113

IVTransferencia ensuperficies extendidas

1. Superficies extendidas con sección transversal uniforme y no uniforme.

1.1 Balance de energía para una aleta con sección transversal arbitraria.

1.2 Soluciones para aletas con sección transversal uniforme.

1.2.1 Aleta infinitamente larga.

1.2.2 Aleta de longitud finita con extremo aislado.

1.2.3 Aleta finita con transferencia en el extremo.

1.2.4 Aleta con temperatura conocida en el extremo.

2. Eficiencia de aletas.

2.1 Eficiencia de aletas con sección transversal uniforme.

2.1.1 Aleta infinitamente larga.

2.1.2 Aleta de longitud finita con extremo aislado.

2.1.3 Aleta finita con transferencia en el extremo.

2.2 Gráficas de eficiencia de aletas.

2.3 Evaluación previa a la colocación de aletas.

3. Soluciones para aletas con sección transversal no uniforme.

3.1 Aletas con sección transversal rectangular no uniforme.

3.1.1 Aleta con sección transversal rectangular que termina en punta.

3.2 Aletas perimetrales con sección transversal rectangular.

4. Transferencia en superficies aletadas.

Ejercicios propuestos.

Referencias.

Con frecuencia —en diversas aplicaciones en las que se transfiere calor por convección, entre

una superficie sólida y un fluido— se tiene interés en incrementar la transferencia de calor para satisfacer

la exigencia de algún proceso. Cuando el coeficiente convectivo en la interfase es muy pequeño, como

sucede con la transferencia en convección libre con gases, el único recurso accesible para incrementar

la tasa de transferencia consiste en disponer de una superficie de transferencia más grande.

114

Este incremento de área de transferencia se puede obtener mediante la colocación de piezas

sólidas, con buena conductividad térmica, sección transversal pequeña, ligeras y alargadas, firmemente

adheridas a la pared sólida y en contacto con el fluido. A estas extensiones de la superficie de convección

se les conoce como aletas o superficies extendidas.

1. Superficies extendidas con sección transversal uniforme y no uniforme.

Las aletas incrementan sustancialmente la superficie total de un objeto en contacto con un fluido,

sin añadir un gran volumen —ni peso— al sistema en el cual se desea transferir calor con una tasa de

mayor magnitud. Existen ejemplos cotidianos en los cuales se tiene aletas añadidas en una pared

metálica: los condensadores al reverso de los gabinetes de refrigeración, el serpentín de enfriamiento

de un motor de automóvil, los cilindros del motor de una motocicleta, los disipadores de enfriamiento de

equipos electrónicos o los evaporadores en cámaras de refrigeración (figura 62).

En general las aletas pueden clasificarse en dos grandes familias: aquellas que tienen sección

transversal uniforme al flujo de calor y las de sección transversal variable. En la figura 63 se muestran

algunos diseños de aletas con geometrías sencillas. Para cada ejemplo en el cual la sección transversal

al flujo de calor A es uniforme, se puede proponer fácilmente una aleta con sección transversal no

uniforme, A = f(x).

A continuación —mediante un balance de energía— se obtendrá una ecuación diferencial que

permite modelar la transferencia de calor por conducción en cualquier aleta. Para facilitar el análisis de

las superficies extendidas, inicialmente se estudiarán las aletas con sección transversal uniforme y

después las no uniformes. Al final se analizará la transferencia en superficies aletadas.

Fig. 62 Diversos equipos para transferencia de calor con superficies extendidas.

115

1.1 Balance de energía para una aleta con sección transversal arbitraria.

En el siguiente análisis se trabajará con una aleta de sección transversal no uniforme, como la

Sque se muestra en la figura 64. La aleta está anclada sobre una superficie cuya temperatura T es

invariable. La geometría de la sección transversal de la aleta es del todo arbitraria y varía según la

función A = f(x), desde la raíz x = 0 hasta la punta x = L. Se puede describir la construcción de la aleta

como una sucesión de rebanadas, cada una con espesor diferencial dx y volumen dVol = A(x) dx. Cada

rebanada diferencial se localiza mediante una coordenada x y le corresponde la sección transversal A(x)

y el perímetro P(x) de la sección transversal

4La aleta y la pared están en contacto con un fluido, cuya temperatura es T y transfiere con elcoeficiente convectivo . Tanto la temperatura del fluido como el coeficiente convectivo son invariables.

Por consiguiente, la aleta transfiere calor en condiciones de estado permanente. Ahora, con ayuda de

la primera ley de la Termodinámica, se efectuará un balance de energía tomando como sistema una

rebanada diferencial de la aleta. La condición de estado permanente implica que la entrada de energía

al sistema, por unidad de tiempo, debe igualar a la salida neta.

