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B. A. 以 A 为起点, B 为终点的向量, 记为 AB , , a. 向量 AB 的大小叫做向量的模. 记为 || AB| | 或. §1 向量的概念及向量的表示. 一、向量的基本概念. ( 一 ) 向量的概念. 1. 向量 : 既有大小 , 又有方向的量 , 称为 向量 . ( 或 矢量 ). 2. 向量的几何表示法 : 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大小 , 有向线段的方向表示向量的方向. 大小相等且方向相同 ,. 特别 : 模为 1 的向量称为 单位向量. - PowerPoint PPT Presentation
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§1 向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念
1. 向量 : 既有大小 , 又有方向的量 , 称为向量 .
( 或矢量 ) 2. 向量的几何表示法 :
用一条有方向的线段来表示向量 .
以线段的长度表示向量的大小 ,
有向线段的方向表示向量的方向 .A
B
a
以 A 为起点 , B 为终点的向量 , 记为 AB, , a .a
向量 AB 的大小叫做向量的模 . 记为 ||AB|| 或
.|||| a
( 一 ) 向量的概念
3. 自由向量a b
自由向量:只有大小、方向 , 而无特定起点的向量 . 具有在空间中可以任意平移的性质 .
,ba与当向量 大小相等且方向相同 ,
记作相等与称 .ba ba
特别 : 模为 1 的向量称为单位向量 .
模为 0 的向量称为零向量 . 它的方向可以看作是任意的 .
1 、向量加法(1) 平行四边形法则 设有 ( 若起点不重合 ,
可平移至重合 ). 作以 为邻边的平行四边形 , 对角线向量 , 称为 的和 , 记作
ba、
ba与 .ba
ba、
baa
b
(2) 三角形法则baab
将 之一平行移动 , 使 的起点与 的终点重合 , 则由 的起点到 的终点所引的向量为
ba、
a
b
a
.ba
b
( 二 ) 向量的加减法
2. 向量加法的运算规律 .
(1) 交换律 :
abba
ba
a b
ccb
cba (2) 结合律 :
)()( cbacba 例如 :
4321 aaaas s
1a2a
3a4a
a
b
a
b
abba
3. 向量减法 .
(1) 负向量 : 与 模相同而方向相反的向量 ,
称为 的负向量 . 记作
a
a .a
aa
(2) 向量减法 .
规定 : )( baba
平行四边形法则 .将 之一平移 , 使起
点重合 , 作以 为邻边的平行四边形 , 对角线向量 ,
为
ba、
ba 和
.ba
三角形法则 .将 之一平移 , 使起
点重合 , 由 的终点向 的终点作一向量 , 即为
ba、
.ba
ab ba
a
b
ba a
b
b
ba
1. 定义 实数与向量 的 为一个向量 .a a乘积
其中 : |||||||||| aa
当 > 0 时 , ;同向与aa 当 < 0 时 , ;反向与aa 当 = 0 时 , .,它的方向可以是任意的oa
2. 数与向量的乘积的运算规律 :
(1) 结合律 : auauau )()()(
(2) 分配律 : auaau )(baba )(
a ( <0)aa
( >0)
( 三 ) 数与向量的乘法
结论 : 设 表示与非零向量 同向的单位向量 .aa
则 aaa ||||
或||||||||
1aa
aa
a
定理 1: 两个非零向量 平行ba与
.ba 存在唯一实数,使得
( 方向相同或相反 )
例 1: 在平行四边形 ABCD 中 , 设 AB= ,AD =
a b
试用 表示向量 MA,MB,MC 和 MD.ba和
其中 , M 是平行四边形对角线的交点 .
解 : ba由 = AC = 2MC
有 MC = )(21 ba
又 = BD = 2MDab
)(21 ab
有 MD =
MB = MD )(21)(
21 baab
)(21 ba
MA = MC
a
b
D
A B
C
M
1. 点在轴上投影
设有空间一点 A 及
轴 u, 过 A 作 u 轴的垂直
平面 , 平面与 u 轴的交
点 A' 叫做点 A 在轴 u 上
的投影 .
A'
A
u
( 四 ) 向量在轴上的投影
2. 向量在轴上的投影 .
设有向线段 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为点 A 和 B .
定义
B'
B
A'
A
u
向量 AB 在轴 u 上的投影向量或射影向量 .
