1

1)(2

1 21

20 fifNr

n at

Brechungsindex für Röntgenstrahlung

r0 = e2/40mec2 Klassischer Radius des Elektrons

Optische Theorie der Röntgenreflexion

BrB

ArA nn coscos Snell Gesetz

MMn coscos Snell Gesetz (Vakuum/Werkstoff)

1nBrechungsindex des Vakuums

)()(2

12

1

cos

21

202

21

20

2

fifNr

fifNr

n

n

atcatMc

Mc

Kritischer Winkel

2

Externe Totalreflexion

Vakuum: n = 1

Gold: = 4.640910-5

= -4.5823 10-6

n = 0.99995 - 4.58 10-6 i

112

1

21

211

0

2

2

in

fiffr

n

rn

ee

e

Brechungsindex für Röntgenstrahlung

c

3

Eindringtiefe im Kleinwinkelbereich (optische Theorie)

2;

222210:

2222exp0

22;221

221cos

exp0

exp0

exp0

1

222

222

1

2

2

22

222

21222

21

2

22*2222

222

1,22

12

222,1

2,2

22

2,2

222

2,1

22,1

22

21

22

22

2,2

2,2

2,21,2222

1,11,1111

1,11,1111

kiik

izeEIx

izikizikEzEzEI

ikkkikkkk

ikknknkkk

zkxktiEzE

zkxktiEzE

zkxktiEzE

e

zxxz

xxzx

zx

zxRR

zx

Amplitude des elektromagnetischen Feldes (planare Welle)

4

Optische Theorie der Röntgenreflexion

BrB

ArA

BrB

ArA

AB nn

nnr

sinsin

sinsin

BrA

ArB

BrA

ArB

AB nn

nnr

sinsin

sinsin//

BrB

ArA

ArA

AB nn

nt

sinsin

sin2

BrA

ArB

ArB

AB nn

nt

sinsin

sin2//

Fresnel Reflektionskoeffizienten

Fresnel Transmissionskoeffizienten

BrB

ArA nn coscos Snell Gesetz

Alle Winkel werden auf den Vakuumwinkel bezogen

5

Röntgenreflexion (im Kleinwinkelbereich)

1

2

3

224

1

1

22221

22221

1

11,

21,

,11,

,11,41,1

1

22

11

1111111

11

1111

cos;coscos

coscos

;1

2exp

coscoscossin

jjjj

jj

jj

jj

jj

jjjj

j

Rj

jjjjjjj

jjjjjjj

jjj

jjjjjj

jRjjjjj

Rjjjj

Rjjjj

Rjjjj

nqqq

qq

nn

nn

ff

ffr

E

EaR

rR

rRaR

tfika

nnnf

kfEaEakfEaEa

EaEaEaEa

Verallgemeinerter Beugungsvektor

L.G. Parratt: Physical Review 95 (1954) 359-369.

Rekursive Berechnung der Reflektivität

6

Röntgenreflexion (im Kleinwinkelbereich)

221

22

221

22

11

11

coscos

coscos

sinsin

sinsin

jj

jj

jjjj

jjjjj

nn

nn

nn

nnrFresnel Reflektionskoeffizient:

22 cossincoscos jjjjjV nnnnSnell Gesetz:

1

1224 cos

jj

jjjjj qq

qqrnq

Beugungsvektor:

2exp 21

1

1jjj

jj

jjj qq

qq

qqr

Interface Rauhigkeit (Debye-Waller Faktor):

2exp jjjj atiq

Phasenverschiebung:0;

11

Njjj

jjjj A

rA

rAA

Amplituden:

2

0*00 AAAI Reflektierte Intensität:

7

jjjI

j

Rj

jjjjIj

Rj

jjIj

Rj

jjjjjIj

Rj tf

E

Efrf

E

Eff

E

EftrEE ,11

1

11,11

1

111

1

111,1,

Aj+1 Aj+1

rj+1,jtj,j+1

tj+1,j

dj+1

nj+1

nj

nj+2

j

j+1

rj,j+1

)sin*(exp 0 jjrjj dnikf

2

0 k

Amplitude der reflektierten Welle (optische Theorie)

8

Beugungsvektor

22 cos2

sin2

jj

io

nq

kkq

22

222

cossin

cos1

cos1sin

coscos

jjj

jj

jj

jj

nn

nn

nSnell Gesetz

BA

BABrB

ArA

BrB

ArA

AB qq

qq

nn

nnr

sinsin

sinsin

BA

ABrB

ArA

ArA

AB qq

q

nn

nt

2

sinsin

sin2

Fresnel Koeffizienten

9

11

1

1,12

1

,11,12

11,,1

,112

11

211,1,

jjjj

jjjjjjjjjj

jjjjjjjjjjj rAf

ttAfrt

rAfAftrA

Rekursive Formel

rAB = -rBA tAB.tBA + rAB.rAB = 1

11,12

1

1,12

1

jjjj

jjjjj rAf

rAfA

)(2//

0

2

021

0 AA R

Reflexionsvermögen

Intensität der Röntgenreflexion

10

Strukturmodell (für Röntgenreflexion im Kleinwinkelbereich)

