3

Waarom een ‘wiskundewijzer’?

Bij het maken van ‘onthoudboekjes’ voor de leerlingen van de lagere school,

groeide het idee om ook een ‘wiskundewijzer’ te maken voor de leerkrachten

en voor iedereen die op een of andere manier te maken heeft met wiskunde-

onderwijs in de basisschool: logopedisten, studenten lerarenopleiding ...

We hopen dat u deze wiskundewijzer nuttig kunt gebruiken:

- als u iets over de leerstof wiskunde wilt opzoeken;

- als u zich vragen stelt over de leerlijn bij een bepaald wiskundig onderdeel;

- als u tips zoekt bij de aanbreng van een onderdeel;

- als u een overzicht wilt krijgen over de leerstof wiskunde in de lagere school;

- als u gewoon even in een wiskundig werkje wilt ‘neuzen’ …

In deze wiskundewijzer vindt u de belangrijkste leerinhouden wiskunde

van de lagere school op een overzichtelijke manier weergegeven, met een

bijbehorend didactisch luik. Daarbij primeerde altijd de duidelijkheid en de

verstaanbaarheid voor de leerling van de lagere school.

Wat vind je in de wiskundewijzer?

- Er zijn 5 grote delen: getallenkennis,

bewerkingen, meten en metend

rekenen, meetkunde en toepassingen.

- Een overzicht van de inhouden

wiskunde die de leerlingen van

de basisschool moeten kennen.

- Een didactisch luik: tips over

de aanbreng van bepaalde

leerstofonderdelen, fasen in leerlijnen,

mogelijke materialen, veel gemaakte

fouten van leerlingen …

- Voorbeelden van oefeningen, met een

verwijzing naar het leerjaar waarin die

aan bod kunnen komen.

- Weetjes: extra kennis of achtergrondkennis

voor de leerkracht, maar vaak ook

‘wetenswaardigheden’ voor de leerlingen.

VOORWOORD

11

GETALLENKENNIS

42,487

tweeënveertig gehelen (eenheden) vierhonderdzevenentachtig duizendsten

of kortweg, tweeënveertig komma vierhonderdzevenentachtig

Md HM TM M HD TD D H T E , t h d

4 2 , 4 8 7

c Getallen afrondenEen getal afronden betekent dat we het getal benaderen door de

dichtstbijzijnde eenheid of het dichtstbijzijnde tiental, honderdtal, duizendtal …

Voorbeelden: Ik rond 825 af tot op een honderdtal.

-> 825 ligt tussen 800 en 900. 825 ligt het dichtst bij 800.

Ik rond 3,615 af tot op een geheel.

-> 3,615 ligt tussen 3 en 4. 3,615 ligt het dichtst bij 4.

Ligt een getal juist in het midden tussen twee eenheden, tientallen,

honderdtallen, duizendtallen …, dan ronden we het getal volgens de

afrondingsregel af naar het grootste van die twee getallen.

Voorbeelden: Ik rond 850 af tot op een honderdtal.

-> 850 ligt in het midden tussen 800 en 900.

Dan rond ik af naar boven, dus naar 900.

Ik rond 6,5 af tot op een geheel.

-> 6,5 ligt in het midden tussen 6 en 7.

In dat geval rond ik naar boven af, dus naar 7.

d Getallen voluit schrijven We schrijven een getal in één woord, tot en met het woord duizend. Na het

woord duizend volgt een spatie. De woorden miljoen, miljard, biljoen enz.

schrijven we los.

Vroeger werden deze groepjes van

3 cijfers gescheiden door een punt.

Om verwarring met het decimaal

teken op de rekenmachine te

vermijden, wordt deze notatie niet

langer gebruikt.

Om een getal makkelijk

te lezen, maak ik telkens

groepjes van 3 cijfers vanaf de

eenheden. Als ik het anderen

makkelijk wil maken, schrijf ik

een spatie tussen deze

groepjes.

11

3,615 af tot op een geheel.

5 ligt tussen 3 en 4. 3,615 ligt het dichtst bij 4.

het midden tussen twee eenheden, tientallen,

dtallen …, dan ronden we het getal volgens de

ar het grootste van die twee getallen.

850 af tot op een honderdtal.

igt in het midden tussen 800 en 900.

rond ik af naar boven, dus naar 900.

6,5 af tot op een geheel.

gt in het midden tussen 6 en 7.

at geval rond ik naar boven af, dus naar 7.

rijjvvveeeennl in één woord, tot en met het woord duizend. Na het

en spatie. De woorden miljoen, miljard, biljoen enz.

12

GETALLENKENNIS

Voorbeelden

3 drie

30 dertig

33 drieëndertig

300 driehonderd

333 driehonderddrieëndertig

3 000 drieduizend

3 330 drieduizend driehonderddertig

3 330 333 drie miljoen driehonderddertigduizend driehonderddrieëndertig

DIDACTISCH LUIK

a Beginnend getalbegripBij jonge kinderen brengen we hoeveelheden en rangordes eerst aan met

behulp van concreet materiaal en concrete verwoordingen. Pas daarna werken

we met natuurlijke getallen en meer abstract wiskundige verwoordingen.

Om inzicht te krijgen in hoeveelheden kun je de leerlingen verschillende

activiteiten laten uitvoeren: hoeveelheden vergelijken, hoeveelheden herkennen

en hoeveelheden vormen. X LES

� Hoeveelheden vergelijkenWe vergelijken twee of meer groepen voorwerpen en gebruiken een passende

verwoording (in opklimmende moeilijkheidsgraad):

1 veel/weinig, evenveel/niet evenveel, te veel/te weinig, over/te kort, meer/

minder, meest/minst

2 is meer dan, is minder dan, is gelijk aan, is niet gelijk aan

3 … meer dan …, … minder dan … bv. 1 meer dan 4, 2 minder dan 5

4 =, ≠ , < , > bv. 3 ≠ 6; 1 < 5; 4 > 2

Voorbeeld

Vooraan staan 5 kinderen en 3 stoeltjes. De leerlingen tellen beide groepen en

plaatsen het passende getalkaartje bij de groep: 5 en 3 .

Zijn er genoeg stoeltjes voor de kinderen? Een leerling vergelijkt via het leggen

van de 1-1-relatie: hij plaatst op elke stoel 1 kind.

Zijn er genoeg stoeltjes? Neen, er zijn te weinig stoeltjes.

Er zijn dus meer kinderen dan stoeltjes. 5 is meer dan 3; of 5 > 3.

Hoeveel meer? Er zijn 2 kinderen meer dan stoeltjes.

We verwoorden: 5 is niet evenveel als 3.

5 is meer dan 3.

5 is 2 meer dan 3.

We schrijven: 5 ≠ 3 en 5 > 3

44

INHOUDSTAFEL

VOORWOORD 3

GETALLENKENNIS

1 Tiendelige getallen 9

a De Arabische cijfers komen uit Indië 9

b Het grondtal 10 9

c Getallen afronden 11

d Getallen voluit schrijven 11

2 Negatieve getallen 26

3 Romeinse cijfers en andere getallensystemen 29

a Romeinse cijfers 29

b Additief versus positiesysteem 30

4 Breuken 32

a Breuken benoemen, lezen en noteren 32

b Gelijkwaardige breuken zoeken 33

c Breuken gelijknamig maken 34

d Breuken vergelijken 34

5 Bewerkingen met breuken 41

a Optellen en aftrekken met breuken 41

b Vermenigvuldigen met breuken 41

c Delen met breuken 42

6 Percenten 44

a Percentbegrip 44

b Berekeningswijze 44

c Relatie breuken, percenten en kommagetallen 46

7 Delers en veelvouden 48

a Begrippen 48

b Kenmerken van deelbaarheid 49

c Grootste gemeenschappelijke deler (ggd)

