Cargas elctricas y Ley de Coulomb

Tema 1

Contenido Carga elctrica Principio de cuantizacin de la carga Conductores, aisladores y semiconductores Principio de Conservacin de la carga Ley de Coulomb Principio de superposicin Distribucin de cargas contnuas Densidades de carga Relaciones entre las densidades de carga

Introduccin Existen en la naturaleza 4 fuerzas fundamentales: La fuerza de Gravedad La fuerza electromagntica La fuerza nuclear fuerte La fuerza nuclear dbil

Hasta aqu Uds slo han estudiado la fuerza de Gravedad. En ste curso nos centraremos en el estudio de la mas comn de estas fuerzas en nuestra vida diaria, el electromagnetismo, que abarca tanto la fuerza elctrica como la fuerza magntica.

El electromagnetismo es el estudio de los fenmenos elctricos y magnticos. Diremos en forma preliminar que estos son producidos por cargas elctricas, en reposo o en movimiento. La carga elctrica es un atributo tan fundamental como la masa. La palabra carga, proviene de frotar cargando entre s dos cuerpos.

Aqu se pueden distinguir varias secciones del electromagnetismo: Electrosttica, Circuitera, Magnetosttica, Electrodinmica, etc.

Concepto de Carga Elctrica La existencia de la interaccin elctrica fue registrada hace 2500 aos por el griego Tales de Mileto, quin observ que un pedazo de mbar (una resina) al ser frotada con un pao, atraa pedacitos de hojas secas. La palabra griega para mbar es elektron.

La carga elctrica es un atributo o propiedad de la materia tan fundamental como la masa, y se hace presente en sus partculas elementales constituyentes. En la actualidad, interpretamos la aparicin de la carga elctrica por frotamiento como una transferencia de electrones de un cuerpo a otro. Otra forma de aparicin es la induccin electrosttica.

Todo cuerpo es naturalmente neutro. Est formado por tomos y molculas que, a su vez, tienen igual nmero de cargas positivas y negativas, o sea, igual nmero de protones y electrones. El electrn tiene la unidad fundamental de carga elctrica. Esto no tiene nada que ver con los sistemas de unidades de medida ya que estos son convencionales.

Principio de cuantizacin de la carga Hasta ahora, no se conoce ninguna otra partcula libre que tenga una carga menor que la del electrn y toda otra carga carga mayor que sta es un mltiplo entero de ella.

El principio de cuantizacin de la carga elctrica, es un principio fundamental de la naturaleza y se refiere a que todas las cargas son multiplos enteros de la carga elctrica.

Como se sabe, existen dos tipos de carga, nombradas positiva y negativa, habindose asignado al protn la carga positiva y al electrn, la negativa. El valor absoluto de la carga del electrn en el Sistema Internacional (S.I.) de unidades de medidas, tiene un valor

e1,602177330,000000491019 C

En nuestro caso, utilizaremos en valor . Entonces el principio de cuantizacin de la carga elctrica establece que la carga neta de cualquier cuerpo es q = Ne donde N = entero.

e=1,6021019 C

Carga Elctrica (teora moderna) Todos los materiales estn hechos de pequeos bloques estructurales llamados tomos. Todos los tomos contienen particulas llamadas electrones, protones y neutrones. Los electrones tienen carga negativa (-). Los protones tiene carga positiva (+). Los neutrones no tiene carga electrica. Los electrones pueden ser extrados de los tomos mucho ms fcilmente que los protones y neutrones. El nmero de protones en un ncleo atmico determina su identidad como un elemento nico. La unidad de medida de la carga elctrica es el Coulomb

1 Coulomb = 1 Ampre segundo

1 Ampre o 1 amp, es la unidad bsica en el sistema S.I., no el Coulomb.1 amp= cargas elementales por segundo6.241509629152651018

Carga Elctrica (estructura de la materia) La estructura bsica de la materia son los tomos. El ncleo tiene dimensiones del orden de m. Los electrones giran alrededor del ncleo a distanciasdel orden de m.

10151010

Masa del electrn Masa del ProtnMasa del NeutrnUnidad de Carga

=me=9,10938188721031 kg

=m p=1,67262158131027 kg

=mn=1,67492716131027 kg

mnucleo2000 me 99% de la masa de tomo es su ncleo

=e=1,602176462631019 C

Propiedades elctricas En la naturaleza existen, principalmente, tres clases de cuerpos en cuanto a sus propiedades elctricas: conductores, aisladores y semiconductores.

