tjednu zastupljenost matematike u opcoj gim-naziji.

Napustimo ovu tuznu temu i zavirimo malo uovaj broj Mis-a.

U njemu je, kao i inace, vise zanimljivih teks-tova. Nadam se da ce yam se svidjeti. Upo-zorio bih na prilog skupine kolega iz pazinskeSrednje skole Jurja Dobrile koja je na nacio-nalnim ispitima prosle godine postigla najboljirezultat. Na zamolbu Urednistva Pazinci pisu0 svojem radu iz cega se moze nazrijeti kakonjihov uspjeh nije slucajan.

Na posljednjim stranicama su primjeri pis me-nih ispita nakon obraaenih prvih dviju nas-tavnih cjelina u I. i II. razredu srednje skole.

Svjestan sam da su prilicno slozeni, no drzimkako ne tre~a podilaziti snizavanjem kriteri-ja niti popustati u zahtjevnosti. Matematikaje ipak temeljni skolski predmet, sto se jasnovidi i iz njezine uloge u svakom zahtjevnijemobrazovanju. Predlozio bih nastavnicima, pri-je svega gimnazija i srednjih tehnickih skola,da te ispite prorade barem u vjezbanju ili po-navljanju gradiva. Ispiti ovoga tipa danas su usvijetu najrasireniji.

Srdacno Vas

~~::-

MATEMATICAR KOJI ODBIJA NAGRADE

U Mis-u smo vec pisali 0 uglednim svjetskim nagradama koje se dodjeljuju matematicarima -znanstvenicima. Svakako je medu njima najuglednija Fieldsova medalja - ekvivalent Nobelovojnagradi koja se matematicarima ne dodjeljuje. Time se, po pricanju, Nobel htio osvetiti svimmatematicarima zbog toga sto je ljubavnik njegove supruge bio matematicar. No u tome nema istine

jer je ~obel bio neZenja.

~vake cetiri godine se na Medunarodnom matematickom kongresu dodjeljuje Fieldsova medalja zavrhunskadostignuca matematicara mladih od 40 godina. Novcani iznos nagrade je IS 000 kanadskihdolara po dobitniku, sto niti iz§aleka nije iznos blizak Nobelovoj nagradi koja je ove godine okoprilijuD,eura."\.'

,Na ovogodisnjem Kongresu u Madridu nagradaje dodijeljena trojici matematicara: Andreju Okoun-Jco,yusl'Iinceto~a (roden u Moskvi 1969.), TerenceuTaou sa UCLA (roden u AdelaideltU Australiji;1?7S.);i Wendelinu Werneru,Jakoder s UCLA (Francuz, roden u Njemackoj 1968.). Jos je jedanmatematicar trebao primiti istu nagradu, ali ju je odlucno odbio. Rijec je 0 Grigoriju JakovljevicuPereljmanu, ruskom matematicarU rodenom u St. Petersburgu 1966. godine, s tfenutnim boravkomna Berkeleyu. Taj sasvim neobican potez nije osobito iznenadio matematicare. Pereljman je unajmanju ruku cudak, vrIo introventirana osoba duboko posvecena matematici s jedinim dodatniminteresom - ia klasicnu glazbu (i sam svira violinu).

John Ball, predsjednik Medunarodnog matematickog saveza, uzaludno je nagovarao Grisu da.prihvatiFieldsovumedilju. .

Prije 10 godina Pereljman je odbio i nagradu Europskog matematickog drustva uz obrazlozenje dane zeli nagrade od onih koji su slabiji matematicari od njega. Nedavno pak nije prihvatio ni milijundolara od jednog americkog milijunasa za isu rad za koji je trebao primiti Fieldsovu medalju.

A cime je Grisa zasluzio medalju prije negoli itko drugi?

OrGe rijesio jedan100 godina star problem:' cuvenu Poincareovu slutnju. Citatelje, koji 0 tome'tele.znati vise, upucujem na Internet, no potrebno jereCi kako se radi 0 problemu iz geometrijsketopologije. Poincareova slutnjaje jedan od tzv. Milenijskih matematickih problema. Vec ta cinjenicas;una po sebi dovoljno govori. '

I na krajunije na odmet navesti kako je Pereljman u 16-toj godini bio najbolji natjecatelj naMedunarodnojmatematickoj olimijadi u Budimpesti. .

