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Fısica II CF-342Ingenierıa Plan Comun.
Omar Jimenez Henrıquez
Departamento de Fısica,Universidad de Antofagasta,
Antofagasta, Chile,
I semestre 2011.
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 1
Contenidos
1 Fuerza y Campo ElectricoCargas electricasLey de CoulombCampo electricoLıneas de campo electricoFlujo del campo electrico.Ley de GaussConductores en equilibrio electrostatico
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 2
Fuerza y Campo Electrico
Cargas electricas
Por medio de experimentos se puede afirmar que las cargaselectricas, que poseen algunas partıculas subatomicas,cumplen con las siguientes propiedades:
Existen dos tipos de cargas: Positivas y NegativasCargas de igual signo se repelen.Cargas de distinto signo se atraen.
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Fuerza y Campo Electrico
Cargas electricas
Los atomos son las unidades basicas de la materia.Los atomos a su vez estan formados por: protones,neutrones y electrones. La cantidad de protones,neutrones y electrones determina el tipo de atomo.Por ejemplo, el atomo de oxıgeno posee 8 protones,8 neutrones y 8 electrones.
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Fuerza y Campo Electrico
Cargas electricas
Los atomos son las unidades basicas de la materia.Los atomos a su vez estan formados por: protones,neutrones y electrones. La cantidad de protones,neutrones y electrones determina el tipo de atomo.Por ejemplo, el atomo de oxıgeno posee 8 protones,8 neutrones y 8 electrones.
Masa y la carga del electron, proton y neutron.Partıcula masa (kg) carga (C)
Electron (e) 9.1095×10−31 -1.6022×10−19
Proton (p) 1.6726×10−27 1.6022×10−19
Neutron (n) 1.6749×10−27 0
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Fuerza y Campo Electrico
Cargas electricas
Otras propiedades de las cargas electricas son:
Se conserva:La carga electrica no se crea ni se destruye, solo se puedetraspasar de un cuerpo a otro, manteniendo la carga totalsin variar.Esta cuantizada:La carga electrica se puede cuantificar en terminos de unaunidad fundamental de carga ’e’. Por cuanto, podemosescribir que la carga electrica Q es,
Q = Ne,
donde e es la carga del electron e = −1.602× 10−19[C] yN ∈ Z.
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Fuerza y Campo Electrico
Conductores y aisladores
Conductor: es aquel que permite que las cargas electricas semuevan facilmente a traves de ella. Ejemplo: metales, cuerpohumano, tierra.
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Fuerza y Campo Electrico
Conductores y aisladores
Conductor: es aquel que permite que las cargas electricas semuevan facilmente a traves de ella. Ejemplo: metales, cuerpohumano, tierra.
Aisladores: que no permiten el movimiento de cargas a travesde ellos. Ejemplo: no metales, plasticos, gomas. Cuando estosmateriales son cargados por frotamiento, solo el area que sefrota se carga y esta no se mueve hacia otras regiones delmaterial.
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Fuerza y Campo Electrico
Electrizacion
Por Contacto: Traspaso de carga de uncuerpo a otro. Los cuerpos adquierencargas iguales y opuestas.
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Fuerza y Campo Electrico
Electrizacion
Por Contacto: Traspaso de carga de uncuerpo a otro. Los cuerpos adquierencargas iguales y opuestas.
Por induccion: Los cuerpos no se tocan. Las cargas seseparan. Los cuerpos cargados tienen distinta carga.
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Coulomb
Charles Coulomb (1736-1806) fue un fısico e ingeniero militarfrances que determino las magnitud de la fuerza electrica entreobjetos cargados en reposo, utilizando una balanza de torsion.
El resultado de Coulomb fue que lafuerza electrica Fe es:- Proporcional a las cargas qa y qb.
Fe ∝ |qa||qb|
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Coulomb
Charles Coulomb (1736-1806) fue un fısico e ingeniero militarfrances que determino las magnitud de la fuerza electrica entreobjetos cargados en reposo, utilizando una balanza de torsion.
El resultado de Coulomb fue que lafuerza electrica Fe es:- Proporcional a las cargas qa y qb.
Fe ∝ |qa||qb|
- Inversamente proporcional al cuadradode la distancia r2.
Fe ∝1r2
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Coulomb
Charles Coulomb (1736-1806) fue un fısico e ingeniero militarfrances que determino las magnitud de la fuerza electrica entreobjetos cargados en reposo, utilizando una balanza de torsion.
El resultado de Coulomb fue que lafuerza electrica Fe es:- Proporcional a las cargas qa y qb.
Fe ∝ |qa||qb|
- Inversamente proporcional al cuadradode la distancia r2.
Fe ∝1r2
Con lo cual tenemos que:
Fe ∝|qa||qb|
r2
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Coulomb
Luego, la ley de Coulomb queda:
Fe = ke|qa||qb|
r2 ,
donde ke es la constante de proporcionalidad llamadaconstante de Coulomb, cuyo valor en el SI de unidades es:
ke = 8.9875× 109 Nm2
C2 .
Esta constante tambien puede ser expresada como
ke =1
4πε0,
donde ε0 es conocida como la permitividad del espacio libre,cuyo valor es
ε0 = 8.8542× 10−12 C2
Nm2 .
