ECUACION DE VARIABLES SEPARABLES

ECUACIÓN DIFERENCIAL: Es una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o másvariables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

ORDEN: Es el orden mas alto de las derivadas.

GRADO: Es el máximo exponente que se encuentra en las derivadas de una ecuación diferencial.

LINEALIDAD: Una ecuación diferencial es lineal y de orden n si es de la forma

An(x) dny + an−1(x) dn−1y + .. + a1(x) dy + a0 y = g (x)

dxn dxn−1 dx

si g(x) = 0 la ecuación también es homogénea

si g(x) = 0 la ecuación no es homogénea

Si la ecuación no tiene la forma indicada por la formula no es lineal.

Solución de una ecuación diferencial: una ecuación f cualquiera en algún intervalo I es solución de unaecuación diferencial en el intervalo si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad.

Una ecuación diferencial es de variables separables si se puede llevar mediante operaciones a la forma .

dy = g (x)

dx h (x)

la derivada es la pendiente de la recta tangente a un punto

EJERCICIOS .

En los problemas diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden y elgrado.

1.− (1−x) yI − 4xyI + 5y = cos x lineal, orden 2, grado 1

2.− x d3y − 2 dy 4+ y = 0 no es lineal, orden 3, grado 4

dx3 dx

3.− yyI + 2y = 1 + x2 lineal, orden 1, grado 1

4.− x2dy + (y − xy − xex) dx = 0 lineal, orden 1, grado 1

5.− x3y(4) − x2 yII + 4xyI − 3y = 0 lineal, orden 4, grado 1

6.− d2y + 9y = sen y

1

dx2

En los problemas verifique que la funcion indicada es una solucion de la ecuacion diferencial n dada dondesea apropiada C1 y C2son constantes.

Variables separadas

6.− dy = 2x

dx

exdy= 2xdx

dy=2xdx

ex

Sustituyendo

ex(2xe−x)=2x

ex2x = 2x

ex

2x=2x

#dy=2x dx

# ex

y=2"x/exdx

y=2"xe−x

"udv=uv−"vdu

−xe−x −"−e−x

−xe−x −"−e−x

y=2(−xe−x + e−x)+c

dy=2 (−x(−ex) + e−x (−1) +e−x

=2(xe−x + e−x + e−x)

dy= 2xe−x

dx

7.− xy'= 4y

2

x dy = 4y

dx

x dy = 4 dy dx

dy = dx

4y x

#dy = dx 1 In x + c

#4y x 4

In y ¼= In x + c

!Iny ¼ = !Inx !c

y1/4 = x

y = cx4

8.− dy + 2xy = 0

dx

dy =− 2xydx

dx

dy =−2x dx

y

#dy = −2"x dx

# y

Iny = −2 x2 + c

2

!iny = !−x2 + c

y = !−x2 !c

y = c!−x2

y = c

!x2

3

9.−dy/dx= y3 / x2

dy=y3/ x2 dx

y="y3/x2

y=y3"x−2dx

y=y3(−x−1)

y= − y3

x

dy = − y3

dx x

dy = (− x (0) − y3 (1) )

dx x2

dy = − (−y3) = y3 +c

dy x2 x2

ejercicios

10.−dy = y + 1

dx x

dy =y +1/x

"dy = " ydx + 1 / xdx

y= y+"1/x

y= y+ln x + c

y´= y + ln x

y´=y+1/x

y´=y+1/x

sustituyendo

y+1/x= y + i/x

26.− sen 3x dx + 2y cos3 3x dy = 0

4

2y cos3 3x dy = −sen 3x dx

2y dy = −sen 3x dx

cos3 3x

2"y dy = −1#sen 3x dx

3# cos3 3x

2 y2 = − 1 x−2 + c

2 3 −2

y2 = 1/6 x−2 + c

y2 = 1 + c

6x2

28.− sec x dy = x cot y dx

1−cos x dy = x cot y dx

1−cos x dy = x [cos y / sen y]dx

dy = x [cos y / sen y]dx

1−cos x

dy = x dx x/1 dx = sec x

cos y/ sen y −1cos x sec x/ tan x x tan x

= 1 sec x

x tan x

= −x cos x

#cos y dy = x dx −x cos x dx

# sen y

−"x cos y = x sen x − "−sen x dx

=x sen x + cos x

In sen y = x2/2 − y sen x − cos y

29.− (ey + 1)2 e−y dx (ex + 1)3 e−x dy = 0

5

(ey + 1)3 e −x dy = − (ey + 1)2 e−y dx

dy = dx

(ey+1)2e−y (ex +1)3 e−x

−eydy = ex dx

(ey+1)2 (ex +1)3

−ey (ey+1)−2dy = !x(!x+1)−3dx

−"!y(!y+1)−2dy = "!x(!x+1)−3dx

− 1 = −1

( !y+1) 2(ex+1)2

1 = 1 [ 1 ]