Motemotiko i skola

Zdravko Kurnik,Zagreb

"I. 0 metodi

;'vletoda predavanja jedna je od tradicional-nih i najstarijih nastavnih metoda. U siremsmislu ona danas ima nekoliko razlicitih obli-ka:

usmeno izlaganje,pripovijedanje,objasnjavanje,opisivanje,predavanje.

Vec sam naziv metode govori 0 podjeli ulogau razredu: aktivna uloga pripada nastavniku, apasivna ucenicima. To znaCi da ucenici treba-ju paZljivo slusati rijeCi nastavnika i zapisivatiu biljeznice bitne iskaze i ono sto nastavnikpiSe i crta na ploCi. Bit metode sastoji se upredavanju gotovih znanja ucenicima, a uce-nje se svodi na zapamCivanje, ucenje napameti reprodukciju naucenog. Njeguje se repro-duktivno, a zapostavlja stvaralacko misljenjeucenika.

Receno vodi na zakIjucak daje metoda preda-vanja za nastavu matematike slaba i neuCinko-vita metoda. Meautim, potrebna su dodatnarazjasnjenja kako bi se dobila tocnija ocjenanjezine uCinkovitosti. Pokazuje se da meto-da ima svoje mjesto i u suvremenoj nastavimatematike, pogotovo ako se irnaju u vidu vi-se razine matematickog obrazovanja, ali istotako nastavnik matematike mora biti vrio pa-zljiv pri odabiru mjesta i vremena primjene temetode.

Suvremena metodika nastave matematike opi-

suje neka poboljsanja najprije frontalnog obli-

Mis godinaVIII. br.36. 2006.

"",,'

ka rada, koji ide u pam s metod om predavanja,

a i samu metodu osuvremenjuje.

Osnovni zahtjev je da nastavnik matematike iovom metod om budi interes ucenika i aktivira

njihovo misljenje. Moze Ii se to postiCi? Kadase radi 0 slozenijem matematickom sadrzaju,ideja obrade se temelji na aktivnom voaenjumisljenja, nacelu zornosti i paralelnoj primjenimetode demonstracije. SlusajuCi predavanje iprateCi zapis na ploCi ili prozirnici ucenici tre-baju zajedno s nastavnikom korak po korakmisaono prelaziti put trazenja, postavljanja iutvraivanja matematickih cinjenica. SlijedeCinastavnikov proces misljenja, ucenici aktivi-raju i svoje misljenje. Pritom vaZnu uloguigraju i povremena nastavnikova popratna pi-tanja kojima on usporava tempo svoga izlaga-nja i ukazuje na teza mjesta. Pitanja su ovogtipa:

Odakle treba paceti? Zasta to vrijedi? Naasnavi cega to zakljucujema? U kajemu suadnasu te veliCine? Sta je zajednicKa tim lika-vima? Kalikaje ta vrijednast? Sta dabivamausparedivanjem? Kaju metadu maiema pri-mijeniti? Pastaji Ii drugi naCin?

lako na ova pitanja nastavnik najcesce samodgovara, on njima ipak postize odreaeniobrazovni cilj: uocavanje tdih mjesta u ne-kom matematickom sadrZaju, promisljanje 0nastavku obrade, a sto je najvaznije pripre-ma mogucnost prijelaza metode predavanja udjelotvorniju metodu dijaloga.

Dobr'e strane metode: Precizan plan izvoae-nja na osnovi razraaene pripreme, postavljanje

teZiSta na glavna pitanja obrade, promiSljenost

svih logiekih koraka, racionalnost i jasnoca,

jasan i precizan zapis na ploei, priprema uee-

nika za nastavak skolovanja na fakultetima.

Slabe strane metode: Pasivnost ueenika, sla-

bljenje koncentracije, nedostatak povratne in-formacije, previSe usmjerena nastava, slabauCinkovitost.

