1

BAB I

SISTEM BILANGAN REAL

A. PENGERTIAN BILANGAN REAL

Sebenarnya sistem bilangan real telah kita kenal bahkan kita telah mempelajari

sejak di bangku sekolah dasar. Sistem bilangan ini merupakan pengetahuan dasar

yang harus kita pahami karena sangat berguna bagi kita untuk menyelesaikan

masalah-masalah yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari, juga pada bidang bisnis

dan manajemen.

Bagaimana seorang pengusaha dapat menjalankan usahanya apabila tidak

menguasai sistem bilangan, bahkan pendagang kaki lima harus juga menguasai

sistem bilangan agar menjalankan usaha dagangnya untuk dapat keuntungan.

Dalam bab ini akan dipelajari macam-macam bilangan real juga operasi-

operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan Real. Namun sebelumnya akan

kita pelajari dulu macam-macam bilangan Real. Sistem bilangan Real disusun dari

macam-macam bilangan.

B. MACAM-MACAM BILANGAN REAL

1. Bilangan Asli (A)

Bilangan asli merupakan bilangan yang pertama yang digunakan oleh manusia

untuk membilang. Bahkan seorang ibu melatih anak balitanya juga pasti mulai

dari bilangan Asli, Bapak-Ibu guru yang mengajar Olah Raga juga menggunakan

bilangan Asli dalam menghitung barisannya dan masih banyak lagi yang kita

jumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Bilangan Asli yaitu : 1, 2, 3, 4,.... dilambangkan huruf A dan dapat ditulis :

A : {1, 2, 3, 4,.......}

2. Bilangan Cacah

Bilangan cacah merupakan gabungan antara bilangan Asli dan nol dan

dilambangkan dengan huruf C dapat ditulis :

C : {0, 1, 2, 3,...}

2

3. Bilangan Bulat

Bilangan Bulat merupakan gabungan antara bilangan Cacah dan lawan bilangan

Asli dan dilambangkan dengan huruf B dan dapat ditulis :

B: {......., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ......}

4. Bilangan Rasional

Bilangan Rasional juga bisa diartikan bilangan pecah dan dapat dinyatakan

bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p

q dengan P, Q B, Q 0.

bilangan Rasional dapat dilambangkan dengan huruf Q dan dapat ditulis dalam

bentuk Q : {p

q a,b , dan q 0 }

5. Bilangan Irasional (I)

Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p

q

dengan p, q B dan q 0. Bilangan Irasional dilambangkan dengan huruf I.

Contoh : 2 , 7 , dan log 7 ... .

6. Bilangan Real (R)

Bilangan Real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional

Bilangan Real dilambangkan dengan huruf R dan dapat ditulis juga R = U I

Dari macam-macam bilangan Real di atas dapat dibuat skema sebagai berikut :

Bil. Real

Bil. Rasional

Bil. Irasional

Bil. Bulat

Bil. Bulat negatif

Bil. Nol

Bil. Asli

Bil. Pecah

Bil. Cacah

3

Selain dapat dibuat skema bilangan Real di atas juga dapat dinyatakan

dengan diagram Venn berikut ini :

Gambar : 1.1 Diagram Venn dari Himpunan Bilangan Real

Rangkuman

1) Bilangan Real tersusun dari :

a. Bilangan Asli

b. Bilangan Cacah

c. Bilangan Bulat

d. Bilangan Rasional

e. Bilangan Irasional

2) Bilangan Real dapat dibuatkan :

a. Skema

b. Diagram Venn

Latihan 1.1

1. Tuliskan anggota-anggota dari himpunan di bawah ini :

a. { 5 buah bilangan Asli yang pertama }

b. { a a < 5, D C }

c. { e -3 e e B }

d. { q q faktor dari 12 }

e. { s s tahun kabisat dari tahun 1995 sampai 2005 }

2. Tulislah 5 contoh bilangan Irrasional!

3. Buktikan bahwa 2,512512... merupakan bilangan rasional!

AC

B

Q

I

R

4

4. Tentukan diantara bilangan-bilangan di bawah ini yang merupakan

bilangan rasional!

a. 13 , -3,

1

10 , 3

b. 16 , 5 , 53 , 32

c. log 10 , log 7 , log 1000 , log 250

d. 0,25 ; 0,217217... ; 4

0;

3

2

5. Tentukan bilangan rasional yang tepat di tengah-tengah bilangan-

bilangan di bawah ini:

a. 12 dan

23

b. 16 dan

23

c. 11

5 dan 2

1

3

d. 21

2 dan 3

1

3

Tugas 1

Buat diagram Venn tentang anggota bilangan Real, kemudian beri warna yang

berbeda masing-masing bilangan. Tunjukan daerah gabungan dari 2 bilangan yang

ada.

C. OPERASI PADA BILANGAN BULAT

1. Operasi Hitung Penjumlahan pada bilangan bulat.

Untuk a, b, c berlaku sifat-sifat sebagai berikut :

a) Tertutup

a + b = c, untuk a, b B didapat C B

b) Komutatif

a + b = b + a, untuk a, b B

5

c) Assosiatif

(a + b) + c = a + (b + c), untuk a, b, c B

d) Invers tambah (lawan)

Untuk a, -b B ada invers tambah, yaitu -a, + b sehingga berlaku :

a + (-a) = 0

-b + b = 0

e) Elemen identitas

a + 0 = 0 + a = a

Untuk lebih memahami sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat, kita lihat

contoh berikut ini :

1. 2 + 3 = 5 dengan 2, 3, 5 (sifat tertutup)

2. 4 + (-9) = -9 + 4

-5 = -5 (sifat komutatif)

3. (2 + 5) + (-4) = 2 + [5 + (-4)]

7 + (-4) = 2 + 1

3 = 3 (sifat assosiatif)

4. 5 + (-5) = (-5) + 5

0 = 0 (sifat invers atau lawan)

5. 3 + 0 = 0 + 3

3 = 3 (sifat identitas)

2. Operasi pengurangan pada bilangan bulat.

Untuk a, b, c bersifat tertutup untuk operasi pengurangan.

