28 Ⅰ.지수함수와로그함수

로그함수를이용하여

사람이느끼는감각의크기를알수있다.

조용한밤에는시계초침의작은소리도귀에또렷이들린다. 그런데시끄러운공연장에서는크게

소리를질러야겨우옆사람과대화를할수있다. 즉, 작은소리는그크기가조금만변해도그변화

를쉽게알수있지만, 큰소리는조금변하여도잘느낄수없다.

이는 로그함수로 나타나는 베버-페히너의 법칙

(Weber-Fechner’s Law)을이용하면쉽게이해

할수있다. 오른쪽그림과같이소리가작을때에는그

래프의기울기가급격하므로소리의크기가조금만변

해도감각의변화가커서더욱민감하게느낄수있지만,

소리가클때에는그래프의기울기가완만하므로웬만

큼그크기가변해도잘느낄수없다.

2

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 38`쪽

자극의크기에따라우리감각의민감함을설명할수있을까?

지수함수와로그함수의미분

감각{S}

O

S=k`log`I {k는 상수}

자극{I}

베버-페히너의 법칙

(Weber-Fechner’s Law)

앗! 깜짝이야.

조금만낮춰도

모르겠지?

(010~047)233지학1(윤130) 2013.8.9 12:14 PM 페이지28 mac01 T

2.지수함수와로그함수의미분 29

탐구활동에서 x의값이한없이커지면 2≈의값은한없이커지고, x의값이한없이

작아지면 2≈의값은 0에한없이가까워진다.

즉, 2≈ =¶이고, 2≈ =0이다.

또 x의값이한없이커지면 log™x의값은한없이커지고, x의값이양수이면서 0

에한없이가까워지면 log™x의값은음수이면서절댓값이한없이커진다.

즉, log™x=¶이고, log™x=-¶이다.

이와같이간단한지수함수와로그함수의극한은그래프를이용하여알수있다.

limx ⁄0+

limx ڦ

limx⁄-¶

limx ڦ

01●지수함수와로그함수의극한값을구할수있다.

지수함수와로그함수의극한

지수함수와 로그함수의 극한값은 어떻게 구하는가?

생각 열기

탐구 활동 두 함수 y=2≈과 y=log™ x의 그래프를 이용하여 다음 물음에 답하여 보자.

1. x의값이한없이커질때와한없이작아질때, 2≈의값은어떻게변하는지각각말하여보자.

2. x의값이한없이커질때와양수이면서 0에한없이가까워질때, log™ x의값은어떻게변하

는지각각말하여보자.

x

y

O

1

y=2x

x

y

O 1

y=log™`x

{;2!;}x

의값은

어떻게될까?

limx⁄ ¶

x가한없이커지면

0에한없이

가까워지지.

x

y

O

2y=x{ }1 1

x

(010~047)233지학1(윤130) 2013.8.9 12:14 PM 페이지29 mac01 T

30 Ⅰ.지수함수와로그함수

지수함수의극한에대하여알아보자.

지수함수 y=a≈ (a>0, a+1)의극한은그래프를이용하면쉽게알수있다.

위의그래프에서알수있듯이 x ⁄¶ 또는 x ⁄-¶일때, 지수함수 y=a≈ 의

극한은다음과같다.

[1] a>1일때, a≈ =¶, a≈ =0

[2] 0<a<1일때, a≈ =0, a≈ =¶limx⁄-¶

limx ڦ

limx⁄-¶

limx ڦ

다음극한을조사하여라.

⑴ 3≈ ⑵1135≈lim

xڦlimxڦ

1문제

다음극한값을구하여라.

⑴ ⑵3≈ +3—≈1312323≈ -3—≈

limxڦ

2≈13123≈ +1limx⁄¶

2문제

예제 01

⑴분자, 분모를 2≈으로나누면

= = =-1

⑵분자, 분모를 3≈으로나누면

= = =1

답 ⑴-1 ⑵ 1

1-01121+0

1-{;3@;}≈

11222231+{;3@;}

≈limx ⁄¶

3≈ -2≈11223≈ +2≈

limx ڦ

11120-1

1112223{;2!;}

≈-1

limx ڦ

2≈11221-2≈

limx ڦ

다음극한값을구하여라.