(ey+1 2 (ex+1)2

30.− y dy = (1+y2)1/2 (1+y2)1/2

x dx

# y dy = # x dx (1+x)1/2

# (1+y2)1/2 #

1 = 2 (1+x2)3/2

(1+y2)1/2 3

36.− secy dy + sen (x+y) = sen (x+y)

dx

sec y dy = [ sen (x+y) − sen (x−y) ] dx

formulas

sen (x+y) = sen x cos y + cos x sen y

−sen (x−y) = sen x cos y −sen y cos x

secy dy =2 sen y cos x dx

sec y dy = 2cos x dx

sen y

6

1 dy = 2cos x dx

cos y sen y

2 dy = 2cos x dx

2 cos y sen y

2 dy = 2 cos x dx

sen 2y

2 csc 2y dy = cos x dx

"csc 2y dy =" cos x dx

1 ln (sec 2y − cot 2y ) = sen x + c

2

11.− 2yI + y = 0 ; y = e−x/2

y = e−x/2

yI = e−x/2 d − x

dx 2

yI = e−x/2 (−1/2)

yI = −1/2 e−x/2

2 (−1/2 e−x/2 ) + e−x/2

= − e−x/2 + e−x/2

= 0

12.− yI + 4y = 32 ; y = 8

yI = 0 sustituyendo con y = 8

0 + 4 (8) = 32 por lo tanto y = 8 si es funcion

13.− dy − 2y = e3x , y = e3x + 10 e2x

dx

dy = d (e3x + 10 e2x)

dx

7

dy = 3e3x + 10*2 e2x

dx

dy = 3e3x + 20 e2x"

dx

(3 e3x + 20 e2x) − 2 (e3x + 10 e2x)

3e3x + 20 e2x − 2 e3x + 20 e2x = e 3x

16.− dy = " y/x ; y= ("x+C1)2

dx

dy="y/x dx ½ In y 1/2 + C1

dy=(y)1/2 / (x)1/2 ½ In y 1/2 = ½ In ½ + C dy = dx In y ½ = 2/2 In x1/2 + C

(y)1/2 (x)1/2 In y1/2 = In X1/2

1 # dy = 1 # dx !In y ½ = !In x ½ + C

2 # (y)1/2 2 # (x)1/2 y1/2 = x1/2 + C y= (x1/2 +C)2

17.− y' + y sen x ; y = ½ senx ½ cosx + 10!−x

y'+ y senx = 0 eln1/y =e−cosx + c

1 = e−cos x+ c

dy = −ysenx y

dx

dy= −y senx dx y −1 = e−cos x + c

−dy = senx dx y = ecos x +c

y

−#dy = "senx dx y' = ! cos (− sen x)

# y y' = − sen x ! cos x

−In y = − cosx + C

In y1/y = − cosx + c

18.− 2xy dx + (x2 + 2y) dy = 0 ; X2y + y2 = C1

8

(x2+ 2y)dy = −2x y dx

dy= −2xy

(x2+2y)

dy = − 2x dx

y x2+ 2y

In y = −2# x dx

#( x2+ 2y)

In y = −2/2 In (x2 + 2y)

In y = In 1

(x2 + 2y)

!In y = !In 1/ (x2 + 2y)

y= 1/ (x2 + 2y) + !c

y(x2 +2y) = 1 + c1

x2y + 2y2 = ½ + c1

2 2 2

2x2y + 2y2 = 2 + 2 c1

2 2 2

x2y +2y2 = C1

x2dy + 2y dy = −2xy dx

dy + 2y dy = −2 xy dx

x2

dy + 2y dy = −2x dx

x2

dy + 2y dy = −2 x dx

y x2

dy + 2dy = −2x dx

9

y x2

#dy − 2 "dy = − "2x dx

# y x2

In y + 2y = In x−2 + c

!In y + !2y = ! In 1/x2 + C

y + ! 2y = 1 / x2 + C1

x2y + x2!2y = c1

19.− x2 dy + 2xy dx = 0 ; y = −1 / x2

x2 dy = − 2xy dx

dy = −2xy dx

x2

dy = −2x dx

y x2

In y = − in x−2

!Iny= !In −1/x2

y = −1 / x2

20.− (y')3+ xy' = y ; y = x+1

y' + xy' = y1/3

y'( 1+x) = y1/3

y' = y1/3

(1+x)

dy = 1 dx

y1/3 (1+x)

#dy = # dx

#y1/3 #(1+x)

3In y1/3 = In (1+x)

10

In y3/3 = In (1+x)

!Iny = !In (1+x)

y = x+1

30.− d2y − 4dy + 4y = 0 ; y = !2x + x!2x

dx2 dx

dy = 2 !2x+ [x(2!2x) + !2x(1)]

dx

= 2!2x + 2x !2x + !2x= 3!2x + 2x !2x

dy = 6!2x + [2x(2!2x +!2x(2)

dx2

= 6!2x + 4!2x + 2!2x = 8!2x + 4x !2x

Sustitucion

8!2x + 4x !2x − 4[3!2x + 2x !2x] + 4 [!2x + x !2x] = 0

8!2x + 4x !2x −12!2x − 8x !2x + 4! 2x + 4x !2x = 0

0 = 0

31.− y'' =y ; y = cos hx + sen hx

hx = 0

y = cos � + sen �

y'= −sen � + cos �

y''= −(cos �) −sen �

y''= − cos hx − sen hx

y''= −1 ( −cos hx − sen hx)

y''= cos hx + sen hx

32.− y'' + 25y = 0 ; y= C1 cos 5x

y''+ 25( c cos 5x) = 0

dy dy + 25 C1 cos 5x=0

11

dx dx

dy dy = 25c1 cos 5x

dx

dy dy = ( 25c cos 5xdx) dx

"dy "dy = "( 25c cos 5xdx) "dx

y2 = 25c1 cos 5x /5

y="25c1 cos 5x

5

y="5c1 cos 5x

5

y = c1 cos 5x

y' = c1 (−5 sen 5x)

y'' = c1 [−5(5cos 5x )]

