Upload
others
View
11
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΠολικές ΣυντεταγμένεςΚυλινδρικές ΣυντεταγμένεςΣφαιρικές ΣυντεταγμένεςΣτοιχειώδεις Όγκοι
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΙδιότητες της ΠαραγώγουΣυνάρτηση Πολλών Μεταβλητών ‐ Μερική Παράγωγος
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣΚαμπύλες και ΤαχύτηταΠαράγωγος κατά ΚατεύθυνσηΠαραγώγιση στον Τρισδιάστατο Χώρο – Ο Τελεστής
ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ
ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕΕ. . ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης
((ΜεΜε ιδέεςιδέες καικαι υλικόυλικό απόαπό παλαιότερεςπαλαιότερες διαφάνειεςδιαφάνειες τουτου κκ. . ΚαραμπαρμπούνηΚαραμπαρμπούνη))ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 2015, 2015‐‐20162016
∇
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 1
ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ
ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕΕ. . ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης
((ΜεΜε ιδέεςιδέες καικαι υλικόυλικό απόαπό παλαιότερεςπαλαιότερες διαφάνειεςδιαφάνειες τουτου κκ. . ΚαραμπαρμπούνηΚαραμπαρμπούνη))ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN N ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20155‐‐20120166
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
Τα εισαγωγικά κεφάλαια των παρακάτω βιβλίων αποτελούν μέρος μόνο τηςπλούσιας διαθέσιμης βιβλιογραφίας που υπάρχει για τα θέματα που θίγονται σταεπόμενα.
J. Mardsen & A. TrombaJ. Mardsen & A. Tromba: ΔιανυσματικόςΔιανυσματικός ΛογισμόςΛογισμός (Vector Calculus)(Vector Calculus), 3rd Edition, Απόδοση στα Ελληνικά Α. Γιαννόπουλος, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης(1992) ISBN: 978‐9607309457.
Susan J. Colley: Susan J. Colley: Vector CalculusVector Calculus, Pearson 4th Edition (2011) ISBN: 978‐0321780652.
Adrian Banner: Adrian Banner: The Calculus LifesaverThe Calculus Lifesaver, Princeton University Press, 1st Edition (2007) ISBN: 978‐0691130880.
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 2
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ
Το σημείο P του επιπέδου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας r και της γωνίας θ: P(r,P(r,θθ))
Πολικές Συντεταγμένες Επιπέδου
sinθr y cosθrx
==
2πθ0r0<≤∞<≤
όπου
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 3
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ
Σχέση Πολικών & Καρτεσιανών Συντεταγμένων
sinθr y cosθrx
==
2πθ0r0<≤∞<≤
όπου
xx
yy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
xyatan θ
yxr 22
dθcosθrdrsinθdydθsinθrdrcosθdx
+=−= ΟΟ γεωμετρικόςγεωμετρικός τόποςτόπος r=const.r=const.
στιςστις πολικέςπολικές συντεταγμένεςσυντεταγμένεςείναιείναι έναςένας κύκλοςκύκλος..
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 4
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ
Το σημείο P του χώρου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας r, της γωνίας θκαι της καρτεσιανής συντεταγμένης z: P(r, P(r, θθ, z, z))
Κυλινδρικές Συντεταγμένες
zzsinθr y cosθrx
===
Κυλινδρικές συντεταγμένες σε Καρτεσιανές
Καρτεσιανές συντεταγμένες σε Κυλινδρικές
zzxyatan θ
yxr 22
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
ΟΟ γεωμετρικόςγεωμετρικός τόποςτόπος r=const.r=const. στιςστις κυλινδρικέςκυλινδρικέςσυντεταγμένεςσυντεταγμένες είναιείναι ηη επιφάνειαεπιφάνεια κυλίνδρουκυλίνδρου..