en kleinste gemeenschappelijk veelvoud (kgv) 49

BEWERKINGEN

1 Inleiding op de bewerkingen 53

1.1 Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen 53

a Optellen betekent: 53

b Aftrekken betekent: 53

c Vermenigvuldigen betekent: 53

d Delen betekent: 54

1.2 Gebruikte terminologie 55

5

INHOUDSTAFEL

1.3 Rekenwijzen 56

a Hoofdrekenen 56

b Cijferen 57

c Schattend rekenen 58

d Rekenen met de zakrekenmachine 58

1.4 Volgorde van de bewerkingen 58

2 Hoofdrekenen 60

2.1 Elementaire rekenfeiten 60

a Duiding: parate kennis – automatiseren 60

b Optellingen en aftrekkingen tot 20 (1e en 2e leerjaar) 61

c Maaltafels en deeltafels tot 10 (2e en 3e leerjaar) 62

2.2 Standaardprocedures 63

a Optellen 63

b Aftrekken 64

c Vermenigvuldigen 64

d Delen 65

2.3 Flexibel rekenen: methodes 66

a Optellen en aftrekken 66

b Vermenigvuldigen en delen 68

2.4 Nog enkele rekenvoordelen 69

a Delen door 4 / delen door 8 69

b Vermenigvuldigen met 4 / vermenigvuldigen met 8 70

c Vermenigvuldigen met 10 / 100 / 1 000 70

d Delen door 10 / 100 / 1 000 70

e Vermenigvuldigen met 5 / 50 / 25 70

f Delen door 5 / 50 / 25 70

g Verhoudingsdeling 70

2.5 Hoofdrekenen met kommagetallen 71

a Vermenigvuldigen door minstens één factor

om te zetten in een breuk 71

b Vermenigvuldigen met 0,1 / 0,01 / 0,001 72

c Vermenigvuldigen met 0,5 / 0,25 72

d Delen door 0,1 / 0,01 / 0,001 72

e Delen door 0,5 / 0,25 72

3 Cijferen 74

3.1 Gebruikte terminologie 74

a Optellen 74

b Aftrekken 74

c Vermenigvuldigen 74

d Delen 75

6

INHOUDSTAFEL

3.2 Cijferalgoritmes 75

a Optellen 75

b Aftrekken 76

c Vermenigvuldigen 77

d Delen 79

3.3 Controlestrategieën 86

a Schatten 86

b Het resultaat toetsen aan de context 87

c De omgekeerde bewerking uitvoeren 87

d Het gebruik van een rekenmachine als

controlemechanisme 87

e De negenproef 88

4 Schattend rekenen 90

a Wanneer ga je schattend rekenen? 90

b Schattend optellen en aftrekken 92

c Schattend vermenigvuldigen en delen 92

d Schattend rekenen met onvolledige gegevens 93

e Schatten: een rekenkant en een meetkant 93

5 Rekenen met de rekenmachine 95

METEN EN METEND REKENEN

1 Grootheden, meten, maatgetallen, maateenheden, maten 99

a Grootheden en meten 99

b Maatgetallen, maateenheden en maten 99

c Directe en indirecte metingen 100

2 Standaardeenheden 109

a Eenheden voor lengte, inhoud, gewicht 110

b Eenheden voor oppervlakte 110

c Volume 111

d Verband tussen inhoudsmaten en volumematen 111

e Tijd 111

f Geldwaarden 113

g Temperatuur 114

h Hoekgrootte 114

i Herleidingen tussen maateenheden 115

3 Meetinstrumenten 122

a Voor het meten van lengtes 122

b Voor het meten van inhouden 124

c Voor het meten van gewichten 124

d Voor het meten van een tijd 125

INHOUDSTAFEL

e Voor het meten van een temperatuur 132

f Voor het meten van een hoekgrootte 132

4 Omtrek, oppervlakte en volume 142

a Begrippen 142

b Omtrek bepalen 147

c Oppervlakte bepalen 148

d Volume bepalen 156

MEETKUNDE

1 Vormleer 161

1.1 Punten, rechten, lijnen en vlakken 161

1.2 Hoeken 163

1.3 Vlakke figuren 165

a Veelhoeken en niet-veelhoeken 165

b Regelmatige veelhoeken 167

c Diagonalen 169

d Een cirkel 170

1.4 Driehoeken 170

a Indeling volgens de hoeken 170

b Indeling volgens de zijden 171

c Indeling volgens de hoeken en de zijden 171

1.5 Vierhoeken 174

a Indeling vierhoeken 174

b Eigenschappen van de diagonalen van een vierhoek 176

1.6 Ruimtefiguren 179

2 Meetkundige relaties 188

2.1 Evenwijdigheid en loodrechte stand 188

a Begrippen 188

b Evenwijdigheid en loodrechte stand aan de hand van

de geodriehoek 189

2.2 Spiegelingen, symmetrie, gelijkvormigheid 192

a Gelijkvormigheid 192

b Spiegelingen 193

c Symmetrie 193

3 Ruimtelijke oriëntatie 197

3.1 Van ruimtelijke oriëntatie naar ruimtelijk inzicht 197

a Direct en indirect waarnemen 197

b (Mentaal) innemen van een standpunt 198

c Het beschrijven van een object 198

d Zich een mentaal beeld vormen en ermee handelen 199

7

8

INHOUDSTAFEL

3.2 Activiteiten voor ruimtelijke oriëntatie 199

a Beschrijven van positie en richting 200

b Innemen van een standpunt 201

c Omzettingen van dimensies 202

d Blokkenbouwsels 203

e Kijklijnen 205

f Schaduwbeelden 206

TOEPASSINGEN

1 Wiskundige toepassingen 209

a Wiskundige toepassingen in verschillende vormen 209

b Stappenplan 210

2 Heuristieken 212

a Gebruik concreet materiaal 213

b Maak een tekening 213

c Maak een schema 214

d Maak een tabel 214

e Vertel het probleem met je eigen woorden 215

f Dramatiseer (speel) het probleem 216

g Toon de noodzakelijke en/of de overbodige

gegevens 216

h Gebruik je ervaringskennis 216

i Zoek de ontbrekende informatie op 216

j Toon wat gegeven en wat gevraagd is 217

k Schrap in een vergelijking de gelijke gegevens 217

l Splits het probleem in deelproblemen 217

m Probeer verstandig uit 218

n Zoek een patroon in de gegevens 218

o Plaats de gegevens in een bepaalde volgorde 218

p Werk met eenvoudigere getallen 219

q Houd met een gegeven voorlopig geen rekening 219

3 Verschillende types vraagstukken 219

a Enkelvoudige en samengestelde vraagstukken 219

b Typevraagstukken 221

DIDACTISCHE MUSTS IN WISKUNDELESSEN 242

INDEX 243

8

9

GETALLENKENNIS

1 TIENDELIGE GETALLEN

Om getallen te schrijven, gebruiken we 10 cijfers, nl. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

en 9. Met die 10 cijfers kunnen we een oneindig aantal getallen vormen.

Ons talstelsel is een positiestelsel. Dat betekent dat de waarde van een cijfer

in een getal bepaald wordt door zijn plaats (of positie) in dat getal.

Voorbeeld: In het getal 313 staat 2 keer het cijfer 3. Het cijfer 3 links duidt

3 honderdtallen aan, het cijfer 3 rechts duidt 3 eenheden aan.

a De Arabische cijfers komen uit IndiëOmstreeks de 9e eeuw hadden de Indiërs een getallensysteem dat veel

gemeen heeft met het onze. Het systeem bestond uit 10 symbolen, inclusief

het symbool 0. Toen de Arabieren Indië bezetten, namen ze dat systeem over.

Via handelsreizigers kwam het Indische systeem in Europa terecht.

b Het grondtal 10Men zegt dat ons getallensysteem grondtal 10 heeft, omdat we altijd per

10 groeperen. We maken eerst groepjes van 10 eenheden, die we daarna

omruilen voor een tiental. Vervolgens maken we groepjes van 10 tientallen,

die we omruilen voor een honderdtal enz. De keuze voor het grondtal 10 lijkt

evident, vanwege ons aantal vingers.

Toch komen bij sommige volkeren andere

grondtallen voor, zoals 12 (tel je vingerkootjes

met de duim) en 20 (vingers en tenen).

Ook bij ons zien we soms andere grondtallen

verschijnen. Zo komen de getallen 12 en 60

voor bij het verdelen van de klok en leven ze

ook verder in bepaalde maateenheden (bv. een

dozijn).

In de loop van de

geschiedenis werden ook

talstelsels gebruikt met als

grondtal 12 en 20.

Een computer werkt met

een getallensysteem met

grondtal 2, het binair talstelsel.

10

GETALLENKENNIS

naam symbool waarde

… … …

duizendsten d 0,001

honderdsten h 0,01

tienden t 0,1

eenheden E 1

tientallen T 10

honderdtallen H 100

duizendtallen D 1 000

tienduizendtallen TD 10 000

honderdduizendtallen HD 100 000

miljoentallen M 1 000 000

tienmiljoentallen TM 10 000 000

honderdmiljoentallen HM 100 000 000

miljardtallen Md 1 000 000 000

… … …

Om de waarde van elk cijfer in een getal makkelijk te bepalen, noteren we het

getal in een positietabel.

Voorbeelden

Het getal 2 561 bestaat uit 2D, 5H, 6T en 1E, of 2 561 = 2D + 5H + 6T + 1E.

430 806 213

vierhonderddertig miljoen achthonderdenzesduizend tweehonderddertien

Md HM TM M HD TD D H T E , t h d

4 3 0 8 0 6 2 1 3

• Een miljard in het Engels is a milliard;

in het Amerikaans Engels spreekt men over a billion.

