UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNFACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICAFÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 3: OSCILACIONES MECÁNICAS –ENERGÍA-Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas Introducción Trabajo W y energía potencial U Energía cinética K Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo Energía mecánica E

Introducción

En los dos módulos anteriores se estudió la cinemática y la dinámica del MAS. En este módulo se completará el estudio de la mecánica del MAS tratando los conceptos de trabajo y energía. Se observará que mientras la partícula oscila hay permanentemente una conversión de energía cinética en potencial y viceversa.

Trabajo W y energía potencial U

Cuando una partícula oscila con MAS, es porque la fuerza neta que actúa sobre ella tiene la forma,

siendo la elongación. Una fuerza de este tipo es elástica HOOKEANA.

Con base en el modelo del sistema masa-resorte, se puede hacer un análisis claro que permite encontrar la relación para la energía potencial elástica, Figura 1. Cuando el resorte posee su longitud original, Figura 1 A, su deformación es nula en cuyo caso el sistema masa resorte no tendrá energía potencial elástica (no hay energía almacenada). Luego un agente externo lo ha elongado en una cantidad igual a , Figura 1 B, para lo cual realizó un trabajo sobre el sistema (sistema masa-resorte) cediéndole energía que queda almacenada en forma de energía potencial elástica. Por último el agente externo realiza aún más trabajo para elongar el sistema hasta , Figura 1 C, por lo que el sistema va aumentando su energía potencial.

Figura 1

En la Figura 2 se ilustra el diagrama de fuerzas de la masa (fuerzas que actúan sobre la masa). En este diagrama, N es la fuerza normal que ejerce el piso, P es la fuerza de gravedad ejercida por el planeta Tierra (peso), Fext es la fuerza ejercida por el agente externo sobre la masa, y Fres es la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa: se ha despreciado la fuerza de rozamiento.

Figura 2

Si la deformación se obtiene a velocidad constante, aplicando la primera ley de Newton, se concluye que en todo instante Fext y Fres son iguales en magnitud. Es decir,

El trabajo realizado por el agente externo,Wext , para elongar el resorte desde hasta es,

En la Figura 3 se ilustra la interpretación geométrica de este cálculo.

Figura 3

Ahora, el trabajo realizado por la fuerza elástica Fres es el negativo de Wext :

La ecuación anterior muestra que el trabajo realizado por la fuerza elástica Fres se puede expresar

en términos de los valores de una magnitud escalar de la forma evaluada al inicio ( ) y al final (en ) de la elongación. Esta cantidad es la denominada Energía Potencial Elástica U y así se calculará la energía potencial del oscilador armónico (partícula en M.A.S.):

donde es la elongación del oscilador. Según el conocido teorema de la energía potencial, se puede concluir que la fuerza responsable de un M.A.S. es conservativa:

Energía cinética K

Si es la elongación del oscilador, es la velocidad de éste y por lo tanto su energía cinética es,

Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo

La elongación y la velocidad del MAS son,

Reemplazando (1) en [2] y (2) en [3] se obtiene,

Energía mecánica E

Combinando las ecuaciones [4] y [5] se obtiene para la energía mecánica de un MAS,

La energía del M.A.S. es proporcional al cuadrado de la amplitud. Adicionalmente, según [6’] también es proporcional al cuadrado de la frecuencia.

La ecuación [6] también se puede escribir,

siendo la constante de fuerza del oscilador armónico.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Energía en el MAS: Energía vs tiempo en el MAS. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 4. Se despliega la simulación de la Figura 5. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 4

Figura 5

Nota:Observar que la energía cinética y la energía potencial oscilan con el DOBLE DE FRECUENCIA que la elongación.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Energía en el MAS: Energía vs posición en el MAS. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 6. Se despliega la simulación de la Figura 7. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 6

Figura 7

Tarea:

En la simulación de la Figura 7 se observa la gráfica U (Energía potencial) vs x (Elongación). Esbozar la gráfica de K (Energía cinética) vs x (Elongación).

Ejemplo 1

Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema masa-resorte a través de la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

Solución:

La energía mecánica del sistema masa-resorte es según la ecuación [7],

Derivando respecto al tiempo esta ecuación se obtiene,

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con frecuencia angular,

Otra forma de realizar el análisis:

El análisis se puede hacer haciendo un balance sólo de energías como se ilustra en la Figura 8 y teniendo en cuenta que las fuerzas que actúan son el peso y la fuerza elástica que son ambas conservativas por lo que se conserva la energía mecánica.

Figura 8

Pero en equilibrio, es decir en A,

y por lo tanto,

Derivando respecto al tiempo esta ecuación se obtiene,

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con frecuencia angular,

Ejemplo 2

Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo simple a través de la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

Solución:

Figura 9

La energía mecánica en cualquier instante es,

Observando la Figura 9 se concluye que,

Se está despreciando la fuerza de rozamiento y adicionalmente la fuerza de tensión (o mejor su reacción) no realiza trabajo y el peso es una fuerza conservativa, por lo tanto la energía mecánica se conserva y en consecuencia,

y para pequeñas oscilaciones, ,

que corresponde a la ecuación del oscilador armónico con frecuencia angular,

Ejemplo 3

Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo físico a través de la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

Solución:

Figura 10

La energía mecánica del cuerpo rígido que oscila en cualquier instante es,

Observando la Figura 10 se concluye que,

es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto al eje que pasa por O.

Se está despreciando la fuerza de rozamiento y adicionalmente las reacciones en el apoyo no realizan trabajo y el peso es una fuerza conservativa, por lo tanto la energía mecánica se conserva y como consecuencia,

y para pequeñas oscilaciones, ,

que corresponde a la ecuación del oscilador armónico con frecuencia angular,

Ejemplo 4

Utilizando la conservación de la energía mecánica en el MAS mostrar que:

Solución:

FIN.