04 Conteo ExperAleatorio TeoProbabi

8/17/2019 04 Conteo ExperAleatorio TeoProbabi

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UNIFÉ Administración de Negocios InternacionalesEstadística

Gladys Enríquez Mantilla 148

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN:

Si una acción está constituida por dos etapas sucesivas: la primera etapa puede ocurrir dem maneras distintas y para cada una de esas posibilidades, la segunda etapa puedeelegirse de n maneras distintas. Entonces, el número de posibilidades de efectuar la accióncompleta, en ese orden es:

Nº de maneras = m x n

Generalmente para hallar el número de maneras diferentes en el principio de multiplicación,se utiliza el diagrama del árbol.

Ejemplos:

1.- Suponga que una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A a otra ciudad B; yuna vez llegada a B, tiene 3 maneras de llegar a otra ciudad C, ¿De cuántas maneraspodrá realizar el viaje de A a C pasando por B?

⇒ Nº de maneras = 632 =×

2.- El pedido de una computadora personal digital puede especificar uno de cincotamaños de memoria, cualquier tipo de monitor de tres posibles, cualquier tamañode disco duro de entre cuatro posibles y puede incluir o no una tarjeta para lápizelectrónico. ¿Cuántos sistemas distintos pueden ordenarse?

⇒ Nº de maneras = 1202435 =×××

3.- Uno de los editores del anuario de un colegio, ha diseñado una página que debe

contener 5 tipos diferentes de fotografías. El editor puede escoger entre 4 fotografíasde grupos de profesores, 10 fotografías de eventos atléticos, 7 de salones de clases, 8de todo el terreno del colegio y 5 de las actividades de los distintos clubes. ¿Cuántosproyectos de páginas diferentes se podrán preparar con las fotografías que dispone?

⇒ Nº de maneras = 20011587104 =××××

PRINCIPIO DE ADICIÓN:

Si una tarea puede desarrollarse de m maneras, mientras que una segunda tarea puederealizarse de n maneras y no es posible realizar ambas tareas simultáneamente, entonces el

número de maneras en que una o la otra tarea se pueden realizar es:

Nº de maneras = m + n

Ejemplo:

César, Patricia y Miguel desean ingresar al correo electrónico de Jimmy, pero no conocen suclave de ingreso. Sin embargo, uno de ellos la tiene anotada en su cuaderno de apuntes

pero no saben quién, y tampoco saben cuál de las claves anotadas es de Jimmy. Si Césartiene tres claves anotadas, Patricia tiene cuatro y Miguel tiene dos, ¿cuál es el máximonúmero de intentos para ingresar al correo de Jimmy?

⇒ Nº de maneras = 3 + 4 + 2 = 9


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TÉCNICAS DE CONTEO

VARIACIONES O ARREGLOS:

Dado un conjunto que tiene n elementos diferentes, se llama arreglo o variación a cualquiergrupo ordenado de r elementos diferentes escogidos entre los n elementos dados.

!)rn(

!nnrV

−=

Ejemplo:

Se contrata un servicio de calificación de computadoras para encontrar las tres mejoresmarcas de monitores EGA. Se incluirá un total de diez marcas en el estudio. ¿De cuántasformas distintas puede el servicio de calificación llegar al ordenamiento final?

720!7

!10V103 ==

VARIACIONES CON REPETICIÓN:

Sea A un conjunto con m elementos. Llamamos variaciones con repetición de n elementostomados de m en m a todas a las agrupaciones que podemos hacer con m elementos de Aindependientemente de que se repita alguno.

rnnrVR = Ejemplo:

Hemos dibujado cinco cuadrados juntos en una hilera y cada cuadrado se puede pintar obien en blanco o en negro. ¿Cuántos modelos distintos podemos obtener?

2 2 2 2 2 = 3225

=

PERMUTACIONES:

Dado un conjunto que contiene n elementos distintos, se llama permutación a todo arregloordenado de estos n elementos tomados de n en n.

!nAP nnn ==

Ejemplo:

Un mecanismo electrónico de control requiere de 5 chips de memoria iguales. ¿De cuántas

maneras puede ensamblarse este mecanismo colocando los cinco chips en las cincoposiciones dentro del controlador?

120!5P5 ==

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN:

Dado un conjunto de n elementos distintos, de modo que el primer elemento aparezca n1

veces, el segundo n2 veces, ......... , el k-ésimo nk veces, donde n = ∑ in

!n........!n!n

!nP

k21

nn,.........,n,n

k21 ××

=


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Ejemplo:

Se cuenta con 12 analistas de sistemas y se desea asignar tres al trabajo 1, cuatro altrabajo 2 y cinco al trabajo 3. ¿De cuántas formas distintas se puede efectuar estaasignación?

72027!5!4!3

!121254,3,

P =××

=

PERMUTACIONES CIRCULARES:

Es un caso particular de permutaciones en las que en la ordenación no hay ni comienzo nifin (los elementos están dispuestos en forma circular).

Para contar las distintas agrupaciones se fija uno de los elementos y se permutan losdemás. Es decir, si tenemos n elementos permutaremos n-1.

!)1n(c

P −=

Ejemplo:

Alrededor de una torta de cumpleaños, se ubican seis vasos diferentes, ¿de cuántas formaspueden ser ubicados?

Pc = ( 6 – 1) ! = 5 ! = 120

COMBINACIONES:

Una combinación de n elementos tomados de r en r es una selección de r elementos apartir de los n dados sin tener en cuenta el orden.

!)rn(!r

!nC nr

−=

Ejemplos:

1.- Una tarjeta de circuito tiene ocho posiciones diferentes en las que puede colocarse

un componente. Si se colocan cinco componentes idénticos sobre la tarjeta, ¿cuántosdiseños distintos pueden obtenerse?

( )56

!58!5

!8C85 =

−=

2.- De un conjunto de seis hombres y cinco mujeres, ¿cuántos comités de ocho

miembros se puede formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos tresmujeres?

55

63

54

64

53

65 CCCCCC ++

155120515106 =×+×+×

3.- Una señora tiene 3 frutas: manzana, fresa y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas?

73332

31 =++ CCC


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EJERCICIOS PROPUESTOS

Técnicas De Conteo

1.- Un conferencista dispone de ocho temas sobre los que puede disertar durante 30minutos. Se le pide que presente una serie de cinco conferencias de 30 minutos a ungrupo de personas. ¿Entre cuántas secuencias de conferencias puede escoger?

67202.- En una encuesta se recomienda a un consumidor que ordene sus preferencias por

cuatro marcas de gaseosa. ¿Cuántas ordenaciones pueden resultar? 24

3.- ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar dos fichas rojas, dos verdes y tres

azules? 210

4.- El diseño de un sistema de comunicación considera las siguientes preguntas:a) ¿Cuántos prefijos de tres dígitos de teléfono pueden crearse para representar

un área geográfica en particular (código de área) con los dígitos del 0 al 9?1000

b) Al igual que en el inciso a), ¿cuántos prefijos de tres dígitos pueden crearse demodo que el primer dígito no sea 0 ni 1, y el segundo sea 0 o 1? 160

a) ¿Cuál es el número de prefijos de tres dígitos en los que ningún dígito aparecemás de una vez en cada prefijo? 720

5.- Un grupo de personas son clasificadas de acuerdo al sexo, estado civil (soltero,casado, viudo) y profesión. Si hay 30 profesionales, ¿de cuántas maneras se puedehacer esta clasificación? 180

6.- De cuantas maneras diferentes puede un padre dividir 8 regalos entre sus 3 hijos si

el mayor debe recibir 4 y los menores 2 cada uno. 420

7.- ¿En cuántas formas puede un sindicato local elegir entre sus 25 miembros a unpresidente y a un secretario? 600

8.- ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER?

609.- Una placa de automóvil consta de dos letras distintas seguidas de tres dígitos de los

cuales el primero no es cero. ¿Cuántas placas diferentes pueden formarse?680 400

10.- Se va a presentar 6 conferencistas en una reunión. ¿De cuántas maneras diferentes

se pueden situar en el escenario los seis conferencistas en fila? 720

11.- En un proceso de manufactura hay seis operaciones distintas, que se indican con A,B, C, D, E y F. En general no existe una secuencia fija para las operaciones, con lasalvedad de que A debe efectuarse al principio y F al final. ¿Cuántas secuenciasdiferentes pueden ocurrir? 24

12.- ¿Cuántos almuerzos diferentes son posibles, si se componen de una sopa, un

emparedado, un postre y una bebida y puede elegirse entre cuatro sopas, tres tiposde emparedados, cinco postres y cuatro bebidas? 240

13.- Una caja de cartón con 12 baterías para radio contiene dos baterías defectuosas. ¿Decuántas maneras diferentes puede el inspector escoger tres de las baterías y obtener:a) Ninguna batería defectuosa 120b) Una defectuosa. 90c) Ambas baterías defectuosas. 10


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14.- Una prueba de Falso-Verdadero estaba formado por diez preguntas de las cuales 7

eran falsas y 3 verdaderas. Si un estudiante supiera esto pero sus respuestas fueranal azar; ¿cuántas respuestas diferentes podría dar? 120

15.- A un producto se le codifica asignándole 3 letras y 2 números (las letras deben ir

antes que los números); sólo se podrán emplear las letras A y B y los dígitos del 1 al6. ¿Cuántos códigos diferentes es posible obtener? 288