De Nederlandse term biljoen wordt

dan weer gebruikt voor 1 000 miljard!

• 1 googol = 10100 en wordt genoteerd

als een 1 gevolgd door 100 nullen.

Van deze grootheid is de naam

van de internetzoekmachine Google afgeleid.

11

GETALLENKENNIS

42,487

tweeënveertig gehelen (eenheden) vierhonderdzevenentachtig duizendsten

of kortweg, tweeënveertig komma vierhonderdzevenentachtig

Md HM TM M HD TD D H T E , t h d

4 2 , 4 8 7

c Getallen afrondenEen getal afronden betekent dat we het getal benaderen door de

dichtstbijzijnde eenheid of het dichtstbijzijnde tiental, honderdtal, duizendtal …

Voorbeelden: Ik rond 825 af tot op een honderdtal.

-> 825 ligt tussen 800 en 900. 825 ligt het dichtst bij 800.

Ik rond 3,615 af tot op een geheel.

-> 3,615 ligt tussen 3 en 4. 3,615 ligt het dichtst bij 4.

Ligt een getal juist in het midden tussen twee eenheden, tientallen,

honderdtallen, duizendtallen …, dan ronden we het getal volgens de

afrondingsregel af naar het grootste van die twee getallen.

Voorbeelden: Ik rond 850 af tot op een honderdtal.

-> 850 ligt in het midden tussen 800 en 900.

Dan rond ik af naar boven, dus naar 900.

Ik rond 6,5 af tot op een geheel.

-> 6,5 ligt in het midden tussen 6 en 7.

In dat geval rond ik naar boven af, dus naar 7.

d Getallen voluit schrijven We schrijven een getal in één woord, tot en met het woord duizend. Na het

woord duizend volgt een spatie. De woorden miljoen, miljard, biljoen enz.

schrijven we los.

Vroeger werden deze groepjes van

3 cijfers gescheiden door een punt.

Om verwarring met het decimaal

teken op de rekenmachine te

vermijden, wordt deze notatie niet

langer gebruikt.

Om een getal makkelijk

te lezen, maak ik telkens

groepjes van 3 cijfers vanaf de

eenheden. Als ik het anderen

makkelijk wil maken, schrijf ik

een spatie tussen deze

groepjes.

12

GETALLENKENNIS

Voorbeelden

3 drie

30 dertig

33 drieëndertig

300 driehonderd

333 driehonderddrieëndertig

3 000 drieduizend

3 330 drieduizend driehonderddertig

3 330 333 drie miljoen driehonderddertigduizend driehonderddrieëndertig

DIDACTISCH LUIK

a Beginnend getalbegripBij jonge kinderen brengen we hoeveelheden en rangordes eerst aan met

behulp van concreet materiaal en concrete verwoordingen. Pas daarna werken

we met natuurlijke getallen en meer abstract wiskundige verwoordingen.

Om inzicht te krijgen in hoeveelheden kun je de leerlingen verschillende

activiteiten laten uitvoeren: hoeveelheden vergelijken, hoeveelheden herkennen

en hoeveelheden vormen. X LES

� Hoeveelheden vergelijkenWe vergelijken twee of meer groepen voorwerpen en gebruiken een passende

verwoording (in opklimmende moeilijkheidsgraad):

1 veel/weinig, evenveel/niet evenveel, te veel/te weinig, over/te kort, meer/

minder, meest/minst

2 is meer dan, is minder dan, is gelijk aan, is niet gelijk aan

3 … meer dan …, … minder dan … bv. 1 meer dan 4, 2 minder dan 5

4 =, ≠ , < , > bv. 3 ≠ 6; 1 < 5; 4 > 2

Voorbeeld

Vooraan staan 5 kinderen en 3 stoeltjes. De leerlingen tellen beide groepen en

plaatsen het passende getalkaartje bij de groep: 5 en 3 .

Zijn er genoeg stoeltjes voor de kinderen? Een leerling vergelijkt via het leggen

van de 1-1-relatie: hij plaatst op elke stoel 1 kind.

Zijn er genoeg stoeltjes? Neen, er zijn te weinig stoeltjes.

Er zijn dus meer kinderen dan stoeltjes. 5 is meer dan 3; of 5 > 3.

Hoeveel meer? Er zijn 2 kinderen meer dan stoeltjes.

We verwoorden: 5 is niet evenveel als 3.

5 is meer dan 3.

5 is 2 meer dan 3.

We schrijven: 5 ≠ 3 en 5 > 3

13

GETALLENKENNIS

Om de symbolen < en > te introduceren,

kun je gebruik maken van het hapmonster.

Het monster hapt altijd in de richting van het

grootste aantal.

� Hoeveelheden herkennenVoorbeeld

Kleur alle klavertjesvier.

Wijs in de klas zaken aan

waarvan er precies 4 zijn:

4 ramen, 4 kinderen met

dezelfde voornaam,

4 prikborden …

� Hoeveelheden vormenVoorbeeld: Leg 7 kastanjes.

Teken 8 blokjes.

Vorm een kring met 4 leerlingen.

Bij het vormen van een hoeveelheid is het belangrijk dat de leerlingen inzien

dat de hoeveelheid niet afhangt van de plaats en de ordening in tijd en ruimte,

bv. 4 blokjes op een rij is evenveel als 4 gestapelde blokjes. Kinderen die

moeite hebben met het ‘conserveren’ kunnen zich hierdoor laten misleiden.

De leerlingen moeten ook inzien dat de hoeveelheid niet afhangt van bepaalde

eigenschappen van de dingen. Zo zijn 4 olifanten dezelfde hoeveelheid als

4 muizen. Ook hier laten kinderen met een gebrekkig conservatie-inzicht zich

vaak vangen.

� Rangorde bepalenWe werken eerst met concrete voorwerpen en gebruiken de verwoording

1 naast, voor, na, tussen, eerste, middelste, laatste, vorige, volgende,

voorlaatste, juist voor, juist na …

2 tweede, derde, tiende …

Enkele voorbeelden (in opklimmende moeilijkheidsgraad)

• Een rij met 5 soortgelijke voorwerpen, bijvoorbeeld 5 beertjes:

Toon de eerste beer, de middelste beer, de voorlaatste beer …

• Een rij met 5 diverse voorwerpen, bijvoorbeeld boek, etui, potlood, gum,

slijper:

Toon het tweede voorwerp, het vierde voorwerp, het voorlaatste voorwerp …

Leg het boek op de eerste plaats, het potlood op de laatste plaats, de gum

op de middelste plaats, het etui tussen het potlood en de gum …

• Trek (op een werkblad) een kring rond het eerste kindje, de middelste

slijper, het figuurtje juist na het tweede figuurtje …

••

• ••

2 < 3

14

GETALLENKENNIS

Om natuurlijke getallen te ordenen maken we vaak gebruik van de getallenlijn

(aan het bord). Om deze getallenlijn aan te brengen kunnen we eerst werken

met een levende getallenlijn (met kinderen).

Vijf leerlingen staan vooraan in klas (met hun gezicht naar het raam).

De leerkracht vraagt: Op welke plaats sta je?

- Ik ben de eerste. Ik sta vooraan.

- Ik ben de tweede. Ik sta juist na de eerste.

- Ik sta op de derde plaats. Ik ben de middelste.

- Ik ben de vierde. Ik ben de voorlaatste.

- Ik sta op de vijfde plaats. Ik ben de laatste.

In een volgende stap draaien de leerlingen zich 90°,

zodat ze naast elkaar staan i.p.v. achter elkaar.

� TellenBij tellen denken we vaak enkel aan tellen om een aantal te bepalen, zoals

‘er zijn 12 leerlingen in de klas’. Maar om tot deze al vergevorderde stap van

tellen te komen, moeten de leerlingen voorafgaande telvaardigheden onder de

knie hebben. We onderscheiden akoestisch tellen, synchroon tellen, resultatief

tellen, doortellen en terugtellen.

Akoestisch tellenTelrijtjes correct kunnen opzeggen, zoals een versje.

Synchroon tellenDe één-éénverbinding hanteren: terwijl de leerlingen de telnaam zeggen,

wijzen ze één afzonderlijk voorwerp aan. Het ene element mag niet sneller

verlopen dan het andere. Jonge kinderen maken hiertegen soms nog fouten en

spreken sneller dan ze de voorwerpen aanwijzen.

Resultatief tellenDe telrij gebruiken om een aantal te bepalen:

1, 2, 3, …, 7, 8. Er zitten 8 knikkers in de zak.

Er bestaan gradaties binnen dit resultatief tellen.

• Met manipuleren van voorwerpen: de te tellen voorwerpen worden één

per één verplaatst/gelegd.

Leg 3 blokjes op je bank.

