1. EQUACIONS SIGNIFICAT I UTILITATDos equacions són equivalents quan tenen les mateixes incògnites i les mateixes solucions. Exemple: L’equació 3x+1=9!x és una equació de primer

Bloc II. Àlgebra. Tema 8: Equacions TEORIA

–1–

IES L’ASSUMPCIÓ http://w w w.ieslaasuncion.org

MATEMÀTIQUES 2n ESO

1. EQUACIONS: SIGNIFICAT I UTILITAT

Una equació expressa, per mitjà d’una igualtat algebraica, una relació o condició entre quantitats, el valor de la qual, de moment, no coneixem.

Les quantitats desconegudes s'anomenen incògnites i es representa amb la lletra "x" (o qualsevol altra lletra).

Resoldre una equació és trobar el valor, o els valors, que han de prendre les lletres (incògnites) perquè la igualtat siga certa.

Exemple 1: La meitat d’un nomber és igual a la seua quinta part més sis unitats. Quin és el nombre?

x="nombre demanat" Equació: 652+=xx

Solució: 20=x

Exemple 2: L’edat de Teresa coincidix amb la quinta part de la que tindrà d’ací a 28 anys. Quina edat té actualment Teresa?

x="Edat actual de Teresa" Equació: 5

28+=x

x Solució: 7=x anys

Exemple 3: Una habitació rectangular és tres metres més llarga que ampla i la seua superfície és de 28 m2. Quant mesura d’ampla? x="metres d’ample" Equació: 28)3( =+! xx Solució: 4 m

2. EQUACIONS: ELEMENTS I NOMENCLATURA.

Membres d’una equació: Són cadascuna de les expressions que apareixen a un costat i a l’altre del signe d’igualtat.

Termes: Són els sumands que formen els membres.

Incògnites: Són les lletres que apareixen en l’equació.

Solucions: Són els valors que han de prendre les lletres perquè la igualtat siga certa.

Grau d’una equació: És el major dels graus dels monomis que formen els membres, una vegada reduïda l’equació.

PRIMER MEMBRE SEGON MEMBRE

TERMES


–2–



Equacions equivalents: Dos equacions són equivalents quan tenen les mateixes incògnites i les mateixes solucions.

Exemple: L’equació xx !=+ 913 és una equació de primer grau amb una incògnita.

Equacions equivalents a xx !=+ 913 són: 84 =x i també 2=x (veure imatge).

La solució de l’equació xx !=+ 913 és 2=x

ERV 1 i 2

3. TRANSPOSICIÓ DE TERMES

La transposició de termes és una tècnica bàsica que permet transformar les equacions en altres equivalents més senzilles, portant els termes d’un membre a un altre de la igualtat.

La transposició de termes es basa en el principi següent:

Al sumar, restar, multiplicar o dividir el mateix número en els dos membres d’una equació, s’obté una altra equació equivalent.

Primer cas: abxbax !="=+

El que està sumant en un membre passa restant a l’altre membre: Exemple: 3443 !="=+ xx

Segon cas: abxbax +=!="

El que està restant en un membre passa sumant a l’altre membre: Exemple: 2552 +=!=" xx

Tercer cas: a

bxbxa =!="

El que està multiplicant en un membre passa dividint a l’altre membre:

Exemple: 2

662 =!= xx

Quart cas: abxba

x!="=

El que està dividint en un membre passa multiplicant a l’altre membre:

Exemple: 3443

!="= xx


–3–



4. RESOLUCIÓ D’EQUACIONS SENZILLES

El mètode per a resoldre una equació consistix a anar transformant-la, per mitjà de successius passos, en altres equivalents més senzilles fins a aïllar la incògnita.

Per a transformar una equació en una altra equivalent més senzilla, utilitzarem dos recursos:

• Reduir els seus membres.

• Trasposar els termes.

Exemple 1:

Exemple 2:

Exemple 3:

Exemple 4:

Exemple 5:

ERV 3 i 4


–4–



5. EQUACIONS AMB DENOMINADORS

Quan en els termes d’una equació apareixen denominadors, la transformarem en una altra equivalent que no els tinga. Per a això, multiplicarem els dos membres de l’equació per un número que siga múltiple de tots els denominadors.

El múltiple més adequat és el més xicotet; és a dir, el mínim comú múltiple dels denominadors.