Los conductores son cuerpos que, aunque estn neutros, tienen una enorme cantidad de electrones libres, es decir, no ligados a los tomos, aptos para conducir la electricidad. Obviamente, la carga de estos electrones es neutralizada por la de los protones nucleares que estn en los ncleos que supondremos fijos. Como ejemplo de conductores podemos mencionar a los metales y a los electrolitros.

Propiedades elctricas Los aisladores no conducen la electricidad ya que no poseen cargas libres, pero sus molculas pueden polarizarse bajo influencia de una interaccin elctrica externa. Que se polaricen significa que estas molculas, aunque neutras, pueden deformarse y/o orientarse, en mayor o menor grado. Esto confiere a los aisladores las denominadas propiedades dielctricas que estudiaremos despus.

Propiedades elctricas Los semiconductores, que son la base de la electrnica actual, son cuerpos con propiedades de conduccin intermedias entre los conductores y aisladores. En ellos se puede variar, con relativa facilidad, el nmero de cargas libres o portadores de electricidad. Por ejemplo, el silicio y el germanio.

Experimentos con Aisladores Para hacer estos experimentos usaremos un detector y medidor de carga elctrica llamado nanocoulombmetro, sin conocer sus principios.El nanocoulombmetro es una cajita que tiene un disco metlico fijo, el que se toca con el cuerpo cuya carga se desea detectar. En su frontis aparece el signo y la lectura de la carga transferida a l. 1 nC = 10 -9 C.

1) Se frota una barra de vidrio con un pao de seda. Al ponerlos en contacto, separadamente, con el nanocoulombmetro, verificamos que la barra de vidrio queda cargada positivamente y la seda, negativamente.

++++++

-------

Experimentos con Aisladores 2) Se frota una barra de baquelita con un pao de seda. Al ponerlos en contacto, separadamente, con el nanocoulombmetro, verificamos que la barra de baquelita queda cargada negativamente y la seda, positivamente.

++++++

-------

3) Sean dos esferitas de igual masa de un aislador liviano (corcho o plumavit), colgadas con hilos de igual longitud y que se les ha dotado de carga por contacto con las barras anteriores.

+ -++++++

-----

Experimentos con Aisladores En este ltimo caso, observamos que:a) dos esferas en contacto con vidrio se repelen,b) esferas en contacto con baquelita se repelen,c) las que estuvieren con barras diferentes, se atrae.

As se distingui la existencia de dos clases de carga. Adems, en esta experiencia se ve que la fuerza de interaccin depende de la magnitud de las cargas y que disminuye con la distancia.

Experimentos con Aisladores 4) Repetimos, la observacin hecha por Tales de Mileto. Acercamos una barra de plstico cargada en un extremo a un pedacito de papel seco y vemos que aunque el papelito se supone neutro, es atrado por la barra.

La razn de este hecho se debe a que el papel seco es un aislador polarizable, y como resultado de la interaccin que tiene el papel presenta a la barra un borde de signo opuesto ms cerca que el otro por lo que la fuerza atractiva es mayor.

++++++

++++++- -

- -- -

Generador de van der Graaff Existe una mquina para obtener grandes cargas elctricas por frotamiento. Es el generador de van der Graaff, el cual consiste en una correa aisladora que mediante un torque motor, se mueve entre dos poleas.

En contacto con ella existe en la parte inferior una escobilla que entrega carga y otra, en la parte superior, dentro de una esfera metlica, que la extrae y la entrega a la esfera. All la carga se acumula y se puede sacar mediante las denominadas copas metlicas (o barras) para hacer experimentos. El smbolo inferior representa una conexin a tierra, que es un gran receptculo de cargas.

Experimentos con Conductores1) Acerquemos, sin tocar, una copa cargada a dos esferas metlicas en contacto. Dado que las esferas metlicas poseen electrones libres, ellos migran debido a la interaccin con la copa cargada, produciendo la llamada polarizacin o induccin esttica entre ellas. Ella polariza a ambas esferas como si se tratara de un slo cuerpo.

