1 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่prankratai.ac.th/images/File/merged4.pdf · เฉลยแบบฝึกทักษะที่

1

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 1 เรอง ล าดบ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม

รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 6

นางสาวสดสายใจ อนกรด ต าแหนงคร วทยฐานะ ครช านาญการ โรงเรยนพรานกระตายพทยาคม จงหวดก าแพงเพชร ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 41

เลมท 1 เรอง ล าดบ

2


ค าน า

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรองล าดบและอนกรม รายวชาคณตศาสตรพนฐาน

ชนมธยมศกษาปท 6 จดท าขนเพอพฒนาทกษะกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตรและเพอให นกเรยนมผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตรสงขน นกเ รยนสามารถสรางองคความรได จากเนอหา ตวอยาง ดวยกระบวนการทหลากหลาย สามารถเรยนรไดดวยตนเองเปนการสงเสรมการจดการเรยนรทเนนผเรยนเปนส าคญไดเปนอยางด พรอมทงสงเสรมใหนกเรยนไดมโอกาสเรยนรตามความถนดของตนท าใหนกเรยนมความเขาใจเนอหามากยงขน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรองล าดบและอนกรม รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 6 ประกอบดวยแบบฝกทกษะคณตศาสตรจ านวน 6 เลม ดงน

เลมท 1 เรอง ล าดบ เลมท 2 เรอง ล าดบเลขคณต เลมท 3 เรอง ล าดบเรขาคณต

เลมท 4 เรอง สญลกษณแทนการบวก เลมท 5 เรอง อนกรมเลขคณต เลมท 6 เรอง อนกรมเรขาคณต

แบบฝกทกษะคณตศาสตรแตละเลมประกอบดวย ค าชแจง สาระและมาตรฐานการเรยนร/ตวชวด จดประสงคการเรยนร แบบทดสอบกอนเรยน เกมคณตคดสนก ใบความร แบบฝกทกษะ แบบทดสอบหลงเรยน ซงมการน าเสนอใหนกเรยนไดเรยนรจากงายไปหายาก แบงเนอหาเปนขนตอน นกเรยนไดฝกปฏบตไปตามล าดบ

ผจดท าหวงเปนอยางยงวา แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนจะเปนแนวทางในการจดกจกรรมการจดการเรยนรในชนเรยนไดเปนอยางด และท าใหนกเรยนมความร ความเขาใจ และ มเจตคตทดตอรายวชาคณตศาสตรดยงขน

สดสายใจ อนกรด

3


สารบญ

หนา

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 1 เรอง ล าดบ……............................................................... 1 ค าน า........................................................................................................................................ 2 สารบญ..................................................................................................................................... 3 ค าชแจงการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร................................................................................ 5 ค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบคร…........................................................ 6 ค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบนกเรยน.................................................... 7 สาระและมาตรฐานการเรยนร /ตวชวด…………………….................................................... 8 จดประสงคการเรยนร……………......…………………….................................................... 9 ขนตอนการเรยนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร………..................................................... 10 แบบทดสอบกอนเรยน……………………………………..................................................... 11 ใบความรท 1 เรอง ความหมายของล าดบ…………………..................................................... 16 แบบฝกทกษะท 1 เรอง ความหมายของล าดบ ....................................................................... 18 แบบฝกทกษะท 2 เรอง ล าดบจ ากดและล าดบอนนต............................................................. 19 เกมคณตคดสนก 1 ตามหาฉนใหเจอ….…………………..................................................... 20 ใบความรท 2 เรอง การเขยนล าดบ…….................................................................................. 21 แบบฝกทกษะท 3 เรอง การเขยนล าดบแบบแจงพจน............................................................. 24 เกมคณตคดสนก 2 สนกกบเกมสรางรปแบบจ านวน............................................................... 25 ใบความรท 3 เรอง การหาพจนถดไปของล าดบ...................................................................... 26 แบบฝกทกษะท 4 เรอง การหาพจนถดไปของล าดบ.............................................................. 28 ใบความรท 4 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบ..................................................................... 30 แบบฝกทกษะท 5 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบ………….............................................. 33 ใบความรท 5 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม................................. 35 แบบฝกทกษะท 6 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม.......................... 39 ใบความรท 6 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบกรณผลตางสองชนโดยวธลด...................... 41

4


สารบญ (ตอ)

หนา

แบบฝกทกษะท 7 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบกรณผลตางสองชนโดยวธลด.............. 44 แบบทดสอบหลงเรยน…......................................................................................................... 46 บรรณานกรม........................................................................................................................... 51 ภาคผนวก................................................................................................................................. 52 เกณฑการใหคะแนน…………………...…….……................................................................ 53 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน………………….……................................................................ 56 เฉลยแบบฝกทกษะท 1 เรอง ความหมายของล าดบ……........................................................ 60 เฉลยแบบฝกทกษะท 2 เรอง ล าดบจ ากดและล าดบอนนต...................................................... 61 เฉลยเกมคณตคดสนก 1 ตามหาฉนใหเจอ….…………………............................................. 62 เฉลยเกมคณตคดสนก 2 สนกกบเกมสรางรปแบบจ านวน....................................................... 63 เฉลยแบบฝกทกษะท 3 เรอง การเขยนล าดบแบบแจงพจน…................................................. 64 เฉลยแบบฝกทกษะท 4 เรอง การหาพจนถดไปของล าดบ…….............................................. 65 เฉลยแบบฝกทกษะท 5 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบ...................................................... 67 เฉลยแบบฝกทกษะท 6 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม................. 70 เฉลยแบบฝกทกษะท 6 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบกรณผลตางสองชนโดยวธลด........ 75 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน…………………………………………………......................... 80 แบบบนทกคะแนนแบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 1 เรอง ล าดบ……............................... 84

5


ค าชแจงการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร

1. แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 6 ประกอบดวยแบบฝกทกษะคณตศาสตร จ านวน 6 เลม ดงน

เลมท 1 เรอง ล าดบ เลมท 2 เรอง ล าดบเลขคณต

เลมท 3 เรอง ล าดบเรขาคณต เลมท 4 เรอง สญลกษณแทนการบวก เลมท 5 เรอง อนกรมเลขคณต

เลมท 6 เรอง อนกรมเรขาคณต 2. แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน จดท าขนเพอใชเปนสอการจดกจกรรมการเรยน การสอนใหผเรยนไดศกษาท าความเขาใจและสามารถฝกฝนไดดวยตนเองและพฒนาทกษะกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร เพอใหนกเรยนมผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตรสงขน โดยมครผสอนเปนผคอยแนะน า

3. แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 6 เลมน เปนเลมท 1 เรอง ล าดบ ประกอบดวย ค าชแจงการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร ค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบคร ค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบนกเรยน สาระและมาตรฐานการเรยนร ตวชวด จดประสงคการเรยนร แบบทดสอบกอนเรยน เกมคณตคดสนก ใบความร แบบฝกทกษะ แบบทดสอบหลงเรยน เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เฉลยเกมคณตคดสนก เฉลยแบบฝกทกษะ เฉลยแบบทดสอบเหลงเรยน 4. แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนใชเวลาเรยน 6 ชวโมง

6


การใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม ชนมธยมศกษาปท 6 ครผสอนมบทบาทส าคญทจะชวยใหการเรยนรของนกเรยนบรรลตามวตถประสงค ครผสอนจงควรศกษารายละเอยดเกยวกบการปฏบตตนกอนทจะใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรตามขนตอน ดงน

1. ศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตร และอานเนอหาสาระอยางละเอยดรอบคอบพรอมทงท าความเขาใจเนอหากอนน าแบบฝกทกษะคณตศาสตรไปใช

2. ชแจงขนตอนการเรยนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรใหนกเรยนเขาใจ และเนนย าเรองความซอสตยและความมวนย โดยไมลอกเพอน ไมใหเพอนท าให ไมเปดดเฉลยกอนลงมอท าและสงแบบฝกทกษะคณตศาสตรตามก าหนดเวลา

3. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน เพอเปนการวดความรพนฐานของนกเรยน แตละคน

4. ใหนกเรยนเปลยนกนตรวจแบบทดสอบกอนเรยน และบนทกผลคะแนนลงใน แบบบนทกคะแนน

5. แจงสาระและมาตรฐานการเรยนร ตวชวด จดประสงคการเรยนร ใหนกเรยนทราบ 6. จดกจกรรมการเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน ควบคกบแผนการจดการ

เรยนร 7. สงเกตความสนใจในการเรยน ความตงใจในการท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรและ

การท างานรวมกนเปนกลมของนกเรยนอยางใกลชด และใหค าแนะน าเมอนกเรยนมขอสงสยซกถาม 8. เมอนกเรยนท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรเสรจแลว ใหชวยกนตรวจค าตอบจากเฉลย

และบนทกผลคะแนนลงในแบบบนทกคะแนน จากนนรวมกนสรปองคความร โดยครคอยแนะแนวทาง และอธบายเพมเตม

9. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเพอประเมนความกาวหนาของนกเรยน 10. ใหนกเรยนเปลยนกนตรวจแบบทดสอบหลงเรยน และบนทกผลคะแนนลงใน

แบบบนทกคะแนน

ค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบคร

7


ค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร

ส าหรบนกเรยน ในการศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม ชนมธยมศกษาปท 6