⑴ ⑵3≈ -2≈112333≈ +2≈

limxڦ

2≈11231-2≈limx⁄¶

풀이

x

y

O

1

y=axa>1

x

y

O

1

y=ax0<a<1

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지30 mac01 T

2.지수함수와로그함수의미분 31

로그함수의극한에대하여알아보자.

로그함수 y=logå x (a>0, a+1)의극한은그래프를이용하면쉽게알수있다.

위의그래프에서알수있듯이 x ⁄¶ 또는 x ⁄ 0+일때, 로그함수 y=logå x

의극한은다음과같다.

[1] a>1일때, logå x=-¶, logå x=¶

[2] 0<a<1일때, logå x=¶, logå x=-¶limx⁄¶

limx⁄0+

limxڦ

limx⁄0+

다음극한을조사하여라.

⑴ log™ x ⑵ log;2!; xlimx⁄0+

limxڦ

3문제

다음극한값을구하여라.

⑴ log£

⑵ {log™ (4x+1)+log;2!; 2x}

⑶ {log£ |x‹ -1|-log£ |x-1|}limx⁄1

limxڦ

1+x131xlimxڦ

4문제

예제 02

⑴ log™ = log™ {4+ }=log™ 4=2

⑵로그의성질에의하여

{log£ (x+2)-log£ x}= log£ = log£ {1+ }=log£ 1=0

답 ⑴ 2 ⑵ 0

21x

limx ڦ

x+21123x

limx ڦ

limx ڦ

11x

limx ڦ

4x+1111x

limx ڦ

다음극한값을구하여라.

⑴ log™ ⑵ {log£ (x+2)-log£ x}limx⁄¶

4x+1111xlimxڦ

풀이

x

y

O 1

y=loga`xa>1

x

y

O 1

y=loga`x

0<a<1

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지31 mac01 T

32 Ⅰ.지수함수와로그함수

탐구활동에서자연수 n의값이한없이커지면 {1+ }«의값은일정한수에가

까워짐을추측할수있다.

실제로 n의값이한없이커지면 {1+ }«의값은일정한수에수렴한다고알려져

있다.

즉, {1+ }«의값은존재하며그극한값을문자

e

로나타낸다.

이때수 e는무리수이며그값은다음과같다.

e= {1+ }«=2.718281828459045y11nlimn⁄¶

11nlimnڦ

11n

11n

오일러의수 e

스위스의수학자오일러

(Euler,̀`̀L.̀ ;̀ 1707~1783)는

무리수 e를 처음으로 정의하여

사용하였다.

무리수 e는 무엇인가?

베르누이(Bernoulli, J.; 1654~1705)는 복리문제를연구하던중다음과같은의

문을가졌다.

생각 열기

탐구 활동 원금이 A원이고, 년마다 이자율이 인 복리

로 계산하는 예금에 들었을 때, 1년 후의 원리합

계 S는 다음과 같다.

S=A{1+ }n

물음에 답하여 보자.

1. 오른쪽 표를 이용하여 {1+ }n

의 값을 추

측하여보자.

11n

limn ڦ

111n

111n

111n n

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

{1+;n!;}«

2

2.59374y

2.70481y

2.71692y

2.71814y

2.71826y

2.71828y

1프랑을연이율

100 %인계좌에

넣는다면 1년뒤에는

(1+1)⁄ =2(프랑)

1년에 2번나누어

50 %의복리로받으면

{1+;2!;}2

=2.25(프랑)

1년에4번나누어

25 %의복리로받으면

{1+;4!;}4

=2.44y(프랑)이렇게기간을

더짧게잡으면

더많은금액을

받을수있을까?

(010~047)233지학1(윤130) 2013.8.9 12:14 PM 페이지32 mac01 T

2.지수함수와로그함수의미분 33

한편 x= 이라고하면 n ⁄¶일때 x ⁄ 0이므로무리수 e는다음과같이나

타낼수도있다.

e= (1+x);[!;

또무리수 e를밑으로하는지수함수 e≈도생각할수있다.

