1 ÑEÀ THI THÖÛ THPT QG VEÀ PT-BPT-HEÄ PT ÑAÏI SOÁdoanngocdung.com/wp-content/uploads/2016/06/WEB-Bai-giai-DE-T… · 1

1

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC & CAO ÑAÚNG ........................................................................................................ GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG

ÑEÀ THI THÖÛ THPT QG VEÀ PT-BPT-HEÄ PT ÑAÏI SOÁ

GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG

A. PHÖÔNG TRÌNH – BAÁT PHÖÔNG TRÌNH

BAØI 1 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN NGUYEÃN ÑÌNH CHIEÅU – ÑOÀNG THAÙP 2016)

Ñieàu kieän xaùc ñònh : x 4

Phöông trình (1) 504xx244x44x4xx

2

504xx224x4xx504xx224x4xx

222

5x54xx0484xx24xx

2

BAØI 2 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN SÖ PHAÏM HAØ NOÄI 2016 LAÀN 1)

Caùch 1 : Ñöa veà haèng ñaúng thöùc

Ñieàu kieän xaùc ñònh :

01x2xx3

02x2x3

23

23

Phöông trình 01x2xx32x2x32x2x223232

01x2xx322x2x324x4x423232

01x11x2xx312x2x32

223

223

Daáu baèng xaûy ra

11x2xx3

12x2x3

1x

23

23

x = 1

Caùch 2 : Söû duïng baát ñaúng thöùc AM – GM


01x2xx3

02x2x3

23

23

Theo baát ñaúng thöùc AM – GM ta coù :

2

2x2x312x2x3.1

23

23

2

1x2xx311x2xx3.1

23

23

Suy ra :

2

3x2x31x2xx32x2x32x2x2

2

23232

(x + 1)2 0 x = 1

Thöû laïi : x = 1 thoûa maõn phöông trình ñaõ cho.

Keát luaän : Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 1.

BAØI 3 : (ÑEÀ TT THPT QUOÁC HOÏC HUEÁ 2016)

Ñieàu kieän xaùc ñònh : x 1

3222

x121xx1xx31xx5x4x1

32222

x1x121xx1x1x2x1xx5x4x

01xxx12x1x11xx2x2322

201xxx1x11xx2x

2222

Vì

2x

01xxx1x1

02x

1x2

2

(thoûa maõn ñieàu kieän)

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø x = 2.

BAØI 4 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN VÓNH PHUÙC 2016 LAÀN 3 2016)

2



Ñieàu kieän : x 2

Ta coù :

0

2x24x2x6

4x2x22x24x2x6

2

2

2

, x 2

Do ñoù baát phöông trình 2x24x2x622x22

2

x62x12x22x2 (1)

Nhaän xeùt : x = 2 khoâng laø nghieäm cuûa baát phöông trình

Khi x > 2, chia hai veá baát phöông trình (1) cho 02x ta ñöôïc :

2

2x

x612

2x

x22

(2)

Ñaët

2x

xt

thì baát phöông trình (2) ñöôïc :

2t

02t2

1t

t612t4t84

0t22

t612t22222

2

322x

08x4x

0x

2

2x

x2t

2

Baát phöông trình naøy coù nghieäm duy nhaát : 322x

Chuù yù : baøi naøy coù nhieàu caùch giaûi khaùc nhö duøng veùctô, duøng baát ñaúng thöùc, duøng pheùp bieán ñoåi töông

ñöông

BAØI 5 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH THANH HOÙA 2016)

Goïi baát phöông trình ñaõ cho laø (1). Ñieàu kieän xaùc ñònh : x 2

5x2x216x2x2x2x5x2x2x2x3xxx2x212222

16x2x2x2x16x2x25x2x216x2x2x2x2222

(Do 2x2 – 2x + 5 > 0, x R)

Ñaët 2xa , b = x – 1 (a 0), (2) trôû thaønh :

0ba

0ba

b2a2ba

0ba

b2a2ba2222

22

a = b 0

Do ñoù ta coù :

2

133x

01x3x

1x

1x2x

01x

1x2x22

Vaäy baát phöông trình ñaõ cho coù nghieäm :

2

133x

.

BAØI 6 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH BAØ RÒA VUÕNG TAØU 2016)

Ñieàu kieän: x ≥ –1.

(1) 1x221x1x51x22x41x6xx422

Ta thaáy x = –1 laø moät nghieäm cuûa baát phöông trình.

Vôùi x > –1, ta coù: (1)

1x

1x2215

1x

1x2

1x

1x2215

1x

1x222

Ñaët

1x

1x2t

ta coù baát phöông trình : 1t25t

2

Ta coù :

3

2t1t25t

2

18

5510x13x61x2

3

2

1x

1x2

22x21x21x2x2

3



Vaäy nghieäm laø:

18

5510x1

BAØI 7 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN VÓNH PHUÙC 2016 LAÀN 4 2016)

Ñieàu kieän : 1 x 12

Khi ñoù baát phöông trình 1251xx115x12x5

24x11x27x1x5x11x18x125x2

24x11x2

7x1x5

24x11xx11

x18x125

24x11xx2

22

*0

7x1x5

x11

x18x125

x224x11x

A

2

Maët khaùc :

0

7x1x5

181x5

x18x125

18x125

7x1x5

x111

x18x125

x1A

, x [1 ; 12]

Do ñoù baát phöông trình (*) x2 – 11x + 24 0 3 x 8, keát hôïp ñieàu kieän suy ra : 3 x 8

Vaäy taäp nghieäm cuûa baát phöông trình laø : S = [3 ; 8].

BAØI 8 : (HSG TÆNH HAÛI DÖÔNG 2016)


Baát phöông trình coù daïng : 1x22xx22x1xx32x6x22x1xx32

2

1x

2xx2

1x

2xx3

Ñaët

0

1x

2xxt

ta ñöôïc 2t

2t

2

1t

02t3t22

(do t 0)

Vôùi t 2

2

1x

2xx

x

2 – 6x – 4 0 133x

133x

133x

Vaäy baát phöông trình coù nghieäm 133x .