称有向线段 A B 为
如果向量 e 为与轴 u
的正方向的单位向量,
xeBA 则称 x 为向量 AB 在轴 u 上的投影,记作 ABjuPr
即 xABju Pr
则向量 AB 的投影向
量 A'B' 有:
B'
B
A'
A
ue
显然;ABjuPr BA || ||
ABjuPr
当 与 u 轴同向时,
BA
当 与 u 轴反向时,
BA BA || ||
3. 两向量的夹角设有非零向量 ba
, ( 起点同 ).b
) ,( ba
a规定:正向间位于 0 到之间的那个夹角为 的夹角 ,
记为 或
) ,( ba
) ,( ab ba, ba
,
(1) 若 同向,则ba , 0) ,(
ba
(2) 若 反向,则ba ,
) ,( ba
(3) 若 不平行,则ba , ),0() ,(
ba
4. 向量的投影性质 .
定理 2. ( 投影定理 ) 设向量 AB 与轴 u 的夹角为
则 PrjuAB = || AB ||·cos
B
B
A
A
u
B1
定理 3: 两个向量的和在轴 u 上的投影等于两个向量在 该轴上的投影的和。
推论 :
nuuunu ajajajaaaj PrPrPr)(Pr 2121
B
B
A
A
u
C
C1a
2a21 aa
2121 PrPr)(Pr ajajaaj uuu 即
ajaj uu Pr)(Pr 即
定理 4: 实数与向量 的乘积在轴 u 上的投影,
等于乘以向量 在该轴上的投影。
a
a
二 . 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
1. 空间直角坐标系的建立
o
z
x
y
z
x
y
x 轴 ( 横轴 ) 、 y 轴 ( 纵轴 ) 、 z 轴 ( 竖轴 ) 组成了一个空间直角坐标系 , 又称笛卡尔 (Descarstes)坐标系,点 O 叫做坐标原点 .
o
( 一 ) 空间直角坐标系
2. 坐标面 .
由三条坐标轴的任意两条确定的平面 , 称为坐标面 , 分别叫 x y 面 . y z 面、 z x 面 , 它们将空间分成八个卦限 . z
IV
VI
V
VII
0
x
y
VIII
IIIII
I
1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示 .
R
Q
P
< M > (x, y, z)
记 : 点 M 为 M (x, y, z)
O
x
y
z
M
x
y
z
( 二 ) 空间向量的表示
(1) 若点 M 在 yz 面上 , 则 x = 0;
在 zx 面上 , 则 y = 0;
在 xy 面上 , 则 z = 0.
(2) 若点 M 在 x 轴上 , 则 y = z = 0
在 y 轴上 , 则 x = z = 0在 z 轴上 , 则 x = y = 0
特别 :
2. 空间向量的坐标表示(1) 起点在原点的向量 OM
设点 M (x, y,z)
以 i, j, k 分别表示沿 x, y, z轴正向的单位向量 , 称为基本单位向量 .
OM = OA + AN +NM
= OA + OB + OC = xi + yj + zk
x, y, z, 分别是 OM 在三坐标轴上的投影 , 称为OM 的坐标 .
z
i jk M
o
x
y
C
A
B
z
yx
N
简记为 OM =(x, y, z) 称为向量 OM 的坐标表示式 .
z
i jk M
o
x
y
C
A
B
z
yx
N
由于:22 |||||| NMONOM
222 zyx
从而:
222 |||||| OCOBOA
222 zyxOM (1)
(2). 起点不在原点 O 的任一向量 a = M1M
2设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)
a = M1M2 = OM2 OM1
= (x2 i+ y2 j + z2 k)
(x1 i + y1 j + z1 k)
= (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k
即 a = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1) 为向量 a 的坐标表示式记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1
分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影 , 称为 a 的坐标 .
z
xy
M1 M2a
o
a = M1M2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
22221 zyx aaaMM
两点间距离公式:由此得
212
212
212 )()()( zzyyxx (2
)
212
212
21221 )()()( zzyyxxMM (3)
(3). 运算性质设 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且为常数
a b = (ax bx , ay by , az bz )
a = (ax , ay , az)
证明 : a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)
= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)
= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k
a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz )
(4) 两向量平行的充要条件 .
设非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz),
即 ax =bx, ay =by, az =bz,
于是
注 : 在 (*) 式中 , 规定若某个分母为零相应的分子也为零 .
a // b z
z
y
y
x
x
ba
ba
ba (*)
a // b a = b则 (为常数 )
例如: (4, 0, 6) // (2, 0, 3)
1. 方向角 : 非零向量 a 与 x, y, z 轴正向夹角 , , 称为 a 的方向角 .2. 方向余弦 : 方向角的余弦
cos, cos, cos 称为方向余弦 .