En la figura, una copa cargada positivamente polariza a dos esferas en contacto, despus, estando presente la copa, se separan las esferas y finalmente se aleja la copa quedando las esferas con cargas iguales y opuestas.

Experimentos con Conductores

2) Acerquemos, sin tocar, una barra cargada a una esfera metlica neutra y aislada. Los electrones se acumulan en un lado de la esfera, y del otro lado se produce deficiencia de electrones (carga +). Despus, se conecta un alambre que permite que los electrones acumulados fluyan a tierra.Se desconecta el alambre de la esfera y se retira la barra con carga. Los electrones de la esfera se redistribuyen: la esfera en conjunto tiene una deficiencia de electrones. En forma anloga, si se acerca una barra cargada postivamente, se produce al final una esfera cargada negativamente.

Electrosttica La electrosttica es el fenmeno que ocurre cuando las interacciones entre cargas elctricas estn en reposo (o casi).

Cargas distintas se atraen Cargas iguales se repelen

Principios bsicos (carga)Principio de Conservacin de Carga: En todos los experimentos que hemos descrito y en los que podamos imaginar se verifica este importante principio. Este principio establece que la suma algebraica de todas las cargas elctricas de cualquier sistema cerrado es constante.

Segundo Principio: La magnitud de la carga del electrn o del protn es una unidad natural de carga

qi=cte

e=p=1carga

Principios bsicos (carga)La carga negativa del electrn tiene exactamente la misma magnitud que la carga positiva del protn.

En un tomo neutro, el nmero de electrones es igual al nmero de protones, y la carga elctrica neta (la suma algebraica) es cero.

El nmero de protones o de electrones de un tomo neutro es el nmero atmico del elemento.

Si se separa uno o mas electrones, la estructura restante con carga positiva es un ion positivo. Un ion negativo es un tomo que ha ganado uno o mas electrones.

Esta ganancia o prdida de electrones se conoce como ionizacin

Ley de CoulombCharles Augustin Coulomb (1736-1806) estudi en detalle, en 1784, las fuerzas de interaccin de las partculas con carga elctrica. Utiliz una balanza de torsin de Cavendish.

Fibra de torsin

Escala

Cargas

Cargas

Ley de CoulombLa balanza de torsin consiste en una barra liviana colgada en su centro por un hilo de cuarzo (fibra de torsin) cuya constante elstica torsional se conoce.En los extremos de la barra existen esferitas (o barras) de igual masa. Una de ellas, la 1, posee carga elctrica y se enfrenta a otra, la 2, fija en el laboratorio y con una carga de igual signo. Segn los datos de la figura, se ve que la magnitud de la fuerza de interaccin se puede medir con la ecuacin

Torque= par recuperador

F b=F=b

Experimentando con diferentes cargas y diferentes longitudes de barra, Coulomb encontr que para cargas puntuales, la magnitud de la fuerza de interaccin era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y directamente proporcional al producto de sus cargas.

Ley de Coulomb

+

+

+

-r r

q2

q1q1

q2

F 2 sobre 1F 2 sobre 1

F 1 sobre 2

F 1 sobre 2

La magnitud de cada una de las fuerzas elctricas con que interactan 2 cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargase inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa condireccin segn la linea de unin, dependiendo del signo de las cargas.

Fq1 q2

r2F=k

q1 q2r2

(1)

Ley de CoulombEl valor de la constante de proporcionalidad k depende del sistema deunidades que se utilice. En el S.I.

k=8,987551787109 N m2/C 29109 N m2/C 2

En unidades S.I., la constante k se describe por lo general

k= 14o

Luego la Ley de Coulomb se puede expresar de la siguiente manera

F= 14o

q1 q2r2

donde, definimos la permitividad del vaco por

o=8.8541012 C 2/N m2

(2)

Ley de Coulomb (forma vectorial)

F 1,2=1

4o

q1 q2r1,2

2 r1,2

F 2,1=1

4o

q1 q2r2,1

2 r2,1

Y anlogamente, la fuerza que acta sobre la partcula 1 debido a otra partcula cargada 2 es:

F 1,2=F 2,1 (3)

