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7/24/2019 01guiasistemasdenumeracion

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MODULO

MATEMATICA DISCRETA

TALLERES-GUAS

DOCENTE:

Lic. JESUS ALFREDO MERCADO B

FEBRERO DE 2008

SISTEMAS DE NUMERACIN

SISTEMAS DE NUMERACIN 1


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Un sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas de generacin quepermiten construir todos los nmerosvlidos en el sistema. Un sistema de numeracinpuede representarse comoN= S+ Rdonde:

Nes el sistema de numeracin consideradoSson los smbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son!"#...$%& en el binario son !"#%& en el octal son !"#"...'%& en el (e)adecimal son!"#"...$" *" " ," -" E" %Rson las reglas de generacin que nos indican qu/ nmeros son vlidos y culesson no0vlidos en el sistema.

Estas reglas son di1erentes para cada sistema de numeracin considerado" pero una reglacomn a todos es que para construir nmeros vlidos en un sistema de numeracindeterminado slo se pueden utili2ar los smbolos permitidos en ese sistema 3para indicarel sistema de numeracin utili2ado se a4ade como subndice al nmero5.

Ejemplos:El nmero #673#!es un nmero vlido en el sistema decimal" pero el nmero #6A3#!no lo es" ya que utili2a un smbolo 3*5 no vlido en el sistema.El nmero 8739es un nmero vlido en el sistema octal" pero el nmero 8$39no loes" ya que el $ no es un smbolo vlido en ese sistema.

Esta representacin posibilita la reali2acin de sencillos algoritmospara la ejecucin deoperaciones aritm/ticas.

SISTEMAS DE NUMERACIN POSICIONALES

os sistemas de numeracin usados en la actualidad son posicinales. En estos sistemasde numeracin el valor de un dgito depende tanto del smbolo utili2ado" como de laposicin que /se smbolo ocupa en el nmero. En este sistema desempe4a un papel1undamental el !inventado por el pueblo maya.Un sistema de numeracin de base n signi;ca que tenemos n ci1ras para escribir losnmeros 3desde ! (asta n0#5 y que n unidades 1orman una unidad de orden superior. *sen el sistema decimal los dgitos para escribir van desde el ! (asta el $ y cuandotenemos $ unidades y a4adimos # tendremos una unidad de segundo orden o decena ypondremos las unidades a cero.al es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayora nisiquiera se imagina que pueden e)istir otros tipos de numeracin que no sonprecisamente de ase #!" tales como el ?e)adecimal" el @ctal" o el inario.

EL SISTEMA DECIMAL

El sistema decimal es un sistema de numeracinen el que las cantidades se representanutili2ando como baseel nmero die2" por lo que se compone de las ci1ras: cero3!5" uno3#5" dos365" tres385" cuatro3A5" cinco 375" seis3B5" siete3'5" oc(o395 y nueve3$5. Esteconjunto de smbolos se denomina nmeros rabes" o tambi/n se les llaman dgitos.SISTEMAS DE NUMERACIN 2
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolohttp://es.wikipedia.org/wiki/Reglahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Posicional&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mayahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rabeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Decimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hexadecimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Octalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Binariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Basehttp://es.wikipedia.org/wiki/Diezhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cifrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Unohttp://es.wikipedia.org/wiki/Doshttp://es.wikipedia.org/wiki/Treshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cincohttp://es.wikipedia.org/wiki/Seishttp://es.wikipedia.org/wiki/Sietehttp://es.wikipedia.org/wiki/Ochohttp://es.wikipedia.org/wiki/Nuevehttp://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_ar%C3%A1bigahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolohttp://es.wikipedia.org/wiki/Reglahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Posicional&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mayahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rabeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Decimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hexadecimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Octalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Binariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Basehttp://es.wikipedia.org/wiki/Diezhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cifrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Unohttp://es.wikipedia.org/wiki/Doshttp://es.wikipedia.org/wiki/Treshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cincohttp://es.wikipedia.org/wiki/Seishttp://es.wikipedia.org/wiki/Sietehttp://es.wikipedia.org/wiki/Ochohttp://es.wikipedia.org/wiki/Nuevehttp://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_ar%C3%A1biga


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Es el sistema de numeracin usado (abitualmente en todo el mundo 3e)cepto ciertasculturas5 y en todas las reas que requieren de un sistema de numeracin. in embargoconte)tos" como por ejemplo en la in1ormtica" donde se utili2an sistemas de numeracinde propsito ms espec;co como el binarioo el (e)adecimal. >ambi/n pueden e)istir enalgunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracin" como el quinario" elduodecimal y el vigesimal.


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s s s,omo # decena = #! unidades# centena = #!! unidadesEntonces" los valores del dgito 6" segn su posicin en el numeral son los siguientes:

6 6 6

6 ) #!! unidades =6!! unidades

6 ) #! unidades =6! unidades

6 unidades

EL SISTEMA BINARIO

Estamos (abituados al sistema de numeracin decimal y nos parece lgico usarlo en todomomento.


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Esto nos proporciona una 1orma de traducir 3cambiar de base5 un nmero binario adecimal. asta sumar aquellos multiplicadores cuyos bits est/n en # e ignorar aquelloscuyo bit es !. En nuestro anterior ejemplo es:

#!!##!# = BA + 9 + A + # = '' decimalos nmeros binarios son los que e1ectivamente Nuyen dentro del procesador en una


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t-/ T 6A!= # !$$ 7## B6' ''B9-t/ P 67!= # #67 9$$ $!B 9A6 B6A-./ E 6B!= # #76 $6# 7!A B!B 9AB $'B

:-tt/ ; 6'!= # #9! 7$# B6! '#' A## 8!8 A6A

ott/ 69! =# 6!9 $67 9#$ B#A B6$ #'A '!B #'B

# Tigabyte: #!6A egabytes3b5# >erabyte: #!6A Tigabytes 3Tb5

EL SISTEMA OCTAL

El sistema num/ricoen base 9se llama octal y utili2a los dgitos ! a '.os nmeros octales pueden construirse a partir de nmeros binariosagrupando cadatres dgitos consecutivos de estos ltimos 3de derec(a a i2quierda5 y obteniendo su valordecimal.