เลมท 1 ล าดบ นกเรยนควรปฏบตตามค าแนะน า ดงน 1. อานค าชแจงการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร ค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะ

คณตศาสตรส าหรบนกเรยนใหเขาใจ กอนลงมอปฏบตกจกรรม 2. ศกษาสาระและมาตรฐานการเรยนร ตวชวด จดประสงคการเรยนร และขนตอน

การเรยนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรใหเขาใจ 3. ท าแบบทดสอบกอนเรยน ลงในกระดาษค าตอบ และเปลยนกนตรวจค าตอบจากเฉลย

แบบทดสอบกอนเรยนพรอมทงบนทกคะแนนลงในแบบบนทกคะแนนเพอวดความรพนฐาน ของตนเอง

4. ศกษาและท าความเขาใจเนอหาจากใบความรและตวอยาง 5. ท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรดวยตนเองตามล าดบ ตองมความซอสตย ไมเปดดเฉลย

กอนลงมอท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร และเปลยนกนตรวจแบบฝกทกษะตามเฉลยแลวบนทกคะแนนทไดลงในแบบบนทกคะแนน

6. เมอนกเรยนไมเขาใจ ท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรขอใดไมได หรอมปญหาขอสงสย ในเนอหา ใหกลบไปศกษาใบความรและตวอยางอกครงจนเขาใจด หรอขอค าแนะน าจากครผสอนแลวจงกลบมาท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรอกครงใหถกตอง

7. ท าแบบทดสอบหลงเรยนลงในกระดาษค าตอบ และเปลยนกนตรวจค าตอบจากเฉลย แบบทดสอบหลงเรยนพรอมทงบนทกคะแนนลงในแบบบนทกคะแนน เพอประเมนความกาวหนาของตนเอง 8. ในแตละแบบฝกทกษะนกเรยนตองท าแบบฝกทกษะถกตองรอยละ 70 ขนไปของจ านวนขอทงหมด จงจะถอวาผานเกณฑการประเมนของแตละแบบฝก

8


สาระและมาตรฐานการเรยนร /ตวชวด

สาระท 4 พชคณต

มาตรฐาน ค 4.1 เขาใจและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และฟงกชน

ตวชวด ค 4.1 ม.4 – 6/5 เขาใจความหมายของล าดบเลขคณต และล าดบเรขาคณต หาพจนตางๆของล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณต และน าไปใช

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร

การสอความหมายทางคณตศาสตร และการน าเสนอการเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ตวชวด ค 6.1 ม.4 – 6/2 ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร และเทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณ ตางๆ ไดอยางเหมาะสม

ตวชวด ค 6.1 ม.4 – 6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม ตวชวด ค 6.1 ม.4 – 6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอ

ความหมาย และการน าเสนอไดอยางถกตอง และชดเจน

9


จดประสงคการเรยนร

1. ดานความร 1.1 นกเรยนสามารถบอกความหมายของล าดบไดอยางถกตอง 1.2 นกเรยนสามารถอธบายไดวาล าดบใดเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนตไดอยางถกตอง 1.3 นกเรยนสามารถเขยนล าดบในรปแจงพจนไดอยางถกตอง 1.4 นกเรยนสามารถหาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหไดอยางถกตอง

2. ดานทกษะกระบวนการ

2.1 การแกปญหา 2.2 การใหเหตผล 2.3 การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ

3. ดานคณลกษณะอนพงประสงค 3.1 ซอสตยสจรต 3.2 มวนย 3.3 ใฝเรยนร 3.4 มงมนในการท างาน

เวลาทใชในการศกษา จ านวน 6 ชวโมง

10


ขนตอนการเรยนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร

อานค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร

ท าแบบทดสอบกอนเรยน

ศกษาใบความร ท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร

ตรวจแบบฝกทกษะคณตศาสตร

ท าแบบทดสอบหลงเรยน

ศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมตอไป

ประเมนผล

ผานเกณฑรอยละ 70

ไมผานเกณฑรอยละ 70

เรยนซอมเสรมโดยใช แบบฝกทกษะคณตศาสตรเดม

โดยปฏบตดงน - เพมเวลาในการเรยน - ใหเพอนชวยเหลอ แนะน า - ปรกษาคร

11


จดประสงคการเรยนร

1. นกเรยนสามารถบอกความหมายของล าดบไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถอธบายไดวาล าดบใดเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนตไดอยางถกตอง 3. นกเรยนสามารถเขยนล าดบในรปแจงพจนไดอยางถกตอง 4. นกเรยนสามารถหาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหไดอยางถกตอง

…………………………………………………………………………………………………….…

ค าชแจง 1. แบบทดสอบฉบบนเปนขอสอบแบบปรนยชนดเลอกตอบ จ านวน 10 ขอใชเวลา

ท าแบบทดสอบทงหมด 20 นาท 2. ใหนกเรยนพจารณาวาขอใดเปนค าตอบทถกตองทสด ขอละหนงค าตอบแลว

ท าเครองหมาย ( ) ทชองวาง ก, ข, ค หรอ ง ในกระดาษค าตอบทแจกใหดงน

ตวอยาง

ขอ ก ข ค ง 1 2

แบบทดสอบกอนเรยน



เวลา 20 นาท คะแนนเตม 10 คะแนน

12


3. หากตองการเปลยนตวเลอกใหมในแตละขอใหด าเนนการดงน


4. เกณฑการใหคะแนน ตอบถก ไดคะแนน 1 คะแนน ตอบผด ไดคะแนน 0 คะแนน 5. หามขดเขยนเครองหมายหรอขอความใดๆ ลงในแบบทดสอบ กอนไดรบอนญาต

*****************************************************************************

1. พจารณาฟงกชนในขอตอไปนขอใดเปนล าดบ ก. f = {(1,2), (2,5), (3,11), (4,14), ...} ข. g = {(1,–12), (3,–14), (5,–18)} ค. h = {(0,10), (1,30), (2,90), (3,27)}

ง. I = {(2,0), (4,1), (6,2), (8,3)}

2. ล าดบในขอใดเปนล าดบจ ากด ก. na = 3 5n ข. na = 5 3n

ค. na = n2 , 8 n In , <

ง. na = 2)((1)n 2n , nN

3. 4 พจนแรกของล าดบ na = 2 3n ตรงกบขอใด ก. 1, 3, 5, 7 ข. 1, 4, 7, 10 ค. 1, 5, 8, 11

ง. 1, 3, 7, 11

13


4. ขอใดตอไปนถก ก. –1, 1, –1, 1, … ม 11 9 aa = 0 ข. 100, 99, 97, 94, … ม 10a = 90

ค. 2, 4, 8, 16, … ม 20a = 1n2 ง. 2, 4, 6, 8 , … ม na = 2n

5. ก าหนดล าดบทม na

เปนจ านวนคnเมอ4 เปนจ านวนคnเมอ1 n2

ขอใดคอ 4 พจนแรกของล าดบน ก. 2, 5, 10, 15

ข. 4, 5, 4, 15 ค. –4, 5, –4, 17 ง. –4, 5, –4, 16

6. ถาล าดบมพจนทวไป หรอ 12n

7na n

2

จงหาวา 9

112 ตรงกบพจนทเทาใด

ก. 5 ข. 4 ค. 3 ง. 2

7. พจนถดไปสองพจนของล าดบ 1, 6, 16, 31, … ตรงกบขอใด ก. 36, 46

ข. 41, 56 ค. 51, 66 ง. 51, 76

ค ค

14


8. พจนทวไปของล าดบ 1, 5, 9, 13, … ตรงกบขอใด ก. na = 3 4n

ข. na = 4 5n ค. na = 4 3n ง. na = 3 4n

9. ก าหนดพจนทวไป na = 1)(1)( n +n คาของ 20 10 aa ตรงกบขอใด ก. 22 ข. 32 ค. 231 ง. 232

10. ล าดบ 0, 1, 4, 9, 16 พจนทวไปตรงกบขอใด ก. na = 2n ข. na = 2+1)(n ค. na = 21)(n ง. na = 1n 2

15


กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน


ชอ – สกล ............……………… ………..….………ชน……เลขท..…...คะแนนทได…..…คะแนน

ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย ลงในชอง ก, ข, ค หรอ ง ในกระดาษค าตอบ

ใหถกตองเพยงค าตอบเดยว

แบบทดสอบกอนเรยน

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนเตม 10 คะแนน คะแนนทได

16


1 2 3 4

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนสามารถบอกความหมายของล าดบไดอยางถกตอง

2. นกเรยนสามารถอธบายไดวาล าดบใดเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนตไดอยางถกตอง

ความหมายของล าดบ 1) พจารณาความสมพนธของ r1 = {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7)} ความสมพนธของ r1

เปนฟงกชนทม {1, 2, 3, 4} เปนโดเมน และม {1, 3, 5, 7} เปนเรนจ 2) พจารณาแบบรปของจ านวน 5, 10, 15, 20, 25, 30, … จากแบบรปขางตน

เขยนความสมพนธระหวางล าดบทกบจ านวนแตละจ านวนในแบบรป ไดดงน

ล าดบท 1 2 3 4 5 6 จ านวน 5 10 15 20 25 30

จากตารางจะเหนวา ความสมพนธขางตนเปนฟงกชน มโดเมนเปน {1, 2, 3, 4, 5, 6} และมเรนจเปน {5, 10, 15, 20, 25, 30}

