要点梳理1. 等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母

表示 .

2. 等差数列的通项公式 如果等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，那么它

的 通项公式是 .

§6.2 等差数列及其前 n项和

从第二项起每一项与它相邻前面一项的差是同一个常数

公差

d

an=a1+ （ n-1 ） d

基础知识 自主学习

3. 等差中项

如果 ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .

4. 等差数列的常用性质（ 1 ）通项公式的推广： an=am+ ，（ n ，

m∈N* ） .

（ 2 ） 若 {an} 为 等 差 数 列 ， 且 k+l=m+n ，

（ k ， l ， m ， n∈N* ），则 .（ 3 ）若 {an} 是等差数列，公差为 d ，则 {a2n}

也是等 差数列，公差为 .（ 4 ） 若 {an} ， {bn} 是 等 差 数 列 ， 则

{pan+qbn} 是

.

2d

ak+al=am+an

(n-m)d

等差数列

2ba

A

（ 5 ） 若 {an} 是 等 差 数 列 ， 则 ak ， ak+m ，

ak+2m ，…（ k ， m∈N* ）是公差为 的等差数列 .

5. 等差数列的前 n 项和公式

设等差数列 {an} 的公差为 d ，其前 n 项和 Sn=

或 Sn= .

6. 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系

Sn= .

数列 {an} 是等差数列的充要条件是其前 n 项和公

式 Sn=f （ n ）是 n 的

，即 Sn= .

md

2)( 1 naan

dnn

na2)1(

1

nd

and

)2

(2 1

2

An2+Bn ，（ A2+B2≠0 ）

二次函数或一次函数且不含常数

项

7. 在等差数列 {an} 中， a1 ＞ 0 ， d＜ 0 ，则 Sn 存在最

值；若 a1 ＜ 0,d＞ 0, 则 Sn 存在最 值 .

8. 等差数列与等差数列各项的和有关的性质

（ 1 ）若 {an} 是等差数列，则 也成 数列，

其首项与 {an} 首项相同，公差是 {an} 公差的 .

（ 2 ） Sm ， S2m ， S3m 分别为 {an} 的前 m 项，前 2m 项，

前 3m 项的和， Sm ， S2m-Sm ， S3m-S2m 成 数列 .

小

等差

nSn

21

等差

大

（ 3 ）关于等差数列奇数项与偶数项的性质

① 若项数为 2n ，则 S 偶 -S 奇 = ， = .

② 若项数为 2n-1 ，则 S 偶 = （ n-1 ） an ， S 奇 =

an ， S 奇 -

S 偶 = ，

(4) 两 个 等 差 数 列 {an} 、 {bn} 的 前 n 项 和

Sn 、 Tn 之间

的关系为： = .

nd

n

an

偶

奇

S

S

.1

nn

S

S

偶

奇

1n

n

aa

n

n

ba

12

12

n

n

TS

基础自测1. （ 2009· 辽宁文， 3 ） {an} 为等差数列，且

a7-

2a4=-1,a3=0, 则公差 d= （

）

A.-2 B. C. D.2

解析 根据题意得 a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1,

∴a1=1. 又∵ a3=a1+2d=0,∴d=

B

21

21

.21

2. 已知数列 {an} 中 ,a1=1, 则 a10 等于（ ）

A. B.

C. D. 以上都不对

解析 由 a1=1, 得 为等差数列 .

∴

∴

B,3111

1

nn aa

3111

1

nn aa

na1

,32

31

31

)1(11

1

nnaan

.41

,432

3101

1010

aa

51

41

61

3. （ 2009· 福建理， 3 ）等差数列 {an} 的前 n

项和为 Sn, 且 S3=6,a3=4, 则公差 d 等于

（ ）

A.1 B. C.2 D.3

解析 设 {an} 首项为 a1, 公差为 d,

则 S3=3a1+ d=3a1+3d=6,

a3=a1+2d=4,∴a1=0,d=2.

C

35

223

4. 已知等差数列 {an} 的前 13 项之和为 39 ，则

a6+a7+a8

等于 （ ）

A.6 B.9 C.12 D.18

解析 由 S13= =13a7=39 得 a7=3 ，

∴a6+a7+a8=3a7=9.