이상을정리하면다음과같다.

limx ⁄0

11n

앞에서정의한무리수 e를밑으로하는로그 log“ x를자연로그라하고, 자연로그

log“ x를간단히

ln x

와같이나타낸다. 즉, log“ x=ln x이다.

y=(1+x);[!;의그래프

무리수 e의정의

⑴ {1+ }≈ =e ⑵ (1+x);[!;=elim

x⁄0

11xlim

xڦ

⑴ {1+;[!;};2{;= [{1+;[!;}

≈];2!;

=e;2!;='e

⑵ (1+2x);[!;= {(1+2x);2¡[}¤에서

2x=t로놓으면 x ⁄ 0일때, t ⁄ 0이므로　 {(1+t);t!;}¤ =e¤lim

t⁄0

limx⁄0

limx⁄0

limxڦ

limxڦ

보기

다음극한값을구하여라.

⑴ {1+ }-x

⑵ {1- }2x

⑶ (1+3x);2¡[;⑷ x

1113x-1lim

x⁄1limx⁄0

11xlimx⁄-¶

1122xlimxڦ

5문제

다음값을구하여라.

⑴ ln e¤ ⑵ ln112'e

6문제

y=e≈과 y=ln x는서로역

함수관계이다.

⑴ ln 1=log“ 1=0

⑵ l̀n e=log“ e=1

보기

x

y

O

2e

1

y={1+x}x1

(010~047)233지학1(윤130) 2013.8.9 12:14 PM 페이지33 mac01 T

34 Ⅰ.지수함수와로그함수

(1+x);[!;=e임을이용하여여러가지함수의극한값을구할수있다.limx⁄0

예제 03

⑴ = ln(1+x)= ln(1+x);[!;=ln e=1

⑵ e≈ -1=t로놓으면 e≈ =1+t이므로　x=ln(1+t)

또 x ⁄ 0일때 t ⁄ 0이므로

= = = =1

답 ⑴ 1 ⑵ 1

111

111231233ln (1+t)11112

t

limt⁄0

t112312ln (1+t)

limt⁄0

e≈ -11123x

limx ⁄0

limx ⁄0

11x

limx ⁄0

ln (1+x)11112x

limx ⁄0

다음극한값을구하여라.

⑴`

⑵`

e≈ -11123xlimx⁄0

ln(1+x)11112xlimx⁄0

풀이

다음극한값을구하여라.̀ (단, a>0, a+1)

⑴`

⑵`

a≈ -11312xlimx⁄0

logå (1+x)13121132xlimx⁄0

7문제

다음극한값을구하여라.

⑴`

⑵`

⑶`

⑷`

ln {1+;[@;}1312112ln {1+;[#;}

limxڦ

x131231123log£ (1-2x)

limx⁄0

e¤ ≈ -113123xlimx⁄0

2¤ ≈ -113123xlimx⁄0

8문제

오른쪽그림과같이제1사분면에서곡선

y=ln (1+10x) 위를 움직이는 점 P와 원점 O를 이

은선분이 x축의양의방향과이루는각의크기를 h라

고하자. 점 P가원점 O에한없이가까워질때, tan h

를점 P의 x좌표에관한식으로나타내고, 그 값을 구

하여보자.

사고력기르기▶추론

▶의사소통

▶문제 해결

y=ln{1+10x}

Ω

P

x

y

O

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지34 mac01 T

2.지수함수와로그함수의미분 35

지수함수의극한을이용하여지수함수의도함수를구하여보자.

지수함수 y=ex에서x의증분Dx에대한 y의증분을Dy라고하면

Dy=ex+Dx-ex=ex(eDx-1)

이므로

= = =ex =ex¥1=ex

이다. 따라서 (ex)'=ex이다.

또한지수함수 y=ax(a>0, a+1)에서 x의증분Dx에대한 y의증분을Dy라고

하면

Dy=ax+Dx-ax=ax(aDx-1)

이므로

= = =ax =ax ln a

이다. 따라서 (ax)'=ax ln a이다.

이상을정리하면다음과같다.

aDx-112212DxlimDx⁄0

ax(aDx-1)1221212DxlimDx⁄0

Dy122DxlimDx⁄0

dy12dx

eDx-112212DxlimDx⁄0

ex(eDx-1)1221212DxlimDx ⁄0

Dy122DxlimDx⁄0

dy12dx

지수함수의도함수

⑴ y=ex이면 y'=ex

⑵ y=ax (a>0, a+1)이면 y'=ax ln a

02●지수함수와로그함수를미분할수있다.