3) พจารณาแผนภาพการจบคของโดเมนกบเรนจ ดงน

โดเมน เรนจ

ใบความรท 1 เรอง ความหมายของล าดบ

2 4 8 16

ใชเวลา 20 นาท

17


จากแผนภาพการจบคของโดเมนกบเรนจจะเหนวา ความสมพนธขางตนเปนฟงกชน

มโดเมนเปน {1, 2, 3, 4} และมเรนจเปน {2, 4, 6, 8} ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรกหรอโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามากโดยเรมตงแต 1 เรยกวา ล าดบ

ตวอยางท 1 จงพจารณาวาขอใดตอไปนเปนล าดบ 1. f = {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)} เปนล าดบ

เพราะมโดเมนเปน {1, 2, 3, 4} เปนเซตของจ านวนเตมบวก 4 ตวแรก 2. g = {(1, –1), (2, –2), (3, –3), (4, –4), …} เปนล าดบ

เพราะมโดเมนเปน {1, 2, 3, 4, …} เปนเซตของจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอย ไปหามากโดยเรมตงแต 1

ล าดบจ ากดและล าดบอนนต ในกรณทฟงกชนเปนล าดบทมโดเมนเปน {1, 2, 3, ... , n} จะเรยกล าดบดงกลาววา ล าดบจ ากด และในกรณทฟงกชนเปนล าดบทมโดเมนเปน {1, 2, 3, ... } จะเรยกล าดบดงกลาววา ล าดบอนนต

ในการเขยนล าดบจะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจเรยงกนไป กลาวคอ ถา a เปนล าดบจ ากดจะเขยนแทนดวย n 3 2 1 aaaa ,...,,, ในกรณท a เปนล าดบอนนตจะเขยนแทนดวย

...,,...,,, n 3 2 1 aaaa ตวอยางท 1 จงเขยนล าดบจากฟงกชนทก าหนดใหในแตละขอ พรอมทงบอกล าดบทได

เปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต 1. f = {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7), (5,9)} เขยนเปนล าดบ คอ 1, 3 , 5, 7, 9

ทม 1a = 1, 2a = 3, 3a = 5, 4a = 7, 5a = 9 , มจ านวน 5 พจน เปนล าดบจ ากด 2. f = {(x,y)y = 3x – 2, x I+} เขยนเปนล าดบ คอ 1, 4, 7, 10, …

ทม 1a = 1, 2a = 4, 3a = 7, 4a = 10 และมจ านวนไปเรอยๆ เปนล าดบอนนต

18


แบบฝกทกษะท 1 เรอง ความหมายของล าดบ

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถบอกความหมายของล าดบไดอยางถกตอง

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางพรอมทงพจารณาวาขอใดเปนล าดบ

หรอไมเปนล าดบโดยเขยนเครองหมาย ใหตรงค าตอบทถกตอง (ขอละ 2 คะแนน)

ฟงกชน โดเมน เรนจ เปน ล าดบ

ไมเปน ล าดบ

1. {(1,5), (2,10), (3,15)} 2. f(x) = x + 1 , x = 1, 2, 3, … 3. {(2,3), (4,6), (5,9), …} 4. {(1, –1), (2, –2), (3, –3)} 5. {(1,1), (5,4), (7,9), …} 6. f(x) = 2x – 1 , x = 1, 2, 3, … 7. f(x) = 2x , x = 0, 1, 2 8. f(x) = (– 1)xx , x = 1, 2, 3, …, n 9. f(x) = 3x + 1 , x = 1, 2, 3, … 10. f(x) = 3x , x = –1, –2, –3, …

สรป จากตาราง ล าดบ คอ............................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................


19


แบบฝกทกษะท 2

เรอง ล าดบจ ากดและล าดบอนนต

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถอธบายไดวาล าดบใดเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนตไดอยางถกตอง

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาวาขอใดเปนล าดบจ ากดและล าดบอนนตโดยเขยน

เครองหมาย ใหตรงค าตอบทถกตอง (ขอละ 1 คะแนน)

ขอ ล าดบทก าหนดให ล าดบจ ากด ล าดบอนนต

1 4, 7, 10, 13, 16, … 2 2, 5, 8, 11, 14 3 1, 4, 9, 16, 25, … 4 6, 10, 14, 18, 22, 26 5 –1, –3, –5, –7, … 6 na = 12n เมอ n = 1, 2, 3, … 7 na = 4n เมอ n = 1, 2, 3, 4 8 na = 1n เมอ In 9 na = 1n

n

เมอ n = 1, 2, 3, …, 9

10 na = –4n – 1

สรปไดวา

ล าดบจ ากด คอ ............................................................................................................... ล าดบอนนต คอ .............................................................................................................


20


85 95 65

7

…...

…...

21 28 …

…...

…...

…...

…...

18 36 144

1

…

เกมคณตคดสนก 1 ตามหาฉนใหเจอ

ชดท 1

ตวเลขทหายไป คอ…………………….

ชดท 2


ชดท 3


ชดท 4



1

4

1

8

21


ใบความรท 2

เรอง การเขยนล าดบ

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถเขยนล าดบในรปแจงพจนไดอยางถกตอง

การเขยนล าดบ ในการเขยนล าดบใดๆ โดยทวไปนยมเขยนได 2 แบบ คอ

1. การเขยนล าดบแบบแจงพจน 2. การเขยนล าดบแบบพจนทวไป

1. การเขยนล าดบแบบแจงพจน คอ เขยนเฉพาะคาสมาชกของเรนจหรอสมาชกตวหลง ของคอนดบเรยงกนไป

กลาวคอ ถา a เปนล าดบจ ากด จะเขยนแทนดวย n 3 2 1 aaaa ...,,,, ในกรณท a เปนล าดบอนนต จะเขยนแทนดวย ...,...,,,, n 3 2 1 aaaa เรยก 1a วา พจนท 1 ของล าดบ

2a วา พจนท 2 ของล าดบ 3a วา พจนท 3 ของล าดบ

na วา พจนท n หรอพจนทวไป(General term) ของล าดบ

เชน 1) ถา 1f = {(1,5), (2,10), (3,15)} เขยนแทนดวย 5, 10, 15 2) ถา 2f = {(1,3), (2,6), (3,9), …, (n,3n), …} เขยนแทนดวย 3, 6, 9, …

3) 3, 8, 15, 24, 35 เปนล าดบจ ากด ทม 1a = 3, 2a = 8, 3a = 15, 4a = 24, 5a = 35

4) 5, 7, 9, 11, 13, …เปนล าดบอนนต ทม 1a = 5, 2a = 7, 3a = 9, 4a = 11, 5a = 13 และ na = 32n


22


2.การเขยนล าดบแบบพจนทวไป คอ การเขยนในรปฟงกชนพรอมทงระบสมาชกในโดเมน

เชน 1. ล าดบ 3, 8, 15, 24, 35 อาจเขยนแทนดวย na = n(n + 2) เมอ n {1, 2, 3, 4, 5} 2. ล าดบ 5, 7, 9, 11, 13, ... อาจเขยนแทนดวย na = 32n เมอ n เปนจ านวนเตม

บวก

หมายเหต ในกรณทก าหนดล าดบโดยพจนทวไป ถาไมไดระบสมาชกในโดเมนใหถอวา ล าดบนน เปนล าดบอนนต

การหาพจนใดๆ จากพจนทวไป การหาพจนใดๆ ของล าดบเมอก าหนดพจนทวไป ( na ) มาให ท าไดโดยแทนคา n

ในพจนทวไปดวยจ านวนทตองการ

ตวอยางท 1 จงหา 4 พจนแรกของล าดบ na = 4n + 1

แนวคด จาก na = 4n + 1

1a = 4(1) + 1 = 5

2a = 4(2) + 1 = 9

3a = 4(3) + 1 = 13

4a = 4(4) + 1 = 17 ดงนน 4 พจนแรก คอ 5, 9, 13, 17

23


ตวอยางท 2 จงหา 4 พจนแรกของล าดบ na = 2

1nn )(

แนวคด จาก na = 2

1nn )(

1a = 2

111 )( = 1

2a = 2

1)2(2 = 3

3a = 2

1)3(3

= 6

4a = 2

1)4(4

= 10

ดงนน 4 พจนแรก คอ 1, 3, 6, 10

ตวอยางท 3 ก าหนดล าดบ na = 3n 4 จงหาคาของ 25 3a2a

แนวคด จากพจนทวไป na = 3n 4 จะได 5a = 3(5) 4 = 15 – 4 = 11 และ 2a = 3(2) 4 = 6 – 4 = 2 นนคอ 25 3a2a = 2(11)3(2) = 22 – 6 = 16

ดงนน 25 3a2a = 16

24



เรอง การเขยนล าดบแบบแจงพจน

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถเขยนล าดบในรปแจงพจนไดอยางถกตอง

ค าชแจง ใหนกเรยนศกษาการเขยนล าดบแบบแจงพจนในขอ 1 – 2 แลวพจารณา ขอ 3 – 12 พรอมทงเตมค าตอบใหถกตอง (ขอละ 2 คะแนน)

ขอท na (พจนทวไป)

1a (พจนท 1)

2a (พจนท 2)

3a (พจนท 3)

สามพจนแรกของล าดบ

1 3n + 1 3(1) + 1 = 4 3(2) + 1 = 7 3(3) + 1 = 10 4, 7, 10 2 8n – 3 8(1) – 3 = 5 8(2) – 3 = 13 8(3) – 3 = 21 5, 13, 21 3 2n2 – 1 4 n2 + 2 5 (n + 1)2 6 2 – 3n 7 1)n(n + 8 5n – 3 9

21)n(n +

10 –4n + 1 11 –5n – 2 12 3n – 5


25


เกมคณตคดสนก 2 สนกกบเกมสรางรปแบบของจ านวน

วธเลน ตารางจ านวนดานลางน แตละแถวจะเปนไปตามกฎทอยในรปหกเหลยมสฟา

ดานซายสดของแถว ทหวของแตละคอลมนเปนคาของจ านวน (n) ทจะใช ใหเตมค าตอบทม ความสอดคลองกบกฎทางซายและคา n ทหวของแตละคอลมน

หมายเหต จ าไววาใหค านวณคาทอยในวงเลบกอน

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

n+5

n–1

2–3n

n(n–1)

1

.