Contoh : 5 - (-4) = 5 + 4 = 9 , 5, -4, 9

-8 - (-4) = -8 + 4 = -4 , -8,-4, 4

3. Operasi perkalian pada bilangan bulat, memiliki sifat pada operasi pengurangan

tidak berlaku :

a) Sifat komutatif

b) Sifat asosiatif

6

Operasi perkalian pada bilangan bulat, memiliki sifat sebagai berikut :

a) Tertutup

Untuk setiap a, b didapat C B berlaku a x b = C

b) Komutatif

Untuk setiap a, b akan berlaku a x b = b x a

c) Assosiatif

Untuk setiap a, b, c berlaku (a x b) x c = a x (b x c)

d) Elemen invers (kebalikan) perkalian

Untuk setiap a B mempunyai elemen netral 1

a berlaku a x 1

a = 1

e) Elemen Identitas

Untuk elemen identitas perkalian adalah 1, sehingga a B berlaku

a x 1 = 1 x a = a.

f) Distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Untuk setiap a, b, c B berlaku :

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

g) Distributif perkalian terhadap pengurangan

Untuk setiap a, b, c B berlaku :

a x (b c) = (a x b) (a x c)

Untuk lebih dapat memahami sifat-sifat operasi hitung perkalian pada bilangan

bulat, lihat dengan cermat contoh di bawah ini :

Contoh :

1. 4 x (-2) = -8, 4, -2, -8, B (sifat tertutup)

2. 2 x -3 = -3 x 2

-6 = -6 (sifat Komutatif)

3. (3 x 2) x -4 = 3 x (-2x 4)

-6 x 4 = 3 x 8

24 = 24 (sifat Assosiatif)

4. 5 x 1

5 = 1

5 x 5

= 1 (sifat elemen netral)

7

5. (-3) x 1 = 1 x (-3)

-3 = -3 (sifat elemen identitas)

6. 5 x (-3 + 6) = (5x 3) + (5 x 6)

5 x 3 = -15 + 30

15 = 15 (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)

7. 6 x (7-5) = (6 x 7) (6 x 5)

6 x 2 = 42 30

12 = 12 (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)

4. Operasi Pembagian Pada Bilangan Bulat

Untuk a dan b bilangan bulat, a,b B , b 0 maka membagi a dengan b sama

dengan mengalikan a dengan kebalikan b (invers perkalian), sehingga berlaku:

a : b = a x b

1=

b

a , b 0

Contoh : 1.3

1. 20 : 5 = 20 x 5

1

= 5

20

= 4

2. 50 : (-2) = 50 x1

2

= 50

2

= -25

RANGKUMAN

1. Pada operasi hitung penjumlahan bilangan bulat berlaku sifat : tertutup,

komutatif, asosiatif dan elemen invers

2. Pada operasi hitung pengurangan tidak berlaku sifat komutatif

3. Pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat : tertutup, komutatif, distributif

dan asosiatif.

8

4. Pada pembagian bilangan bulat sama dengan mengalikan dengan kebalikan

bilangan pengali.

LATIHAN 2.

1. Tulislah contoh- contoh sifat -sifat yang berlaku pada bilangan berikut:

a) Tertutup pada bilangan asli

b) Komutatif pada bilangan bulat

c) Assosiatif pada perkalian bulat.

d) Distributif perkalian terhadap penjumlahan.

e) Distributif perkalian terhadap pengurangan.

2. Tentukan nilai dari :

a) 2 + 3

b) 6 + (-3)

c) -8 + 4

d) -10 12

e) 3 x (5 +4 )

f) 5 x (8-3)

g) ( 5 x 2) + ( 5 x 8)

h) ( 8 x 4 ) - ( 8 x 6 )

3. Lengkapilah

a) 12 x ( 5 + 10 ) = (12 x.....) + (....x 10 )

= ... + ...

=...

b) 5 x (10 2 ) = ( ...x 10 ) - ( 5 x ...)

=...-...

=...

c) (5 + 3 ) : ( 8 : 4 ) =... : 2

=... :...

=...

9

d) ( -125 : 5 ) + ( 50 : -5 ) = (-25) +...

=... + (-10)

=...

TUGAS 2

Salin dan lengkapi persoalan di bawah ini !

1. a x ( b + c ) = ( ...x...) + ( a x ...)

= ( ...) + (...)

=...

2. p x {(-q ) + ( 5 )}= ( p x ...) + (...x...)

=... + ...

=...

D. OPERASI PADA BILANGAN PECAHAN

Bilangan pecahan merupakan salah satu anggota dari bilangan rasional.

Bilangan rasional dinyatakan dalam bentuk p

q dengan p, q B, q 0. Untuk

bilangan pecahan juga termasuk bilangan rasional yang dinyatakan dalam bentuk p

q

, p.q B , q o dan p q , p disebut pembilang dan q disebut penyebut dari bilangan

pecahan tersebut.

Pada operasi hitung bilangan pecahan juga berlaku sifat sifat operasi seperti

yang berlaku pada bilangan bulat. :

1. Penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan.

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan bilangan pecahan dapat

dilakukan dengan terlebih dahulu menyampaikan penyebut tiap-tiap sukunya.

a) Jika q

pdan

s

r adalah bilangan bilangan pecahan, maka berlaku :

sq

rqsp

s

r

q

p

.

..

10

b) Jika p

q dan r

s adalah bilangan-bilangan pecahan, maka berlaku :

sq

rqsp

s

r

q

p

.

..

Untuk lebih jelas dan lebih memahami operasi penjumlahan dan pengurangan

dari bilangan pecahan, lihat contoh berikut ini!

Contoh = 1.4

Hitung nilai dari :

a. 12 +

13 c. 2

12 + 5

13 e.

4

5 - 13

b. 3

4 + 25 d.