B

2)(13 131 aa

5. 设 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和，若 则

等于 （ ）

A.1 B.-1 C.2 D.

解析 由等差数列的性质，

A

,95

3

5 aa

5

9

SS

21

,9

5

2

2

51

91

3

5

3

5 aa

aa

a

a

a

a

.195

59

59

2)(5

2)(9

51

91

51

91

5

9

aaaa

aa

aa

SS

题型一 等差数列的判定【例 1 】已知数列 {an} 的通项公式 an=pn2+qn

(p 、 q∈R ，且 p 、 q 为常数 ).

（ 1 ）当 p 和 q 满足什么条件时，数列 {an} 是等差

数列；（ 2 ）求证：对任意实数 p 和 q, 数列 {an+1-an} 是

等差数列 .

(1)由定义知 ,{an}为等差数列 ,an+1-an

必为一个常数 .

(2)只需推证 (an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数 .

思维启迪

题型分类 深度剖析

(1) 解 an+1-an= ［ p(n+1)2+q(n+1) ］ -

(pn2+qn)

=2pn+p+q,

要使 {an} 是等差数列 , 则 2pn+p+q 应是一个与 n

无关的常数 , 所以只有 2p=0, 即 p=0, .

故当 p=0 , 时，数列 {an} 是等差数列 .

(2) 证明 ∵ an+1-an=2pn+p+q,

∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,

∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p 为一个常数 .

∴{an+1-an} 是等差数列 .

Rq

Rq

探究提高 证明或判断一个数列为等差数列 ,通常有两种方法 :(1) 定义法 :an+1-an=d;(2) 等差中项法 :2

an+1=an+an+2. 就本例而言 , 第 (2) 问中 , 需证明 (an+

2-an+1)-(an+1-an) 是常数 ,而不是证 an+1-an 为常数 .知能迁移 1 设两个数列 {an},{bn} 满足 bn=

若 {bn} 为等差数列，求证：

{an} 也为等差数列 .

,321

32 321

n

naaaa n

证明 由题意有 a1+2a2+3a3+…+nan= ①

从而有 a1+2a2+3a3+…+ （ n-1 ） an-1

= bn-1 ，（ n≥2 ） ②2)1( nn

nbnn2)1(

由① -② ，得 nan=

整理得 an=

其中 d 为 {bn} 的公差（ n≥2 ） .

从而 an+1-an=

（ n≥2 ） .

又 a1=b1,a2= d+b1,∴a2-a1= d,

所以 {an} 是等差数列 .

,2)1(

2)1(

1

nn bnn

bnn

,2

1 nn bbnd

22

)1( 11 nnnn bbndbbdn

ddd

23

22

23

23

题型二 等差数列的基本运算【例 2 】在等差数列 {an} 中，

（ 1 ）已知 a15=33,a45=153, 求 a61;

（ 2 ）已知 a6=10,S5=5 ，求 a8 和 S8 ；

（ 3 ）已知前 3 项和为 12 ，前 3 项积为 48 ，且d ＞ 0,

求 a1.

在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中 a1 和 d是两个最

基本量，利用通项公式与前 n项和公式，先求出a1 和 d.

思维启迪

解 （ 1 ）方法一 设首项为 a1, 公差为 d, 依条件得

33=a1+14d a1=-23,

153=a1+44d d=4.

∴a61=-23+(61-1)×4=217.

方法二 由

由 an=am+(n-m)d,

得 a61=a45+16d=153+16×4=217.

, 解方程组得

,43033153

1545, 1545

aa

dmnaa

d mn 得

（ 2 ）∵ a6=10,S5=5,∴

解方程组得 a1=-5,d=3,

∴a8=a6+2d=10+2×3=16,

a1+5d=10

5a1+10d=5.

S8=8× =44.

(3) 设数列的前三项分别为 a-d,a,a+d, 依题意有 (a-d)+a+(a+d)=12

(a-d)·a·(a+d)=48,

a=4 a=4

a(a2-d2)=48 d=±2.