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio:
El electron y el proton de un atomo de hidrogeno estanseparados en promedio una distancia de aproximadmente5.3× 10−11m. Encuentre la magnitud de la fuerza electrica y lafuerza gravitacional entre las dos partıculas.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio:
El electron y el proton de un atomo de hidrogeno estanseparados en promedio una distancia de aproximadamente5.3× 10−11m. Encuentre la magnitud de la fuerza electrica y lafuerza gravitacional entre las dos partıculas.
De la ley de Coulomb se puede determinar la fuerza electrica,
Fe = ke|qp||qe|
r2 = ke|e|| − e|
r2
= 8.99× 109 Nm2
C2(1.60× 10−19C)2
(5.3× 10−11m)2 ,
= 8.2× 10−8N.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio:
La fuerza gravitacional se obtiene de
Fg = G|mp||me|
r2
= 6.67× 10−11 Nm2
kg2(1.67× 10−27kg)(9.11× 10−31kg)
(5.3× 10−11m)2 ,
= 3.6× 10−47N.
Con lo cual, tenemos
Fe
Fg= 2.3× 1039.
Por cuanto podemos despreciar la Fg frente a la Fe.
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Coulomb
La fuerza electrica actua en la lınea que une a las dos cargasq1 y q2. La fuerza electrica ejercida por la carga q2 sobre lacarga q1 denotada por ~F12 es:
~F12 = keq1q2
r2 r12.
donde r12 es un vector unitario dirigidodesde q2 hasta q1, como se muestra en lafigura y r es la distancia desde la carga q2hasta la carga q1. Caso (a) fuerza
electrica repulsiva(cargas de igual signo).
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Coulomb
La fuerza electrica actua en la lınea que une a las dos cargasq1 y q2. La fuerza electrica ejercida por la carga q2 sobre lacarga q1 denotada por ~F12 es:
~F12 = keq1q2
r2 r12.
donde r12 es un vector unitario dirigidodesde q2 hasta q1, como se muestra en lafigura y r es la distancia desde la carga q2hasta la carga q1.
La fuerza que ejerce la carga q1 sobre lacarga q2 tiene igual magnitud pero sentidoopuesto a ~F12, es decir
~F21 = −~F12.
Caso (a) fuerzaelectrica repulsiva(cargas de igual signo).
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Coulomb
Caracterısticas de las fuerzas ~F12 y ~F21:
Son accion y reaccion, ~F21 = −~F12.Actuan sobre cuerpos distintos.Tienen igual modulo, F12 = F21.Sentido opuesto.Actuan simultaneamente.actuan en la misma lınea de accion.son de la misma naturaleza, Fe ∝ q1q2
r2 .
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Coulomb
La fuerza electrica actua en la lınea que une a las dos cargasq1 y q2. La fuerza electrica ejercida por la carga q2 sobre lacarga q1 denotada por ~F12 es:
~F12 = −keq1q2
r2 r12.
donde r12 es un vector unitario dirigidodesde q2 hasta q1, como se muestra en lafigura y r es la distancia desde la carga q2hasta la carga q1. Caso (b) fuerza
electrica de atraccion(cargas de distintosigno).
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Coulomb
La fuerza electrica actua en la lınea que une a las dos cargasq1 y q2. La fuerza electrica ejercida por la carga q2 sobre lacarga q1 denotada por ~F12 es:
~F12 = −keq1q2
r2 r12.
donde r12 es un vector unitario dirigidodesde q2 hasta q1, como se muestra en lafigura y r es la distancia desde la carga q2hasta la carga q1.La fuerza que ejerce la carga q1 sobre lacarga q2 tiene igual magnitud pero sentidoopuesto a ~F12, es decir
~F21 = −~F12.
Caso (b) fuerzaelectrica de atraccion(cargas de distintosigno).
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Fuerza y Campo Electrico
Principio de superposicion
Si tenemos mas de dos cargas puntuales, se determina lainteraccion de cada carga con la otra por separado y la fuerzaresultante sobre una de ellas, se obtiene sumando todas lasfuerzas que actuan sobre la carga de interes.
~Fi = ke
n∑j=1,j 6=i
qiqj
r2ij
rij
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Fuerza y Campo Electrico
Principio de superposicion
Si tenemos mas de dos cargas puntuales, se determina lainteraccion de cada carga con la otra por separado y la fuerzaresultante sobre una de ellas, se obtiene sumando todas lasfuerzas que actuan sobre la carga de interes.
~Fi = ke
n∑j=1,j 6=i
qiqj
r2ij
rij
Por ejemplo si tenemos cuatro partıculas y queremosdeterminar la fuerzas que se ejerce sobre la partıcula 4,tenemos
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Tres cargas estan a lo largo del eje x, como seve en la figura. La carga positiva q1 = 15µCesta en x = 2m y la carga positiva q2 = 6µCesta en el origen. ¿En donde debe colocarseuna carga negativa q3 sobre el eje x, de modoque la fuerza resultante sobre ella sea cero?
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Tres cargas estan a lo largo del eje x, como seve en la figura. La carga positiva q1 = 15µCesta en x = 2m y la carga positiva q2 = 6µCesta en el origen. ¿En donde debe colocarseuna carga negativa q3 sobre el eje x, de modoque la fuerza resultante sobre ella sea cero?