Exemple:

Una estratègia semblant:

6. PROCEDIMENT GENERAL PER A LA RESOLUCIÓ D’EQUACIONS DE PRIMER GRAU

Per a resoldre equacions de primer grau, convé organitzar el treball segons les fases que s’exposen en l’exemple següent:

Exemple:

ERV 5 al 12

- Primera fase:

Llevar parèntesi

- Segona fase: Llevar denominadors. (multiplicarem ambdós membres per 8).

- Tercera fase: Aïlar la incògnita, reduïnt i trasposant termes.


–5–



7. EQUACIONS DE SEGON GRAU

Tota equació és de segon grau amb una incògnita si, després de reduir-la, es pot expressar de la manera següent (forma general):

!

ax2

+ bx + c = 0, on 0!a , b i c són coneguts encara que poden ser zero.

Una equació de segon grau pot tindre dos solucions, una o cap.

Si en l’equació de segon grau 02

=++ cbxax és 0!b i 0!c es diu que l’equació de segon grau és completa i per a resoldre-la s’utilitza una fórmula que es demostrarà en cursos superiors. Les solucions són:

a

cabbx

!

!!"+"=

2

42

i a

cabbx

!

!!"""=

2

42

o abreviadament a

cabbx

!

!!"±"=

2

42

Exemples:

S’anomena discriminant al radicand de la fórmula i es denota cab !!"=# 42 .

Observa que si el discriminant és major que zero, l’equació de segon grau té dos solucions; si és igual a zero, té una sola solució i si és menor que zero, no té solució.

Una equació de segon grau es diu que és incompleta quan 0=b o 0=c i es resol així:

Primer cas:

bxbx ±=!=2

Si b és un número positiu, hi ha dos solucions oposades; si b és negatiu, no hi ha solució

Exemples del primer cas:

No té solució perquè l’arrel quadrada de -25 no existeix

L’equació no té solució perquè l’arrel quadrada de -4 no existeix


–6–



Segon cas:

a

bx

a

bxbxa

!±="

!="=+#

220

Si el radicand és positiu, hi ha dos solucions; si és negatiu, l’equació no té solució.

Exemples del segon cas:

Tercer cas:

!

ax2

+ bx = 0 " x # (ax + b) = 0

"

x = 0

ax + b = 0" x =$b

a

%

& '

( '

Recorda que si un producte és igual a zero, necessàriament un dels factors ha de ser zero.

Exemples del tercer cas:

ERV 13 al 16

8. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB EQUACIONS

En la informació que aporta l’enunciat d’un problema, trobem elements coneguts (dades) i elements desconeguts (incògnites).

Si aconseguim codificar algebraicament tots eixos elements, i relacionar-los per mitjà d’una igualtat, haurem construït una equació.

Resolent l’equació i interpretant les solucions en el context de l’enunciat, haurem resolt el problema.

No hi ha solució


7



Bloc II. Àlgebra. Tema 8: Equacions. EXERCICIS Exercicis resolts en video www.josejaime.com/videosdematematicas

–8–

IES L’ASSUMPCIÒ http://www.ieslaasuncion.org MATEMÀTIQUES 2n ESO

EXERCICIS

Definició d’equació. Equacions semblants.

1. (1r ESO) Què és una equació? Què és resoldre una equació?. Proposa distints tipus d’equacions. Donades les següents equacions, comprova quin dels valors donats és l’arrel o solució i digues quins són de primer grau amb una incògnita: a) 82 =

x , 1=x , 3=x b) –2x + 7 = 5, x= 1, x = – 5 c) xxxx =++! 32

23 , 1,1 !== xx d) 122 !=! xx , 2,3 == xx e) 2x + 3 = 15, x = 4, x = 6 f) 3x+y=3, (x,y)=(–1, 6) , (x,y)=(0, 6)

2. (1r ESO) Quan dos equacions són equivalents?. De les següents equacions, quins són equivalents? a) 1772 =+x b) 194 =+! x c) 513 =!x d) 05 =+! x

Resolució d’equacions senzilles.