∵d ＞ 0,∴d=2,a-d=2.

∴ 首项为 2.∴a1=2.

2)( 81 aa

, ∴∴

方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用 .

探究提高

知能迁移 2 设 {an} 是一个公差为 d (d≠0) 的等差数列，它的前 10 项和 S10=110 且 a1,a2,a4

成等比数列 .

（ 1 ）证明 a1=d;

（ 2 ）求公差 d 的值和数列 {an} 的通项公式 .

（ 1 ） 证 明 因 为 a1,a2,a4 成 等 比 数 列 ， 故

=a1a4.

而 {an} 是等差数列，有 a2=a1+d,a4=a1+3d.

于是 (a1+d)2=a1(a1+3d),

即 +2a1d+d2= +3a1d. 化简得 a1=d.

（ 2 ）解 因为 S10=110 ， S10=10a1+ d ，

所以 10a1+45d=110.

由（ 1 ） a1=d, 代入上式得 55d=110,

故 d=2,an=a1+(n-1)d=2n.

因此，数列 {an} 的通项公式为 an=2n,n=1,2,3,

….

22a

21a

2910

21a

题型三 等差数列的性质及综合应用【例 3 】 （ 12 分）在等差数列 {an} 中，已知

a1=20, 前 n 项和为 Sn ，且 S10=S15 ，求当 n 取

何值时， Sn 取得最大值，并求出它的最大值 .

（ 1）由 a1=20及 S10=S15 可求得 d,进而求

得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用 Sn 是关于 n的二次函数，利用二次函数求最值

的方法求解 .（ 2）利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号 .

思维启迪

解 方法一 ∵ a1=20 ， S10=S15 ，

∴10×20+ d=15×20+ d ，

∴d= 4 分

∴an=20+ （ n-1 ） × 8 分

∴a13=0.

即当 n≤12 时， an ＞ 0,n≥14 时， an ＜ 0. 10 分

∴ 当 n=12 或 13 时， Sn 取得最大值，且最大值为

S12=S13=12×20+ =130. 12 分

2910

21415

.35

.3

65

3

5)3

5( n

)3

5(

2

1112

方法二 同方法一求得 d= 4 分

∴Sn=20n+

=

= 8 分∵n∈N+,∴ 当 n=12 或 13 时， Sn 有最大值，

且最大值为 S12=S13=130. 12

分

方法三 同方法一得 d= 4 分又由 S10=S15, 得 a11+a12+a13+a14+a15=0.

8 分∴5a13=0, 即 a13=0. 10

分∴ 当 n=12 或 13 时， Sn 有最大值，

且最大值为 S12=S13=130. 12 分

.35

)35

(2)1( nn

nn6125

65 2

.241253

)225

(65 2 n

.35

探究提高 求等差数列前 n项和的最值，常用的方法：（ 1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（ 2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（ 3 ）利用等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn （ A 、 B 为常

数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值 .

知 能 迁 移 3 在 等 差 数 列 {an}

中， a16+a17+a18=a9=-36, 其前 n 项和为 Sn.

（ 1 ）求 Sn 的最小值，并求出 Sn 取最小值时 n 的值；

（ 2 ）求 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.

解 （ 1 ）设等差数列 {an} 的首项为 a1, 公差为d,

∵a16+a17+a18=3a17=-36,∴a17=-12,

∴d= =3,

∴an=a9+(n-9)·d=3n-63,an+1=3n-60,

an=3n-63≤0

an+1=3n-60≥0

∴S20=S21=

∴ 当 n=20 或 21 时， Sn 最小且最小值为 -630.

824

917917

aa

令 , 得 20≤n≤21,

,6302

)]3(60[20

（ 2 ）由（ 1 ）知前 20 项小于零，第 21 项等于0 ，以后

各项均为正数 .

当 n≤21 时， Tn=-Sn=

当 n ＞ 21 时， Tn=Sn-2S21=

2)63360( nn

.2123

23 2 nn

2122

)63360(S

nn

.26012

123

2

3 2 nn

综上， Tn=（ n≤21 ， n∈N* ）

（ n＞ 21,n∈N* ） .