Deel 5 kaarten uit aan je buur.

Stapel 4 schriften.

Geef 10 kaartjes aan je buur.

• Met aanraken van voorwerpen: de te tellen voorwerpen worden niet

verplaatst, maar wel aangeraakt.

Er liggen blokjes op de bank. De leerlingen nemen er in één greep een

15

GETALLENKENNIS

aantal uit. Ze tellen hoeveel er zijn door de blokjes één voor één aan te

raken.

De dagen van de weekkalender tellen door de hokjes telkens aan te raken.

• Met aanwijzen van voorwerpen: de te tellen voorwerpen worden niet

verplaatst, maar vanop afstand aangewezen.

Wijs 3 stoelen aan.

Wijs 2 leerlingen aan.

• Tellen met de ogen: de voorwerpen worden enkel nog aangekeken en niet

meer aangeraakt of aangewezen (handen op de rug).

• Tellen door inbeelden of voorstellen: niet-zichtbare personen of

voorwerpen tellen.

Hoeveel leden telt je gezin?

Bij het tellen om een aantal te bepalen kun je zeer verschillende oefeningen

aanbieden.

• Concrete gelijksoortige voorwerpen tellen,

bv. schriften, kastanjes, leerlingen tellen …

• Concrete ongelijksoortige voorwerpen tellen,

bv. dingen uit je schooletui: potloden, balpennen, gummen tellen …

• Getekende concrete voorwerpen op een werkblad tellen

• Gebeurtenissen tellen, bv. aantal tikken, aantal keer dat je een bepaald

woord hoort, de treden van de trap tellen door de trap af te lopen, het

aantal keren tellen dat een leerling touwtjespringt …

• …

Het is belangrijk dat leerlingen beseffen dat objecten, als ze in een bepaalde

structuur liggen, gemakkelijker te tellen zijn dan wanneer ze kriskras door

elkaar liggen.

Doortellen en terugtellen• Verder tellen vanaf een bepaald begingetal, bv. Tel eens verder vanaf 4.

• De telrij achteruit opzeggen: 10 … 9 … 8 …

• Tellen vanaf 0 met sprongen van 2 (de even getallen opnoemen)

• Tellen vanaf 1 met sprongen van 2 (de oneven getallen opnoemen)

• Terugtellen met sprongen van 2

• …

� Getallen kunnen lezen en schrijven De leerlingen moeten vertrouwd gemaakt worden met het symbool dat gebruikt

wordt om een getal aan te duiden. Dit houdt in dat ze het symbool 9 kunnen

lezen als ‘negen’, maar ook omgekeerd dat ze de klank ‘negen’ kunnen

omzetten in het symbool 9 . Ze moeten dit cijfer ook correct kunnen schrijven.

16

GETALLENKENNIS

In andere talen, zoals

het Frans en het Engels, is dat

niet zo! Zo is zesenveertig

in het Frans quarante-six en

in het Engels forty-six.

b Natuurlijke getallen• In het Nederlands is de leesvolgorde van getallen kleiner dan 100 de

omgekeerde van de schrijfvolgorde. Zo lezen we 46 als ‘zesenveertig’, maar

schrijven we eerst het cijfer 4. Als ondersteuning kun je de leerlingen het

cijfer dat ze eerst lezen, laten onderlijnen.

• Het gebruik van materiaal om getallen te leggen gaat steeds gepaard met

het verwoorden en het noteren van die getallen.

Voorbeeld: Ik leg 16. Ik schrijf ‘16’. Ik zeg ‘zestien’.

Geleidelijk aan valt de materiële voorstelling weg; de notatie en de

verwoording blijven. Uiteraard is het zinvol de leerlingen nog met de

materiële voorstelling te confronteren.

• Bij het aanbrengen van de getallen tot 100 laten we de leerlingen eerst goed

de tientallen verwoorden vooraleer we verfijnen tot getallen met tientallen

en eenheden. Dat kan bijvoorbeeld door getallenkaartjes te gebruiken met

resp. tientallen en eenheden.

Zo wordt 46 gevormd door 40 en 6.

Je neemt beide kaartjes en legt

het kaartje 6 op het kaartje 40

zodat het de 0 bedekt.

• Getallen komen voor in verschillende verschijningsvormen, afhankelijk van

de context.

getal als hoeveelheid 6 appels, 9 831 inwoners

getal als rangorde De wielrenner eindigde als zesde.

getal als code Mijn telefoonnummer is 03 111 22 33.

De code van mijn fietsslot is 251.

getal als verhouding 1 op de 5 boekentassen weegt te veel.

getal als maatgetal Bij zijn geboorte was Tiebe 53 cm lang.

• Om getallen van 1 tot 10 en getallen als 100 en 1 000 goed te kunnen

voorstellen, kun je ze linken aan concrete zaken:

17

GETALLENKENNIS

Bevestig

kaartjes aan de abacus

met de naam van

de rangen.

1 mond

2 benen

3 wielen van een driewieler

4 poten van een stoel

5 vingers aan elke hand

6 eieren in een doosje

7 dagen in de week

8 poten van een spin

…

een verzameling van 1 000 kroonkurkjes

� Natuurlijke getallen voorstellen met concreet materiaal

• MAB-materiaal (= Multibase Arithmetic Blocks)

1 000

‘groot blok’

duizendtal

100

‘plak’

honderdtal

10

‘staaf’

tiental

1

‘blokje’

eenheid

Een voordeel van MAB-materiaal is dat de onderlinge verhouding tussen de

rangen zichtbaar blijft, bv. een staaf kan 10 keer in een plak.

Om getallen te vormen met MAB-materiaal, leggen we

het bij voorkeur volgens de positietabel: in de volgorde

honderdtallen, tientallen, eenheden.

Voorbeeld: het getal 235 met MAB-materiaal

• Een (lus)abacusIn een (lus)abacus komt het positiestelsel mooi

tot uiting: een kraal (altijd even groot) heeft een

andere waarde naargelang de staaf waarop

hij zit. Zo kunnen 10 kralen op de staaf van de

eenheden omgeruild worden tegen 1 kraal op

de staaf van de tientallen.

18

GETALLENKENNIS

� Natuurlijke getallen schematisch voorstellen

• Getekend MAB-materiaal

100 10 1

honderdtal tiental eenheid

• Kwadraatbeelden

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

Door de groepering per 4 en de vaste schikking krijgen de leerlingen een

vast beeld van de verschillende hoeveelheden zonder die telkens te tellen.

Met deze kwadraatbeelden kun je ook de uitbreiding tot 100 visualiseren.

19

GETALLENKENNIS

• Honderdveld

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Het getal 0 kan eventueel toegevoegd worden boven het vakje 10.

De overgang van het ene vakje naar het andere gaat gepaard met

belangrijke inzichten in de getallen:

• vakje naar links: – 1

• vakje naar rechts: + 1

• vakje naar boven: – 10

• vakje naar onder: + 10

Via het honderdveld kun je de getalstructuur tot 100 inoefenen. Zo kan het

honderdveld een stevige ondersteuning bieden voor het tellen met sprongen

in combinatie met het optellen tot 100, zie bewerkingen (blz. 63-64)

(doorrekenmethode). Ook voor het aanbrengen van de tafels van

vermenigvuldiging kan het honderdveld nuttig zijn.

OEFENING

Tweede leerjaar

Kun je de puzzelstukken volledig maken?

36 … …

… 47 …

… … …

63 … … …

… …

… … … 86

… … 14

… … …

… … 34

20

GETALLENKENNIS

• Getallenlijn

• Getallenas

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Een getallenas moet minstens 2 getallen bevatten.

c Kommagetallen• Als ondersteuning laat je kommagetallen bij voorkeur op de uitgebreide

manier lezen.

0,7 = (0 gehelen) 7 tienden i.p.v. 0 komma 7

1,62 = 1 geheel 62 honderdsten i.p.v. 1 komma 62

• Na de komma mogen we na het laatste cijfer steeds nullen toevoegen.

Dat is interessant voor toepassingen waarbij we

- getallen vergelijken 1,4 en 1,05 1,40 > 1,05

- rekenen met kommagetallen 14,7 – 3,251 14,700 – 3,251

• Opgelet voor enkele veel voorkomende fouten:

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,10 Eén tiende meer dan 1,9 geeft 2!

0,7 < 0,12 want 7 < 12 0,70 > 0,12 want 70 > 12!

Kommagetallen voorstellen met concreet materiaal

• MAB-materiaal (= Multibase Arithmetic Blocks)

1

eenheid

1/10

tiende

1/100

honderdste

1/1 000

duizendste

Deze voorstelling kan voor sommige leerlingen verwarrend zijn: de grote kubus

die vroeger gebruikt werd om 1 000 voor te stellen, heeft nu plots de waarde 1.