Primero dibujamos las fuerzas sobre la carga q3,los modulos de las fuerzas son:F32 = ke
|q3||q2|r232
= ke|q3||q2|
x2
F31 = ke|q3||q1|
r231
= ke|q3||q1|(2−x)2
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Tres cargas estan a lo largo del eje x, como seve en la figura. La carga positiva q1 = 15µCesta en x = 2m y la carga positiva q2 = 6µCesta en el origen. ¿En donde debe colocarseuna carga negativa q3 sobre el eje x, de modoque la fuerza resultante sobre ella sea cero?
Primero dibujamos las fuerzas sobre la carga q3,los modulos de las fuerzas son:F32 = ke
|q3||q2|r232
= ke|q3||q2|
x2
F31 = ke|q3||q1|
r231
= ke|q3||q1|(2−x)2 .
Luego, dado que la suma de las fuerzas sobre q3 debe sercero, tenemos
F31 − F32 = 0,con lo cual x = 0.775m.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
La figura muestra tres partıculas cargadas, que se mantienenen su sitio por fuerzas que no se ven en ella. ¿Que fuerzaelectrostatica, debido a las otras dos cargas actua sobre q1?.Considere q1 = −1µC, q2 = 3µC, q3 = 2µC, r12 = 15cm,r13 = 10cm y θ = 30◦.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Las fuerzas que actuan sobre la carga q1 son ~F12 y ~F13.
Los modulos de las fuerzas ~F12 y ~F13 son:F12 = ke
|q1||q2|r212
= 1.2N
F13 = ke|q1||q3|
r213
= 1.8N.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Las fuerzas que actuan sobre la carga q1 son ~F12 y ~F13.
Los modulos de las fuerzas ~F12 y ~F13 son:F12 = ke
|q1||q2|r212
= 1.2[N]
F13 = ke|q1||q3|
r213
= 1.8[N].La fuerza total que actua sobre la carga q1 es:
~F1 = ~F12 + ~F13
= F12 i − F13 sin θi + F13 cos θj= (0.3i + 1.56j)[N]
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Las fuerzas que actuan sobre la carga q1 son ~F12 y ~F13.
Los modulos de las fuerzas ~F12 y ~F13 son:F12 = ke
|q1||q2|r212
= 1.2[N]
F13 = ke|q1||q3|
r213
= 1.8[N].La fuerza total que actua sobre la carga q1 es:
~F1 = ~F12 + ~F13
= F12 i − F13 sin θi + F13 cos θj= (0.3i + 1.56j)[N]
La norma de ~F1 y el angulo ψ es:
|~F1| =√
0.32 + 1.562[N] = 1.59[N]
ψ = arctan(1.56/0.3) = 79.1◦Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 31
Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Dos pequenas esferas cargadas, cada una con masa de3× 10−2[kg], estan suspendidas en equilibrio como se muestraen la figura. Si la longitud de cada hilo es de 0.15[m] y elangulo θ = 5◦. Determine la magnitud de la carga en cadaesfera, suponiendo que las esferas tienen igual carga.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
El diagrama de fuerzassobre una de las cargas es:
Dado que las cargas estanen equilibrio, la suma delas fuerzas en los ejes x e ydeben ser cero.
∑Fx = 0 ⇒ T sin θ − Fe = 0∑Fy = 0 ⇒ T cos θ −mg = 0
de la segunda ecuacion, tenemosT = mg
cos θ , reemplazamos la tension en laprimera ecuacion, con lo cual
Fe = mg tan θ ademas Fe = keq2
(2a)2
la carga q es q =√
4a2mg tan θke
⇒ q = 4.4× 10−8[C]
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Cuatro cargas puntuales se colocan en las esquinas de uncuadrado de lado a. Determine la fuerza resultante sobre lacarga positiva q.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Cuatro cargas puntuales se colocan en las esquinas de uncuadrado de lado a. Determine la fuerza resultante sobre lacarga positiva q.
F =kq2
a2 (1 +
√2
4)(i + j).
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Fuerza y Campo Electrico
Distribuciones de carga
En algunos casos es posible tener:
Lınea de carga:La densidad lineal de carga sedesigna como λ y se mide en
[Cm
]λ =
dqdl
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Fuerza y Campo Electrico
Distribuciones de carga
En algunos casos es posible tener:
Lınea de carga:La densidad lineal de carga sedesigna como λ y se mide en
[Cm
]λ =
dqdl
Superficie de carga:
La densidad superficial de carga sedesigna como σ y se mide en
[Cm2
]σ =
dqda
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Fuerza y Campo Electrico
Distribuciones de carga
Volumen de carga:
La densidad volumetrica de carga sedesigna como ρ y se mide en
[Cm3
]ρ =
dqdV
.
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Fuerza y Campo Electrico
Distribuciones de carga
Volumen de carga:
La densidad volumetrica de carga sedesigna como ρ y se mide en
[Cm3
]ρ =
dqdV
.
En estos casos se aplica la ley de Coulomb en su formadiferencial
d~FQ = keQdqr2 r
y la fuerza total sobre la carga Q es
~FQ = ke
∫Qdqr2 r
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Una barra cargada uniformemente de longitud ` tiene una car-ga positiva por unidad de longitud λ y una carga total Q. A unadistancia a del lado izquierdo de la barra existe una Carga Q,determine la fuerza total que actua sobre la carga puntual Q.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Una barra cargada uniformemente de longitud ` tiene una car-ga positiva por unidad de longitud λ y una carga total Q. A unadistancia a del lado izquierdo de la barra existe una Carga Q,determine la fuerza total que actua sobre la carga puntual Q.