16.- ¿De cuántas formas pueden sentarse 12 miembros del Directorio de una empresa,alrededor de una mesa circular? 39 916 800

17.- Utilizando las letras de la palabra EQUATION, ¿cuántas palabras código con cuatroletras diferentes pueden ser formadas,a) Empezando con T y terminando con N. 30 b) Empezando y terminando con una consonante. 180 c) Sólo con vocales. 120 d) Con tres consonantes. 120

18.- Un vendedor de automóviles tiene siete modelos para exhibir en una vitrina, peroésta sólo tiene espacio para 5 carros. ¿Cuántas muestras puede poner? 2520

19.- En una sección con 41 alumnos, el profesor va a rifar tres premios.

a) ¿Cuántos tríos diferentes podrían salir favorecidos? 63 960

b) Al final al profesor le falta dinero y solo rifa dos premios. ¿A cuánto baja lacantidad de grupos diferentes que pueden ser favorecidos? 1640

20.- ¿Cuántas listas de 5 socios pueden formarse de un total de 9 que presentaronsolicitudes de préstamo, los cuales se otorgan por prioridad o calificación? 15 120

21.- ¿De cuántas formas puede seleccionarse un comité de 3 personas desde 4matrimonios.a) Si todos son igualmente elegibles. 56 b) Si el comité debe constituirse de dos mujeres y un hombre. 24

22.- ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con los dígitos del 0 al 9 si:

a) Los dígitos pueden repetirse. 9000 b) Los dígitos no pueden repetirse. 4536c) El último dígito ha de ser cero y los dígitos no pueden repetirse. 504 d) Los números formados deben ser pares. 4500 e) Los números formados deben ser múltiplos de 5. 1800

23.- Hay doce maneras en las cuales un artículo manufacturado puede tener un pequeñodefecto y diez maneras en las cuales pueden tener un defecto mayor.

a) ¿de cuántas maneras puede ocurrir un defecto menor y uno mayor? 120 b) Dos defectos menores y dos defectos mayores. 2970

24.- ¿Cuántas ensaladas pueden prepararse con lechuga, pepino, tomate, betarraga yzanahoria? 31

25.- Un número telefónico tiene diez dígitos que consisten en un código de área (3

dígitos, el primero no es cero ni uno, el segundo es cero o uno), un código deintercambio (3 dígitos, el primero no es cero ni uno, el segundo no es cero ni uno) yun número de línea (4 dígitos, no todos son ceros). ¿Cuántos de tales números condiez dígitos hay? 1 023 897 600


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26.- En los laboratorios “Beta” hay 3 plazas vacantes. De un total de 33 solicitudes de

empleo, sólo 14 se han considerado aceptables, en base a las entrevistas practicadaspor el departamento de personal. ¿De cuántas maneras pueden asignarse las 3plazas?a) Si todos los empleos son de la misma categoría 364

b) Si un empleo es de gerente de ventas, uno es de agente visitador para lasciudades de Trujillo y Chiclayo y otro de agente visitador para las ciudades deCusco y Arequipa. 2184

27.- Se va a conformar un comité de tres miembros compuesto por un representante delos trabajadores, uno de la administración y uno del gobierno. Si hay tres candidatos

de los trabajadores, dos de la administración y cuatro del gobierno. Determinarcuántos comités diferentes pueden conformarse. 24

28.- Una tienda de artículos electrodomésticos posee en existencia ocho clases derefrigeradoras, seis tipos de lavadoras y seis clases de hornos microondas. ¿Encuántas formas diferentes pueden elegirse dos artículos de cada clase para unabarata? 6300

29.- ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de lapalabra INDEPENDENCIA? 43 243 200

30.- ¿Cuántos números distintos, de cinco cifras, se pueden formar con tres números 1 ydos números 2? 10

31.- ¿De cuántas maneras se pueden repartir 12 libros entre tres niños de forma quecada uno reciba 4 libros? 34 650

32.- Un comité de cuatro va a ser seleccionado de un grupo de tres estudiantes de cuarto

año, cuatro de tercero y cinco de segundo. ¿De cuántas maneras puede se hecho si:a) No hay restricciones en la selección. 495 b) El comité debe tener 2 de segundo año, 1 de tercero y 1 de cuarto. 120c) El comité debe tener al menos 3 de segundo año. 75 d) El comité debe tener por lo menos uno de cuarto. 369

33.- El gerente de una pequeña planta desea determinar el número de maneras en quepuede asignar trabajadores al primer turno. Cuenta con 15 hombres que puedenservir como operadores del equipo de producción, 8 que pueden desempeñarse comopersonal de mantenimiento y 4 que pueden ser supervisores. Si el turno requiere 6operadores, 2 trabajadores de mantenimiento y 1 supervisor, ¿de cuántas maneraspuede integrarse el primer grupo? 560 560

34.- Hallar los números que se pueden formar con 4 de los 5 dígitos 1, 2,3,4,5.a) Si éstos no se pueden repetir. 120 b) Sí se pueden repetir. 625 c) Empezando por 2, si los dígitos no se pueden repetir. 24d) Terminando en 25, sin repetirse los dígitos. 6

35.- Un estudiante debe responder diez de trece preguntas en una prueba escrita.¿Cuántas selecciones podrá hacer si:

a) Escoge indistintamente las diez. 286 b) Las dos primeras son obligatorias. 165 c) Debe responder a la primera o la segunda pero no ambas. 110 d) Debe responder obligatoriamente a 3 de las 5 primeras.

80

e) Debe responder por lo menos a 3 de las 5 primeras. 276


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36.- ¿De cuántas formas diferentes puede el director de un laboratorio de cómputo elegir

a dos administradores entre 7 aspirantes y 3 estadísticos entre 9 candidatos?1764

37.- Un testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó, le indica al policíaque el número de matrícula del automóvil tenía las letras RLH seguidas por tresdígitos, el primero de los cuales era un cinco. Si el testigo no puede recordar los otrosdos dígitos pero está seguro de que los tres eran diferentes, hallar el número máximode registros de automóvil que debe verificar la policía. 72

38.- Martha, Teresa y Carla vieron huir de un banco en un automóvil a tres hombres justo antes de que sonara una alarma contra robos. A pesar de que todo ocurrió encuestión de segundos, cuando fueron interrogadas por la policía pudieron darle lasiguiente información acerca de la placa del automóvil, que constaba de tres letrasseguidas por tres dígitos. Teresa tenía la seguridad que la segunda letra de la placaera una M o una N y que el penúltimo dígito era un 5 o un 8. Carla está segura de

que la tercera letra de la placa era una E o una F y que el último dígito era un 4 o un7. Martha dijo que sólo estaba segura que la primera letra era definitivamente una R.

A partir de esta información, ¿cuántas placas diferentes tendrá que verificar lapolicía? 160

39.- ¿Cuántas palabras código con cuatro letras diferentes pueden ser formadas, si sequiere utilizar las letras de la palabra PROBLEMAS?a) Empezando y terminando con una vocal. 252b) Con tres vocales. 144 c) Empezando con E y terminando con P. 42 d) Sólo con consonantes. 360

40.- En una caja se tiene cinco tickets de S/100 cada uno, tres tickets de S/300 cadauno y dos tickets de S/500 cada uno. Se escogen aleatoriamente tres tickets, ¿encuántas de estas muestras la suma de los precios de los tres tickets es de S/700?

3541.- Una empresa dedicada a la venta de computadoras, ofrece cinco modelos diferentes

de la marca A, seis modelos diferentes de la marca B y cuatro de la marca C. Lafacultad ha decidido comprar tres computadoras para el laboratorio 3. Luego de un

estudio de mercado, se decidió efectuar la compra en dicha empresa. ¿De cuántasmaneras se podrá seleccionar las tres computadoras, si:a) Todas deben ser de la misma marca. 34 b) Deben corresponder a dos marcas diferentes. 301 c) Las tres deben ser de marcas diferentes. 120

42.- Se quiere formar comisiones integradas por un médico y dos ingenieros de un grupode cuatro médicos y seis ingenieros. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá

nombrar dicha comisión si cierto médico se rehúsa integrar la comisión si está elingeniero A o el ingeniero B presente en dicha comisión? 51

43.- La profesora de Estadística está pensando asignar trabajos individuales o grupales alos alumnos del ISI 32: Jorge, Claudia, Juan, Pedro y Paola. ¿Cuántos trabajos

podría asignar? 31

44.- Al salir de la tienda, Patricia y Mariela vieron cómo dos hombres huían de una

joyería, en la cual sonaba la alarma. Patricia está segura que el último dígito de lapatente del auto en que huyeron los asaltantes era un 5 ó un 6, y el segundo era un3, mientras Mariela asevera que la primera letra era una O o una D, y que el primerdígito era un 1 ó un 7. ¿Cuántas patentes cumplen estas restricciones, suponiendo

cuatro letras y cinco dígitos? 14 060 800


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45.- Un lote de cincuenta discos duros fue inspeccionado, para ello se seleccionó unamuestra aleatoria de cinco de ellos. Si se sabe que siete no cumplen con los

requerimientos del cliente, ¿Cuántas muestras contienen al menos un disco duroque no cumple con los requerimientos? 1 156 162

46.- Carlos y Javier acuden a un restaurante que ofrece un menú con diez comidasdiferentes. Si cada uno desea pedir una comida diferente a lo que pide el otro. ¿Decuántas maneras diferentes puede hacer el pedido? 90