21

GETALLENKENNIS

• Vierkantjes en strookjes

Gebruik een vierkant van bijvoorbeeld 1 dm² als eenheid. Laat de leerlingen

die in 10 gelijke stroken verdelen: elke strook stelt 1 tiende voor. Verdelen

we zo’n strook nog eens in 10 gelijke deeltjes, dan krijgen we vierkantjes

van 1 cm² die elk 1 honderdste voorstellen.

• Twee abaci

Rechts van de al bekende abacus plaatsen we een tweede abacus.

Daarop kunnen we de rangen van de tienden, honderdsten en duizendsten

aanduiden.

OEFENINGEN

Vierde leerjaar

Getallendictee

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

Getallen lezen

Lees deze getallen

voor aan elkaar.

Zet een kruisje bij

de getallen die juist

waren.

Ik lees, mijn buur controleert.

� 4 765

� 2 008

22

GETALLENKENNISVul aan.

9 876 ………

… T 6 T

… D 3 E … H 0 D

… E 2 H

Tel je mee? Het gaat per 1.

En nu met sprongen van 10!

996

Rangschik de getallen.

4 253 - 2 453 - 3 542

…………… < …………… < ……………

2 332 - 3 232 - 3 223

…………… > …………… > ……………

Getallenquiz

Ik ben 1 meer dan 999. …………………………

Ik besta uit 2D en 2H. …………………………

Ik ben 10 keer 100. …………………………

Ik kom net voor 5 000. …………………………

………

970

……… ……… ……… ……… 1 002

980 ……… ……… ……… ……… ………

23

GETALLENKENNIS

Noteer de cijfers in de tabel zoals in het voorbeeld.

D H T E , t h

695,46 6 9 5 , 4 6

0,7

5H 6T 9E 1t 3h

vijf honderdsten

Vul aan. Let goed op de richting van de pijl!

5 570 ……… 5 580 ……… ……… ……… ……… ……… ………

……… ……… ……… ……… ……… ……… 6 800 ……… 6 600

Wat is de waarde van het rode cijfer? Noteer het telkens op 2 manieren.

25,36 2T of 20

132,01 ……… of ………

11,01 ……… of ………

0,7 ……… of ………

1 honderste (h)

= 1

100

= 0,01

Verbind wat evenveel is.

0,75 75/100

70/100 1,75

1t minder dan 2 0,7

7h 5t 0,25

25/100 1,90

1h meer dan 57/100

24

GETALLENKENNIS

Een synoniem voor rationale getallen is breuken. De term verwijst naar ratio,

wat verhouding betekent. Elke breuk kun je ook als kommagetal schrijven,

maar het omgekeerde geldt niet!

Schrijf je een breuk als kommagetal, dan krijg je een bepaalde soort

kommagetallen, met name

• afbrekende kommagetallen:

kommagetallen die je volledig kunt opschrijven

1

2 = 0,5

41

100 = 0,41

• repeterende kommagetallen:

kommagetallen die ‘nooit eindigen’, maar waarvan je wel weet hoe de

ellenlange staart eruitziet

1

3 = 0,3333…

7

6 = 1,16666…

2

99 = 0,020202…

En dan zijn er nog de irrationale getallen: kommagetallen die niet eindigen,

maar waarvan je niet

kunt voorspellen hoe de

staart eruitziet. Irrationale

getallen kun je nooit als

een breuk schrijven.

Enkele voorbeelden

π = 3,141592653589…

√⎯ 2 = 1,41421356237…

Gehele getallen

Positieve gehele getallen Negatieve gehele getallen

(= natuurlijke getallen) 0, –1, –2, –3, –4 …

0, 1, 2, 3, 4 …

Rationale getallen

Niet-gehele getallen

Gehele getallen

1

2;

5

4;

11

7; 0,65; 3,11; -

5

6 …

25

GETALLENKENNIS

Reële getallen

Rationale getallen Irrationale getallen

4; 3

7; 6,75;

5

2; –8 … π, √⎯ 2 …

Samenvatting:

Reële getallen

Rationale getallen Irrationale getallen

Gehele getallen Niet-gehele getallen

Positieve gehele getallen Negatieve gehele getallen

(= natuurlijke getallen)

Kommagetallen zijn ‘ontstaan’

in de 16e eeuw. Het was

de Bruggeling Simon Stevin

die in zijn werk ‘De thiende’

voorstelde om met tiendelige

breuken te werken. Stevin zelf

gebruikte nog niet de notatie

met een komma.

Simon Stevin is trouwens ook de bedenker

van de Nederlandse benaming wiskunde, of

wisconst zoals het in zijn tijd klonk. Daarmee

wijkt het Nederlands af van andere talen die

zich voor de benaming van het vak wiskunde

steeds baseren op dezelfde stam, bv.

mathematica, mathématiques, mathematics.

Ook de termen meetkunde, evenwijdigheid

en evenredigheid hebben we aan Simon

Stevin te danken.

26

GETALLENKENNIS

OEFENING

Derde leerjaar

Dit flatgebouw heeft vreemde bewoners …Kruis de juiste vakjes aan en beantwoord de vragen.

2 NEGATIEVE GETALLEN

Negatieve getallen zijn getallen met een minteken voor: –4; –1,5 …

Ze worden vooral gebruikt bij:

• temperatuur: Het vriest, het is –5 °C.

• liften: Parkeer je auto in de ondergrondse garage, op niveau –3.

• een negatief saldo op een rekening: Jans rekening staat op –500 euro.

Je kunt negatieve getallen ook voorstellen op een getallenas.

Volgens afspraak is 0 zowel een positief als een negatief getal.

DIDACTISCH LUIK

Betekenisvolle situatiesBehandel negatieve getallen alleen in betekenisvolle situaties, wanneer ze

bijvoorbeeld betrekking hebben op temperatuur, lift, saldo rekening, niveau

onder de zeespiegel … Opdrachten waarbij leerlingen het verschil tussen

deze getallen bepalen of negatieve getallen ordenen, kleed je altijd in een

betekenisvolle situatie in.

Voorbeeld: Gisteren was het –2 °C, vandaag is het 2 °C.

Hoeveel is de temperatuur gestegen?

Dergelijke opdrachten kun je het best visualiseren. Gebruik bijvoorbeeld een

thermometer op het bord. Ook een getekende lift waarbij je met een magneet

de plaats van een persoon aanduidt, is een goed hulpmiddel.

27

GETALLENKENNIS

Ik vertrek bij Helga de Huismuis en stijg

4 verdiepingen.

Ik kom bij … � het gezin Zottebende.

� Sofietje Snotneus.

� Piet Precies.

Ik ben bij Pietje Belhamel en

wil naar de garage. Hoeveel

verdiepingen moet ik dalen?

……..........……………………………

• Verwoording–2 °C: min 2 graden Celsius of 2 graden onder 0

verdieping –2 of de 2e verdieping onder de grond

• Verschil bepalen Om het verschil tussen een positief en een negatief

getal te bepalen, laat je de tussenstap via 0 maken.

Werk niet via een bewerking.

Voorbeeld: het verschil tussen 2 °C en –3 °C

–20

–10

20

0

10

–20

–10

20

0

10

OEFENING

Derde leerjaar

Wat is het temperatuurverschil?

buiten binnen

…… °C …… °C

temperatuurverschil: ……… °C

• OrdenenSommige leerlingen zullen moeite hebben met ‘–3 is minder dan –1’

(3 is immers meer dan 1 …). Leg het verband met de vloeistofkolom in de

thermometer, waar –3 °C duidelijk minder is dan –1 °C.

• GetallenasOm de getallenas voor de leerlingen concreter te maken, leg je de

thermometer horizontaal en teken je daarbij de getallenas.

28

GETALLENKENNIS

• Het absolute nulpunt (de laagste temperatuur die

gerealiseerd kan worden) is –273 °C.

• De vloeistof in een thermometer is alcohol (vriespunt:

–114,4 °C) of kwik (vriespunt: –38,9 °C)

• De temperatuur in een diepvriezer is minimum –18 °C.

• De laagste temperatuur ooit in België gemeten,

is –30,1 °C (de hoogste: 38,8 °C).

• Met een minimum-maximumthermometer wordt tijdens

een periode zowel de laagste temperatuur als de

hoogste temperatuur geregistreerd. Op basis daarvan

kan het temperatuurverschil gemeten worden.

• Blaise Pascal durfde negatieve getallen niet bij naam te noemen, omdat

zij des duivels zouden zijn. Als je je per ongeluk in zijn

bijzijn zoiets liet ontvallen als –7, dan legde hij zijn hand

op je mond, keek schichtig vanuit zijn ooghoeken en

siste: “Je bedoelt het getal waarbij je zeven op moet

tellen om 0 te krijgen.”