2

.

3

.

4

.

Rule (กฎ)

2n

5

.


26



เรอง การหาพจนถดไปของล าดบ

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถหาพจนถดไปของล าดบทก าหนดใหไดอยางถกตอง

การหาพจนถดไปของล าดบแบบแจงพจน หลกการ จากล าดบแบบแจงพจนทก าหนดให ตองท าการหารปแบบการเปลยนแปลง

ของพจนในล าดบ 1. จากพจนท 1 มการเปลยนแปลงอยางไรจงจะไดพจนท 2 2. จากพจนท 2 มการเปลยนแปลงอยางไรจงจะไดพจนท 3 ท าเชนนไปเรอยๆ

จนครบทกพจนในล าดบ 3. พจนถดไปในล าดบกจะเปลยนแปลงคาในลกษณะเดยวกน

ตวอยางท 1 จงหาพจนถดไปอก 2 พจนของล าดบทก าหนดใหตอไปน 3, 7, 11, 15

แนวคด พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ

3 7 11 15 19 23

จะเหนวาพจนทอยถดไปจะเพมขนทละ 4 ดงนน สองพจนถดไปของล าดบ คอ 19 และ 23

+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4


27




2 8 32 128 512 2048

จะเหนวาพจนทอยถดไปจะเปน 4 เทาของพจนทอยขางหนา ดงนน สองพจนถดไปของล าดบ คอ 512 และ 2048



100 98 94 88 80 70

จะเหนวาพจนทอยถดไปของล าดบนจะลดลง 2, 4, 6 ตามล าดบ ดงนน สองพจนถดไปของล าดบจะลดลง 8 และ 10 ตามล าดบ จะได 80 และ 70

ตวอยางท 4 จงหาพจนถดไปอก 2 พจนของล าดบทก าหนดใหตอไปน 81 , 4

1 , 21 , 1, …


81 4

1 21 1 2 4

จะเหนวาพจนทอยถดไปจะเปน 2 เทาของพจนทอยขางหนา ดงนน สองพจนถดไปของล าดบคอ 2 และ 4

× 4 × 4 × 4

× 4

× 4

–2 –4 –6

–8

–10

× 2

× 2

× 2

× 2

× 2

28


แบบฝกทกษะท 4 เรอง การหาพจนถดไปของล าดบ

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถหาพจนถดไปของล าดบทก าหนดใหไดอยางถกตอง

ค าชแจง จงหาพจนถดไปของล าดบทก าหนดใหตอไปน (ขอละ 2 คะแนน)

1. จงหาพจนถดไป 4 พจนของล าดบ 1, 4, 7, 10, … แนวคด

……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………

2. จงหาพจนถดไป 4 พจนของล าดบ 2, 3, 5, 8, … แนวคด

……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… 3. จงหาพจนถดไป 4 พจนของล าดบ –5, 0, 5, 10, …

แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………


29


4. จงหาพจนถดไป 4 พจนของล าดบ 1, 2, 6, 24, …

แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… 5. จงหาพจนถดไป 4 พจนของล าดบ 27, 9, 3, 1, 3

1 , …

แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………

30


ใบความรท 4 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบ

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถหาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหไดอยางถกตอง

การหาพจนทวไปของล าดบ การหาพจนทวไปของล าดบ คอ การเขยนแสดงพจนทวไป na ในรปทม n เปนตวแปร

และเมอแทน n ดวยสมาชกในเซต {1, 2, 3, ..., m} แลวไดพจนท 1, 2, 3, …, m ของล าดบ ตรงตามทก าหนดวธการหาพจนทวไปเชนน โดยทวไปใชการสงเกตความสมพนธของพจนตางๆ และความสมพนธระหวางพจนกบล าดบทของพจน การหาพจนทวไป โดยใชการสงเกตความสมพนธของพจนตางๆ และความสมพนธระหวางพจนกบล าดบทของพจน ไดดงน

1. เขยนต าแหนงของล าดบแตละคาไว 2. หาวาคาของล าดบในแตละคามการเปลยนแปลงคาจากคาต าแหนงอยางไร ซงอาจจะ

เปลยนแปลงไดหลายแบบ เชน บวกเพม ลบออก คณเขา หาร ยกก าลงดวยจ านวนใดจ านวนหนง 3. จากรปแบบการเปลยนแปลงทงหมดทไดในขอ 2 ใหเลอกเอารปแบบการเปลยนแปลง

คาในลกษณะเดยวกน 4. น าผลทไดจากขอ 3 มาเปลยนคาต าแหนงดวย n จะไดพจนทวไปหรอพจนท n ของ

ล าดบ

ตวอยางท 1 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด 2, 3, 4, 5

แนวคด จากล าดบจ ากด 2, 3, 4, 5 จะได 1a = 2 = 1 1 +

2a = 3 = 1 2 + 3a = 4 = 1 3 + 4a = 5 = 14 + na = 1n +

ดงนน จะไดพจนทวไปของล าดบจ ากด คอ na = 1n + เมอ n {1, 2, 3, 4}


31


ตวอยางท 2 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด 1, –2, 3, – 4, 5

แนวคด จากล าดบจ ากด 1, –2, 3, – 4 จะได 1a = 1 = (–1)2 1

2a = –2 = (–1)3 2 3a = 3 = (–1)4 3 4a = –4 = (–1)5 4 5a = 5 = (–1)6 5 na = n1)( 1n

ดงนน จะไดพจนทวไปของล าดบจ ากด คอ na = n1)( 1n เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}

ตวอยางท 3 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด 1, 21 , 4

1 , 81 , 16

1

แนวคด จากล าดบจ ากด 1, 21 , 4

1 , 81 , 16

1

จะได 1a = 1 = 1-12

1

2a = 21 =

1-221

3a = 41 = 1-32

1

4a = 81 =

1-421

5a = 161 =

1-521

na = 1-n21

ดงนน จะไดพจนทวไปของล าดบจ ากด คอ na = 1-n21 เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}

32


ตวอยางท 4 จงหาพจนทวไปของล าดบ 10, 8, 6, 4, 2, …

แนวคด พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 10 , 8 , 6 , 4 , 2 ,… 10 8 6 4 2

–2 –2 –2 –2 พบวา พจนแตละพจนจะนอยกวาพจนทมากอนอย –2 พจารณาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดให พจน (1) (2) (3) (4) (5) 10 8 6 4 2 12 – 2 12 – 4 12 – 6 12 – 8 12 – 10

หรอ 12 – (2 1), 12 – (2 2), 12 – (2 3), 12 – (2 4), 12 – (2 5) ดงนน จะไดพจนทวไป หรอ na = 12 – 2n

ตวอยางท 4 จงหาพจนทวไปของล าดบ 31 ,

51 ,

71 ,

91 , …

แนวคด พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 31 ,

51 ,

71 ,

91 , …

พจารณาจ านวนทเปนตวสวนพบวา 3 5 7 9 2 2 2 พจารณาความสมพนธของล าดบทของพจนกบล าดบ 3, 5, 7, 9

พจนท (1) (2) (3) (4) 3 5 7 9

12(1) 12(2) 12(3) 12(4) ดงนน จะไดพจนทวไป หรอ na =

12n1

33


แบบฝกทกษะท 5 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบ


ค าชแจง จงหาพจนทวไป หรอพจนท n ของล าดบจ ากดตอไปน (ขอละ 4 คะแนน)

1. จงหาพจนทวไปของล าดบ 1, 3, 5, 7, … แนวคด

……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… 2. จงหาพจนทวไปของล าดบ 1, 4, 9, 16, 25, …

แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… 3. จงหาพจนทวไปของล าดบ 1, 8, 27, 64, …

แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………


34


4. จงหาพจนทวไปของล าดบ –1, 2, –3, 4, –5, …

แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………

5. จงหาพจนทวไปของล าดบ 2

1 , 3

2 , 4

3 , 5

4 , …

แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………

35


ใบความรท 5 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม


การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม การหาพจนทวไปของล าดบในตวอยางทกลาวมาขางตนเปนการหาโดยใชการสงเกต