47.- Un grupo está formado por tres economistas, seis administradores, cuatro médicos ydos contadores. Si se eligen tres personas al azar, ¿cuántas muestras se formarán detal manera que los tres integrantes resulten de profesiones diferentes? 180

48.- Para que una cerradura especial sea abierta, es necesario que se digite en un panelmagnético una secuencia correcta formada por cuatro dígitos diferentes y dos letras

también diferentes. Los dígitos pueden variar de 1 a 9. ¿Cuál es el número máximode intentos que una persona que no conoce la secuencia correcta puede hacer para

que la cerradura sea abierta? 1 965 600

49.- Ocho personas se disponen a viajar en un tren que tiene cuatro vagones.

a) ¿De cuántas maneras podrán ubicarse en el tren? 65 536 b) ¿De cuántas maneras podrán ubicarse de modo que hayan dos pasajeros en

cada vagón? 2520

50.- Un teclado especial de computadora puede comprarse en seis casas distribuidorasdiferentes. ¿De cuántas formas pueden elegirse cuatro distribuidoras de entre lasseis? 15

51.- Dados los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , se trata de calcular la cantidad de números

de cuatro cifras que se pueden formar sin repetirse ninguna de ellas, que cumplanlas siguientes características:a) Total de números posibles. 840b) Empiecen en uno y acaben en siete. 20 c) No contengan ni el cuatro ni el cinco. 120 d) No contengan el dos ni el siete y sí el seis. 96 e) Contengan el uno. 480 f) Comiencen en cuatro, acaben en tres y no contengan ni el cinco ni el siete. 6 g) La segunda cifra sea cinco y la última par. 60 h) La segunda cifra sea dos y la última uno. 20 i) Empiecen en cuatro y no contengan el uno ni el seis. 24 j) El primero y el último sean impares y los del medio pares. 72 k) Empiecen en impar y terminen en par. 240

l) El primero, segundo y cuarto sean impares y el tercero par. 72 m) Contengan un impar. 96 n) Tengan más pares que impares. 96 o) Sean múltiplos de dos. 360 p) Sean múltiplos de cinco. 120 q) Acaben en tres y tengan dos pares. 54 r) No contengan el uno ni el cuatro y tengan algún par. 120 s) Los dos centrales sean pares. 120

52.- Un profesor asigna una semana antes del examen, un conjunto de diez problemas. El

examen consistirá de 5 problemas elegidos al azar a partir de los diez asignados. Unestudiante sólo puede resolver 7 de estos problemas. Hallar el número de manerasen que el estudiante:a) Conteste bien 3 preguntas. 105b) Tenga por lo menos 4 preguntas buenas. 126


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53.- Cuatro turistas llegan a un pueblo que tiene 6 hoteles. Si los turistas eligen al azar el

hotel donde se van a hospedar. Hallar el número de maneras en que:a) Todos ellos se hospeden sin ninguna restricción. 1296b) Todos se hospeden en hoteles distintos. 360

54.- Un club que consiste de cuatro mujeres y dos hombres, está por celebrar su reuniónanual. Además de haberse tomado una fotografía de grupo, planean elegir unpresidente, un vicepresidente y un secretario. ¿De cuántas maneras pueden:a) Formarse para su fotografía de grupo. 720 b) Elegir a sus tres dirigentes si no hay restricciones de sexo. 120 c) Elegir a sus tres dirigentes si el presidente tiene que ser mujer y el

vicepresidente hombre. 32 d) Elegir a sus tres dirigentes si el presidente tiene que ser de un sexo y el

vicepresidente y el secretario del otro sexo. 32

55.- Una agencia de publicidad ha obtenido la exclusividad respecto a una línea de ropa.Por este motivo la agencia ha decidido organizar un concurso nacional destinado aadivinar el nombre futuro de esa línea de producción. Las condiciones son: losnombres que se propongan deben ser de cuatro letras, ninguna letra debe repetirse,la primera y la tercera de las letras deben ser consonantes, la segunda y la cuartaletras deben ser vocales. Si una persona propone dos veces el mismo nombre quedadescalificada. ¿Cuántos nombres debe proponer una persona para estar seguro queparticipa en el sorteo público? 8400

56.- Suponga que hay ocho máquinas disponibles pero sólo tres espacios en el piso deltaller donde se han de instalar tales máquinas. ¿De cuántos modos diferentespueden colocarse las ocho en los tres espacios disponibles? 336

57.- Una línea de ferrocarril tiene 20 estaciones. ¿Cuántos boletos distintos habrá que

imprimir si cada boleto lleva impreso las estaciones de origen y de destino? 190

58.- ¿De cuántos modos posibles pueden adornarse las manos con dos anillos distintossin ponerlos en el mismo dedo? 90

59.- La clase A tiene 29 alumnos, 24 la clase B y 18 la clase C. ¿De cuántas maneraspuede formarse una comisión que tenga dos alumnos de cada clase? 17 144 568

60.- ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve automóviles de loscuales 4 son blancos, 3 amarillos y 2 azules? 1260

61.- Tres peruanos, cuatro franceses, cuatro italianos y dos colombianos se encuentranreunidos, ¿de cuántas maneras pueden ubicarse:

a) en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos

165 888b) en una mesa redonda, juntos los de la misma nacionalidad. 41 472

62.- ¿En cuántas formas puede un sindicato local elegir entre sus 25 miembros a unpresidente y a un secretario? 600

63.- El jefe de personal de una corporación ha contratado diez ingenieros. ¿De cuántasformas pueden ocupar tres puestos diferentes que están disponibles en dichafábrica? 720

64.- En una reunión familiar se encuentran el padre de familia, su esposa y sus treshijos. Si están alrededor de una mesa circular entreteniéndose con un juego de

salón. ¿De cuántas formas se pueden ubicar alrededor de la mesa si los tres niñosdeben estar siempre juntos? 12


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65.- ¿De cuántas maneras se pueden asignar 16 vendedores a cinco sucursales de una

tienda de modo que vayan 4 a dos sucursales, 3 a las otras dos y los 2 restantes a laúltima sucursal. 504 504 000

66.- Un estudiante dispone de una biblioteca con 12 libros, ¿de cuántas maneras podrá

realizar una selección de cinco libros?

a) Cuando un determinado libro sea incluido siempre. 330b) Cuando un determinado libro sea siempre excluido. 462

67.- A un congreso asisten 60 personas de las cuales 40 sólo hablan inglés y 20 sóloalemán. ¿Cuántos diálogos pueden establecerse sin intérprete? 970

68.- ¿De cuántas formas pueden repartirse siete libros entre siete niños si:a) Los libros son distintos. 5040b) Hay cuatro libros iguales y el resto distintos. 210c) Los libros son todos distintos y queremos que a Juan le toque el de novelas y

a Pedro el libro de cuentos. 120

69.- En un Simposio organizado por la Municipalidad de Lima participan 4 alcaldes delCono Norte y 3 alcaldes del Cono Sur, los cuales están ubicados en una mesarectangular dando de frente al público asistente. ¿De cuántas maneras pueden

disponerse los alcaldes, si los burgomaestres de un mismo cono no pueden estarseparados? 288

70.- Ocho amigos van de viaje llevando para ello dos automóviles. Si deciden ir cuatro encada automóvil, ¿de cuántas formar pueden ir si:a) Todos tienen brevete. 40320b) Sólo tres tienen brevete. 4320

71.- En una empresa de 12 empleados 5 son mujeres y 7 son hombres. Se forma un

comité compuesto por dos mujeres y tres hombres. ¿De cuántas maneras puedeformarse dicho comité si:a) Puede pertenecer al comité cualquier mujer o cualquier hombre. 350b) Un hombre determinado tiene que pertenecer al comité. 150c) Dos hombres en concreto no pueden estar en el comité. 100

72- ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse en un estante 6 libros deestadística, 2 de matemática y 4 de química si los libros de la misma materia debenestar juntos y si,a) No se distingue entre los libros de la misma materia. 13860b) Se distingue entre los libros de la misma materia. 207 360

73.- En una carrera de maratón intervienen cuatro españoles, cuatro italianos, cuatroingleses y cuatro franceses. Suponiendo que terminan la carrera todos loscorredores, ¿cuántos podios distintos pueden darse al acabar la carrera en los cualesno hay españoles? 1320

74.- Un comité de doce personas será elegido entre diez hombres y diez mujeres. ¿Decuántas formas se puede hacer la selección si:a) La mitad deben ser mujeres. 44100b) Debe haber un número par de mujeres. 63090c) Debe haber más mujeres que hombres. 40935d) Debe haber al menos ocho hombres. 10695

75.- La compañía telefónica desea saber cuántas líneas como máximo puede instalar en

cierto distrito cuya serie es 531. Tal misión es encargada a un empleado de lasección de operaciones, ¿puedes indicar la respuesta de dicho empleado? 10000


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76.- ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir una comisión de cinco miembros a

partir de ocho personas?a) Si no existe ninguna restricción. 56b) Si una persona determinada debe estar siempre incluida. 35 c) Si una persona determinada debe estar siempre excluida. 21

d) Si una persona determinada debe estar siempre incluida y otra siempreexcluida. 15

e) Si dos personas determinadas nunca deben estar juntas en esa comisión.36

77.- Una empresa produce cerraduras de combinación. Cada combinación consta de tresnúmeros enteros del 0 al 99, ambos inclusive. Por el proceso de construcción de lascerraduras cada número no puede aparecer más de una sola vez en la combinaciónde la cerradura. ¿Cuántas cerraduras diferentes pueden construirse? 970 200