26012123

23

2123

23

2

2

nn

nn

方法与技巧1. 等差数列的判断方法有 (1) 定义法： an+1-an=d (d 是常数 ){an} 是等

差数列 .

(2) 中项公式： 2an+1=an+an+2 (n∈N*){an} 是

等差数列 .

(3) 通项公式： an=pn+q(p,q 为常数） {an} 是

等差数列 .

(4) 前 n 项和公式： Sn=An2+Bn （ A 、 B 为常

数） {an} 是等差数列 .

思想方法 感悟提高

2. 方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量，通过建立

方程（组）获得解 .

3. 等差数列的通项公式本身可以由累加法得到 .

4. 等差数列的前 n 项和公式 Sn= 很像梯形面

积公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方

法完全一样 .

5. 等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ d 可以变

形为 类似于匀加速直线运动的路程公式，

只要把 d 理解为加速度 .

2)( 1 naan

2)1( nn

,)2

(21

12 n

dadnSn

失误与防范1. 如 果 p+q=r+s, 则 ap+aq=ar+as, 一 般

地， ap+aq≠ap+q ，必须是两项相加，当然可以是ap-t+ap+t=2ap.

2. 等差数列的通项公式通常是 n 的一次函数，除非公差 d=0.

3. 公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数，且常数项为 0. 若某数列的前 n 项和公式是 n 的常数项不为 0 的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列 .

4. 公差 d= 类似于由两点坐标求直线斜率的计

算 .

5. 当 d 不为零时，等差数列必为单调数列 .

6. 从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成的数列仍是等差数列 .

,mn

aa mn

一、选择题

1. （ 2008· 广东理， 2 ）记等差数列 {an} 的前 n

项和为 Sn ，若 a1= ， S4=20 ，则 S6 等于

（ ）

A.16 B.24 C.36 D.48

解 析 ∵ S4=2+6d=20 ， ∴ d=3 ， 故

S6=3+15d=48.

D21

定时检测

2. （ 2009·安徽文， 5 ）已知 {an} 为等差数列，

a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99, 则 a20 等 于

（ ）

A.-1 B.1 C.3 D.7

解析 由已知得 a1+a3+a5=3a3=105,

a2+a4+a6=3a4=99,∴a3=35,a4=33,∴d=-2.

∴a20=a3+17d=35+(-2)×17=1.

B

3. （ 2009·湖南文， 3 ）设 Sn 是等差数列 {an}

的前 n 项和，已知 a2=3,a6=11, 则 S7 等于

（ ）

A.13 B.35 C.49 D.63

解析 ∵ a1+a7=a2+a6=3+11=14.

∴S7=

C

.492

)(7 71 aa

4. （ 2009· 宁夏、海南理， 7 ）等比数列 {an} 的

前 n 项和为 Sn, 且 4a1,2a2,a3 成等差数列，若

a1=1, 则 S4=

（）

A.7 B.8 C.15 D.16

解析 设等比数列的公比为 q ，则由 4a1,2a2,a3 成

等 差 数 列 ， 得4a2=4a1+a3.∴4a1q=4a1+a1q2.∴q2-

4q+4=0.

∴q=2,∴S4=

C

.151

)1( 41

qqa

5. 已 知 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d (d≠0) ， 且

a3+a6

+a10+a13=32, 若 am=8 ，则 m 为

（ ） A.12 B.8 C.6 D.4

解析 由等差数列性质 a3+a6+a10+a13

=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,

∴a8=8.∴m=8.

B

6. 各项均不为零的等差数列 {an} 中，若 -an-1-

an+1=0

(n∈N* ， n≥2) ，则 S2 009 等于 （

）

A.0 B.2 C.2 009 D.4 018

解析 ∵ =an-1+an+1=2an,an≠0,∴an=2.

∴Sn=2n,S2 009=2×2 009=4 018.

D

2na

2na

二、填空题

7. （ 2009· 辽宁理， 14 ）等差数列 {an} 的前 n

项和为 Sn, 且 6S5-5S3=5, 则 a4= .