ความสมพนธของแตละพจนกบล าดบของพจนซงในบางครงอาจจะไมสะดวกทจะใชวธการดงกลาวอกวธหนงทนยมใชกน คอ การใชฟงกชนพหนาม หาพจนทวไป ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 จงหาพจนทวไปของล าดบ 2, 1, 0, –1, –2

แนวคด จากล าดบทก าหนดให หาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกน ไดดงน

2 1 0 –1 –2

–1 –1 –1 –1 จะเหนวา ผลตางครงท 1 คงทและมคาเทากบ –1 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป na = ban แทน n ในพจนทวไปดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได 1a = 2 = ba ……….(1)

2a = 1 = b2a ……….(2) 3a = 0 = b3a ……….(3) 4a = –1 = b4a ……….(4)

จาก (1) จะได b 2a ……….(5) แทน a ในสมการ (2) จะได 2(2 – b) + b = 1 4 – 2b + b = 1


36


–b = –3 b = 3 แทน b ในสมการ (5) จะได 3 2a a = –1 ดงนน 3n na หรอ n 3an

ตวอยางท 2 จงหาพจนทวไปของล าดบ –10, –5, 0, 5, 10


–10 –5 0 5 10

5 5 5 5 จะเหนวา ผลตางครงท 1 คงทและมคาเทากบ 5 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป na = ban แทน n ในพจนทวไปดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได 1a = –10 = ba ……….(1)

2a = –5 = b2a ……….(2) 3a = 0 = b3a ……….(3) 4a = 5 = b4a ……….(4)

จาก (1) จะได b 10a ……….(5) แทน a ในสมการ (2) จะได 2(–10 – b) + b = –5 –20 – 2b + b = –5 –b = 15

b = –15 แทน b ในสมการ (5) จะได 1510a a = 5 ดงนน 155an n

37


โดยล าดบบางล าดบผลตางของพจนทอยตดกนอาจจะไมคงตว แตถาน าผลตางดงกลาวมาหาผลตางของพจนทางขวา ลบดวยพจนทางซายทอยตดกนอกครง พบวาคาคงตวจะท าใหไดวาพจนทวไปของล าดบนเปนพหนามของ n ทมดกร 2 ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 3 จงหาพจนทวไปของล าดบ 2, 6, 13, 23

แนวคด จากล าดบทก าหนดให หาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกน ไดดงน 2 6 13 23 36

4 7 10 13 ผลตางครงท 1

3 3 3 ผลตางครงท 2

จะเหนวา ผลตางครงท 2 คงทและมคาเทากบ 3 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป

na = cbnan2 แทน n ในพจนทวไปดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได 1a = 2 = cba ……….(1)

2a = 6 = c2b4a ……….(2) 3a = 13 = c3b9a ……….(3) 4a = 23 = c4b16a ……….(4)

แกระบบสมการเชงเสนเพอหา a , b และ c ไดดงน (2) – (1) ; 4 = b3a ……….(5) (3) – (2) ; 7 = b5a ……….(6) (6) – (5) ; 3 = 2a

หรอ a = 23

38


แทน a = 23 ใน (5) จะได b3a = 4

b233

= 4

b = 294

b = 21

แทน a = 23 และ b =

21

ใน (1) จะได

cba = 2

c

21

23

= 2

c = 1 2 c = 1

ดงนนพจนทวไปของล าดบ คอ na = 1n21n

23 2

39



เรอง การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม


ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าการหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม ขอละ 4 คะแนน


……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………

2. จงหาพจนทวไปของล าดบ –1, –4, –7, –10, … แนวคด

……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………


40



……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………

4. จงหาพจนทวไปของล าดบ 2, 9, 22, 41, 66, … แนวคด

……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… 5. จงหาพจนทวไปของล าดบ 0, 5, 12, 21, 32, …

แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………

41



เรอง การหาพจนทวไปของล าดบกรณผลตางสองชนโดยวธลด


จากการหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนามกรณผลตางสองชน

พจนทวไปอยในรป na = cbnan2



4 6 8 10 ผลตางครงท 1 2 2 2 ผลตางครงท 2

จะเหนวา ผลตางครงทสองคงท และมคาเทากบ 2 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป


2a = 7 = c2b4a ……….(2) 3a = 13 = c3b9a ……….(3) 4a = 21 = c4b16a ……….(4)


42


แกระบบสมการเชงเสนเพอหา a , b และ c ไดดงน

(2) – (1) ; 4 = b3a ……….(5) (3) – (2) ; 6 = b5a ……….(6) (6) – (5) ; 2 = 2a

หรอ a = 1 แทน a = 1 ใน (5) จะได b3(1) = 4

b = 34 b = 1

แทน a = 1 และ b = 1 ใน (1) จะได c11 = 3

c = 2 3

c = 1

ดงนนจะได พจนทวไปของล าดบ คอ na = 1nn2

การหาพจนทวไปของล าดบกรณผลตางสองชน (โดยวธลด) โดยใชสตรดงน

na = !

!

2d 2)1)(n(n

1d1)(na 21

1


แนวคด จากล าดบทก าหนดให หาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกน ไดดงน 3 7 13 21 31 4 6 8 10 ผลตางครงท 1 2 2 2 ผลตางครงท 2

จะเหนวา ผลตางครงทสองคงท และมคาเทากบ 2

na = !

!

2d 2)1)(n(n

1d1)(n a 21

1

43


na = 2

2 2)1)(n(n 11)(n 3

4

na = 23nn44n3 2

na = 1nn2

ดงนน พจนทวไปของล าดบ 1 n 2n n

a




na = !

!

2d 2)1)(n(n

1d1)(n a 21

1

na = 22 2)1)(n(n 1

1)(n 1

2

na = 23nn22n1 2

na = 1nn2

ดงนน พจนทวไปของล าดบ na = 1nn2

44


แบบฝกทกษะท 7 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบกรณผลตางสองชนโดยวธลด

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถหาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหได

ค าชแจง ใหนกเรยนหาพจนทวไปของล าดบตอไปน (ขอละ 4 คะแนน)

1. จงหาพจนทวไปของล าดบ 2, 8, 18, 32, 50, …

แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… 2. จงหาพจนทวไปของล าดบ 2, 9, 22, 41, 66, …

แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………


45





แนวคด ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….………… ……………………………………………………………………………….………….…………

46


จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนสามารถบอกความหมายของล าดบไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถอธบายไดวาล าดบใดเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนตไดอยางถกตอง 3. นกเรยนสามารถเขยนล าดบในรปแจงพจนไดอยางถกตอง 4. นกเรยนสามารถหาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหไดอยางถกตอง

…………………………………………………………………………………………………….…

ค าชแจง 1. แบบทดสอบฉบบนเปนขอสอบแบบปรนยชนดเลอกตอบ จ านวน 10 ขอ ใชเวลา

ท าแบบทดสอบทงหมด 20 นาท 2. ใหนกเรยนพจารณาวาขอใดเปนค าตอบทถกตองทสด ขอละหนงค าตอบแลว

ท าเครองหมาย ( ) ทชองวาง ก, ข, ค หรอ ง ในกระดาษค าตอบทแจกใหดงน

ตวอยาง


แบบทดสอบหลงเรยน



เวลา 20 นาท

คะแนนเตม 10 คะแนน

47


3. หากตองการเปลยนตวเลอกใหมในแตละขอใหด าเนนการดงน


4. เกณฑการใหคะแนน ตอบถก ไดคะแนน 1 คะแนน ตอบผด ไดคะแนน 0 คะแนน 5. หามขดเขยนเครองหมายหรอขอความใดๆ ลงในแบบทดสอบ กอนไดรบอนญาต

******************************************************************************

1. ล าดบ 0, 1, 4, 9, 16 พจนทวไปตรงกบขอใด ก. na = 2n ข. na = 2+1)(n ค. na = 21)(n ง. na = 1n 2

2. ก าหนดพจนทวไป na = 1)(1)( n +n คาของ 20 10 aa ตรงกบขอใด ก. 22 ข. 32 ค. 231 ง. 232

3. พจนทวไปของล าดบ 1, 5, 9, 13, … ตรงกบขอใด ก. na = 3 4n

ข. na = 4 5n ค. na = 4 3n

ง. na = 3 4n

48


4. พจนถดไปสองพจนของล าดบ 1, 6, 16, 31, … ตรงกบขอใด ก. 36, 46

ข. 41, 56 ค. 51, 66 ง. 51, 76

5. ถาล าดบมพจนทวไป หรอ 12n7na n

2

จงหาวา 9

112 ตรงกบพจนทเทาใด

ก. 5 ข. 4 ค. 3 ง. 2

6. ก าหนดล าดบทม na

เปนจ านวนคnเมอ4 เปนจ านวนคnเมอ1 n2

ขอใดคอ 4 พจนแรกของล าดบน ก. 2, 5, 10, 15

ข. 4, 5, 4, 15 ค. –4, 5, –4, 17 ง. –4, 5, –4, 16

7. ขอใดตอไปนถก ก. –1, 1, –1, 1, … ม 11 9 aa = 0 ข. 100, 99, 97, 94, … ม 10a = 90

ค. 2, 4, 8, 16, … ม 20a = 1n2 ง. 2, 4, 6, 8 , … ม na = 2n

ค ค

49


8. 4 พจนแรกของล าดบ na = 2 3n ตรงกบขอใด ก. 1, 3, 5, 7 ข. 1, 4, 7, 10 ค. 1, 5, 8, 11

ง. 1, 3, 7, 11

9. ล าดบในขอใดเปนล าดบจ ากด ก. na = 3 5n ข. na = 5 3n

ค. na = n2 , 8 n In , < ง. na = 2)((1)n 2n , nN

10. พจารณาฟงกชนในขอตอไปนขอใดเปนล าดบ ก. f = {(1,2), (2,5), (3,11), (4,14), ...} ข. g = {(1,–12), (3,–14), (5,–18)} ค. h = {(0,10), (1,30), (2,90), (3,27)}

ง. I = {(2,0), (4,1), (6,2), (8,3)}

50


กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน


ชอ – สกล ............……………… ………..….………ชน……เลขท..…...คะแนนทได…..…คะแนน

ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย ลงในชอง ก , ข , ค หรอ ง ในกระดาษค าตอบ

ใหถกตองเพยงค าตอบเดยว

แบบทดสอบหลงเรยน

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

เกณฑการวดผล ตงแต 7 คะแนนขนไป

ผานเกณฑ

คะแนนเตม 10 คะแนน คะแนนทได

51


บรรณานกรม

กนกวล อษณกรกลและรณชย มาเจรญทรพย. (2548). คณตศาสตรพนฐานและเพมเตม

เรอง ล าดบและอนกรม ชวงชนท 4 (ม.4–ม.6). กรงเทพฯ : เดอะบคส.