12 -

1

5 f. 6 13 - 2

1

5

Jawab :

a. 12 +

13 =

1.2 1.22.3 =

3 2

6 = 56

b. 3

4 + 25 =

3.5 2.44.5 =

15 8

20 = 23

20 = 1

3

20

c. 212 +

51

3 = 52 +

16

3 = 5.3 16.2

2.3 = 15 32

6 = 47

6 = 7

5

6

d. 12 -

1

5 = 1.5 1.2

2.5 = 5 210 =

3

10

e. 4

5 - 23 =

4.3 2.55.3 =

12 1015 =

2

15

f. 613 -

21

5 = 19

3 - 11

5 = 19.5 11.3

3.5 = 95 33

15 = 62

15 = 4

2

15

Latihan = 1.3

Hitung nilai dari operasi operasi bilangan berikut ini!

1. a. 13 +

1

5 e. 4

2

3 + 1

1

5 i. 4

1

4 + 2

1

3

11

b. 57 +

25 f.

31

2 - 1

2

7 j.7

1

3 - 1

2

7

c. 13 -

1

4 g. 5

1

6 + 3

1

2 k. 20

3 - 123

d. 22

3 - 1

1

4 h. 7

2

3 + 1

4

5 l.40

7 + 1

1

2

2. a. 12 +

13 +

1

5 e. 38 -

1

5 -1

4 i. -512 +

13 -2

1

4

b.27 +

25 +

3

4 f. 512 +1

13 +

1

4 j. -6 12 -1

12 -3

13

c.3

4 - 12 +

13 g. 5

16 -1

12 +2

13 k. -7

12 +1

13 -2

1

4

d. 4

5 + 13 -

1

4 h. 20

3 +25 +

12 l.

57

4 + 4 - 713

Buktikan bahwa : 2

2n - 1

n 1 = n 1

2n2 2n dengan n

4. Nisa me mpunyai uang Rp. 25.000,- Seperlima uangnya dibelikan buku dua

perlima uangnya dibelikan pensil kemudian seperempatnya untuk beli pulsa.

Sisanya ditabung. Hitunglah uang yang ditabung!

Tugas 3

Isilah teka teki di samping ini, sesuai pertanyaan pada nomor kotak

1. Bilangan yang dapat dinyatakan

p

q , q, p r, q 0 (menurun)

2. Bilangan yang tak dapat dinyata

kan p

q , p, q r, q 0

3. 1 adalah elemen ... pada perkalian

4. Sesudah dijelaskan perlu diberi ... .

5. Lawan bilangan ganjil

6. Bilangan bulat positif digabung dengan 0

7. Bilangan digunakan berhitung pada baris berbaris

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

12

2. Perkalian dan pembagian bilangan pecahan

a) Perkalian

Untuk menyelesaikan operasi perkalian dua bilangan pecahan atau lebih

dengan cara : mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut

dengan penyebut.

Untuk p

q dan r

s adalah bilangan-bilangan pecahan, maka berlaku :

sxq

rxp

s

rx

q

p

= qs

pr

Contoh : 1.5

1) 13 x

12 =

1.1

3.2 = 16

2) 35 x

23 =

3x2

5x3 = 6

15

3) 12

3 x 2

1

4 = 53 x

9

4 = 5x9

3x4 = 45

12 = 3

9

12

b) Pembagian

Untuk menyelesaikan operasi pembagian pada bilangan pecahan dengan cara

mengubah tanda kali menjadi perkalian dan membalik pecahan pembaginya

untuk p

q dan r

s adalah bilangan-bilangan pecahan maka berlaku :

rxq

sxp

r

sx

q

p

s

r

q

p:

Contoh : 1.5

1. 6

12 : 13 =

6

12 x 31 =

18

12 = 1

6

12

2. 51

2 : 2 = 11

2 : 21 =

11

2 x 12 =

11

4 = 2

3

4

3. 62

3 : 2

1

4 = 20

3 : 9

4 = 20

3 x 4

9 = 80

27 = 2

26

27

4. 51

2 : 12 :

23 =

11

2 : 12 :

23 =

11

2 x 21 x

32 =

66

4 = 16

1

2

13

Rangkuman

Latihan : 1.4

3) Hitung nilai operasi-operasi perkalian bilangan berikut ini!

a. 12 x

1

8 g. 1

1

2 x 2

1

3

b. 4

5 x 23 h.

12

5 x 3

2

3

c. 2 x 23 i.

32

5 x 2

12

d. - 13 x

1

5 j. 3

1

3 x + 5

1

7

e. - 25 x

37 k.

31

3 x 5

1

7

f. - 35 x -

27 l.

201

3 x 1

1

3

4) Hitung nilai pembagian berikut ini :

a. 12 :

1

8 d. - 12 :

1

8

b. 4

5 : 23 e.

4

5 : -23

c. 71

8 : 1

1

4 f. -7

1

8 : -1

1

4

5) Hitung nilai dari :

a. 13 x

12 :

1

8 d. 1012 x -

12 :

23

b. 31

7 : 21

5 x 412 e. 9

23 : -2

12 x -1

13

6) Tentukan nilai n dari :

a. 12 x n = 5, n = ... . d. 3

12 : n = 7, n = ... .

b. 123 x n = 6, n = ... . e. 2

13 n x 7

12 = 15

23 , n = ... .

c. n x -12 = 3

12 , n = ... . f. -

23 n :

12 = 20, n = ... .

7) Pak Joko mempunyai uang Rp. 10.000.000,00 dan seluruhnya akan

dibagikan pada ke-tiga anaknya. Anak pertama mendapat 38 bagian, anak

kedua mendapat 5

16 bagian dan anak ketiga mendapatkan sisanya.

Hitung jumlah uang masing-masing bagian ketiga anak Pak Joko.

14

Tugas 4

Dalam kelasmu tugaskan ketua kelas membuat angket tentang hobby siswa dalam 1

kelas, kemudian dikumpulkan.

Hitung jumlah siswa sesuai dengan hobby yang sama.

Diskusikan, terus tentukan bagian dengan bilangan pecahan dari masing-masing

hobby.

Rangkuman

1. Pada operasi hitung perkalian pada bilangan pecahan berlaku sifat :

a. Kumulatif

b. Assosiatif

c. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

d. Distributif perkalian terhadap pengurangan

2. Operasi perkalian pada bilangan pecahan dapat dilakukan dengan cara

mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

3. Operasi pembagian pada bilangan pecahan dapat dilakukan dengan cara

mengganti tanda pembagian dengan tanda perkalian tetapi pecahan

pembagi harus dibalik.

