiores de un triángulo suman 180o, , entonces,

Aplicando ley de cosenos,

Método del triángulo

En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas"). En la Figura 16 se ilustra el método.

Figura 16

En la Figura 16 el vector de color verde es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.

Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del vector de color verde utilizando la misma escala que se utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el ángulo que forma la resultante con una línea horizontal.

Pero no basta con saberlo hacer gráficamente. Se debe aprender a realizar analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno, y si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras y las definiciones de las funciones seno y coseno.

Ejemplo 3:

Resolver el ejemplo 1 usando el método del triángulo.

Solución:

Figura 17

En la Figura 17 se ilustra la suma de los dos vectores empleando el método del triángulo. Aplicando ley de cosenos,

La dirección se obtiene calculando el ángulo que forma con el eje X. Aplicando ley de senos,

Por lo tanto el ángulo que forma el vector resultante con el eje X es igual a,

Método del polígono

Cuando se van a sumar más de dos vectores, se puede sumar dos de ellos por el método del triángulo. Luego el vector resultante sumarlo con otro vector también por el método del triángulo, y así sucesivamente hasta llegar a obtener la resultante final: la suma de vectores es conmutativa y asociativa.

Otra forma de hacer la suma, es utilizando el llamado método del polígono. Este método es simplemente la extensión del método del triángulo. Es decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la "cabeza" del uno con la "cola" del otro (un "trencito") y la resultante final es el vector que cierra el polígono desde la "cola" que quedo libre hasta la "cabeza" que quedo también libre (cerrar con un "choque de cabezas"). Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígono resultante tiene forma diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección y su sentido.

Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, y no como un método analítico. En la Figura 18 se ilustra la suma de cuatro vectores.

Figura 18

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la suma de vectores por el método del polígono. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 19. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics

Figura 19

IV. Componentes de un vector

Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina componentes. En la Figura 20 se ilustra esto.

Figura 20

En esta figura el vector verde tiene como componentes los vectores azul y rojo. Estos últimos sumados componen al vector verde.

Componentes rectangulares de un vector en el plano

Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes rectangulares. En la Figura 21 se ilustran las componentes rectangulares del vector verde.

Figura 21

Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones:

Estas componentes se pueden escribir en función de los versores correspondientes a los ejes cartesianos,

Componentes rectangulares de un vector en el espacio

Componentes rectangulares Ángulos directoresFigura 22

De la Figura 22 se puede concluir que,

En donde , y se denominan cosenos directores y cumplen,

es decir los cosenos directores no son independientes.

Ejemplo 4:

Una fuerza tiene magnitud igual a 10,0 N y dirección igual a 240,0º. Encontrar las componentes rectangulares y representarlas en un plano cartesiano.

Solución:

Calcular las respectivas componentes:

El resultado lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual a 5,00 N y apunta en dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo igual a 8,66 N y apunta en el sentido negativo del eje Y. Esto se ilustra en la Figura 23.

Figura 23

Adicionalmente el vector se puede escribir en función de sus componentes rectangulares,

Ejemplo 5:

En la Figura 24 se ilustra un poste vertical AE que está sujetado por cables (tensores) AB, AC y AD. Si la fuerza de tensión en el cable AD tiene una magnitud igual a 1 200 N, escribir esta fuerza en forma vectorial.

Figura 24

Solución:

A: (0,0 m, 0,0 m, 3,6 m)

D: (1,2 m, 1,8 m, 0,0 m)

Nota: Dado un sistema de coordenadas, a cada punto del espacio se le puede asignar un vector posición y solo uno (es decir un vector cuya “cola” está anclada en el origen del sistema de coordenadas elegido y cuya “cabeza” está ubicada en dicho punto). Por lo tanto al punto A se le asigna el vector posición y al punto D se le asigna el vector posición . Las componentes rectangulares de estos vectores corresponden a las respectivas coordenadas de los puntos,

El vector es igual a la diferencia de los vectores posición y (FINAL menos INICIAL),

La fuerza de tensión en el cable AD se escribe,

V. Suma de vectores empleando el método de las Componentes Rectangulares

Cuando se suman vectores, se puede optar por descomponerlos en sus componentes rectangulares y luego realizar la suma vectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las resultantes en las direcciones x e y.