Ñieàu kieän : x R

Khi ñoù, 20x3x3x213 33

Ta coù : 0

4

x3

2

xx3x3x3xx

22

3 332

33 32


3

22

3 3

3x

0x

0

4

x3

2

xx3

Ñieàu naøy voâ lyù neân daáu baèng khoâng xaûy ra 0x3x3xx3

233 32

Do ñoù,

0

x3x3xx

3x23x20

x3x3xx

x3x3x22

32

33 32

3

3

32

33 32

33

3

33

32

33 22

3

2

3x03x20

x3x3xx

113x2

BAØI 10 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN KHTN HAØ NOÄI 2015 LAÀN 5)


4



Khi ñoù, 33

323333

1x27xx1x6x12x87xx7xx37xx1

06x4x1x06x2x3x7x1x1x7x1x27xx223333

1x022x1x2


Ñieàu kieän :

*

2

1x

01x26x

01x22x

2x

06x11x2

02x3x2

2x

2

2

Khi ñoù : 2x31x26x46x31x22x1

46x2x31x246x2x36x2x1x2

2x6x31x22x6x2x6x6x2x31x2

12x8x1x296x2x1x236x2x28x21x268x22

7x

3x

021x10x2

Thöû laïi x = 3 hoaëc x = 7 thoûa maõn phöông trình ñaõ cho.

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø x = 3 ; x = 7.

BAØI 12 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH QUAÛNG NAM 2015)

Ñieàu kieän :

6

1x (*)

Khi ñoù, 1x61x628x6x9x2123

01x61x1x621x61x28x6x9x223

0

1x61x

1x61x1x6210x16x3x2

2

23

20

1x61x

1x625x22x4x0

1x61x

2x4x1x622x4x5x2

2

2

2

Vôùi

0

1x61x

1x625x2

6

1x

neân 22x02x4x2

2 (thoûa maõn ñieàu kieän)

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø 22x .


Ñieàu kieän : *

24x

0x

Ñaët

12t

12t

t12x

Khi ñoù : 217125t12t5t5t5t12ttf

Vì : f(t) = f(t) f(t) laø haøm soá chaün treân taäp D = ( ; 12] [12 ; )

Do ñoù ta chæ caàn xeùt treân [12 ; ).

Ta coù :

0

5t12t2

17t2

5t5t

t

5t12t2

17t2t'f

, t (12 ; )

t = 13 laø nghieäm duy nhaát thuoäc [12 ; )

Maët khaùc f(t) laø haøm soá chaün neân t = 13 laø nghieäm duy nhaát thuoäc ( ; 12].

Töø ñoù ta ñöôïc

25x

1x

13t

BAØI 14 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH BAÉC NINH 2015)

5



Ñieàu kieän : *

5

4x

Khi ñoù 03x3x41x4x31x4x512

03x3x4

4x1x

1x2x4x3

4x51x

1x2x4x532

22

03x3x4

4x1x

3x3x3

4x51x

3x3x32

22

0

4x1x

3

4x51x

34xf

03x3x

0

4x1x

3

4x51x

343x3x

2

2

TH1 :

2

213x03x3x

2

Thöû laïi thì chæ coù

2

213x

thoûa maõn.

TH2 : 0

4x1x

3

4x51x

34xf

Ta xeùt haøm soá treân vôùi

5

4x .

Khi ñoù ta coù :

4x2

11

4x1x

3

4x52

51

4x51x

3x'f

22

Vaäy : f’(x) > 0 vôùi moïi

;

5

4x .

Keát hôïp vôùi f(x) lieân tuïc treân

;

5

4 f(x) ñoàng bieán treân

;

5

4

Do ñoù treân

;

5

4, phöông trình f(x) = 0 neáu coù nghieäm thì seõ coù nghieäm duy nhaát.

Maët khaùc, f(0) = 0 x = 0 laø nghieäm duy nhaát cuûa f(x) = 0

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø x = 0 vaø

2

213x

.


Caùch 1 : Nhaân lieân hôïp cô baûn vaø ñaùnh giaù chöùng minh voâ nghieäm.


Khi ñoù

44x424x4

3x125x23x24x4315x11x21

33 2

32

2

44x424x4

125x2

3x

33 2

Ta coù 31244x424x45x2233 2

Do 2

5x05x2034x4144x424x4

2333 2

Vôùi x > 3 VT(3) > (2.3 – 5)(4 + 4 + 4) = 12 = VP(3) loaïi

Vôùi 3x

2

5 VT(3) < (2.3 – 5)(4 + 4 + 4) = 12 = VP(3) loaïi

Vôùi x = 3 thì ñaõ thoûa maõn (3).

6



Do ñoù, (3) x = 3

Caùch 2 : Nhaân lieân hôïp cô baûn vaø khaûo saùt haøm soá chöùng minh voâ nghieäm.

Ñieàu kieän : x R (*)

Khi ñoù,

44x424x4

3x125x23x24x4315x11x21

33 2

32

2

44x424x4

125x2

3x

33 2

Ta coù : 32444x424x410x4233 2

Do 2

5x010x4034x4144x424x4

2333 2

Ñaët 14x4t3 ,

2

5x VT(3) thaønh (t

3 – 6)(t

2 + 2t + 4) – 24 = f(t)

Xeùt haøm soá f(t) = (t3 – 6)(t

2 + 2t + 4) – 24 vôùi t (1 ; ) coù :

f’(t) = 3t2(t

2 + 2t + 4) + (t

3 – 6)(2t + 2) = 5t

4 + 8t

3 + 12t

2 – 12t – 12

Vôùi t > 1

t12t12

8t8

5t5

2

3

4

5t4 + 8t

3 + 12t

2 > 12t + 13 > 12t + 12 f’(t) > 0, t (1 ; )

Keát hôïp vôùi f(t) lieân tuïc treân (1 ; ) f(t) ñoàng bieán treân (1 ; )

Do ñoù treân (1 ; ), phöông trình f(t) = 0 neáu coù nghieäm thì seõ coù nghieäm duy nhaát.

Maët khaùc

02f

;12

t = 2 laø nghieäm duy nhaát cuûa f(t) = 0 24x43 x = 3

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø x = 3.

Caùch 3 : Söû duïng baát ñaúng thöùc AM-GM.