지수함수와로그함수의미분

지수함수의 도함수는 무엇인가?

지수함수 f(x)=e≈에대하여다음물음에답하여보자.

1. f(1+Dx)-f(1)을구하여보자.

2. 1의결과를이용하여 을

구하여보자.

f(1+Dx)-f(1)141111115DxlimDx ⁄0

탐구 활동 무리수e의정의를

이용해 봐.

=1

이예요.

e≈ -11153x

limx ⁄ 0

⑴ (2ex)'=2(ex)'=2ex ⑵ (3x)'=3x ln 3보기

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지35 mac01 T

36 Ⅰ.지수함수와로그함수

다음함수의도함수를구하여라.

⑴ y=(1+3x)2 ⑵ y=(2e)x

2문제

함수 f(x)=3≈에대하여다음값을구하여라.

⑴ f '(0) ⑵f(1+h)-f(1)131211112h

limh⁄ 0

3문제

다음함수의도함수를구하여라.

⑴ y=-3ex ⑵ y=2¥5x

1문제

예제 01

⑴ y'=(e≈ )'+(9≈ )'=e≈ +9≈ ln 9

⑵곱의미분법에의하여

y'=(x)'¥ex+x¥(ex)'=ex+xex=ex(1+x)

답 ⑴ y'=e≈ +9≈ ln 9 ⑵ y'=ex(1+x)

다음함수의도함수를구하여라.

⑴ y=ex+3¤ ≈ ⑵ y=xex

풀이

두상수 a, b에대하여지수함수 f(x)=abx의도함수를구하는방법을설명하여라.

(단, a>0, a+1, b+0)

창up의

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지36 mac01 T

2.지수함수와로그함수의미분 37

로그함수의극한을이용하여로그함수의도함수를구하여보자.

로그함수 y=lnx에서x의증분Dx에대한 y의증분을Dy라고하면

Dy=ln(x+Dx)-lnx=ln =ln {1+ }

이다. 여기서 =h로놓으면Dx ⁄ 0일때h ⁄ 0이므로

= = = [ ln (1+h)]

= {ln(1+h);h!;}= ln { (1+h);h!;

}

= ln e=

이다. 따라서 (lnx)'= 이다.

한편 a>0, a+1일때, y=logax에서 logax= = 이므로

(logax)'={ }'= =

이다.

이상을정리하면다음과같다.

1111x lna(lnx)'113233lna

lnx113lna

lnx113lna

logex111logea

11x

11x11x

limh⁄0

11xlimh⁄0

11x

11hlimh⁄0

11xln (1+h)122112xhlimh⁄0

Dy122DxlimDx⁄0

dy12dx

Dx123x

Dx123xx+Dx1112x

로그함수의도함수

⑴ y=lnx (x>0)이면 y'=

⑵ y=logax (x>0, a>0, a+1)이면 y'=1111

x lna

11x

로그함수의 도함수는 무엇인가?

로그함수 f(x)=ln x에대하여다음물음에답하여보자.

1. f(1+Dx)-f(1)을구하여보자.

2. 1의결과를이용하여 을

구하여보자.

f(1+Dx)-f(1)1411111123DxlimDx ⁄0

탐구 활동

⑴ x>0일때, (2 lnx)'=2(lnx)'= ⑵ x>0일때, (log3x)'=1111

x ln 3

21x보기

=1이야.ln(1+x)1153122

xlimx⁄ 0

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지37 mac01 T

38 Ⅰ.지수함수와로그함수

x>0일때, 평균값정리를이용하여다음부등식이성립함을설명하여보자.

<ln (x+1)-ln x<11x

1113x+1

사고력기르기▶추론

▶의사소통

▶문제 해결

예제 02

⑴y'=(ln x)'+(log'2 x)'= + = + = {1+ }

⑵곱의미분법에의하여

y'=(x)'¥ln x+x¥(ln x)'=ln x+x¥{ }=ln x+1

답 ⑴ y'= {1+ } ⑵ y'=ln x+1211

ln 211x

11x

211ln 2

11x

21123x ln 2

11x

1112323x ln '2

11x

다음함수의도함수를구하여라. (단, x>0)

⑴ y=ln x+log'2 x ⑵ y=x ln x

풀이

다음함수의도함수를구하여라. (단, x>0)

⑴ y=2 ln x-x ⑵ y=x¤ log£ x

5문제

곡선 y=x+lnx 위의점 (1, 1)에서의접선의기울기를구하여라.6문제

다음함수의도함수를구하여라.

