05 MATES CCSS Val · 94 05 SISTEMES D’EQUACIONS I SISTEMES D’INEQUACIONS Important La fórmula e 5 vt no és lineal en les variables v i t, perquè el seu producte fa que el terme

05

j Plantejar i resoldre sistemes d’equacions lineals: re-cordant els mètodes de resolució clàssics.

j Discutir sistemes lineals de dues equacions amb dues incògnites i estudiar els coefi cients respectius.

j Iniciar l’estudi de sistemes lineals de tres equacions amb tres incògnites.

j Aplicar el mètode de Gauss per a resoldre-les.

j Aplicar aquest mètode per a discutir sistemes li-neals de tres equacions.

j Resoldre sistemes no lineals senzills.

SISTEMES D’EQUACIONS I SISTEMES D’INEQUACIONS

En aquesta unitat aprendràs a:

05_MATES_CCSS_Val.indd 9305_MATES_CCSS_Val.indd 93 20/5/08 17:38:0720/5/08 17:38:07

0594 SISTEMES D’EQUACIONS I SISTEMES D’INEQUACIONS

Important

La fórmula e 5 vt no és lineal en les variables v i t, perquè el seu producte fa que el terme v ? t sigui de grau 2.

En canvi, 2x 1 2y 5 50 sí que és li neal.

j 5.1 Sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites

Una equació amb dues incògnites permet descriure com en reacciona una si variem l’altra. Així, per exemple:• La fórmula de la cinemàtica, espai 5 velocitat ? temps (e 5 v ? t), refl ecteix diferents

combinacions de velocitats i temps que es poden emprar per a recórrer un espai de-terminat. Per exemple, 200 km poden fer-se a una velocitat de 100 km/h en 2 hores; o a 80 km/h, en 2,5 hores.

• Les dimensions d’un rectangle el perímetre del qual és de 50 m poden variar des d’un d’estilitzat de 5 x 20 m a un altre de quadrat de 12,5 m de costat (Fig. 5.1.). Són di-ferents longituds que verifi quen l’equació 2x 1 2y 5 50, sent x la base i y l’altura del rectangle.

• Les equacions amb dues incògnites de grau u s’anomenen lineals. La forma reduïda d’aquesta equació lineal és ax 1 by 5 c, sent a, b els coefi -cients i c el terme independent.

La solució d’una equació amb dues incògnites és tot parell de valors d’aquestes que en verifi quin la igualtat. En general, aques-tes equacions tenen infi nites solucions que coincideixen amb els punts d’una recta. Així, per exemple, l’equació 22x 1 y 5 1 es compleix per als parells (21, 21), (0, 1), (1, 3), (2, 5), …, i per a tots els punts de la recta representada en la Figura 5.2.

Fig. 5.1.

x

y

Un parell d’equacions lineals amb dues incògnites que es consideren simultàniament formen un sistema. La forma més simplifi cada seria:

ax by c

a x b y c

1

1

5

5ʹ ʹ ʹ⎧⎨⎩

• Una solució del sistema és tota parella de valors que assignats a les incògnites sa-tisfan al mateix temps les dues equacions.

Per exemple, en el sistema 2 1

1 2

x y

x y

2 3

2 1

5

5

⎧⎨⎩

el parell x = 21, y 5 1 és solució, ja que

2(21) 1 2 ? 1 5 3

2(21) 1 1 5 21

No obstant això, el parell x 5 1, y 5 2 no és solució, ja que satisfà la primera equació però no la segona.

A. Resolució de sistemes

Resoldre un sistema és esbrinar totes les solucions. Per a això, s’ha de transformar el sistema original en un altre d’equivalent que tingui, almenys, una equació amb una sola incògnita, la qual s’ha de poder aïllar amb les tècniques habituals. Les transformacions que poden fer-se en un sistema, de manera que no se n’alterin les solucions encara que sí que ho faci la forma de les equacions que el componen, són:(1) Traslladar nombres o incògnites d’un membre a un altre.(2) Multiplicar els dos membres d’una equació per un nombre diferent de zero.(3) Sumar o restar a una equació una altra multiplicada prèviamente per un nombre.Aquestes transformacions es concreten en els tres mètodes clàssics de resolució de sis-temes: de substitució, d’igualació i de reducció.

x

y

1

1

Fig. 5.2.

Més dades…

Un sistema és equivalent a un altre si ambdós tenen les mateixes solucions.

Més dades…

En (3), l’equació obtinguda es diu que és combinació lineal de les altres dues.


05SISTEMES D’EQUACIONS I SISTEMES D’INEQUACIONS 95

Mètode de substitució

Consisteix a aïllar una de les incògnites en una de les equacions i substituir el valor que té en l’altra.

Apliquem el procés al sistema:

x y

x y

1 2

2

2 3 0

1

23 5

5

5

1. Aïllem x en la primera equació: x 5 3 2 2y.

2. Substituïm aquest valor de x en la segona: 1

23 2 3 5( )2 2y y5 .

3. Resolem aquesta equació:

1

23 2 3 5

3

23 5 4 5

3

2( )2 2 2 2 2 2y y y y y5 5 5 y5 5

7

24

7

8: ( )2 2 .

Amb aquest valor de y, esbrinem x: x 5 5 53 27

83

14

8

19

42 2 1( ) .

La solució del sistema és: x y5 519

4

7

8; 2 .

Mètode d’igualació

Aquest mètode consisteix a aïllar i igualar la mateixa incògnita en ambdues equacions. Tot seguit es resol l’equació resultant.

En el sistema

x 2 y 5 4

2x 1 8y 5 22 aïllem la incògnita x en les dues equacions:

x 5 4 1 y2x 5 22 2 8y

x 5 4 1 yx 5 21 2 4y

Igualem els segons membres: 4 1 y 5 21 2 4y 5y 5 25 y 5 21

Com que x 5 4 1 y x 5 3.

La solució del sistema és x 5 3, y 5 21.

Si s’hagués aïllat la incògnita y en ambdues equacions, el resultat hauria estat el mateix.

Mètode de reducció

Aquest mètode cerca l’eliminació d’una incògnita en alguna de les equacions. Per a això:

1. Es multipliquen les equacions per sengles nombres de manera que s’aconsegueixin igualar, en valor absolut, els coefi cients d’una de les incògnites.

2. Se sumen o resten ambdues equacions per a eliminar aquesta incògnita.

Per exemple, si en el sistema x y

x y

2

1

5

5

4

2 8 22

⎧⎨⎩

, a la segona equació restem el doble

de la primera (E2 22E1), queda:

x y

x y x y

2

1 2 2

5

5 5

4

2 8 �2 2 4[ ] [ ]⎧⎨⎪

⎩⎪

x y

y

2

2

5

5

4

10 10

⎧⎨⎩

x y

y

2

2

5

5

4

1

⎧⎨⎩

la solució de la qual ja és immediata, ja que si se substitueix en E1: x 2(21) 5 4 x 5 3.

Per tant, la solució del sistema és x 5 3, y 5 21.

Més dades…

Si aïlles la incògnita i, la subs-titueixes en la segona equació, pots comprovar l’obtenció d’una solució idèntica. L’efectivitat del mètode es basa en poder aïllar una incògnita fàcilment.

Més dades…

Si a una equació se li suma o resta l’altra multiplicada per un nombre, el sistema resultant és equivalent al primer.



B. Classifi cació de sistemes

Els sistemes que tenen solució s’anomenen compatibles.

Si la solució és única s’anomenen compatibles determinats.

Si tenen infi nites solucions s’anomenen compatibles indeterminats.

Si un sistema no té solucions es diu que és incompatible.

Per exemple, el sistema: 30x 2 20y 5 130

3x 2 2y 5 13

10 (3x 2 2y) 5 10 ? 13

3x 2 2y 5 13

3x 2 2y 5 13

3x 2 2y 5 13

és equivalent, en realitat, a una sola equació amb dues incògnites que, com ja sabem, té infi nites solucions; en aquest cas: (3, 22), (1, 25), (5, 1)… Per tant, el sistema és compatible indeterminat.

No obstant, el sistema 14 40 0

7 20 10

2 7 20 0

7 2

x y

x y

x y

x

2

2

2

2

5

5

5( )

00 10y5 és incompatible, ja que no

es pot verifi car que 7x 220y sigui alhora igual a 0 i a 10.