Ñieàu kieän : x R (*)

Ta coù : 1x04x404x430

8

47

4

11x21VT

3

2

Laïi coù : 2x2 – 11x + 21 = 2(x – 3)

2 + x + 3 x + 3, x R (2)

Vôùi x > 1, aùp duïng baát ñaúng thöùc AM – GM ta coù : 334x4128.8.4x43884x4

Keát hôïp vôùi (2) 32

4x4321x11x2

Daáu baèng xaûy ra x = 3

Thöû laïi ñaõ thoûa maõn.

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø x = 3.

BAØI 16 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH BAÉC GIANG 2015)


42x27xx422x7xx4x8x4102x7xx42222

12x22xx442x27xx422x22x222x7xx4 222

012xx212xx2012xx2

22

1x22x

1x22x

hoaëc

1x22x

1x22x

Giaûi caùc heä baát phöông trình treân ñöôïc taäp nghieäm laø :

;

8

4151;2T .

7



B. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH

BAØI 1 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TP HAØ NOÄI NAÊM 2016)

Ñieàu kieän :

0xy3x

3

2x

2

2

2

2

x

11

x

1y1yy

x

1

x

11y11 (3)

Xeùt haøm soá 2

t1ttf , t R. Do f’(t) > 0 haøm soá f ñoàng bieán treân R.

Do ñoù x

1y

x

1fyf3

Khi ñoù, 0

7x2

53x2x353x2x37x22

nghieämlaøkhoâng

2

7xvì

Xeùt haøm soá 7x2

53x2x3xg

vôùi

2

7\;

3

2x .

Ta coù : 27x2

10

3x2

1

2x32

3x'g

Vì 02x33x3

2

7\;

3

2x

0

7x2

10

3x2

1

2x32

3x'g

2

vôùi

2

7\;

3

2x

Suy ra g(x) ñoàng bieán treân

2

7;

3

2 vaø

;

2

7

Maø g(1) = g(6) = 0 neân phöông trình coù hai nghieäm laø x = 1 ; x = 6.

Vaäy heä coù nghieäm laø : (1 ; 1),

6

1;6 .

BAØI 2 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH QUAÛNG NAM 2016)

212y14x1y4x83

101y21yyxyx

I2

Ñieàu kieän : x 8, y 1, (x – y)(y + 1) 0 (*)

Neáu (x ; y) laø nghieäm cuûa heä (I) thì y > 1. Suy ra : x – y 0

Do ñoù : 1y2x1

1y

yx1

1y

yx02

1y

yx

1y

yx1

Thay x = 2y + 1 vaøo (2) ta ñöôïc : 12y141y21y4y2732

06y10y41y27321y4011y10y4y2731y422

301y2

1y27

3

21y

23y

Vì

2

7y1 neân

223

22

21y

2

,

4

3

1y27

3

, 2y + 1 > 1

01y2

1y27

3

21y

2

Do ñoù : (3) y – 3 = 0 y = 3 x = 7 (thoûa (*))

Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù moät nghieäm (x ; y) = (7 ; 3).

8



BAØI 3 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH PHUÙ YEÂN 2016)

Ñaët

yb

1xa

Heä phöông trình trôû thaønh :

21ba6a1b

11ab6b1a

1ba6a1b

6b1a1ab

22

22

22

22

Tröø veá theo veá (1) vaø (2) : (a – b)(a + b – 2ab + 7) = 0

07ab2ba

ba

TH1 : a = b

Thay vaøo phöông trình (1) ta ñöôïc : (a – 1)(a2 + 6) = a(a

2 + 1) a

2 – 5a + 6 = 0

3a

2a

2x

1x

Suy ra heä coù hai nghieäm : (1 ; 2), (2 ; 3).

TH2 : a + b – 2ab + 7 = 0

Coäng veá theo veá hai phöông trình (1) vaø (2) ruùt goïn ta ñöôïc :

2

1

2

5b

2

5a

22

Ta coù heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I :

2

1

2

5b

2

5a

07ab2ba

22

Giaûi heä ta coù caùc nghieäm :

3b

2a

;

2b

3a

Töø ñoù caùc nghieäm (x ; y) laø : (2 ; 2) ; (1 ; 3).

Vaäy heä phöông trình coù 4 nghieäm laø : (1 ; 2), (2 ; 2), (2 ; 3), (1 ; 3).

BAØI 4 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH ÑOÀNG THAÙP 2016)

Ñieàu kieän :

0y

0x

Khi ñoù :

0

yx

yx

yyxyx

yxx0yxyyxyx1

22

22

3yx0

yx

1

yyxyx

xyx

22

Thay (3) vaøo phöông trình (2) ta ñöôïc phöông trình : x518x3xx4x522

6x3xx59x9x2x518x3xx4x5222

43x.x6x53x3x6x222

Ñaët x6xa2 , 3xb vôùi a, b 0, phöông trình (4) trôû thaønh : 2a

2 – 5ab + 3b

2 = 0

b3a2

ba

TH1 : Vôùi a = b ta ñöôïc phöông trình :

2

617y

2

617x3xx6x

2

TH2 : Vôùi 2a = 3b ta ñöôïc phöông trình : 9y9x3x3x6x22

Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø : (9 ; 9),

2

617;

2

617

BAØI 5 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH LAØO CAI 2016)

Ñieàu kieän :

2y

2x0

(*)

9



Vôùi ñieàu kieän (*) ta coù :

3x1x2y3y

1x

0x1x2y3y1x1

Vôùi x = 1 thay vaøo (2) ta ñöôïc :

8

31y18y22 (khoâng thoûa maõn ñieàu kieän)

Ta coù : 4xx2y2y3

33

Xeùt haøm soá f(t) = t3 + t treân R ; f’(t) = 3t

2 + 1 > 0, t R

Suy ra, haøm soá f(t) ñoàng bieán vaø lieân tuïc treân R.