⑴ y=lnx‹ ⑵ y=log™ 2x

4문제

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

외부자극의세기를 x, 사람이느끼는감각의세기를 f(x)라고할때,

f(x)=k log x (k는상수)

가성립한다고하자.

로그함수의도함수를이용하여다음물음에답하여라.

⑴ k= 일때, ̀f '(1)과 f '(10)의값을구하여라.

⑵⑴에서구한값을비교하여그의미를설명하여라.

117

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지38 mac01 T

2.지수함수와로그함수의미분 39

1 다음극한을조사하고, 극한이존재하면그극한값을구하여라.

⑴ ⑵

⑶ (3≈ -2≈ ) ⑷5≈ -5—≈11125≈ +5—≈

limxڦ

limxڦ

3≈11231-3≈limx⁄¶

3≈122¤ ≈

limxڦ

2 다음극한을조사하고, 극한이존재하면그극한값을구하여라.

⑴ log™ 2x ⑵ log£

⑶ {log™(x¤ -1)-log™(x-1)} ⑷ log;2!;(x-3)limx⁄3+

limx⁄1+

3x+11123xlimxڦ

limx⁄0+

3 다음극한값을구하여라.

⑴ {1+ }≈ ⑵ ⑶

⑷ x ln{1+ } ⑸ ⑹x1123≈ -1

limx⁄0

log™(1-2x)11231123xlimx⁄0

31xlimxڦ

e‹ ≈ -111232xlimx⁄0

ln(1+3x)1123112xlimx⁄0

21xlimxڦ

4 다음함수를미분하여라.

⑴ y=(3e)≈ ⑵ y=(x¤ +1)e≈

⑶ y=3¥2≈ ⑷ y=4x¥3≈

5 다음함수를미분하여라.

⑴ y=ln ⑵ y=x ln3x

⑶ y=2 logx-x ⑷ y=log™ 5x

11x

중단원 기초 수준별학습

지수함수의 극한

01 지수함수와로그함수의극한

로그함수의 극한

01 지수함수와로그함수의극한

무리수 e의 정의

01 지수함수와로그함수의극한

지수함수의 미분

02 지수함수와로그함수의미분

로그함수의 미분

02 지수함수와로그함수의미분

[̀해답 p.̀199]

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지39 mac01 T

40 Ⅰ.지수함수와로그함수

1 =18을만족시키는상수 a의값을구하여라.a¥3≈ ±⁄ -4111123≈ —⁄ +2≈

limxڦ

2 log£(6≈ +9≈ )의값을구하여라.11x

limxڦ

4 곡선 y=2x+e≈`̀에 접하고, 직선 y=3x-1에평행한직선의방정식을구하

여라.

3 =3을 만족시키는 상수 a, b, c에 대하여 의 값을

구하여라.

a+b112c

eå ≈ ±∫ -1111122ln (1+cx)

limx⁄0

5 x>0인모든실수 x에대하여함수 f(x)=x ln x일때,

의값을구하여라.

f(x¤ )-f(1)1111221x-1

limx⁄1

중단원 기본 수준별학습

지수함수의 극한

01 지수함수와로그함수의극한

로그함수의 극한

01 지수함수와로그함수의극한

01 지수함수와로그함수의극한

지수함수의 도함수

02 지수함수와로그함수의미분

로그함수의 도함수

02 지수함수와로그함수의미분

[̀해답 p.̀199]

(010~047)233지학1(윤130) 2013.8.9 12:14 PM 페이지40 mac01 T

2.지수함수와로그함수의미분 41

1 다음중에서극한값이존재하는것을모두찾아라.