y'' = −c1 25 cos 5x

Sustitucion

−c1 25 cos 5x + 25 c1 cos 5x = 0

0 = 0

33.− y'' + (y')2 = 0 ; y = In Ix + c1I + c2

y' = 1 + 0

Ix+c1I

y'' = Ix+ c1I 0 + c1

iX+ c1I2

y'' = 1

I x + c12

sustitucion

−1/Ix + c1I + (1/Ix+c1I)2 = 0

12

0 = 0

y''+ ( y')2 = 0

y'' = −(y')2

"y'' = −y

dy = −"y''dx

dx

dy= −(dy/dx)½ (dy /dx)½ dx

dy = − dy/dx dx

dy/dy = −dx/dx

"dy/dy = −"dx/dx + c1

dy/y = −(dx/x)+ c1

"dy/y = "dx/x + c1 + c2

In y = (Inx + c1) + c2

!In y = !(In x +c) +c

y = 1 / x + c1 + c2

1 = In Ix+c1I

x+c1

ECUACIONES HOMOGENEAS

Si una ecuación diferencial en la forma ..

M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Tiene la propiedad ..

M(tx,ty) = tn M (x,y) y N (tx,ty ) = tn N (x,y)

Que es una ecuación homogenea o que tiene coeficientes homogeneos

Una ecuación homogenea siempre se puede transformar a una de variables separables por medio del cambiode variable o de sustitución ..

y = ux dy = udx + xdu

x = vy dx = vdy + ydv

13

f (x,y) es una ecuación homogenea de grado n si ..

f (tx, ty) = tn f (x,y)

Ejercicios ..

En los problemas 1−10 determine si la funcion dada es homogenea, si lo es, indique su grado dehomogeneidad .

1.− x2 + 2xy − y3

x

f (x,y ) x2 + 2xy − y3

x

f (tx,ty) = (tx)2 + 2 (tx)(ty) − (ty)3

tx

f (tx,ty) = t2x2 + 2 t2 xy − t3y3

tx

f (tx,ty) = t2 (x2 + 2xy − y3/x)

f (tx,ty) = t2 f (x,y)

por lo tanto f (x,y ) es homogenes de grado 2

2.− "x+y (4x + 3y)

f(x,y) = "x+y (4x + 3y)

f (tx,ty) = "tx + ty (4x + 3y)

f (tx,ty) = " t (x,y) t (4x + 3y)

f (tx,ty) = " t "x+y t (4x + 3y)

f (tx,ty) = t ½ " x+y tI (4x + 3y)

f (tx,ty) = t 3/2 " x+ y (4x + 3y)

por lo tanto f (tx,ty) = t3/2 f (x,y)

por lo tanto la funcion es homogenea de grado n = 3/2

3.− x3y − x2y2

x + 8y

14

f (x,y ) = x3y − x2y2

x + 8y

f (tx,ty) = (tx)3 ty − (tx)2 (ty)2

tx + 8 (ty)

f (tx,ty) = t3x3 ty − t2 x2 t2 y2

tx + 8ty

f (tx,ty) = t4x3y − t4 x2 y2

t (x + 8y)

f (tx,ty) = t4 (x3y − x2y2)

t (x + 8y)

= t3 f (x,y) por lo tanto es homogenea de grado n=3

4.− x / y2"x4+y4

F(x,y)= x / y2 + "x4+y4

F(tx,ty)= tx / t2y2 + ty4)1/2

= tx / t2y2 + [t4(x4 + y4)]1/2

= tx / t2y2 + t2 (x4+ y4)1/2

= tx / t2 (y2 +(x4+ y4)1/2

= x / t (y2 +(x4+ y4)1/2)

=1/t [x / y2 + (x2+y4)1/2]

=t−1 [x / y2 + (x2+y4)1/2]

Es homogénea de grado −1

5.− cos ( x2 /x+y)

f(x,y)=cos (x2/x+y)

f(tx,ty)=cos (t2x2/tx+ty)

=cos [t2x2 / t(x+y)]

=cos x2 / t (x+y)

15

=cos/t x2/(x+y)

=t−1 cos [x2 /(x+y)]

Homogénea de grado −1

6.− Sen ( x /x+y)

f(x,y)=sen (x/x+y)

f(tx,ty)= sen(tx/tx+ty)

=sen(tx/t(x+y))

=sen(x / (x+y) ) No es homogénea

7.− ln x2 − 2ln y

f(x,y)= ln x2 − 2lny

f(tx,ty)=tlnx2 − 2t ln y

=2tlnx − 2t lny

=t(lnx2 −2 ln y)

Es homogénea de grado 1

8.− (ln x3/ ln y3)

f(x,y)=(lnx3/lny3)

f(tx,ty)= 3t ln / 3t ln y

No es homogenea

9.− (x + y + 1)2

No es homogenea por contener una constante.

EJERCICIOS ....

Resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución apropiada

11.− (x − y) dx + xdy = 0

M (x,y) = ( x − y )

N ( x, y) = x

M (tx,ty) = tx − ty

16

M (tx,ty) = t (x,y)

M (tx,ty) = t M (x,y)

Por lo tanto M (x,y) es homogenes de grado n = 1 y N (x,y) tambien es homogenea de grado n=1

Para la ecuación diferencial homogenea se puede utilizar los siguientes cambios de variable .

a) y = ux dy= udx + xdu

b) x = vy dx = vdy + ydv

utilizando el cambio ..

y = ux dy= udx + xdu

la ecuación diferencial se transforma en ..

(x − ux) dx + x (udx + xdu) = 0

x (1 − u ) dx + xudx + x2du = 0

x [1−u+u]dx + x2du = 0

xdx + x2du = 0

x dx + x2 du = 0

x2 x2 x2

dx + du = 0

x

du = − dx

x

"du = − "dx/d por formula .