E. PECAHAN, PERBANDINGAN, SKALA DAN PERSEN

1. Pecahan

Pecahan bisa dinyatakan dengan tiga cara :

a. Pecahan biasa

Biasa ditulis dalam bentuk b

a, a, b B, b 0 dan b bukan faktor a. Pada

bidang bisnis bilangan pecahan biasa digunakan ukuran berat, diameter pipa

dll.

Contoh : berat gula : kg

diameter pralon : dm

b. Pecahan desimal

Pecahan desimal biasa dipakai dalam banyak hal dalam kehidupan sehari-

hari seperti ukuran panjang, ukuran berat, ukuran kecepatan dll. Pecahan ini

15

menggunakan sistem nilai tempat, nilai suatu angka dalam suatu bilangan

tergantung pada tempatnya.

Contoh : 0,1275.

Angka 1 bernilai 1

10

Angka 2 bernilai 2

100

Angka 7 bernilai 7

1.000

Angka 5 bernilai 5

10.000

c. Persen

Bilangan ini biasa digunakan untuk menyatakan kadar suatu unsur dalam

campuran zat kimia, diskon harga suatu barang pada bidang bisnis, laba dan

rugi pada bidang perdagangan dll.

Persen menyatakan perbandingan dengan seratus (perseratus) dan ditulis

dengan tanda %.

Contoh :

3% = 3

100

60% = 60

100

d. Mengubah desimal ke dalam bentuk biasa dan persen

1). Bilangan dengan angka di belakang koma terbatas

0, . . .

perseribu

perseratus

persepuluh

Contoh : 0,275

0,275 = 2

10 + 7

100 + 5

1.000

= 200

1.000 + 70

100 + 5

1.000

16

= 5

1.000

2). Bilangan dengan angka di belakang koma tak terbatas berulang.

a. Jika banyak angka yang berulang satu angka, maka pecahannya

adalah angka yang berulang dibagi 9.

Contoh :

0,3333 ... = 39

b. Jika banyak angka yang berulang dua angka, maka pecahannya dua

angka yang berulang tersebut dibagi 99.

Contoh :

0,353535 ... = 35

99

c. Jika banyak angka yang berulang tiga angka, maka pecahannya

adalah tiga angka yang berulang dibagi 999.

Contoh :

0,251251251 ... = 251

999 dst.

e. Mengubah persen ke dalam bentuk pecahan biasa dan desimal.

Untuk mengubah bentuk persen menjadi bentuk pecahan biasa dapat dilakukan

dengan menggantikan tanda persen (%) menjadi persentus (1

100 ) kemudian

bentuk disederhanakan, jika mau dijadikan pecahan desimal dapat dilakukan

dengan menjadikan desimal dari pecahan yang dihasilkan.

Contoh

1). 20% = 20

100

= 0,2

2). 25% = 25

100 = 1

4 (pecahan biasa)

= 0,25 (pecahan desimal)

17

Latihan : 1.5

1. Tulislah pecahan di bawah ini ke dalam bentuk desimal.

a. 1

4

b. 25

c. 40

60

d. 12

120

e. 125

100

2. Tulislah bentuk desimal ini ke dalam bentuk pecahan biasa.

a. 0,25

b. 2,50

c. 32,75

d. 75,82

e. 90,10

3. Tulislah bentuk persen di bawah ini ke dalam bentuk pecahan biasa.

a. 25%

b. 4,5%

c. 52,25%

d. 671

5 %

e. 873

4 %

4. Hitunglah.

a. 25% x 16 +2,50

b. 21

4 x 5,5% + 7,5

c. 412 % x (

31

2 + 6

1

4 ) - 4,5

18

d. 120,5 + ( 101

2 - 2

1

4 ) x 20

1

3

e. 40 x ( 21

2 + 6%)

Tugas : 5

Lengkapi tabel berikut ini!

No Pecahan Desimal Persen

1. 25

... ...

2. ... 0,75 ...

3. ... ... 35%

4. 51

2 ... ...

5. ... 7,55 ...

6. ... ... 675%

7. ... 8,555 ...

8. 112

50 ... ...

9. ... ... 53

8 %

10. ... 10,375 ...

2. Perbandingan

Perbandingan dua buah nilai atau besaran sejenis dapat dinyatakan sebagai

pembagian atau pecahan biasa. Secara umum pembagian nilai a dan nilai b ditulis :

a : b atau a

b (dibaca a dibanding b)

Ada 2 jenis perbandingan :

a. Perbandingan senilai

Yaitu perbandingan yang harganya sama.

Bentuk umum perbandingan ini adalah :

19

A1 : B1 = A2 : B2 atau 2

2

1

1

B

A

B

A

Contoh :

Harga 4 buku tulis adalah Rp. 12.000,00, berapa harga 10 buku tulis?

Jawab :

Harga 4 buku tulis = 12.000,00

Harga 1 buku tulis = 12.000

4 = 3.000

Jadi harga 10 buku tulis = 10 x Rp. 3.000,00 = Rp. 30.000,00

b. Perbandingan berbalik nilai

Yang dimaksud perbandingan berbalik nilai, jika kedua perbandingan tersebut

mempunyai nilai kebalikan.

Bentuk umum :

A1 : B1 = B2 : A2

A1 . B1 = B1 . B2

Contoh :

Sebuah pekerjaan dikerjakan 10 orang akan selesai dalam 24 hari. Jika

dikerjakan oleh 16 orang akan selesai berapa hari?

Jawab :

Jumlah orang Jumlah hari

10 / A1 24 / B2

16 / A2 x / B1

didapat

A1

A2 = B1

B2 10

16 = X

24

16 x = 240

x = 15

Jadi apabila pekerjaan dikerjakan oleh 16 orang akan selesai dalam 15 hari.

20

Kota A

Kota B

Kota C

3. Skala

Skala adalah perbandingan antara ukuran suatu obyek pada gambar dengan

ukuran sebenarnya.

