Upload
kristen-haynes
View
645
Download
8
Embed Size (px)
DESCRIPTION
新课导入. 1 . 什么叫一元一次方程 ?. 2 . 下列方程哪些是一元一次方程 ?. 一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶 , 已知快客车每小时比中巴车多行 20 千米 , 快客车行驶 80 千米所需要的时间与中巴车行驶 60 千米所需要的时间相同 , 求快客车的速度.. 解 : 设快客车每小时行驶 X 千米 , 则中巴车每小时行驶 (x - 20) 千米 , 根据题意可得方程 :. 怎样解这个方程?. 是一元一次方程吗?. 教学目标. 【 课程标准 】 1 .了解分式方程的概念 , 和产生增根的原因. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1 . 什么叫一元一次方程 ?
2 . 下列方程哪些是一元一次方程 ?
(1)2 4 3x (2)3 2 8x y
2(3)2 3 5x x
3
(4) 13 2
x x
新课导入
一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶 ,已知快客车每小时比中巴车多行 20千米 ,快客车行驶 80千米所需要的时间与中巴车行驶 60千米所需要的时间相同 ,求快客车的速度.
解 : 设快客车每小时行驶 X 千米 , 则中巴车每小时行驶 (x - 20) 千米 , 根据题意可得方程 :
80 60
20x x
怎样解这个方程?是一元一次
方程吗?
【课程标准】 1 .了解分式方程的概念 , 和产生增根的原因. 2 .掌握分式方程的解法,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是原方程的增根. 3 .会分析题意找出等量关系. 4 .会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
教学目标
【知识与能力】 经历“实际问题-分式方程模型—解分式方程—检验合理性”的过程,发展分析问题、解决问题的能力,培养应用意识.
【情感态度与价值观】 通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的,理论来源于实践,能用所学的知识服务于我们的生活.
重点 1 .审明题意,寻找等量关系,将实际问题转化成分式方程的数学模型. 2 .根据实际意义检验解的合理性.难点 1 .会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是原方程的增根. 2 .列分式方程表示实际问题中的等量关系.
教学重难点
( 3 )已知所得的两位数与原两位数的比值是
,则可以列出方程为 _________________ .4
7
( 1 )一个两位数的个位数字是 4 ,十位数字为 x ,
则两位数可表示为 _________________ ; ( 2 )如果把个位数字与十位数字对调 , 那么所
得的两位数又可表示为 _____________ ;
4
7
410
104
x
x
10x + 4
40 + x
甲、乙两人加工同一种服装 , 乙每天比甲多加工 1 件,已知乙加工 30 件服装所用时间与甲加工 25 件服装所用时间相同,甲每天加工多少件服装 ? 如果设甲每天加工 x 件服装,那么可列方程:
x x
30 25
1
某学校组织学生到距离学校 15km 的东山去游玩 , 先遣队与大队同时出发 , 先遣队的速度是大队速度的 1.5 倍,结果先遣队比大队早到 0.5h ,先遣队和大队的速度各是多少?
解:设大队的速度为 xkm/h, 列方程,得
.. x x
15 15
0 51 5
30 25
1x x
15 150 5
1 5.
. x x
上面所列出的方程与一元一次方程有什么区别?
4 10 7
10 4 4
x
x
一元一次方程的分母不含未知数,而这些方程的分母上含有未知数.
分母中含未知数的方程叫做分式方程( fractional equation ).
知识要点知识要点
指出下列方程中的分式方程:
1(4) 1
3 2
x x
1
(5) 2 0xx
2 2
4 1(6)
1 4 2x x x
2 3
(1) 01 3x x
031
2)3(
x
3 5
(2)2
x x√
√
√ √
想一想一元一次方程的解法,并且解方程. x x
2 3 2
13 6
解:去分母(方程两边同乘 6)得2 ( x - 2) - (3x+2) = 6去括号,得
2x - 4 - 3x - 2 = 6移项,得2x - 4 - 3x - 2 - 6 = 0合并同类项,得 - x = 12系数化成1,得 x = - 12
回顾
结合上面解一元一次方程的方法,想一想如何求分式方程 的解?
30 25
1x x
解这个分式方程应该去分母.