Així doncs, els sistemes lineals es poden classifi car segons les solucions que tinguin en:

SISTEMA LINEALCOMPATIBLE

DETERMI

(amb solució)

NNAT

INDETERMINAT

INCOMPATIBLE

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎧

⎨⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

(solució única)

(infinites solucions)

(sense solució)

Interpretació geomètrica d’un sistema

Com ja hem indicat, l’equació lineal amb dues incògnites és l’expressió analítica d’una recta. Per tant, un sistema de dues equacions es pot interpretar com un parell de rectes, la posició de les quals en el pla és resultat del tipus de sistema que es tracti.

Si en el sistema ax by c

a x b y c

1

1

5

5ʹ ʹ ʹ⎧⎨⎩

anomenem r i s les rectes representades per la primera

i la segona equació, r ; ax 1 by 5 c y s ; a’x 1 b’y 5 c’, llavors:

1. Si r i s es tallen en el punt P 5 (x0, y

0) el sistema serà compatible determinat i la

solució és x 5 x0 i y 5 y

0.

2. Si r i s són rectes paral·leles el sistema és incompatible.3. Si r i s són dues rectes que es superposen, tots els punts seran comuns i el sistema

té un conjunt infi nit de solucions. És, per tant, indeterminat.

Els parells de rectes associats als sistemes següents es representen més avall.

x y

x y

1 2

2

2 1

2 3 5

5

5

⎧⎨⎩

rectes que es tallen

2 1

2

2 4 1

3 6 2

x y

x y

5

5

⎧⎨⎩

rectes paral·leles

x y

x y

1

1

2 3

3 6 9

5

5

⎧⎨⎩

rectes coincidents

x

y

x+2y=–1

2x–3y=5

x

y

3x–6y=2

–2x+4y=1

x

y

x+2y=33x+6y=9

Fig. 5.3.

b)a) c)

Més dades…

Aquest procediment pot usar-se per a discutir un sistema. L’ús per a resoldre’l amb suficient precisió exigeix que es dibuixi en paper quadriculat per a solucions ente-res o paper mil·limetrat si fossin decimals.



j 5.2 Discussió d’un sistema de dues equacions

Conèixer de quin tipus és un sistema, sense arribar a resoldre’l, s’anomena discutir-lo. L’interès de la discussió prové del fet que a vegades ens interessarà l’estructura de les equacions més que la solució en sí.

Suposem el sistema ax by c

a x b y c

1

1

5

5’ ’ i apliquem el mètode de reducció per a eliminar la

incògnita x: multipliquem la 1a equació per a’, la 2a per a i restem:

a’ E1: 1 ?a ax by a c’( ) ’5

a E2: a(a’ x1b’ y)5a?c’a’E1 2 aE2: 2 2’ ’a b( ’ ’ )ab y a c ac5

Si fem m 5 a’b 2 ab’ i n 5 a’c 2 ac’ el sistema primitiu és equivalent a ax by c

my n

1 5

5

⎧⎨⎩

L’estudi de la segona equació ens dóna els possibles tipus de sistemes. En efecte, si:

1. m ? 0. La segona equació és my � n.

Llavors no hi ha cap difi cultat per a resoldre’l, ja que, si aïllem ynm

5 .

Aquest valor es porta a la primera equació i s’esbrina x. Així doncs, si m ? 0 la solució és única. El sistema és compatible determinat.

Per exemple, el sistema

x 1 y53

2x 1 y521

⎧⎨⎩⎪

E21E1

x1 y53

2 y52 és compatible deter-

minat. La solució és x 5 2 i y 5 1.

2. m � 0 y n ? 0. La segona equació és 0y � n que per a qualsevol valor de y mai no arribarà a ser verifi cat: el sistema no té solució i serà incompatible.

Per exemple, el sistema x1 y53

2x12 y53

E212E1

x1 y53

0523 és incompatible.

3. m � 0 y n � 0. La segona equació és 0y � 0, que admet tot valor possible de y com a solució; així que el sistema seria compatible indeterminat.

Per exemple, el sistema x1 y53

2x12 y56

E222E1

x 1 y53

050

⎧⎨⎩⎪

és compatible indeter-

minat. Les solucions són tots els parells de nombres que compleixin que x 1 y 5 3. Per exemple, (2, 1), (4, 21) o (0, 3).

En conclusió:

1. Si m ? 0 (que equival a aa

bb’ ’

? , vegeu el marge) el sistema inicial és equivalent a:

ax by c

my n

1 5

5

⎧⎨⎩

i és compatible determinat.

2. Si m 5 0 i n ? 0 (que equival a aa

bb

cc’ ’ ’

5 ? ) el sistema inicial es transforma en

ax by c

y n

1 5

50

⎧⎨⎩

i és incompatible.

3. Finalment si m � n � 0 (és a dir, aa

bb

cc’ ’ ’

5 5 ), el sistema queda ax by c

y

1 5

50 0

⎧⎨⎩

, que és

compatible indeterminat.

Més dades…

Com que m 5 a’b 2 ab’: Si m 5 0

a’b 5 ab’, per tant aa

bbʹ ʹ

5 .

Si m ? 0, llavors aa

bbʹ ʹ

? .

I si n 5 a’c 2 ac’ 5 0, hi ha: aa

ccʹ ʹ

5 .

Per tant, quan n ? 0, aa

ccʹ ʹ

? .

• En el cas 3, tots els coeficients són proporcionals.

• En el cas 2, són proporcionals els coeficients de la x i de la y però no els termes indepen-dents.



ACTIVITATS

EXEMPLE 2

EXEMPLE 1

Estudia, sense arribar a resoldre’ls, de quin tipus és cadascun dels sistemes següents:

a) x y

x y

1 2

2

2 1

2 3 5

5

5

⎧⎨⎩

b) 2 1

2

2 4 1

3 6 2

x y

x y

5

5

⎧⎨⎩⎪

c) x y

x y

1

1

2 3

3 6 9

5

5

⎧⎨⎩⎪

Transformem cadascun dels sistemes pel mètode de reducció:

a) x y

x yE E

x y

y

1 2

22 ?

1 2

2

2 1

2 3 52

2 1

7 72 1

5

5

5

5

El sistema és compatible determinat, ja que els coefi cients de x i de y no són proporcionals, 1

2

2

3?−

: el sistema té

solució única.

b) En aquest cas 2 1

21

2 12 4 1

3 6 23 2

2 4 11 2

x y

x yE E

x y5

5

5

0 7y5

El sistema és incompatible 2

2

2

3

4

6

1

25 ? com delata l’equació impossible 0·y 5 7.

c) x y

x yE E

x y

y

1

12

12 3

3 6 93

2 3

0 02 1

5

5

5

5

El sistema és compatible indeterminat (els coefi cients d’ambdues equacions són proporcionals 1

3

2

6

3

95 5 ), solament

resta una equació.

Discuteix, segons els valors del paràmetre a, el sistema: x y

x ay

1

2

5

5

1

3 4

⎧⎨⎩

Per a discutir-lo, cal estudiar les relacions entre els coefi cients i els termes independents d’ambdues equacions.

• Si 1

3

1?

2a, que succeeix quan a ? 23, el sistema serà compatible determinat.

• Si 1

3

1 1

45

2a? , que succeeix quan a 5 23, el sistema serà incompatible.

Per tant: si a ? 23, el sistema té solució única. Si a 5 23, el sistema no té solució.

1> Discuteix, sense arribar a resoldre, la compatibilitat dels sistemes següents:

a) 4 2 1

2 5

x y

x y

2 2

2 1

5

5

⎧⎨⎩

b) 2 2

1

x y

x y

1

2

5

5

⎧⎨⎩⎪

c) x y

x y

2

2 1 2

2 3

4 8 12

5

5

⎧⎨⎩⎪

2> Si hi ha el sistema 4x1by5522x1y54

, calcula els valors que

ha d’agafar b perquè el sistema sigui:

a) Compatible determinat. b) Indeterminat.

R: a) b ? 22; b) Mai.

R: a) Incompatible; b) Compatible determinat; c) Indeterminat.



j 5.3 Sistemes de tres equacions amb dues incògnites

Resolució i interpretació geomètrica

Aquests sistemes no solen presentar-se en la pràctica. Sorgeixen de problemes amb més dades de les necessàries. No obstant això, els estudiem perquè ens ajudaran a refermar les idees anteriors.

La forma més simple d’un sistema d’aquest tipus és:

ax by c

a x b y c

a x b y c

1

1

1

5

5

5

ʹ ʹ ʹ

ʹ́ ʹ́ ʹ́

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.

Aquests sistemes són compatibles (tenen solució) quan la solució del sistema format per qualsevol parell d’equacions verifi ca també l’altra. Això signifi ca que una equació és combinació lineal de les altres dues.

En un altre cas el sistema seria incompatible.