En este caso debemos aplicar la ley de Coulomb en su formadiferencial, es decir
d~F = kQdqx2 (−i)
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Dado que en este caso dq = λdx , tenemos
~F = k∫ a+`
a
Qλdxx2 (−i)
donde, Q y λ son constantes, con λ = Q/`, luego
~F = kQλ(−i)∫ a+`
a
dxx2 = keQλ(−i)
[−1x
] ∣∣∣∣a+`
a
= kQλ(−i)`
a(a + `)
donde, λ` = Q con lo cual tenemos,
~F =kQ2
a(a + `)(−i)
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Determinar la fuerza que ejerce un disco circular de radio Rque porta una carga total Q positiva, distribuida uniformementeen su superficie sobre una carga puntual positiva q0 que sehalla en el eje del disco a una distancia x del centro del disco.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Determinar la fuerza que ejerce un disco circular de radio Rque porta una carga total Q positiva, distribuida uniformementeen su superficie sobre una carga puntual positiva q0 que sehalla en el eje del disco a una distancia x del centro del disco.
Dado la simetrıa del problema la fuerza electrica sobre la cargaq0 solo tiene componente en la direccion positiva de las x.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Un elemento de area dA = rdφdr del disco contiene una cargadq = σdA y genera una fuerza electrica que tiene un moduloigual a
dF = kq0dqd2
donde, d =√
r2 + x2,
dF = kq0σrdφdrr2 + x2
Luego, dado que la componente x de la fuerza esdFx = dFcosθ, donde cosθ = x/d , tenemos
dFx = kq0σrdφdrr2 + x2
xd
= kxq0σrdφdr
(r2 + x2)3/2
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Dado que x y σ son constantes
Fx = kxq0σ
∫ 2π
0dφ∫ R
0
rdr(r2 + x2)3/2
= 2πkxq0σ
[−1√
r2 + x2
] ∣∣∣∣R0
= 2πkq0σ
1− 1√1 + R2
x2
Como σ = q/(πR2) tenemos
Fx = 2kqq0R2
1− 1√1+ R2
x2
.Se puede demostrar que cuando x >> R, se tieneFx = kqq0/x2. Por otro lado, dado la simetrıa tambien sepuede demostrar que Fy = Fz = 0.
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico
El vector campo electrico ~E en un punto en el espacio estadefinido como la fuerza electrica ~F que actua sobre una cargade prueba positiva q0 colocada en ese punto y dividida por lamagnitud de la carga de prueba q0.
~E =~Fq0
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico
El vector campo electrico ~E en un punto en el espacio estadefinido como la fuerza electrica ~F que actua sobre una cargade prueba positiva q0 colocada en ese punto y dividida por lamagnitud de la carga de prueba q0.
~E =~Fq0
donde,~E es el campo externo a la carga de prueba.~E tiene unidades en SI de
[NC
].
La direccion de ~E es la direccion de la fuerza ~F sobre lacarga de prueba positiva +q0.
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de una carga puntual
La fuerza electrica queejerce la carga +Q sobre lacarga de prueba q0 es
~F = kQq0
r2 r
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de una carga puntual
La fuerza electrica queejerce la carga +Q sobre lacarga de prueba q0 es
~F = kQq0
r2 r
Luego, el campo electrico generado por la carga +Q es
~E =~Fq0
= kQr2 r
La intensidad del campo electrico E = k Qr2
producido por la carga +Q tiene el mismo valor a una distanciar de la carga +Q y crea un campo radial hacia afuera.
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de una carga puntual
Si la carga es negativa, tenemosque la fuerza electrica queejerce la carga −Q sobre lacarga de prueba q0 es
~F = −kQq0
r2 r
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 51
Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de una carga puntual
Si la carga es negativa, tenemosque la fuerza electrica queejerce la carga −Q sobre lacarga de prueba q0 es
~F = −kQq0
r2 r
Luego, el campo electrico generado por la carga −Q es
~E =~Fq0
= −kQr2 r
La intensidad del campo electrico E = k Qr2
producido por la carga −Q tiene el mismo valor a una distanciar de la carga −Q y crea un campo radial hacia adentro.
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 52
Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico
Luego, tenemos que:Existe un campo electrico en un punto si una carga deprueba en reposo situada en ese punto experimenta unafuerza electrica.Existe el campo electrico en un punto (incluso en elespacio vacıo) sin importar si esta localizada o no unacarga de prueba en ese punto.
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 53
Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico
Luego, tenemos que:Existe un campo electrico en un punto si una carga deprueba en reposo situada en ese punto experimenta unafuerza electrica.Existe el campo electrico en un punto (incluso en elespacio vacıo) sin importar si esta localizada o no unacarga de prueba en ese punto.Se debe suponer que la carga de prueba q0 es losuficientemente pequena de modo que no perturbe ladistribucion de carga que produce el campo electrico.
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de varias cargas puntuales
El campo electrico total debido a un grupo de cargas es igual alvector resultante de la suma de los campos electricos de todaslas cargas. Esto se deduce directamente de la propiedad de lasuperposicion de fuerzas. Por lo tanto, el campo electrico es
~E = k∑
i
qi
r2i
ri
donde ri es la distancia de la i-enesima carga qi , al punto p (laubicacion de la carga de prueba) y ri es un vector unitariodirigido desde qi hasta p.