Misalnya pada peta ditulis skala : 1 : 1000. Akhirnya 1 cm pada gambar mewakili

1000 cm ukuran sebenarnya.

Jika pada peta jarak kota A dan kota B adalah 3 cm, berarti jarak sebenarnya kota

A dan kota B adalah 3 x 1.000 cm : 3.000 cm

Jadi Skala = ukuran pada gambar

ukuransebenarnya

Skala dibedakan menjadi dua macam :

a. Skala Perkecilan

Biasa digunakan untuk menggambarkan ukuran-ukuran yang besar yang tak

bisa muat jika digambar pada kertas dengan ukuran tertentu.

Misalnya : - Jarak kota dengan kota lain.

- Untuk menggambar sketsa rumah dan lain-lain.

Contoh :

Jarak kota A dan kota B pada peta 3 cm, sedang jarak

sebenarnya 6 km. Jika jarak pada gambar kota B dan

kota C 1 cm, tentukan :

a. Skala peta tersebut.

b. Jarak sebenarnya kota B dan kota C

Jawab :

Jarak kota A dan kota B sebenarnya = 6 km

= 600.000 cm

1) Skala = ukuran pada petaukuransebenarnya

= 3

6.000.000

= 1

200.000

Jadi skala peta = 1 : 200.000

21

2) Jarak sebenarnya kota B dan kota C

= 1 x 200.000 cm

= 200.000 cm

= 2 km

b. Skala Perbesaran

Biasa digunakan untuk menggambarkan benda-benda yang berukuran kecil,

dengan diperbesar akan dapat memperjelas gambar. Misalnya : benda-benda

elektronis, ukuran baut mur dan lain-lain.

Contoh

Gambar disamping menunjukkan gambar lubang

baut berbentuk lingkaran dengan skala 20 : 1,

Berapa diameter lubang baut tersebut?

Jawab :

Skala 20 : 1 1 cm = 1

20 cm ukuran sebenarnya

Diameter sesungguhnya = 4 cm

= 4 x 1

20 cm

= 4

5 cm

= 0.8 cm = 8 mm

4. Persen

Persen dilambangkan dengan %.

Biasa digunakan pada hampir semua bidang : bidang bisnis, teknik, pajak dan

lain-lain. Pada bidang bisnis : untuk menyatakan diskon harga barang dan lain-

lain. Pada bidang teknis : untuk menyatakan target pekerjaan yang diselesaikan

dan lain-lain.

4 cm

22

Contoh :

Dila membeli baju, pada label harga tertulis harga baju Rp. 125.000,00 Diskon

20%. Tentukan :

a. Diskon yang diperluas.

b. Harga yang dibayar.

Jawab :

a. Diskon = 20

100 x Rp. 125.000,00

= Rp. 25.000,00

b. Harga yang dibayar = Rp. 125.000,00 Rp. 25.000

= Rp. 100.000,00

5. Rangkuman

a. Untuk mengubah pecahan ke bentuk persen dengan cara :

Persentase : Pecahan x 100%

b. Perbandingan

Perbandingan senilai A1

B1 =A2

B2

Perbandingan berbalik nilai

A1 + A2 = B 1 B2

c. Skala = sebenarnyaUkuran

gambarpadaUkuran

d. Persen dilukis dengan lambang % berarti perseratus.

LATIHAN : 1.6

1. Ubahlah bentuk pecahan biasa ke dalam persen!

a. 28

b. 3/4

c. 2 /5

23

d. 1 2 /8

e. 5 12

2. Ubah bentuk pecahan desimal ke dalam bentuk pecahan biasa dan persen!

a. 0.40

b. 0.675

c. 2.50

d. 3.75

e. 4.20

3. Adnam membeli kemeja dengan membayar Rp. 75.000,00 sesudah mendapat

diskon 25%. Berapa harga kemeja sebelum kena diskon?

4. Dalam kelompok siswa terdiri dari 12 siswa, setiap siswa berkewajiban

membayar Rp. 300.000,00 untuk membuat laporan pembukuan keuangan. Jika 2

orang keluar dari kelompok itu, berapa rupiah beban tiap siswa yang harus

dibayar?

5. Tinggi badan Gita pada foto 33 cm, tinggi kaki 15 cm, sedangkan tinggi kaki

sesungguhnya 1,0 m. Hitunglah badan Gita sesungguhnya!

Tugas! 6

1. Jelaskan yang dimaksud dengan perbandingan! Sebutkan 2 contoh dalam bidang

marketing!

2. Bagi siswa dalam kelasmu dengan anggota perkelompok 4 orang masing

kelompok membuat contoh 1 tentang perbandingan senilai dan 1 contoh

perbandingan berbalik nilai dan beri penyelesaian yang singkat!

3. Ukurlah panjang, letak dan tinggi ruang kelas kemudian gambarlah dengan

ukuran skala 1 : 100!

24

BAB II

BILANGAN BERPANGKAT

A. Pengertian bilangan berpangkat

Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut :

faktorn

... pxxpxpxppn

pn = disebut bilangan berpangkat

p = disebut bilangan pokok

n = disebut pangkat

Contoh :

1.

faktor5

2222225 xxxx

= 32

2.

faktor5

)5()5()5()5()5()5( 5 xxxx

= 125

B. Sifat bilangan pangkat

1. Pn x Pm = Pn+m , n, m A

Contoh :

23 x 2

5 = 2

3+5

= 28

= 128

2. Pn : Pm = Pn-m , n, m A

Contoh :

58 x 5

5 = 5

8-5

= 53

= 125

25

3. (Pn)m = P n x m dengan n, m A

Contoh :

(23)4

= 23 x 2

3 x 2

3 x 2

3

= 23x4

= 212

4. (p.q)n = pn.qn

Contoh :

(2.5)3

= 23.5

3

= 8.125

= 1000

5. (q

p)n

= n

n

q

p

Contoh :

(10/2)n = 53

=125

(10/2)3 =10

3/2

3

=1000/8

=125

C. Persamaan Perbandingan

Contoh :

Tentukan nilai x dari : 32x+1

= 27

Jawab :