La possibilitat d’un sistema amb infi nites solucions, indeterminat, sols ocorreria quan les tres equacions coincidissin. És a dir, representessin la mateixa equació, encara que amb aparença diferent. Aclarim la situació amb dos exemples:

a) El sistema

3 3

1

30

24

33

x y

x y

x y

1 2

2

1 2

5

5

5

, el resolem agafant les dues primeres equacions

3 3

1

30

x y

x y

1 52

2 5, la solució de les quals és: x

0 5 2

1

2 i y

0 5 2

3

2. Aquests valors satisfan també la

tercera equació, ja que 21

2

4

3

3

23? 2 1 ? 2 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟5 .

Per tant, el sistema és determinat i la solució són els valors anteriors (Fig. 5.4a).

b) No obstant això, el sistema

x y

x y

x y

2 2

1

2 1

2 1

3 2

2 5

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

és incompatible, no té solució, ja que les

equacions primera i segona x y

x y

2 2

1

2 1

3 2

5

5

⎧⎨⎩

ens donen la solució x0 5

1

5, y

0 5

3

5, que no

compleix la darrera equació. (Fig. 5.4b).

2x + 4y/3 = –3

x

y

x – y/3 = 0 3x + y = –3

x

y

x – 2y = –1 –2x + y = 5

x + 3y = 2

Fig. 5.4.

a) b)

Més dades…

El parell (x0, y0) és solució del sis-tema si verifica simultàniament les tres equacions. Això és:

0 0

0 0

0 0

ax by c

a x b y c

a x b y c

1

1

1

5

5

5

ʹ ʹ ʹ

ʹ́ ʹ́ ʹ́

.



ACTIVITATS

EXEMPLE 3

j 5.4 Sistemes de tres equacions amb tres incògnites

Amb aquests sistemes ampliem en una dimensió més els problemes de dues equacions i dues incògnites. Això ens permet resoldre problemes amb més informació i complexitat. La forma estàndard d’aquests sistemes és la següent:

a11

x 1 a12

y 1 a13

z 5 b1

a21

x 1 a22

y 1 a23

z 5 b2

a31

x 1 a32

y 1 a33

z 5 b3

Les incògnites són x, y i z; els coefi cients, aij, i els termes independents, bi, són nombres reals.

• Una solució del sistema és qualsevol terna de valors x0, y

0 i z

0 que satisfan simultà-

niament les tres equacions.• Resoldre un sistema és esbrinar totes les solucions que té.

Per a resoldre aquests sistemes podem fer servir els mètodes exposats per als sistemes de dues equacions però, en general, són massa laboriosos. No obstant això, en tots els casos, per a concloure el procés s’ha de recórrer al mètode de substitució que ens per-met esbrinar una solució a partir de les altres.

Mètode de substitució

Aquest mètode consisteix a aïllar una incògnita en alguna de les equacions i portar el seu valor a les altres. S’obté així un sistema associat al primer, però amb una equació menys; això és, de dues equacions amb dues incògnites. Aquest segon sistema es resol pel mètode que sigui més còmode. La incògnita aïllada al prinicpi s’esbrina per substitució.

Resol per substitució el sistema:

x 1 2y 1 z 5 0

2x 2 z 5 1

3x 2 y 2 2z 5 3

R: Si s’aïlla z en la segona equació, z 5 2x 2 1, i se substitueix en les altres dues, el sistema donat és equivalent

a x 1 2y 1 2x 2 1 5 0

3x 2 y 2 2(2x 2 1) 5 3

3x 1 2y 5 1

2x 2 y 5 1.

La solució d’aquest sistema és x 5 3 i y 5 24. Per tant, el valor de z 5 2 ? 3 2 1 5 5.

Per tant, la solució del sistema inicial és la terna x 5 3, y 5 24 i z 5 5. (Comprova que verifi ca les tres equacions).

3> Resol per substitució els sistemes següents:

a)

2x 1 y 2 z 5 5

x 1 2y 1 z 5 4

x 2 y 5 1

b)

x 1 2y 5 1

2x 2 z 5 1

5y 1 z 5 0

R: a) 2, 1, 0; b) 3, −1, 5.



EXEMPLE 4

ACTIVITATS

j 5.5 Mètode de Gauss

El mètode de Gauss és una generalització del mètode de reducció ja conegut. Consis-

teix a transformar el sistema inicial,

a11

x 1 a12

y 1 a13

z 5 b1

a21

x 1 a22

y 1 a23

z 5 b2

a31

x 1 a32

y 1 a33

z 5 b3

[1]

en un altre d’equivalent, de la forma:

a11

x 1 a12

y 1 a13

z 5 b1

a’22

y 1 a’23

z 5 b’2

a’’33

z 5 b’’3

[2]

Per tant, es tracta d’eliminar la incògnita x de la segona equació (E2) i les incògnites x i y de la tercera equació (E3). Aquests sistemes s’anomenen escalonats o triangulars, i es resolen de baix cap a dalt. Això és, seguint el procés: aïllar z en E3; substituir el seu valor en E2 i aïllar-hi y; substituir z i y en E1 i aïllar x.

Resol, aplicant el mètode de Gauss, el sistema:

x 1 4y 1 3z 5 2 1

2x 2 3y 2 2z 5 1

2x 1 2y 1 4z 5 2

.

El procés és el següent:

1. S’elimina la incògnita x en les equacions segona i tercera, i se suma a aquestes la primera equació multiplicada per 22 i 1, respectivament, i resta el sistema:

E2 2 2E1

E3 1 E1

x 1 4y 1 3z 5 2 1

211y 2 8z 5 3

6y 1 7z 5 1

.

2. Suprimim la incògnita y de la tercera equació sumant-hi, prèviament mul-tiplicada per 11, la segona multiplicada per 6:

11E3 1 6E2

x 1 4y 1 3z 5 2 1

211y 2 8z 5 3

29z 5 29

.

3. Es resol el sistema escalonat tot començant per la tercera equació:

29z 5 29 z 5 2929

51. Ara, en la segona equació:

211y 2 8 ? 1 5 3 211y 5 11 y 5 21

I per acabar, en la primera: x 1 4 ? (21) 1 3 ? 1 5 21 x 5 21 1 1 5 0.La solució del sistema és: x 5 0, y 5 21, z 5 1.

4> Resol aplicant el mètode de Gauss:

a)

2x 1 y 1 z 5 55

x 1 2y 1 z 5 45

x 1 y 1 2z 5 40

b)

x 1 y 1 z 5 45

13x 1 12y 1 8z 5 430

2x 1 2y 2 z 5 0

R: a) 20, 10, 5. b) 10, 5, 30.

Més dades…

Per a passar de [1] a [2], pot pro-cedir-se així:

(1) S’ha d’intentar que el coefi-cient a11 5 61, cosa que es pot aconseguir alterant la col·locació d’incògnites o equacions, o bé dividint la primera equació per aquell a11.

(2) S’elimina la incògnita x en les equacions E2 i E3, fent les transformacions:

E2 2 a21

a11 E1 i E32

a31

a11 E1, respec-

tivament.

Amb això, el sistema [1] és equi-valent al sistema

a11x 1 a12 y 1 a13z 5 b1

a’22 y 1 a’23z 5 b’2a’32 y 1 a’33z 5 b’3

(3) Suprimim ara la incògni-ta y de l’equació E3, per a la qual cosa fem la transformació

E32 a’31

a’22 E2, i s’obté el sistema

escalonat

a11x 1 a12y 1 a13z 5 b1

a’22y 1 a’23z 5 b’2a’33z 5 b’’3

[2]



ACTIVITATS

EXEMPLE 5

j 5.6 Discussió d’un sistema de tres equacions

Discutir un sistema consisteix a explicar raonadament les possibilitats de solució que hi ha depenent del valor dels coefi cients i termes independents. En els sistemes escalonats la discussió es fa a partir de l’equació més simple, que suposarem que és la darrera. Així, si estudiem la tercera equació del sistema [2], a’’

33z 5 b’’

3, es determinen les possibilitats

de solució del sistema inicial, i es verifi ca:

• Si a’’33

?0 el sistema és compatible determinat, ja que sempre es pot esbrinar una solució única començant a resoldre el sistema per la tercera equació.