78.- Una persona que sale de vacaciones desea llevarse cuatro libros para leer; disponede 4 novelas policiales y 6 libros de cuentos cortos. ¿De cuántas maneras puedehacer la elección si quiere llevar al menos una novela? 195

79.- En una ciudad A los números telefónicos se forman con cuatro números (0 a 9) nopudiendo ser cero el primero de ellos, y en otra ciudad B con cinco números con las

mismas condiciones, ¿cuántas comunicaciones pueden mantenerse entre losabonados de ambas ciudades? 810 000 000

80.- Tres matrimonios se reúnen para celebrar el aniversario de uno de ellos. Desean queles hagan una fotografía de forma que estén todos los hombres juntos y también lasmujeres. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse? 72

81.- En una clase hay 10 chicos y 5 chicas; si el profesor desea escoger un grupo de tres,a) ¿De cuántas maneras puede hacerlo? 455

b) ¿En cuántos grupos habrá una sola chica? 225c) ¿En cuántos habrá un chico por lo menos? 445

82.- Se desea colocar en una fila los 15 celulares de una oficina. Si 5 celulares sonMovistar, otros 5 son Claro y el resto son Nextel. ¿De cuántas maneras distintas sepueden colocar? 756756

83.- En una carrera por equipos participan 4 españoles, 5 franceses y 3 marroquíes. Si loúnico diferenciable de cada corredor es su nacionalidad, ¿de cuántas formasposibles podrían terminar la carrera? 27 720

84.- Las letras de la palabra BRINCOS están impresas en siete tarjetas, ¿cuántaspalabras código de tres letras diferentes pueden formarse si:

a) la primera y la última letra deben ser consonantes. 100 b) todas las vocales usadas (si hay) tienen que estar al final de la palabra, es

decir, una vocal no puede estar seguida de una consonante. 110

85.- Se escriben las letras a, b, c, d, e, f en papelitos distintos y luego se revuelven losseis papelitos en una bolsa. Se desea formar palabras de cuatro letras con esasletras. Se extrae un papelito, se apunta la letra, y se regresa a la bolsa, repitiendo

este proceso 4 veces. ¿Cuántas palabras se puede formar? 1296

86.- En cierta ciudad las matrículas de los autos se forman con dos vocales diferentesseguidas de cinco dígitos todos diferentes.a) Hallar la cantidad de matrículas que pueden hacerse. 604800b) Determinar cuántas de ellas comienzan con A y terminan con 89. 1344 c) La segunda letra es E y los últimos dos dígitos son impares. 26880


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87.- Una compañía tiene diez programadores, ocho analistas de sistemas, cuatro

ingenieros de sistemas y tres estadísticos. Se elegirá un equipo para un nuevoproyecto de largo plazo. El equipo consistirá de tres programadores, dos analistas desistemas, dos ingenieros de sistemas y un estadístico.a) ¿En cuántas formas puede seleccionarse el equipo? 60480

b) Si el cliente insiste en que se incluya en el proyecto a un ingeniero con el queha trabajado anteriormente, ¿de cuántas maneras puede seleccionarse elequipo? 30240

88.- Un número de teléfono consta de siete dígitos. Si la primera ha de ser un númeroentre 2 y 9, ambos inclusive, la segunda y la tercera han de ser números entre 1 y 9ambos inclusive. ¿Cuántos números de teléfono distintos pueden formarse con estascondiciones? 6 480 000

89.- Un almacén tiene siete puertas regulares y cinco de emergencia, que sólo pueden

abrirse por dentro; ¿de cuántas formas puede una persona entrar y salir de latienda? 84

90.- Una persona va en busca de trabajo, el primer día solicita empleo en una empresapara ocupar cualquier de los tres puestos vacantes, al día siguiente solicitó empleoen otra empresa donde puede ocupar 5 puestos vacantes, y el tercer día presenta su

solicitud en otra empresa en donde puede ocupar 2 puestos vacantes. ¿Cuántasposibilidades hay que ocupe un puesto vacante? 10

91.- Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justoantes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la

policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información acerca de la placa (queconstaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos). María estaba segura de que lasegunda letra de la placa era una O ó una Q, y que el último dígito era un 3 ó un 8.Ana dijo que la primera letra de la placa era una C ó una G y que el primer dígito era

definitivamente un 7. ¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?800

92.- Un psicólogo que escribe palabras absurdas o sin sentido, de tres letras, para

utilizarlas en un examen de memoria elige la primera letra entre las consonantes q,w, x, z ; la segunda la escoge entre las vocales e, i, u mientras que la tercera la eligeentre las consonantes c, f, p, v. ¿cuántas de estas palabras sin sentido:a) se pueden construir. 48 b) comenzarán con la letra w. 12 c) terminarán con la letra f o con p. 24

93.- ¿En cuántas formas puede entrevistar una persona que recolecta datos para unaorganización de investigación de mercados, a tres de las 20 familias que viven encierto condominio? 1140

94.- Si un restaurante ofrece nueve postres diferentes, que sirve con café, cafédescafeinado, té, leche o chocolate caliente. ¿En cuántas formas se pueden ordenar

un postre y una bebida? 45

95.- Un jefe de policía necesita asignar oficiales de diez disponibles para controlar eltráfico en los cruces A, B y C, ¿de cuántas maneras lo puede hacer? 720

96.- En cierta ciudad las placas de los automóviles, se identifican por tres letras y tresnúmeros.

a) ¿Cuál es el número total si ninguna letra de placas posible puede usarse másde una ocasión en la misma placa? 15 600

b) ¿Cuál es el número total sin esta restricción? 17 576 000


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INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Probabilidad a priori:

Es aquella que se puede determinar de antemano, sin necesidad de realizar el experimento.

Probabilidad empírica:

Se determina mediante una serie de experimentos. Se calcula dividiendo el número de casosfavorables entre el número de casos posibles.

( ) ( )

( ) posiblescasosdenúmero

favorablescasosdenúmero

Ωn

AnAP ==

Experimento aleatorio: ( E)

Es cualquier acción o proceso cuyo resultado no puede predecirse. Es el conjunto de

pruebas realizadas en las mismas condiciones.

Fenómeno determinístico: ( D)

Cualquier acción o fenómeno cuyo resultado puede predecirse con exactitud.

Espacio muestral: ( )Ω

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

{ }6,5,4,3,2,1Ω =

resultados, puntos muestrales o sucesos

Evento:

Es un subconjunto del espacio muestral: { }6,4,2A =

Diagrama del árbol:

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r

pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado acabo.

El esquema se inicia en un punto que corresponde al espacio muestral Ω y a partir de ahíse trazan líneas (ramas principales) que conducen a los eventos mutuamente excluyentesque describen el experimento aleatorio dado. De estos eventos nuevamente se trazan líneas(ramas secundarias) que conducen a otros eventos mutuamente excluyentes y así

sucesivamente.

Ejemplo: El siguiente diagrama muestra los resultados obtenidos al lanzar tres veces unamoneda al aire.


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Experimento Aleatorio-Espacio Muestral-Eventos

1.- Decir si los siguientes son experimentos aleatorios o son fenómenos determinísticos.

Seleccionar una alumna del Registro de Notas.

Se lanza una moneda y se observa el lado superior.

Soltar una piedra en el aire.

Se le pregunta a un consumidor cuál de entre dos productos es supreferido.

Extraer un alumno de un grupo que contiene alumnos aprobados y

reprobados en el primer examen de estadística y observar su situación.

Contar el número de automóviles que cruzan la intersección de dos calleshasta antes de que ocurra un accidente.

Se observa el cambio diario de un índice de precios de bolsa.

Observar la nacionalidad de una persona extraída de un grupo donde nohay extranjeros.

Se extrae una muestra de un producto terminado en una línea deensamblaje para determinar si el producto es defectuoso o no.

Observar el tiempo de vida de una computadora.

Lanzar una pelota en una piscina con agua.

Se analiza una cantidad de una sustancia química producida por unproceso particular para determinar si contiene un porcentaje mayor que el

permitido de impurezas.

Observar el resultado de un partido de fútbol.

La hora en que se despierta diariamente una persona.

Lanzar una moneda hasta que salga cara.

Entrevistar a los profesores de la Unifé acerca de su profesión, hastacompletar cinco administradores.

Observar el color de una tiza extraída de una caja que contiene sólo tizasrojas.

Seleccionar una persona al azar y preguntarle su edad.

La hora en que se despierta una persona utilizando un reloj despertador.

2.- Para los siguientes experimentos aleatorios determinar el Espacio Muestral y losEventos que se indican.

E1 : Se lanza un dado y se observa el número que aparece en el lado superior.

A : como máximo cuatro.B : número par o mayor que uno.C : número par y mayor que tres.D : número par e impar.


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E2 : Se lanzan tres monedas y se observan los lados superiores.A : no obtener sello.B : obtener dos veces cara.C : como máximo dos caras.

D : obtener un sello.E : obtener por lo menos dos caras.

E3 : Se lanzan una moneda y un dado y se observan los lados superiores.A : se obtiene sello y un número impar.B : se obtiene un número par.C : se obtiene un número divisible por tres.

E4 : Se lanzan dos monedas y un dado y se observan los lados superiores.

A : aparecen dos caras y un número impar.B : la segunda moneda es cara.C : aparece exactamente una cara y un número primo.D : se obtiene como máximo una cara.