Substrat

Buffer

Schicht 1

Schicht 2

Schicht 3

Layer n

Deckschicht (Cap)

Jede Schicht wird charakterisiert durch:

Brechungsindex, bzw. Elektronendichte

Schichtdicke

Grenzflächenrauhigkeit, bzw. Oberflächenrauhigkeit

11

Kleinwinkelstreuung – experimentelle Anordnung

Monochromator

Probe

Detektor

Analysator Blende

Im reflektierten Strahl

Koplanare Beugungsgeometrie

Kleiner Einfallwinkel, kleiner Austrittwinkel

Beugungsvektor ist senkrecht zur Probenoberfläche

Anwendbar für amorphe oder kristalline Werkstoffe

Anwendbar nur für glatte Oberflächen

Geringe Eindringtiefe – Untersuchung der Oberfläche

Eine kleine Divergenz des Primärstrahles ist notwendig-1Å7.00,0,0 zyx qqq

12

Interpretation der Röntgenreflexionskurven

0 2 4 6 8 1010

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Re

fle

cti

vit

y

Glancing angle (o2)

Eine dicke Au-Schicht:

Externe Totalreflexion

Elektronendichte der obersten Schicht

Schnelle Abnahme der reflektierten Intensität

Oberflächenrauhigkeit

fiffr

rn

ee

e

0

2

2

21

21

2exp 224 qqI

13

Interpretation der Röntgenreflexionskurven

0 2 4 6 8 1010

-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Re

fle

cti

vit

y

Glancing angle (o2)

30 nm Gold auf Silizium:

Externe Totalreflexion

Abnahme der reflektierten Intensität

Kiessigsche Oszillationen (fringes)

Die Periodizität der Oszillationen ergibt die Dicke der gesamten Multilagenschicht

mm nnt

mnt

nq

mqt

221

22

22

224

coscos2

cos2

cos

2

14

Interpretation der Röntgenreflexionskurven

0 2 4 6 8 1010 -7

10 -6

10 -5

10 -4

10 -3

10 -2

10 -1

100

Re

fle

cti

vity

Glancing angle (o2)

Al/Au (4 nm/2 nm)10:

Externe Totalreflexion

Kiessigsche Oszillationen (fringes)

Braggsche Intensitätsmaxima entsprechen der Dicke des periodischen Motivs

mn

mq

22 cos2

2

15

Simulation der Reflexionskurven

0 2 4 6 8 1010 -8

10 -6

10 -4

10 -2

100

102

104

106

108

Au/Al, 10x, tA+t

B=7.5nm

t(A)/t(B)=1/1

t(A)/t(B)=1/2

t(A)/t(B)=1/3

t(A)/t(B)=1/4

Re

fle

cti

vit

y

Glancing angle (o2)

Al/Au (tA/tB)10:

Konstante Grenzflächenrauhigkeit, = 0.35 nm

Unterschiedliches Verhältnis der Dicken einzelner Schichten (tA/tB)

Änderung der reflektierten Intensität

Auslöschen des n(tB/tA+1)-ten Braggschen Maximums

Vergleich mit der kinematischen Beugungstheorie an Kristallen (bei tA/tB = 1):

Multilagenschichten: Auslöschen der geraden Maxima

Kristalle: Auslöschen der ungeraden Maxima

Grund: Phasenverschiebung um 90°

16

Simulation der Reflexionskurven

0 2 4 6 8 1010 -8

10 -6

10 -4

10 -2

100

102 Au/Al (2.5nm/5nm)x10

Au/Al (5nm/2.5nm)x10

Re

fle

cti

vit

y

Glancing angle (o2)

Au/Al (2.5nm/5nm)x10 und Au/Al (2.5nm/5nm)x10

Konstante Grenzflächenrauhigkeit, = 0.35 nm

Änderung der reflektierten Intensität zwischen den Braggschen Maxima

Verschiebung der Braggschen Maxima in der Nähe der Kante der Totalreflexion

Problem bei der Auswertung der Reflexionskurven von realen Multilagenschichten: Korrelation der Dicke der Einzelschichten mit der Grenzflächenrauhigkeit

17

Kombination von Kleinwinkelstreuung und Weitwinkelbeugung

0 2 4 6100

101

102

103

104

105

106

Inte

nsi

ty (

a.u

.)