Sean dos partculas cargadas, y en el vaco, ubicadas mediante los vectores posicin y respecto a un sistema de referencia. La ley de Coulomb establece que la fuerza que acta sobre una partcula cargada 2 debido a otra partcula cargada 1 es:

r 1 r 2q1 q2

r 2,1=r 2r 1

Ley de Coulomb (forma vectorial)

F ij=1

4o

qi q jr ij

2 r ij

En general, sean dos partculas cargadas, y en el vaco, ubicadas mediante los vectores posicin y respecto a un sistema de referencia. La ley de Coulomb establece que la fuerza que acta sobre una partcula cargada i debido a otra partcula cargada j es:

r i r jqi q j

r ij=r ir jq j qi

r ir j

r ij=r ir jr ij

r ij=r ir jr ir j

La cantidad es la magnitud o norma del vector distancia que llega al punto i desde el punto j. O sea, si tenemos

Y donde el vector unitario es r ij=r ir j

r ij

(4)

(5)

(6)

Ley de Coulomb (forma vectorial)Ejemplo 1: Calcular la fuerza que acta sobre la carga ubicada en el punto de un sistema cartesiano, y que es ejercida por una carga puntual , fija en el punto

q1

q2=2,0106 C

P1=5,5 cmP2=1,2 cm

q2

q1=1,0106 C

Solucin: Aplicamos Ley de CoulombF 12=k

q1 q2r12

2 r12

En que r12=r 1r 2

r12=i

x1x2r12

jy1 y2

r12

Donde r12= x1x22 y1 y22

Reemplazando datos luegor12=512522=5cm=0,05 mr12=i

515

j 525

=0,8 i0,6 j

F 12

Entonces

F 12=kq1 q2r12

2 r12=9109 11062106

0,0520,8 i0,6 j =5,8 i4,3 j N

Principio de SuperposicinLa ley de Coulomb, tal como la hemos expresado, describe slo la interaccin de 2 cargas puntuales.

Los experimentos muestran que, cuando 2 cargas ejercen fuerzas simultaneamente sobre una tercera carga, la fuerza total que acta sobre sobre esa carga es la suma vectorial de las fuerzas que las 2 cargas ejerceran individualmente.

Esta propiedad llamada principio de superposicin de fuerzas es vlida para cualquier nmero de cargas. Con base a ste principio, podemos aplicar la ley de Coulomb a cualquier conjunto de cargas.

En trminos estrictos, la ley de Coulomb como la hemos expresado slo debe aplicarse a cargas puntuales en el vaco. Si hay materia en el espacio, se deben hacer otras suposiciones.

Principio de SuperposicinSi sobre una partcula cargada q

0 actan varias partculas cargadas q

i ,

entonces, la fuerza total sobre q0 es la suma vectorial de todas las fuerzas

que sobre ella ejercen independientemente todas las otras, es decir,

F 0=i=1

NF 0 i=F 01F 02F 03...

O bien, explicitamente

F 0=k q0i=1

N qir0 i

2 r0 i

(7)

(8)

Ley de Coulomb (ejemplos)Ejemplo 2: Tres cargas puntuales , y desconocidas en magnitud y signo, se colocan, respectivamente, en los puntos (0,0), (a,0) y (0,b) de un sistema cartesiano y son tales que ejercen sobre una fuerza de componentes desconocidas y . Despus se rearreglan estas cargas de modo que, aunque queda en (0,0), ocupa el lugar de y sta se traslada al punto (-a,0), como en la figura. Determine las nuevas componentes y de la fuerza sobre en funcin de y .

q0 q1 q2

q0F x F y

q0 q1q2

F ' x F ' y q0F x F y

q0 q1

q2

b

a x

y

q0q2

q1b

a x

y

Ley de Coulomb (distribucin contnua)Hemos visto que la carga elctrica est cuantizada, pero desde el punto de vista macroscpico, puede considerarse que en los materiales puede formar un contnuo, pudiendo aplicarse en su anlis el Clculo Diferencial.

En la electrosttica se pueden distinguir dos tipos de materiales: Los metales, en que las cargas en exceso se ubican en la superficie (hablaremos, en este caso, de distribuciones superficiales) y Los aisladores, en que las cargas en exceso se pueden fijar en el interior del material. En este ltimo caso, supondremos por ahora, que sus molculas no son polarizables, es decir, que por la accin del campo elctrico sus molculas no se estiran dejando en ellas zonas positivas y negativas (hablaremos, en este caso, de distribuciones volmicas de carga).

