ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V

PRAZE KATEDRA FYZIKY

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméno

Stanislav Matoušek Datum měření 7. 3. 2005

Stud. rok 2004/2005

Ročník 1.

Datum odevzdání 21. 3. 2005

Stud. skupina 405/158

Lab. skupina 1

Klasifikace

Číslo úlohy 1

Název úlohy Měření objemu tuhých těles

Úkol merania • Zmerajte objem hranolu a valca • Vypočítajte z nameraných hodnôt pravdepodobnú chybu jednotlivých rozmerov skúmaného

telesa • Vypočítajte pravdepodobnú chybu meraní objemu telesa

Obecná časť Objem hranolu vypočítame zo vzorca ( )cbafcbaV ,,.. == , kde a, b, c sú strany hranolu.

Pravdepodobnú chybu výsledku vypočítame zo vzorca ( ) ( )∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=n

ii

iy

yf

f1

.ϑϑ , teda

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]222222

......... cbabcaacbcc

Vbb

Vaa

VV hhhh ϑϑϑϑϑϑϑ ++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

= kde

( ) ( ) ( )cba ϑϑϑ ,, sú pravdepodobné chyby aritmetického priemeru strán hranolu. Pravdepodobné chyby aritmetického priemeru:

( ) ( ) ( )( )

( )

( )1..

32

1..

32

32 1

2

1

2

−

∆=

−

−===

∑∑==

nn

a

nn

aas

naa

n

ii

n

iiϑϑ ,

kde ( )aϑ je pravdepodobná chyba, s je stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru

( )( )1.

1

2

−

−

=∑=

nn

aa

s

n

ii

, n je počet meraní, a∆ je odchýlka súboru nameraných hodnôt od aritmetického

priemeru aaa i −=∆ , a je aritmetický priemer ∑=

=n

iia

na

1

.1 .

Podobne to platí pre zvyšné dva parametre b, c.

Objem valca vypočítame zo vzorca ( )ldfldV ,4

.. 2

==π

, kde d je priemer valca a l je výška valca.

Pravdepodobnú chybu výsledku vypočítame zo vzorca ( ) ( )∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=n

ii

iy

yff

1

.ϑϑ , teda

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2222

.4

...2

.. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

= ldddlll

Vd

dV

V vvv ϑπϑπϑϑϑ , kde ( ) ( )ld ϑϑ , sú

pravdepodobné chyby aritmetického priemeru rozmerov valca. Pravdepodobné chyby aritmetického priemeru:

( ) ( ) ( )( )

( )

( )1..

32

1..

32

32 1

2

1

2

−

∆=

−

−===

∑∑==

nn

d

nn

dds

ndd

n

ii

n

iiϑϑ , kde ( )dϑ je pravdepodobná chyba, s je

stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru ( )( )1.

1

2

−

−

=∑=

nn

dd

s

n

ii

, n je počet meraní, d∆ je

odchýlka súboru nameraných hodnôt od aritmetického priemeru ddd i −=∆ , d je aritmetický priemer

∑=

=n

iid

nd

1

.1 .

Podobne to platí i pre výšku h. Postup meraní

• Merania uskutočňujeme posuvným merítkom alebo mikrometrom. • Merania opakujeme pre každý rozmer 15-krát, meriame po obvode steny. • Namerané hodnoty zapíšeme do tabuliek a vypočítame aritmetický priemer, odchýlky

aritmetických priemerov a výsledné objemy. Použité prístroje a pomôcky

• Mikrometer • Posuvné merítko • Hranol č. 29 • Valec č. 77

Namerané hodnoty a spracované výsledky Meranie objemu hranolu:

č. merania [ ]mmai [ ]mmai∆ ( ) [ ]22 mmai∆

1 38,94 -0,03 0,0009 2 38,96 -0,01 0,0001 3 39,00 0,03 0,0009 4 38,90 -0,07 0,0048 5 39,00 0,03 0,0009 6 38,98 0,01 0,0001 7 38,94 -0,03 0,0009 8 38,96 -0,01 0,0001 9 38,98 0,01 0,0001

10 38,96 -0,01 0,0001 11 39,02 0,05 0,0026 12 38,94 -0,03 0,0009 13 38,96 -0,01 0,0001 14 39,02 0,05 0,0026 15 38,98 0,01 0,0001

celkom 584,54 0,0152

a 38,969 Pravdepodobná chyba aritmetického priemeru:

( )( )

( ) ( ) mmnn

aa

n

ii

0057,0115.15

0152,0.32

1..

32 1

2

=−

=−

∆=

∑=ϑ

( )mma 0057,09693,38 ±=

č. merania [ ]mmbi [ ]mmbi∆ ( ) [ ]22 mmbi∆

1 20,00 0,07 0,0056 2 20,04 0,11 0,0131 3 19,76 -0,17 0,0273 4 19,94 0,01 0,0002 5 19,82 -0,11 0,0111 6 20,00 0,07 0,0056 7 19,90 -0,03 0,0006 8 20,02 0,09 0,009 9 19,80 -0,13 0,0157

10 19,92 -0,01 0 11 19,98 0,05 0,003 12 19,78 -0,15 0,0211 13 20,04 0,11 0,0131 14 19,86 -0,07 0,0043 15 20,02 0,09 0,009

celkom 298,88 0,1387

b 19,925 Pravdepodobná chyba aritmetického priemeru:

( )( )

( ) ( ) mmnn

bb

n

ii

017,0115.15

1387,0.32

1..