.. x x
15 15
0 51 5
解:方程两边同乘以 1 . 5x ,得15 + 0.75x = 22.5 ,
解这个方程,得 x = 10
检验 : 将 x = 10 代入原方程得 :
∵ 左边 = ..
150 5
1 5 10 =1.5, 右边 =15
10=1.5,
左边 = 右边 ∴ x = 10 是原方程的解
解方程:
参照上面解方程的方法,解下面两个方程:
30 25(1)
1x x
4 10 7
(2)10 4 4
x
x
30 25(1)
1x x解: 方程两边同乘以 x ( x + 1 ),得
30x = 25(x + 1) ,
解这个方程,得 x = 5
检验 : 将 x = 5 代入原方程得 :
∵ 左边 =30
5 1 =5, 右边 =25
5 =5,
左边 = 右边 ∴ x = 5 是原方程的解
4 10 7
(2)10 4 4
x
x解:
4× (4×10 + x) = 7(10x + 4) ,
x = 2
检验 : 将 x = 2 代入原方程得 :
∵ 左边 =
4 10 2 7
10 2 4 4 右边 =7
4
左边 = 右边 ∴ x = 2 是原方程的解
解这个方程,得
方程两边同乘以 4(10x + 4) ,得
求分式方程的解,只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母,将分式方程转化成整式方程(一元一次方程)来解.
如何求分式方程的解,你知道了吗?
解分式方程的一般步骤 :
1 .方程两边同乘以各分母的最简公分母,约去分母将分式方程化为一元一次方程; 2 .解这个一元一次方程; 3 .检验,将所求得的一元一次方程的解代入原方程左右两边.
归纳
下列各分式方程,去分母时,要乘以的最简公分母分别是什么?
( 2)x x
4(5 2)x
1( )y y
x xx x
xy y
y y y2
3 2
240 7
010 4 4
41
1
=-
+- =
++
- =- -
解下列方程.x x
2
1 18
9 81解:去分母,方程两边同乘最简公分母 (x+9) (x+ 9) ,得整式方程x + 9 = 18
解,得 x = 9
检验 :将 x= 9代入原方程检验,发现这时分母 x- 9和 x2 - 81的值都为 0,相应的分式无意义.因此 x= 9虽是方程 x= 9不是原方程 x+ 9= 18 的解,但不是原分式方程 的解.
2
1 18
9 81x x
该分式方程无解.
小练习小练习
解分式方程时 ,对所得根必须检验. 检验的方法可以是代入原方程检验.为了简便,通常把求得的根代入变形时所乘的整式 ( 最简公分母 ),看它的值是否为零,使它为零的根不是原方程的根,是增根,必须舍去.
增根的定义
增根 :在去分母 ,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.
产生的原因 :分式方程两边同乘以一个零因式后 , 所得的根是整式方程的根 ,而不是分式方程的根.
使分母值为零的根
一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为 0,因此应如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为 0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.
归纳
问题 : 对于分式方程可以用去分母的方法求解,但求出来的根却有可能不是原方程的根,这种现象是怎么产生的 ?
( 1 ) 解上述方程的依据是什么 ?
( 2 ) 由 a=b 能否得出 ac=bc ?
( 3 )由 ac=bc 能否得出 a=b ?
【例 1 】 解分式方程
2x3
13xx2
解:方程两边同乘( x - 3 ),得2 - x =- 1 - 2 (x- 3),解,得 x = 3
检验:x= 3 时, (x - 3) =0, 3 不是原分式方程的解.
【例 2 】 解分式方程
解:方程两边同乘 (x- 2),得 1 - (x - 1) =- 3 (x - 2),解,得 x = 2
x= 2 时 (x - 2) =0, 2 不是原分式方程的解,原分式方程无解.
检验:
x
x x
1 1
32 2
( 1 )
( 2 ) x xx x
2
1 5 9 01 1
解:方程两边同乘以最简公分母 (x + 1)(x- 1) ,得( x - 1)2 =5x + 9
解整式方程 , 得 x1= - 1, x2=8
检验 : 把 x1= - 1 , x2=8代入原方程
当 x1= - 1 时 , 原方程的两个分母值为零,分式无意义,因此 x1= - 1 不是原方程的根.当 x2=8 时 , 左边 = , 右边 =
∴ 原方程的根是 x=8 .
增根
左边 =右边 , 因此 x2=8 是原方程的根.