E5 : Se cuenta el número de camiones que pasan por un peaje durante un díadeterminado.

A : pasan como mínimo diez camiones.B : más de tres y como máximo ocho camiones.C : no más de tres.D : no menos de seis.

E6 : Se arroja una moneda cinco veces y se cuenta el número total de sellos

obtenidos.A : se obtiene más de dos sellos.B : menos de tres sellos.C : se obtiene un número impar de sellos.

D : se obtiene no más de tres sellos.

E7 : De cinco profesores A, B, C, D y E se elige una comisión de tres miembros.

A : A es integrante de la comisión.B : A o B son seleccionados.C : A y B son elegidos.D : A no es seleccionado.E : B y C son elegidos.

E8 : Dos alumnos son distribuidos en dos celdas numeradas.A : una celda queda vacía.B : ambas celdas son ocupadas.

C : la segunda celda queda vacía.

E9 : Se lanzan dos dados y se observan los números que aparecen en las carassuperiores.

A : la suma de los dos números es menor que seis.B : obtener dos números menores que tres.C : los dos números son iguales e impares.D : obtener en el segundo dado el número cuatro.

E10 : Elegir una persona adulta desde una población y observar el grado de

instrucción alcanzado.A : no tiene educación superior.B : tiene educación primaria.


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TEOREMAS DE PROBABILIDAD

1. PROBABILIDAD DE LA REUNIÓN DE EVENTOS:

a) Si k21 A,...,A,A son k eventos mutuamente excluyentes, es decir la

ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro, se tiene:

( )∑=

=

=

k

1i

ii

k

1iAPAP ∪ j,i ji ΦAA ∀=∩

Si k = 2: ( ) ( ) ( )2121 APAPAAP +=∪

Si k = 3: ( ) ( ) ( ) ( )321321 APAPAPAAAP ++=∪∪

Ejemplo:

En una tienda que vende automóviles hay cinco rojos, tres negros y 4blancos. Si una persona desea comprarse un automóvil, ¿cuál es laprobabilidad que escoja uno de color rojo o negro?

( ) ( ) ( ) 67,012

3

12

5NPRPNRP === ++∪

b) Si k21 A,...,A,A son k eventos cualesquiera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k21k

1i

k

1i

kr ji ji

k

1i

ii

k

1iA.....AAP1....AAAPAAPAPAP ∩∩−−∩∩+∩−=

∑ ∑∑

= ===

∪

Si k = 2: ( ) ( ) ( ) ( )212121 AAPAPAPAAP ∩−+=∪

Si k = 3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )321323121321321 AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAP ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪

Ejemplo:

Se sabe que la probabilidad de que Ana apruebe Estadística es 0.45 mientrasque para Bertha esta probabilidad es de 0.38. Si se sabe que la probabilidad deque ambas aprueben es 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una deellas apruebe estadística?

0.630.200.380.45)BA(P)B(P)A(P)BA(P =−+=∩−+=∪

2. PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE EVENTOS :

a) Si k21 A,...,A,A son k eventos independientes, es decir la ocurrencia de

uno no tiene efecto sobre la ocurrencia de otro :

( )∏=

=

=

k

1i

ii

k

1iAPAP ∩

Si k = 3: ( ) ( ) ( ) ( )321321 AP.AP.APAAAP =∩∩


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Ejemplo:

En una caja se tienen fichas de colores: ocho verdes, cuatro blancas, cincorojas, seis negras. Si se eligen cuatro fichas al azar una tras otra y luego deobservar su color se regresa a la caja, ¿cuál es la probabilidad que la primera y tercera sean verdes, la segunda blanca y la cuarta roja?

( ) ( ) ( ) ( ) ( )RP.VP.BP.VPRVBVP =∩∩∩

( ) 0.0045723

5.

23

8.

23

4.

23

8RVBVP ==∩∩∩

b)

Si k21 A,...,A,A son k eventos no independientes :

( ) ( ) ( ) ( )1-k21k213121

k

1ii

A...AAAP.......AAAP.AAP.APAP =

=∩

Ejemplo:

En una caja se tienen fichas de colores: cinco verdes, tres blancas, sieterojas, dos negras. Si se eligen cuatro fichas al azar una tras otra y luego deobservar su color NO se regresa a la caja, ¿cuál es la probabilidad que laprimera y tercera sean verdes, la segunda blanca y la cuarta roja?

( ) ( ) ( ) ( ) ( )VBV/RP.VB/VP.V/BP.VPRVBVP =∩∩∩

( ) 0.00735147.

154.

163.

175RVBVP ==∩∩∩

3. PROBABILIDAD DEL COMPLEMENTO DE UN EVENTO :

a)

Si A es un evento cualquiera: ( ) ( )AP1AP −=

b) Si k21 A,...,A,A son k eventos independientes.

( )∐∪k

1i

ii

k

1iAP1AP

==

−=

Ejemplo:

Se sabe que la probabilidad de que un ingeniero consiga trabajo es 0.85. Sitres ingenieros independientes entre sí salen a buscar trabajo en un díadado, hallar la probabilidad de que al menos uno de ellos consiga trabajo.

( ) ( ) ( ) ( )CP.CP.CP1CCCP −=∪∪

( ) 0.99660.150.150.151CCCP =××−=∪∪


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Teoremas De Probabilidad

1.- Una compañía comercializa cinco tipos de impresoras a color, cuatro de impresorasláser y seis de impresoras matriciales. ¿Cuál es la probabilidad de que si se eligencinco impresoras al azar se obtengan tres de color, dos láser y ninguna matricial?

0.020

2.- Si tres de 20 neumáticos están defectuosos y 4 de ellos se escogen aleatoriamente¿cuál es la probabilidad de que solamente uno de los defectuosos sea escogido?

0.421

3.- El señor A es miembro de un equipo de 10 hombres de servicio. Para cierto trabajo,se requieren 3 hombres. Si los 3 han de ser escogidos al azar. ¿Cuál es la

probabilidad de que sea incluido el señor A? 0.30

4.- Un explorador de petróleo hará una sucesión de perforaciones en un área dad paraencontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en un experimento

dado es 0,2.a) ¿cuál es la probabilidad de que la tercera excavación sea la primera en la cual se

localice un pozo productivo? 0.128b) si sus recursos totales le permiten la excavación de no más de 3 perforaciones

¿cuál es la probabilidad de que localice cuando menos un pozo productivo?

0.488

5.- Se lanza un dado hasta que aparezca el 6. ¿Cuál es la probabilidad de que senecesite exactamente cuatro lanzamientos? 0.096

6.- De un lote de piezas, del que se sabe que el 5% son defectuosas, se efectúan

extracciones con reemplazamiento, se extrae una pieza y una vez observada, sedevuelve al lote; determinar la probabilidad de que, en tres extracciones resulte unasola pieza defectuosa. 0.1354

7.- Por equivocación se mezclaron treinta pernos de alta resistencia con 25 pernoscomunes, de igual apariencia, por lo que resulta imposible distinguirlos. Si se sacan

dos pernos al azar (uno después del otro) ¿qué probabilidad hay que uno de ellos seade alta resistencia y el otro sea un perno común? 0.5051

8.- En cierta compañía, la semana pasada se fabricaron 50 juegos Play Station. 40operaron sin problemas y 10 tuvieron al menos un defecto. Se seleccionaron

aleatoriamente 5 juegos; ¿cuál es la probabilidad de que cuatro funcionenperfectamente? 0.431

9.- Si Carlos tiene tres billetes de una lotería que vendió 1000 billetes y existen 5premios. ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos gane por lo menos un premio?

0.01510.- Un cargamento de 150 lavadoras contiene 40 defectuosas y 110 no defectuosas. Se

elige al azar veinte lavadoras (sin sustitución) y se clasifica. ¿Cuál es la probabilidadde que se encuentren:a) Exactamente 9 lavadoras defectuosas. 0.0321 b) Al menos dos lavadoras defectuosas. 0.9882

11.- La probabilidad de que A dé en el blanco es 1/4 y la de B es 2/5. Si A y B disparan,¿cuál es la probabilidad de que pegue en el blanco? 0.55


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12.- Una factoría opera con un turno diurno de 8 horas. Se usan 5 máquinas de ciertotipo. Si una de estas máquinas se descompone se hace a un lado y se repara por unacuadrilla que opera de noche. Suponga que la probabilidad de que una máquinadada sufra una descompostura durante un día de operación es 1/5. ¿Cuál es la

probabilidad que:

a) No ocurra ninguna descompostura de máquina en un día dado. 0.3276 b) Dos o más descomposturas de máquina ocurran en un día dado. 0.2628

13.- La probabilidad que Juan apruebe estadística es 0,57, mientras que la de Carlos es0,64. Si se sabe que la probabilidad que ambos aprueben es 0,35, ¿cuál es la

probabilidad que Juan o Pedro aprueben estadística? 0.86

14.- Cuarenta trabajadores han recibido nuevas computadoras. Veintisiete tienen lanueva tecnología MMX. Si se seleccionan diez aleatoriamente, ¿cuál es laprobabilidad que tres estén equipadas con MMX? 0.006

15.- Para la señalización de emergencia de un aeropuerto se han instalado dos

indicadores que funcionan independientemente. La probabilidad de que el indicadorse accione durante una avería es igual a 0.95 para el primero de ellos y 0.90 para elsegundo. Hallar la probabilidad de que durante una avería se accione sólo unindicador. 0.14

16.- Tres hombres y cuatro mujeres se van a sentar al azar en una fila. Hallar laprobabilidad que se encuentren:a) Un hombre y una mujer alternando. 0.0286 b) Las mujeres juntas. 0.1143c) Los extremos ocupados por hombres. 0.1429

17.- Si un empleado elude su trabajo el 30% del tiempo, ¿cuál es la probabilidad de quesea sorprendido si su jefe lo controla 4 veces al azar? 0.7599

18.- Sabemos que los diskettes producidos por cierta compañía son defectuosos conprobabilidad 0.01 e independientes entre sí. Los diskettes se venden en cajas de 10 yse ofrece una garantía de devolución en caso de encontrar más de uno defectuoso en

cada caja. Calcular la proporción de diskettes que se devuelven. 0.0043

19.- Una caja contiene la producción de piezas de una máquina A y otra la producción deuna máquina B. La primera contiene dos piezas buenas y dos malas; la segunda, dos

buenas y cuatro malas. Si se extrae una pieza de cada caja; hallar la probabilidadde que ambas sean de la misma característica. 0.50

20.- La probabilidad de que Elena derrote a Carlos en un juego de ajedrez es de 2/3.