กมล เอกไทยเจรญ. (ม.ป.ป.). คณตศาสตร ม.6 เลม 5 ค 015. กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลซซง.

กวยา เนาวประทป. (2555). เทคนคการเรยนคณตศาสตร ล าดบและอนกรม. นครปฐม :

ฟสกสเซนเตอร.

ณรงค ปนนมและคณะ. (2551). คมอเตรยมสอบคณตศาสตร ม.4–6. กรงเทพฯ : ภมบณฑต.

ธนกาญจน ภทรกาญจน. (2553). คณตสาระ ม.ปลาย : ล าดบ อนกรม อปนบเชงคณตศาสตร.

กรงเทพฯ : ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

พพฒนพงศ ศรวศร. (2554). คมอคณตศาสตรพนฐาน ม.4–6 เลม 3. กรงเทพฯ : เดอะบคส.

ศกษาธการ, กระทรวง. (2553). คมอรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 3 ชนมธยมศกษาปท 4–6

ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : โรงพมพ

ครสภาลาดพราว.

ศภกจ เฉลมวสตมกล. (2550). เทคนคคณตศาสตรพนฐานชนมธยมศกษาปท 5 เลม 1.

กรงเทพฯ : เอเชยแปซฟคสพรนตง.

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. (2552). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

คณตศาสตร เลม 3 ชนมธยมศกษาปท 4–6. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภาลาดพราว.

ส าราญ มแจงและคณะ. (2549). คณตศาสตรพนฐาน มธยมศกษาปท 5 เลม 1 สมบรณแบบ.

กรงเทพฯ : โรงพมพครสภาลาดพราว.

52


ภาคผนวก

53


เกณฑการใหคะแนน

1. เกณฑการใหคะแนนแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน ตอบถก ไดคะแนน 1 คะแนน ตอบผด ไดคะแนน 0 คะแนน

2. เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะท 1 เรอง ความหมายของล าดบ แตละขอยอยตอบถก 4 ชอง ไดคะแนน 2 คะแนน แตละขอยอยตอบถก 3 ชอง ไดคะแนน 1.5 คะแนน แตละขอยอยตอบถก 2 ชอง ไดคะแนน 1 คะแนน แตละขอยอยตอบถก 1 ชอง ไดคะแนน 0.5 คะแนน แตละขอยอยตอบผดทกชอง ไดคะแนน 0 คะแนน

3. เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะท 2 เรอง ล าดบจ ากดและล าดบอนนต แตละขอยอยตอบถก 2 ชอง ไดคะแนน 1 คะแนน แตละขอยอยตอบถก 1 ชอง ไดคะแนน 0.5 คะแนน แตละขอยอยตอบผดทกชอง ไดคะแนน 0 คะแนน

4. เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะท 3 เรอง การเขยนล าดบ แตละขอยอยตอบถก 4 ชอง ไดคะแนน 2 คะแนน แตละขอยอยตอบถก 3 ชอง ไดคะแนน 1.5 คะแนน แตละขอยอยตอบถก 2 ชอง ไดคะแนน 1 คะแนน แตละขอยอยตอบถก 1 ชอง ไดคะแนน 0.5 คะแนน แตละขอยอยตอบผดทกชอง ไดคะแนน 0 คะแนน

54


5. เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะท 4 เรอง การหาพจนถดไปของล าดบ แตละขอยอยตอบถก 4 พจน ไดคะแนน 2 คะแนน แตละขอยอยตอบถก 3 พจน ไดคะแนน 1.5 คะแนน แตละขอยอยตอบถก 2 พจน ไดคะแนน 1 คะแนน แตละขอยอยตอบถก 1 พจน ไดคะแนน 0.5 คะแนน แตละขอยอยตอบผดทกพจน ไดคะแนน 0 คะแนน

6. เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะท 5 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบ แสดงวธท าชดเจน สมบรณ ค าตอบถกตอง ครบถวน ไดคะแนน 4 คะแนน แสดงวธท ายงไมชดเจน แตอยในแนวทางทถกตอง ค าตอบถกตอง ครบถวน ไดคะแนน 3 คะแนน แสดงวธท ายงไมชดเจนหรอไมแสดงวธท าแตค าตอบถกตอง ครบถวนหรอวธท า

ชดเจนสมบรณแตค าตอบไมถกตอง ขาดการตรวจสอบ ไดคะแนน 2 คะแนน แสดงวธท ายงไมชดเจนแตอยในแนวทางทถกตอง ค าตอบไมถกตองหรอไมแสดงวธท า และค าตอบทไดไมถกตองแตอยในแนวทางทถกตอง ไดคะแนน 1 คะแนน ท าไดไมถงเกณฑ ไดคะแนน 0 คะแนน

7. เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะท 6 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม แสดงวธท าชดเจน สมบรณ ค าตอบถกตอง ครบถวน ไดคะแนน 4 คะแนน แสดงวธท ายงไมชดเจน แตอยในแนวทางทถกตอง ค าตอบถกตอง ครบถวน ไดคะแนน 3 คะแนน แสดงวธท ายงไมชดเจนหรอไมแสดงวธท าแตค าตอบถกตอง ครบถวนหรอวธท า


55


8. เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะท 7 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบโดยวธลด แสดงวธท าชดเจน สมบรณ ค าตอบถกตอง ครบถวน ไดคะแนน 4 คะแนน แสดงวธท ายงไมชดเจน แตอยในแนวทางทถกตอง ค าตอบถกตอง ครบถวน ไดคะแนน 3 คะแนน แสดงวธท ายงไมชดเจนหรอไมแสดงวธท าแตค าตอบถกตอง ครบถวนหรอวธท า


56


เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เลมท 1 ล าดบ

1. เฉลยขอ ก. f = {(1,2), (2,5), (3,11), (4,14), ...}

แนวคด ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1

2. เฉลยขอ ค. na = n2 , n I , n < 8

แนวคด ในกรณทฟงกชนเปนล าดบทมโดเมนเปน {1, 2, 3, …, n} จะเรยกล าดบดงกลาววา ล าดบจ ากด ดงนน na = n2 , n I , n < 8 เปนล าดบจ ากด

3. เฉลยขอ ข. 1, 4, 7, 10

แนวคด จาก na = 2 3n จะได 1a = 2 3(1) = 1

2a = 2 3(2) = 4 3a = 2 3(3) = 7

4a = 2 3(4) = 10

ดงนน 4 พจนแรกคอ 1, 4, 7, 10

4. เฉลยขอ ง. 2, 4, 6, 8 , … ม na = 2n

แนวคด พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 2, 4, 6, 8 , … 2 4 6 8

2 2 2 พบวา พจนแตละพจนจะมากกวาพจนทมากอนอย 2

57


พจารณาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดให

พจนท (1) (2) (3) (4) 2 4 6 8

(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)

จะไดพจนทวไป คอ na = 2n

5. เฉลยขอ ค. – 4, 5, – 4, 17

แนวคด na =

เปนจ านวนคnเมอ4 เปนจ านวนคnเมอ1 n 2

จาก na = 12n เมอ n เปนจ านวนค

2a = 12 2 = 5

4a = 14 2 = 17

6. เฉลยขอ ข. 4

แนวคด จาก na = 12n7n

2

แทนคา n = 4 จะได 4a = 12(4)7(4)

2

4a = 18

7(16)

4a = 9

112

ดงนน n = 4

ค ค

58


7. เฉลยขอ ง. 51, 76

แนวคด พจนถดไปสองพจนของล าดบ 1, 6, 16, 31, … 1 6 16 31 51 76

8. เฉลยขอ ก. na = 3 4n

แนวคด พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 1, 5, 9, 13, … 1 5 9 13


พจารณาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดให พจนท (1) (2) (3) (4) 1 5 9 13