32x+1

= 27

32x+

2x+1

x

x

Jadi nilai x = 1

26

D. Macam-macam Bilangan Berpangkat

1. Bilangan berpangakat positif

Untuk p R , n dan m bilangan bulat maka berlaku :

a) pn= p x p x p x ... x p

n faktor

b) pn x pm = pn+m

Bukti

pn x p

m = (p x p x p x ... x p) x (p x p x p x ... x p)

n faktor

m faktor

= (p x p x p x ... x p x p x p x p x ... x p)

n+m

=p

n+m erbukti

Contoh :

1. 25 = 2x2x2x2x2 = 32

2. 25x22 = 27

= 2x2x2x2x2x2x2

= 128

2. Bilangan berpangkat tak sebenarnya

a) Bilangan pangkat nol

p0 = 1 , p

Contoh :

23-3

= 23/2

3

=

8

8

= 1 ,(23-3

=20)

b) Bilangan pangkat negatif

p-n

= 1/pn

Contoh :

100;10; 1; 0,1; 0,0; ...

102; 10

1; 10

0; 10

-1; 10

-2; ...

102; 10

1; 10

0; 1/10

1; 1/10

2; ...

27

di dapat 0,1 = 1

10 = 1/101

0,001 = 10

-2 =1/10

2

c) Bilangan pangkat pecahan

Jika p1/n

dengan nA dikalikan sebanyak n faktor , maka didapat :

p1/n

x p1/n

x p1/n

x ... x p1/n

= p1/n+1/n +1/n+...+1/n

n faktor n.suku

= p

n.1/n

= p

.1 = p

Jika p1/n

adalah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan itu sendiri

sebanyak n faktor akan menghasilkan p. maka dapat diartikan

p1/n

= n p dengan n, pR

p m/n

dengan m, ndan mengambil analog dari p1/n maka p m/n

Jika dikalikan dengan p m/n

sebanyak n faktor, maka didapat :

pm/nx pm/nx pm/nx...xpm/n = p m/n+m/n+m/n+...+m/n

n suku

= p n x m/n

= pm

Jadi pm/n

dapat diartikan sama dengan n mp atau pm/n

= ( n p )m

dengan

m,nA.

Contoh: 1) 41/2

= 2 4 = 2

2) 81/3

= 2 8 = 3 32 = 2

= 2

3) 16 = ( 4 16 )

3

= 2

3

= 8

28

Rangkuman

1. Bilangan berpangkat adalah hasil perkalian bilangan dengan bilangan itu

sendiri secara beruntun.

Pn = pxpxpx...xp

n.faktor

2. Sifat-sifat pangkat

1. Pn x Pm = Pn+m , untuk n, m A

2. Pn : Pm = P.n-m , untuk n, m A

3. (Pn)m = pnxm , untuk n, m A

4. (P.q)n = Pn.qn , untuk n, m A

5. (p

q )n

=P

n

qn , untuk n, m A

3. p1

n = n p , untuk n, m A

4. pm/n

= ( n p )m

, untuk n, m A

5. n

n

pp

1 , untuk n A

Latihan 1.6.

1. Nyatakan pangkat bilangan bulat, dan tentukan nilainya!

a. 25 f. 26 : 22

b. 32 x 35 g. x5 : x2

c. (33)2 h. 62 : 62

d. (35 )

2 i. 2

2

e. 5

6

52 j. (

1

5 )3

2. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif

a. a 3

b. p.q 3

c. p2.q x p 3 .q4

29

d. 3a 3 b 2 .c

e. (2pqr) 3

f. a(2q 2 .b) 3

g. 5(P2.q.r3) 4

3. Nyatakan dalam bentuk pangkat

a. 3 2p

b. 2 52

1

p

c. 4 4 .3

2

yx

6. Jika x = 81 tentukan harga

4

1

4

3

4

1

2

3

xx

xx

Tugas

Bagi siswa dalam kelas menjadi beberapa masing beranggota + 5 orang.

Masing-masing mengerjakan tugas di bawah ini:

1. Sederhanakan!

a. (p

q ) 2

x (q

p )3 x (

p

q )0 b.

x 2

. p2. q

5. r

3

2 4

. p 3

. q 6

2. Tentukan nilai x, dari :

a. 4 (2x 1)

= 1

163x 1 b.

)42(2 27

1

9

1

xx

3. Jika x = 64 dan y = 125, tentukan harga 5 x2/3.2.y. 4/3

30

BAB III

OPERASI BILANGAN IRRASIONAL

A. Bilangan Irrasional

1. Pengertian

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p

q

, dengan p, q B dan p 0

Juga disebut bilangan tak rasional atau bilangan maya atau bilangan khayal.

Bilangan irrasional dibedakan menjadi 2 yaitu :

a) Bilangan irrasional berbentuk pecahan desimal tak terbatas tak berulang.

Contoh :

e = 2.718218 ... .

b) Bilangan irrasional berbentuk akar

2 = 1.414213562 ... .

3 = 1.732050808 ... .

2. Operasi Bilangan Irrasional

a) Penjumlahan dan pengurangan

Bilangan irrasional tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan kecuali bilangan

itu sejenis, karena besarnya tidak terukur.

Contoh :

1) e + e

2) ee

3) 5 + 2 = 2 + 5

4) 2 3 3 3 + 4 3 = (2 3 + 4) 3 = 3 3

b) Perkalian bentuk akar

31

a x a = a

p x q = qp.

m p x n q = m.n qp.

Contoh

1) 5 x 5 = 5

2) 5 x 2 = 10

3) 32 x 8 = 8.32 = 4.2.32 = 6.42 = 62.2 = 64

4) 25 x 73 = 7.23.5 = 1415

c) Menyederhanakan bentuk akar

Menyederhanakan bentuk akar dengan cara menggunakan sifat

p x q = qp.

