Integrali: kratka objanjenja

Za potrebe ovog kolegija dovoljno je da znate integrirati nekoliko osnovnih funk-

cija. Najee e to biti razliiti polinomi, npr. x, x2, x4+5x+2. Da biste integrirali

posljednji polinom, potrebno je sjetiti se da je integral zbroja jednak zbroju inte-

grala, odnosno

(x4 + 5x+ 2)dx =

x4dx+

5xdx+

2dx. (1)

Nadalje, vrijedi Cf(x)dx = C

f(x)dx, (2)

pri emu je C konstanta, odnosno, nije ovisna o x. U naem primjeru to znai da je

5xdx = 5

xdx,

2dx = 2

dx. (3)

Jedino to je jo potrebno znati jest kako integrirati funkciju tipa f(x) = xn, gdje

je n Z \ {1}1. Vrijedi

xndx =

xn+1

n+ 1, n Z \ {1}. (4)

Zato je u sklopu ovog kolegija korisno znati integrirati potencije? Zato to u

tom sluaju neete morati posebno pamtiti razliite formule za brzinu i put u sluaju

jednolikog, odnosno jednoliko ubrzanog gibanja. Primjerice, najjednostavniji izraz

koji povezuje put s ubrzanjem u jednoliko ubrzanom gibanju jest s(t) = 12at2. On,

meutim, nije toan u sluaju kad tijelo u trenutku t = 0 ve ima brzinu razliitu1Ako vam je ovo oznaavanje nejasno, ono znai da je n Z, ali s izuzetkom 1, tj. n 6= 1.

Za sluaj n = 1 imamo

dxx = lnx, ali to nam u kolegiju najvjerojatnije nee trebati.

1

2

od nule. U tom sluaju ispravan izraz glasi s(t) = v0t + 12at2, gdje je v0 poetna

brzina. Jasno je da je potonji izraz openitiji (prvi izraz dobijemo tako da uzmemo

v0 = 0), a on se lako moe izvesti iz denicije ubrzanja,

a =dv

dt. (5)

Kad se u derivaciji pojavljuju potpuni diferencijali2, kakvi su svi koje emo spomi-

njati, poput dx, dv i dt, prema njima se moete ponaati kao prema brojnicima i

nazivnicima razlomka. Drugim rijeima, jednadbu (5) smijem pomnoiti s dt i imat

u

dv = adt. (6)

Ovu jednadbu mogu integrirati, i to lijevu stranu po v, a desnu po t:

dv =

adt. (7)

Govorimo o jednoliko ubrzanom gibanju, to znai da je a = konst. pa ju mogu

izvui ispred integrala na desnoj strani jednadbe. Zakljuujemo da se u posljednjoj

jednadbi pojavljuju integrali tipadx. Diferencijal dx je innitezimalni, tj. besko-

nano malen, komadi od x. Integral je zapravo poopena suma. Kad pozbrajamo

sve komadie od x, dobijemo, naravno, x. Dakle,

dx = x. (8)

To moemo zakljuiti i na drugi nain:

dx =

1 dx =

x0dx, (9)

to je prema izrazu (4) jednako x.

2Postoje i tzv. parcijalne derivacije, kod kojih se pojavljuju diferencijali poput x, ali njima seneemo baviti.

3

Sad iz jednadbe (7) slijedi

v(t) + C1 = at+ C2. (10)

C1 i C2 su konstante integracije koje se uvijek pojavljuju kod neodreenih integrala.

Zato? Neodreeni integral je funkcija koja, kad ju deriviramo, daje funkciju koja

je bila pod integralom3. Znamo da je derivacija konstante jednaka nuli, to znai da

vrijednosti integrala mogu dodati proizvoljnu konstantu, bez da promijenim vrijed-

nost derivacije tog integrala. Drugim rijeima, sve funkcije dobivene integracijom

(ima ih, dakle, beskonano), koje u sebi imaju razliite konstante integracije, zadovo-

ljavaju kljuan uvjet da njihova derivacija odgovara podintegralnoj funkciji. Dakle,

formalno je na desnim stranama jednadbi (4) i (8) trebalo jo dodati i proizvoljnu

konstantu C, ali ona se u tablicama integrala ne pie, ve se podrazumijeva.

Vratimo se sad na jednadbu (10). Budui da jo uvijek ne znam vrijednosti

konstanti C1 i C2, mogu ih "utopiti" u jednu konstantu te pisati

v(t) = at+ C, (11)

gdje je C = C2 C1. Vrijednost konstante integracije odreuju poetni uvjeti.

Pogledajmo brzinu u poetnom trenutku, t = 0:

v(t = 0) = a 0 + C = C. (12)

Dakle, konstanta integracije C jednaka je vrijednosti brzine u poetnom trenutku.

Tu brzinu obino oznaavamo s v0 i ona je, izravno ili posredno, uvijek zadana u

zadatku. Imamo konano da je

v(t) = v0 + at. (13)

Ovaj rezultat vrijedi za sve vrste ubrzanog gibanja po pravcu, samo treba voditi

rauna o tome da je u sluaju usporavanja a < 0.3U jednadbi (2) funkcija pod integralom, tj. podintegralna funkcija, je f(x). U jednadbi (4)

to je xn.

4

Ako bismo eljeli nai ovisnost puta o vremenu, potrebno je samo jo jednom

integrirati izraz za brzinu, izraz (13). Pojavit e se integraltdt, koji je prema

jednadbi (4) jednak 12t2. Takoer e se pojaviti jo jedna konstanta integracije,

koja odgovara putu preenom do trenutka t = 0, a koju obino oznaavamo s s0.

Formalno je, dakle, izraz za put jednak

s(t) = s0 + v0t+ at2

2. (14)

U praksi najee nema potrebe da se denira koliki je put tijelo prelo prije poetka

mjerenja vremena, tj. trenutka t = 0, pa najee uzimamo da je s0 = 0.

Mogue da vam se u ovom trenutku ini da je ovo puno muke nizato, jer su

vas zasad integrali potedjeli potrebe da pamtite jednu dodatnu formulu, koju je

lako nauiti, ali ve vas, primjerice, kod razliitih tipova hitaca poteuju pamenja

mnogih formula. Dovoljno je, recimo, znati da je kod kosog hica vx(t) = v0 cos i

vy(t) = v0 sin gt. Nije potrebno pamtiti izraze za x(t) i y(t). tovie, i izraze za

brzine vx i vy je lako izvesti ako znamo da je ax = 0 i ay = g te poetne uvjete

(tj. brzine u poetnom trenutku). Minus u ay = g pojavljuje se jer je smjer osi y

najee deniran prema gore, dok je ubrzanje sile tee, g, u suprotnom smjeru.