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de un dipolo
Ejercicio: Un dipolo electrico consta de una carga positiva q yuna carga negativa −q separadas por una distancia d , comose muestra en la figura. Encuentre el campo electrico ~E debidoa estas cargas en un punto p localizado a lo largo del eje y , elcual esta a una distancia y del origen. Suponga que y >> d .
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de un dipolo
El campo electrico generado por la cargapositiva ~E1 y por la carga negativa ~E2son respectivamente,
~E1 =kqr21
r1
~E2 =kqr22
r2
donde
r1 = i cos θ + j sin θr2 = −i cos θ + j sin θ
El campo electrico total en el punto p es~E = ~E1 + ~E2
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de un dipolo
Dado que en este caso
r21 = r2
2 = y2 +
(d2
)2
= r2,
⇒ ~E = 2kqr2 cos θi
donde, tenemos que cos θ = d2r
~E = 2kqr2
d2r
i =kqdr3 i =
kqd
(y2 +(
d2
)2)3/2
i
Si consideramos y >> d tenemos
~E =kqdy3 i .
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio.
Cuatro cargas puntuales positivas se colocan en las esquinasde un cuadrado de lado a. Determine el campo electrico en lospuntos p ubicado en las coordenadas (a
2 ,a2 ) y p1 ubicado en las
coordenadas (a,a/2).
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio.
Cuatro cargas puntuales positivas se colocan en las esquinasde un cuadrado de lado a. Determine el campo electrico en lospuntos p ubicado en las coordenadas (a
2 ,a2 ) y p1 ubicado en las
coordenadas (a,a/2).
~Ep = 0 y ~EP1 =16kq
5√
5a2i.
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de una distribucion continua decarga.
El campo electrico en el punto p debido aun elemento de carga ∆q esta dado por
∆~E = k∆qr2 r .
donde r es la distancia desde el elementoal punto p y r es el vector unitario dirigidodesde el elemento de carga hacia p.
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de una distribucion continua decarga.
El campo electrico en el punto p debido aun elemento de carga ∆q esta dado por
∆~E = k∆qr2 r .
donde r es la distancia desde el elementoal punto p y r es el vector unitario dirigidodesde el elemento de carga hacia p.
El campo electrico total en p debido a todos los elementos enla distribucion de carga es
∆~E ∼= k∑
i
∆qi
r2i
ri .
donde el ındice i se refiere al i-enesimo elemento de ladistribucion.
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Fuerza y Campo Electrico
Campo electrico de una distribucion continua decarga.
Para una distribucion continua de carga, es decir, en el lımite∆q → 0, tenemos
~E = k lim∆qi→0
∑i
∆qi
r2i
ri = k∫
dqr2 r .
en donde la integral es una operacion vectorial.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo.
Una barra de longitud ` y carga total Qtiene una distribucion uniforme de cargaλ. Determine el campo electricogenerado por la barra en un punto p,ubicado a una distancia a de la barra talcomo aparece en la figura.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo.
Una barra de longitud ` y carga total Qtiene una distribucion uniforme de cargaλ. Determine el campo electricogenerado por la barra en un punto p,ubicado a una distancia a de la barra talcomo aparece en la figura.
Ex = kλ
(1√
(`− b)2 + a2− 1√√
b2 + a2
)
Ey =kλa
b√b2 + a2
+`− b√√
(`− b)2 + a2
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Un semianillo de radio a tiene una carga positiva uniforme porunidad de longitud, con carga total Q. Determine el campoelectrico en el centro del semianillo (punto O).
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Un semianillo de radio a tiene una carga positiva uniforme porunidad de longitud, con carga total Q. Determine el campoelectrico en el centro del semianillo (punto O).
E =2π
kQa2 , dirigido hacia la derecha.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme porunidad de longitud, con carga total Q. Determine el campoelectrico en un punto P que se encuentra a una distancia zsobre el eje del anillo.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme porunidad de longitud, con carga total Q. Determine el campoelectrico en un punto P que se encuentra a una distancia zsobre el eje del anillo.
Ex = Ey = 0,
Ez =kQz
(z2 + a2)3/2
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Fuerza y Campo Electrico
Lıneas de campo electrico
Para visualizar la forma del campo electrico es convenientetrazar lıneas en la misma direccion que el vector de campoelectrico en varios puntos.
Una carga positiva genera un campo electrico radial haciaafuera.
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Fuerza y Campo Electrico
Lıneas de campo electrico
Para visualizar la forma del campo electrico es convenientetrazar lıneas en la misma direccion que el vector de campoelectrico en varios puntos.
Una carga positiva genera un campo electrico radial haciaafuera y una carga negativa genera un campo electrico radialhacia adentro.
~E = kqr2 r .
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Fuerza y Campo Electrico
Lıneas de campo electrico.
Propiedades de las lıneas de campo electrico.
Son lıneas imaginarias dibujadas de tal manera que latangente a cada punto de la lınea coincida con la direcciondel campo electrico ~E .Las lıneas ”salen” de las cargas positivas y ”llegan” a lascargas negativas.Las lıneas de fuerza se dibujan en forma proporcional al”modulo” de ~E .Las lıneas de campo electrico en general son curvas.Las lıneas nunca se cruzan, de lo contrario, habrıaindeterminacion del campo electrico en los puntos decruce.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplos de lınea de fuerza.
Dipolo electrico
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplos de lınea de fuerza.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplos de lınea de fuerza.
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Fuerza y Campo Electrico
Flujo del campo electrico.