Contoh :

1) 8 = 2.4 = 4 . 2 = 2 2

2) 125 = 5.25 = 25 . 5 = 5 5

d) Merasionalkan Penyebut Pecahan

1) p

1 =

p

1 x

p

p=

p

p = p

p

1

2) p

k =

p

k x

p

p=

p

pk = p

p

k

3) qp

k

=

qp

k

x

qp

qp

_

_ =

qp

qpk

2

)( = )(

2qp

qp

k

4) qp

k

=

qp

k

x

qp

qp

=

qp

qpk

)( = )( qp

qp

k

32

5) qp

k

=

qp

k

x

qp

qp

=

qp

qpk

2

)( = )(

2qp

qp

k

6) qp

k

=

qp

k

x

qp

qp

=

qp

qpk

)( = )( qp

qp

k

Contoh :

1) 5

1 =

5

1 x

5

5 =

5

5 = 5

5

1

2) 7

3 =

7

3 x

7

7 =

7

73 = 7

7

3

3) 112

3

=

112

3

x

112

112

=

112

)112(3

= )112(

9

3

= )112(3

1

4) 27

5

=

27

5

x

27

27

=

27

275

=

5

275

= 27

5) 53

4

=

53

4

x

53

53

=

59

534

= 53

6) 53

4

=

53

4

x

53

53

=

53

534

= 532

Latihan 1.7

1. Sederhanakan.

1) 32

2) 1000

3) 122 + 75

4) 20 + 5 45

5) 125 12 + 27

33

2. Rasionalkan penyebutnya.

a. 7

1 e.

27

3

b. 8

2 f.

53

2

c. 37

2

g.

25

52

d. 116

5

h.

37

35

3. Sederhanakan!

a. 74

72

b. 23

1

c. 25

2

Tugas

Kerjakan secara berkelompok!

1. 25

2

2. 57

73

3. 711

352

4. 323

3

5. 3252

5

34

BAB IV

LOGARITMA

A. Pengertian

Coba ingat kembali bilangan berpangkat

pn = q dengan :

p = bilangan pokok

n = bilangan pangkat

q = hasil pangkat

Sekarang kita balik : p...

= q

Dibaca p pangkat berapa hasilnya q ? atau

q adalah p dipangkatkan berapa ?

Jawaban dari pertanyaan di atas adalah n dan dalam matematika dinyatakan

p log q = n

Jadi logaritma adalah invers dari perpangkatan.

Jika q = pn (P > 0 dan p 1) adalah bilangn berpangkat dengan pokok p dan

pangkat n maka inversnya adalah:

n = plog q disebut logaritma dengan bilangan pokok p.

dari keterangan tersebut dapat disimpulkan :

p log q = n q = p

n Dengan p > 0, p 1

p : bilangan pokok logaritma

q : radikal

n : hasil penarikan logaritma

Untuk logaritma dengan bilangan pokok 10, biasanya bilangan pokok logaritma

tidak ditulis.

Contoh

1) log 100 = 10

log 100 = 2

2) log 10.000 = 10

log 10.000 = 10

log 10 4 =4

3) 3

log 27 = 3 log 3

3 = 3

4) 5 log

1

25 = 5 log 5

2 = 2

35

B. Sifat- sifat logaritma

1. Sifat (1)

Setiap bilangan tidak sama dengan 0, apabila dipangkatkan nol hasilnya

ada;lah 1.

Jadi p0 = 1 , p 0

plog 1 = 0

Contoh :

5 log 1 = 0 , sebab 5

0 = 1

01log21

, sebab

2

1 0 = 1

2. Sifat (2)

Setiap bilangan dipangkatkan 1 hasilya bilagan itu sendiri.

Jadi p1 = p. plog p = 1

Contoh :

5 log 5 = 1

12

1log2

1

3. Sifat (3)

n log (p . q) =

n log p +

n log q

Contoh :

a. 2 log (4 . 8) = 2 log 4 + 2 log 8 = 2 + 3 = 5

b. 3 log 81 = 3 log 9 + 3 log 9 = 2 + 2 = 4

4. Sifat (4)

a log

q

p=

a log p a log q

Contoh :

a. 2 log

4

16 =

2 log 16 2 log 2 = 4 1 = 3

b. 5 log 625

25 = 5

log 625 5 log 25 = 4 2 = 2

36

5. Sifat (5)

a log p

n = n .

a log p

Contoh :

a. 2 log 83 = 3 . 2 log 8 = 3 . 3 = 9

b. 5 log (125)4 = 4 . 5 log 125 = 4 . 3 = 12

6. Sifat (6)

p log n q =

1

n . p

log q

Contoh :

a. 2 log 3 16 = 13 .

2 log 16 =

13 . 4 =

4

3

b. 3 log 4 81 = 1

4 . 3 log 81

= 1

4 . 3

log 3 4

= 1

4 . 4

= 1

7. Sifat (7)

p log

1

q = p

log q

Contoh :

a. 2 log 1

16 = 2

log 16

= 4

b. 3 log 19 =

3log 9

= 2

8. Sifat (8)

p log q .

q log r =

p log r

37

Contoh :

5 log 125 .

125 log 25 =

=

= 5 log 25

= 2

9. Sifat (9)

p log q =

p

qx

x

log

log

Contoh :

8 log 32 =

log 322

log 82 =

53

10. Sifat (10)

qm

nq pnp

m

loglog

Contoh : 23 log 8

6 =

63 .

2 log 8

= 2 . 3

= 6

Rangkuman

p log q = n pn = q , p > 0, p

2. Sifat Logaritma :

a) p log 1 = 0

b) p log p = 1

c) p log q . r = p log q + p log r

d) p log q

r = p log q +

p log r

e) p log qn = n . p log q

f) p log n q =

1

n . p

log q

38

g) p log q

1 = p log q

h) plog q. qlog r = p log r

i) p log q = log q

log p

j) qm

nq pnp

m

loglog

Latihan : 1.8

1. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi logaritma!

a. 53 = 125

b. 54 = 81

c. 26 = 64

d. 54 = 625

2. Tentukan nilai x, dari :

a. 2log 32 = x

b. 5log 25 = x2 2

c. 4.2log 25 = 3 x + 1

d. 2 4log x = 0

e. 0.5log 0.25 = x2 3x + 4

3. Sederhanakan!

a. 2log 48 2 log 6 = ... .

b. 7log 4 + 2.3log3 2 .7log 6 = ... .

c. 2log 2 + 2log 3 2log 8 = ... .

d. log 3 + log 4 log 6 + log 8 = ... .