¿Cuál es la probabilidad de que Elena derrote a Carlos exactamente dos veces en 3 juegos de ajedrez. 0.4444

21.- Después de un extenso estudio, los archivos de una compañía de seguros revelanque la población de un país cualquiera puede clasificarse, según sus edades, comosigue: un 35% menores de 20 años, un 25% entre 21 y 35 años, un 20% entre 36 y50 años, un 15% entre 51 y 65 años y un 5% mayores de 65 años. Suponga que se

puede elegir un individuo de tal manera que cualquier habitante del país supuestotienen la misma posibilidad de ser elegidos. ¿Cuál es la probabilidad de que elindividuo sea mayor de 35 años? 0.40

22.- En un laboratorio de informática hay 50 computadoras de las cuales 15 estáninfectadas por un virus. Diez estudiantes llegan al laboratorio y se sientan

aleatoriamente cada uno de ellos ante una computadora. Calcular la probabilidad deque al menos tres estudiantes hayan elegido computadoras “infectadas”. 0.6384


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23.- Tres administradores comparten una oficina con un teléfono. De las llamadas que

llegan, 2/5 son para A, 2/5 para B y 1/5 para C. El trabajo de estos administradoresles obliga a frecuentes salidas, de manera que A está fuera el 50% de su tiempo, B yC el 25%. Calcular la probabilidad que:

a) No esté ninguno para responder el teléfono. 0.031

b) Hayan cuatro llamadas seguidas para un mismo ingeniero. 0.0528

24.- En un taller hay tres computadoras; la primera se avería al mes con unaprobabilidad de 0,04, la segunda con 0,06 y la tercera con 0,1; sus averías sonindependientes en probabilidad. Calcular la probabilidad que:a) Se averíe una sola computadora en el mes. 0.1759 b) Se averíen las tres computadoras en el mes. 0.0002 c) Se averíen la primera y la segunda pero no la tercera. 0.0022 d) Se averíe al menos una de las computadoras. 0.1878

25.- En un grupo hay 3 ingenieros, 6 abogados, 4 médicos y 2 psicólogos. Si se eligen trespersonas al azar, hallar la probabilidad que:

a) No resulten de la misma profesión. 0.9451 b) Los tres resulten de profesiones diferentes. 0.395

26.- Un lote consta de doce artículos buenos, 6 con pequeños defectos y 4 con defectosgraves. Si se escogen tres artículos al azar (sin sustitución), hallar la probabilidadque:a) todos sean buenos. 0.1429 b) por lo menos uno tenga pequeños defectos. 0.6364 c) a lo más uno no sea bueno. 0.5714 d) exactamente uno tenga defectos graves. 0.3974 e) ninguno tenga defectos graves. 0.5299

27.- Cuatro profesionales van a ser seleccionados de un grupo formado por 3

matemáticos, 4 profesores y 5 administradores. ¿Cuál es la probabilidad que el gruposeleccionado esté integrado:

a) Por dos administradores, un profesor y un matemático. 0.2424 b) Por lo menos por tres administradores. 0.1515 c) Por lo menos por un matemático. 0.745

28.- Una compañía de taxis tiene 12 Datsun y 8 Toyota, 5 de éstos están en el taller dereparaciones. ¿Cuál es la probabilidad que:

a) Al menos tres de ellos sean Toyota. 0.2962 b) Todos los que están en el taller sean de la misma marca. 0.0547

29.- Se sabe que una computadora responde a un antivirus con probabilidad 0,8. Si atres computadoras independientes entre sí se les aplica el antivirus, hallar laprobabilidad de que al menos una responda. 0.992

30.- Un sistema está formado por dos componentes A y B. Si la probabilidad de que Afalle es 0,7 y la de que B fracase es 0,8 ¿qué probabilidad hay de que:a) el sistema siga funcionando bien. 0,06b) ambos componentes fallen. 0,56c) falle cualquiera de ellos. 0,38

31.- La compañía de computadoras Wang elabora 10 000 unidades por semana. Cadaunidad pasa por tres puestos de inspección A, B y C, antes de ser embarcadas. En elpuesto A se rechazan 2 por 100; 5 por 100 se rechazan en el puesto B, y por último

en el puesto C se rechazan aproximadamente 1 por 100. ¿Cuál es la probabilidad deque una unidad tomada al azar pase las tres inspecciones? 0,9217


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32.- En una fábrica de calzado se manufactura independientemente costura (toda la

parte superior del calzado relacionada con el cuero), suela y tacón, siendo estaspartes armadas aleatoriamente en cada zapato. Se sabe que en este proceso, el 5%de las costuras, el 4% de las suelas y el 1% de los tacones tienen fallas; ¿quéporcentaje de pares de zapatos resulta:

a) Con fallas en sus tres componentes. 0,002% b) Sin fallas en sus tres componentes. 90,3%

33.- Una máquina en buenas condiciones de trabajo, produce un artículo defectuoso porcada mil. Los resultados correspondientes a artículos producidos sucesivamente sonindependientes. ¿Cuál es la probabilidad para que los próximos dos artículos

producidos por esta máquina no tengan fallas? 0,998

34.- Supongamos que se tiene una caja con 10 monedas de un nuevo sol, y dos de ellasson falsas. Se van a extraer dos monedas, una después de la otra sin reposición;¿cuál es la probabilidad de seleccionar una moneda falsa seguida por otra tambiénfalsa? 0,022

35.- Se encuentran reunidas cuatro personas con diferentes profesiones: ingeniero,abogado, economista, médico. Se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidadde que sea ingeniero, abogado o médico? 0,75

36.- Una máquina automática llena bolsas de plástico con una mezcla de frijoles, brócoli y otras legumbres. La mayoría de las bolsas contiene el peso correcto, pero debido aligeras variaciones en el tamaño de las verduras, un paquete puede tener un pesoligeramente menor o mayor. Una verificación de 4000 paquetes llenados el mespasado indicó:

Peso Nº de paquetes

Con peso menor 100

Peso correcto 3600Con peso mayor 300

Hallar la probabilidad que:a) Un paquete en especial tenga un peso menor o mayor? 0.10 b) Una bolsa sea satisfactoria. 0.90 c) Al seleccionar tres bolsas se encuentre que las tres son satisfactorias 0.729

37.- Una encuesta de ejecutivos se enfocó sobre su lealtad a la empresa. Una de laspreguntas planteadas fue: “¿Si otra compañía le hiciera una oferta igual oligeramente menor que la de su puesto actual, permanecería con la empresa otomaría el otro empleo?”. Las respuestas de la encuesta de los empleados de la

empresa se clasificaron en forma cruzada con su tiempo de servicio en la compañía.

Años de servicio

Lealtad Menos de1 año

1 a 5años

6 a 10años

Más de10 años

Se quedaría 10 30 5 75

No se quedaría 25 15 10 30

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un ejecutivo que es leal a la empresa y quetiene más de 10 años de servicio. 0,375

38.- En una empresa comercial trabajan ocho hombres y dieciocho mujeres de los cualesla mitad de los hombres y la mitad de las mujeres han nacido en Lima. Hallar la

probabilidad de que un trabajador elegido al azar sea hombre o que haya nacido enLima. 0,654


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39.- Cuatro amigos que se dirigen a un lugar, toman 4 rutas diferentes de acuerdo al

riesgo que se corre de tener algún accidente. Si se le asignan las probabilidades deriesgo para cada ruta: 0,2 ; 0,15 ; 0,25 ; 0,10. Hallar la probabilidad;a) Que ninguno tenga dificultades. 0,459 b) Que los cuatro sufran accidentes. 0,001

c) Que los dos primeros sufran accidentes y los restantes no. 0,020

40.- El capataz de un grupo de 20 obreros pide la opinión de dos de ellos, seleccionadosal azar, sobre las nuevas disposiciones de seguridad en la construcción. Si 12 estána favor de las nuevas disposiciones y los restantes en contra, ¿cuál es la probabilidadde que ambos trabajadores elegidos por el capataz estén en contra de las nuevas

disposiciones? 0,1474

41.- Un avión tiene 5 bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad de destruirlode un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se destruya el puente si selanzan las cinco bombas? 0.67232

42.- Se escogen al azar tres computadoras entre 15, de los cuales cinco son defectuosas.