A continuación se ilustra este método mediante un ejemplo. Este será en la mayor parte de los casos el método que se usará a través del curso.

Ejemplo 6:

Sumar los vectores de la Figura 25 mediante el método de las componentes rectangulares: a=8,00 u, b=7,50 u, c= 4,30 u, d=7,80 u.

Figura 25

Lo primero que se debe hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma orientarse mejor (las colas deben anclarse al origen). Esto se ilustra en la Figura 26.

Figura 26

Calcular las componentes rectangulares:

A continuación se realiza la suma de las componentes en X y de las componentes en Y:

Se representa estos dos vectores en el plano cartesiano y de una vez se hace la composición (suma vectorial de las componentes y ), Figura 27

Figura 27

Se calcula ahora el módulo de la resultante y su dirección:

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la suma de vectores por el método de las componentes rectangulares. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 28. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics

Figura 28

Resta de Vectores

Para restar vectores se aprovecha del elemento inverso de la suma. Así la resta de dos vectores se puede ver como una suma:

El negativo de un vector es otro vector con sentido contrario. De ahí en adelante la operación sigue como una suma de vectores.

En la Figura 29 se ilustra un ejemplo de una resta.

Figura 29

Ejemplo 7:

Para los vectores del ejemplo 1 encontrar .

Solución:

En la Figura 30 se ilustra la operación usando el método del triángulo.

Figura 30

Aplicando la ley de cosenos,

Aplicando ley de senos,

Por lo tanto mide 12,4 u y forma un ángulo igual a 197o con el eje X.

VI. Producto de un Escalar por un Vector

El producto de un escalar por un vector da como resultado otro vector que tiene la misma dirección que el vector factor. Si el número que multiplica al vector es positivo, conservará el sentido y si es negativo invertirá su sentido. Si el número además es mayor que uno el vector resultante será proporcionalmente mayor que el vector factor. Si el número es menor que uno el vector resultante será proporcionalmente menor que el vector factor. En la Figura 31 ilustramos varios ejemplos de producto de escalares por vectores.

Figura 31

VII. Producto Escalar de dos Vectores

Al producto escalar entre dos vectores y  se denota como . Por definición es el resultado de la magnitud del vector  por la magnitud del vector  por el coseno del ángulo que forman entre ellos,

El resultado de este producto es una cantidad escalar. Si se observa la Figura 32 se puede interpretar esta operación vectorial como el producto de la proyección del vector  sobre el vector  por la magnitud de y viceversa.

Muchas relaciones físicas se pueden expresar como este producto (por ejemplo, el concepto de trabajo). Para operar, se llevan los dos vectores a un origen común, siendo el ángulo que forman entre sí los vectores y .

Figura 32

El producto escalar es un número, no es un vector y puede ser positivo, negativo o nulo.

Si el ángulo entre los vectores es menor que 90º el producto escalar es positivo, si es mayor que 90º pero menor que 180º el producto es negativo y si es igual a 90° el producto escalar es nulo.

Atención: 

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero.

Producto escalar de los versores que dan las direcciones de los ejes cartesianos,

”

Ejemplo 8:

Dos vectores y  cuyas magnitudes son iguales a 20,4 unidades (u) y 30,6 unidades (u) forman un ángulo de 60,0º, calcular su producto escalar.

Solución:

Según la definición,

por lo tanto:

Producto escalar en componentes rectangulares

Sean,

entonces,

El ángulo entre dos vectores se puede calcular empleando el producto escalar,

en donde,

Ejemplo 8:

Calcular el ángulo que forman las cuerdas AC y AD de la Figura 33.

Figura 33

Solución:

Si es el ángulo entre ambas cuerdas, según la ecuación [13] se obtiene,

como,

Por lo tanto,

VIII. Producto Vectorial de dos Vectores

Al producto vectorial entre dos vectores y  se denota como . Ejemplos de la física que emplean esta operación son el torque y la fuerza magnética.