La hipótesis más importante para efectuar el balance de energía —además de la suposición de

estado permanente— consiste en suponer que la distribución de temperatura en la aleta es

unidimensional, T = f(x); por consiguiente el flujo de calor también lo será. Esta condición de flujo

unidimensional se consigue cuando la resistencia interna por conducción en la aleta es mucho menor que

la resistencia externa por convección con el fluido; lo cual se cumple fácilmente si la aleta está construida

con un metal buen conductor y el coeficiente convectivo exterior es pequeño (como en la convección libre

con gases). De esta forma no habrá gradientes de temperatura radiales; es decir, la temperatura de cada

rebanada —localizada por cierta coordenada x— es uniforme en todo el volumen de la rebanada.

Con base en el balance de energía se obtendrá una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

Al integrar la ecuación diferencial, con las condiciones de frontera adecuadas, se obtendrá como

resultado la distribución de temperatura, por consiguiente el gradiente de temperatura dt/dx y de aquí la

tasa de transferencia de calor que ingresa por la raíz de la aleta (el mismo calor que la aleta transfiere

al exterior por convección, pues se encuentra en estado permanente).

En lenguaje coloquial, el balance de energía tiene la siguiente expresión:

Fig. 63 Izquierda, aletas con sección transversal rectangular; a la derecha, aletas con sección transversal circular.

116

y al redactarlo en forma algebraica:

(4.1)

El primer término del lado derecho, evaluado en la posición (x + dx), se puede expresar por medio de un

polinomio de Taylor:

;

y en esta serie se puede truncar los términos que contienen al diferencial de longitud dx elevado a un

cexponente mayor a la unidad. La rebanada tiene la superficie convectiva dA = P(x) dx para transferir por

convección con los alrededores. Al sustituir en la ecuación del balance de energía:

4Para facilitar la notación, en la última igualdad se emplea el cambio de variable 2 = T(x) - T ; luego

se deriva el producto en el lado izquierdo de la igualdad y la ecuación queda como sigue:

, que se puede escribir como:

(4.2)

Fig. 64 Aleta con sección transversal uniforme, adosada sobre una pared con temperatura Ts.

117

Fig. 65 Aleta con sección transversal A y perímetro P uniformes.

4en donde 2 = T(x) - T y .

La ecuación diferencial (4.2) se particulariza para la geometría de cada aleta. Para ello se

sustituyen en la ecuación las funciones A(x) y P(x), que definen la forma de la sección transversal de la

aleta. Los casos más sencillos se obtienen cuando el área transversal —y su perímetro— son invariables.

1.2 Soluciones para aletas con sección transversal uniforme.

Ahora se considerará el caso de una aleta como la que se muestra en la figura 65. La geometría

de la sección transversal A es arbitraria, pero su magnitud es uniforme a lo largo de toda la longitud L.

Por consiguiente el perímetro P también es constante. Para esta situación, la derivada dA(x)/dx es nula

y la ecuación 4.2 se reduce al caso particular siguiente:

(4.3)

4en donde 2 = (T(x) - T ) y . La ecuación (4.3) es una ecuación diferencial ordinaria,

homogénea y de segundo orden, cuya solución general es:

(4.4)

1 2Las constantes de integración C y C se determinan con base en dos condiciones de frontera.

La primera condición de frontera es común a todas las situaciones donde una aleta está adosada a una

pared, incluso las que tienen sección transversal no uniforme:

Si) en x = 0 T(x) = T ;

Al aplicar esta condición de frontera en la solución (4.4) se obtiene la igualdad algebraica:

(4.5)

118

Fig. 66 Distribución de temperatura para una aleta infinitamente larga.

Para conocer el valor de ambas constantes se debe emplear una segunda condición de frontera,

la cual arrojará una segunda igualdad algebraica. Al resolver las dos igualdades algebraicas se obtendrá

1 2los valores de las constantes C y C . Existen cuatro casos típicos con los cuales se puede modelar el

funcionamiento de una aleta; cada uno de ellos con su correspondiente solución particular de distribución

de temperaturas:

a) Aleta infinitamente larga.

b) Aleta finita con extremo aislado.

c) Aleta finita con transferencia en el extremo.

d) Aleta que interconecta a otra pared con temperatura conocida.

1.2.1 Aleta inf initamente larga. En el primer modelo se supone que la aleta es tan larga en la dirección x,

que la longitud L tiende a infinito. Bajo esta suposición la segunda condición de frontera es:

4ii) para x 6 4, T(x) = T

Al aplicar la segunda condición de frontera en la solución (4.4) se obtiene:

1 2 s 4lo cual implica que C = 0, y a partir de la ecuación (4.5) se tiene C = T - T . Por lo tanto, la distribución

de temperatura es:

(4.6)

En la figura 66 se muestra la distribución de temperatura para la aleta infinitamente larga.