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5 0101 5

6 0110 6

7 0111 7

8 1000 10

9 1001 11

10 1010 12

11 1011 1312 1100 14

13 1101 15

14 1110 16

15 1111 17

EL SISTEMA =E>ADECIMAL

El sistema (e)adecimal es un sistema de numeracin vinculado a la in1ormtica" ya quelas computadoras interpretan los lenguajes de programacin en bytes" que estn

compuestos de oc(o dgitos.,omo veremos en la unidad de ?ardVare" el procesador 9!89B (ace ya ms de unad/cada manipulaba sin problemas nmeros de 86 bits. Un (umano necesita manejarlo deotra manera y por eso se invent el sistema (e)adecimal" con #B smbolos" ya que si unoagrupa cuatro bits obtiene #B combinaciones posibles 36A= #B5.Esto tiene una ra2n. Kuestro sistema decimal no se corresponde en la cantidad dedgitos con el binario en cambio" el (e)adecimal si" porque cada cuatro bits representanun dgito (e)adecimal e)acto.En un sistema (e)adecimal" necesitamos #B smbolos. Wa que somos muy buenosmanejando nmeros decimales" adoptamos esos die2 smbolos 3!" #" 6" 8" A" 7" B" '" 9 y$5 para empe2ar" pero (ay que agregar otros seis: *" " ," -" E y ,ada tro2o de in1ormacin recibe un nombre propio segn la cantidad de bits que posea:

Decimal Binario Octal Hexadecimal

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

SISTEMAS DE NUMERACIN #


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Un ejemplo de nmero en (e)adecimal puede ser:

#,BE.8#B = #,BE.8(e)adecimal Pepresentacin (e)adecimal.rinario 3! al 65" ,uaternario 3! al 85" -uodecimal3! al 5. En todos ellos" los sistemas num/ricos de base menor que #! utili2an lossmbolos de las primeras ci1ras del sistema decimal" los mayores o iguales a #! las letrasdel al1abeto latino 3*" " ," etc.5.

CON


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peso5 del nmero que se busca" mientras que el ltimo resto3 rn0#" donde n es el nmerode divisiones a ejecutar o el nmero de ci1ras del sistema destino5 constituye la ci1ra mssigni;cativa 3 la de menor peso5 del nmero en cuestin.El nmero resultante sera:

rn0# rn06 rn08 .... r!

E@-(9*os1$ Co%-ti / 'i%/io -* %(-o 2!$,omo se reali2an sucesivas divisiones entre la base del sistema destino" se dividir entre6 3base del sistema binario5: 67! X 6 = #67 resto ! r! 3,i1ra menos signi;cativa del nmero binario5. #67 X 6 = B6 resto # r# B6 X 6 = 8# resto ! r6

8# X 6 = #7 resto # r8 #7 X 6 = ' resto # rA ' X 6 = 8 resto # r7 8 X 6 = # resto # rB

# X 6 = ! resto # r' 3,i1ra ms signi;cativa del nmero binario5.El nmero resultante sera: r' rB r7 rA r8 r6 r# r! = #####!#!6


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Una 1orma ms sencilla de convertir de decimal a binario es a trav/s del sistema octal"que al tener mayor base" se necesitan menos divisiones y una ve2 que tenga el valor enoctal" trans1erirlo a binario.En el caso del ejemplo #:


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!.p# p6 p8 pA ... pm-onde m es el nmero de ci1ras de la parte 1raccionaria.

E@-(9*os

1$ T/%so(- -% o0t/* -* %(-o !$32$

!.86M9=6.7B 3p#=65!.7BM9=A.A9 3p6=A5!.A9M9=8.9A 3p8=85!.9AM9=B.'6 3pA=B5!.'6M9=7.'B 3p7=75

. . . . . . . . .El m/todo ejecutado (a sido el siguiente:En primer lugar el nmero a convertir (a sido multiplicado por la base del sistema que sedesea 395" al resultado 36.7B5 se le (a e)trado la parte entera 365 y este constituir la

ci1ra ms signi;cativa de la parte 1raccionaria" al e)tra/rsele a 6.7B la parte entera queda!.7B" al que se le multiplica la base& al resultado 3A.A95 se le e)trae la parte entera 3A5 yconstituir la pr)ima ci1ra de la 1raccin del nmero" este proceso continasucesivamente.e puede plantear entonces que: !.A6#!= !.6A8B7...9Kote como el resultado no (a sido e)acto" a nosotros corresponde seleccionar el nmerode ci1ras 1raccionarias para una precisin deseada.2$ Co%-ti -* %(-o !$121!/ 'i%/io$,omo la base del sistema binario es 6" a(ora las multiplicaciones sucesivas sern poreste t/rmino:

!.#67M6=!.67! 3p#=!5 3,i1ra ms signi;cativa de la parte 1raccionaria5!.67!M6=!.7!! 3p6=!5!.7!!M6=#.!!! 3p8=#5!.!!!M6=!.!!! 3pA=!5

W las ci1ras sucesivas seguirn siendo cero.

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