3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式
故有 ax =|| a || cos
ay =|| a || cos
az =|| a || cos
a
y
z
x
0
设 a =(ax, ay, az,)
( 三 ) 向量的模与方向余弦的坐标表示式
又:222|||| zyx aaa a
222
222
222
cos
,cos
,cos
zyx
z
zyx
y
zyx
x
aaa
a
aaa
a
aaa
a
(4)
(5)
由 (5) 式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1 (6)
设 ao 是与 a 同向的单位向量ao
||a||
a
222222222,,
zyx
z
zyx
y
zyx
x
aaa
a
aaa
a
aaa
a
= (cos , cos , cos ) (7)
例 2. 已知两点 M1(2, 2, ) 和 M2(1, 3, 0).
计算向量 M1 M2 的模 , 方向余弦和方向角 .
2
解 : M1 M2 = (1, 1, )2
||M1 M2 || = ;24)2(1)1( 222
;2
2cos ,21cos ,
21cos
43 ,
3 ,
32
例 3: 在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和 B(3, 5, 2)
等距离的点 .
解 : 设该点为 M(0, 0, z)
由题设 |MA| = |MB|.
即 :
222
222
)2()05()03(
)7()01()04(
z
z
解得 : 914z
所求点为 M (0, 0, )9
14
例 4 证明以 M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 .
解 :14)12()31()47(|| 222
21 MM
6)23()12()75(|| 222
32 MM
6)13()32()45(|| 22213 MM
由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形 .
§2 向量的数量积 . 向量积及混合积一、 向量的数量积例如 : 设力 F 作用于某物体上 , 物体有一段位移 S
, 求功的表示式 .解 : 由物理知 , 与位移平行的分力作
功 , 与位移垂直的分力不作功 .
于是W=|F |cos |S | = |F | |S | cos
s
F
且2
0 当 时,做正功;
2
当 时,做负功;
2
当 时,不做功。
设有两个向量 a 、 b, 它们的夹角为 ,
即 : a b = |a| |b| cos
1. 定义 1:
将数值 |a ||b|cos 称为 a 与 b 的数量积
( 或 点积 ), 记作 a b .内积
注 1: 当 a 0 时 , | b | cos = Prjab
当 b 0 时 , | a |cos = Prjb
a于是 a b = |a| Prjab = |b| Prjba
注 2: a a = | a |2
例如 : i i = j j = k k = 1
a b = |a| |b| cos
(1) 交换律 a b = b a
(2) 分配律 (a + b) c = a c + b c(3) 数量积满足如下结合律 :
( a) b = a ( b) = (a b), 为实数
2. 数量积的性质
(4) a a 0 , a = 0且 a a = 0
a b = |a| |b| cosa b = |a| Prjab = |b| Prjb
a
证 : 必要性 : 设 a b, .2
则
02
cos||||
baba
充分性 : 设 a b = | a | |b |cos =0; 由 a 0, b 0,
得 : cos =0 ,2
即 a b
例如 : i 、 j 、 k 互相垂直 , 所以
i j = j k = i k = 0
(5) 两个非零向量 a , b 垂直 a b = 0
如图 , 利用数量积证明三角形的余弦定理
| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos
证 :
| c |2 = | a b |2 = (a b) (a b)
= a a + b b 2 a b= | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos
| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos故 :
ab
c
例 1.
由于 c = a b , 于是
= a (a b) b (a b)
3. 数量积的坐标表示式设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), 则
a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )
= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k )
+ az k (bx i + by j + bz k )
= ax bx i i + ax by i j + ax bz i k
+ ay bx j i +ay by j j + ay bz j k
+ az bx k i + az by k j + azbz k k
= ax bx + ay by + az bz
得公式 : a b = ax bx + ay by + az bz (1)
推论 : 两个非零向量
a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz) 垂直
ax bx + ay by + az bz = 0
4. 数量积在几何中的应用
设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz),
(1) 求 a 在 b 上的投影 .
Prjba = | a | )cos(
a,b
由 |a | |b | = a b , 得
)cos(
a,b
222jPr
zyx
zzyyxx
bbb
bababa
|b|
baab (2)
已知 :
(2) 求两向量 a, b 的夹角
由 | a | | b |cos = a b, 知
|a||b|
baθ
cos
(3)222222zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
已知三点 M (1, 1, 1), A(2, 2, 1) 和 B(2, 1, 2), 求 AMB.
AMB 即为向量 MA 与 MB 的夹角 . 由MA= (1, 1, 0), MB = (1, 0, 1)
得 : cosAMB=|||| MBMA
MBMA
2
1
101011
100111222222
所以3
AMB
例 2
解 :
由力学规定 : 力 F 对支点 O
的力矩是一个向量 M .其中 :
F
OQ
P L
(1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin ·|F | = |OP| |F | sin(2) M 的方向 : 垂直于 OP 与 F 所在的平面 , 指向满足右手规则 . 即 : 右手四指从 OP 以不超过的角转向 F 握拳 , 大拇指的指向就是 M 的方向 .