Hallar la probabilidad de que:a) ninguna sea defectuosa. 0,264b) una exactamente sea defectuosa. 0,4945c) una por lo menos sea defectuosa. 0,736

43.- Una pareja de esposos son ingenieros de sistemas. La probabilidad que él consigatrabajo es 1/4 y la probabilidad que ella consiga trabajo es 1/3. Hallar laprobabilidad que consigan trabajo:a) Ambos. 0,083b) Al menos uno de ellos. 0,5 c) Ninguno. 0,5 d) Solamente la esposa. 0,25

e) Sólo uno de ellos. 0,41744.- La probabilidad de que funcione un sistema de propulsión para proyectiles es 0,90 ,

en tanto que la de su sistema de dirección es de 0,80 ¿cuál es la probabilidad de queuna misión se lleve a cabo de manera exitosa? 0,72

45.- Se sabe que el 30% de las lavadoras de cierta compañía requiere servicio cuandoestán todavía en garantía, en tanto que sólo 10% de las secadoras necesitan eseservicio. Si alguien compra una lavadora y una secadora hechas por esta compañía,¿cuál es la probabilidad de que necesiten servicio dentro de garantía:a) Ambas máquinas. 0,03 b) Ninguna de las dos máquinas. 0,63 c) Al menos una de las máquinas 0.37 d) Sólo una de las máquinas. 0.34

46.- Una fábrica ensambladora de televisores a color recibe los transistores en lotes de100. El departamento de recepción utiliza la siguiente regla de inspección: prueba 5

transistores, si hay por lo menos un defectuoso, se rechaza el lote. ¿Cuál es laprobabilidad de rechazar un lote que tiene el 5% de defectuosos? 0,23

47.- Se detienen a tres personas, seleccionadas al azar, en una calle, ¿cuál es laprobabilidad de que:a) Todas ellas hayan nacido en viernes. 0,0029 b) Dos de ellas hayan nacido en viernes y otra en martes. 0,0087 c) Ninguna de ellas haya nacido en lunes. 0,6297


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48.- Se lanzan nueve bolas en 3 cajas inicialmente vacías. Cada una de las bolas tiene la

misma probabilidad de caer en cualquiera de las cajas. Determinar la probabilidadque hayan tres bolas en cada caja. 0,085

49.- María y Juan trabajan en forma independiente descifrando un mensaje codificado. Si

sus respectivas probabilidades de descifrarlo son de 3/4 y 2/3 respectivamente,hallar la probabilidad de que:a) María sea la única de los dos en descifrar el mensaje. 0,25 b) El mensaje sea descifrado. 0,917 c) Sólo uno de ellos descifre el mensaje. 0,417

50.- En un grupo de 20 alumnos se sabe que 15 aprobaron estadística. Si de este grupose eligen tres alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad que:a) Los tres estén aprobados. 0,399 b) Dos estén aprobados. 0,4605 c) Al menos uno de ellos esté aprobado. 0,9912

51.- Doce personas desean viajar en un tren que tiene 6 carretas. Cada pasajero

selecciona con igual probabilidad cada una de las carretas. Determinar laprobabilidad que hayan dos pasajeros en cada carreta. 0,00344

52.- Consideremos una muestra de tamaño tres obtenida de la siguiente manera: seempieza con una caja que contiene siete fichas rojas y cinco fichas blancas, en cadaensayo se extrae una ficha y se anota su color. La ficha extraída se devuelve a la caja junto con una ficha adicional del mismo color. Encontrar la probabilidad que lamuestra mencionada contenga:a) Una ficha blanca. 0,3846 b) Ninguna ficha blanca. 0,2307

53.- Una persona muy distraída ha extraviado el número telefónico de su mejor amigo,

pero logra averiguar las cinco cifras intermedias de un total de siete. Sabiendoademás que el primer dígito debe ser par, distinto de cero y que la última cifra esimpar mayor que 4, ¿cuál es la probabilidad de acertar al número de teléfono de suamigo? 0.0833

54.- En una habitación se encuentra el siguiente grupo de personas: 5 hombres mayores

de 21 años, 4 hombres menores de 21 años, 6 mujeres mayores de 21 y 3 mujeresmenores de 21. Se elige una persona al azar. Hallar la probabilidad que la persona esmenor de 21 o es mujer. 0,7222

55.- Un restaurante ofrece un almuerzo en que se pueden elegir 2 entradas, 3 platos defondo y 5 postres. Si no te gustan 2 de los platos de fondo y 3 de los postres. ¿Cuáles la probabilidad de que te toque un menú de tu agrado si la elección es al azar?

0.1333

56.- Una empresa que debe decidir si adquiere un determinado paquete de acciones,solicita un informe a tres asesores financieros para que se pronuncien de formafavorable o desfavorable a la compra. Por experiencias anteriores en operaciones

similares, se sabe que los tres asesores tienen actitudes ante el riesgo diferente eindependiente. Esta situación se refleja en las probabilidades de aconsejar a comprade este tipo de operaciones que son respectivamente 0.8, 0.5 y 0.3 Con estainformación a priori calcular la probabilidad de que al menos uno de ellos aconseje lacompra. 0.93

57.- Se le pide a un consumidor que ordene, por orden de preferencia, el saber de cinco

marcas de cerveza. Si al consumidor le es indiferente cualquiera de estas cincomarcas, ¿cuál es la probabilidad de que una ordenación específica sea elegida porcasualidad? 0,0083


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58.- Cuatro tornillos y cuatro tuercas están mezclados. Si se eligen dos piezas al azar,

¿cuál es la probabilidad que:a) ambas sean tornillos. 0,21 b) La primera sea tornillo y la segunda una tuerca. 0,29 c) Una sea tornillo y la otra tuerca. 0,57

d) Ambas sean tornillos o tuercas. 0,43

59.- Seis mujeres, cuatro hombres y dos niños realizan un paseo en un pequeño autobús,al llegar a cierto lugar, bajan del autobús cuatro personas una tras otra, determinela probabilidad de que:

a) La primera y segunda persona que bajen sean mujeres, el tercero sea un niño y por último baje un hombre. 0,0202

b) Que baje un niño, luego un hombre, luego otro niño y por último que bajeuna mujer. 0,0040

c) Que baje una mujer, luego un hombre, después otra mujer y por último otrohombre. 0,0303

60.- Una organización de caridad vende 1000 billetes de lotería. Hay diez primerospuestos y 100 premios consuelo, todos los cuales deben ser distribuidos. El procesode selección de los ganadores es tal que, al principio, cada boleto tiene las mismasposibilidades de ganar un primer premio y cada uno tienen las mismas posibilidadesde ganar un premio consuelo. Ningún boleto puede ganar más de un premio. ¿Cuáles la probabilidad de ganar algún premio? 0,11

61.- Se sabe que el 90% de todas las computadoras personales de un modelodeterminado funcionarán por lo menos durante un año antes de que necesiten serreparados. Un gerente compra tres de estas computadoras, ¿cuál es la probabilidadde que las tres computadoras funcionen durante un año antes de que necesiten serreparadas? 0,729

62.- En un lote de producción hay 25 productos, 5 de los cuales tienen defectos menores y 9 tienen defectos mayores, si se toman de este lote tres productos uno tras otro,determine la probabilidad de que:a) El primer producto no tenga defectos y que el segundo y tercero tengan

defectos mayores. 0,0574 b) El primer producto tenga defectos menores, el segundo tenga defectos

mayores y que el tercero no tenga defectos. 0,0359 c) El primer producto y el tercero no tengan defectos. 0,1116

63.- Los componentes de un sistema de seis elementos se toman aleatoriamente de unrecipiente con 20 componentes usados. El sistema resultante funcionará si por lomenos cuatro de los seis componentes están en condiciones de funcionar. Si 15 de

los 20 componentes en el recipiente están en condiciones de funcionar, ¿cuál es laprobabilidad de que el sistema resultante funcione? 0,8687

64.- La probabilidad de que un componente eléctrico de un ordenador portátil falledurante el periodo de garantía si se mantiene seco es del 1 %. Si alguna vez se mojael componente la probabilidad de que falle es del 5 %. Si el 90 % de los componentesse mantienen secos, ¿qué proporción de componentes fallan durante el periodo degarantía? 0,014

65.- Si en una caja tenemos catorce fichas blancas y seis rojas y sacamos al azar una

ficha y, habiéndola observado, la introducimos en la caja antes de extraer lasiguiente, ¿cuál es la probabilidad que aparezca ficha blanca:a) en dos de tres extracciones. 0.441b) en dos o más de las tres extracciones. 0.784c) en ninguna de las tres extracciones. 0.027


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66.- Al marcar un número de teléfono, un abonado olvida las tres últimas cifras y,

acordándose únicamente de que estas cifras son diferentes, las marca al azar. ¿Cuáles la probabilidad de que la llamada se haga al número correcto? 0.00139

67.- En un proceso de manufactura se sabe que en promedio 1 de cada 100 piezas sale

defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la quinta pieza fabricada salgadefectuosa? 0.0096

68.- En el examen de cierta asignatura suelen aprobar la mitad de los que se presentan almismo. El resultado obtenido por cualquiera de las personas es independiente delresultado obtenido por las restantes. Si cuatro personas se presentan al examen unamañana elegida aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad que:a) No apruebe ninguna. 0.0625b) Apruebe una sola. 0.25c) Aprueben dos. 0.375d) Aprueben tres. 0.25