U = ln x + c

U = c − ln x pero u = y/x

Por lo tanto sustituyendo en u = c − lnx

y = c − lnx y = x (c − lnx)

x

y = cx − xlnx solucion final

17

HOMOGENEAS CON VARIABLES SEPARABLES

13.− xdx + (y + 2x) dy = 0

m(x,y)=x

n(x,y)=y+2x

m(tx,ty)=tx

n(tx,ty)=t(y+2x) son homogéneas

x[dx+2xdy]+ydy=0

x[dx+2x(udx+xdu)] + [y(udx+xdu)] = o

x[dx +2xudx + 2x2du] + [yudx + yxdu] = 0

xdx +2x2udx + 2x3du + yudx + yxdu = 0

xdx + udx (2x2+y) + xdu (2x2+y)=0

xdx + udx + xdu = 0

(2x2+y) z

x"du= − #xdx − u#dx

# z #

xu = − 1 ln z − ux

4

u= − 1 lnz − u

4x

2u=−1/4xlnz

u= − 8x lnz

u= y

x

u= −8x ln z +c = −8 lnz +c/x

u= −8ln (2x2+y)+ c/x

14.− ydx = 2 (x−y) dy

18

m(x,y)=y

n(x,y)=2(x−y)dy

m(tx,ty)=ty

n(tx,ty)=t[2(x−y)]

dx=2(x−y)dy

dx=2xdy−ydy

dx=2xdy−ydy/y

dx=2xdy−dy

dx=dy(2x−1)

dx=(udx+xdu) (2x−1)

dx=2xudx+2x2du−udx−xdu

dx=udx(2x−1)+xdu(2x−1)

dx =udx+xdu

(2x−1)

# dx =u#dx + x#du

#(x−1) # #

1 ln z =ux+xu

2

1 ln z = 2ux

2

u=1/2 x ln z

½

u=2x ln z

u=2x/x ln z

u=2 ln z

u=2 ln (2x−1)

19

15.−(y2+yx)dx−x2dy=0

[(ux)2+(ux)x)dx − x2[udx+xdu]=0

(u2x2+ux2)dx − x2udx + x3 du=0

(x2(u2+u−u)dx+x3du=0

x2[(u2)dx+xdu]=0

x2u2dx+x3du=0

x3du=x2u2dx

xdu =x2dx

u2

du=x2dx

u2

du=x2dx

u2 x3

du=dx

u2 x

ln u2=ln x

elnu2=elnx+c c1=ec

u2=xc1

u="xc1

u="x "c1

u="x"c1

x

u="c1

x

16.− (y2+yx)dx+x2dy=0

[(ux)2+(ux)x)dx + x2[udx+xdu]=0

20

(u2x2+ux2)dx + x2udx + x3 du=0

x2dx[u2+u+u]+x3du=0

x2dx[u2+2u]+x3du=0

x3du =x2dx

(u2+2u)

du = − dx

(u2+2u) x

½ ln (u2+2u) = −ln x

ln z2=ln x

elnz2=eln1/x+ec =c1

z2=c1/x

z= "c1 / "x

z= "c1 / "x

x

z=x"x

"c1

17.−dy = y − x

dx y +x

dy/dx − x/x

dy/dx= −1

dy= −dx

udx+xdu= −dx

u+xdu/dx= −1

xdu/ux= −u

xdu= −udx

#du = #dx

21

#u # x

−ln u = ln x

ln 1/u =ln x

eln1/u =eln x +c

u−1 = c1x

u= 1

c1 x

ECUACIONES EXACTAS

Una expresión diferencial ..

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Nota .•

Una diferencial exacta puede provenir de un producto o un cociente de funciones, por ejemplo;

d (x,y) = xdy + ydx

d x = ydx − xdy

y y2

¿ la ecuación xdy + ydx = 0 es exacta ?

si porque la ecuación se puede expresar como

xdy + ydx = d (x,y)

osea que la ecuación proviene de la diferencial de una funcion en este caso la funcion es.

f (x,y) = xy

¿ la ecuación ydx−xdy = 0 es exacta ?

y2

si porque ydx − xdy = d x

y2 y

osea que la ecuación proviene de la diferencial de una funcion .. f = x

y

22

¿la ecuación xdy − ydx = 0 es una ecuación exacta ?

x2

si pues por inspeccion encontramos que la ecuación se puede expresar como la diferencial de la funcion

f = y es decir . xdy − ydx = d x

x x2 y

¿la ecuación siguiente es exacta 2yxdx − x2dy = 0 ?

y2

si pues 2yxdx − x2dy = d x2 f = x2

y2 y y

METODO DE SOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

En los ejemplos anteriores vimos como verificar si una ecuación diferencial es exacta utilizando las formulas..

d (uv) = udv + vdu

d u = vdu − udv

v v2

ahora aplicaremos otra técnica para verificar si las ecuaciones diferenciales son exactas además de desarrollarla técnica para encontrar la solución. Se utilizan principalmente tres formulas ..

si M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 es la ecuación diferencial se utilizan .

dM = dN para verificar si la ecuación diferencial es exacta

dy dx

df = M (x,y)

df = N

dy

EJEMPLOS ..