Neki od oblika metode predavanja primjenjuju

se u svim razredima. Samo predavanje prim-jenjuje se u visim razredima. Meautim, ova

primjena treba obuhvatiti sarno dio nastaVIJogsala, i to kao pOll1ocna metoda, nakon teme-

ljite nastavnikove analize nastavnog gradiva i

primjerenog izbora drugih metoda za pripre-mani nastavni sat.

:\latcmaticki sadd.aji koji su pogodni za ob-

radu primjenom metode predavanja:

1) Motivacija za matematieki sadrZaj koji jepredmet nastavnog sata.

2) Povijesne einjenice, zanimljivosti i his to-ricizmi.

3) Tumaeenja i objasnjenja prije samostal-nog rada ueenika.

4) Otkrivanje okolnosti u kojima je nastaoproblem.

5) Slozeno ili vazno gradivo s aspekta cjelo-

vitosti razmatranja i usvajanja.

6) Opis rada s tablicama, dzepnim raeunalomili raeunalom.

7) Izvodi formula i dokazi poueaka.

8) Analogoni i poopcenja.

Opisat cemo nekoliko primjera iz skolske ma-tematike u kojima se jasno vidi potreba prim-jene nekog od navedenih oblika metode pre-davanja.

2. Primjeri

Razmotrimo najprije neke Cinjenice koje seodnose na povijest matematike, gdje bi zivarijee nastavnika mogla potaknuti interes uee-

"'''' '.'',W ",,, , ,,,,,

nika prema matematici. Ueenici obieno nema-ju ni najosnovniju predodzbu 0 razvoju mate-matike, 0 njezinoj staroj i bogatoj povijesti.A mnogi veliki matematieari dali su znaeaj-ne doprinose i skolskoj matematici. Danasse rezultati njihovih istrazivanja mogu naCi nastranicama udzbenika matematike za osnovnu

i srednje skole. Kao primjer uzmimo prieu 0radu starogrckog matematieara koji se meauprvima spominje pri obradi skolske matema-tike.

Primjer 1. Tales.

Sto 0 radu Talesa saznaju ueenici7 Malo ilinista. Ucenici uee dva poucka koji nose nje-govo ime. To su Talesov poueak 0 obodnomkutu nad promjerom kruznice i Talesov pou-eak 0 proporcionalnosti u pramenu pravaca.Evo tih izreka:

Obodni kut nad promjerom kruinice je pravikut.

Ako se dva ukrstena pravca ravnine presijekus dva paralelna pravca, onda su odgovarajue;odresci na tim pravcima proporcionalni.

Bilo bi pozeljno da ucenici pri usvajanju ovihpoucaka cuju malo vise 0 Talesu i koje su nje-gove zasluge. U tu svrhu moze posluziti ovajhistoricizam:

TALES (Milet, Mala Azija, oko 625. - oko548. p.K.). Starogrcki matematicar, fizicar,astronom i filozof. "Otac" grcke matemati-ke i prvi grcki astronom. Bavio se trgovi-nom. U mladosti je bio u Babilonu i Egiptu,gdje je izucavao razlicite znanosti. Odatle jevjerojatno u Grcku prenio njihova znanja izgeometrije. Po povratku osnovao je u Mile-tu filozofsku skolu (Miletska skola). Svojimpredviaanjem pomrcine Sunca 28. 5. 585. g.p.K. stekao je slavu jednog od "sedam mud-raca" (Solon, Tales, Hilon, Pitak, Bijant, Kle-obul, Perijander). Izracunao je visinu Keop-sove piramide pomocu njezine sjene. Bio jeprvi matematicar kojije dokazivao matematic-ke tvrdnje, iako njegov dokaz jos nije logiekistrog. Osim dva navedena poueka Talesu sepripisuju i mnoge druge geometrijske tvrdnje.Evo jos nekih od njih:

Motemotiko i skola

',',"'"','""w'"'"'""",,,,,, ... ,-'.."' .. .""

jednakost vrsnih kutova, jednakost kutova uzosnovicu jednakokracnog trokuta, tree; pou-c<ak0 sukladnosti trokuta (K-S-K), promjerraspolavlja krug.

Njegovo ime nosi i jedan krater na vidljivojstrani Mjeseca.