• Een tijdsband is ook een getallenas, maar het jaar 0

bestaat niet …

• + en – op batterijen en in bloedgroepen hebben niets

met negatieve getallen te maken!

Een negatief doelpuntensaldo

Op de wereldbeker voetbal zal men het doelpuntensaldo bekijken wanneer

teams op het einde van de eerste ronde evenveel punten tellen. Voor

sommige ploegen is dit saldo negatief, zoals je op het onderstaande

tabelletje van de wereldbeker van 2006 kunt zien.

Land Wed Win Gel Ver DV DT +/- Pnt

Duitsland 3 3 0 0 8 2 6 9

Ecuador 3 2 0 1 5 3 2 6

Polen 3 1 0 2 2 4 –2 3

Costa Rica 3 0 0 3 3 9 –6 0

kolom 1: naam van het land uit groep A

kolom 2: aantal gespeelde wedstrijden in de eerste ronde

kolom 3: aantal gewonnen wedstrijden

kolom 4: aantal wedstrijden die eindigden op een gelijkspel

kolom 5: aantal verloren wedstrijden

29

GETALLENKENNIS

kolom 6: aantal doelpunten dat het team zelf heeft gemaakt

kolom 7: aantal doelpunten dat het team tegen kreeg

kolom 8: het doelpuntensaldo (= kolom 6 min kolom 7)

kolom 9: het aantal behaalde punten binnen het driepuntensysteem

Deze tabel kwam tot stand op basis van de volgende wedstrijden:

9 juni 2006 15 juni 2006

Duitsland 4 – 2 Costa Rica Ecuador 3 – 0 Costa Rica

Polen 0 – 2 Ecuador

14 juni 2006 20 juni 2006

Duitsland 1 – 0 Polen Ecuador 0 – 3 Duitsland

Costa Rica 1 – 2 Polen

3 ROMEINSE CIJFERS EN ANDERE GETALLENSYSTEMEN

a Romeinse cijfers

� De symbolen

I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1 000

De cartoon helpt je de 'volgorde' te onthouden van de waarde van de

Romeinse cijfers, van klein naar groot.

� Regels voor getallen in Romeinse cijfers• De symbolen I, X, C en M komen hoogstens 3 keer na elkaar voor.

• De symbolen V, L en D worden niet herhaald.

• Komt een symbool met een hogere waarde vóór een symbool met een

lagere waarde, dan worden de waarden van de symbolen opgeteld.

• Komt een symbool met een lagere waarde vóór een symbool met een

hogere waarde, dan worden de waarden van de symbolen afgetrokken.

• Bij het aftrekken kunnen slechts bepaalde combinaties voorkomen, nl.

IV, IX, XL, XC, CD en CM.

30

GETALLENKENNIS

• Opgelet: de notatie IIX is niet toegelaten! Van een symbool mag immers

slechts één symbool worden afgetrokken.

� Werkwijze voor het omzetten• Van Romeinse cijfers naar Arabische cijfers:

Zoek de combinaties, ‘vertaal’ en tel op.

MCMLXXVI = M CM L XX VI = 1 976

1 000 900 50 20 6

• Van Arabische cijfers naar Romeinse cijfers:

Splits het getal in rangen, ‘vertaal’ elke rang

afzonderlijk en noteer achtereenvolgens.

3 497 = 3 000 + 400 + 90 + 7 = MMMCDXCVII

MMM CD XC VII

b Additief versus positiesysteemHier zie je hoe getallen in het

oude Egypte voorgesteld werden.

IV of IIII?De Romeinen zelf schreven het getal

4 niet als IV, aangezien die notatie

een symbolische verwijzing naar de

god Jupiter (IVPITER) was. Het is de

katholieke kerk die deze notatie later

invoerde. Het getal 4 werd door de

Romeinen geschreven als IIII, een

notatie die je nog op veel kerkklokken

aantreft.

Getallen groter dan 3 999 … Om grotere getallen voor te stellen, geldt de volgende afspraak: een

horizontale streep boven een getal wil zeggen dat dit getal met 1 000

vermenigvuldigd moet worden.

Voorbeeld: VII CX = 7 110

31

GETALLENKENNIS

Vertaling van het gesprek tussen farao en bouwheer:

Farao: ‘Prachtig, mijn piramide zal met zijn 147 m* de hoogste van het land

zijn.’ Bouwheer: ‘Voor de eerste fase van de bouw zullen 526 kamelen en

123 500 slaven nodig zijn.’

* De aandachtige lezer merkt het anachronisme in deze figuur:

ten tijde van de Egyptenaren werd lengte (hoogte) nog niet uitgedrukt in meter. Een

gebruikte maateenheid toen was de ‘koninklijke cubit’, die zou overeenkomen met

een lengte van 52,2 cm.

Dat is een voorbeeld van een additief getallensysteem: een getal wordt

voorgesteld door een opeenvolging van symbolen en de som van de waarde

van deze symbolen geeft dan het getal. De plaats van de symbolen speelt

geen rol.

Het Romeins talstelsel is in wezen een additief systeem, maar op sommige

momenten is de plaats van een symbool wel degelijk belangrijk: de getallen

VI en IV bestaan uit dezelfde symbolen, maar ze verschillen toch in waarde.

Ons getallensysteem is een positiesysteem. Het cijfer 2 heeft afhankelijk van

zijn plaats in het getal de waarde 2, 20, 200, 2 000 … De waarde van een

symbool is dus afhankelijk van zijn plaats (positie) in het getal.

Eén – twee – veelIn Australië woont een volk dat als volgt telt:

1 = urapon 2 = ukusar 3 = ukusar-urapon

4 = ukusar-ukusar 5 = ukusar-ukusar-urapon 6 = ukusar-ukusar-ukusar

Hoeveelheden groter dan 6 worden met 'veel' aangeduid. Dit is dus ook een

voorbeeld van een additief systeem.

32

GETALLENKENNIS

X LES

Ik lees de breuk 3

4

als 3 van de 4 gelijke

delen van het geheel.

Oudste wiskundig voorwerpHet Ishango-beentje wordt beschouwd als het oudste

wiskundig voorwerp dat tot nu toe gevonden is. Het

object, een 10 cm lang beentje met kerven, werd

gevonden in Ishango (Congo) en is vermoedelijk

20 000 jaar oud. De betekenis van de kerven blijft

tot op heden raadselachtig. Het beentje is te bezichtigen in het Koninklijk

Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen in Brussel.

4 BREUKEN

a Breuken benoemen, lezen en noteren

• Breuken worden genoteerd met een horizontale breukstreep of met een

schuine breukstreep: a

b = a/b. De voorkeur gaat naar de notatie met

horizontale breukstreep.

• Een stambreuk is een breuk met teller 1,

bv. 1

2 (= de helft), 1

3 ,

1

4 (= een kwart), 1

5 …

• Een tiendelige breuk is een breuk met noemer 10, 100, 1 000 …

• Een gemengd getal bestaat uit een geheel gedeelte en een breuk, bv. 4 1

2.

De teller zegt hoeveel

delen je moet nemen.

de breukstreep

De noemer zegt in hoeveel

gelijke delen het geheel

verdeeld is.

3

4

Je kunt de notatie als gemengd getal op twee manieren vermijden:

- door en of plus te gebruiken: 4 en 1

2 of 4 +

1

2

- door met een onechte breuk te werken: 9

2.

In het leerplan VVKBaO kiest men ervoor om geen gemengde getallen te

gebruiken. Als argument hiervoor geeft men dat deze notatie verwarring

kan opleveren in het secundair onderwijs met de puntnotatie van de

vermenigvuldiging (4 x 1

2 = 4 .

1

2).

In het leerplan OVSG kiest men wel voor de notatie met gemengde

getallen, omdat deze notatie veel bevattelijker is voor leerlingen. Wanneer

je bv. het getal 5 1

4 ziet, weet je onmiddellijk dat dat zich situeert tussen 5

en 6. Wanneer je de breuk 21

4 ziet, is dat minder voor de hand liggend.

33

GETALLENKENNIS

OEFENING

Vierde leerjaar

Schrijf het anders.

7

6 van een pizza of

…… pizza en ...

... van een pizza

…… pizza's en …

… van een pizza

of …

… van een pizza

• Gelijknamige breuken zijn breuken met dezelfde noemer, bv. 2

5 en

3

5.

• Gelijkwaardige breuken zijn breuken met dezelfde waarde, bv.

2

3 en

4

6.

b Gelijkwaardige breuken zoeken• Een breuk verandert niet van waarde als je teller en noemer

vermenigvuldigt met eenzelfde getal (≠ 0).

We gebruiken deze techniek om breuken gelijknamig te maken.