El flujo del campo electrico ΦE mide el numero de lıneas decampo electrico que atraviesan una superficie.
El flujo del campo electrico se determinadesde
ΦE = ~E · ~A.
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Fuerza y Campo Electrico
Flujo del campo electrico.
El flujo del campo electrico ΦE mide el numero de lıneas decampo electrico que atraviesan una superficie.
El flujo del campo electrico se determinadesde
ΦE = ~E · ~A.
En este caso, segun la figura tenemos
~A = An,
y~E = En,
por lo tanto,
ΦE = EA[
Nm2
C
].
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Fuerza y Campo Electrico
Flujo del campo electrico.
El flujo del campo electrico ΦE mide el numero de lıneas decampo electrico que atraviesan una superficie.
El flujo del campo electrico se determinadesde
ΦE = ~E · ~A.
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Fuerza y Campo Electrico
Flujo del campo electrico.
El flujo del campo electrico ΦE mide el numero de lıneas decampo electrico que atraviesan una superficie.
El flujo del campo electrico se determinadesde
ΦE = ~E · ~A.
En este caso, segun la figura tenemos
ΦE = EA cos θ[
Nm2
C
].
Por lo tanto,si θ = 0 tenemos ΦE = EA,si θ = 90◦ tenemos ΦE = 0.
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Fuerza y Campo Electrico
Flujo del campo electrico.
Para una superficie curva, tenemos que cadapunto en la superficie curva tiene asociado unvector n normal diferente, luego
dΦE = ~E · d~A.
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Fuerza y Campo Electrico
Flujo del campo electrico.
Para una superficie curva, tenemos que cadapunto en la superficie curva tiene asociado unvector n normal diferente, luego
dΦE = ~E · d~A.
Si integramos la expresion anterior, obtenemosel flujo total a traves de la superficie
ΦE =
∫A
~E · d~A.
El flujo del campo electrico es una cantidad escalar que sepuede expresar como
ΦE =
∫A
E cos θdA.
donde, θ, es el angulo formado por los vectores ~E y d~A.Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 81
Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Considere un campo electrico uniforme ~E orientado en ladireccion x . Determine el flujo electrico neto a traves de lasuperficie de un cubo de arista ` orientado como se muestra enla figura.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Considere un campo electrico uniforme ~E orientado en ladireccion x . Determine el flujo electrico neto a traves de lasuperficie de un cubo de arista ` orientado como se muestra enla figura.
El flujo electrico neto es
ΦT = ~E ·~A1+~E ·~A2+~E ·~A3+~E ·~A4+~E ·~A5+~E ·~A6
donde ~E = Ei dado que ~A3, ~A4, ~A5 y ~A6 sonperpendiculares a ~E los flujos a traves deestas superficies es cero y nos queda
ΦT = ~E · ~A1 + ~E · ~A2pero ~A1 = −`2 i y ~A2 = `2 i , por lo tanto
ΦT = 0.Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 83
Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Considere una caja triangular en un campo electricoE = 7.8× 104N/C como se muestra en la figura. Calcule elflujo electrico a traves de: a) la superficie vertical de laizquierda A′, b) la superficie inclinada A y c) la superficie enterade la caja.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Considere una caja triangular en un campo electricoE = 7.8× 104N/C como se muestra en la figura. Calcule elflujo electrico a traves de: a) la superficie vertical de laizquierda A′, b) la superficie inclinada A y c) la superficie enterade la caja.
a) ΦE = 0,b) ΦE = 2340Nm2
C ,c) ΦE = 0.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Un campo electrico esta dado por ~E = azi + bxk , donde a y bson constantes. Determine el flujo electrico a traves de lasuperficie triangular de la siguiente figura.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejemplo
Un campo electrico esta dado por ~E = azi + bxk , donde a y bson constantes. Determine el flujo electrico a traves de lasuperficie triangular de la siguiente figura.
ΦE =13
bhw2.
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Gauss
La ley de Gauss consiste en que el flujo del campo electrico atraves de una superficie cerrada es directamente proporcionala la carga neta encerrada por la superficie.
ΦE =
∮~E · d~A.
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Gauss
La ley de Gauss consiste en que el flujo del campo electrico atraves de una superficie cerrada es directamente proporcionala la carga neta encerrada por la superficie.
ΦE =
∮~E · d~A.
En este caso, ~E = Er y d~A = dAr ,luego
ΦE =
∮~E · d~A =
∮EdA.
Como hemos considerado una superficie esferica, el modulodel campo electrico E = kq
r2 es el mismo a una distancia r de lacarga positiva q.
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Gauss
Por otro lado el elemento de area en coordenadas esfericas esdA = r2 sin θdθdϕ, donde 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ ϕ ≤ 2π, luego
ΦE =
∮EdA =
∮kqr2 r2 sin θdθdϕ.
= kq∫ 2π
0dϕ∫ π
0sin θdθ.
= kq2π(− cos θ)∣∣π0 = 4πkq.
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Gauss
Por otro lado el elemento de area en coordenadas esfericas esdA = r2 sin θdθdϕ, donde 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ ϕ ≤ 2π, luego
ΦE =
∮EdA =
∮kqr2 r2 sin θdθdϕ.
= kq∫ 2π
0dϕ∫ π
0sin θdθ.
= kq2π(− cos θ)∣∣π0 = 4πkq.
Donde anteriormente vimos que la constante de Coulomb sepuede expresar como k = 1
4πε0, finalmente el flujo del campo
electrico generado por la carga q es
ΦE =qε0.