Conforme se avanza a lo largo de la coordenada x, cada dVol tiene una temperatura más cercana a la

temperatura del fluido. Conviene notar que en la posición x 6 4 la temperatura de la aleta se iguala

asintóticamente a la temperatura del fluido (por consiguiente el área de la tapa ya no transfiere).

Al derivar la igualdad (4.6) se obtiene el gradiente de temperaturas:

A partir de este punto emplearemos la notación para funciones hiperbólicas:1

; ;

119

Todo el calor que la aleta transfiere por convección, hacia el fluido que la rodea, penetró a ella

por conducción a través de la base, x = 0. Por lo tanto:

que se puede escribir:

(4.7)

Como se verá en la siguiente sección, no es necesario que una aleta tenga una longitud

desmesurada para comportarse como infinitamente larga. En realidad hasta una aleta de pocos

centímetros de longitud puede corresponder con este modelo, lo cual significa que se ha colocado más

metal del necesario para conseguir un incremento en la tasa de transferencia de calor.

1.2.2 Aleta de longitud f inita con ext remo aislado. El segundo modelo para aletas con sección transversal

uniforme aparentemente constituye una contradicción. Si las aletas se añaden sobre una superficie con

el objeto de incrementar la transferencia de calor, ¿qué posible sentido tendría aislar el extremo de las

aletas? En realidad, este modelo se justifica porque proporciona una solución sencilla para dos

cuestiones. La primera se relaciona con la transferencia en una aleta que está conectada en sus

extremos con sendas paredes con idéntica temperatura. La segunda es aún más importante: el concepto

de eficiencia de una aleta, que se discutirá más adelante.

La segunda condición de frontera para esta aleta es:

kii) en x = L q = 0; por lo tanto .

El gradiente de temperatura se obtiene al derivar la solución general (4.4); luego se evalúa en x = L y se

iguala con cero:

;

se obtiene la igualdad algebraica:

que junto con la ecuación (2.45) permite despejar:

y al sustituir en la solución (2.44) se obtiene la distribución de temperatura:

que puede escribirse en forma compacta :1

(4.8)

En la figura 67 se muestra la distribución de temperatura (4.8) para la aleta finita con extremo

aislado. La temperatura decrece continuamente conforme se avanza a lo largo de x, pero en el extremo

x = L la pendiente de la curva es horizontal; es decir, la distribución de temperatura tiene un mínimo.

120

Fig. 67 Distribución de temperatura en la aleta finita con extremo aislado.

Al derivar la igualdad (4.8) se obtiene el gradiente de temperaturas:

y como

se obtiene:

(4.9)

Conviene notar que si el argumento (mL)

tiende a infinito la Tan h (mL) tiende a uno; es

decir, si la aleta es muy larga el modelo de

extremo aislado se convierte en el de aleta

infinita.

Como se muestra en la tabla anexa,

basta con que (mL) $ 3 para que se cumpla la

condición de aleta infinitamente larga, pues la

igualdad (4.9) se reduce a la (4.7).

Valores de la función Tan h(x)

x Tan h (x)

0.5 0.4621

1.0 0.7616

1.5 0.9051

2.0 0.9640

2.5 0.9866

3.0 0.9951

1.2.3 Aleta f inita con t ransferencia en el ext remo. El tercer modelo constituye la aproximación más fidedigna

al comportamiento de la mayoría de las aletas, pues las considera finitas y no impone restricciones de

transferencia nula en el extremo. La segunda condición de frontera para este caso es:

ii) en x = L, ; es decir, y entonces:

(4.10)

La condición de frontera (4.10) toma en cuenta una posibilidad: que en el extremo de la aleta (la

tapa plana de área A), actúe el coeficiente diferente al coeficiente que actúa sobre el cuerpo de la

aleta. Al derivar la solución general (4.4) se obtiene el gradiente de temperatura, se evalúa en x = L y se

121

Fig. 68 Distribución de temperatura en la aleta finita con transferencia en el extremo.

construye el lado izquierdo de la igualdad (4.10). Luego se evalúa (4.4) en x = L y se construye el lado

derecho de (4.10). Así se obtiene una ecuación algebraica, que —junto con la igualdad (4.5)— permite

1 2despejar las constantes C y C :

y

Al sustituir estas constantes en la solución (4.4) se obtiene la distribución de temperatura:

(4.11)

En la figura 68 se muestra la distribución de temperatura para esta aleta. Conforme se avanza

a lo largo de x la temperatura disminuye, pero incluso el extremo x = L mantiene cierta diferencia con

4respecto a la temperatura del fluido, T . Esta diferencia de temperaturas en el extremo implica que la tapa

4final transfiere la última dosis de calor con el fluido a T .

