1

規矩術の数学

2001年 6月 1日

改訂 2011年 2月 5日

補充 2011年 4月 23日

訂正 2011年 11月 1日（ページ２に詳述）

改訂 2014年 6月 1日

安部 康明

2

はじめに

規矩術で使われる中勾、長玄、短玄などの種々勾配を、定義に従って三角関数で表現してみまし

た（ページ３）。

一方、解析幾何学の理論を使って、四方ころび構造における種々の接合角度を、三角関数で表現

する数式を導出しました。

４枚の板からなる漏斗型四方ころびについては、相接する２枚の板の傾き角が等しくない一般的

な場合（振れ隅の構造）についての式を求めました（ページ４，５）。

柱の四方ころびについても、東西と南北の傾き角が等しくない一般的な場合（振れ隅の構造）に

ついての式を求めました（ページ６、７）。

どちらの場合も、二つの傾き角を等しくした場合には、規矩術で言われている規則と同じ結果が

得られます。「四方とめの上端とめ角は長玄の勾配のころび」、「四方ころび柱の垂直断面の隅の角

は加弓の勾配」、などなど。

これらの接合角度の値は、実際にはＣＡＤで（Googleの SketchUpでも可）得られますが、本資

料の数式でも、三角関数を扱えるポケット電卓が有れば、傾き角から計算できます（ふたつの傾

き角が等しくない場合も）。

ページ８以下の補足は、数式の具体的な導出過程です。

具体的な応用例として「異方性四方転び（振れ隅）胴付きの墨付けと加工」（じょうご形）と「振

れ隅の柱建て四方転び構造の墨付けと加工（木工房用）」を別資料（下記ホームページ）にしま

した。

安部 康明

http://www.mokkou-atorie-y.com

2011年 11月 1日の訂正

①page 3 の加弓の勾配の定義で三角関数の式を、旧式の分子／分母を逆転したものへ訂正。

②それに従い、page 7 の 4 行目の四方転び柱断面の式は、「α＝βの時は加弓の勾配のころびに

なる。」へ訂正。（三角関数の式は正しい。記述による表現のみの訂正：規矩術での規則に合致。）

3

規矩術における種々勾配の定義と三角関数による表現 2011.11.1

転び勾配、または返し勾配＝余角の勾配＝定義の分子と分母を逆転する。

延びかね法＝上式で殳の代わりに玄を取ること＝a を l に変えること。

例：平勾配（ h/ a）の延び＝h/l＝sinα＝中勾の勾配

つまり、規矩術で”平勾配の延びは中勾の勾配に等しい”と言われていること

殳＝a

勾＝h

玄=l

中勾＝h1

長玄＝l1短玄＝l2小中勾＝h2

加弓＝h4

中勾の勾配において

h4

hh1

a

l1

l

l2h2

hh1

a

α

規矩術で用いられる種々勾配と

その定義（下式下線部に上図の各長さ

を入れる。）

墨付けも上図に従って差し金でする。

左の各勾配を三角関数で表現すると下式の左辺になり、

さらに平勾配 tan を用いて書き直すと右辺になる。

（各勾配の値を平勾配の値から右辺で算出し、これに

殳の長さを掛けたものを勾として墨付けする。）

平勾配 h/a tan

ころび勾配

返し勾配

a/h

tan

1cot

中勾の勾配

hllhah 21 ///

2tan1

tansin

長玄の勾配

hhlaal 11 ///

2tan1

1cos

短玄の勾配 )//(/ a)(hhlal 1122 22 tan1tantansin

小中勾の勾配

ah2 / 323 tan1tansin

加弓の勾配

ah4 / 22 21 tantan

半勾配

ah /

2

1

倍勾配

ahah /22/2

裏の目勾配 ah /2

4

じょうご形四方ころび

x 軸の周りにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反時計方向）回転した板と

y 軸の周りにβ（軸に沿って見て時計方向）回転した板との組み

灰色部分は 2枚の板の

交差部

ａ．四方胴付き

上端胴付き角

tansin/tan 11

（α＝βでは tansin/1 となり

これは前ページ表より短玄の勾配の転び）

向う胴付き角

tancos/tan 13

（α＝βでは sin/1 となり

これは前出表より中勾の勾配の転び）

胴付き面の隅の角

22 sincossincostan

（α＝βでは 31 sin/ となり

これは前出表より小中勾の勾配の転び）

costan/1tan 4

（ ）内の結果は規矩術での規則と一致。

y

x

β

α y

x

β

α

θ１

θ４

θ３

θ2

5

ｂ．四方とめ（構造的に coswcoswsintsint baba 、 の関係が生じる）

上端とめ角

sin/tantan 1

（α＝βでは 1/cosα

これは前出表より長玄の勾配のころび）

） sin/tantan 2

向うとめ角

tancos/tan 13

（α＝βでは tancos/1