解析 由题意知 6

+45d=15(a1+3d)=15a4=5, 故 a4= .

111 15)2

233(5)

2

455( adada

31

31

8. （ 2009· 全国Ⅱ理， 14 ）设等差数列 {an} 的

前 n 项和为 Sn, 若 a5=5a3, 则 = .

解析 设等差数列的公差为 d, 首项为 a1,

则由 a5=5a3 知 a1

95

9

S

S

.9)2(5)4(9

,23

1

1

5

9 dada

SS

d

9. 已 知 Sn 为 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 ， 若

a2∶a4=

7∶6 ，则 S7∶S3 等于 .

解析 ∵

2∶1

,76

,67

2

4

4

2 aa

aa

.2,76

3171

,76

331

771

3

7

3

7

2

4

SS

S

S

a

a

三、解答题10. 在 数 列 {an} 中 ， a1=1,3anan-1+an-an-1=0

(n≥2).

（ 1 ）求证：数列 是等差数列；

（ 2 ）求数列 {an} 的通项 .

（ 1 ）证明 因为 3anan-1+an-an-1=0 (n≥2),

整理得 =3 (n≥2).

所以数列 是以 1 为首项， 3 为公差的等差数列 .

（ 2 ）解 由（ 1 ）可得 =1+3(n-1)=3n-2,

所以 an=

na1

na1

1

11

nn aa

na1

.23

1n

11. 已 知 数 列 {an} 中 ， a1= ， an=2-

(n≥2, n∈N*), 数列 {bn} 满足 bn= (n∈N*).

（ 1 ）求证：数列 {bn} 是等差数列；

（ 2 ）求数列 {an} 中的最大项和最小项，并说明

理由 .

（ 1 ）证明 因为 an=2- (n≥2,n∈N*),bn=

所以当 n≥2 时， bn-bn-1=

53

1

1

na

11na

11na

11

11

1

nn aa

1

1

na

.11

111

1

1)1

2(

1

11

1

1

1

nn

n

n

n

aaa

aa

又 b1=

所以，数列 {bn} 是以 - 为首项，以 1 为公差的

等差数列 .

25

.25

11

1

a

（ 2 ）解 由（ 1 ）知， bn=n- , 则 an=

设函数 f(x)=1+ 易知 f(x) 在区间 (-∞, )

和 ( ,+∞)内为减函数 .

所以，当 n=3 时， an 取得最小值 -1 ；

当 n=4 时， an 取得最大值 3.

27

27

27

.72

21

11

nbn

72

2

x

12. 已 知 数 列 {an} 中 ， a1=5 且 an=2an-1+2n-1

(n≥2 且 n∈N*).

（ 1 ）求 a2,a3 的值；

（ 2 ）是否存在实数 ，使得数列 为等差数列 ,

若存在，求出 的值；若不存在 ,请说明理由 .

解 （ 1 ）∵ a1=5 ，

∴a2=2a1+22-1=13 ， a3=2a2+23-1=33.

（ 2 ）方法一 假设存在实数 ，使得数列 为等 差数列，

nna

2

nna

2

设 bn= , 由 {bn} 为 等 差 数 列 ， 则 有

2b2=b1+b3,

∴2×

解得 =-1.

事实上，

综上可知，存在实数 =-1, 使得数列 为等

差数列 .

nna

2

nna

2

,222 331

22 aaa

,8

3325

213

nn

nn

nnaa

bb2

1

2

11

11

.1]1)12[(2

1

]1)2[(2

1

11

11

nn

nnn aa

方法二 假设存在实数 , 使得 为等差数列 .

设 bn= , 由 {bn} 为等差数列，

则有 2bn+1=bn+bn+2 (n∈N*) ，

∴2×

∴ =4an+1-4an-an+2

=2(an+1-2an)-(an+2-2an+1)

=2(2n+1-1)-(2n+2-1)=-1 ，综上可知，存在实数 =-1, 使得数列 为等差数列 .

nna

2

nna

2

,222 22

11

nn

nn

nn aaa

nna

2

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