69.- Un sistema contiene dos componentes, A y B. Ambos componentes deben funcionar

para que el sistema trabaje. La probabilidad de que el componente A falle es 0.08 yde que el B lo haga es 0.05. Suponga que los dos componentes funcionan de maneraindependiente, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? 0.874

70.- Un mecanismo eléctrico que contiene cuatro interruptores sólo funciona cuandotodos ellos están cerrados. En sentido probabilístico, los interruptores sonindependientes en lo que se refiere al cierre o a la apertura, y, para cada uno deellos, la probabilidad de que no funcione es 0.1. Calcular la probabilidad de que no

funcione el mecanismo en conjunto, despreciando todas las causas que puedenhacer que el mecanismo no funcione, excepto los propios interruptores. 0.3439

71.- Una compañía recibe un embarque de 20 discos duros. Antes de aceptarlo,selecciona aleatoriamente cinco de ellos y los somete a prueba. El embarque se

acepta si los cinco discos cumplen con las especificaciones, en caso contrario seregresan todos al fabricante. Si tres de los 20 discos son defectuosos, ¿cuál es la

probabilidad de que no se acepte el embarque? 0.6009

72.- Una máquina está dotada de dos detectores de emergencia que funcionanindependientemente uno del otro. La probabilidad de que actúen estos dispositivos alocurrir una avería es de 0.95 para el primero de ellos, y de 0.90 para el segundo.Hallar la probabilidad de que al producirse una avería,a) Actúen los dos detectores. 0.855 b) Actúe sólo uno de ellos. 0.140 c) No actué ninguno. 0.005

73.- En una reunión se encuentran cincuenta personas, de las cuales 30 son obreros, 5administradores y 15 ingenieros.a) Si se selecciona al azar a dos personas, ¿cuál es la probabilidad de que

ninguna sea obrero? 0.1551 b) Si se selecciona a dos personas al azar una tras otra (considerando orden)

¿cuál es la probabilidad de que al menos una persona sea ingeniero?0.5143

74.- La probabilidad de que un cliente que pide presupuesto a un estudio técnicocontrate sólo la realización del proyecto completo de su obra es 0.44; la probabilidadde que contrate la construcción de su obra es 0.15 y de que contrate ambas tareas es0.05. Hallar la probabilidad de que el próximo cliente que pida presupuesto alestudio técnico:a) contrate al menos una de las tareas.

0.54

b) No firme contrato con el mismo. 0.46


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75.- Hallar la probabilidad de que al disponer al azar las letras A, D, E, M, N, O, resulte

exactamente la palabra MONEDA. 0.00139

76.- Un vehículo tiene dos motores: uno principal y otro auxiliar. El componente delmotor falla sólo si fallan ambos motores. La probabilidad de que el motor principal

falle es de 0.05 y la probabilidad de que el motor auxiliar falle es de 0.10. Supongaque los motores principal y auxiliar funcionen de manera independiente. ¿Cuál es laprobabilidad de que el componente del motor falle? 0.005

77.- Se diseñan placas para automóvil que consten de tres letras seguidas de cuatrodígitos, las letras se toman del abecedario con 26 letras y los números de los dígitos

del 0 al 9, no se repiten letras y números, si se selecciona una placa al azar de lasque se han diseñado, determine la probabilidad de que:a) La placa empiece con la letra D. 0.03846b) La placa empiece por con letra D seguida de E. 0.001538c) La placa termine con el número 4. 0.10d) La placa termine con los números 43. 0.0111e) Si a un policía de tránsito se le ha dado a la fuga un infractor, y recuerda que

las placas empiezan por la letra E y terminan con los números 29, además élalcanzó a ver que no se repetían letras y números, determinar la probabilidadde que encuentre al infractor. 0.00043

78.- Carlos tiene una moneda de un centavo, una de 5 centavos, una de 10 centavos yuna de 25 centavos en su bolsillo. Al sentarse en una silla, se le caen dos monedasdel bolsillo, ¿cuál es la probabilidad de que las dos monedas perdidas tengan unvalor de más de 25 centavos? 0.50

79.- En un lote de producción que consta de 20 computadoras personales de ciertamarca, se ha detectado que 5 tienen defectos de tipo operacional. Si se seleccionan al

azar cuatro computadoras de este lote, determinar la probabilidad de que tengan

defectos de tipo operacional:a) Sólo tres. 0.0310 b) Por lo menos dos. 0.2487 c) Como máximo una. 0.7513 d) Si se toman cuatro computadoras del lote, ¿cuál es la probabilidad de que la

primera y segunda computadora seleccionada tengan defectos de tipo

operativo y que la tercera y cuarta no tengan defecto alguno. 0.0361

80.- Si las probabilidades de que, en condiciones de garantía, un automóvil nuevorequiera reparaciones del motor, la transmisión o ambos, son 0.87, 0.36 y 0.29,¿cuál es la probabilidad de que un auto requiera al menos un tipo de reparacióndurante el periodo de garantía? 0.94

81.- Tres estudiantes A, B y C comparten un departamento con un teléfono fijo. De lasllamadas que llegan 2/5 son para A, 2/5 son para B y 1/5 son para C. Los trespasan parte de su tiempo fuera de la casa. Se estima que A está fuera el 50% de sutiempo, B el 25% y C el 25%. Calcular la probabilidad de que:a) No esté ninguno para responder a una llamada. 0.0313b) Esté la persona a la que se llama. 0.65c) Hayan tres llamadas seguidas para una persona. 0.136d) Hayan tres llamadas seguidas para tres personas diferentes. 0.192

82.- Un mecanismo eléctrico que contiene cuatro interruptores sólo funciona cuando

todos ellos están cerrados. En sentido probabilístico, los interruptores sonindependientes en lo que se refiere al cierre o a la apertura, y, para cada uno deellos, la probabilidad de que no funcione es 0,1. Hallar la probabilidad de que nofuncione el mecanismo en conjunto, despreciando todas las causas que puedenhacer que el mecanismo no funcione, excepto los propios interruptores. 0.3439


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UNIFÉ Administración de Negocios InternacionalesEstadística 83.- Con base en experiencias pasadas, un corredor de bolsa considera que bajo las

condiciones económicas actuales un cliente invertirá con una probabilidad de 0.6 enbonos libres de impuesto, en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3 y enambos instrumentos con una probabilidad de 0.15. En este momento, encuentre laprobabilidad de que el cliente invierta:

a) ya sea en bonos libres de impuesto o en fondos mutualistas. 0.75 b) en ninguno de los dos instrumentos. 0.25

84.- Una consultora de una compañía publicitaria que lanzó recientemente una campañapara un nuevo restaurante, acaba de instalar cuatro anuncios panorámicos en lacarretera a la entrada de la ciudad, y sabe, por su experiencia, la probabilidad de

que cada anuncio sea visto por un conductor escogido aleatoriamente. Laprobabilidad de que el primer anuncio sea visto por un conductor es de 0.75. Laprobabilidad de que el segundo anuncio sea visto es de 0.82; la probabilidad para eltercero es de 0.87 y la del cuarto anuncio es de 0.9d. Suponiendo que el evento,consistente en que un conductor vea cualquiera de los anuncios, es independiente desi ha visto o no los demás. Calcular la probabilidad de que:a) los cuatro anuncios sean vistos por un conductor escogido al azar. 0.4815 b) El primero y el cuarto anuncio sean vistos, sin que el segundo y el tercero

sean notados. 0.0158 c) Sólo uno de los anuncios sea visto. 0.0316 d) Ninguno de los anuncios sea visto. 0.0006

85.- En un estante hay siete libros de historia y tres de matemática. De los libros dehistoria, tres están empastados de amarillo y el resto de rojo; mientras que de loslibros de matemáticas, uno está empastado en amarillo y dos en rojo. Suponiendoque del estante se elige un libro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que seamatemática y rojo? 0.20

86.- De experiencias pasadas un agente de bolsa cree que con las condicioneseconómicas actuales un cliente invertirá en bonos libres de impuestos con unaprobabilidad de 0.6, invertirá en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3 e

invertirá en ambos con una probabilidad de 0.15. Encuentre la probabilidad de queun cliente invierta:a) en por lo menos una de estas opciones.b) En ninguna.c) Sólo en una de estas opciones.

87.- La probabilidad de que una industria extranjera se instale en Trujillo es 0.7, laprobabilidad de que lo haga en Arequipa es 0.4 y la probabilidad de que se instalepor lo menos en una de estas ciudades es de 0.8.d Hallar la probabilidad que seinstale:a) en ambas ciudades. 0.3

b) En ninguna de estas ciudades. 0.2 c) Sólo en Trujillo. 0.4 d) Sólo en Arequipa. 0.1

88.- De cuarenta licitaciones a las que se presentó una empresa, en 16 de ellas obtuvosólo la pavimentación de un barrio, en ocho sólo la electrificación del mismo y en 10ambas obras. De mantenerse las condiciones anteriores, ¿cuál es la probabilidad deque la empresa obtenga al menos una de las obras indicadas en la próxima licitaciónque se presente? 0.85

89.- Un sistema contiene dos componentes d, A y B. Ambos componentes debenfuncionar para que el sistema trabaje. La probabilidad de que el componente A fallees de 0.0d8 y de que B lo haga es de 0.05d. Suponga que los dos componentes

funcionan de manera independiente y encuentre la probabilidad de que el sistemafuncione. 0.874

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