(4 1) – 3 (4 2) – 3 (4 3) – 3 (4 4) – 3

จะไดพจนทวไปคอ na = 3 4n

5 10 15 20 25

59



แนวคด จาก na = 1)(1)( n +n

10a = 1)(101)( 10 + = 11

20a = 1)(201)( 20 + = 21

ดงนน 20 10 aa = 11 + 21 = 32

10. เฉลยขอ ค. na = 21)(n

แนวคด 1a = 0 = 21)(1

2a = 1 = 21)(2

3a = 4 = 21)(3

4a = 9 = 21)(4 ดงนน na = 21)(n

ผทตอบถกตงแต 7 ขอขนไปเกงมากคะ ผทตอบถกนอยกวา 5 ขอใหตงใจศกษาแบบฝกเพมเตมอกครง เพราะเมอท าแบบทดสอบหลงเรยนจะไดตอบถกทงหมดคะ

60


เฉลยแบบฝกทกษะท 1 เรอง ความหมายของล าดบ

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาฟงกชนทก าหนดใหพรอมทงเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง

ฟงกชน โดเมน เรนจ เปน ล าดบ

ไมเปน ล าดบ

1. {(1,5), (2,10), (3,15)} {1, 2, 3} {5, 10, 15} 2. f(x) = x + 1 , x = 1, 2, 3, … {1, 2, 3, …} {2, 3, 4, …} 3. {(2,3), (4,6), (5,9), …} {2, 4, 5, …} {3, 6, 9, …} 4. {(1, –1), (2, –2), (3, –3)} {1, 2, 3} {–1, –2, –3} 5. {(1,1), (5,4), (7,9), …} {1, 5, 7, …} {1, 4, 9, …} 6. f(x) = 2x – 1 , x = 1, 2, 3, … {1, 2, 3, …} {1, 3, 5, …} 7. f(x) = 2x , x = 0, 1, 2 {0, 1, 2} {1, 2, 4} 8. f(x) = (– 1)xx , x = 1, 2, 3, …, n {1, 2, 3, …} {–1, 2, –3, …} 9. f(x) = 3x + 1 , x = 1, 2, 3, … {1, 2, 3, …} {4, 7, 10,…} 10. f(x) = 3x , x = –1, –2, –3, … {–1, –2, –3, …} {–3 , –6 , –9 ,…}

สรป จากตารางขางตน ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1

61


เฉลยแบบฝกทกษะท 2

เรอง ล าดบจ ากดและล าดบอนนต

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาวาขอใดเปนล าดบจ ากดและล าดบอนนตโดยเขยน เครองหมาย ใหตรงค าตอบทถกตอง (ขอละ 1 คะแนน)

ขอ ล าดบทก าหนดให ล าดบจ ากด ล าดบอนนต

1 4, 7, 10, 13, 16, … 2 2, 5, 8, 11, 14 3 1, 4, 9, 16, 25, … 4 6, 10, 14, 18, 22, 26 5 –1, –3, –5, –7, … 6 na = 12n เมอ n = 1, 2, 3, … 7 na = 4n เมอ n = 1, 2, 3, 4 8 na = 1n เมอ In

9 na = 1nn

เมอ n = 1, 2, 3, …, 9

10 na = –4n – 1

สรปไดวา

ล าดบจ ากด คอ ฟงกชนทมโดเมนเปน {1, 2, 3, …, n} ล าดบอนนต คอ ฟงกชนทมโดเมนเปน {1, 2, 3, …,}

62


85 95 65

7

…...

…...

21 28 …...

…...

…...

…...

…...

…...

18 36 144

1

เฉลยเกมคณตศาสตรคดสนก 1

ตามหาฉนใหเจอ

ชดท 1

ตวเลขทหายไป คอ……75…และ...55…….

ชดท 2

ตวเลขทหายไป คอ……14…และ…35……

ชดท 3

ตวเลขทหายไป คอ……9…และ…72….

ชดท 4

ตวเลขทหายไป คอ…… 2

1 …และ… 161 …

1

4

1

8

63


2

เฉลยเกมคณตคดสนก 2

สนกกบเกมสรางรปแบบของจ านวน

วธเลน ตารางจ านวนดานลางน แตละแถวจะเปนไปตามกฎทอยในรปหกเหลยมสฟา ดานซายสดของแถว ทหวของแตละคอลมนเปนคาของจ านวน (n) ทจะใช ใหเตมค าตอบทม ความสอดคลองกบกฎทางซายและคา n ทหวของแตละคอลมน

หมายเหต จ าไววาใหค านวณคาทอยในวงเลบกอน

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

n + 5

-

n – 1

2 – 3n

n(n – 1)

1

.

2

.

3

.

4

.

Rule (กฎ)

5

.

6 7 8 9 10

0 1 2 3 4

–1 –4 –7 –10 –13

0 2 6 12 20

4 8 16 32

2n

64



เรอง การเขยนล าดบแบบแจงพจน

ค าชแจง ใหนกเรยนศกษาการเขยนล าดบแบบแจงพจนในขอ 1 – 2 แลวพจารณา ขอ 3 – 12 พรอมทงเตมค าตอบใหถกตอง

ขอท na

(พจนทวไป)

1a (พจนท 1)

2a (พจนท 2)

3a (พจนท 3)

สามพจนแรกของล าดบ

1 3n + 1 3(1) + 1 = 4 3(2) + 1 = 7 3(3) + 1 = 10 4, 7, 10 2 8n – 3 8(1) –3 = 5 8(2) –3 = 13 8(3) –3 = 21 5, 13, 21 3 2n2 – 1 2(1)2 – 1 = 1 2(2)2 – 1 = 7 2(3)2 – 1 = 17 1, 7, 17 4 n2 + 2 12 + 2 = 3 22 + 2 = 6 32 + 2 = 11 3, 6, 11 5 (n + 1)2 (1 + 1)2 = 4 (2 + 1)2 = 9 (3 + 1)2 = 16 4, 9, 16 6 2 – 3n 2 – 3(1) = –1 2 – 3(2) = – 4 2 – 3(3) = –7 –1, –4, –7 7 1)n(n + 1(1 + 1) = 2 2(2 + 1) = 6 3(3 + 1) = 12 2, 6, 12 8 5n – 3 5(1) – 3 = 2 5(2) – 3 = 7 5(3) – 3 = 12 2, 7, 12 9

21)n(n +

21)1(1+

= 1 2

1)2(2 + = 3

21)3(3+

= 6 1, 3, 6

10 –4n + 1 –4(1) +1 = –3 –4(2) +1 = –7 –4(3) +1 = –11 –3, –7, –11 11 –5n – 2 –5(1) – 2 = –7 –5(2) –2 = –12 –5(3) –2 = –17 –7, –12, –17 12 3n – 5 3(1) –5 = –2 3(2) –5 = 1 3(3) – 5 = 4 –2, 1, 4

65



เรอง การหาพจนถดไปของล าดบ

ค าชแจง จงหาพจนถดไปของล าดบทก าหนดใหตอไปน


แนวคด 1 4 7 10 13 16 19 22 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

ผลตางเปน 3 ดงนน พจนถดไป 4 พจน คอ 13, 16, 19, 22


แนวคด 2 3 5 8 12 17 23 30 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +1 +1 +1

ผลตางเพมขน ดงนน พจนถดไป 4 พจน คอ 12, 17, 23, 30

3. จงหาพจนถดไป 4 พจนของล าดบ –5, 0, 5, 10 , …

แนวคด –5 0 5 10 15 20 25 30 +5 +5 +5 +5 +5 +5 +5

ผลตางเปน 5 ดงนน พจนถดไป 4 พจน คอ 15, 20, 25, 30

66


4. จงหาพจนถดไป 4 พจนของล าดบ 1, 2, 6, 24 , …

แนวคด 1 2 6 24 120 720 5,040 40,320

2 3 4 5 6 7 8

ดงนน พจนถดไป 4 พจนคอ 120, 720, 5,040, 40,320


แนวคด 27 9 3 1 31 9

1 27

1 811

3 3 3 3 3 3 3

ดงนน พจนถดไป 4 พจนคอ 31 , 9

1 , 271 , 81

1

67



เรอง การหาพจนทวไปของล าดบ

1. จงหาพจนทวไปของล าดบ 1, 3, 5, 7, ...

แนวคด พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 1, 3, 5, 7,… 1 3 5 7

2 2 2 พบวา พจนแตละพจนจะมากกวาพจนทมากอนอย 2 พจารณาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดให พจนท (1) (2) (3) (4) 1 3 5 7 2 – 1 4 – 1 6 – 1 8 – 1 หรอ (2 1) – 1 (2 2) – 1 (2 3) – 1 (2 4) – 1 จะไดพจนทวไปหรอ na = 2n – 1

68


2. จงหาพจนทวไปของล าดบ 1, 4, 9, 16, 25, ...

แนวคด จากล าดบ 1, 4, 9, 16, 25 จะได 1a = 1 = 12

2a = 4 = 22 3a = 9 = 32 4a = 16 = 42

na = 2n

ดงนน จะไดพจนทวไป หรอ na = 2n เมอ n {1, 2, 3,…}

3. จงหาพจนทวไปของล าดบ 1, 8, 27, 64, ...