Glancing angle (o2)

30 40 50

0

200

400

600

800

1000

Diffraction angle (o2)

LAR HAR

t (Fe)[nm] (1.8±0.1) (1.4±0.1)

t (Au)[nm] (2.0±0.1) (2.3±0.1)

[nm] 3.8 3.7

(Fe) [nm] 0.6 0.2

(Au) [nm] 0.9 0.3

(Fe) (1.2±0.2)

(Au) (1.06±0.09)

d (Fe) [nm] 0.2027

d (Au) [nm] 0.2355

12 Fe/Au

18

Kombination von Kleinwinkelstreuung und Weitwinkelbeugung

0 2 4 6 8100

102

104

106

108

Inte

nsi

ty (

a.u

.)

Glancing angle (o2)

30 35 40 45 500

200

400

600

800

1000

Diffraction angle (o2)

LAR HAR

t (Fe)[nm] (2.7±0.2) (2.5±0.1)

t (Au)[nm] (2.3±0.1) (2.3±0.1)

[nm] 5.0 4.8

(Fe) [nm] 0.5 0.2

(Au) [nm] 0.5 0.2

(Fe) (1.4±0.2)

(Au) (0.9±0.1)

d (Fe) [nm] 0.2027

d (Au) [nm] 0.2355

10 Fe/Au

19

Kombination von Kleinwinkelstreuung und Weitwinkelbeugung

0 2 4 6 8100

102

104

106

108

Inte

ns

ity

(a

.u.)

Glancing angle (o2)

30 40 50

0

200

400

600

800

1000

Diffraction angle (o2)

LAR HAR

t (Fe)[nm] (2.3±0.1) (2.1±0.2)

t (Gd)[nm] (3.0±0.2) (3.0±0.2)

[nm] 5.3 5.1

(Fe) [nm] 0.3 0.4

(Gd) [nm] 0.3 0.1

(Fe) (1.00±0.03)

(Gd) (1.06±0.03)

d (Fe) [nm] 0.1970

d (Gd) [nm] 0.3100

8 Fe/Gd

20

Literatur Optische Theorie der Röntgenreflexion– M. Born and E. Wolf: Principles of Optics, Cambridge University Press,

Cambridge, 6th edition (1997) Optische Theorie für Berechnung des Reflexionsvermögens der

Multilagenschichten– L.G. Parratt: Phys. Rev. 95 (1954) 359. Distorted wave Born approximation (die DWBA Theorie)– S.K. Sinha, E.B. Sirota, S. Garoff and H.B. Stanley: Phys. Rev. B 38 (1988) 2297– G.H. Vineyard: Phys. Rev. B 26 (1982) 4146.– V. Holý, J. Kuběna, I. Ohlídal, K. Lischka and W. Plotz: Phys. Rev. B 47 (1993)

15896.– V. Holý, and T. Baumbach: Phys. Rev. B 49 (1994) 10668.– V. Holý, U. Pietsch and T. Baumbach: High-resolution X-ray scattering from thin

films and multilayers, Springer Tracts in Modern Physics, Vol. 149 (Springer-Verlag, Berlin 1999).

21

Literatur Weitwinkelbeugung an magnetischen Multilagenschichten– E.E. Fullerton, I.K. Shuller, H. Vanderstraeten and Y. Bruynseraede: Phys. Rev. B

45, 9292 (1992).– D. Rafaja, J. Vacínová and V. Valvoda: Thin Solid Films 374 (2000) 10. Röntgenbeugung an lateral periodischen Strukturen– M. Tolan, W. Press, F. Brinkop and J.P. Kotthaus: Phys. Rev. B 51 (1995) 2239.– A.A. Darhuber, V. Holý, G. Bauer, P.D. Wang, Y.P. Song, C.M. Sotomayor Torres

and M.C. Holland: Europhysics Letters, 32 (1995) 131.– V. Holý, C. Giannini, L. Tapfer, T. Marschner and W. Stolz: Phys. Rev. B 55

(1997) 9960.– V. Holý, A.A. Darhuber, J. Stangl, S. Zerlauth, F. Schäffler, G. Bauer, N.

Darowski, D. Lübbert, U. Pietch and I. Vávra: Phys. Rev B 58 (1998) 7934.– P. Mikulík and T. Baumbach: Phys. Rev. B 59 (1999) 7632.– D. Rafaja, V. Valvoda, J. Kub, K. Temst, M.J. van Bael, Y. Bruynseraede: Phys.

Rev. B 61 (2000) 16144.

22

Vergleich XRD/XRR XRD

Notwendig fürs Ausmessen der Netzebenenabstände

Untersuchung der Kristallinität der Multilagenschichten

Besser geeignet für die Untersuchung der Dicke von einzelnen Schichten, wenn die Schichten dünn sind

XRR Notwendig für Untersuchung

der Elektronendichte einzelner Schichten

Zuverlässige Information über einzelne Schichten (Untersuchung des Tiefengradienten)

Viel besser geeignet für amorphe Multilagenschichten

XRD und XRR liefern komplementäre DatenDaher ist die Kombination beider Methoden empfehlenswert