Al derivar la distribución (4.11) se obtiene el gradiente de temperaturas:

y como , se tiene:

122

que se puede escribir como:

(4.12)

Conviene recordar que a lo largo de este análisis se consideró la existencia del coeficiente

convectivo en el extremo de la aleta (diferente al coeficiente convectivo que actúa sobre el cuerpo

de la aleta). Estos dos coeficientes no necesariamente son diferentes, pero la solución incluye esta

posibilidad. Además, si la solución (4.12) para la aleta con transferencia en el extremo se

convierte en la solución para aleta con extremo aislado (4.9).

1.2.4 Aleta con temperatura conocida en el ext remo. En este caso se trata de una aleta que interconecta

dos superficies distintas, ambas con diferente temperatura. Por consiguiente, tanto en la raíz x = 0 como

en el extremo x = L la aleta tiene impuestas restricciones de temperatura. Bajo estas condiciones, la

segunda condición de frontera es como sigue:

Lii) en x = L, T(x) = T

Al sustituir en la solución (4.4) se obtiene la igualdad:

(4.13)

Esta última ecuación, junto con la ecuación (4.5), conduce a las expresiones:

y

Al sustituir las constantes en la solución (4.4) se obtiene la distribución de temperaturas:

(4.14)

En la figura 69 se muestra el gráfico de la distribución de temperatura (4.14), para la situación

4s LT > T > T . A lo largo de toda la aleta se transfiere calor por convección hacia el fluido que la rodea. No

Lobstante, cierto flujo de calor por conducción logra ingresar hasta la pared más fría con temperatura T .

Al derivar la distribución de temperatura (4.14) se obtiene el gradiente de temperatura:

Ahora se pueden determinar los tres flujos de calor. Primero se determinará el flujo de calor que

spenetra a la aleta desde la pared caliente, a temperatura T , a través de la raíz de la aleta:

(4.15)

LEl calor que sale de la aleta hacia la pared fria a temperatura T , a través del extremo x = L, es:

123

Fig. 69 Distribución de temperatura para una aleta

con temperaturas conocidas en ambos extremos.

(4.16)

El calor que se transfiere por convección, desde la aleta al fluido circundante, se obtiene con la

conv x = 0 x = Ldiferencia q = q - q :

(4.17)

2. Eficiencia de aletas.

Las aletas se añaden sobre una superficie con el objeto de incrementar la transferencia por

convección, por medio del crecimiento de la superficie convectiva mojada por el fluido. Para incrementar

la tasa de transferencia hasta cierta magnitud determinada se puede disponer de diseños muy variados

de aletas; pero no todos esos diseños serán igualmente aptos para favorecer la transferencia de calor.

Por consiguiente, resulta conveniente estimar cuán eficientemente cumplen su cometido las aletas.

La transferencia máxima posible de una aleta corresponde a la situación ideal de una aleta

Sisotérmica. Es decir, que la aleta tuviera temperatura uniforme con magnitud T —la temperatura de la

base, en contacto con la pared—. De este modo, todos los diferenciales de volumen de la aleta

mantendrían la misma diferencia de temperatura con el fluido que los moja, y todos transferirían la misma

cantidad de calor.

En realidad la aleta tiene una distribución de temperatura T = f(x), monótona y decreciente, desde

4Sla magnitud T en la base hasta una temperatura cercana a la del fluido (T ), en el extremo de la aleta.

Por consiguiente, cada diferencial de volumen transfiere con una diferencia de temperatura

progresivamente decreciente. Es decir, cada nuevo milímetro de longitud añadido al cuerpo de la aleta

es menos apto para transferir calor.

124

Para evaluar la eficiencia de transmisión de calor en una aleta, basta con efectuar una

comparación mediante un cociente adimensional. En el numerador se expresa el flujo de calor que

transfiere la aleta en sus condiciones verdaderas de funcionamiento; en el denominador se expresa el

máximo calor que podría transferir esa aleta en condiciones ideales.

Tanto para una aleta con sección transversal uniforme, como para aletas con sección transversal

ano uniforme, se define el concepto de eficiencia de una aleta, 0 , como el cociente:

(4.18)

Por supuesto, la eficiencia será siempre un número comprendido entre 0 y 1. Además, si se

conoce la eficiencia de una aleta, la transferencia de calor con el fluido circundante se puede obtener muy

fácilmente con la expresión:

(4.19)

2.1 Eficiencia de aletas con sección transversal uniforme.

A partir de las soluciones para aletas con sección transversal uniforme, es posible construir la

expresión que define la eficiencia de la aleta. Para ello se empleará el resultado que define la tasa de

transferencia de la aleta para cada situación (secciones 1.2.1 a 1.2.4).