• Si a’’33

5 0 y b’’3 5 0 el sistema és compatible indeterminat, ja que l’equació E3

desapareix (resta 0z 5 0, que es compleix per a qualsevol valor de z) i resulta així un sistema amb dues equacions i tres incògnites, ja que el sistema [2] resta:

a11

x 1 a12

y 1 a13

z 5 b1

a’22

y 1 a’23

z 5 b’2

0z 5 0

a

11x 1 a

12y 1 a

13z 5 b

1

a’22

y 1 a’23

z 5 b’2

a

11x 1 a

12y 5 b

1 2 a

13z

a’22

y 5 b2 2 a’

23z

Per a resoldre aquest sistema hem de suposar la incògnita z coneguda i esbrinar les altres en funció d’aquesta. (En la pràctica, sol fer-se z 5 k).• Si a’’

33 5 0 i b’’

3?0 el sistema és incompatible, ja que l’equació E3 queda 0z?0,

evidentment és absurda, ja que qualsevol valor de z multiplicat per 0 ha de ser 0.

Discuteix i esbrina la solució del sistema

x 1 2y 1 3z 5 4

2x 1 3y 2 z 5 2 2

2x 2 y 1 4z 5 6

.

R: Si utilitzem el mètode de Gauss tenim:

x 1 2y 1 3z 5 4

2x 1 3y 2 z 5 22

2x 2 y 1 4z 5 6

E2 1 E1

E3 2 2E1

x 1 2y 1 3z 5 4

5y 1 2z 5 2

25y 2 2z 5 22

E3 1 E2

x 1 2y 1 3z 5 4

5y 1 2z 5 2

0z 5 0

Com que l’equació E3 s’ha anul·lat, el sistema és indeterminat, equivalent a:

x 1 2y 1 3z 5 4

5y 1 2z 5 2 o bé

x 1 2y 5 4 2 3z5y 5 2 2 2z

. Si aïllem y en E2, resulta y 5 2 2 2z

5.

Substituint en E1: x 1 2 2 2 2z

5 5 4 2 3z x 5 4 2

4 2 4z5

2 3z x 5 16 2 11z

5

Si fem z 5 k, la solució és: x 5 16 2 11k5

; y 5 2 2 2k5

; z 5 k.

5> Discuteix i resol els sistemes:

a)

x 1 y 2 z 5 21

22x 1 y 1 z 5 0

3x 1 2y 2 2z 5 1

b)

x 1 2y 1 3z 5 0

2x 2 y 2 z 5 2

3x 1 y 1 2z 5 2 c)

2x 1 2y 1 z 5 1

x 1 y 2 2z 5 21

3y 2 z 5 3

R: a) 3, 1, 5; b) x 5 4 2 k5

, y 5 27k 1 2

5, z 5 k; c) Incompatible.



ACTIVITATS

EXEMPLE 6

A. Sistemes amb un paràmetre

Un sistema es discuteix quan aquest conté algun coefi cient no determinat (paràme-tre). Aleshores, abans de resoldre’l hem d’especifi car el caràcter que té en funció dels diferents valors del paràmetre. El criteri per a classifi car-los és l’indicat adés; això és, l’estudi de la tercera equació a’’

33z 5 b’’

3.

Per exemple, el sistema

x 1 y 2 z 5 1

x 1 y 1 z 5 4

2x 1 2y 1 mz 5 5

que és equivalent a E2 2 E1

E3 2 2E1

x 1 y 2 z 5 1

2z 5 3

(m 1 2)z 5 3

,

i, alhora equivalent, a E3 2 E2

x 1 y 2 z 5 1

2z 5 3

mz 5 0

. Aquest darrer sistema solament té solu-

ció si m 5 0, ja que en cas contrari la segona i la tercera equació serien incompa-tibles. (Fixa’t que si suposem que m 5 5, la E3 quedaria 5z 5 0 z 5 0; que seria

contradictori amb E2, 2z 5 3 z 5 32

).

Discuteix el sistema

2x 1 3y 5 m 1 1

x 1 3z 5 0

x 1 y 1 z 5 m segons els valors de m i resol-lo quan sigui possible.

Si apliquem el mètode de Gauss tenim:

2x 1 3y 5 m 1 1

x 1 3z 5 0

x 1 y 1 z 5 m

E2

E1

x 1 3z 5 0

2x 1 3y 5 m 1 1

x 1 y 1 z 5 m E2 2 2E1

E3 2 E1

x 1 3z 5 0

3y 2 6z 5 m 1 1

y 2 2z 5 m

3E3 2 E2

x 1 3z 5 0

3y 2 6z 5 m 1 1

0 5 2m 2 1

Perquè E3 tingui sentit cal que 0 5 2m 21 m 5 12

. En cas contrari, el sistema no té sentit. Per tant:

Si m ? 12

el sistema és incompatible.

Si m 5 12

, la tercera equació resta: 0 5 0. En aquest cas, com que es perd una equació, el sistema serà compatible

indeterminat. Per tant, el sistema inicial

2x 1 3y 5 m 1 1

x 1 3z 5 0

x 1 y 1 z 5 m

x 1 3z 5 0

3y 2 6z 5 12

1 1

0 5 0

x 1 3z 5 0

3y 2 6z 5 32

E2/3

x 1 3z 5 0

y 2 2z 5 12

(fent z = k)

x 5 23ky 5

12

1 2kz 5 k

6> Discuteix segons els valors de m, i resol-los quan sigui possible, els sistemes següents:

a)

x 1 y 1 z 5 2

2x 1 y 2 z 5 3

3x 1 2y 1 mz 5 5

b)

x 1 y 1 z 5 2

2x 1 y 2 z 5 3

3x 1 2y 5 m c)

x 1 y 5 0

2x 1 y 2 z 5 0

3x 1 2y 1 mz 5 1

R: a) Si m ? 0: x 5 1, y 5 1, z 5 0. Si m 5 0: x 5 1 1 2k, y 5 1 2 3k, z 5 k. b) Si m ? 5: incompatible. Si m 5 5: x 5 1 1 2k, y 5 1 2 3k, z 5 k.

c) Si m 5 −1: incompatible. Si m ? 21: x 5 1

(m 1 1), y 5 2

1(m 1 1)

, z 5 1

(m 1 1).



ACTIVITATS

EXEMPLE 7

j 5.7 Sistemes homogenis

Són sistemes de la forma

a11

x 1 a12

y 1 a13

z 5 0

a21

x 1 a22

y 1 a23

z 5 0

a31

x 1 a32

y 1 a33

z 5 0

; això és, tots els termes indepen-

dents són nuls.

• Aquests sistemes sempre són compatibles, ja que de segur que admeten la solució x 5 0, y 5 0 y z 5 0 que, com que és òbvia, es qualifi ca com a solució trivial.

• Quan s’anul·la alguna equació, el sistema és compatible indeterminat. Per tant, té infi nites solucions.

Resol els sistemes homogenis:

a)

2x 1 3y 2 z 5 0

2y 2 3z 5 0

2x 1 z 5 0

b)

2x 2 y 1 3z 5 0

y 1 3z 5 0

22x 1 2y 5 0

c)

2x 2 y 1 3z 5 0

y 2 z 5 0

2x 1 y 2 mz 5 0

R: Evidentement, tots dos sistemes tenen la solució x 5 0, y 5 0 i z 5 0. Veiem si en tenen cap més.

a) Operem per Gauss:

2x 1 3y 2 z 5 0

2y 2 3z 5 0

2x 1 z 5 0

E3 1 2E1

2x 1 3y 2 z 5 0

2y 2 3z 5 0

6y 2 z 5 0

E3 2 3E2

2x 1 3y 2 z 5 0

2y 2 3z 5 0

8z 5 0

l’única solució de la qual és z 5 0, y 5 0 i x 5 0.

b) Si fem transformacions elementals tenim:

2x 2 y 1 3z 5 0

y 1 3z 5 0

22x 1 2y 5 0

E3 1 E1

2x 2 y 1 3z 5 0

y 1 3z 5 0

y 1 3z 5 0

E3 2 E2

2x 2 y 1 3z 5 0

y 1 3z 5 0

0 5 0

Aquest darrer sistema és indeterminat: 2x 2 y 5 23z

y 5 23z. Les solucions són:

x 5 23ky 5 23kz 5 k

c) Les possibilitats de solució dependran del valor que tingui m:

2x 2 y 1 3z 5 0

y 2 z 5 0

2x 1 y 2 mz 5 0

E3 2 E1

2x 2 y 1 3z 5 0

y 2 z 5 0

2y 2 (m 1 3)z 5 0

E3 2 2E2

2x 2 y 1 3z 5 0

y 2 z 5 0

2(m 1 1)z 5 0

Aquest últim sistema és indeterminat quan m 5 21. En aquest cas les seves solucions són: x 5 2k, y 5 k, z 5 k.