To bi bila kratka prica 0 radu velikog Talesa.Upoznavanje ucenika sa slicnim Cinjenicama0 drugim matematicarima iz skolske matema-tike dalo bi nastavi matematike dodatnu Ije-potu i sadrZajnost. Tu je od posebne vazno-sti nastavnikova umjesnost pripovijedanja ipredstavljanja takvih Cinjenica.

.,* *

Razmotrimo dalje par primjera u kojima serazumijevanje i jasnoca novog matematiekogsadrzaja postize primjerenim nastavnikovimobjasnjavanjcm. Radi se 0 postupku uvoae-nja novih matematiekih pojmova.

Primjer 2. Kvadrat broja i kvadriranje.

Uvoaenje pojmova kvadrat broja i kvadrira-nje je jednostavno. Za to je dovoljno sarnopromatranje umnoska broja sa samim sobom.Uzmemo Ii konkretno da je duljina stranice

2kvadrata redom 7, 4.3, -, povrsina kvadra-5

ta je redom umnozak 7 . 7, 4.3 . 4.3, ~. ~.5 5Te umnoske zapisujemo na novi nacin kao 72,

4.32, (~r i zovemo kvadratima brojeva 7,2

4.3, -.5

Opcenito, ako je a duljina stranice kvadra-ta, njegova povrsina P zapisuje se u oblikuP = a2.

Postupak prosirujemo i na negativne broje-ve pa tako primjerice umnoske (-9) . (-9),

(-11.8). (-11.8), (-D. (- ~) zapisujemo2 ( 2 (

2)

2

kao(-9) , -11.8), -5 .

Opcenito, ako je x neki broj, umnozak x . xzapisuje se u obliku x2 i zove se kvadrat broja

Mis godina VIII., br, 36, 2006,

x. Za svaki broj x postoji jedinstven kvadratX2. Pridruzimo Ii broju x njegov kvadrat x2,dobivamo funkciju koja se naziva kvadriranje.

Ii~,r.

f;~t

~t.

** *

Primjer 3. Drugi korijen i korjenovanje.

Vidjeli smo da se uvoctenje pojmova kvadrat

i kvadriranje prirodno motivira razmatranjem

ucenicima bliskog pojma povrsina kvadrata.

Uvoctenje pojmova drugi korijen i korjeno-vanje je nesto slozenije. Za motivaciju opetuzimamo povrsinu kvadrata, ali sada problempromatramo u obrnutom smjeru. Do tih poj-mova doCi cemo trazenjem odgovora na slje-dece pitanje:

Kolika je duljina stranice a kvadrata ako jepoznata njegova povrsina p7

Uzmimo konkretno da je povrsina P kvadrata49 3

redom 64,2.89, -,2,5.1, -. U prva tri100 10slucaja lako nalazimo da je duljina stranice a

7kvadrata redom 8, 1.7, -, jer je 82 = 64,10

(7

)2 49

1.72= 2.89, - = -. U ostala tri slu-10 100

eaja odgovor nije tako lak. U svrhu Ijesavanjaovog problema treba uvesti jedan dodatni po-jam.

Pogledajmo ponovo nas problem. Poznata jepovrsina kvadrata, a nepoznata duljina njego-ve stranice. OznaCimo Ii tu nepoznatu dulji-nu s x, ona je oCito rjesenje jednadzbi redom

49x2 = 64 x2 = 2.89 x2 = - x2 = 2

, , 100' ,3

x2 = 5.l,x2 =-.10

U ovim jednadzbama nalazi se kvadrat nepo-znanice pa su to konkretni primjeri tzv. kva-dratne jednadibe. OpCi oblik kvadratne jed-nadzbe ove vrste je

x2 = b (b > 0).

Prema tome, problem odreaivanja duljine stra-nice kvadrata kada je poznata njegova povr-sina svodi se na rjesavanje gornje kvadratne

jednadzbe. Za prethodne konkretne kvadratne

jednadzbe uocavamo: jednadzba X2 = 64 imaIjesenja 8 i -8, jednadzba x2 = 2.89 Ijesenja

I 7.