これは前出表より中勾の勾配のころび）

costan/tan 14

（ ）内の結果は規矩術での規則と一致。

θ１ θ

2

θ４

θ３

ｔa

ｔb

wa

wb

6

柱建て四方ころび

高さ h の角柱の上面を、矩形の形状と高さ h を保ったまま、x 軸に平行にｒ、y 軸に平行に

－ｓ、xy 面に平行に移動した場合に出来る角柱。

矩形断面の角柱を倒すのではなく、百人一首を積み重ねた柱で、各札がずれて、上下面を平

行に保ったまま傾いて出来るような柱。接地面と天井は矩形であるが、柱の軸に垂直な断面

は矩形ではなくなる。

z 軸に平行な 4 本の稜は x 軸のまわりにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反

時計方向）、y 軸のまわりにβ（y 軸に沿って見て時計方向）だけ回転する。柱の軸方向に垂

直な断面は矩形から外れる。

h/rtan

h/stan

となる。

y

x

z

r-s

h

βα

y

x

z

r-s

h

βα

7

・柱の長さ＝ 22 tantan1hl

・稜に垂直な柱断面の形（接地面を矩形にする＝癖をとるために必要な形）の隅角度

　 tantan/tantantan 1221

（α＝βでは 22 tantan21 ：これは前出表より加弓の勾配のころび（の補角））

・柱側面の隅の角

cossin/costan 2

（α＝βでは 1/sinα：これは前出表より中勾の勾配のころび）

s i nc o s/c o st a n3

・ｙ方向のぬきの上下面と柱側面の交線が、柱の稜となす角

cossintan/tan1tan 224

（α＝βでは 3sin/1 ： 小中勾の勾配のころび）

・ｙ方向のぬきの胴付き角

s i nt a n/1t a n5

（α＝βでは 1/ tan sinα：短玄の勾配のころび）

（ ）内の結果は規矩術での規則と一致。

x 方向のぬきにつ

いては、左式のα

とβを入れ替え

る。

y

x

z

r-s

h

βα

h/rtan

h/stan

y

x

z

r-s

h

βα

y

x

z

r-s

h

βα

h/rtan

h/stan

θ1

θ4

θ2θ3

lθ５

8

［以下 補足］

じょうご形四方ころびの式の導出 x 軸の周りにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反時計方向）回転した板と

y 軸の周りにβ（軸に沿って見て時計方向）回転した板との組み

面Aout

y

x

8a

1

2

3

4

面Ain

板A

板B面Bin

面Bout

5a

6a

7a

8b

5b6b

7b

wb

wa

tbta

2'

3'

4'=4

5'

6'

7'

8'

9'

10'

1

2"= 2

3"

4"

5"6"

7"8"

11

β

α

板B面Bin

面Bout面Aout

面Ain板A

y

x底部拡大

直交状態

灰色部：板材 A、B の交差部分

面 Ain、面 Bin：組の内側となる面

：傾斜した右図では上を向く面

面 Aout、面 Bout：組の外側となる面

：傾斜した右図では下を向く面

点 1～4：交差部分の底面の四隅の点

点 5a～8a：交差部分の板 A の上端矩形の四隅の点

点 5b～8b：上方に延長した交差部分と板 B の上端

が交差する矩形の四隅の点

wa、ta、wb、tb：板材 A、B の幅と厚み

四方ころびの状態

①板 A がｘ軸の周りに時計方向に αだけ回転

②板 B が y 軸の周りに時計方向に βだけ回転

灰色部：上記のそれぞれの回転にともなって傾いた

左図の灰色の交差部分

点 2'～8'：左図の点 2～4、5a～8aが上記の回転①に

ともなって移動した点

点 2"～8"：左図の点 2～4、5b～8bが上記の回転②に

ともなって移動した点

点 9' ：点 5'、8'を通る直線と面 Binとの交点

点 9" ：点 5"、8"を通る直線と上方に伸長した面

Ainとの交点 （図では省略）

点 10' ：点 6'、7'を通る直線と面 Boutとの交点

点 10" ：点 7"、8"を通る直線と上方に伸長した面

Aoutとの交点（図では省略）

点 11 ：点 6'、7'を通る直線と面 Binとの交点

9

●点の座標

x 軸の周りにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反時計方向）回転した場合

式

により

y 軸の周りにβ（軸に沿って見て時計方向）回転した場合、

式

により

座標（x,y,z）は（x',y',z'）、（x",y",z"）に変る。下表のように各点の座標が求まる。

回転前 板Ａの回転後 板Ｂの回転後

x

y

z

1

0

0

0

x

y

z

2

0

-ta

0

2'