7> Esbrina la solució dels sistemes homogenis següents:

a)

2x 1 y 2 2z 5 0

4x 1 y 2 3z 5 0

6x 1 5z 5 0

b)

2x 1 2z 5 0

x 2 3y 2 z 5 0

3x 1 3y 1 5z 5 0

c)

x 2 y 1 z 5 0

x 2 3y 2 z 5 0

3x 1 my 1 z 5 0

R: a) x 5 y 5 z 5 0 b) x 5 2k, y 5 22k3

, z 5 k c) Si m ? 25: x 5 y 5 z 5 0. Si m 5 25: x 5 22k, y 5 2k, z 5 k.



EXEMPLE 8

ACTIVITATS

Resol el sistema: y x

x y

5

5

2

2

6

21 2

1

1

⎧⎨⎩

.

Sustituïm la y aïllada de la primera equació en la segona:

x2 1 21 5 2(x2 1 6) x2 1 21 5 2x2 1 12 x2 5 9 x 5 63

Per a ambdós valors de x, tenim: y 5 9 1 6 5 15.

Les solucions són: (23, 15) i (3, 15).

En la Figura 5.6. hi ha la interpretació gràfi ca.

Un sistema en el qual alguna de les equacions que el formen no és lineal ja té la con-dició de no lineal. Per a resolre’l, se sol fer servir el mètode de substitució; encara que el d’igualació també pot ser molt efectiu.

Normalment, s’utilitza la traducció gràfi ca d’aquests sistemes per a interpretar els resul-tats d’una manera aclaridora. Les equacions que entren a formar part d’un sistema no lineal són de qualsevol tipus i grau.

Per exemple, per a resoldre el sistema 2 2 2

2 1 2

x y

y x

1 2

2 1

5

5( )

⎧⎨⎩

, igualem el primer membre de

la primera equació amb el segon de l’altra i obtenim 2x 1 2 5 (x 1 1)2, que sols depèn de la incògnita x:

2x 1 2 5 x2 1 2x 1 1 x2 5 1 x 5 61

Si substituïm aquests valors en la primera equació, y 5 2x 1 4, s’obté: per a x 5 1, y 5 6; i per a x 5 21, y 5 2.

Observa que substituint la y aïllada en la segona equació es verifi ca igualment.

Gràfi cament es veu el paper dels punts solució (1, 6) i (21, 2).

j 5.8 Sistemes no lineals

2

(–3, 15)

x

y

3–3

14(3, 15)

y=x2+6

(1, 6)

–1

y–2=(x+1)2

(–1, 2)

1

6

x

y

Fig. 5.5.

Fig. 5.6.

8> Esbrina la solució de: y x

x y

2 2 160

8

1

2

5

5

⎧⎨⎩

.

R: x 5 24, y 5 212; x 5 12, y 5 4.



ACTIVITATS

EXEMPLE 9

j 5.9 Sistemes d’inequacions lineals amb una incògnita

Un sistema d’inequacions lineals és de la forma: a b

a x b

x

´ ´ 0

1 $

1 $

0⎧⎨⎩⎪

La solució d’aquests sistemes s’obté resolent separadament cadascuna de les inequa-cions que el componen i esbrinant els valors comuns a les solucions esbrinades.

El nombre d’inequacions que poden presentar-se és qualsevol nombre més gran que dos o igual a dos.

Així, per exemple, per a esbrinar el conjunt solució del sistema x

x

1 ,

2 $

4

1 2 3

1⎧⎨⎩⎪

• Resolem la primera inequació: x 1 4 , 1 x , 1 2 4 x , 23 x (2 , 2 3), és a dir S

1 5 (2 , 2 3)

• La segona ens dóna: 1 2 2x � 3 1 2 3 � 2x 22� 2x x� 21 x (2 , 2 1]

és a dir S2 5 (2 , 2 1]

Per tant, la solució d’ambdues inequacions és S 5 (2 , 2 3) (2 , 2 1] 5 (2 , 2 3)

Gràfi cament:

Resol i representa gràfi cament les solucions del sistema:

2 1 1

2

21

0

x

x

x

1 2

2$2

$

>⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

• La inequació 2x 1 1 . 21 2x . 22 x . 21, té com a solució el conjunt S1 5 (21, 1 ).

• La inequació 1 22

22 4

2$2 2 $2 #

xx x , o S

2 5 (2 , 4].

• La inequació x � 0 són els nombres reals positius S3 5 [0, 1 ).

Llavors, la solució del sistema és: S 5 S1 S

2 S

3 5 [0, 4].

9> Esbrina el conjunt de solucions del sistema 2 3 5

5 7

x

x

1 ,

2 ,

⎧⎨⎩⎪

.

R: a) (2 2, 1).

1 20–2 –1–3–5 –4S2

S1S

Fig. 5.7.

S2S1

S3

431 20–2 –1

Fig. 5.8.



ACTIVITATS

EXEMPLE 10

Esbrina la solució gràfi ca del sistema

2 4

2 8

x y

x y

1 .

2 ,

⎧⎨⎩⎪

Dels punts P(1, 2), Q(4, 1), R(6, 2) i S(2, 2 4) indica els que siguin solució.

Per a esbrinar el conjunt de solucions de 2x 1 y . 4, representem la recta 2x 1 y 5 4, la qual té a (0, 4) i (2, 0) com a punts. El conjunt de solucions de 2x 1 y . 4 és el semiplà a la dreta de la recta.Per a la segona inequació, x 2 2y , 8, representem x 2 2y 5 8, que té per punts (0, 2 4) i (8, 0).El conjunt de solucions de x 2 2y , 8 és el semiplà superior.La solució del sistema és la porció de pla comú als semiplans indicats.A aquesta regió pertanyen els punts Q i R donats.

j 5.10 Sistemes d’inequacions lineals amb dues incògnites

Són sistemes de la forma a x b y c

a x b y c1 1 1

2 2 2

1 ,

1 ,

⎧⎨⎪

⎩⎪

El signe , pot ser substituït per ., # o $.

Un punt (x0, y

0) és solució del sistema si ho és de cadascuna de les inequacions.

El conjunt de solucions és donat per la regió del pla comú a les regions solució de cadascuna de les inequacions. Per tant, s’ha de resoldre cada inequació del sistema se-paradament i tot seguit esbrinar la regió del pla comú a totes aquestes inequacions.

10> Esbrina la solució gràfica del sistema 2 x y 1

5 x 10 y 30

2 .

1 #

⎧⎨⎩⎪

Fig. 5.9.

–4

2 x

y

8

2x + y > 4

x – 2y < 8

4

QR

S

Aplicacions geomètriques

Hem vist que la solució d’un sistema d’inequacions lineals amb dues incògnites és una regió del pla limitada per rectes. En sentit invers, qualsevol regió del pla amb vores rectilínies pot expressar-se mitjançant inequacions lineals amb dues variables.Per exemple, els punts del pla que pertanyen al primer quadrant es caracteritzen per-què les coordenades són positives. Això és, (x, y) és un punt del primer quadrant si x . 0 i y . 0. Per tant, el primer quadrant resta descrit com la solució del siste-

ma:

x . 0

y . 0.

D’una manera anàloga, els punts del rectangle acolorit és descrit algebraicament pel

sistema:

1 # x #4

1 # y # 3.

Finalment, el semiplà situat per davall de la bisectriu del segon quadrant (l’equació de la qual és y 5 2x x 1 y 50) és donat per la inequació x 1 y ,0. Fig. 5.10.

2

4

y

–2–1

3

1

–2

x–1 5421 3


108 SISTEMES D’EQUACIONS I SISTEMES D’INEQUACIONS05

Problemes resolts

Tipus I. Sistemes lineals amb dues incògnites

1> Donat el sistema

xy

xy

21

21

2

1

42

11

21

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

, resol-lo per

reducció i gràficament.

R: Treiem denominadors i ordenem:

x 2 1 1 4y 5 8

2 2 1 2 x 5 2y 2 2

x 1 4y 5 9

x 1 2y 5 3

Restem a la primera equació la segona, i queda:

2y 5 6

x 1 2y 5 3

y 5 3

x 1 2y 5 3

i per tant x 5 3 2 6 5 23. La solució és x 5 23, y 5 3. Per a resoldre’l gràficament representem les rectes

corresponents a les equacions. Dos punts de la recta x 1 4y 5 9 són A(1, 2) i

B(5, 1). De la recta x 1 2y 5 3 són els punts P(1, 1) i Q(3, 0). Ambdues rectes es tallen en el punt (23, 3), que

n’és la solució.

2> Esbrina el valor d’a perquè el sistema

2 1

2

1 2

xy

x y

ax y

34

2 2 3

1

41

5

5

5

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

sigui compatible.