I 7.

d dV

b 2 49. v . 7. 1- . ,aJe na z ax = -IJesenJa-100 10

7i - 10' BuduCida postoje kvadrati kojima su

povrsinejednake2, 5.1i ~,zakljueujemo da i10

J.ednadzbe x2 = 2 x2 = 5.1 x2 = ~ mora]' u, , 10imati rjesenja. A to zapravo znaei da kvad-ratna jednadzba x2 = b mora imati rjesenjeza svaki pozitivni broj b. Tako smo motiviralisljedecu definiciju.

Definicija. Pozitivan broj x za kojegjex2 = b,

gdje je b zadan pozitivan broj, naziva se drugikorijen iz broja b i oznaeava s Vb.

* " *

Razmotrimo sada dva primjera u kojima cemo

kao cilj prepoznati opisivanje kratke sinteze

nekih ranije usvojenih znanja ueenika.

Primjer 4. Skup realnih brojeva R.

Ova cjelina proueava se u zavrsnom razreduosnovne skole. Prije toga ucenici su upozna-Ii nekoliko drugih skupova brojeva: prirodnebrojeve, cijele brojeve i racionalne brojeve.Metodieki je dobro da na poeetku obrade ovecjeline ueitelj matematike pripremi kratki pri-kaz tih skupova i opise motivaciju potrebe zaprosirivanjem podrueja brojeva. Jedna mo-tivacija je pitanje rjesivosti jednadzbi u sku-povima brojeva. Evo kratkog prikaza obradeprimjenom metode IJI'edavanj,J.

Najprije smo upoznali skup prirodnih broje-va N. U tom skupu jednadzba a + x = b,

a, b E N ima rjesenje sarno za a < b. Tojerjesenje razlika b - a prirodnih brojeva b i a.Za a > b oduzimanje nije izvedivo u skupu N.Tu se javlja prva potreba prosirivanja skupabrojeva.

Skup N prosirili smo s nulom 0 i negativnimbrojevima -I, -2, -3,... i dobili skup ci-jelih brojeva Z. U skupu Z uvijek je b - a

rjesenjejednadzbe a + x = b. Ova jednadzbaima sada Ijesenje i za a, b E Z.

Potreba za prosirenjem skupa Z motivira sezahtjevom da jednadzba ax = b, a, b E Z,a i- 0 ima Ijesenje u nekom skupu broje-va. Taj se zahtjev ostvaruje u skupu racio-

nalnih brojeva Q = {~, a E Z, b EN} jerb

jex = - E Q. Jednadzbaax = bimarjesenjeau Q i za a, b E Q, a i- O.

Do potvrdnog odgovora na to pitanje doci ce-mo razmatranjem jednadzbe oblika ax2 + bx +c = 0, a, b, c E R, a i- O. Ta se jednadz-ba naziva algebarska jednadf.ba drugog stup-nja ili kvadratna jednadf.ba. Potrebu uvode-nja same kvadratne jednadzbe treba ilustriratimotivacijskim zadatkom iz svakodnevnog zi-vota.

Kvadratna jednadzba nema uvijek rjeSenja uskupu realnih brojeva R. Najjednostavniji pri-mjer kvadratne jednadzbe koji dokazuje valja-nost tvrdnje jest x2 + 1 = O.

Postavimo Ii prije rjesavanja kvadratne jed-nadzbe zahtjev da ona uvijek ima rjesenja unekom skupu brojeva, otkrili smo jednu moti-vaciju potrebe prosirenja skupa realnih broje-va R i uvodenja novog skupa brojeva.

Tako smo redom izgradivali skupove brojevaN, Z, Q za koje vrijedi NeZ c Q. .

Postoji Ii potreba za daljnjim prosirenjem pod-rucja brojeva? Postoji. Taj se zahtjev motiviracinjenicom da ne postoji racionalan broj x cijije kvadrat jednak 2. Drugim rijecima, jed-nadzba x2 = 2 nema rjesenja u skupu Q. AIi,mi znamo da takav broj postoji, jer je x = -12duljina dijagonale kvadrata kojemu stranicaima duljinu 1. Dakle, potrebno je prosiritiskup Q.

Nastavakje uvodenje skupa kompleksnih bro-jeva C.

** *

Nastavakje uvodenje skupa realnih brojeva R.