• Een breuk verandert niet van waarde als je teller en noemer

deelt door eenzelfde getal (≠ 0).

Dat noemen we breuken vereenvoudigen.

Een breuk is onvereenvoudigbaar als je de teller en

de noemer niet meer kunt delen door eenzelfde getal (> 1).

Om bewerkingen uit te voeren met breuken, vereenvoudigen

we ze meestal vooraf.

OEFENING

Vierde leerjaar

Schrijf de breuk anders. Bekijk de figuren goed.

1

3 =

…

… 3

6 =

…

…

Ik wil

een hele pizza!

1 = …

2 =

…

3 =

…

4 =

…

5 =

…

6 enzovoort.

2

10 =

20

100

x 10

x 10

2

10 =

1

5

: 2

: 2

34

GETALLENKENNISc Breuken gelijknamig maken We maken breuken gelijknamig om:

• ze bij elkaar op te tellen;

• ze van elkaar af te trekken;

• ze te vergelijken of te ordenen.

Voorbeeld: Maak 1

6 en

3

8 gelijknamig.

Algemene werkwijze:

Stap 1: Zoek de gemeenschappelijke noemer. Deze noemer is het

kleinste gemeenschappelijk veelvoud (kgv) van beide noemers.

kgv van 6 en 8 is 24; de gemeenschappelijke noemer is dus 24.

Stap 2: Zoek bij elke breuk de gelijkwaardige breuk met deze

gemeenschappelijke noemer.

Herleid 1

6 en

3

8 naar breuken met noemer 24.

1

6 =

4

24 en

3

8 =

9

24;

4

24 en

4

24 zijn gelijknamige breuken.

d Breuken vergelijken• Ongelijknamige breuken die niet dezelfde teller hebben, maak je eerst

gelijknamig om ze te kunnen vergelijken of te ordenen.

Voorbeeld: 2

3 en

3

5 ;

2

3 =

10

15 en

3

5 =

9

15 ;

10

15 >

9

15 ; dus

2

3 >

3

5

In bijzondere gevallen is dat soms niet nodig. Zo kunnen we besluiten:

5

6 >

3

4 want

3

4 is

1

4 minder dan 1 en

5

6 is slechts

1

6 minder dan 1.

• Voor breuken met dezelfde noemer geldt:

hoe groter de teller, hoe groter de breuk, bv. 2

5 <

3

5.

• Voor breuken met dezelfde teller geldt:

hoe groter de noemer, hoe kleiner de breuk, bv. 1

9 <

1

7 ;

5

9 <

5

7.

In de lagere school worden eerst breuken met dezelfde noemer of teller

vergeleken, en pas later ongelijknamige breuken die niet dezelfde teller

hebben.

OEFENING

Vierde leerjaar

Wat kan op de plaats van de vlek staan?

1

8 <

1

9

2

5 >

1

9

3

9 <

3

8

35

GETALLENKENNISDIDACTISCH LUIK

a Verschijningsvormen van breukenWe onderscheiden drie totaal verschillende situaties waarin breuken

voorkomen. In stijgende volgorde van abstractie:

� De breuk als operator

Antonio eet 3

4 van een pizza.

In dit geval houdt de breuk een verdeelopdracht in: Antonio snijdt de pizza in

4 gelijke delen en eet er 3 van op.

Merk op: deze breuk kan ook ontstaan door 3 pizza’s te verdelen over 4 personen.

Elke persoon krijgt dan 3

4 pizza.

OEFENING

Derde leerjaar

Welk deel is weg? Welk deel blijft over?

� De breuk als verhouding1

3 van de leerlingen is van allochtone afkomst.

Een kans van 1 op 2.

Zie ook blz. 223 e.v.

OEFENINGEN

Vierde leerjaar

Fietscontrole!

Na de fietscontrole schreef een politieagent in zijn verslag:

“1 op de 3 fietsen vertoont gebreken aan de remmen.” Aan de school van Ineke werden 24 fietsen gecontroleerd.

Ongeveer hoeveel daarvan zullen niet in orde geweest zijn? .....................................

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

... ...

...

36

GETALLENKENNIS

Aan de school van Patrick werden 18 fietsen gecontroleerd.

Ongeveer hoeveel daarvan zullen niet in orde geweest zijn? ....................................

Vijfde leerjaar

We spelen darts …

Als je pijl in een zwart gedeelte belandt, scoor je.

Bij welke schijf heb je de meeste kans om te scoren?

Kans:

...

... Kans:

...

... Kans:

...

...

� De breuk als getalDe breuk wordt hier beschouwd als het resultaat van een deling, nl.

3

4 = 3 : 4.

De breukstreep stelt dus het deelteken voor, zoals dat het geval is bij de

zakrekenmachine en een elektronisch rekenblad.

Hier wordt de eenheid als geheel beschouwd. De breuken worden opgevat

als gewone getallen die je kunt ordenen, op een getallenas plaatsen, optellen,

vermenigvuldigen …

b Aanbreng breukbegripOm het breukbegrip in te oefenen, geven we gevarieerde opgaven die

aansluiten bij de verschijningsvorm ‘de breuk als operator’, bv.

• een deel van het geheel benoemen met een breuk;

• als de breuk gegeven is, het bijbehorend deel van het geheel aanduiden.

OEFENING

Derde leerjaar

Vul aan. Kijk goed wat gevraagd wordt.

niet in orde ........................ ........................ ........................

totaal aantal ........................ ........................ ........................

GETALLENKENNIS

37

Bij het werken met breuken is het aspect verwoording heel belangrijk. Laat

kinderen de breuk voldoende voluit lezen, bv. 3 van de 4 gelijke delen van het

geheel. Ook de bijbehorende begrippen moeten voldoende door de leerlingen

verwoord worden.

Bv. Wat vertelt de teller? Wat zegt de noemer? Toon hier eens het geheel.

Een goed inzicht in het breukbegrip geeft een stevige basis bij o.a. het

vergelijken van breuken. Het inzicht bv. dat 1

9 kleiner is dan

1

7, omdat een

verdeling van het geheel in 9 gelijke delen kleinere delen geeft dan een

verdeling van datzelfde geheel in 7 gelijke delen.

c Breuken voorstellenHet veelvuldig gebruik van materiaal is noodzakelijk bij breuken. Al te vaak

wordt snel overgeschakeld naar het abstracte niveau. Ook als het breukbegrip

al goed verworven is, kan het gebruik van materiaal om de concrete betekenis

van de breuk niet uit het oog te verliezen, nuttig zijn.

Er bestaan enkele didactische hulpmiddelen om breuken voor te stellen:

• Breukenschijven Het geheel wordt voorgesteld door een volle schijf. Verder is er een schijf

die in 2 gelijke delen verdeeld is, een schijf die in 3 gelijke delen verdeeld is

…

1

...

1

7

100

...

10

4

IN

IN

UIT

UIT

1

...

1

2

IN

IN

UIT

UIT

38

GETALLENKENNIS

TIP: een breukenschijf maken met het programma Excel• Maak een reeks aan van x dezelfde getallen.

Plaats bv. in 4 vakjes onder elkaar een 1.

• Selecteer deze reeks en voeg een cirkelgrafiek in.

Op het scherm krijg je een breukenschijf die in 4 gelijke delen verdeeld

is. Pas de kleuren aan als je dat wenst.

• Breukenladder TIP: gebruik voor breukenfamilies

dezelfde of verwante kleuren als je ze

weergeeft met de breukenschijven en de

breukenladder.

• Breukstokken (= breekstokken)Bovenstaand didactisch materiaal helpt om

verbanden tussen de breukenfamilies op te sporen,

zoals 1

3 =

2

6 en om breuken te vergelijken, bv.

3

4 >

2

3.

Een te grote klemtoon op het concrete materiaal

leidt tot het aflezen van deze relaties. Om dat te

vermijden, moeten de leerlingen de relaties altijd

kunnen onderbouwen met een redenering.

Stel breuken ook voor met allerlei alledaags materiaal

en motiveer kinderen om breuken in werkelijkheid te zien.

Enkele tips bij het gebruik van materiaal• Varieer het materiaal. Gebruik dus zowel breukenschijven als

alledaags materiaal.

Verdeel ook eens lengtes, inhouden, gewichten …

• Laat leerlingen steeds aanduiden wat het geheel is: de helft van

een grote appel is verschillend van de helft van een kleine appel.

34

25

23

14

58

44

39

GETALLENKENNIS

OEFENING

Derde leerjaar

Kleur tot waar de aapjes klommen.

d Soorten opgavenHet type oefening dat het meest voorkomt (en het

gemakkelijkst is) bij breuken van een hoeveelheid, is:

Het deel is gevraagd. 3

5 van 20 is ……

Als uitbreiding worden soms ook oefeningen van de

volgende types aangeboden:

Het geheel is gevraagd. 12 is

3

5 van ……

De breuk is gevraagd. …… van 20 is 12.

e De breukvragen

Geef leerlingen houvast als ze een breuk van een geheel of een hoeveelheid

(getal) nemen, door ze systematisch de volgende vragen te (laten) stellen.