Khi ñoù : 2xyx2yxf2yf4

Thay y = x – 2 vaøo (2) ta ñöôïc : 222

x9x4216x83216x94x22x24

0x8xx4216x48222

Ñaët 2

x42t (t 0) ; phöông trình trôû thaønh : 4t2 + 16t – (x

2 + 8x) = 0

loaïi04

2

xt

2

xt

Ta coù : 3

624y

3

24x

9

32x

2x0

2

xx42

2

2

Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát : (x ; y) =

3

624;

3

24

BAØI 6 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN NGUYEÃN QUANG DIEÄU 2016)

Nhaân hai veá cuûa phöông trình (1) vôùi 3 roài tröø theo veá cho (2), ta ñöôïc phöông trình :

4x2 + 4xy + y

2 – 6x + 3y + 2 = 0 (2x + y)

2 – 3(2x + y) + 2 = 0

2yx2

1yx2

Neáu 2x + y = 1 thì y = 1 – 2x, thay vaøo (1) ta ñöôïc : 7x2 – 5x = 0

7

3y

7

5x

1y0x

Neáu 2x + y = 2 thì y = 2 – 2x, thay vaøo (1) ta ñöôïc : 7x2 – 11x + 4 = 0

7

6y

7

4x

1y1x

Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm laø : (0 ; 1), (1 ; 0),

7

3;

7

5,

7

6;

7

4

BAØI 7 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN HAÏ LONG 2016)

Ñieàu kieän :

2

3x

Töø phöông trình (1) ta coù : x3 + 3x = (y + 1)

3 + 3(y + 1)

Xeùt haøm soá f(t) = t3 + 3t coù f’(t) = 3t

2 + 3

f’(t) > 0 vôùi moïi t suy ra haøm soá f(t) ñoàng bieán treân R.

f(x) = f(y + 1) x = y + 1

Theá x = y + 1 vaøo phöông trình (2) ta ñöôïc : 1x36x73x21x3 (3)

Ta coù x = 1 khong laø nghieäm phöông trình. Töø ñoù : 1x

1x36x73x2

3

Xeùt haøm soá 1x

1x36x73x2xg

3

10



Taäp xaùc ñònh : 1\;

2

3D

23 2 1x

6

6x73

7

3x2

1x'g

g’(x) > 0

2

3x ; x 1,

2

3'g khoâng xaùc ñònh

Haøm soá ñoàng bieán treân töøng khoaûng

1;

2

3 vaø (1 ; ).

Ta coù : g(1) = 0 ; g(3) = 0

Töø ñoù phöông trình g(x) = 0 coù ñuùng hai nghieäm x = 1 vaø x = 3.

Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm (1 ; 2) vaø (3 ; 2).

BAØI 8 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN VÓNH PHUÙC LAÀN 1 2016)

Ñieàu kieän :

4y

2x

0y4

02x

Töø phöông trình (1) ta coù : (x – 1)3 = (y – 2)

3 x – 1 = y – 2 y = x + 1 (3)

Thay (3) vaøo (2) ta ñöôïc phöông trình : 1x2x41xx1x42x23

1x4xxx32x23 , ñieàu kieän : 2 x 3

4x1x

3x32x

2x32x24x4xx3x32x

223

4x1x

2x32x3x32x

4x32x22

2xx2x

2x32x3x32x

2xx22

2

1x2x02xx0

2x32x3x32x

22x2xx

2

0

2

3y2x3

(x ; y) = (2 ; 3) (thoûa maõn ñieàu kieän)

0y1x3 (x ; y) = (1 ; 0) (thoûa maõn ñieàu kieän)

Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm : (x ; y) = (2 ; 3), (x ; y) = (1 ; 0).


Ñieàu kieän :

7y

2x

07y

02x

Töø phöông trình (1) ta coù : (x – 1)3 + 5(x – 1) = (y – 1)

3 + 5(y – 1) (3)

Xeùt haøm soá f(t) = t3 + 5t, treân taäp R, f’(t) = 3t

2 + 5 > 0, t R haøm soá f(t) ñoàng bieán treân R

Töø (3) : f(x – 1) = f(y – 1) x = y (4)

Thay (4) vaøo (2) ta ñöôïc phöông trình :

32x6x13x2x6x27x10x5x5232 (5)


10x5x2x22x6x237x10x5x5232 (6)

05x

22x

6x2

37x

10x5x52x5x2x

22x

6x2

37x

10x5x52x

2

2

2

2

2y2x4

(x ; y) = (2 ; 2) (thoûa maõn ñieàu kieän)

11



0

2

6x2

5

10x5x5

22x

6x2

37x

10x5x522

0

2

1

22x

16x2

5

1

37x

110x5x5

2x,0

2x,0

2x,0

2x,0

2

(phöông trình naøy voâ nghieäm)

Vaäy heä phöông trình coù moät nghieäm duy nhaát : (x ; y) = (2 ; 2).

BAØI 10 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN LEÂ HOÀNG PHONG – HCM LAÀN 1 2016)

Xeùt f(t) = cost + 2t coù f’(t) = sint + 2 > 0 t f(t) ñoàng bieán treân R

Do ñoù (1) f(x) = f(y) x = y

Thay vaøo (2) ta ñöôïc : 31x21x2x2x201x21xxx4

333

Xeùt g(t) = t3 + t coù g’(t) = 3t

2 + 1 > 0 t g(t) ñoàng bieán treân R

Do ñoù, 4

51xx21x21x2fx2f3

Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø (x ; y) =

4

51;

4

51.

BAØI 11 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN LEÂ HOÀNG PHONG – HCM LAÀN 2 2016)

Xeùt (1) ta thaáy do VT (1) 0 neân y 0. Do ñoù :

Neáu x > y2 thì VT (1) >

2

y = y VT(1) > VP(1)

Neáu x < y2 thì VT (1) <

2

y = y VT (1) < VP (1)

Vaäy (1) x = y2.

Thay vaøo (2) ta ñöôïc : (2) 6xx15x14x132

Ñaët x1A vaø x1B . Ñieàu kieän : 0 A, B 2

Ta coù : A, B 0 ; A2 + B

2 = 2 vaø 2A

2 + B

2 = x + 3

(2) 3AB + 4B = 5A + 2A2 + B

2 + 3 B

2 – (3A + 4)B + 2A

2 + 5A + 3 = 0 ( = (A + 2)

2)

B = 2A + 3 (loaïi vì B 2 < 2A + 3) hay B = A + 1 B = A + 1

x12x21x121x1x11x1x1

2

3x

4

3x

2

1x

x441x4x4

01x2

2

2

Khi ñoù : 42

4

3y

2

3y

Vaäy heä coù nghieäm laø

4

4

3;

2

3.