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Gauss
donde, ε0 es la permitividad del vacıo y k = 14πε0
= 9× 109 Nm2
C2 .
Comentarios:
El campo electrico varıa proporcionalmente con 1r2 , pero el
area de la esfera varıa proporcionalmente con r2. El efectode la combinacion produce que el flujo sea independientede r.La ley de Gauss asegura que existen los monopolos elec-tricos, es decir, pueden existir carga electricas aisladas.
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Fuerza y Campo Electrico
Ley de Gauss
donde, ε0 es la permitividad del vacıo y k = 14πε0
= 9× 109 Nm2
C2 .
Comentarios:
El campo electrico varıa proporcionalmente con 1r2 , pero el
area de la esfera varıa proporcionalmente con r2. El efectode la combinacion produce que el flujo sea independientede r.La ley de Gauss asegura que existen los monopolos elec-tricos, es decir, pueden existir carga electricas aisladas.Desde la ley de Gauss, tenemos que:si ΦE 6= 0⇔ qn 6= 0, carga neta encerrada distinta de cero.si ΦE = 0⇔ qn = 0, carga neta encerrada es cero.La ley de gauss permite determinar el campo electrico endistribuciones de carga que tengan simetrıa esferica,cilındrica o plana.
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Fuerza y Campo Electrico
Comentarios:
ΦE =qε06= 0.
El numero de lıneas de campo electrico quesalen de la superficie gaussiana es distinto decero.
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Fuerza y Campo Electrico
Comentarios:
ΦE =qε06= 0.
El numero de lıneas de campo electrico quesalen de la superficie gaussiana es distinto decero.
ΦE = 0 ⇒ qn = 0.
El numero de lıneas de campo electrico queentran son iguales al numero de lıneas quesalen de la superficie gaussiana.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
A partir de la ley de Gauss, calculese el campoelectrico debido a una carga puntual aislada qy demuestrese que la ley de Coulomb sededuce a partir de este resultado.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
A partir de la ley de Gauss, calculese el campoelectrico debido a una carga puntual aislada qy demuestrese que la ley de Coulomb sededuce a partir de este resultado.
La ley de Gauss indica que
ΦE =
∮~E · d~A =
qε0.
El campo electrico es radial hacia afuera, con lo cual ~E = Er .El area es perpendicular a la superficie y por lo tanto tenemosd~A = dAr , luego
ΦE =
∮EdA =
qε0.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Ahora, la magnitud del campo electrico es la misma a unadistancia r , es decir E = kq
r2 . Dado que hemos considerado unasuperficie esferica, la magnitud de E es constante en toda lasuperficie gaussiana. Por lo tanto,
ΦE = E∮
dA =qε0,
ahora, la integral cerrada de la superficie es 4πr2, con lo cual
ΦE = E4πr2 =qε0,
y finalmente,
E =q
4πε0r2 , ⇒ E =kqr2 .
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Una esfera aislante de radio a tiene unadensidad uniforme de carga ρ y una carga totalpositiva Q. Determine el campo electrico alinterior y fuera de la esfera.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Una esfera aislante de radio a tiene unadensidad uniforme de carga ρ y una carga totalpositiva Q. Determine el campo electrico alinterior y fuera de la esfera.Fuera de la esfera, tenemos
ΦE =
∮~E · d~A =
Qε0,∮
EdA =Qε0, ⇒ E
∮dA =
Qε0,
E4πr2 =Qε0, ⇒ E =
kQr2 .
Finalmente, tenemos
~E =kQr2 r para r > a.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Al interior de la esfera, tenemos
ΦE =
∮~E · d~A =
qint
ε0,∮
EdA =qint
ε0, ⇒ E
∮dA =
qint
ε0,
E4πr2 =qint
ε0, ⇒ E =
kqint
r2 .
Donde la carga al interior de la esfera gaussiana se obtiene de(ρ constante)
ρ =dqdV
, ⇒ dq = ρdV , ⇒ qint =
∫ρdV ,
qint = ρ
∫dV , ⇒ qint = ρ
4π3
r3.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Por otro lado, la densidad de carga constante ρ es:
ρ =dqdV
, ⇒ dq = ρdV , ⇒ Q =
∫ρdV ,
Q = ρ
∫dV , ⇒ Q = ρ
4π3
a3 ⇒ ρ =Q
4π3 a3
.
Luego, la carga al interior de la esfera gaussiana es
qint = ρ4π3
r3, ⇒ qint = Qr3
a3 .
Finalmente, el campo electrico al interior de la esfera es:
~E =kQra3 r para 0 ≤ r ≤ a.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Encuentre el campo electrico a una distancia r de una cargalineal infinita positiva uniforme, cuya carga por unidad delongitud es λ constante.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Encuentre el campo electrico a una distancia r de una cargalineal infinita positiva uniforme, cuya carga por unidad delongitud es λ constante.
En este caso, usamos la simetrıa cilındrica yaplicamos la ley de Gauss
ΦE =
∮~E · d~A =
qε0.
La integral cerrada se puede separar en tresintegrales considerando las areas d~A1, d~A2 yd~A3, con lo cual∮~E · d~A =
∫~E · d~A1 +
∫~E · d~A2 +
∫~E · d~A3.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Pero el campo electrico es radial hacia afuera, ~E = Er , luegono hay flujo de campo electrico a traves de las caras circularesdel cilindro, es decir
~E · d~A2 = 0,~E · d~A3 = 0.