2 곡선 y=e≈ -1 위의 임의의 점 P에서 세 점

O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)에 선분을 그을

때 만들어지는 두 삼각형 OAP와 OBP의 넓

이를각각 SA, SB라고하자. 점 P가이곡선을

따라점O에한없이가까워질때,

의극한값을구하여라.SA12SB

3 곡선 y=ln x 위를 움직이는 점 P(t, ln t)

와 두 점 A(1, 0), B(3, 0)에 대하여 삼각

형PAB의넓이를S(t)라고할때,

의값을구하여라.S(t)112t-1

limt⁄1+

5 함수 f(x)=‡ 가 x=1에서미분가능할때상수 a, b의값을

구하여라.

ax¤ +1 (x…1)

ln bx (x>1)

중단원 실력 수준별학습

4 함수 f(x)가 모든 실수에서 연속이고 (x-1)f(x)=e2x-2-1을 만족시킬

때, f(1)의값을구하여라.

㉠ ㉡

㉢ log™ ㉣ x2112

1-xlimx ⁄1

2x¤ +3x11123x¤ -2lim

x ڦ

1-5;[!;1111+5

;[!;limx ⁄0

11111-3

;[!;lim

x ⁄-¶

O x

y

-1

A{1,`0}

PB{0,`1}

y=ex-1

y=ln`x

O x

y

1 3

P{t,`ln`t}BS{t}A

01 지수함수와로그함수의극한

01 지수함수와로그함수의극한

01 지수함수와로그함수의극한

지수함수의 미분

02 지수함수와로그함수의미분

로그함수의 미분

02 지수함수와로그함수의미분

[̀해답 p.̀199]

(010~047)233지학1(윤130) 2013.8.9 12:14 PM 페이지41 mac01 T

42 Ⅰ.지수함수와로그함수

뜨거운음료나국의온도는시간에비례하여일정하게낮아지지않고,

처음에는빠르게식다가어느정도시간이지나주변온도에가까워

지면미지근한상태에서상대적으로오랫동안유지된다. 뉴턴

(Newton, I. ; 1642~1727)은물체의온도변화가시간에대한지수

함수의형태로변하게됨을알아내었는데, 이를뉴턴의냉각법칙이라고한다.

뉴턴의냉각법칙에의하면어떤물체의처음온도를

Tº æ, 주위의온도를TÍ æ라고할때, 식기시작한지

t분지난후의온도 f(t) æ는다음과같다.

이를이용하면뜨거운음료가언제쯤몇æ까지식는지알수있다. 또법의학에서는

사체의온도변화를측정하여사망시각을추정하는데뉴턴의냉각법칙을활용하기도

한다.

실내온도가 20 æ인방안에서 100 æ의뜨거운음료가 10분후에 60 æ가되었다

고할때, 뉴턴의냉각법칙을이용하여다음물음에답하여보자.

상수 k의값을구하여보자.| 과 제 | 1

| 과 제 | 2 이음료의 20분후의온도를구하여보자.

| 과 제 | 3 극한값`f(t)를구하여보자.lim

t ڦ

f(t)=TÍ+(Tº-TÍ)e—˚ † (단, k는상수)O t

f{t}Tº f{t}=Ts+{Tº-Ts}e-kt

수행 과제

지수함수와뉴턴의냉각법칙

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지42 mac01 T

대단원학습내용정리 43

대단원 학습 내용 정리

지수함수와 그 그래프

지수함수

a가 1이아닌양수일때,

y=a≈ 을 a를밑으로하는지수함수라고한다.

지수함수 y=a≈ (a>0, a+1)의 성질

⑴정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전체의

집합이다.

⑵ a>1일때, x의값이증가하면 y의값도증가한다.

0<a<1일때, x의값이증가하면 y의값은감소한다.

⑶그래프는점 (0, 1)을지나고, x축을점근선으로한다.

1

로그함수와 그 그래프

로그함수

a가 1이아닌양수일때,

y=logå x를 a를밑으로하는로그함수라고한다.

로그함수 y=logå`x (a>0, a+1)의 성질

⑴정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의

집합이다.

⑵ a>1일때, x의값이증가하면 y의값도증가한다.

0<a<1일때, x의값이증가하면 y의값은감소한다.

⑶그래프는점 (1, 0)을지나고, y축을점근선으로한다.