Para definirlo se lleva ambos vectores a un origen común. A diferencia con el producto escalar, el resultado de este producto es un vector, cuya dirección es perpendicular al plano que contiene a los vectores  y , cuyo sentido se obtiene aplicando la denominada regla de la mano derecha y cuyo módulo (magnitud) es igual al producto entre las magnitudes de los vectores por el seno del ángulo que forman, Figura 34,

Regla de la mano derecha:

El sentido del producto vectorial   se obtiene aplicando la regla de la mano derecha: se coloca

la palma de la mano derecha en la dirección del vector   y se envuelven los dedos en el sentido

de rotación hacia el vector   eligiendo siempre el menor ángulo posible manteniendo erecto el

pulgar. El sentido en que apunta el pulgar, es el sentido del producto vectorial , Figura 34.

Como se puede observar no es lo mismo hacer el producto vectorial de  que el de  . Un vector se define por: el módulo, la dirección y el sentido. En los dos casos tanto el módulo como la dirección no cambian pero el sentido es opuesto, Figura 34.

El producto vectorial es anticonmutativo. Es decir que:

Figura 34

Atención:

Si los vectores  y son paralelos (ángulo entre ellos igual a 0º) o antiparalelos (ángulo entre ellos igual a 180º) el producto vectorial será nulo. En particular, el producto vectorial de un vector por sí mismo es cero.

Producto escalar de los versores que dan las direcciones de los ejes cartesianos,

Regla nemotécnica: El producto de dos de los vectores da como resultado el otro, con signo positivo si es en el sentido indicado por la Figura 35 y negativo en el sentido contrario.

Figura 35

Producto vectorial de dos vectores en componentes rectangulares

Sean,

entonces,

Ejemplo 9:

Calcular un versor ortogonal y saliente al plano al cual pertenecen las cuerdas AD y AB de la Figura 35. Calcular ahora el versor ortogonal a ese plano pero entrante.

Figura 35

Solución:

El versor ortogonal saliente es,

pero,

El versor ortogonal entrante es,

Este resultado se ilustra en la Figura 36

Figura 36

El versor ortogonal entrante,

IX. Derivada de un vector

Casi en la totalidad de los casos, en física, los vectores van a variar con respecto al tiempo, en otras palabras son vectores que dependen del tiempo. Antes de continuar es muy importante recordar que un vector se compone de módulo y dirección (incluyendo el sentido dentro de esta), y que por lo tanto éste puede variar, en módulo o en dirección o en ambas cosas a la vez, y que en todos los casos admitiría derivada.

Figura 37

Teniendo en cuenta que un vector puede expresarse en función de su vector unitario de la forma, Figura 37:

si se deriva esa expresión,

Como,

Entonces,

Observar que,

En donde es ortogonal a , Figura 38,

Figura 38

Por lo tanto,

Obteniéndose,

Como se observa, la derivada de un vector puede descomponerse en dos vectores:

• El primer sumando es un vector en la dirección y sentido de , ya que tiene la dirección y sentido de su vector unitario.

• El segundo sumando es un vector normal al vector .

Si sólo cambia la dirección del vector solo permanece la segunda componente y si sólo cambia la magnitud permanece la primera componente.

Ejemplo 10:

El vector V tiene su módulo constante pero su dirección cambia con el tiempo. Demostrar que d Vdt es ortogonal a V .

Solución:

Según la ecuación [17],

En donde es el ángulo que forma . Como este vector mantiene su magnitud constante, esta expresión se reduce a,

que corresponde a un vector ortogonal a .

Taller

1. Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ángulo entre ellos de (a) 0o, (b) 60o, (c) 90o, (d) 150o y (e) 180o. Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección respecto al vector más pequeño.

Rp: (a) 15 unidades, 0o; (b) 13,1 unidades, 35o 27’; (c) 10,8 unidades, 56o 19’; (d) 4,8 unidades, 111o 36’; (e) 3 unidades 180o.

(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)

2. Dos vectores forman un ángulo de 110o. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de 40o con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma.