2.1.1 Aleta inf initamente larga. La tasa de transferencia de esta aleta se define con la ecuación (4.7):

y la transferencia en condiciones de temperatura uniforme (la tapa final A ya no transfiere, porque su

4temperatura se igualó con T ) es:

La eficiencia de la aleta queda:

(4.20)

2.1.2 Aleta de longitud f inita con ext remo aislado. La tasa de transferencia de la aleta es (4.9):

y la transferencia en condiciones de temperatura uniforme (la tapa final A está aislada y no transfiere) es:

La eficiencia de la aleta queda como:

y como , el cociente se puede arreglar como:

(4.21)

125

2.1.3 Aleta f inita con t ransferencia en el ext remo. La expresión para la tasa de transferencia es algo

aparatosa, ecuación (4.12):

y la transferencia en condiciones de temperatura uniforme es:

La expresión para la eficiencia de la aleta toma una forma poco amigable para su empleo:

(4.22)

Existe una adaptación ingeniosa que permite definir la eficiencia para una aleta con transferencia

en el extremo, y evitar el uso de la expresión 4.22. Para usar tal aproximación debe notarse lo siguiente:

la única diferencia entre una aleta finita con extremo aislado, y una con transferencia en el extremo,

consiste en el calor que sale a través de la tapa final A.

Por consiguiente, la transferencia en una aleta con el extremo desnudo se puede aproximar muy

bien con los resultados para una aleta con extremo aislado. Para ello, basta con añadir un pequeño

incremento en el área superficial convectiva del cuerpo de la aleta —tanto como el área de la tapa A—

y modelar la aleta como si tuviera extremo aislado.

cEntonces se trabajará con una longitud corregida de aleta, L = L + )L, que da por resultado una

Cc csuperficie convectiva corregida A = PL de la misma magnitud que la superficie convectiva verdadera

CA = PL + A. De este modo, al tomar la definición de eficiencia de las aletas con extremo aislado y

corregir la longitud, se tiene la igualdad:

(4.23)

C Cdonde L se obtiene de la igualdad PL = PL + A, de modo que

(4.24)

Esta aproximación provoca un error pequeño en el cálculo de la eficiencia. El error es menor al

8% siempre y cuando se cumpla la relación:

Esta relación proviene de la comparación, mediante un cociente adimensional, de las dos resistencias

térmicas implicadas en el proceso: la resistencia interna por conducción y la resistencia externa por

convección. Este grupo adimensional se conoce con el nombre de número de Biot, se representa con la

abreviatura Bi, y se define como:

El número de Biot se emplea extensamente en los modelos de conducción en estado transitorio.

126

Fig. 70 Eficiencia de aletas con sección transversal rectangular uniforme.

2.2 Gráficas de eficiencia de aletas.

La expresión (4.23) se puede graficar con facilidad para diferentes geometrías de aletas con

sección transversal uniforme; hay un ejemplo de estas gráficas en la figura 70. Mediante estas gráficas

se lee la eficiencia de la aleta, o bien se evalúa directamente con la ecuación (4.23). La eficiencia de la

aleta esta en función de cinco variables: el coeficiente promedio de transferencia por convección, la

conductividad térmica de la aleta, k; el área transversal de la aleta, A; el perímetro del área transversal,

cP, y la longitud corregida de la aleta, L .

Las gráficas de eficiencia de aletas están arregladas con base en variables adimensionales. En

la gráfica de la figura 70 se muestra la curva de eficiencia de una aleta con sección transversal

rectangular. En este caso A = wt, donde w es el ancho de la aleta, y t el espesor uniforme. El perímetro

es P = 2w + 2t, pero como las aletas suelen ser muy delgadas entonces w >> t; por consiguiente el

perímetro se puede aproximar como P . 2w. Entonces se tiene:

A partir de esta gráfica, o de la ecuación 4.23, se puede obtener de manera muy sencilla el calor

transferido por una aleta. A partir de la eficiencia de la gráfica y con el calor ideal, definido para la aleta

en condiciones isotérmicas, se puede calcular

(4.25)

Este procedimiento es mucho menos dificultoso que emplear el resultado analítico (4.12) para aletas

finitas con transferencia en el extremo.