Resolver la ecuación 2xydx + (x2 − 1 )dy = 0

M (x,y) = 2xy

N (x,y) = x2 − 1

23

dM = d 2xy = 2x

dy dy

dN = d (x2−1) = 2x − 0

dx dx

dM = dN = 2x

dy dx

aplicar df = M esto es .

dx

df = 2xy df = 2xy dx

dx

" df = " 2xy dx

f = 2y " xdx

f = 2y x2 + g (y) solucion provisional

2

aplicar df = N esto es .

dy

df = x2 −1 con f = yx2 + g (y)

dy

derivar .

d (yx2 + g (y)) = x2 + gI (y) = x2 − 1

gI (y) = x2 −1 − x2

gI (y) = −1 o dg(y) = −1dy

integrando se tiene .

" d g(y) = −1 " dy

g(y) = −y

sustituyendo en f = yx2 + g (y) se tiene −−−−−

24

f = yx2 − y solucion semifinal

f = yx2 − y = c solucion final (al igualar a una constante )

Exactas

1.− (2x+4)dx + (3x−1)dy =0

M=2x+4

N=3y−1

dM/dY =0

dn/dX =0 dM/dY = dN/dX

la ecuación es exacta se usan

df/dx=M

df/dy=N

1ª df/dx=M

df/dx=2x+4 df=(2x+4)dx

"df="(2x+4)dx

f=x2 + 4x + g(r)

2ª df/dy=N

d/dy(x2+4x+g(y))=g´(y)=3y−1

dg(y)=(3y−1)dy

"dg = "(3y−1)dy

g(y)=3y2/2 − y

sustituyendo en la S.P.

f=x2 + 4x + 3/2 y2 − y = c

2.− (2x+y)dx − (x+6y)dy = 0

M=2x+y

N=−(x+6y)

dM/dy= 1

25

dM/dx= −1 dM/dy " dN/dx

la e.d. no es exacta

3.− (5x+4y)dx + (4x − 8y3)dy = 0

M=5x + 4y

N=4x − 8y3

DM/dy = 4

DM/dx = 4

La e.d. es exacta

df/dx=M df M dx

df=Mdx

df=(5x+4y)dx

df=5xdx + 4ydx

"df="5xdx + 4y "dx

f=5x2/2 + 4yx + g(y)

df/dy=N d/dy 5x2/2 + 4yx + g(y) = 4x − 8y3

4x + g(y)=4x−8y3

g`(y) = 4x − 8y3

"dg(y) = "−8y3

g(y)=−8y4/4

g(y)=−2y4

f=5/2x2 + 4yx − 2y4

f=x[5/2 x + 2y (2−y3)]

4.− (seny−ysnex)dx + (cosh + xcosx − y)dy=0

M=(x,y)=sen y − ysenx

N=(x,y)=cosh + xcosx − y

DM/dy = cosy − senx

26

DN/dx= −senx + cos y

La ecuación es exacta

df/dx=M df/Mdx

df= (senx − ysenx)dx

df = xseny + y cosx

"df = xseny + y cosh

f= xseny + ycosx + g(r)

df/dy= N

dxsenx + ycosx + g(x) = cos x + xcosd − ydy

xcosy + cos x + g`(x) = cos x + xcosd − ydy

g´(y)= − ydy

"dg(y) = − "ydy = − y2/2

f=xseny + ycosx − y2/2

f=xseny + y (cosh − y/2)

5.− (2y2x − 3)dx + (2yx2 + 4) dy = 0

M=2y2x − 3

N=2yx2 + 4

dM/dy = 4yx

dN/dx= 4yx

df/dx=2y2x − 3

df = 2y2x − 3 dx

"df = 2y2 x2/2 − 3x

f=y2x2 −3xdx

df/dy=N

d/dy=y2x2 − 3x+g(y) = 2yx2 +4

d=2yx2 g(x)= 2yx2 +4

27

2xy2 − 2xy2 − 4 g(y) = 0

g(x)=4

"dgy="4dy

g(y)´= −4y

f= y2x2 − 3x + 4y = c

15.− ( 1 −3/x + y)dx + (1 − 3/y + x) dy

M=(x,y)= 1 − 3/x + y

N=(x,y)=1−3/y + x

dM/dy = 1

dN/dx= 1

la ecuación es exacta.

Df/dx=M df=Mdx

Df=(1 − 3/x + y)dx

Df= dx − 3 dx/x + y dx

"df = x − 3lnx + yx + g(x)

dx − 3lnx + yx + g(x) = 1−3/y+x

dx

x + g´(y)=1 − 3/y + x

dg(y) = (1 − 3/y) dx

dg(y) = (1 − 3/y) dx

g(x) = x − 3x/y

f= x − 3lnx + yx + x − 3x/y

= − 3ln x + x (1+y+1 − 3/y)

= − 3ln x + x (2+ y − 3/y) + c

17.− (x2+y3 − 1 ) dx + cx3 y2)dy = 0

1+9x2

28

M(x,y)=x2y3 − 1/1+9x2

N(x,y)=x3y2

dM/dy = 3x2 y3

dN/dx= 3x2y2

df/dy= N

df/dy = x3y2 = "df = "x3y2

f=x3y3/3 + g(x)

df/dx=M df/dx= x3y3/3 + g(x) = x2y3 − 1/1+9x2

3x2y3/3 + g (x) = x2y3 − 1 /1+9x2

g(x)=x2y3 − 1/1+9x2 − x2y3

g(x)= −1/1+9x2

"dg(x)=− dx/z

"dg(x)= ½ "dx

g(x)= x/z

z=(1+9x2)

F=x3x3 + x /(1+9x2)

3

f=x[x2y3/3 + 1 /(1+9x2)]