2

지수함수와 로그함수의 활용

⑴ a>0, a+1일때

ax=ak HjK x=k

logå x=logå k HjK x=k(x>0, k>0)

⑵ a>1일때

ax<ak HjK x<k

logåx<logåk HjK x<k(x>0, k>0)

0<a<1일때

ax<ak HjK x>k

logåx<logåk HjK x>k(x>0, k>0)

3

지수함수와 로그함수의 극한

⑴ a>1일때

① ax=¶, ax=0

② loga x=¶, loga x=-¶

⑵ 0<a<1일때

① ax=0, ax=¶

② loga x=-¶, loga x=¶limx⁄0+

limxڦ

limx⁄-¶

limxڦ

limx⁄0+

limxڦ

limx⁄-¶

limxڦ

4

무리수 e와 자연로그

⑴ e= {1+ }x

= (1+x);[!;=2.7182y

⑵자연로그: ln x=loge x

limx⁄0

11x

limxڦ

5

지수함수와 로그함수의 도함수

지수함수의 도함수

⑴ (ex)'=ex

⑵ (ax)'=ax ln a (a>0, a+1)

로그함수의 도함수

⑴ (ln x)'= (x>0)

⑵ (loga x)'= (x>0, a>0, a+1)1111

x ln a

11x

6

용어와 기호 지수함수, 로그함수, 자연로그, e, e≈ , ln x

x

y

O

y=ax

1a

1-1a1

x

y

O

y=ax

1a

1-1

a1

a>1 0<a<1

x

y

O 1

1

a

y=loga`x y=loga`x

x

y

O 1

1

a

a>1 0<a<1

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지43 mac01 T

44 Ⅰ.지수함수와로그함수

대 /단 /원 평가 문제

지수함수 y=2—≈ 에대한설명으로옳은것은?

①그래프는점 (1, 0)을지난다.

②점근선은 y축이다.

③제4사분면을지난다.

④ x의값이증가하면 y의값은감소한다.

⑤그래프는 y=2≈ 의그래프를평행이동하면겹

쳐진다.

1

오른쪽 그림은 로그

함수 y=log2x와직

선 y=x의그래프를

나타낸 것이다. a의

값은? (단, 점선은 x

축또는 y축에평행하다.)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

4

로그함수 y=-log™(x-2)+1에 대한 설명으

로옳지않은것은?

①정의역은 {x|x>2}이다.

②치역은모든실수이다.

③그래프의점근선의방정식은 x=2이다.

④ x값이증가하면 y값은감소한다.

⑤그래프는 y=log™ x의 그래프를 평행이동하

면겹쳐진다.

3

Ⅰ. 지수함수와로그함수

(4≈ -3≈ );2¡[;의값은?

① 0 ② 1 ③ '2

④ 2 ⑤ 3

limxڦ

7

O x

y y=xy=log™`x

a

함수 y={ }≈ ±å +b

의 그래프가 오른쪽

그림과같을때,

a+b의값은?

①-2 ②-1 ③ 1

④ 2 ⑤ 3

1122

O x

y

-1

-2

2-5

선 택 형

함수 y=log™ (x+1)-2의역함수가 y=a≈ ±∫ +c

일 때, 세 상수 a, b, c에 대하여 a+b+c의 값

은?

①-3 ②-2 ③-1

④ 2 ⑤ 3

5

처음에 50마리인 박테리아가 x시간 후에는

50a≈ (a>0)마리가 된다고 한다. 4시간 후 이

박테리아가 4050마리가 되었을 때, 박테리아가

36450마리가되는것은몇시간후인가?

① 6시간후 ② 7시간후 ③ 8시간후

④ 9시간후 ⑤ 10시간후

6

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지44 mac01 T

대단원평가문제 45

(log™|x‹ -8|-log™|x¤ -4|)의값은?

① log™ 3+1 ② log™ 3-1 ③ log™ 3

④ 2 log™ 3 ⑤ log™ 6

limx⁄2

8 함수 f(x)=x¤ lnx에대하여 의값

은?

①- ② 1 ③

④ ⑤ e21e

11e11e

f(x)1313x-1limx⁄112

함수 f(x)=e≈ 에대하여

의값은?

① e ② 2e ③ 3e

④ ⑤11e¤11e

f(1+h)-f(1-2h)132311111123hlimh⁄0

11한 번 통과하면 60 %의 불순물이 제거되는 정

수 필터가 있다. 불순물의 양을 처음 양의 2 %

이하가 되게 하려면 정수 필터를 최소한 몇 번

통과시켜야하는지구하는풀이과정과답을서

술하여라. (단, log 2=0.3으로계산한다.)