R: Resolem per substitució el sistema format per les dues primeres equacions, aïllem la incògnita x en la primera i substituïm en la segona:

2 1

2

2

2 2

xy

x y

x y

y y3

4

2 2 3

3 12

2 3 12 2 3

5

5

5

5( )

x y

y

5 5 5

5

3 12 327

412

33

4

4 27

2 2

yy527

4

Perquè el sistema tingui solució, aquests valors han de complir la tercera equació.

a a33

4

1

4

27

41

33

41

27

16

43

161 ? 2 2 2 25 5 5

a55 5−43

16

33

4

43

132: 2

Tipus II. Sistemes lineals amb tres incògnites

3> Esbrina la solució del sistema

x y z

x y z

x z

2 1

2 2

2 1

2 8

2 2 3

0

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

R: Ho resolem pel mètode de Gauss. Per a això:

(1) Eliminem la incògnita x en la segona i en la tercera equació, sumem la primera a aquestes dues, en el primer cas, multiplicada prèviament per 22 i resulta:

E E

E E

x y z

y z

y z

2 2 1

3 1

2 8

3 4 13

2 2 8

2

1

2 1

2 2

2 1

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(2) En el sistema obtingut hem de suprimir una in-cògnita entre la segona i la tercera equació, per a la qual cosa sumem a aquesta darrera multipli-cada per 3, la segona per 2, i queda:

3 3 2 2

2 8

3 4 13

2 2E E

x y z

y z

z1

2 1

2 2

2

5

5

5−

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(3) De la tercera equació es dedueix z 5 1; amb aquest valor de z en la segona equació queda:

E2: 3y 2 4 ? 1 5 213 3y 5 29 y 5 23 I si substituïm ambdós valors en la primera

equació: E1: x 2 2 ? (23) 1 1 5 8 x 5 1 La solució del sistema és: x 5 1, y 5 23, z 5 1.

4> Discuteix i resol segons els diferents valors d’a el sistema següent:

2x 1 2y 2 z 5 0

x 1 y 1 2z 5 a3x 2 3y 1 az 5 a

R: Per a discutir-lo apliquem el mètode de Gauss:

2x 1 2y 2 z 5 0

x 1 y 1 2z 5 a3x 2 3y 1 az 5 a

E2 1 E1E3 1 3E1

2x 1 2y 2 z 5 0

3y 1 z 5 a3y 1 (a 2 3)z 5 a

3

x

y

(–3, 3)

x + 2y = 3

x + 4y = 9

–3Fig. 5.11.


10905SISTEMES D’EQUACIONS I SISTEMES D’INEQUACIONS

Problemes resolts

E3 2 E2

2x 1 2y 2 z 5 0

3y 1 z 5 a(a 2 4)z 5 0

Si observem la tercera equació tenim: Si a ? 4, E3 és (a 2 4)z 5 0 amb a 2 4 ? 0; per

tant, el sistema té solució única, que és aquesta:

z 5 0, y 5 a3, x 5

2a3

Si a 5 4, E3 queda 0z 5 0; per tant, el sistema és compatible indeterminat. En aquest cas el sistema, que resulta homogeni, queda:

2x 1 2y 2 z 5 0

3y 1 z 5 0

x 5 2y 2 zz 5 2 3y

x 5 5ty 5 tz 5 2 3t

Dues d’aquestes solucions són: (0, 0, 0) i (25, 21, 3).

5> Considera el sistema d’equacions depenents del pa-ràmetre real a:

ax 1 y 1 z 5 1

x 1 ay 1 z 5 ax 1 y 1 az 5 a2

a) Discuteix el sistema segons els valors d’a.b) Resol el sistema per a a 5 21.

R: a) Si apliquem el mètode de Gauss tenim:

ax 1 y 1 z 5 1

x 1 ay 1 z 5 ax 1 y 1 az 5 a2

E2 2 E1:

E3 2 aE1:

ax 1 y 1 z 5 1

(1 2 a)x 1 (a 2 1)y 5 a 2 1

(1 2 a2)x 1 (1 2 a)y 5 a2 2 a

E3 1 E2:

ax 1 y 1 z 5 1

(1 2 a)x 1 (a 2 1)y 5 a 2 1

(2 2 a 2 a2 )x 5 a2 2 1

ax 1 y 1 z 5 1

(1 2 a)x 1 (a 2 1)y 5 a 2 1

2(a 2 1)(a 1 2)x 5 (a 2 1)(a 1 1)

A partir d’E3 es dedueix: Si a ? 1 i a ? 22, el coeficient de la incògnita

x és distint de 0 i, en conseqüència, el sistema serà compatible determinat.

Si a 5 1, l’equació queda 0 5 0. En aquest cas el sistema serà compatible indeterminat. (A més, pots observar que les tres equacions són idènti-ques).

Si a 5 22, la E3 queda 0x 5 3: el sistema serà incompatible.

b) Per a a 5 21, el sistema és

2x 1 y 1 z 5 1

x 2 y 1 z 5 2 1

x 1 y 2 z 5 1

E2 1 E1

E3 1 E1

2x 1 y 1 z 5 1

2z 5 0

2y 5 2

la solució del qual és: x 5 0; y 5 1; z 5 0.

Tipus III. Sistemes no lineals

6> Resol el sistema y x

y x

5

5 2 i representa gràficament

les solucions.

R: El resolem per igualació: y x

y x

5

5 2 x x5 2

x 5 x4 x4 2 x 5 0 x (x3 2 1) 5 0 x 5 0, x 5 1.

Per a x 5 0, y 5 0; per a x 5 1, y 5 1. És a dir, els punts solució són (0, 0) i (1, 1).

7> Resol: 2 3

02

x y

xy y

1

2

5

5

⎧⎨⎩

R: Aïllem y en la primera equació i substituïm en la segona:

y x

x x x

5

5

3 2

3 2 3 2 02

2

2 2 2( ) ( )

⎧⎨⎩

y x

x x x x

5

5

3 2

3 2 9 4 12 02 2

2

2 2 1 2( )

⎧⎨⎩

x x 52 5 3 02

y x53 22

2 1

⎧⎨⎩

La segona equació, 2x2 2 5x 1 3 5 0, ens dóna com a

solucions x1 5 1 i x

2 5

64 5

32, corresponent per a la

incògnita y:

y1 5 3 2 2 ? 1 5 1; y

2 5 3 2 2 ?

32 5 0.

Fig. 5.12.

(1, 1)1

y=x2

1 x

y

(0, 0)

y= x



Problemes resolts

Tipus IV. Aplicacions i problemes de sistemes

8> Es barregen dos tipus de llavors de gira-sol, de 6,6 i 8,7 €/kg, respectivament, i s’obtenen 200 kg. En treure’s perden un 12 % del pes, i es ven el conjunt a 9,6 €/kg. Quina quantitat de cada classe de lla-vors hi havia en un principi si el valor de la venda ha estat el mateix?

R: Són x i y els quilos originaris de cada tipus de llavor. Ens diuen que x 1 y 5 200. A més, en perdre’s un 12 % 5 0,12 de pes, ens que-

da 0,88 per cada quilogram, en total 200 ? 0,88 55 176 kg.

El valor d’aquestes llavors és: 176 ? 9,6 5 1689,6 €. El valor inicial era 6,6x 1 8,7y €. Com que són iguals: 6,6x 1 8,7y 5 1 689,6 €. S’obté el sistema següent, que resoldrem per subs-

titució:

x y

x y

1

1

5

5

200

6 6 8 7 1689 6, , ,

⎧⎨⎩

y x

x y

5

5

200

6 6 8 7 1689 6

2

1, , ,

y x

x x

5⎧⎨⎩

200

6 6 8 7 200 1689 6

2

1 2, , ( ) ,5

y x

x x

5

5

200

6 6 8 7 1689 6 1740

2

2 2, , ,

⎧⎨⎩

y x

x

5

5

200

2 1 50 4

2

2 2, ,

⎧⎨⎩

x 5 550 4

2 124

y x52002

,

,

Es barrejaren, per tant, 24 kg d’una classe i y 5 200 2 24 5 176 kg de l’altra.

9> La suma de les dues xifres d’un nombre és 9. Si a aquest nombre li restem 45, el que obtenim és igual al nombre que resulta en canviar d’ordre els dígits de l’original. Quin és aquest nombre?

R: En el nostre sistema decimal, el nombre format pels dígits abc simbolitza el valor 100 ? a 1 10 ? b 1 c. És a dir, cada xifra es multiplica per una potència de 10 amb exponent d’una unitat inferior al lloc que ocupa, comptat de dreta a esquerra:

Unitat, 100; desenes, 101; centenes, 102; milers, 103; etcètera.