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 5
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ
Το σημείο P του χώρου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας ρ και των γωνιών θ και φ: P(P(ρρ, , θθ, , φφ))
Σφαιρικές Συντεταγμένες
cosφρzsinθsinφρ y cosθsinφρx
===
πφ02πθ0
ρ0
≤≤<≤∞<≤
όπουΟΟ γεωμετρικόςγεωμετρικός τόποςτόπος ρρ=const.=const.στιςστις σφαιρικέςσφαιρικές συντεταγμένεςσυντεταγμένεςείναιείναι ηη επιφάνειαεπιφάνεια σφαίραςσφαίρας..
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 6
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ
Σφαιρικές Συντεταγμένες
cosφρzsinθsinφρ y cosθsinφρx
===
Σφαιρικές συντεταγμένες σε Καρτεσιανές
Καρτεσιανές συντεταγμένες σε Σφαιρικές
( )ρzacosz
yxatanφ
xyatan θ
zyxρ
22
222
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
++=
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 7
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ
cosφρzθ θsinφρr
===
( )zratanφ
θ θzrρ 22
=
=
+=
Σχέση Κυλινδρικών Σφαιρικών Συντεταγμένων
P(P(ρρ, , θθ, , φφ))P(r, P(r, θθ, z, z))
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 8
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ
Παράδειγμα
Το σημείο του χώρου P με ΚαρτεσιανέςΣυντεταγμένες (+1, ‐1, +1) έχει:
x
y
z
rr
rr
ρ
θθφφ
PP
( )1z
47π11-atan θ
21)(1r 22
+=
==
=−+=
Κυλινδρικές Συντεταγμένες
( )o
222
54.7)3acos(1/z4
7π11-atan θ
311)(1ρ
≈=
==
=+−+=
Σφαιρικές Συντεταγμένες
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 9
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ
Δxf(x)Δx)f(x
dxdf(x)f lim
0Δx
−+==′
→
ΠαράγωγοςΠαράγωγος ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης ΜιαςΜιας ΜεταβλητήςΜεταβλητής
Εάν η συνάρτηση έχει περισσότερες μεταβλητές {x1, x2, … xi … xn}, τότε η μερικήμερική παράγωγοςπαράγωγος τηςσυνάρτησης αυτής ωςως προςπρος μιαμια μεταβλητήμεταβλητή xxii ορίζεται ως το όριο:
ΜερικήΜερική ΠαράγωγοςΠαράγωγος ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης ΠολλώνΠολλών ΜεταβλητώνΜεταβλητών
Δx)x...x...,x,f(x)x...Δxx...,x,f(x
xf ni21ni21
0Δxilim
−+=
∂∂
→
Δηλαδή, ελέγχεται η μεταβολήμεταβολή της συνάρτησης f μόνομόνο ωςως προςπρος τηντην μεταβλητήμεταβλητή xxii , , θεωρώνταςόλες τις άλλες μεταβλητές της σταθερές.
ΠαράδειγμαΠαράδειγμα
22
32
3yxyf,2xy
xf
yyxy)f(x,
+=∂∂
=∂∂
+=
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 10
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΠαράγωγοςΠαράγωγος ΣύνθετηςΣύνθετης ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης ΠολλώνΠολλών ΜεταβήτώνΜεταβήτών
Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης ff (x(x , y), y) ως προς την μεταβλητή tt, όταν x=x(t)x=x(t) και y=y(t)y=y(t)δίνεται από τον κανόνα της αλυσίδας:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
==dtdy
yf
dtdx
xf
dty(t))df(x(t),
dtdf
ΠαράδειγμαΠαράδειγμα
344222
2
4t5tt1)2t(t2tdtdyx
dtdx2xy
dtdy
yf
dtdx
xf
dtdf
1ty(t)tx(t)
yxy)f(x,+=++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+==
=
Αντίστοιχα το διαφορικόδιαφορικό df df δίνεται από τη σχέση:
dyyfdx