3

5 van 20 = ……

• Wat is het geheel? Hoe groot is het geheel? (20)

• In hoeveel gelijke delen wordt het geheel verdeeld? (5)

• Hoe groot is één deel? (20 : 5 = 4)

• Hoeveel delen moeten we nemen? (3)

• Hoeveel is dat samen? (3 x 4 = 12)

Dus 3

5 van 20 is 12.

Gebruik deze vragen ook bij het manipuleren met materiaal.

f Het concrete, schematische en abstracte niveauBij het aanbrengen van breuken is het evident om dit principe toe te passen.

Voorbeeld: 3

4 van 20

� Concreet niveau: leerlingen krijgen 20 flippo’s

en krijgen de opdracht 3

4 van dit aantal te nemen.

� Schematisch niveau:

Vang 3

4 van de snoepjes in een kring.

� Abstract niveau: 3

4 van 20 is ……

40

GETALLENKENNIS

OEFENINGEN

Derde leerjaar

Vul aan.

Er zijn 40 noten te verdelen. Er zijn 36 druiven te verdelen.

De hamster krijgt 1

10 van de De mus krijgt

1

9 van de

noten, dus ...... noten. druiven, dus ...... druiven.

De eekhoorn krijgt 6

10 van de De vink krijgt

3

9 van de

noten, dus ...... noten. druiven, dus ...... druiven.

Ik hou 3

10 van de noten, Ik ben gek op druiven. Ik hou

5

9 van de

dus ...... noten, voor mezelf. druiven, dus ...... druiven, voor mezelf.

Zesde leerjaar

Welke koffie is het sterkst?

Reken uit. Orden van slap naar sterk en schrijf er een breuk bij.

apparaat 1 apparaat 2 apparaat 3

Reken uit!

de slapste koffie

apparaat … ...

...

de op één na slapste koffie

apparaat … ...

...

de sterkste koffie

apparaat … ...

...

41

GETALLENKENNIS

5 BEWERKINGEN MET BREUKEN

a Optellen en aftrekken met breuken

• Om gelijknamige breuken op te tellen, maak je de som van de tellers en

behoud je de noemer. 3

4 +

5

4 =

8

4 = 2

• Om gelijknamige breuken af te trekken, maak je het verschil van de tellers

en behoud je de noemer. 7

9 –

2

9 =

5

9 • Om ongelijknamige breuken op te tellen of af te trekken, maak je de breuken

eerst gelijknamig. 3

4 +

2

3 =

9

12 +

8

12 =

17

12

b Vermenigvuldigen met breuken� Natuurlijk getal x breukOm een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, vermenigvuldig je

de teller van de breuk met het natuurlijk getal en behoud je de noemer.

3 x 1

5 =

3

5

� Breuk x natuurlijk getal of breuk x breukEen breuk nemen van een breuk of een getal, komt neer op het

vermenigvuldigen van beide.1

2 van 30 =

1

2 x 30

2

3 van

1

2 =

2

3 x

1

2

Voorbeeld Oom Dagobert wint de lotto. Hij deelt 1

3 van dit geld uit aan

familie. Daarvan is 1

2 voor Donald. Welk deel van het geld krijgt

Donald?

Bewerking 1

2 van

1

3 =

1

2 x

1

3

Werkwijze We stellen de breuken voor via het rechthoekmodel.

Uit dit schema is duidelijk dat 1

2 van

1

3 =

1

6.

Rechthoekmodel

Het geheel:

de lottowinst

1

3 van het geheel: de winst

voor de familie

1

2 van

1

3 van het geheel:

de winst voor Donald

42

GETALLENKENNIS

Op een analoge manier bepalen we het product van 2 willekeurige breuken,

bv. 3

4 van

2

5.

We merken: 3

4 van

2

5 is

6

20.

DIDACTISCH LUIK Na een aantal voorbeelden kunnen leerlingen de volgende regels

achtereenvolgens uit het rechthoekmodel afleiden:

• om twee stambreuken te vermenigvuldigen, volstaat het om de noemers te

vermenigvuldigen;

• om twee willekeurige breuken te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we de

tellers en vermenigvuldigen we de noemers.

Merk op: volgens de leerplannen hoeven de kinderen deze rekenregels niet

paraat te kennen.

c Delen met breuken� Breuk : natuurlijk getalVoorbeeld De smurfen kopen een diepvriespizza die vooraf verdeeld is

in drie gelijke stukken. Elk stuk verdelen ze nog eens in 4.

Welk deel van de pizza is 1 klein stukje?

Bewerking 1

3 : 4 = …

Werkwijze We stellen de verdelingen voor op het rechthoekmodel.

Uit dit schema is duidelijk dat 1

3 : 4 =

1

12.

Rechthoekmodel

DIDACTISCH LUIK Na een aantal voorbeelden kunnen leerlingen de algemene regel uit het

rechthoekmodel afleiden: om een breuk te delen door een natuurlijk getal,

volstaat het de teller te behouden en de noemer te vermenigvuldigen met

dat getal.

Stap 1: verdeling in 3 Stap 2: elk deel verdeeld

in 4 delen

43

GETALLENKENNIS

� Natuurlijk getal: stambreuk

Voorbeeld Koksmurf maakt pudding voor smurfendorp. Om een smurf te

bedienen, heeft hij 1

3 liter melk nodig. Hoeveel porties kan hij

maken met 4 liter melk?

Bewerking Hoeveel keer gaat 1

3 in 4 of hoeveel is 4 :

1

3?

Werkwijze 1

3 gaat 3 keer in 1

x 4 x 4

1

3 gaat 12 keer in 4, dus 4 :

1

3 = 12

DIDACTISCH LUIK Na een aantal voorbeelden kunnen leerlingen de algemene regel afleiden:

om een natuurlijk getal te delen door een stambreuk, moet je dat getal

vermenigvuldigen met de noemer van de breuk.

Merk op dat, wanneer de deler een breuk is, we in concrete situaties de

verhoudingsdeling

gebruiken. Bij het delen

door een breuk zien

de leerlingen dat het

quotiënt groter kan zijn

dan het deeltal!

OEFENING

Vierde leerjaar

Een toemaatje voor de echte breukenkampioenen!

Welk deel van de bevolking is 40 jaar of ouder?

Schrijf de breuk zo eenvoudig mogelijk.

…… van de bevolking is 40 jaar of ouder.

Welk deel is jonger dan 80 jaar?

…… van de bevolking is jonger dan 80 jaar.

Waar of niet waar? Meer dan de helft van de

bevolking is 60 jaar of ouder.

� waar � niet waar

leeftijd

deel van

de Belgische

bevolking

0 - 19 jaar

20 - 39 jaar

40 - 59 jaar

60 - 79 jaar

80 of ouder

4

20

6

20

5

20

4

20 1

20

44

GETALLENKENNIS

6 PERCENTEN

a PercentbegripPercent of procent betekent letterlijk ‘op honderd’ en wordt aangeduid met het

symbool %. In het woord percent herken je het Franse ‘cent’.

• In deze school heeft 12 % van de leerlingen leerachterstand.

Betekenis: 12

100 van de leerlingen, 12 leerlingen op 100 leerlingen

hebben leerachterstand.

• Op dit fototoestel betaal je 21 % btw.

Betekenis: Neem de prijs zonder btw en tel er 21

100 van de prijs bij om de

werkelijke prijs te kennen. Of nog: als het fototoestel 100 euro

zou kosten, zou je daarop 12 euro moeten bijbetalen, en betaal

je dus in totaal 112 euro.

b Berekeningswijze� Percent van een getalBv. Saïd verdiende deze vakantie 120 euro. Hij besteedt 15 % daarvan aan

een verjaardagscadeau voor zijn oom. Hoeveel kost het cadeau?

• Via een verhoudingstabel

Cadeau (deel) 15 3 18

Totaal zakgeld (geheel) 100 20 120

• Via een pijlenvoorstelling

100 15 : 5 : 5

20 3

x 6 x 6

120 18

- Om een breuk te vermenigvuldigen met een breuk,

vermenigvuldig je de tellers met elkaar

en vermenigvuldig je de noemers met elkaar.

Voorbeeld: 2

5 x

3

4 =

2 x 3

5 x 4 =

6

20 =

3

10

- Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je

de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.

Voorbeeld: 2

5 :

3

4 =

2

5 x

4

3 =

2 x 4

5 x 3 =

8

15

: 5

: 5

x 6

x 6