Suposem que el nombre demanat és xy. Aleshores, xy 5 10x 1 y.

Si canviem l’ordre de les xifres s’obté el nombre yx, el valor del qual és yx 5 10y 1 x.

Hi ha les equacions:

x y

x y y x

1

1 2 1

5

5

9

10 45 10

⎧⎨⎩

x y

x y

1

2

5

5

9

9 9 45

x y

x y

1

2

5

5

9

5

Pel mètode de reducció, si sumem ambdues equa-cions:

x y

x

1 5

5

9

2 14

⎧⎨⎩

x 5 7 e y 5 2

El nombre inicial és 72.

10> A 120 alumnes de Batxillerat se’ls subvenciona una excursió amb destinació a Andalusia, Galícia i País Basc, amb un total de 8 922 €. S’assignen 60 € a cada alumne amb destinació a Andalusia, 72 € a cadascun que vagi al País Basc i 90 € als qui se’n van a Galícia. A més, el total d’alumnes que van a les dues primeres destinacions citades sobrepassa en 50 els qui se’n van a Galícia. Esbrina el nombre d’alumnes que visita cada lloc.

R: Designem x, y, z el nombre d’alumnes amb destina-ció Andalusia, País Basc i Galícia, respectivament. D’acord amb l’enunciat, tenim:

x 1 y 1 z 5 120, ja que són 120 el total d’excursio-nistes, 60x 1 72y 1 90z 5 8 922, segons l’aportació rebuda i x 1 y 5 z 1 50, en anar a Andalusia i al País Basc 50 alumnes més que els que viatgen a Galícia.

x 1 y1 z5120

60x 172y1 90z58922

x 1 y2 z550

Apliquem Gauss:

(1) Sumem a la segona equació la primera multipli-cada per 260 (E2 2 60E1), i a la tercera restem la primera (E3 2 E1):

E2260E1

E32E1

x 1 y1 z5120

12y130z51722

22z5− 70

(2) El sistema obtingut ja és escalonat, per la qual cosa podem esbrinar les incògnites sense fer més manipulacions.

(3) En la tercera equació z 5 270

22 5 35 alumnes; de

la segona: 12y 1 30 ? 35 5 1 722 12y 5 672 y 5 56 alumnes.

I la primera ens proporciona x 5 120 2 56 1 35 5 5 29 alumnes.

Per tant, es distribueixen en les diferents destina-cions: 29 alumnes a Andalusia, 56 alumnes al País Basc i 35 alumnes a Galícia.



Tipus I. Sistemes lineals amb dues incògnites

1> Esbrina tres parells de solucions de cadascuna de les equacions:

a) 1

21 2 3

2

2 41( ) )x y b

x y2 1 2

1

21 25 5

13

)cx y

2 144

25

R: a) 0, 25; 1, 29; 21, 21 b) 0, 0; 1, 2; 21, 22c) 3, 8; 23, 0; 6, 12

2> Resol per igualació:

a) x y

x

1 2

2

2 2

3 y 5

5

5

⎧⎨⎩

b)

x yy y

xy

1 12 1

2

1

21

21

5

5

R: a) 87

, 211

7 b) 4, 1

3> Resol per substitució:

a) 2 3 2

6 1

x y

x y

2

2

5

5 b)

21

21

x yy

x yx

12 1

22

5

5

R: a) 116

, 258

b) 45

, 25

4> Resol per reducció:

a)

x y

xy

2 33

31

1

2 2

5

5 b)

x y

x y

1

2

1

30

11

2

1 2

5

22

315

R: a) 43

, 7 b) 211, 16

5> Resol gràficament:

a) x y

x y

1

2

5

5

3

2 2 1 b)

x y

x y

2 2

1

5

5

2

0 2 0 5 0 1, , ,

6> Esbrina el valor dels paràmetres a i b en

5

23

1

3

x ay

x ay b

2 2

2 1

5

5 perquè x 5 2, y 5 3 sigui solució

del sistema.

R: 83

y 223

7> Afegeix a l’equació 6x 2 2y 5 23 una altra equació, de manera que resulti un sistema:

a) Determinat. b) Indeterminat. c) Incompa tible.

8> Discuteix i resol (si són compatibles) els dos siste-mes següents:

a)

2x 1 y 5 3

22x 1 y 5 26

26x 1 3y 5 23

b)

x 1 y 5 1

2x 2 y 5 20

3x 1 4y 5 23

R: a) Incompatible. b) x 5 7, y 5 26.

9> Resol els sistemes:

a)

x yx

y

x y

1

2

2

5

5

5

1

22 3

3

24

b)

x2 12yy

xy

x y

5

5

5

1

2

23

1

21

4

1 2

2 2

R: a) 2, 21; b) Incompatible.

10> Esbrina el valor del paràmetre m perquè els sistemes següents siguin compatibles.

a)

x 1 y 5 3

x 2 y 5 0

mx 1 3y 5 3

b)

x 1 y 5 1

2x 2 y 5 4

x 1 my 5 2

R: a) m 5 21 b) m 5 212

Tipus II. Sistemes lineals amb tres incògnites

11> Resol el sistema d’equacions següent:

x y z

x y z

x y z

1 1

1 2

2 1 2

5

5

5

1

2 3 4 9

1

R: 1, 1, 21.

12> Resol els sistemes següents:

a)

2 3

2 1

4 2 3 11

x y z

x y z

x y z

2 1

1 1

1 2

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

b)

x z

x y z

y z

1 2

2 1 1

2

2 1

3 0

3 5

5

5

5

c)

2 42

1

23

2 11

x yz

xz

y z

2 1

2

2

5

5

5

d)

xz

x yz

x yz

11

1 21

12

1

32

21

20

2

43

5

5

5

R: a) 2, 0, 21 b) 53

, 1, 243

c) 745

, 7710

, 225

d) 28, 563

, 133

Problemes proposats



Problemes proposats

13> Discuteix i resol (si són compatibles) els dos siste-mes següents:

a)

x 1 y 2 2z 5 0

2x 2 y 1 z 5 3

4x 1 y 2 3z 5 4

b)

x 1 y 2 2z 5 1

2x 2 y 1 4z 5 7

4x 1 y 5 9

R: a) Incompatible.

b) Compatible indeterminat: x 5 k; y 5 9 2 4k;

z 5 4 2 32

k.

14> Discuteix, d’acord amb els valors d’a, els sistemes següents:

a)

x 2 y 1 z 5 0

2x 1 2y 1 z 5 2

x 1 y 2 2z 5 a b)

ax 1 y 2 z 5 5

2x 1 y 1 az 5 21

2y 1 2z 5 a

Resol-los, si pot ser, quan a valgui 0.

R: a) Compatible per a qualsevol valor d’a. Si a 5 0:

x 5 27

; y 5 67

; z 5 47

.

b) Si a 5 21, incompatible. En qualsevol altre cas serà compatible determinat. Si a 5 0: x 5 211; y 5 10; z 5 5.

15> Discuteix i resol, d’acord amb els valors d’a, els sis-temes següents:

a)

2x 2 3y 1 z 5 0

x 2 ay 2 3z 5 0

5x 1 2y 2 z 5 0

b)

2x 2 3y 1 z 5 0

x 2 ay 2 3z 5 0

5x 1 2y 2 z 5 a

R: a) Si a ? 28, compatible determinat: solució tri-vial.

Si a 5 28, indeterminat: x 5 k; y 5 7k; z 5 19k. b) Si a ? 28, compatible determinat. La solu-

ció depèn del valor de a. Si a 5 28, incompa-tible.

16> Determina per a quin valor del paràmetre el sis-

tema següent:

x 2 3y 1 5z 5 2

2x 2 4y 1 2z 5 1

5x 2 11y 1 9z 5 l

és compatible

i, en aquest cas, resol-lo.

R: Si ? 4, incompatible. Si 5 4, indeterminat:

x 5 252

1 7k; y 5 232

1 4k; z 5 k.

Tipus III. Sistemes no lineals

17> Resol els sistemes següents:

a)

y x

xy

1

6

5

6

6

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪ b)

2 3 11

2

2 2x y

xy

1 5

5

⎧⎨⎩

c) y x x

x y

2 2

1

5

5

1

22 2

⎧⎨⎩

d) x y

x y

2

2

5

5

4

242 2

⎧⎨⎩

R: a) 3 i 2; 2 i 3 b) 62 i 61; 6 3 2/ , 6 8 3/

c) 1, 1; 215

, 275

d) 5, 1.