Rp: 13,7 unidades; 20 unidades.

(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)

3. Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud, forman entre sí un ángulo de (a) 60o, (b) 900 y (c) 120o. Encontrar la magnitud de su diferencia y el ángulo con respecto al vector mayor.

Rp: 9,2 unidades, -49o; (b) 12,8 unidades, -38o 40’; 15,6 unidades, -26o.

(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)

4. Tres vectores situados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50o, mientras que el segundo y tercero forman un ángulo de 75o. Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor (emplear el método de las componentes rectangulares).

Rp: 9,92 unidades, 45o 45’.

(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)

5. Considerar los vectores:

V 1= i+ j V 2= i− j

Calcular:

(a) 10 {V 1−5 V 2¿ (b) V 1⋅V 2 (c) V 1×V 2

6. Considerar el vector velocidad V= [2 i+ j− k ] m

s

(a) Calcular la longitud del vector V

(b) Hallar el vector unitario en la dirección de V

7. Sean r 1=[2 i+2 j+ k ] m y r 2=[2 i+10 { j¿−11 { k¿ ] m

(a) Encontrar la proyección del vector r 1 sobre el vector r 2 . Ilustrarla gráficamente.

(b) Encontrar la proyección del vector r 2 sobre el vectorr 1 . Ilustrarla gráficamente.

(c) Encontrar las proyecciones del vector r 1 sobre los versores i , j y k . Ilustrar los resultados gráficamente.

8. Sin evaluar cada cantidad en detalle, demostrar que cada una de las siguientes cantidades es igual a cero o al vector nulo:

(a) (V 1×V 2)⋅(10 {V ¿¿ 1)

(b) (V 1×V 2)×(V 1×V 2)

(c) (10 { i ¿-5 { j¿ )⋅( i×5 j )

9. Encontrar el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores:

V 1=(2 i+2 j+k ) cm V 2=(2 i+10 { j¿−11 { k¿ ) cm

Ilustrar esto gráficamente.

10. Encontrar el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores:

V 1=(10 { i ¿+ j ) cm V 2=(2 i−10 { j¿) cm V 3=(12 { k¿) cm

Ilustrar esto gráficamente.

11. Considerar el vector

V= [ i cos (10t )+ j sen (10t ) ] ms

en donde t es tiempo:

(a) Mostrar que V tiene longitud constante.

(b) Calcular a=d V

dt

(c) Verificar que d Vdt es ortogonal a V .

(d) ¿A qué magnitudes físicas se refieren V y d Vdt ?

12. Calcular los cosenos directores del vector fuerza:

F=(2 i+2 j+ k ) N

13. Dados los puntos A (3 m, 0 m, -2 m); B (1 m, -1 m, 3 m); C(-2 m, 3m, -4 m) obtener:

(a) el módulo del vector S=AB+BC(b) el módulo del vector D=CB−CA

(c) el ángulo entre los vectores S y D .

Nota: ABen negrillas significa el vector que va desde el punto A hasta el punto B (análogamente BC , CB , CA ).

Rp. (a) 6,16 m (b) 5,48 m (c) 95,1o.

14. En la cuña de la Figura 39 obtener un vector unitario saliente y normal al rectángulo ABCD.

Figura 39

Rp: 0,6 { i+0,8 { k¿¿

15. En la Figura 40 las longitudes están expresadas en m. Calcular: (a) la longitud de la viga, (b) el ángulo entre los cables AB y AC, (c) un versor ortogonal al plano donde se encuentran los cables AB y AC (discutir posibles soluciones), (d) si la magnitud de la fuerza que ejerce el cable AC sobre la barra PA es igual a 100 N, expresar esta fuerza vectorialmente (ayuda: calcular el versor que expresa la orientación AC y multiplicarlo por la magnitud de la fuerza).

Figura 40

FIN

REFERENCIAS:

Londoño M., Introducción a la Mecánica, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, 2003.

Singer F., Mecánica para Ingenieros, Estática, Ed Harla, México, 1979.

Finn E., Alonso M., Física, Vol. I: Mecánica, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1980.