xfdf ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=
ΕπαλήθευσηΕπαλήθευση
344522 4t5tdtdftt1)(t)(tf(t) +=⇒+=+=
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 11
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣΤΑΧΥΤΗΤΑΣ
1rr
2rr
kzjyixrrrr zyx ++=++=rrrr
ΔιάνυσμαΔιάνυσμα ΘέσηςΘέσης
( ) ( )
kzjyixr
k)zz(j)yy(i)xx(r
kzjyixkzjyixrrr
121212
11122212
Δ+Δ+Δ=Δ
−+−+−=Δ
++−++=−=Δ
r
r
rrrΜετατόπισηΜετατόπιση
ktzj
tyi
tx
tkzjyix
trvav Δ
Δ+
ΔΔ
+ΔΔ
=Δ
Δ+Δ+Δ=
ΔΔ
=r
r
ΜέσηΜέση ΤαχύτηταΤαχύτητα
kdtdzj
dtdyi
dtdx)kzjyix(
dtd
dtrdv
trlimv
0t++=++==⇒
ΔΔ
=→Δ
rr
rr
ΤαχύτηταΤαχύτητα
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 12
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ
kdtdzj
dtdyi
dtdx)kzjyix(
dtd
dtrdv ++=++==r
r
ΤαχύτηταΤαχύτητα
2z
2y
2x
zyx
vvvv
kvjvivv
++=
++=r
tv
tvva 12
av ΔΔ
=Δ−
=rrr
r
ΜέσηΜέση ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση
kdtdvj
dtdv
idtdv)kvjviv(
dtd
dtvda
tvlima zyx
zyx0t++=++==⇒
ΔΔ
=→Δ
rr
rr
ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση
2z
2y
2x
zyx
aaaa
kajaiaa
++=
++=r
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 13
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣΤΑΧΥΤΗΤΑΣ
ΚατάΚατά τητη κίνησηκίνηση τουτου σώματοςσώματος απόαπό τοτο ΑΑ στοστο ΒΒηη μετατόπισημετατόπιση ΔΔss πάνωπάνω στηνστην καμπύληκαμπύλη δίνεταιδίνεταιαπόαπό τοτο τόξοτόξο ΑΒΑΒ. .
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔ
=⇒
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔ
ΔΔ
=ΔΔ
=
→Δ→Δ
→Δ→Δ
tslim
srlimv
ts
srlim
trlimv
0t0s
0t0tr
r
rrr
ΣτοΣτο όριοόριο αυτόαυτό τοτο ΔΔs s γίνεταιγίνεται ίσοίσο μεμε τοτο μέτρομέτρο ΔΔrr, , οπότεοπότε οο πρώτοςπρώτος όροςόροςαντιπροσωπεύειαντιπροσωπεύει έναένα μοναδιαίομοναδιαίο διάνυσμαδιάνυσμα, , εφαπτόμενοεφαπτόμενο στηστη διαδρομήδιαδρομή((καμπύληκαμπύλη) ) πουπου περιγράφειπεριγράφει τηντην κίνησηκίνηση τουτου σώματοςσώματος..
Tvr
vdtds
tslim
udtrd
srlim
0t
T0s
==ΔΔ
==ΔΔ
→Δ
→Δ
rrr
vudtdsuv TT
rrr==
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 14
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ
ΕφαπτομενικήΕφαπτομενική ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : ΑλλαγήΑλλαγή στοστο μέτρομέτρο τηςτης ταχύτηταςταχύτηταςTar
Σώμα κινείται στην τροχιά C και τηχρονική στιγμή t έχει ταχύτητα v καιεπιτάχυνση a. Η επιτάχυνση a έχει πάντακατεύθυνση προς τα κοίλα της τροχιάς.
Μπορούμε να αναλύσουμε τηνεπιτάχυνση σε δύο κάθετες συνιστώσες: Σε μια εφαπτομενική στην τροχιά και σεμια κάθετη συνιστώσα.
Tar
x
y
Nar a
rCC
vr
ΚάθετηΚάθετη ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : ΑλλαγήΑλλαγή στηστη διεύθυνσηδιεύθυνση τηςτης ταχύτηταςταχύτηταςNar
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 15
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ
vdtud
dtdvu)vu(
dtda
dtvda T
TT
rrrr
rr
+==⇒=Tur
Nur
'uTr
rr 'uT
rTur
Tudr
x
y
dφΌταν η τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη, τότε το μοναδιαίο διάνυσμα uT αλλάζειαλλάζεικατεύθυνσηκατεύθυνση, , οπότε χρειάζεται ναυπολογισθεί η παράγωγός του ως προςτον χρόνο.