แนวคด จากล าดบ 1, 8, 27, 64, …

จะได 1a = 1 = 31

2a = 8 = 32

3a = 27 = 33

4a = 64 = 34

na = 3n

ดงนน จะไดพจนทวไป หรอ na = 3n เมอ n {1, 2, 3,…}

4. จงหาพจนทวไปของล าดบ –1, 2, –3, 4, –5, …

แนวคด จากล าดบ –1, 2, –3, 4, –5,… จะได 1a = –1 = 11 1 )(

2a = 2 = 21 2 )( 3a = –3 = 31 3 )( 4a = 4 = 41 4 )(

na = n1 n )( ดงนน จะไดพจนทวไป หรอ na = n1 n )( เมอ n {1, 2, 3,…}

69


5. จงหาพจนทวไปของล าดบ 21 , 3

2 , 43 , 5

4 ,…

แนวคด จากล าดบ 21 , 3

2 , 43 , 5

4 ,…

จะได 1a = 21 =

111

2a = 32 =

122

3a = 43 = 13

3

4a = 54 =

144

na = 1nn

ดงนน จะไดพจนทวไปของล าดบ คอ na = 1nn

เมอ n {1, 2, 3, …}

70



เรอง การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม

1. จงหาพจนทวไปของล าดบ 4, 7, 10, 13, …


4 7 10 13

3 3 3 จะเหนวา ผลตางครงท 1 คงทและมคาเทากบ 3 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป na = ban แทน n ในพจนทวไปดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได 1a = 4 = ba ……….(1)

2a = 7 = b2a ……….(2) 3a = 10 = b3a ……….(3) 4a = 13 = b4a ……….(4)

จาก (1) จะได b 4a ……….(5) แทน a ในสมการ (2) จะได 2(4 – b) + b = 7 8 – 2b + b = 7 –b = –1 b = 1 แทน b ในสมการ (5) จะได 14 a a = 3 ดงนน 1n 3an

71


2. จงหาพจนทวไปของล าดบ –1, –4, –7, –10, …


–1 –4 –7 –10

–3 –3 –3 จะเหนวา ผลตางครงท 1 คงทและมคาเทากบ –3 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป na = ban แทน n ในพจนทวไปดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได 1a = –1 = ba ……….(1)

2a = –4 = b2a ……….(2) 3a = –7 = b3a ……….(3) 4a = –10 = b4a ……….(4)

จาก (1) จะได b 1a ……….(5) แทน a ในสมการ (2) จะได 2(–1 – b) + b = –4 –2 – 2b + b = –4 –b = –2 b = 2 แทน b ในสมการ (5) จะได a = –1 – 2 a = –3 ดงนน 2n 3an

72


3. จงหาพจนทวไปของล าดบ 5, 9, 13, 17, …


5 9 13 17

4 4 4 จะเหนวา ผลตางครงท 1 คงทและมคาเทากบ 4 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป na = ban แทน n ในพจนทวไปดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได 1a = 5 = ba ……….(1)

2a = 9 = b2a ……….(2) 3a = 13 = b3a ……….(3) 4a = 17 = b4a ……….(4)

จาก (1) จะได b 5a ……….(5) แทน a ในสมการ (2) จะได 2(5 – b) + b = 9 10 – 2b + b = 9 –b = –1 b = 1 แทน b ในสมการ (5) จะได a = 5 – 1 a = 4 ดงนน 1n 4an

73







2a = 9 = c2b4a ……….(2) 3a = 22 = c3b9a ……….(3) 4a = 41 = c4b16a ……….(4)



b = 9 7 b = –2

แทน a = 3 และ b = –2 ใน (1) จะได c3 2 = 2

c = 1 2

c = 1 ดงนนจะไดพจนทวไปของล าดบ คอ na = 1n3n2 2

74







2a = 5 = c2b4a ……….(2) 3a = 12 = c3b9a ……….(3) 4a = 21 = c4b16a ……….(4)



b = 3 5 b = 2

แทน a = 1 และ b = 2 ใน (1) จะได c1 2 = 0

c = 3 0

c = –3 ดงนนจะไดพจนทวไปของล าดบ คอ na = 32 nn2

75



เรอง การหาพจนทวไปของล าดบกรณผลตางสองชนโดยวธลด

1. จงหาพจนทวไปของล าดบ 2, 8, 18, 32, 50,…



na = !

!

2d 2)1)(n(n

1d1)(n a 21

1

na = 24 2)1)(n(n

11)(n 2

6

na = 46nnn2 2 266

na = 22n

ดงนน พจนทวไปของล าดบ na = 22n

76





na = !

!

2d 2)1)(n(n

1d1)(n a 21

1

na = 26 2)1)(n(n

11)(n 2

7

na = 69nnn2 2 377

na = 12n3n2

ดงนน พจนทวไปของล าดบ na = 12n3n2

77






na = !

!

2d 2)1)(n(n

1d1)(n a 21

1

na = 22 2)1)(n(n

11)(n 5

5

na = 23nnn5 2 55

na = 22nn2


78





na = !

!

2d 2)1)(n(n

1d1)(n a 21

1

na = 22 2)1)(n(n

11)(n 2

2

na = 23nnn2 2 22

na = 2nn2


79





na = !

!

2d 2)1)(n(n

1d1)(n a 21

1

na = 22 2)1)(n(n 1

1)(n 3

7

na = 23nnn3 2 77

na = 2nn2 4

ดงนน พจนทวไปของล าดบ na = 2nn2 4

80


เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เลมท 1 ล าดบ

1. เฉลยขอ ค. na = 21)(n

แนวคด 1a = 0 = 21)(1

2a = 1 = 21)(2

3a = 4 = 21)(3

4a = 9 = 21)(4 ดงนน na = 21)(n


แนวคด จาก na = 1)(1)( n +n

10a = 1)(101)( 10 + = 11

20a = 1)(201)( 20 + = 21

ดงนน 20 10 aa = 11 + 21 = 32

3. เฉลยขอ ก. na = 3 4n

แนวคด พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 1, 5, 9, 13, … 1 5 9 13

4 4 4 พบวา พจนแตละพจนจะมากกวาพจนทมากอนอย 4 .

81



(4 1) – 3 (4 2) – 3 (4 3) – 3 (4 4) – 3

จะไดพจนทวไป คอ na = 3 4n

4. เฉลยขอ ง. 51, 76

แนวคด พจนถดไปสองพจนของล าดบ 1, 6, 16, 31, … 1 6 16 31 51 76


แนวคด จาก na = 12n7n

2

แทนคา n = 4 จะได 4a = 12(4)7(4)

2

4a = 18

7(16)

4a = 9

112

ดงนน n = 4

5 10 15 20 25

82


6. เฉลยขอ ค. – 4, 5, – 4, 17

แนวคด na =

เปนจ านวนคnเมอ4 เปนจ านวนคnเมอ1 n 2

จาก na = 12n เมอ n เปนจ านวนค

2a = 12 2 = 5

4a = 14 2 = 17

7. เฉลยขอ ง. 2, 4, 6, 8 , … ม na = 2n

แนวคด พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 2, 4, 6, 8 , … 2 4 6 8



(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)

จะไดพจนทวไป คอ na = 2n

ค ค

83


8. เฉลยขอ ข. 1, 4, 7, 10

แนวคด จาก na = 2 3n จะได 1a = 2 3(1) = 1

2a = 2 3(2) = 4 3a = 2 3(3) = 7

4a = 2 3(4) = 10 ดงนน 4 พจนแรกคอ 1, 4, 7, 10

9. เฉลยขอ ค. na = n2 , n I , n < 8

แนวคด ในกรณทฟงกชนเปนล าดบทมโดเมนเปน {1, 2, 3, …, n} จะเรยกล าดบดงกลาววา ล าดบจ ากด ดงนน na = n2 , n I , n < 8 เปนล าดบจ ากด

10. เฉลยขอ ก. f = {(1,2), (2,5), (3,11), (4,14), ...}

แนวคด ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1

ผทตอบถกทงหมด 10 ขอ เกงมากคะ ผทไดคะแนนครงนสงขนกวาการทดสอบกอนเรยนแสดงวามความรเพมขนสวนผทไดคะแนนยงไมเปนทนาพอใจของตนเองใหอาน แบบฝกใหมแลวท าแบบฝกหดอกครงนะคะ

ขยนหนอยนะคะ

84


แบบบนทกคะแนนแบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 1 เรอง ล าดบ

ชอนกเรยน....................................................................... เลขท............. ชน............ 1. แบบทดสอบ

แบบทดสอบ คะแนนเตม คะแนนทท าได หมายเหต

กอนเรยน 10 หลงเรยน 10

ผลการพฒนา

หมายเหต ผลการพฒนา = (คะแนนหลงเรยน – คะแนนกอนเรยน) 100 คะแนนเตม 2. แบบฝกทกษะคณตศาสตร

แบบฝกทกษะท คะแนนเตม คะแนนทท าได หมายเหต

แบบฝกทกษะท 1 20 แบบฝกทกษะท 2 10 แบบฝกทกษะท 3 10 แบบฝกทกษะท 4 20 แบบฝกทกษะท 5 20 แบบฝกทกษะท 6 20 แบบฝกทกษะท 7 20

รวม 120 คาเฉลย รอยละ

เกณฑการประเมน รอยละ 70 ขนไปถอวาผานเกณฑ

ลงชอ.....................................................ครผสอน (นางสาวสดสายใจ อนกรด)

Documents

1 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่prankratai.ac.th/images/File/merged4.pdf · เฉลยแบบฝึกทักษะที่