Ley de Coulomb (distribucin contnua)Para aplicar la Ley de Coulomb a situaciones en que aparezcan estos materiales se los subdivide formando elementos de carga y se aplica el principio de superposicin reemplazando la suma vectorial por una integral vectorial. As la fuerza neta sobre una carga puntual es

F neta=d FPor ejemplo, para problemas en que intervienen la interaccin entre una carga puntual y una distribucin contnua, se debe usar la forma diferencial de ella, es decir, se considera la interaccin entre la carga puntual q

0 y un elemento de carga dq de la distribucin:

d F=kq0 dq

r2r

(9)

(10)

Para el clculo de la fuerza, integramos, pero debemos conocer la forma geomtrica del cuerpo y, adems, conocer la manera en que vara la densidad de carga en todos sus puntos.

Ley de Coulomb (distribucin contnua)En este caso, el vector unitario, , tiene direccin variable, que llega a la carga q

0 desde el elemento de carga dq.

r

dq

q0

d F=kq0 dq

r2r

r

r

Distribucin contnua de cargas

Densidades de cargaSegn sean la forma y la naturaleza del cuerpo se distinguen tres densidades de carga:

=dqdlC /m

Si dq es el elemento de carga contenido en un elemento de volmen dv de un cuerpo, se define como densidad volmica de carga a:

(11c)

= dqdS

C /m2

Si dq est en un elemento de superficie dS del cuerpo, se define como densidad superficial de carga a:

(11b)

=dqdvC /m3

Si dq est en un elemento lineal dl del cuerpo, se define como densidad lineal de carga a:

(11a)dq=dv

dq=dl

dq= dS

d F=kq0dv

r2r

d F=kq0 dS

r2r

d F=kq0dl

r2r

Distribuciones contnuasRelaciones entre las densidades de carga:

Consideremos un bloque homogneo de espesor t, ancho w y largo l, con densidad volmica de carga = cte.Su carga q se puede expresar de varias formas:

q=v= t w l= t S= S= tq= S=w l= l=w= t w

l

t

w

(12)

En el caso de cuerpos infinitesimales, por ejemplo se puede hacer

Si dq=dx dy dz= dy dz =dx

Distribuciones contnuas (propiedades)Si las densidades de cargas , , y son constantes, se dice tener una distribucin uniforme; pero si dependen de las coordenadas, obviamente se trata de una distribucin no uniforme.

El signo de la carga est incluido en ellas, por ejemplo,

=5106C /m

En el caso de la ley de Coulomb,

d F=kq0 dq

r2r

En lugar de dq se escribe dl, dS o dv, segn sea el caso, entonces

F=k q0 dqr2 r(13)

Distribuciones contnuas (Ejemplo)Ejemplo 3: Una carga elctrica positiva q est distribuida uniformemente a lo largo de una lnea de longitud 2a, que yace sobre el eje y entre y=-a e y=+a. Encuentre la fuerza elctrica que acta sobre una carga Q situada sobre el eje x a una distancia x del orgen.

dl=dydq

x

y

O

a

-a

y

x

r

d Fd F y

d F x

q

Q

Distribuciones contnuas (Ejemplo)Ejemplo 4: Una carga q=5.0 C est distribuda uniformemente sobre un arco de circunsferencia de radio R=10 cm. Determine y calcule la fuerza que esta distribucin ejerce sobre una carga puntual ubicada en el centro de curvatura, como en la figura de valor q

0= 2.0 C .

x

y dl, dq

R

q0

r

d F

Distribuciones contnuas (Ejemplo)Ejemplo 5: Determinar la fuerza que una esfera de radio R, carga q y densidad de carga superficial constante, ejerce sobre una carga puntual q

0 colocada, a) afuera de ella y b) adentro de ella.

Respuestas: F 0=kq0 qr2

k , F 0=0

Ejemplo 6: Determinar la fuerza que una esfera de radio R, carga Q y con una distribucin volmica de carga cuya densidad es = cte, ejerce sobre una carga puntual q

0 colocada, a) afuera de ella y b)

adentro de ella.

Respuesta: F 0=kq0 Qr2

k , F 0=k q0QR3

r k