127

La posibilidad de emplear gráficas para obtener la eficiencia de aletas —como se verá más

adelante— es especialmente útil cuando se quiere modelar una aleta de sección transversal no uniforme,

tal y como las triangulares y las perimetrales con sección rectangular. El balance de energía para estas

aletas da por resultado una ecuación diferencial complicada, cuya solución analítica —difícil de obtener

y de aplicar en la práctica— no es muy útil en el trabajo diario. Las gráficas de eficiencia permiten

predecir, con gran sencillez, la tasa de transferencia de aletas con sección transversal no uniforme.

La función se comporta de tal forma que la variable y aumenta si el argumento

cx disminuye. Esto significa que las aletas se deben diseñar de modo que (mL ) sea pequeño, para

asegurar que su eficiencia sea grande. Como , para incrementar la eficiencia de cualquier

aleta se requiere las siguientes condiciones:

* La conductividad térmica de la aleta, k, debe ser lo más elevada posible. Por ello suele

elegirse un metal buen conductor del calor, como cobre, aluminio o bronce.

* La longitud de la aleta, L, debe ser reducida. Es preferible colocar muchas aletas cortas que

unas pocas aletas largas, para totalizar cierta superficie convectiva.

* El coeficiente convectivo promedio debe ser pequeño, como sucede en los procesos de

convección libre con aire atmosférico. Lo contrario —un coeficiente convectivo elevado—

puede dar por resultado que la tasa de transferencia por convección disminuya al colocar las

aletas, no obstante el incremento de superficie convectiva.

2.3. Evaluación previa a la colocación de aletas.

La posibilidad de que la colocación de aletas resulte contraproducente se debe a lo siguiente: al

colocar las aletas sobre una superficie se disminuye la resistencia por convección —pues

cla superficie total convectiva A se incrementa con las aletas— pero la resistencia por conducción de la

pared aumenta, pues se

añade la longitud de las aletas al espesor e de

la pared.

La colocación de aletas incrementará la

tasa de transferencia sólo para coeficientes

convectivos pequeños. Para que se justifique

el empleo de las aletas, el calor que transfiere

cada una de ellas debe ser muy superior al

calor que sería transferido a través de la

superficie desnuda sobre la cual se asentó la

aleta saleta. Es decir, se debe cumplir q > q .

El calor que se transfiere a través de la

porción superficial A de pared desnuda es:

El calor transferido a través de la aleta, cuya

c 2longitud corregida es L = L + / , es (ecuaciónt

4.9 con longitud corregida):

Fig. 71 Comparación entre el calor transferido desde una

aleta y desde una porción A de pared desnuda.

128

Fig. 72 Incremento en la tasa de transferencia por la colocación de aletas.

Para evaluar el incremento en la tasa de transferencia, obtenido al colocar las aletas, basta con

hacer una comparación de ambos flujos de calor mediante un cociente:

. (4.26)

a s cLa colocación de las aletas será favorable si se cumple q >> q . Como la función Tanh (mL ) es un

número entre 0 y 1, basta con que se cumpla:

(4.27)

Esta conclusión se puede verificar con ayuda de la figura 72, en la cual se representó el cociente

(4.26), para diferentes valores (Pk/ A).

3. Soluciones para aletas con sección transversal no uniforme.

Las aletas con sección transversal no uniforme pueden tener formas muy variadas. En la figura

63 se mostraron dos ejemplos, una aleta con sección transversal rectangular que se adelgaza hacia la

punta y una aleta cónica. Sobre este par de ejemplos se pueden ensayar múltiples variaciones

geométricas: aletas que se adelgazan lineal o parabólicamente, que terminan en punta o están truncadas,

con sección transversal cuadrada, rectangular, circular, etc.

Con excepción de las aletas perimetrales con sección transversal rectangular —que se analizarán

en la siguiente sección— estas aletas siempre disminuyen su sección conforme se adelgazan hacia la

punta. Este adelgazamiento permite ahorrar material, por lo cual las aletas son más ligeras y por tanto

menos costosas, pero sin mermar apreciablemente la superficie convectiva en contacto con el fluido.

La ecuación diferencial (4.2) se particulariza para cada geometría de aleta con sección transversal

no uniforme. Para ello se sustituyen en la ecuación las funciones A(x) y P(x) que definen la forma de la

aleta y se genera la ecuación diferencial particular para esa geometría.

129

3.1 Aletas con sección transversal rectangular no uniforme.

En la figura 73 se muestra una aleta cuya sección transversal rectangular es . La aleta

se adelgaza conforme el calor avanza por conducción a lo largo de la dirección (x), según cierta función

xque define el espesor, e = f(x). En este caso se trata de una aleta cuyo espesor está definido con base

en la función lineal:

(4.28)

0 1donde e es la sección transversal en la base, e la sección transversal en el extremo y L la longitud de

la aleta. El área transversal es:

y el perímetro de la sección ubicada por la coordenada x:

xpues b >> e para el común de las aletas, que son tradicionalmente delgadas. Ahora se puede definir los

siguientes cocientes:

y

Al sustituir estas tres igualdades en la ecuación (4.2) se obtiene la ecuación diferencial:

Fig. 73 Aleta con sección transversal rectangular que se adelgaza linealmente hacia la punta.