Solo tenemos flujo electrico a traves del manto del cilindro,donde d~A1 = dA1r el elemento de area es tambien radial haciaafuera. Luego,
∮~E ·d~A =
∫~E ·d~A1 =
∫Er ·dA1r =
∫EdA1.
En este caso, el campo electrico es constantea una distancia r de la linea de carga, luego
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
∮~E · d~A =
∫EdA1 = E
∫dA1 = E2πr`.
y esto tiene que ser igual a la carga neta q encerrada por lasuperficie gaussiana dividido por ε0. Dado que λ es constante
λ =dqd`
⇒ dq = λd` ⇒ q = λ
∫d` = λ`.
ΦE =
∮~E · d~A = E2πr` =
qε0.
Luego,
E =λ
2πrε0⇒ ~E =
2kλr
r .
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Determine el campo electrico debido a una lamina infinita noconductora con carga por unidad de area uniforme σ.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Determine el campo electrico debido a una lamina infinita noconductora con carga por unidad de area uniforme σ.
En este caso, la superficie gaussiana es uncilindro de radio r y largo `. La ley de Gauss es
ΦE =
∮~E · d~A =
qε0.
La integral cerrada se puede separar en tresintegrales considerando las areas d~A1, d~A2 yd~A3, con lo cual∮~E ·d~A =
∫~E1 ·d~A1 +
∫~E2 ·d~A2 +
∫~E3 ·d~A3.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Dado la simetrıa, el campo electrico es perpendicular a lasuperficie y apunta hacia afuera del plano. Luego, tenemos
~E1 · d~A1 = E1dA1,~E2 · d~A2 = 0.
~E3 · d~A3 = E3dA3.
⇒∮~E · d~A =
∫E1dA1 +
∫E3dA3.
Ahora, la magnitud del campo electrico es constante, es decirE1 = E3 = E = cte. Luego,
⇒∮~E · d~A = E
∫dA1 + E
∫dA3 = EA1 + EA3 = Eπr2 + Eπr2,
= 2Eπr2.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
La carga encerrada por la superficie gaussiana es
σ =dqdA
⇒ dq = σdA ⇒ q = σ
∫dA = σπr2.
Luego, ∮~E · d~A = 2Eπr2 =
qε0.
⇒ 2Eπr2 =σπr2
ε0.
⇒ E =σ
2ε0.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Una esfera de radio R rodea a una carga puntual Q localizadaen su centro.
a) Demuestre que el flujo electrico a traves de una tapa circularde medio angulo θ, como aparece en la figura, esta dado por
ΦE =Q
2ε0(1− cosθ).
b) ¿Cual es el flujo para θ = 90◦ y para θ = 180◦?.
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Fuerza y Campo Electrico
Conductores en equilibrio electrostatico
Un conductor en equilibrio electrostatico tiene las siguientespropiedades:
El campo electrico es cero en cualquier punto al interiordel conductor.Cualquier exceso de carga en un conductor aislado deberesidir completamente sobre su superficie.El campo electrico afuera del conductor es perpendicular ala superficie del conductor.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Un cascaron esferico, conductor y aislado con carga total Q,tiene radio interior a y exterior b. Determine el campo electricoen las zonas 1, 2 y 3, es decir, al interior y al exterior delcascaron esferico.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Un cascaron esferico, conductor y aislado con carga total Q,tiene radio interior a y exterior b. Determine el campo electricoen las zonas 1, 2 y 3, es decir, al interior y al exterior delcascaron esferico.
Tenemos
E1 = 0, para 0 ≤ r < a,E2 = 0, para a < r < b,
~E3 =kQr2 r , para r > b.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Una esfera conductora de radio a tiene una carga neta positiva2Q. Un cascaron conductor esferico de radio interno b y radioexterno c es concentrico con la esfera y tiene carga neta −Q.Utilizando la ley de Gauss, determine el campo electrico en lasregiones 1, 2, 3 y 4, y la distribucion de carga sobre elcascaron esferico.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Una esfera conductora de radio a tiene una carga neta positiva2Q. Un cascaron conductor esferico de radio interno b y radioexterno c es concentrico con la esfera y tiene carga neta −Q.Utilizando la ley de Gauss, determine el campo electrico en lasregiones 1, 2, 3 y 4, y la distribucion de carga sobre elcascaron esferico.
Tenemos
E1 = 0, para 0 ≤ r < a,
E2 =2kQr2 , para a < r < b,
E3 = 0, para b < r < c,
E4 =kQr2 , para r > c.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Determine el campo electrico generado por una laminaconductora aislada, delgada e infinita con carga total Q.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Determine el campo electrico generado por una laminaconductora aislada, delgada e infinita con carga total Q.
~E1 = − σε0
i , a la izquierda de la lamina,
~E2 = 0, al interior de la lamina,~E3 =
σ
ε0i , a la derecha de la lamina.
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Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Considere dos placas conductoras planas e infinitas, una concarga positiva Q y la otra con carga negativa −Q. Determine elcampo electrico a la izquierda, entre y a la derecha de lasplacas, y ademas, al interior de las dos placas conductoras.
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 119
Fuerza y Campo Electrico
Ejercicio
Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde elreposo en un campo electrico uniforme E dirigido a lo largo deleje x, como se muestra en la figura. Describa su movimiento.
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