18.− (5y − 2x) dy − 2y dx = 0

M(x,y)= − 2y

N(x,y)= 5y − 2x

dM/dy= − 2

dN/dx= − 2

df/dx=M df= Mdx

df= −2ydx

"df= − 2y"dx

29

f=−2yx + g(y)

df/dy=N

df(−2yx +g(y) = (5y − 2x)dy

−2x + g(y) = (5"ydy − 2x "dy

g(y) =5y2/2 −2xy + 2x

g´(y) =5/2 y − 2x (y−1) z(y−1)

"dg(y) = 5/2 y "dx − 2x z "xdx

g(y) = 5/2 yx − zx2

f= −2yx + 5/2 yx −zx2

f=yx(−2/1 + 5/2) = x2(y−1)

f= yx/2 − x2 (y−1)

f=yx/2 − x(xy − 1)

19.− (tanx − senx seny)dx + (cosx cosy)dy

M(x,y)tanx − senx seny

N(x,y)cosh cosy

dM/dy= −senx cosy

dN/dx= −senx cosy

df/dx M df =Mdx

df/dy=N df= Ndy

df= cosx cosy dy

"df = cosx " cosy dy

f= cosx sen y + g(x)

d cosx seny + g (x) = tanx − senx sen y

−senx seny + g´(x) = tanx dx

"dg(x) = " tanx dx

g(x) ln |senx| + c

30

f= cosx seny + ln |senx| + c

20.− (3x cos 3x + sen 3x) dx + (2x + 5)dy

M(x,y)=3x cos 3x + sen 3x

N(x,y)=2y + 5

dM/dy= 0

dN/dx= 0

dM/dx = M

df = 2y + 5dy

"df = 2"xdx + 5"dy

f=2y2/2 + 5y + g(x)

d= y2 + 5y + g(x)= 3xcox 3x + sen 3x dx

g(x)="3xcos 3x dx + "sen 3x dy

g(x)=(sen 3x + cos 3x /3 )3 − cos 3x /3

"dg(x) = " sen 3x

g(x) = −cos 3x / 3

f= y2 + 5y − cos 3x/3

TRANSFORMACION DE ECUACIONES INEXACTAS A EXACTAS

Si una ecuación no es exacta se puede hacer exacta mediante las siguientes formulas

dln � = dM / dy − dN / dx

dx N

dln � = dN /dx − dM/dy

dy M

d (xayb) = xa b y b−1dy + y b a xa−1dx

= xa−b y b−1 (bxdy + aydx)

En ocasiones es posible trasnformar una ecuación diferencial no exacta en una ecuación exacta multiplicandopor un factor integrante � (x,y) que se determina con las formulas anteriores.

EJERCICIOS ..

31

En los problemas del 37− 42 resuelva la ecuación y verifique si � (x,y) es un factor integrante

37.− 6xy dx + (4y + 9x2)dy = 0 � (x,y) = y2

M(x,y) = 6xy N(x,y) = 4x + 9x2

dM = d 6xy = 6x dN = d (4y−9x2) = 18x

dy dy dx dx

como dM es diferente de dN la ecuación diferenciañ no es exacta

dy dx

la ecuación diferencial se hece exacta multiplicando por el factor de integración .

dln � = dN/ dx − dM/ dy = 18x − 6x

M 6xy

dln � = 12x = 2

dy 6xy y

dln � = 2 dln � = 2 dy

dy y y

integrando ..

"d ln� = 2"dy/y

ln � = 2 lny

aplicando exponenciales

eln� = elny2

� = y2 .. es el factor de integración

multiplicando la ecuación diferencial por x2 (se ignora �)

6xy3dx + (4y3 + 9x2y2) dx = 0

por lo tanto esta ecuación diferencial ya es exacta .

Comprobación .

M = 6xy3´ N = 4y3 + 9x2y2

dM / dy = 18xy2 dN / dx = 0 + 18 xy2

32

por lo tanto .. dM/dy = dN/dx lo que indica que la ecuación diferencial es exacta

Ecuaciones de Bernoulli

1.− x dy + y = 1

dx y2

dy + y = 1 + 1

dx x x y2

dy + y = 1 + y−2

dx x x

p(x)= 1/x F(x)= 1/x n=−2 w = y1−n= y3

dw + (1−n) p(x)w = (1−n) f(x)

dy

dw +3 1 w = 3 1

dx x x

dw+[31 w − 3 1] dx = 0

x x

3 (w−1)dx + 1dw = 0

x

dIn� = dM/dw − dN/dx

x N

dM = d [3/x (w−1)] = 3 (1−0)

dw dw x

dIn� =3/x − 0 = 3

x 1 x

"dIn�= 3 "1/x dx

In� = 3In x

eIn� = eIn x3

33

� = x3

3x2(w−1)dx + x3 dw = 0

df = M df = N

dx dw

df= 3x2(w−1)dx

"df = "3x2(w−1)dx

f= 3(w−1) x3 + g(w)