130

(4.29)

donde

Para integrar la ecuación se emplea el cambio de variable z = L - ax; por lo cual se tienen las

igualdades dz = -a dx; dx/dz = -a y dz/dx = -a. Al aplicar la regla de la cadena se obtiene:-1

Al sustituir las dos igualdades anteriores y hacer el cambio de variable en (4.29) se obtiene:

(4.30)

La ecuación diferencial (4.30) es una ecuación modificada de Bessel, cuya solución es:

(4.31)

0 0donde I es la función de Bessel modificada de primera clase y orden n = cero, y K es la función de

Bessel modificada de segunda clase y orden n = cero. Estas funciones están definidas como:

Para evaluar las constantes de integración A y B se empleará las condiciones de frontera:

S S i) en z = L (x = 0), 2(z) = 2 (T(x) = T ).

ii) en z = 0 (x = L/a), 2(z) debe ser finita (T(x) debe ser finita).

0La función K (z) 6 4 cuando z 6 0; por consiguiente es forzoso que se cumpla B = 0. Al aplicar

la segunda condición de frontera en la solución general (4.31) se tiene:

y se despeja . Al sustituir las constantes A y B en la solución (4.31) se obtiene:

131

es decir: (4.32)

3.1.1 Aleta con sección t ransversal rectangular que termina en punta. 1 Para esta aleta el espesor e es nulo

0 1 0y entonces a = (e - e )/e =1 (figura 74). Por consiguiente la solución (4.32) se simplifica a:

(4.33)

Al derivar la distribución de temperatura (4.33) se obtiene el gradiente de temperatura:

1donde I es la función de Bessel modificada de primera clase y orden uno. Ahora se evalúa la igualdad

anterior en x = 0:

y se obtiene la tasa de transferencia de la aleta:

(4.34)

Fig. 74 Aleta con sección transversal rectangular que termina en punta.

132

Fig. 75 Curvas de eficiencia para aletas con perfil triangular y parabólico.

La eficiencia de la aleta se construye con el cociente:

0pero pues b >> e . Por consiguiente:

(4.35)

Con la igualdad (4.35) se puede construir una gráfica para la eficiencia de la aleta de la figura 74,

en función del argumento (mL). La gráfica se muestra en la figura 75; también se incluye la curva para

la eficiencia de aletas con sección transversal rectangular y perfil parabólico que terminan en punta.

Las aletas que terminan en punta son una mejor opción que las rectangulares con sección

transversal uniforme. Si ambas tienen la misma longitud L prácticamente tienen la misma superficie

convectiva para transferir calor, pero las que terminan en punta tienen la mitad de masa metálica y casi

la misma eficiencia.

133

3.2 Aletas perimetrales con sección transversal rectangular.

La colocación de aletas perimetrales —en el exterior de tuberías con sección transversal

circular— constituye una de las aplicaciones más frecuentes de la transferencia de calor a través de

superficies extendidas. La construcción de estas aletas, que se muestra en la figura 76, da por resultado

un flujo de calor unidimensional, en dirección radial.

El área transversal al flujo de calor es rectangular, pero su magnitud es no uniforme. De hecho,

para cualquier posición radial r se tiene un área transversal A(r) = 2Br t, cuyo perímetro es P = 2 (2Br).

Sin embargo, el cociente

es constante para cualquier posición radial. Por consiguiente:

y .

Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación diferencial (4.2), se tiene:

(4.36)

cuya solución es: (4.37)

0 0donde I es la función de Bessel modificada de primera clase y orden n = cero, y K es la función de

Bessel modificada de segunda clase y orden n = cero.

1 2Para determinar las constantes C y C se requiere dos condiciones de frontera. La primera de

1 sellas establece que en la raíz de la aleta (superficie r = r ), la temperatura es T , la temperatura superficial

2del tubo. La segunda condición establece que el canto de la aleta (superficie r = r ), es una superficie

aislada. Esta última suposición difiere de la realidad, pero conduce a una solución aproximada muy

c 2 1sencilla si se corrige la longitud de la aleta, L = (r - r ) + t/2 (como se hizo en la sección 1.2.2 con las

aletas con sección transversal uniforme). Las redacción de las condiciones es:

Fig. 76 Aletas perimetrales montadas sobre un tubo, espaciadas regularmente.