设 O 为一根杠杆 L 的支点 , 有一个力 F 作用于这杠杆上 P 点处 , F 与 OP 的夹角为 , 考虑 F 对支点 O 的力矩 .
例如 :
二、两向量的向量积
a
b
c = ab
(1) | c | = | a | | b | sin
(2) c 与 a 、 b 所在的平面垂直 , ( 即 c a 且 c b). c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 .
则将向量 c 称为 a 与 b 的向量积 , 记作 : a b.即 : c = a b
注 : 向量积的模的几何意义 .
以 a 、 b 为邻边的平行四边形 , 其面积等于 | a | | b |sin
, 所以 a b 的模 , 等于以 a 、 b 为邻边的平行四边形的面积 .
1. 定义 1:设有两个向量 a 、 b,
夹角为 , 作一个向量 c, 使得
向量积的性质(1) a a = 0
(2) 反交换律 a b = b a
(3) 分配律 a (b + c) = a b + a c
(4) 向量积与数乘满足结合律 :
(b + c) a = b a + c a
( a) b = a ( b) = (a b ), 为实数
| c | = | a | | b | sin
必要性 : 设 a 、 b 平行 , 则 = 0 或 = . 于是
| a b | = | a | | b |sin = 0
所以 a b = 0
充分性 : 设 a b = 0 则 | a b | = | a | | b |sin = 0
由 | a | 0, | b | 0, 得
= 0 或 = . 所以 a 与 b 平行
证 :
(5) 两个非零向量 a 、 b 平行 a b = 0
例如 : i i = j j = k k = 0
i j = k
j i = k k j = i i k = j
k j
i
x
y
z
k i = jj k = i
2 、向量积的坐标表示式设 a =(ax, ay , az) b = (bx , by , bz) 则a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )
= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k )
+ az k (bx i + by j + bz k )
= ax bx (i i) + ax by ( i j ) + ax bz( i k )
+ ay bx (j i) + ay by ( j j ) + ay bz (j k )
+ az bx (k i) + az by ( k j ) + azbz( k k
)= ax by k + ax bz( j ) + ay bx(k) + ay bz i +
az bx j + az by( i )= ( ay bz az by) i+( az bx ax bz) j+ ( ax by ay bx) k
得公式 :
a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) k
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
求垂直于向量 a = (2, 2, 1) 和 b = (4, 5, 3) 的向量c. a b 同时垂直于 a 、 b
354
122
kji
ba
= 6i + 4j + 10k 8k 6j 5i
= i 2j + 2k
取 c = a b = (1, 2 , 2).
显然 , 对于任意 0R, c = (,2, 2) 也与 a 、 b 垂直 .
例 3:
解 :
而
已知 ABC 的顶点分别是 A(1, 2, 3), B(3, 4,
5), C(2, 4, 7), 求 ABC 的面积 .
x
y
z
AB
C
o
由向量积的定义 .
||2
1ACABS ABC
而 AB = (2, 2, 2)
AC = (1, 2, 4)
所以421
222
kji
ACAB = 4i 6j + 2k
于是 ||2
1ACABS ABC 142)6(4
2
1 222
例 4:
解 :
三、两向量的混和积
1. 定义 2 称 与 的向量积
再与向量 的数量积为向量 , ,
[ ] = ( )
即的混合积,记作 [ ]
设有三个向量 , , ,
则有设向量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz), = (bx , by , bz),
2. 混合积的坐标表示式
zy
zy
bb
aa
zx
zx
bb
aa
yx
yx
bb
aai j k ,
)(zy
zy
bb
aa
zx
zx
bb
aa
yx
yx
bb
aacx cy cz,
zyx
zyx
bbb
aaai j k
)( .
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
混合积性质:
(1) [ ] = [ ]= [ ]
= – [ ]= – [ ] = – [ ]
事实上,若 , , 在同一个平面上,则 垂直于它们所在的平面,故 垂直于 , 即
( ) = 0
(2) , , 共面 [ ]= 0
混合积 ( ) 的绝对值等于以 , ,
为棱的平行六面体的体积 V 的数值。
h
平行六面体
所以,
= |( ) |
3 、混合积 ( ) 的几何意义
|| ijph
V = S h = || || ijp
|| S底面积高 h 为 在 上的投影的绝对值
a b = |a| Prja
b
例 5:已知空间内不在一个平面上的四点 A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y 2 , z 2),
C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4)
求四面体 ABCD 的体积。解:四面体 ABCD 的体积等于以 AB, AC 和
AD 为棱的平行六面体体积的六分之一,
.|][|6
1ADACABV
AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1),
AC = (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1),
AD = (x4 – x1, y4 – y1, z4 – z1),
即
所以,
V = ,
,,
,,
,,
6
1
141414
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。