3

f=(w−1)x3 + g(w)

df = N

dw

d [(w−1)x3 + g(w)=x3

dw

x3 + g'(w) = x3

g(w) = C

f= (w−1) x3 + c = c

(w−1) x3 = C w=y3

(y3−1) x3 = C

y = "C/ x3 + 1

2.− x2 dy + y2 = xy

dx

dy + y2 = xy

dx x2 x2

dy + x−2y2 = y

dx x

dy −y = −x−2y2

34

dx x

p(x) = −1

x

f(x) = −x−2

n = 2

dw + (−1)(−1/x)w = (−1)(−x−2)

dx

dw + 1 w = x−2

dx x

dw + 1 w − x−2 = 0

dx x

dw + [1/x w − x−2]dx = 0

dM = 1/x

dw

dN = 0 No son exactas

dx

dIn� = dM/dw − dN/dx

dx N

dIn� = 1/x − 0

dx 1

dIn� = 1/x dx

" dIn� ="1/x dx

In � = In x

eIn� = eIn x

� = x

x dw + [ x/x w − x/x2]dx = 0

35

x dw + [ w − 1/x] dx = 0

df = M

dx

df = w − 1/x

dx

df= [w − 1/x] dx

"df = "w dx − "1/x dx

f= w"dx − In x

f = wx − In x + g(w)

df = N

dw

d wx − In x + g(w) = x

dw

x + g'(w)= x

g'(w) = x −x

g'(x) = 0

g(w) = c

f = wx −Inx + c

f= y−1x − In x + c

f = x/y − In x + C

y= x

Inx + c

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Se dice que un conjunto de funciones f1 (x), f2 (x) . Fn(x) es linealmente dependiente

Si en un intervalo I existen C1, C2 Cn constantes no todas cero tales que .

C1f1 (x) + C2f2 (x) + . Cnfn (x) = 0 para toda x en el intervalo

36

Se dice que un conjunto f1 (x), f2 (x) .fn (x) es linealmente independiente si no es linealmente dependiente enel intervalo I

Por ejemplo ...

f1( x) = sen 2x f2 (x) = senx cosx

son linealmente independientes en − < x <

verificación .....

C1f1 (x) + C2f2 (x) = 0

Tenemos que ver si se cumple la combinacion lineal ....

C1 sen 2x + C2 senx cosx = 0

Investigar por inspeccion los valores de C1 y C2 ...

Si C1 = 1 , C2 = 2 la combinación lineal se cumple, caso excluido

Si C1 = 1 , C2 = 2 entonces la combinación lineal queda ....

Sen2x + 2senxcosx

2senxcosx + 2 senxcosx

= 4senxcosx es diferente de cero (caso excluido)

si tomamos en cuenta que la combinación lineal se puede escribir ....

C1 2senxcosx + C2 senxcosx = 0

Dividimos entre senxcosx .....

C1 2 + C2 = 0 C1 = − C2

2

por lo tanto si existen C1 y C2 no todas cero tal que la combinación lineal sea igual con 0 ....

por lo tanto f1 (x) = sen2x y f2 (x) = senxcosx son linealmente dependientes

por ejemplo si C2 = 1 y C1 = −1/2

−1 2 senxcosx + 1 senxcosx = 0

2

en el ejemplo anterior se vio la dificultad de verificar si f1 (x) y f2 (x) eran linealmente dependientes. ElWronskiano es un determinante que permite facilitar la tarea anterior.

37

WRONSKIANO

Supongase que f1 (x), f2 (x) ...... fn (x) tiene n−1 derivadas si el determinante ...

f1 f2 ............. fn

f1I f2I ............. fnI

W =

f1(n−1) f2(n−1) ............. fn(n−1)

= 0 las funciones son linealmente dependientes

= 0 las funciones son linealmente independientes

Ejemplo .....

Determinar si f1 (x) = sen2x, f2(x) = cosxsenx son linealmente dependientes

Comprobación .....

Sen 2x cosxsenx

W =

2cos2x cosx cosh + sen (−senx)

sen 2x cosx senx

W =

2cos2x cos2 − sen2x

= sen 2x ( cos2x − sen2x ) − 2 cos2x ( cosx senx )

= sen 2x cos2x − sen2x sen2x − 2cosxsenx

* Nota .... cos 2x = cos2x − sen2x

cos 2x = 1 − 2sen2x

= 2senx cosh cos3x − 25 senx cosx sen2x − 2 (1−2 sen2x ) cosx senx

= 2 senx cos3x − 2sen3x cosx − 2 cosx senx − 4 sen2x cosx senx

= 2 senx cos3x − 2sen3x cosx − 2 cosx senx − 4 sen3x cosx

= 2 senx cos3x − 2sen3x cosx − 2 cosx senx descomponer cos3x / sen3x

= 2 senx cosx cos2x + 2 senx sen2x cosx − 2 cosx senx

38

= 2 senx cosx ( cos2x + sen2x ) − 2 cosx senx

= 2 senx cosx − 2 cosx senx = 0

por lo tanto f1(x) = sen 2x y f2(x) = cosh senx son linealmente dependientes

Comprobar que las funciones f1 (x) = sen2x f2(x) = 1−cos 2x son linealmente dependientes

sen2x 2sen2x

W =

2 senxcosx 4senxcosx

w =sen2x (4 senxcosx ) − 4 sen2x (senxcosx )

w = 4 sen3 x cosx − 4 sen3x cosx

W = 0

Por lo tanto f1 y f2 son linealmente dependientes

Operadores

1−10 factorice el operador diferencial cuando sea posible.