0

-ta cosα

- ta sinα

x

y

z

3

tb

-ta

0

3'

tb

-ta cosα

- ta sinα

3"

tb cosβ

-ta

-tb sinβ

x

y

z

4

tb

0

0

4"

tb cosβ

0

-tb sinβ

x

y

z

5

0

0

wa

5'

0

-wa sinα

wa cosα

5"

wb sinβ

0

wb cosβ

x

y

z

6

0

-ta

wa

6'

0

-ta cosα-wa sinα

- ta sinα+wa cosα

6"

wb sinβ

-ta

wb cosβ

x

y

z

7

tb

-ta

wa

7'

tb

-ta cosα-wa sinα

- ta sinα+ wa cosα

7"

tb cosβ+ wb sinβ

-ta

-tb sinβ+ wb cosβ

x

y

z

8

tb

0

wa

8'

tb

-wa sinα

wa cosα

8"

tb cosβ+ wb sinβ

0

-tb sinβ+ wb cosβ

z

y

x

cossin0

sincos0

001

'z

'y

'x

z

y

x

cos0sin

010

sin0cos

"z

"y

"x

10

点 9'、9"、10'、10"、11 の座標は後述の面と直線との交点を求める式による。まず面 Ain、Aout、

Bin、Boutの式を求める。

●３点（xu yu, zu）、（xv, yv, zv）、（xw, yw, zw）を通る平面の式

Px + Qy + Rz = D

D

面 Aout（2'-3'-7'） 面 Ain（1-4-8'）

P

Q

R

aba

aabab2

a

aabab2

a

aa

a

a

aa

a

a

b

b

wtt

)coswsint(costtsincost)t(

)sinwcost(sinttsincost)t(

coswsint

sint

sint

sinwcost

cost

cost

t

t

0

0

1

1

1

coswsint

sint

sint

sinwcost

cost

cost

aa

a

a

aa

a

a

coswtsintt

)coswsint(tsinttsintt

1

1

1

t

t

0

coswsint

sint

sint

abba

aabbaba

b

b

aa

a

a

sinwtcosttcostt

)sinwcost(tcostt

1

1

1

sinwcost

cost

cost

t

t

0

abbaba

aabba

aa

a

a

b

b

0

cosw

0

0

sinw

0

0

t

t

0

aab

b

sinwt

1

1

1

sinw

0

0

t

t

0

ab

ab

b

0

1

1

1

cosw

0

0

sinw

0

0

aa

coswt

1

1

1

t

t

0

cosw

0

0

ab

b

b

a

w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

ww

vv

uu

z

z

z

y

y

y

x

x

x

D,

1

1

1

y

y

y

x

x

x

R,

1

1

1

x

x

x

z

z

z

Q,

1zy

1zy

1zy

P 　　　　

11

D

面 Bou（3"-4"-8"） 面 Bin（1-2-6"）

P

Q

R

bbabbba

bbba

bb

b

ba

bb

b

b

wtt)coswsint(sintt

)sinwcost(sintt

coswsint

sint

sint

0

0

t

sinwcost

cost

cost

0

cosw

0

0

t

t

0

sinw

0

0

ba

a

b

coswt)coswsint(tsintt

1

1

1

coswsint

sint

sint

0

0

t

babbaba

bb

b

ba

0

1

1

1

sinwcost

cost

cost

coswsint

sint

sint

bb

b

b

bb

b

b

sinwtcostt)sinwcost(t

1

1

1

0

0

t

sinwcost

cost

cost

bababba

a

bb

b

b

coswt

1

1

1

cosw

0

0

t

t

0

ba

ba

a

0

1

1

1

sinw

0

0

cosw

0

0

bb

sinwt

1

1

1

t

t

0

sinw

0

0

ba

a

a

b

12

●点 9'、9"、10'、10"、11 の座標

２点（xu, yu, zu）、（xv, yv, zv）を通る直線と平面 Px+Qy+Rz=D の交点の座標

（xc, yc, zc）は次式で与えられる。