16

다음극한값을구하여라.

[ {1+ }{1+ }{1+ }y

{1+ }]n1122n

1113n+21113n+1

11n112limnڦ

13

다음함수가 x=1에서미분가능할때, 상수 a, b

의값을각각구하여라.

⑴ f(x)=‡

⑵ f(x)=‡

ln x (0<x…1)

ax+b (x>1)

2≈ (xæ1)

ax+b (x<1)

14곡선 y=2≈ 위를 움

직이는 점 P(t, 2† )

에서 x축에 내린 수

선과 점 A(0, 1)을

지나고 x축과 평행

한직선이만나는점을Q라고할때,

의값은?

① 1 ② log™ e ③-log™ e

④ ⑤ ln 211323

ln 2

PQ”132AQ”

limt⁄0

10

x

y

O

1

t

y=2x

A Q

P

0<a<1일 때, 정의역이 {x|0…x…3}인 함수

y=ax¤ -4x+3의 최댓값이 8이다. 이때 상수 a의

값을구하는풀이과정과답을서술하여라.

15

서 답 형

다음중극한값이옳지않은것은?

① (1+x);[#;=e‹

② =1

③ ln {1+ }≈ =1

④ [ ]≈ =log™ e

⑤ =ln 33≈ -11313xlimx⁄0

log™(1-x)11111xlimx⁄0

11xlimxڦ

e≈ -11313xlimx⁄0

limx⁄0

9

|서|술|형 |̀

|서|술|형 |̀

[̀해답 p.̀200]

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영국의경제학자맬서스(Malthus, T. R. ; 1766~1834)는1798년에발표한‘인구론’에서식량은일차함수

적으로증가하여생산되는데반하여인구는지수함수적으로증가한다는가설을제시하였다. 따라서역사속의

모든인구증가가결국빈곤으로이어졌으며이는인구의증가가식량과같은자원의증가보다급격하게이루

어지기때문에일어나는현상이라고주장하였다. 또한토지의생산과인구의증가사이에존재하는이러한자

연적인불균형은인류의불안정의원인이되고점차사회체제를흔들게될것이라고하였다.

맬서스는현재의인구수를P0이라고할때,

시각 t에서의인구를P(t)라고하면P(t)

는다음과같이나타낼수있다고하였다.

이러한인구모형을맬서스의인구성장모델또는지수성장모델이

라고한다.

Real Life

맬서스의인구성장모델

46 Ⅰ.지수함수와로그함수

O t시각

Pº

P{t}인구

P(t)=Pºe® † (단, r는인구증가율)

수 학 실 생 활

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:18 PM 페이지46 mac01 T

한편일반적인인구모형에서는인구가적은초창기에는지수함수적으로성장을하지만, 현실적으로식량, 거주

공간, 다른천연자원의영향을받기때문에성장이제한된다.

이러한점을고려하여벨기에의수학자베르휼스트(Verhulst, P. F. ;

1804~1849)는맬서스의인구성장모델에대해다음과같은수정모델을

제시하였다.

현재의인구수를Pº이라고할때, 시각 t에서의인구P(t)는다음과같이

나타낼수있다.

이러한수정모델을로지스틱(logistic)모델이라고하는데, 이식으로부터알수있는것은인구수가 초기에는급격

하게증가하지만어느순간부터는완만하게증가하여일정하게유지된다는것이다.

이러한특성은자연현상이나사회현상에서도나타날수있다.

특정한지역에신도시가건설되면그지역을중심으로인구가밀집되기시작한다. 그인구를수용하기위하여시간이

흐를수록주변에상업지역, 거주지역이생기기시작하여대도시의교외가무계획적이고무질서하게발전하는현상이

나타난다. 그러나그팽창은도시근교일수록빠르지만도시에서의거리가증가할수록무한히팽창하지못하고일정한

수준에서정지한다.

P(t)= (단, a, b는상수, r는인구증가율)bPº11112

Pº+ae—® †

P{t}

O t시각

Pº

b

인구

수학플러스 47

(010~047)233지학1(윤130) 2013.7.8 8:19 PM 페이지47 mac01 T