18> Les longituds de l’altura i la base d’un rectangle l’àrea del qual fa 20 cm2 són dos nombres enters consecutius. Quan fa d’alt?

R: 4

19> Esbrina les dimensions d’un rectangle de 110 m de perímetre i d’àrea 700 m2.

R: 20 3 35

Tipus IV. Aplicacions i problemes de sistemes

20> La suma de les edats d’una mare i la seva fi lla és 42 anys. Quan la fi lla tingui l’edat de la mare aques-ta suma serà 90. Quants anys té cadascuna en l’actualitat?

R: 33 i 9

21> Es barregen 5 dl d’essència amb 12 dl d’aigua de lavanda, i es paga pel perfum resultant 15,30 €. Si es barregès 1 dl de cada colonia es pagarien 2,28 €. Calcula el preu del decilitre de l’essència.

R: 1,72 €

22> S’alia un barrell d’or pur amb un altre de 75 % de puresa, i s’obté 1 kg d’aliatge, amb una puresa del 90 %. Quants grams de cada tipus de barrell s’han fet servir?

R: 600 i 400

23> Comprem en una botiga 6 kg de cafè i 3 d’arròs pels quals paguem 31,8 €. Un altre dia, per 1 kg de cafè i 10 d’arròs en paguem 20,5. Quant ens costarien 5 kg de cafè i 12 d’arròs?

R: 41,7 €



24> En dues gerres que tenen la mateixa capacitat hi ha repartits 100 l d’oli. La primera s’omplirà si hi

abocàrem les 23

del contingut de la segona, i

aquesta ho farà si transvasem les 34

de la primera.

Quants litres conté cada gerra?

R: 4007

i 3007

25> Un individu té 20 monedes, les unes són de 0,50 € i les altres d’1 €. Pot tenir un total de 16 €?

R: Sí: amb 8 i 12 monedes, respectivament.

26> La suma de las tres xifres d’un nombre és 8. Si es can-via la xifra de les desenes per la de centenes, el nombre que resulta és 90 unitats més gran. A més, la diferèn-cia entre la xifra d’unitats i el doble de la de desenes ens dóna la xifra de les centenes. Esbrina el nombre.

R: 125

27> Una empresa ha invertit 73 000 € en la compra d’ordinadors portàtils de tres classes A, B i C, el cost dels quals per unitat són de 2 400 €, 1 200 € i 1 000 €, respectivament. Si sabem que, en total, ha comprat 55 ordinadors i que la quantitat invertida en els de tipus A ha estat la mateixa que la inver-tida en els de tipus B, esbrina quants aparells ha comprat de cada classe.

R: 10, 20, 25

28> En els tres cursos d’una diplomatura hi ha matricu-lats un total de 350 alumnes. El nombre de matri-culats en el primer curs coincideix amb els de segon més el doble dels de tercer. Els alumnes matriculats en segon més el doble dels de primer superen en 250 el quíntuple dels de tercer. Calcula el nombre d’alumnes que hi ha matriculats en cada curs.

R: 200, 100, 50

29> En la fabricació d’una certa marca de xocolata s’ha fet servir llet, cacau i ametlles, i la proporció de llet és el doble que la de cacau i ametlles juntes. Els preus de cada quilogram dels ingredients són: llet, 0,8 €; cacau, 4 €; ametlles, 13 €. En un dia es fabriquen 9 000 kg d’aquesta xocolata, amb un cost total de 25 800 €. Quants quilos s’utilitzen de cada ingredient?

R: 6 000 kg, 2 000 kg y 1 000 kg, respectivament

30> La suma de les edats d’un pare i els seus dos fi lls és de 60 anys. D’aquí 10 anys, la suma de les edats dels fi lls serà l’actual del pare. Finalment, quan va néixer el petit, l’edat del pare era 8 ve-gades la del fi ll gran. Quants anys té cadascun dels fi lls?

R: 8 i 12

31> Per 24 litres de llet, 6 kg de pernil i 12 litres d’oli d’oliva hem pagat 156 €. Esbrina el preu unitari de cada article, si saps que 1 litre d’oli costa el tri-ple que un litre de llet i que 1 kg de pernil costa igual que 4 litres d’oli més 4 litres de llet.

R: Llet, 1 €/L; pernil, 16 €/kg; oli, 3 €/L

32> Un capità té tres companyies: una de suïssos, una altra de sueus i una tercera de saxons. En atacar una fortalesa promet una recompensa de 901 es-cuts que s’han de repartir de la manera següent: el soldat que pugi primer i tots els de la seva com-panyia rebran un escut; la resta de la recompensa es repartirà a parts iguals entre la resta de sol-dats.

Si sabem que el primer que puja és un suís, els de la resta de companyies reben mig escut; si el primer és sueu, la resta rep un terç d’escut, i si el primer és saxó, un quart d’escut, quants homes hi ha en cada companyia?

R: 265, 583, 689.

Tipus V. Sistemes d’inequacions

33> Esbrina en el pla la solució de:

a) x 2 2y# 2 1 b) x

y2

21 $

34> Resol i dóna el resultat en forma d’interval:

a)x

x

#

2 $

2

2 1 6

⎧⎨⎩⎪

b)x

x

$

2 .

2

2 3 5

⎧⎨⎩⎪

R: a) [ b) (4, 1 )

35> Resol els sistemes:

a)x y

x

2 #

$

2

2 6

⎧⎨⎩⎪

b)2 1 2

0

( )x y

y

2 2 #

$

⎧⎨⎩⎪

Problemas propuestos



Qüestions bàsiques

Aquestes 10 qüestions has de contestar-les, aproximada-ment, en 15 minuts. Si en falles més de dues, et recome-nem que estudiïs una mica més.

1> Esbrina tres solucions de l’equació 2x 1 5y 5 10 i fes-ne una representació gràfi ca.

2> Són equivalents els sistemes

x

y x

5

5

3

2

1

2

2

⎧

⎨⎪

⎩⎪ i

y

x y

2

2

1 3

2 2

5

5

⎧⎨⎩

?

3> Afegeix una equació al sistema x y

y

1

2

5

5

0

1

⎧⎨⎩

de

manera que sigui incompatible.

4> Resol el sistema x y

y x

2 2

1 2

2 1

1

5

5

⎧⎨⎩

.

5> Esbrina gràfi cament la solució del sistema

x y

x y

5

5

2 1

1

1

1

⎧⎨⎩

.

6> Raona si els sistemes

xy

x y

22

2

1

21

2 1

5

5 i

xy

x y

y x

22

2

2

1

21

2 1

3 1

5

5

5

són equivalents tenint en compte que saps que x 5 y 5 1 és la solució del primer.

7> Aplica el mètode de Gauss al sistema i resol

x 1 y 1 z 5 2

x 1 2y 1 3z 5 2

x 1 z 5 0

.

8> Quant ha de valer m perquè el sistema

x 2 y 1 z 5 1

x 1 2y 2 z 5 2

(m 2 3)z 5 3

sigui incompatible?

9> Esbrina en funció de z 5 k la solució del sistema

x 2 2z 5 1

2y 1 z 5 2.

10> Un terç dels CD que tinc a casa són deixats. Si són 10 la quarta part dels que són meus, quants CD tinc a casa?

R: 1. 0, 2; −5, 1; 5, 3.

2. No.

3. Per exemple: x 1 y 5 5.

4. −1, 0.

5. 0 i 1.

6. No.

7. 1, 2, −1.

8. 3.

9. x 5 1 1 2k; y 5 −2 1 k; z 5 k. 10. 60.

Qüestions per a investigar

1> En les pàgines que segueixen pots trobar una mica d’història dels sistemes d’equacions i de la resolu-ció per mètodes gràfi cs.

http://enebro.cnice.mecd.es/~jhep0004/Paginas/CarmenIn/historia.htm#Historia%20de%20los%20sistemas

http://enebro.cnice.mecd.es/~jhep0004/Paginas/CarmenIn/sistemas%20lineales.htm

2> En l’article «El Algoritmo de las operaciones ele-mentales y la matriz escalonada reducida: concep-tos milenarios y Orientales», la professora María Cristina Solaeche descriu com el mètode de Gauss té antecedents molt antics. En concret, hi cita els Llibres VII i VIII del Zhui Zhang Suan Shu (s. II aC). Allí és denominat regla del fan-chen. (Pots veure-ho en la página http://www.emis.de/journals/DM/v4/art5.pdf).


Documents

05 MATES CCSS Val · 94 05 SISTEMES D’EQUACIONS I SISTEMES D’INEQUACIONS Important La fórmula e 5 vt no és lineal en les variables v i t, perquè el seu producte fa que el terme