134

1 s s s 4 2 i) en r = r , T(r) = T ; � 1 = 1 = T - T ii) en r = r , �

Al aplicar la primera condición se tiene

(4.38)

y para aplicar la segunda condición se deriva la solución (4.37)

donde se han empleado dos de las fórmulas fundamentales de las funciones de Bessel:

;

2la derivada se evalúa en r : (4.39)

Al resolver el sistema de ecuaciones algebraicas formado por las igualdades (4.38) y (4.39), se

1 2obtiene las constantes C y C :

y

de modo que al sustituir en la solución (4.37) se obtiene la distribución de temperatura en la aleta:

(4.40)

Para obtener el calor que la aleta transfiere por convección hacia el fluido exterior, basta con

evaluar el calor que penetra por conducción a través de la raíz de la aleta.

(4.41)

Con base en el resultado anterior, se puede expresar la eficiencia de la aleta perimetral:

sLa transferencia máxima, que se obtendría si la aleta fuese isotérmica T , tiene la expresión:

(4.42)

donde se ha corregido el radio exterior de la aleta con para tomar en cuenta el calor

transferido por el canto de la aleta que se supuso aislado. La expresión para la eficiencia, adecuada para

la corrección del radio exterior, queda como:

135

Fig. 77 Curvas de eficiencia para aletas perimetrales

con sección transversal rectangular no uniforme.

; y como y :

(4.43)

La ecuación (4.43) se puede arreglar en una forma más compacta, con base en los siguientes

parámetros adimensionales:

y

0 1Al sustituir los parámetros Z , Z y Q en la igualdad (4.43), se llega a la ecuación

(4.44)

cque se puede graficar para diferentes valores de y mL , como se muestra en la figura 77. Por

consiguiente, la tasa de transferencia de calor entre la aleta perimetral y el fluido circundante se puede

obtener como:

(4.45)

136

4. Transferencia de calor en superficies aletadas.

Hasta el momento sólo se cuenta con procedimientos para determinar la tasa de transferencia

de una aleta, con sección transversal uniforme o no uniforme, mediante soluciones analíticas o por medio

de sus gráficas de eficiencia. Sin embargo, la aplicación de mayor interés práctico consiste en determinar

sla transferencia neta para una pared isotérmica, con temperatura superficial T , que tiene colocadas

aletas y transfiere calor por convección.

La geometría de la pared puede ser cualquiera —por ejemplo una placa plana con sección

transversal uniforme, una pared cilíndrica o esférica— y la transferencia neta de calor tiene dos

componentes:

(4.46)

donde cada uno de los flujos de calor se puede describir con base en cierta eficiencia de transferencia

por convección:

y .

Al sustituir las tres expresiones en la igualdad (4.46) se tiene

(4.47)

aEn esta última igualdad 0 es la eficiencia de las aletas que se montaron sobre la pared. La pared

s pque soporta las aletas es isotérmica, con temperatura T , y por ello tiene 0 = 1. La superficie aletada

total a totaltiene una eficiencia global 0 , que debe satisfacer 0 < 0 < 1. La igualdad (4.47) se puede simplificar:

(4.48)

y además se tiene la composición de superficies convectivas:

aletadaLa superficie A es la superficie total de aletas mojada por el fluido presente en la interfase

paredconvectiva (no debe confundirse con el área transversal de la aleta). La superficie A es la superficie

desnuda que no fue cubierta por aletas, y también transfiere con el fluido convectivo. De la suma de

àreas se despeja:

y al sustituir la igualdad anterior en la ecuación (4.48) se tiene:

y se despeja:

(4.49)

La igualdad (4.49) define la eficiencia global de una superficie aletada.

En la figura 78 se muestra la situación más general, una pared que transfiere porque separa dos

ambientes convectivos y tiene aletas por ambos lados. La tasa de transferencia se determina con las

expresiones que se desarrollaron para las aplicaciones unidimensionales de la ecuación de Laplace:

137

Fig. 78 Circuito térmico para la superficie aletada.

(4.50)

y por consiguiente:

Conviene notar que no es necesario conocer las temperaturas de las superficies, , a cada lado

de la pared que divide los ambientes convectivos.

kLa resistencia térmica por conducción, R , debe tener la expresión adecuada para la geometría

de la pared: plana, esférica o cilíndrica. Además, si una de las caras de la pared no tiene aletas, la

teficiencia total de esa superficie es 0 = 1.

Es posible despejar el coeficiente global de transferencia de calor, U, si se selecciona un área de

referencia. Por ejemplo, para el área exterior se tiene un coeficiente global de transferencia :

(4.51)