BAØI 12 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN PHUÙ YEÂN 2016)

Ñieàu kieän :

2

1y

Ta coù : 141y22y2x30x24x8123

3141y231y2142x232x2

32

Xeùt haøm soá f(t) = (t2 + 3)t + 14 treân R. Ta coù : f’(t) = 3t

2 + 3 > 0 t

Suy ra haøm soá f(t) ñoàng bieán vaø lieân tuïc treân R.

12



Do ñoù :

2

5x4x2y

1x

1y22x21y2f2x2f32

Thay vaøo phöông trình (2) ta ñöôïc : 3 22

285x8x412x16626x5x8x42x3

3 223

4x10x6124x62x48x12

*4x10x612884x10x62x1x263 222

Vôùi x 1, ta coù : 6(2x – 1)(x – 2)2 0 ; 6x

2 – 10x + 4 0

AÙp duïng baát ñaúng thöùc AM – GM cho ba soá khoâng aâm, ta coù :

3 23 22

4x10x6128.8.4x10x63884x10x6

3 222

4x10x612884x10x62x1x26


84x10x6

02x1x2

1x

2

2

x = 2

Suy ra (*) x = 2

2

5y (thoûa maõn)

Keát luaän : Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát

2

5;2 .

BAØI 13 : (HSG TÆNH PHUÙ THOÏ 2016)


01x2

0yx

Ñaët t = x + y (t 0)

Phöông trình (1) trôû thaønh : 02t2t34t42t2t3t22

0

2t2t3

12t2t0

2t2t3

2t2t32t2t

t = 2 (vì 0

2t2t3

12t

t 0)

Vôùi t = 2 suy ra x + y = 2 y = 2 – x

Thay y = 2 – x vaøo (2) ta coù : 01x2x1x21x2xx1x2x1x2xx232

21x

x1x2

0x

x1x201x2x01x2x1x2x2

2

Suy ra 21y .

Vaäy heä ñaõ cho coù moät nghieäm : 21;21 .

BAØI 14 : (HSG TÆNH HAÛI DÖÔNG 2016)

Coäng theo veá hai phöông trình trong heä roài ruùt goïn ta ñöôïc : 11y1y1y1xxx2222 (*)

Xeùt haøm soá 1ttttf22 treân R ta coù :

1t

t1tt2t'f

2

2

2

Töø ñoù 0t2t2

1t

t1t2t2t'f

2

2

2

t R vaø f’(t) = 0 t = 0

Do ñoù haøm soá ñoàng bieán vaø lieân tuïc treân R.

Vì vaäy (*) f(x) = f(y + 1) x = y + 1

Thay vaøo phöông trình (2) ta ñöôïc : (y + 1)2 + 2y

2 = 2(y + 1) – 4y + 3 3y

2 + 4y – 4 = 0

13



3

5x,

3

2y

1x,2y

Vaäy heä coù nghieäm (x ; y) =

3

2;

3

5;2;1 .

BAØI 15 : (HSG TRÖÔØNG HAØN THUYEÂN – BAÉC NINH 2016)

Ta coù :

2

yx2yx4

2

22

22

2222

yx2

4

3

2

yx2yx2xy2yx2yxy2x4

Do ñoù VT 2x + y. Daáu baèng xaûy ra khi 2x = y.

Thay vaøo phöông trình (2) ñöôïc : 51x8x311x2

Vôùi

2

11x khoâng laø nghieäm. Xeùt

2

11x , phöông trình 0

11x2

51x8x3

Xeùt 11x2

51x8x3xf

vôùi

;

2

11

2

11;

3

8D .

Ta coù :

0

11x2

10

1x.8x3

8x31x3

2

1x'f

11x2

10

1x2

1

8x32

3x'f

22

, x D

Treân moãi khoaûng phöông trình coù toái ña moät nghieäm.

Ta coù : f(8) = f(3) = 0

Vaäy phöông trình coù hai nghieäm : x = 8 ; x = 3.

Do ñoù heä coù hai nghieäm (x ; y) laø (8 ; 16) vaø (3 ; 6).

BAØI 16 : (HSG TP.HOÀ CHÍ MINH 2015)

Nhaän thaáy raèng (2) luoân ñuùng vôùi

x

1y vaø baøi toaùn coù chöùa phaân thöùc neân khoù cho vieäc nhaân lieân hôïp. Töø

ñoù seõ nghó ñeán ñaùnh giaù tröïc tieáp baèng baát ñaúng thöùc.

Ñieàu kieän : x 0, y 1

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Cauchy – Schwarz ta coù :

22VP

yx

x2

y.11.x

x2

y1.x1

x2

1x

1

y1

x2

yxy

1

y1

xy2

yxy

1

y1

xyVT

Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi

1

y

x

1

y1yxyxy

1xy

0y1xyyx222

x

1y1xy

1xy

01yxy1xy

10

1y

10x

4x416x8x

4x

4x1x21

x

41x

x

21

2

Taäp nghieäm cuûa heä phöông trình laø : S = (x ; y) =

10

1;10 .

BAØI 17 : (HSG TÆNH QUAÛNG NAM 2015)

Ñieàu kieän : y 0

Do y = 0 khoâng laø nghieäm heä neân xeùt y > 0 vaø töø (2), ñeå heä phöông trình coù nghieäm thì x > 0.

14



y

1fx2f1

y

1

y

1

y

11x2.x2x22

2

2

Xeùt 1t.tttf2 treân (0 ; ) coù 0

1t

t1t1t'f

2

2

2

, t > 0.

Do ñoù haøm soá f(t) ñoàng bieán treân (0 ; ). Suy ra : y

1x2

y

1fx2f

Theá vaøo (1) 306y1y2yy23

Söû duïng Casio, tìm ñöôïc phöông trình (3) coù nghieäm duy nhaát y = 1 vaø quan saùt thaáy veá traùi cuûa (3) coù ñaïo

haøm coù khaû döông neân söû duïng haøm soá ñeå giaûi.

Xeùt haøm soá 6y1y2yyyf23 treân (0 ; ) coù 0

y

1yy4yy3y'f

2

2

, y > 0 neân f(y)

ñoàng bieán treân (0 ; ).