点 9'＝

直線 5'-8'と

面Binの交点

点 9"＝

直線 5"-6"と

面 Ainの交点

点 10'＝

直線 6'-7'と

面 Boutの交点

点 10"＝

直線 8"-7"と

面 Aoutの交点

点 11＝

直線 6'-7'と

面 Binの交点

上

式

へ

の

入

力

デ

∣

タ

D 0 0 tatbwb tatbwa 0

P - tawbcosβ 0 tawbcosβ 0 -tawbcosβ

Q 0 - tbwacosα 0 - tbwacosα 0

R tawbsinβ - tbwasinα -tawbsinβ - tbwasinα tawbsinβ

Δx - tb 0 tb 0 tb

Δy 0 - ta 0 ta 0

Δz 0 0 0 0 0

xu 0 wbsinβ 0 tbcosβ+ wbsinβ 0

yu - wasinα 0 -tacosα- wasinα - ta -tacosα

- wasinα

zu wacosα wbcosβ -tasinα

+ wacosα

-tbsinβ

+wbcosβ

-tasinα

+ wacosα

計

算

結

果

xc wacosα･

tanβ

wbsinβ tb/cosβ

- tanβ(tasinα

-wacosα)

tbcosβ

+ wbsinβ

- tanβ･

(tasinα

- wacosα)

yc - wasinα - wbtanα

cosβ

-tacosα

- wasinα

-ta/cosα

+ tanα(tbsinβ

-wbcosβ)

-tacosα

- wasinα

zc wacosα wbcosβ -tasinα

+ wacosα

-tbsinβ

+ wbcosβ

-tasinα

+ wacosα

uvuvuv

uuuc

uuuc

uuuc

zzzyyyxxx

zRyQxP

z)yQxR(z)QyPxD(z

zRyQxP

y)xPzR(y)PxRzD(y

zRyQxP

x)zRyQ(x)RzQyD(x

　，，　　　

13

●所要角度の式の導出

2 点（xu, yu, zu）と（xv, yv, zv）を通る直線と、2 点（xw, yw, zw）と（xv, yv, zv）を通る直線の

点（xv, yv ,zv）における交差角θは次式で与えられる。

wvvwwvvwwvvw

uvvuuvvuuvvu

vwvuvwvuvwvu

2vuvwvwvu

2vuvwvwvu

2vuvwvwvu

zzzyyyxxx

zzzyyyxxx

zzyyxx

)xzxz()zyzy()yxyx(tan

，，　　　　

，，　　　　

四方胴付き

上端胴付き角 6'-11-9' 向う胴付き角 5'-9'-1 向う胴付き角 5"-9"-1

直線 11-9' 11-6' 9'-1 9'-5 9"-1 9"-5"

Δx -tasinα･tanβ - tanβ･

(tasinα

- wacosα)

wacosα･

tanβ

wacosα･

tanβ

wbsinβ 0

Δy -tacosα 0 - wasinα 0 - wbtanα

cosβ

- wbtanα

cosβ

Δz - tasinα 0 wacosα 0 wbcosβ 0

tanθ 1/ sinαtanβ 1/cosαtanβ 1/ tanαcosβ

同様に 角 11-9’-1 2sincossincos

四方とめ

留めの場合は点 9'と 9"、10'と 10"が一致する構造であるので、先に求めた点の座標をそれぞれ等

しいと置くことにより、 coswcoswsintsint baba 、 の関係が生じる。

上端とめ角 9'-10'-6' 上端とめ角 9"-10"-8"

直線 10'-9' 10'-6' 10"-9" 10"-8"

Δx tb/cosβ

- tasinαtanβ

tb/cosβ

- tanβ(tasinα

-wacosα)

tbcosβ

0

Δy -tacosα 0 -ta/cosα

+ tb tanαsinβ

-ta/cosα

+ tanα(tbsinβ

-wbcosβ)

Δz -tasinα 0 -tbsinβ

0

tanθ tanβ/sinα tanα/sinβ

なお、向う留め角の導出は、上の胴付きの場合と同じになる。

θ

xv , yv, zv

xw, yw, zw

xu, yu, zu

θ

xv , yv, zv

xw, yw, zw

xu, yu, zu

14

y

x

z

r-s

h

h

βα 5

6

7

8

6'

5'

7'

8'

ab

1

2

3

4

柱建て四方ころびの式の導出

高さ h の角柱を、上面の矩形と高さ h を保ったまま、x 軸に平行にｒ、y 軸に平行に－ｓ、

xy 面に平行に移動した形の角柱。

z 軸に平行な 4 本の稜は x 軸のまわりにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反

時計方向）、y 軸のまわりにβ（y 軸に沿って見て時計方向）だけ回転する。柱断面は矩形か

ら外れる。

但し

h/rtan

h/stan

となる。

1

2'