Στο αντίστοιχο κεφάλαιο της ΚινηματικήςΚινηματικής θα αποδειχθεί πως
όπου το μοναδιαίο διάνυσμα uN είναι κάθετο στην εφαπτομενική διεύθυνση τηςτροχιάς και ρρ η ακτίνα καμπυλότητας.
ρvuud NT
rr=
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 16
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΤΟΝΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟΧΩΡΟ
kz
jy
ix ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇r
Η έννοια της παραγώγισης ενός βαθμωτού ή διανυσματικού πεδίου στον χώροδιευκολύνεται με την εισαγωγή του τελεστή (ΑνάδελταΑνάδελτα ή NablaNabla), ο οποίος ορίζεταιως:
∇
Διακρίνονται οι τρεις παρακάτω περιπτώσεις, ανάλογα με το εάν το πεδίο (η συνάρτηση) στο οποίο ο τελεστής αυτός επιδρά είναι βαθμωτό ή διανυσματικό:
ΟΝΟΜΑΣΙΑΟΝΟΜΑΣΙΑ ΟΡΙΣΜΑΟΡΙΣΜΑ ΤΡΟΠΟΣΤΡΟΠΟΣΔΡΑΣΗΣΔΡΑΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ
ΚλίσηΚλίση ((grad)grad) ΒαθμωτόΒαθμωτό ΔιανυσματικόΔιανυσματικό
ΑπόκλισηΑπόκλιση ((div)div) ΔιανυσματικόΔιανυσματικό ΒαθμωτόΒαθμωτό
ΣτροβιλισμόςΣτροβιλισμός ((curl)curl) ΔιανυσματικόΔιανυσματικό ΔιανυσματικόΔιανυσματικό
f∇r
Frr⋅∇
Frr
×∇
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 17
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΒΑΘΜΩΤΟΥΒΑΘΜΩΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
kzfj
yfi
xfffgrad
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=r
Ως κλίση ενός βαθμωτού πεδίου (συνάρτησης) f(x,y,z) ορίζεται ως το διανυσματικόπεδίο:
Το gradf gradf δίνει την παράγωγοπαράγωγο του βαθμωτού πεδίουανάανά κατεύθυνσηκατεύθυνση. Προφανώς το εσωτερικό γινόμενο
είναι το μέγεθος της παραγώγου (μεταβολή τουπεδίου) ως προς την κατεύθυνση του μοναδιαίουδιανύσματος ee.
( ) ef rr⋅∇
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 18
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΒΑΘΜΩΤΟΥΒΑΘΜΩΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
kzfj
yfi
xfffgrad
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=r
j2yi2xfgradf
yxy)f(x, 22
+=∇=
+=r
j2yi2xfgradf
yxy)f(x, 22
−=∇=
−=r
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 19
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΒΑΘΜΩΤΟΥΒΑΘΜΩΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
kzfj
yfi
xfffgrad
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=r
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 20
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
kz
jy
ix ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇r
Παράδειγμα
211yF
xFFjyixF 21 =+=
∂∂
+∂∂
=⋅∇⇒+=rrr
( )zF
yF
xFkFjFiFk
zj
yi
xFFdiv 321
321 ∂∂
+∂∂
+∂∂
=++⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇=rrr
Η απόκλισηαπόκλιση ((divergence) divergence) ενός διανυσματικού πεδίου είναιβαθμωτόβαθμωτό μέγεθος. Προσομοιώνει την ροήροή υποθετικούρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτονταςπως το διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζειτην ταχύτηταταχύτητα του ρευστού.
Στο παράδειγμα αυτό έχουμε σταθερήσταθερή ((θετικήθετική) ) ροήροή ((εκροήεκροή) ) σε κάθε σημείο του χώρου.