Do ñoù phöông trình f(y) = 0 coù toái ña moät nghieäm maø f(1) = 0 y = 1

2

1x

Keát luaän : So ñieàu kieän, taäp nghieäm heä phöông trình laø S = (x ; y) =

1;

2

1.

BAØI 18 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TP HCM 2015)

Ñieàu kieän : x 2, y > 0

(2) (x – y2)(xy + x – 1) = 0 x = y

2 (do xy + x – 1 > 0)

(1) 2y2yy12y1y12y1y22

22

2

Vaäy heä phöông trình coù 1 nghieäm : (4 ; 2).

BAØI 19 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN VÓNH PHUÙC 2015)

Ñieàu kieän :

09xy2

4x

Phöông trình (1) : x3 – y

3 + 17x – 32y = 6x

2 – 9y

2 – 17 (x – 2)

3 + 5(x – 2) = (y – 3)

3 + 5(y – 3)

[(x – 2) – (y – 3)].[(x – 2)2 + (x – 2)(y – 3) + (y – 3)

2 + 5] = 0 (x – 2) – (y – 3) = 0

y = x + 1 (3)

Theá (3) vaøo (2) ta ñöôïc phöông trình : 10x9x11x9x4x3x2

35x2x411x9x34x3x2

47x

411x

9x

34x

3x

6y,5x05x

7x5x

411x

5x9x

34x

5x3x

0

2

9x

411x

9x

2

5x

34x

3x4

0

34x

2

2

1

411x

19x

2

1

34x

15x

(voâ nghieäm)

Vaäy heä phöông trình coù moät nghieäm duy nhaát (x ; y) = (5 ; 6).


Ñieàu kieän : x + 2y + 1 0

Khi heä coù nghieäm 0yxy;x

1

Ta thaáy yx2y2xy2x522 (*), daáu baèng khi x = y.

Thaät vaäy : (*) 5x2 + 2xy + 2y

2 (2x + y)

2 (x – y)

2 0 luoân ñuùng vôùi moïi x, y R

Töông töï, y2xy5xy2x222 (**), daáu baèng khi x = y.

15



Töø (*), (**) VT(1)

= yx3y5xy2x2y2xy2x52222 = VP

(1)

Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi x = y.

Theá y = x vaøo (2), ta ñöôïc : 5xx28x19.21x323 (3)

Ta coù : x2x22x8x1921x1x3323

0x2x2

2x8x192x8x19

x7x6x2

1x1x3

xx2

233 2

232

0xx2

2x8x192x8x19

7xxx2

1x1x3

xx 2

233 2

22

*02

2x8x192x8x19

7x2

1x1x3

1

0xx

233 2

2

Vì x 0 neân (*) voâ nghieäm. Do ñoù (3) x = 0 hay x = 1.

Vaäy heä phöông trình coù nghieäm (x ; y) laø : (0 ; 0), (1 ; 1).

BAØI 21 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH THANH HOÙA 2015)

Ñieàu kieän : x2y 2. Goïi hai phöông trình laàn löôït laø (1) vaø (2).

(2) x6y

3 + 3x

2y = y

3 – 3y

2 + 3y – 1 + 3(y – 1) (x

2y)

3 + 3x

2y = (y – 1)

3 + 3(y – 1) (3)

Xeùt haøm soá f(t) = t3 + 3t coù f’(t) = 3t

2 + 3 > 0, t R

Do ñoù (3) f(x2y) = f(y – 1) x

2y = y – 1, (y 1)

Theá vaøo (1) ta ñöôïc : 011yx011yx21yx1yx21xyx

2222

11yx

Do ñoù heä ñaõ cho töông ñöông vôùi :

0x

1xx2x

x2y

0x

1yyx

1xyx

1yyx

11yx222

2

2

22

2

(4) x4 – 3x

2 + 1 = 0 (x

2 – 1)

2 – x

2 = 0 (x

2 – x – 1)(x

2 + x – 1) = 0

2

51x

2

51x

Do x > 0 neân

2

51x

hoaëc

2

51x

.

Vôùi

2

51y

2

51x

. Vôùi

2

51y

2

51x

.

Vaäy heä coù nghieäm : (x ; y) =

2

51;

2

51, (x ; y) =

2

51;

2

51.

BAØI 22 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH HAØ TÓNH 2015)

Ñieàu kieän : *

16y0

1x

Vôùi ñieàu kieän (*) ta coù : 01yyx13

Do ñoù

yx

1yyx1

1yyx1yx1yyx11

3

3

3

xy01yyx1yyxxyx32

01yyx1yyxxdo

32

16



Theá vaøo (2) ta ñöôïc : 918x34x3x43 (3)

Vì

4

3x khoâng phaûi laø nghieäm cuûa (3) neân (4) 01

3x4

98x34x

3

Xeùt haøm soá 13x4

98x34xxg 3

treân (4 ; ) \

4

3

Ta coù :

0

3x4

36

4x3

1

4x2

1x'g

23 2

x > 4,

4

3x

Suy ra haøm soá g(x) ñoàng bieán treân caùc khoaûng

4

3;4 ;

;

4

3.

Laäp baûng bieán thieân ta thaáy phöông trình g(x) = 0 coù toái ña hai nghieäm.

Ta laïi coù g(0) = g(3) = 0 suy ra x = 0 ; x = 3 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình g(x) = 0.

Vôùi x = 0 y = 0 ; x = 3 y = 9.

Ñoái chieáu ñieàu kieän ta thaáy phöông trình coù hai nghieäm : (0 ; 0), (3 ; 9).

BAØI 23 : (ÑEÀ TT SGD-ÑT TÆNH LAØO CAI 2015)

Ñieàu kieän : xy + x – y2 – y 0 vaø y 0.

Vôùi ñieàu kieän treân : 01yyyxxy31y2x22

01y2x0

1yyyxxy

1y311y2x

2

Theá 2y = x – 1 vaøo (1) ta coù : 2x2x

11x

2x2

35x

4x2x1x25x2

2

2

22

02x

11x

2

35x

2x22x

2

(3)

Ta thaáy : x 1,

0

35x

212x

11x

22x

11x

2

35x

2x2

22

Neân (3) coù nghieäm duy nhaát x = 2.

Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát (x ; y) =

2

1;2 .