3'

4'

l

z

β

x

y

5'

7'

8'

6'

ab

1

2

3

4

m

n

ぬきの垂直断面

hl

点 2' ：直線 2-6'と面 S との交点 点 3' ：直線 3-7'と面 S との交点 点 4' ：直線 4-8'と面 S との交点 ただし、面 S は点 1 を通り、 直線 1-5‘に垂直な面

15

●各点の座標

点 1 が原点（x=0, y=0, z=0）

x

y

z

2

0

-b

0

2'

-b tanαtanβ/(1+tan2α+tan

2β)

-b (1+ tan2β) /(1+tan

2α+tan2β)

-b tanα/(1+tan2α+tan

2β)

x

y

z

3

a

-b

0

3'

{a (1+ tan2α)－b tanαtanβ}/(1+tan

2α+tan2β)

{a tanαtanβ－b(1+ tan2β) }/(1+tan

2α+tan2β)

-(b tanα+a tanβ)/(1+tan2α+tan

2β)

x

y

z

4

a

0

0

4'

a (1+tan2α)/(1+tan

2α+tan2β)

a tanαtanβ/(1+tan2α+tan

2β)

-a tanβ/(1+tan2α+tan

2β)

x

y

z

5

0

0

h

5'

h tanβ

-h tanα

h

x

y

z

6

0

-b

h

6'

h tanβ

-b－h tanα

h

x

y

z

7

a

-b

h

7'

a+h tanβ

-b－h tanα

h

x

y

z

8

a

0

h

8' a+h tanβ

-h tanα

h

x

y

z

m

(hl +a cosβsinβ)tanβ

－ (hl+a cosβsinβ)tanα

hl+a cosβsinβ

x

y

z

n

a+hl tanβ

- hl tanα

hl

ｐ

a+hl tanβ

- hl tanα-p

hl

点 2', 3', 4'の座標は、直線 i-j'に垂直で原点を通る面と直線 i-j'との交点の座標を与える次式により

求めた。

)zz(z)yy(y)xx(xX

X/)}yzzy(y)zxxz(x{z

X/)}xyyx(x)yzzy(z{y

X/)}zxxz(z)xyyx(y{x

i'j'5i'j'5i'j'5

'ji'ji'5'ji'ji'5'i

'ji'ji'5'ji'ji'5'i

'ji'ji'5'ji'ji'5'i

　　

16

●所要角度の式の導出

2 点（xu,yu,zu）と（xv,yv,zv）を通る直線と、2 点（xw,yw,zw）と（xv,yv,zv）を通る直線の

点（xv,yv,zv）における交差角θは次式で与えられる。

wvvwwvvwwvvw

uvvuuvvuuvvu

vwvuvwvuvwvu

2vuvwvwvu

2vuvwvwvu

2vuvwvwvu

zzzyyyxxx

zzzyyyxxx

zzyyxx

)xzxz()zyzy()yxyx(tan

，，　　　　

，，　　　　

柱断面の角

角 2'－1－4'

柱側面の隅の角

角 1－2－6'

柱側面の隅の角

角 2－3－7'

柱側面でぬきの下端が

稜となす角

角 m－n－7'

Δxvu b tanαtanβ

/(1+tan2α+tan

2β)

0 a a cos2β

Δyvu b (1+ tan2β)

/(1+tan2α+tan

2β)

-b 0 a tanαsinβcosβ

Δzvu b tanα

/(1+tan2α+tan

2β)

0 0 -a sinβcosβ

Δxvw -a (1+tan2α)

/(1+tan2α+tan

2β)

-h tanβ -h tanβ -(h－hl)tanβ

Δyvw -a tanαtanβ

/(1+tan2α+tan

2β)

h tanα h tanα (h－hl)tanα

Δzvw a tanβ

/(1+tan2α+tan

2β)

-h -h -(h－hl)

分子 ab

/(1+tan2α+tan

2β)

bh/cosβ ah/cosα )tan1()hh(a 22l

2

分母 -ab tanαtanβ

/(1+tan2α+tan

2β)

-bh tanα -ah tanβ cossintan)hh(a 2l

tanθ

tantan

tantan1 22

-1/tanαcosβ

-1/ cosαtanβ

cossintan

tan12

2

角 m－n－ｐ = sintan

1)()( 22

npnm

npmnmn

yy

yzx

完

θ

xv , yv, zv

xw, yw, zw

xu, yu, zu

θ

xv , yv, zv

xw, yw, zw

xu, yu, zu