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 21
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
kz
jy
ix ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇r
Παράδειγμα
000yF
xFFjxiyF 21 =+=
∂∂
+∂∂
=⋅∇⇒−=rrr
( )zF
yF
xFkFjFiFk
zj
yi
xFFdiv 321
321 ∂∂
+∂∂
+∂∂
=++⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇=rrr
Η απόκλισηαπόκλιση ((divergence) divergence) ενός διανυσματικού πεδίου είναιβαθμωτόβαθμωτό μέγεθος. Προσομοιώνει την ροήροή υποθετικούρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτονταςπως το διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζειτην ταχύτηταταχύτητα του ρευστού.
Στο παράδειγμα αυτό έχουμε μηδενικήμηδενική ροήροή σε κάθε σημείοτου χώρου (το ρευστό μόνο στροβιλίζεται).
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 22
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
kz
jy
ix ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇r
( )321
321
FFFzyx
kji
kFjFiFkz
jy
ix
FFcurl∂∂
∂∂
∂∂
=++×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=×∇=rrr
Η στροβιλισμόςστροβιλισμός ((curl) curl) ενός διανυσματικού πεδίου είναι διανυσματικόδιανυσματικό μέγεθος. Δείχνειτον στροβιλισμόστροβιλισμό υποθετικού ρευστού στο εν λόγω σημείο του χώρου, υποθέτοντας πωςτο διανυσματικό πεδίο στο οποίο επιδρά εκφράζει την ταχύτηταταχύτητα του ρευστού.
Όταν ένα διανυσματικό πεδίο έχει μηδενικόμηδενικό στροβιλισμόστροβιλισμό αποκαλείται αστρόβιλοαστρόβιλο πεδίοπεδίο.
Ένας πρακτικός τρόπος για να βρεθεί ο στροβιλισμός ενός πεδίου σε κάποιο σημείο τουείναι να μελετηθεί η στροφικήστροφική κίνησηκίνηση υποθετικού επίπεδου δίσκουδίσκου φερόμενου στο σημείοαυτό.
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 23
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
kz
jy
ix ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇r
( )321
321
FFFzyx
kji
kFjFiFkz
jy
ix
FFcurl∂∂
∂∂
∂∂
=++×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=×∇=rrr
Παράδειγμα
jx‐iyF =r
k‐2
0x‐yzyx
kji
FFFzyx
kji
F
321
=∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
=×∇rr
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 24
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
( )321
321
FFFzyx
kji
kFjFiFkz
jy
ix
FFcurl∂∂
∂∂
∂∂
=++×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=×∇=rrr
k2F −=×∇rr
jx‐iyF =r
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 25
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
( )321
321
FFFzyx
kji
kFjFiFkz
jy
ix
FFcurl∂∂
∂∂
∂∂
=++×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=×∇=rrr
k2xF −=×∇rr
jx‐F 2=r
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 26
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
kz
jy
ix ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇r
( )321
321
FFFzyx
kji
kFjFiFkz
jy
ix
FFcurl∂∂
∂∂
∂∂
=++×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=×∇=rrr
Αριθμητικό Παράδειγμα
kz)y(xj2xz‐iyxF 2 −++=r
k2z)(xji1)(2x
zyx2xz‐yxzyx
kji
FFFzyx
kji
F 2
2321
+−−+=
−+∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
=×∇rr
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 27
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥ
0Fcurlrr
= 0Fcurlrr
≠
Σχηματικό παράδειγμα κίνησης ενός κλαδιού δέντρου στο υδάτινο ρεύμα μιαςλίμνης. Το κλαδί ακολουθεί την πορεία που καθορίζει το διάνυσμα τηςταχύτητας του ρευστού στην επιφάνεια της λίμνης. Εάν ο προσανατολισμός τουκλαδιού δεν αλλάζει (αριστερά), τότε δεν υπάρχει στροβιλισμός στο πεδίο τωνταχυτήτων (curlF=0). Στην αντίθετη περίπτωση ύπαρξης στροβιλισμού (δεξιά), το κλαδί πέραν από την μεταφορική εκτελεί και περιστροφική κίνηση.
Stathis STILIARIS, UoA 2015-2016 28