BAØI 24 : (TT THPT CHUYEÂN LEÂ HOÀNG PHONG TP.HCM 2015)


Neáu x = 0 thì khoâng thoûa maõn heä phöông trình.

Xeùt x > 0 : phöông trình (1)

x

x1x1y9y3y3

2

1

x

1

x

1

x

11y3y3y3

2

2

(3

Töø (1) vaø x > 0, ta coù y > 0. Xeùt haøm soá f(t) = 1t.tt2 , t > 0

Ta coù : f(t) = 0

1t

t1t1

2

2

2

Suy ra f(t) luoân ñoàng bieán treân (0 ; ).

Phöông trình (3) x

1y3

x

1fy3f

Theá vaøo phöông trình (2) ta ñöôïc phöông trình : 10x1x4xx223

Ñaët g(x) = 10x1x4xx223 , x > 0

Ta coù : g’(x) > 0 vôùi x > 0 suy ra g(x) laø haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (0 ; ).

17



Ta coù : g(1) = 0. Vaäy phöông trình g(x) = 0 coù nghieäm duy nhaát x = 1.

Vôùi x = 1 suy ra

3

1y

Vaäy heä coù nghieäm duy nhaát

3

1;1 .

BAØI 25 : (ÑEÀ TT THPT CHUYEÂN VÓNH PHUÙC 2015)

Ñieàu kieän :

0y

3x

Khai thaùc phöông trình (1), ñeå tìm heä thöùc lieân heä ñôn giaûn cuûa x vaø y.

(1) (x – 1)3 + 3(x – 1)

2 + ln(x – 1) = (y + 1)

3 + 3(y + 1)

2 + ln(x + 1) (3)

Xeùt haøm ñaëc tröng f(t) = t3 + 3t

2 + lnt treân khoaûng (0 ; ).

0

t

1t6t3t'f

2 t > 0 f(t) ñoàng bieán treân khoaûng (0 ; ).

Do x – 1 > 0 vaø y + 1 > 0 f(x – 1) = f(y + 1) x – 1 = y + 1 y = x – 2 (4)

Theá (4) vaøo (2) ñeå ñöôïc phöông trình moät aån : (x – 2)[log2(x – 3) + log3(x – 2)] = x + 1 (5)

Giaûi phöông trình (5) baèng phöông phaùp haøm soá :

0

2x

1x2xlog3xlog

2x

1x2xlog3xlog5

3232

(6)

Xeùt haøm soá 2x

1x2xlog3xlogxg

32

treân khoaûng (3 ; ).

0

2x

3

3ln2x

1

2ln3x

1x'g

2

x > 3 g(x) ñoàng bieán treân khoaûng (3 ; )

Neân (6) g(x) = g(5)

3y5x4

Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát (x ; y) = (5 ; 3).


Töø 01xy01xy2

x1y

11xy01xyyx1yx1y1

22

x = y – 1 (3)

Theá (3) vaøo (2) ta ñöôïc phöông trình : 5y29y53y63 (4), ñieàu kieän : 6y

5

9

Giaûi

0

9y51y

10y7y3

y63y8

10y7y09y51y3y63y84

22

4x5y

1x2y

0

9y51y

3

y63y8

110y7y

2

BAØI 27 : (ÑEÀ TT 2015 THPT NGOÂ GIA TÖÏ BAÉC NINH)

Ñieàu kieän :

2y0

1x1

0yy2

0x1

2

2

Suy ra :

2y0

21x0

(1) (x + 1)3 – 3(x + 1)

2 = y

3 – 3y

2 f(x + 1) = f(y)

Xeùt haøm soá f(t) = t3 – 3t

2 treân [0 ; 2] coù f’(t) = 3t

2 – 6t 0, t [0 ; 2].

Do ñoù haøm soá f(t) luoân nghòch bieán treân ñoaïn [0 ; 2].

Suy ra : f(x + 1) = f(y) y = x + 1 vaø theá vaøo phöông trình (2), ta ñöôïc :

41x12x102x12x021x1x23x1x12222222

0x1x11x121x121x12222

22 , suy ra : y = 1.

18



Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, taäp nghieäm cuûa heä phöông trình laø S = (x ; y) = {(0 ; 1)}.

BAØI 28 : (ÑEÀ TT THPTQG 2015 TOAÙN HOÏC TUOÅI TREÛ)


2y42yx

1yf2xf

0y0y42yx

5yy52x2xI

2

4

2

44

44

Xeùt haøm soá 5tttf4 treân [0 ; ) coù 01

5t

t2t'f

4

3

, t 0

Do ñoù haøm soá f(t) luoân ñoàng bieán treân [0 ; ).

Suy ra : 2yxy2xyf2xf444 vaø theá vaøo (2) ta ñöôïc : (2) y(y

7 + 2y

4 + y – 4) = 0

y = 0 x = 2 hoaëc y7 + 2y

4 + y – 4 = 0 (3)

Xeùt haøm soá f(y) = y7 + 2y

4 + y – 4 treân [0 ; ) coù : f’(y) = 7y

6 + 8y

3 + 1 > 0, y 0 neân haøm soá f(y) luoân

ñoàng bieán treân [0 ; ).

Maø f(1) = 0 y = 1, suy ra : x = 3.

Keát luaän : So ñieàu kieän, taäp nghieäm cuûa heä phöông trình laø S = (x ; y) = {(2 ; 0) ; (3 ; 1)}

BAØI 29 : (ÑEÀ TT 2015 THPT NGHI SÔN THANH HOÙA)

Ñieàu kieän :

3

1x vaø 102y102

4xf2yf4x4x22y2y21

33

Xeùt haøm soá f(t) = 2t3 + t treân R coù f’(t) = 6t

2 + 1 > 0, t R. Do ñoù haøm soá f(t) ñoàng bieán treân R.

Suy ra : xy4y4x2y4xf2yf2 vôùi y 2

Theá vaøo phöông trình (2) 308x14x3x61x32

Do söû duïng Casio, tìm ñöôïc x = 5 laø nghieäm duy nhaát cuûa (3), neân gheùp haèng soá lieân hôïp.