32 1

2

=−

=−

∆=

∑=ϑ

( )mmb 017,0925,19 ±=

č.

merania [ ]mmci [ ]mmci∆ ( ) [ ]22 mmci∆1 13,38 0,14 0,0204 2 13,17 -0,07 0,0045 3 13,12 -0,12 0,0138 4 13,16 -0,08 0,006 5 13,09 -0,15 0,0217 6 13,13 -0,11 0,0115 7 13,30 0,06 0,0039 8 13,15 -0,09 0,0076 9 13,39 0,15 0,0233

10 13,37 0,13 0,0176 11 13,08 -0,16 0,0248 12 13,30 0,06 0,0039 13 13,39 0,15 0,0233 14 13,23 -0,01 0,0001 15 13,30 0,06 0,0039

celkom 198,56 0,1863

c 13,237 Pravdepodobná chyba aritmetického priemeru:

( )( )

( ) ( ) mmnn

cc

n

ii

02,0115.15

1863,0.32

1..

32 1

2

=−

=−

∆=

∑=ϑ

( )mmc 02,024,13 ±=

Objem hranolu: 397,10277.. mmcbaV ==

Pravdepodobná chyba objemu hranolu:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 322290,1715,24190,7626,2...... mmcbabcaacbVh =++=++= ϑϑϑϑ

Objem hranolu je ( ) 31810278 mmVh ±= Meranie objemu valca:

č. merania [ ]mmdi [ ]mmdi∆ ( ) [ ]22 mmdi∆

1 13,19 -0,09 0,0086 2 13,16 -0,12 0,015 3 13,45 0,17 0,028 4 13,31 0,03 0,0007 5 13,17 -0,11 0,0127 6 13,34 0,06 0,0033 7 13,46 0,18 0,0314 8 13,22 -0,06 0,0039 9 13,34 0,06 0,0033

10 13,26 -0,02 0,0005 11 13,24 -0,04 0,0018 12 13,45 0,17 0,028 13 13,22 -0,06 0,0039 14 13,17 -0,11 0,0127 15 13,26 -0,02 0,0005

celkom 199,24 0,1543

d 13,283 Pravdepodobná chyba aritmetického priemeru:

( )( )

( ) ( ) mmnn

dd

n

ii

018,0115.15

1543,0.32

1..

32 1

2

=−

=−

∆=

∑=ϑ

( )mmd 018,0283,13 ±=

č.

merania [ ]mmli [ ]mmli∆ ( ) [ ]22 mmli∆1 32,06 0,01 0,0001 2 32,04 -0,01 0,0001 3 32,12 0,07 0,0048 4 32,10 0,05 0,0024 5 32,08 0,03 0,0009 6 32,06 0,01 0,0001 7 32,10 0,05 0,0024 8 32,00 -0,05 0,0026 9 32,06 0,01 0,0001

10 32,02 -0,03 0,0009 11 32,08 0,03 0,0009 12 32,10 0,05 0,0024

13 31,96 -0,09 0,0082 14 31,98 -0,07 0,005 15 32,00 -0,05 0,0026

celkom 480,76 0,0335

l 32,051 Pravdepodobná chyba aritmetického priemeru:

( )( )

( ) ( ) mmnn

ll

n

ii

0084,0115.15

0335,0.32

1..

32 1

2

=−

=−

∆=

∑=ϑ

( )mml 0084,00506,32 ±=

Objem valca:

32 44.4441..4

mmldV ==π

Pravdepodobná chyba objemu valca:

( ) ( ) ( ) 32

22

15,1235,19,144.4

...2

mmldddlVv =+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= ϑπϑπϑ

Objem valca je ( ) 3124441 mmVv ±= Zhodnotenie výsledkov meraní Vzhľadom k nedokonalému opracovaniu meraných predmetov boli namerané rozmery valca a hranolu rozdielne. K chybám dochádzalo aj pri zaokrúhľovaní výsledkov, čo sa potom prejavilo aj v ďalších výpočtoch. Kontrolné otázky

1. Odvoďte z rovníc výrazy pre relatívnu pravdepodobnú chybu meraní objemu valca a hranolu a vyjadrite ich pomocou relatívnych chýb jednotlivých rozmerov.

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )ld

ldddl

ld

ldddl

VVV

cbacbabcaacb

VVV

vvR

hhR

..

.4

...2

.4

4..

.4

...2)()(

........)()(

2

22

2

2

22

2

222

π

ϑπϑπ

π

ϑπϑπυ

υ

ϑϑϑυυ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

==

++==

2. Závisí presnosť merania len na násobnosti opakovaní meraní tej istej veličiny?

Presnosť merania nezávisí len na násobnosti opakovaní meraní. Pri meraniach sa na výsledkoch prejavujú tri druhy chýb. Chyby náhodné, systematické a hrubé. Opakovaným meraním sa dajú odstrániť iba chyby náhodné. Vo všetkých meraniach sa môžu prejavovať

chyby hrubé (závada na meradle, chyby zavinené pozorovateľom) a systematické (spôsobené meracou metódou, nesprávne skalibrovanými prístrojmi a pod.).

3. Dá sa dosiahnuť ľubovoľná presnosť meranej veličiny?

Nedá, pretože v každom meraní je vždy obsiahnutá nejaká chyba (napr. chyba meracej metódy, nepresnosť meracieho prístroja a pod.).

4. Ako je definovaný odhad strednej kvadratickej chyby z jedného merania?

Odhad strednej kvadratickej chyby z jedného merania je definovaný ako

11

2

1

2

−

∆==∑∑==

nns

n

kk

n

kkε

.

5. Ako je definovaná krajná chyba výsledku? Krajná chyba výsledku (aritmetického priemeru) κ je definovaná vzťahom 3s=κ , resp.

s3=κ . Použitá literatúra M. Bednařík, P. Koníček, O. Jiříček: Fyzika I a II - Fyzikální praktikum, Vydavatelství ČVUT, 2003