4. Jika log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 dan log 7 = 0.8451 Tentukan :

a. log 42

b. log 84

c. log 10.5

d. log 14

e. log 4

28

39

Tugas

Kerjakan secara berkelompok!

1. Tentukan x, jika x R

a. 3log (x+2) + 3log x = 1

b. log (x+1) log (x 1) = log 3

c. 3log (x+1) + 2 = 3log 2.25

d. log (5 + x) log (2x 1) = 1

e. 5log (5x+20) 5log(2x 1) = 2

C. Menggunakan Daftar Logaritma

Daftar logaritma yang biasa kita gunakan menggunakan bilangan pokok-pokok

kita lihat :

No. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

5 6090 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709

.

.

.

65 8129 8136 8145 8149 8156 8162 8169 8176 8188 8189

.

.

.

1. Cara mencari nilai logaritma

a) Kolom pertama (n) dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan secara

berurutan dari 0 sampai 1.000.

40

b) Kolom ke-2 sampai 11, dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan

bilangan 0, 1, 2, 3, ..., 9 (0 sampai dengan sembilan)

c) Cara menggunakan daftar logaritma dangan bilangan pokok 10.

Contoh :

1) Dengan menggunakan daftar logaritma tentukan nilai logaritma dan :

a. log 15

b. log 54

c. log 500

2) Tentukan nilai logaritma dari :

a. log 6,5

b. log 652

c. log 659

Jawab :

1) a) log 5 = ... .

Terletak antara log 1 = 0 dan log 10 = 1

Sehingga Log 5 = 0, ...

Angka dibelakang koma dicari pada kolom 1 s/d 11, menunjukkan

angka dibelakang koma (sering disebut mantis), sehingga didapat.

log 5 = 0,6090

b) log 54 = ... .

Terletak antara log10 = 1 dan log100 = 2

Sehingga log 54 = 1, ...

Angka dibelakang koma dicari pada kolom 1 s/d 11, pada kolom 6,

sehingga didapat bilangan 8156.

Jadi log54 = 1,8156

c) log 500 = ... .

Terletak antara log 100 = 2 dan log 1.000 = 3

Sehingga log 500 = 2, ...

Angka dibelakang koma dicari pada kolom 2 (lajur 0) ketemu angka

6090.

Sehingga log 500 = 2,6090

41

d) log 6,5 = ... .

Terletak antara Log 1 = 0 dan Log10 = 1

Jadi, Log 6,5 = 0, ...

Angka dibelakang komanya pada kolom 2 (n = 65)

ketemu 8129

Jadi, Log 6,5 = 0,8129

e) log 652 = ... .

Terletak antara Log 100 = 2 dan log 1.000 = 3

Jadi, log 652 = 2, ...

Angka dibelakang koma dilihat pada komom 4 (n = 65)

ketemu 8145

Jadi, Log 652 = 2,8145

f) log 659 = ... .

Terletak antara Log 100 = 2 dan Log 1.000 = 3

Jadi, Log 659 = 2, ...

Angka dibelakang koma dicari pada n = 65 kolom 9.

didapat 8189.

Jadi, Log 659 = 2,8189

Soal :

Tentukan nilai dari :

1. 10log 2

2. 10log3,2

3. 10log 51

4. 10log 108

5. 10log1

100

6. 10log 6,64

7. 10log 6,6421

8. 10log 2.405

9. 10log 7.210,45

42

10. 10log 0,0252

2) Cara Mencari Anti Logaritma

Jika nilai logaritma suatu bilangan sudah diketahui, maka bilangan itu

dapat ditentukan dengan menggunakan daftar logaritma.

Jadi daftar logaritma juga merupakan daftar Anti logaritma.

Contoh :

1) Tentukan x dari soal di bawah ini!

a. log x = 0.750

b. log x = 0.7958

c. log x = 1.6628

d. log x = 3.6628

Jawab :

1. a. log x = 0.750 (antara 0 dan 1), maka x terletak antara 1 dan 10.

Sehingga : 0 < log x < 1, maka 1 < x < 10.

b. log x = 0.7958 (sama cara mencari)

0 < log x < 1, sehingga 1 < x < 10

Setelah dicari pad a daftar logaritma didapat angka 615

jadi x = 6.15

c. log x = 1.6628

Sehingga 1 < log x < 2 sehingga 10 < x < 100

Angka 6628 dilihat pada daftar logaritma didapat angka 460

jadi x = 46.0

d. log x = 3.6628

Sehingga 3 < log x < 4 sehingga 1000 < x < 10.000

Angka x = 4600

43

EVALUASI

1. Pak Amir memiliki tanah seluas 8.000 m2. Karena sudah tua akan dibagikan

kepda ke-empat anaknya. Anak I mendapat 8

3 bagian, 30% untuk anak II dan

0.2 bagian untuk anak III. Anak ke IV mendapatkan sisanya.

Tentukan :

a. Bagian masing-masing anak!

b. Bagian anak IV seperberapa bagian anak I?

2. Tentukan nilai dari :

a. 7 + (2) = ... .

b. 10 + (3) = ... .

c. 23 + 1

12 = ... .

d. 527 + 1

1

5 = ... .

e. 825 3

13 = ... .

3. Rasionalkan penyebutnya!

a. 75

1

f.

7

2 x

5

3 = ... .

b. 57

3

g. (3

12 x ( 7

12 + 2

12 ) = ... .

c. 52

2

h. (3

1

4 x 73

4 )-(312 x 2

1

4 )=... .

d. 713

137

i. 4

23 : 1

53 = ... .

e. 42

24

j. 9

23 : 1

13 = ... .

4. Sederhanakan!

a. 2log 48 2log6 = ... .

b. 6log 4 2log20 = ... .

c. 5log 4 +3. 5log 25 2.5log 4 = ... .

d. Jika 2log 3 = a dan 2log 5, nyatakan 6log 50 dalam a dan b