01x35x

x61

5x

41x3

5x305x14x3x6141x33

2

1y5x01x3

x61

1

41x3

35x

Keát luaän : So ñieàu kieän, taäp nghieäm cuûa heä phöông trình laø S = (x ; y) = {(5 ; 1)}

BAØI 30 : (ÑEÀ TT 2015 THPT TRAÀN PHUÙ THANH HOÙA)

Ñieàu kieän : x 1,

2

3y

2

3

x1fyfx1x12yy21

33

Xeùt haøm soá f(t) = 2t3 + t treân R coù f’(t) = 6t

2 + 1 > 0, t R. Do ñoù f(t) taêng treân R.

Suy ra : x1yx1yx1fyf2 ,

2

3y0

Theá vaøo phöông trình (2) 31x6x25x42

Phöông trình (3) daïng edxcxbax2 , coù raát nhieàu höôùng giaûi.

Sau ñaây, toâi xin ñöôïc trình baøy caùch giaûi baèng lieân hôïp, luõy thöøa, ñaët aån phuï, ñöa veà daïng A2 = B

2.

Höôùng 1 : Söû duïng chöùc naêng TABLE cuûa Casio, tìm ñöôïc nhaân töû x2 – 4x + 1

Do 32x

01x4x

2

3x

x235x405x43x2

2

vaø theá vaøo (3) khoâng thoûa neân

xeùt 01x4x05x43x22 , ta coù : 05x43x21x4x23

2

x215x40

5x43x2

210

5x43x2

1x4x21x4x

2

2

19



4

2y

21x

21x

2

1x

Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, taäp nghieäm cuûa heä laø S = (x ; y) = 4

2;21

Höôùng 2 : Luõy thöøa leân sau khi bieát nhaân töû laø x2 – 4x + 1

01x2x

01x4x

01x6x2

01x2x.1x4x

01x6x2

01x2x8x6x

01x6x2

3

2

2

2

22

2

234

2

4

2y21x

Höôùng 3 : Ñaët 0yx2yx

y1x3x

x1y3y

3y21x6x2

5x49y12y4

5x43y222

2

2

2

2

(x – y)(x + y – 2) = 0 x = y hoaëc y = 2 – x

Vôùi y = x, suy ra : 3x25x4 : voâ nghieäm

2

3;0x .

Vôùi y = 2 – x, suy ra :

42 2y

21x

01x2x

2

1x

x215x4

Höôùng 4 : Nhaân hai veá cuûa phöông trình (3) cho 2, ta ñöôïc : 2x12x45x4232

4

22

2y

21x

x215x4

3x25x4

2x215x4

2x215x4

2x215x4

BAØI 31 : (ÑEÀ TT 2015 THPT LTT BAÉC NINH)

Ñieàu kieän :

2

1x

1x2f1yf1x211x241y1y413

Xeùt haøm soá f(t) = 4t3 + t coù f’(t) = 12t

2 + 1 > 0 neân f(t) ñoàng bieán treân R.

Suy ra :

2y2yx2

1y

1x21y1x2f1yf2

1y

2

1x

0y1x

06y5y.1y.y22

Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, taäp nghieäm caàn tìm laø S = (x ; y) = 1

1;0 ; ; 12

.

BAØI 32 : (ÑEÀ TT 2015 THPT TRIEÄU SÔN 4 THANH HOÙA)


x1fyfx1x12yy21

33

Xeùt haøm soá f(t) = 2t3 + t coù f’(t) = 6t

2 + 1 > 0, t, neân f(t) ñoàng bieán treân R.

Suy ra : x1y0x1yx1fyf2

Theá vaøo (2) ñöôïc : x2

x1x23

x2x2x1x232

1

x1x23

1

, (do x 1) 1x1x23 x = 1 y = 0

Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, taäp nghieäm caàn tìm laø S = (x ; y) = {(1 ; 0)}.

BAØI 33 : (ÑEÀ TT 2015 THPT AMSTERDAM – HAØ NOÄI)

20



Taäp xaùc ñònh : D = R

y2fxf4y2y24xx122

Xeùt 2

t4ttf coù 0

t1

tt

t1

tt4t'f

22

2

f(t) ñoàng bieán treân R vaø coù f(x) = f(2y) x = 2y

3 33 3333 32

1xg1xg1x1x1x21x1x22x5x32 vôùi g(t) = t3 + 2t

coù g’(t) = 3t2 + 2 > 0 g(t) taêng treân R vaø coù 0x3x31x1x1xg1xg

23 33 3

(x ; y) = {(1 ; 2) ; (0 ; 0)} (thoûa maõn ñieàu kieän)

BAØI 34 : (ÑEÀ TT 2015 THPT LYÙ THAÙI TOÅ BAÉC NINH)

Ñieàu kieän :

2

1x

Laáy (1) – 2.(2) 1x221x21y.21y1x2.1x23y5y3y

3323

1x2f1yf

Xeùt haøm soá f(t) = t3 + 2 treân R coù f’(t) = 3t

2 + 2 > 0, t R neân f(t) ñoàng bieán treân R.

Suy ra : 1y01x21y1x2f1yf

0

1x221x

5x6x5x6x201x221x5x6x22

2

22

2y5x

0y1x

0

1x221x

125x6x

2

Do : 0

1x221x

12

,

2

1x

Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, taäp nghieäm heä caàn tìm laø S = (x ; y) = {(1 ; 0) ; (5 ; 2)}.

BAØI 35 : (ÑEÀ TT 2014 SÔÛ GD & ÑT TÆNH VÓNH PHUÙC)

Ñieàu kieän : x > 1 ; y < 2

(1) (x – 1)2 + 3(x – 1) = (2 – y)

2 + 3(2 – y) f(x – 1) = f(2 – y)

Xeùt haøm soá f(t) = t2 + 3t treân (0 ; ) coù f’(t) = 2t + 3 > 0, t > 0

f(t) ñoàng bieán treân (0 ; ) vaø coù f(x – 1) = f(2 – y) x = 3 – y

5x2y

2x1y

02yy

y2

y2

y2

y2

2

2

(thoûa ñieàu kieän)

Documents

1 ÑEÀ THI THÖÛ THPT QG VEÀ PT-BPT-HEÄ PT ÑAÏI SOÁdoanngocdung.com/wp-content/uploads/2016/06/WEB-Bai-giai-DE-T… · 1