7
97
9
解分式方程的一般步骤:
分式方程去分母 整式方程
解整式方程
x = a
检验
最简公分母为0最简公分母不为0a 是分式方程的解
目标
a不是分式方程的解
归纳
解下列方程 .
15 2 15
(2)3 3x x
( 1 ) x=17 ( 2 ) x=15
2 3
(1) 03 4
x
x
小练习小练习
2
2
2 3 6(3)
1 1 11 4
(5) 11 1
2(5) 2
2 1 2
x x xx
x xx x
x x x 4
5
无解
无解
【例 3 】某单位将沿街的一部分房屋出租 , 每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元 , 所有房屋的租金第一年为 9.6万元 ,第二年为 10.2万元.求出租房屋的总间数.分析 : 设出租房屋的总间数为 x 间.
第一年每间房屋的租金 元 ;
第二年每间房屋的租金 元 ;
因为第二年每间房屋的租金 =第一年每间房屋的租金 +500, 所以列方程 :
x
96000
x x
96000 102000500
x
102000
解 :设出租房屋的总间数为 x间.列方程 ,得
方程两边同乘 x, 得96000 + 500x = 102000
96000 102000
500x x
解 ,得x = 12
检验 :当 x= 1 时 x≠0, x= 1 是原分式方程的解. 答 : 出租房屋的总间数为 12 间.
某单位将沿街的一部分房屋出租 , 每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元 , 所有房屋的租金第一年为 9.6万元 ,第二年为 10.2万元.分别求两年每间出租房屋的租金 ?
第一年出租的房屋数 = 第二年出租的房屋数
等量关系 :
小练习小练习
解 :设第一年每间房屋的租金为 x 元 ,则
96000 102000
500.
x x方程两边同乘 x(x+ 500), 得96000 (x + 500) = 102000x
解 ,得 x = 8000
检验 :当 x= 8000 时 x(x+ 500),≠0, x= 8000 是原分式方程的解. 则第二年每间房屋的租金为 :x+500= 8000+ 500= 8500( 元 )答:第一年每间房屋的租金为 8000 元,第二年每间房屋的租金为 8500 元.
【例 4 】某市从今年 1月 1日起调整居民用水价格 , 每 m3水费上涨三分之一 , 小丽家去年 12月的水费是 15 元 ,今年 2月的水费是 30 元.已知今年 2月的用水量比去年 12月的用水量多 5m3, 求该市今年居民用水的价格 ?
分析 : 小丽家今年 2月份的用水量-小丽家去年 12月份的用水量 = 5m3 .每个月的用水量 ×水的单价 = 每个月的用水费.今年的用水单价 = 去年用水单价 ×(1+ ) .所以 ,首先要表示出小丽家这两个月的用水量.每个月的用水量 =水费 /水的单价.
1
3
解 :设该市去年用水的价格为 x 元 /m3,则今年的水价为 (1+1/3)x元 /m3, 根据题意得:
30 155
1(1 )
3xx
答 : 该市今年居民用水的价格为 2 元 /m3.
解这个方程,得 x=1.5
经检验, x=1.5 是原分式方程的根.
4
1.5 2( )3
元
【例 5 】照相机成像应用了一个重要原理,
即 ( v f) ,其中 f 表示照相机镜头
的焦距, u 表示物体到镜头的距离, v 表示胶片(像)到镜头的距离,如果一架照相机 f 已固定,那么就要依靠调整 u 、 v 来使成像清晰,问在 f , v 已知的情况下,怎样确定物体到镜头的距离 u?
f u v
1 1 1
解 : 1 1 1
f u v
方程两边同乘 fvu, 得 uv fv fu
解 ,得 fv
uv f
答 : 在 f , v 已知的情况下,物体到镜头的距离U 的值为 .
fv
v f
检验 : 由于 f,v 都是正数 ,且 f≠v, 所以 是原分式方程的解.
fv
uv f
( 1 )学校要举行跳绳比赛,同学们都积极练习.甲同学跳 180 个所用的时间,乙同学可以跳 216 个;又已知甲每分钟比乙少跳 20 个,求每人每分钟各跳多少个.
解:设甲每分钟跳 x个 ,列方程 ,得
180 216
20x x
解 ,得 x = 100经检验, x=100 是原分式方程的根.