Napomena. Ukoliko u udzbeniku postoji pri-kaz uvodenja skupova brojeva s odgovaraju-Cim motivacijama gomjeg oblika, metodikapreporucuje zamjenu metode predavanja me-todom rada s tekstom. CitajuCi prikaz uce-nici ce se sarni podsjetiti na svoje predznanjei bit ce bolje motivirani za daljnji rad.

Razmotrimo na kraju primjer u kojemu se po-javljuju teoremi. To je tezi matematieki sa-drZaj i njegovu obradu nastavnik djelomiceizvodi predavanjem.

Primjer 6. Svojstva logaritamske funkcije.

Logaritamska funkcija loga baze a uvodi sekao inverzna funkcija eksponencijalne funk-

cije eXPa baze a. Jasno je da ce se zato isvojstva logaritamske funkcije loga oslanjatina svojstva eksponencijalne funkcije eXPa' ata su svojstva ranije obradena.

* * *

Primjer 5. Skup kompleksnih brojeva C.

Ova cjelina proueava se u srednjoj skoli. Sred-njoskolci sada vec poznaju vise skupova bro-jeva: prirodne brojeve, cijele brojeve, racio-nalne brojeve, realne brojeve. Metodieki jedobro da na pocetku obrade ove cjeline nas-tavnik matematike metod om predavanja po-nudi kratki prikaz tih skupova i opiSe motiva-ciju potrebe za prosirivanjem podrucja broje-va. Ovdje naravno treba koristiti primjer 4 idopuniti ga jos jednim korakom.

Opisimo nacin metodieke obrade svojstavafunkcije loga'

Za pozitivne realne brojeve a (a i- I), x i yvrijedi:

logaxy = logax + logay,x

loga- = logax -logaY'Y

logaxk = klogax.Korak pocinje pitanjem: postoji Ii potreba zadaljnjim prosirenjem podrueja brojeva?

Motemotiko i skola Mis godina VIII,br.36, 2006,

.. '," , '0'0,'.0 'W",,'" ''''"'' ''''', '." '..,"',', '," ""':"0""',. ,~,o,,,..., ..',"'.'"p, ".","," ,.' ',""" "'''''','''' ..'. '''w,.w', ',"'" ..,... ... .. .. '" "... - '..,.. . .. ..

I) Ovdje se metodom predavanja dokazujesarno prvo svojstvo. Polazimo od Cinjenice daje logaritam pozitivnog realnog broja x bazea eksponent kojim treba potencirati bazu a dase dobije broj x,tj. alogax= x.

Sada imamo redom

x = alogaX, y = alogaY, xy = alogaxy

Pomnozimo prve dvije jednakosti i primije-nimo pravilo za umnozak potencija jednakihbaza s realnim eksponentima. Dobivamo

xy = alogax . alogaY = alogax+logaY

Usporedivanjem ove jednakosti s trecom jed-nakoscu proizlazi

aloga xy = aloga x+ loga Y ,

a odavde neposredno slijedi valjanost prvetvrdnje.

2) Ne bi bilo dobro da nastavnik i drugo i tre-ce svojstvo sam izvodi primjenom predavackemetode kad mu na raspolaganju stoje meto-de koje su bolje i primjerenije za primjenu naovome mjestu. Valjanost tih svojstava ueenicimogu usvojiti sami primjenom metode radas tekstom, a najbolje je da nastavnik postaviproblemsku situaciju i ueenici do spoznaje do-du primjenom problemske metode i metodeanalogije.

3) Za razvoj misljenja ueenika vrlo je koris-no da nastavnik postavi pitanje 0 mogucnostigeneralizacije prvog svojstva. Ucenici ne bitrebali imati poteskoca oko izvoda relacije

loga XIX2 . . . Xk = loga Xl + loga X2+

... + logaxk.

,"

~'r:,'\

~.

3. Zakljucak,.,

Metoda predavanja se ne ubraja u najbolje na-stavne metode, ali ona ipak nalazi svoje mje-sto u nastavnom procesu. Najcesce se koristipri obradi i usvajanju novog gradiva. Uei-nak metode predavanja se povecava ako seona kombinira s drugim metodama. Za nekeje matematicke sadrzaje prilieno dobar ucinakprimjene te metode.

~.

~'1"f,~\,~."

r .>f;r,