Definición dy = d y = Dy

Dx dx

d = D operador diferencial

dx

4D2 − 9•

(2D2) − 32 = (2D + 3) (2D − 3) aplicamos diferencia de cuadrados

D2 − 5 aplicando diferencia de cuadrados•

D2 − 5 = D2 − ("5 ) 2

= ( D + " 5 ) ( D − "5 )

3. D2 − 4D − 12 aplicando la formula general

a = 1 b = − 4 c = −12

D = − b +− " (b − 4ac)

2a

39

D = − (−4) +− " (−4) 2 − 4 (1) ( −12)

2

D = 4 +− " (16 + 48)

2

D = 4 +− " 64

2

D = 4 +− 8 = D1 = 6 D2 = −2 tomar como signo contrario para

2 factorizar

D2 − 4 D −12 = ( D − 6 ) ( D + 12 )

4. 2 D2 − 3 D −2 por formula general

D = 3 +− "( 32 − 4 (2)(−2) = D = 3 +− 5

2(2) 4

D1 = 2 D2 = − ½

Tomar con signo contrario

2 D2 − 3 D − 2 = ( D − 2)(D + ½)

comprobacion

D2 + ½ D − 2D −1 multlipicar por x

2D2 + D − 4 D − 2

forma dos

2 ( 2D2 − 3D − 2 ) =

2

4D2 − 3( 2D ) − 4 =

2

( 2D ) − 3 ( 2D ) − 4 =

2

( 2D − 4 ) ( 2D + 1) =

40

2

2 ( D − 2 ) (2D + 1)

2 2

2 ( D − 2 ) ( 2D+1) ( D − 2 )(2D + ½ )

2 2

6. D3 + 4 D

D3 + 4 D = D ( D2 + 4 )

a = 1 b=0 c=4

D = 0 +− " (0 − 4(1)(4))

2

D = +− " −16

2

D = +− " ((−1)(16))

2

D = +− i 4 D1 = 2i D2 = −2

2

7. D + 2D − 13D + 1 0 = (1−D)(2 − D)(5 + 0)

a) por división sintética

b) por inspección se divide entre x−1

D2 + 3D − 10

D −1 D3 + 2D2 − 13D + 10

−D3 + D2

3D2 − 13D + 10

−3D2 + 3D

−10D + 10

+ 10D − 10

41

0

D3 + 2D2 − 13D + 10 = ( D−1)(D2 +3D − 10)

= (D−1)(D+5)(D−2)

Factorización

D3 + 4D= D (D + 2i)( D −2i)

Comprobación

( D + 2i) ( D − 2i )

= D2 − ( 2i ) 2

= D2 − ( 4i2 )

= D2 − ( 4(−1) )

= D2 − 4 multiplicar por D

D ( D2 + 4 ) = D3 + 4D

9. D4+ 8D = D ( D3 + 8 )

D2 − 2D + 4

D + 2 D3 + 8

−D3 − 2D2

− 2D2 + 8

+ 2D2 + 4 D

4D + 8

−4D − 8

0

D = 2 +− " ( 4 −16 )

2

D= 2 +− " ( −12 )

2

D = 2 +− " (−1)(3)(4)

42

2

D= 2 +− i " (32) = D1= 1 + i" 3 D2= 1 − i" 3

2

D + 8D = D ( D + 2 ) ( D2 − 2D + 4 )

= D ( D + 2 )(1 + i" 3 ) ( 1 − i" 3 )

10. D4 − 8 D2 + 16 = ( D2 − 4) 2

definir x = D2 X2 = D4

x − 8X + 16

x= 8 +− " (64− 64)

2

x= 8/2 = 4 D2 = 4 D= +− " 4 D= +− 2

" D4 − 8D2 + 16 = ( D2 −22 )( D2 + 22 ) = ( D2 − 4 ) 2

Operador anulador anula a cada uno de los polinomios

El operador diferencial D anula d = D

dx

1 x x2 xn−1

Numerador 1 2 3 n terminos

La constante 1 se anula con d1 = 0

dx

nota: cualquier numero o constante tiene grado 0

x1 d2x' = d1 = 0 D2 anulador

dx2 dx

x2 d3x2 = d22x = d2 = 0 D3 anulador

dx3 dx2 dx

x3 d4x3 = d33x2 = d26x = d6 = 0 D4 anulador

dx4 dx3 dx2 dx

43

ejemplo. Hallar un operador diferencial que aunque la siguiente funciones

1 − 5x2 + 8x3 solucion el anulador es D4

comprobación D4 ( 1 − 5x2 + 8x3 ) = D3 ( 0 − 10x + 24 x2 )

D2 ( −10 + 48 x )

D1 ( 48 )

D = 0

Operador diferencial ( D − ")n

Anula cada una de las funciones

e"x x e"x x2 e"x x3 e"x xn−1 e"x

n= 1 2 3 4 n

e2x (D− 2) 1 e2x = De2x − 2 e2x

= 2 e 2x − 2e2x

" D−2 es el anulador de e2x

xe2x (D − 2) 2 e2x = (D−2)(D−2) xe2x

= (D−2)(Dxe2x − 2xe2x)

= (D − 2 )(x2e2x + e2x − 2xe2x)

= ( D − 2 ) ( e2x)

= De2x − 2e2x

= 2e2x − 2e2x = 0 " (D − 2) 2 es el anulador xe2x

f1(x) = x f2 (x)= w −x si x " o; x " 0

x " 0 :%1%= 1 x < 0 : %−1% = − ( −1) = 1

%2%= 2 %−2%= − ( − 2) = 2

asi sucesivamente

grafic f1 y f2

f2 (x) = (x)

y

44

De − 00 a 0 f1 y f2 son linealmente independientes

De 0 a +00 f1 y f2 son linealmente dependientes

La combinación de f1 y f2 de −00 es linealmente apoyándose en las líneas anteriores de −00 a f1 y f2 sonlinealmente independientes lo que implica que c1 f1(x) + c2 f(x) =0 se cumple

Si c1 = c2 = 0

De o a +00 f1 y f2 son linealmente dependientes lo que implica que c1 f(x) + c2 f2 (x) son LD lo que implicaque c1 f1(x) + c2 f2(x) = 0 se puede cumplir si e2=c2

45