所以乙每分钟跳 x+ 20= 100+ 20= 120( 个 )答 : 甲每分钟跳 100 个 , 乙每分钟跳 120 个.
小练习小练习
( 2 )一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期 4 天才能完成,如果两组合作 3 天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天 ?
解 : 设规定日期是 x 天,列方程,得
1 1 33( ) 1
4 4
x
x x x解 ,得 x = 12
经检验, x=12 是原分式方程的根. 答 :规定日期是 12 天.
( 3 )甲、乙两地相距 19 千米,某人从甲地去乙地,先步行 7 千米,然后改骑自行车,共用了2 小时到达乙地,已知这个人骑自行车的速度是步行速度的 4 倍,求步行的速度和骑自行车的速度.
解 : 设步行的速度是 x km/h .列方程 , 得
7 19 7
24x x
解 ,得
答 :步行的速度为 5 千米 / 时 ,骑自行车的速度为 20 千米 / 时.
x=5
经检验 ,x=5 是原分式方程的根. 所以骑自行车的速度为 :4x= 4×5= 20(km/h)
( 1 )审——仔细审题,找出等量关系 ;
( 2 )设——合理设未知数 ;
( 3 )列——根据等量关系列出方程 ( 组 );
( 4 )解——解出方程 ( 组 );
( 5 )验 ;
( 6 )答——答题.
归纳列分式方程解应用题的基本步骤 :
1 .解分式方程的一般步骤:
分式方程去分母 整式方程
解整式方程
x = a
检验
最简公分母为0最简公分母不为0a 是分式方程的解
目标
a不是分式方程的解
课堂小结
( 1 )审——仔细审题,找出等量关系 ;
( 2 )设——合理设未知数 ;
( 3 )列——根据等量关系列出方程 ( 组 );
( 4 )解——解出方程 ( 组 );
( 5 )验 ;
( 6 )答——答题.
2 .列分式方程解应用题的基本步骤 :
2 57
mx
x m
1 .已知方程 的解是 x=2 ,
则 m 的值为 ______ .
mx
x m
2 5
7 0
- 3
随堂练习
≠ ≠
±2
x
m
x
x
3
1
3
2
2 . 方程 没有实数解, 则值是( )
A . 0 B . 1 C . 4 D . 8
x m
x x
3 1
4 4
D
R21
12
RR
RR 1 2
1 2
AR R
.R R
2 1
1 2
R RB
R R.
1 2
1C.
R R
1 2
1 2
DR R
.R R
3 .已知 ( R1 、 R2均为正数) ,则
R 的值为( )
1 2
1 1 1
R R R
D
4 .关于 x 的方程 有实数
根,则 a 的取值范围是( )
A . a>2 B . a> 0 且 a≠2
C . a≠ 2 D . a≠±2
x a x
x a x
21 1 1
≠ ≠
±2
D
5 .解下列方程:
1 2
(1) 0x 1 x 1
( )
5 x2 1
2x 5 5 2x
x( )
x x
3
3 23 3
x 1
3
无解
x 10
3
6 .当 x 为何值时 , 分式 的值相等 ?x x
x x
1
1 3与
解 : 由题意得 ,
1
1 3
x x
x x=
解 ,得 x =- 3
经检验, x= - 3 是原分式方程的根.
所以当 x=- 3 时 , 分式 的值相等.
1
1 3
x x
x x与
7 . 甲、乙两车同时从 A地出发,到相距120 千米的 B地去,若甲车与乙车速度之比为2︰ 3 ,且甲车比乙车晚到 2.5 小时,求两车速度.
解 :设甲车速度为 x千米 /小时 ,则乙车速度为 千米 /小时.列方程 ,得
3
2x
120 120
2 532
.xx
解 ,得x = 16
经检验 ,x=16 是原分式方程的根. 所以乙车速度为 : (千米 /小时 )
3 316 24
2 2x
答 : 甲车速度为 16 千米 / 小时 , 则乙车速度为 24 千米 / 小时.
8 .轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相同.已知水流的速度是 3 千米 / 时,求轮船在静水中的速度.
解 : 设轮船在静水中的速度为 x 千米 / 时 , 列方程 , 得
80 60
3 3x x
解 ,得x = 21
经检验, x=21 是原分式方程的根.
答 :轮船在静水中的速度为 21 千米 / 时.
CC