3. (1r ESO) Explica la regla de la suma, de la resta, del producte i de la divisió que ens permet traslladar termes d’una equació. Resol les següents equacions i comprova que la solució obtinguda verifica l’equació:

a) 62 =+x b) 62 =!x c) 62 =x d) 62=x

e) xx +=! 643 f) 6)32(2 =!x g) 53

32=

!x h) 4

5

3

12 +!=

! xx

i) xx +=! 6)32(2 j) xxx 6)2(6)10(4 !!!=! k) 6)2(3)1(2 +=!!+ xxx

4. Resol les següents equacions i comprova que la solució obtinguda verifica l’equació: a) )34(2516)32(43 +!=!!! xxxx b) )1(215)2(8)42(3 !+!!!=! xxxx c) 13)56(2)12(7 !!=+! xxx d) xxx 8]25)32([2 =!!! e) ]3)2(5[323 !++=+! xxx f) )12)(12(2)32( 2

+!=+! xxx

Equacions amb denominadors

5. (1r ESO) Resol les següents equacions i comprova que la solució obtinguda verifica l’equació:

a) 9

5

36

5

4

1 +=

!!

! xxx b) 6

7

14

45

3

42

7

13 xxxx+

!!=

!!

+

c) 43

742

5

32!=

+!+

! xx

x d) 16

1

2

3!=

+!

+ xx


a) 4

5

4

52

2

1 xx=

!! b)

4

5

4

52

2

1 xx=

!"


a) 3

2

5

7 !=

! xx b)2

3

7

5

!=

! xx

c) 19)42(4

3+=+ xx d)

2

5

3

4

!=

! xx


a) ( )238

3

4

1

4

33

16

32

8

16 !!"

#

$%&

'!="

#

$%&

' !!

+xx

xx b) ( ) xxxx

x 32

35

3

2

2

3122 +

!!="

#

$%&

' !!+!!


–9–



a) xx

x =+!!"

#$$%

&!"

#$%

& ''' 1

3

21

3

2 b) 12

2

32

2

1!=""

#

$%%&

'"#

$%&

' !+!! xxx

x

10. (1r ESO) Resol les equacions següents:

a) 5

1

4

48

4

3

2

15

4

38=!

"

#$%

& +'''

' yy b) ( )zz

z3

2

1

3

252

3

4!=!"

#

$%&

' !

11. (1r ESO) Escriu una equació amb tres termes en cada membre que tinga com a solució 1!=x

12. Resol les equacions següents:

a) 3

)1(2

2

12

2

5 +!

!=!

! xxx b) 5

32)1(

5

22

+!=++x

xx

c) )1(12

5

4

)1(3)31(

3

2x

xx !=

!+! d) !

"

#$%

&'=+!

"

#$%

&+

'

3

2

4

31

3

1

5

3xx

x

e) 03

1

5

6

5

110 =+!

"

#$%

& '(' xx f) ( )( )211

4

4

24 +!="

#

$%&

'!(

)

*+,

- !! xxxx

x

Equacions de segon grau

13. Resol les següents equacions de segon grau incompletes: a) 100

2=x b) 20

2=x c) 455

2!=x d) 06

2=x e) 312

2=x f) 03

2=! xx

g) xx =2 h) 063

2=+ xx i) 0)5( =+xx j) 0)25(3 =!xx k) xxx 25

22!= l) ( ) 11

2=!x

14. Resol les següents equacions de segon grau: a) 02110

2=+! xx b) 0409

2=++ xx c) 041615

2=+! xx d) 02510

2=+! xx

e) 562

+= xx f) 01692

=++ xx g) xx 7162

!!= h) 012

=!! xx


a) 4)5(2)1)(1( ++=!+ xxx b) )3)(2()68()3(2 !+=+!+ xxxxx c) 06

1

12

52=!+

xx

d) 03

10

3

42

2=!!

xx e)

10

13

25

222

+=

+!

+ xxxx f) 12)1( =+xx


a) !"

#$%

&'=' 1

45

1

4

12 xx b) !

"

#$%

&+=!

"

#$%

&+

5

2

330

1

2x

xx

x c) !"

#$%

&''=!

"

#$%

&'

2

12

15

1

220

1

3

2

xx

xx

d) 13

52

2

22

!!

=!x

xx e) ( ) 51

22 =++ xx f) 55)3)(3( =!+ xx

Resolució de problemes amb equacions de primer grau

17. (1r ESO) Resol mentalment per tanteig els problemes següents: a) Oscar té 2 € més que la seua germana Sonia. Si entre els dos tenen 16 €, quants diners té cada un? b) Si Alba té 3 € més que el seu cosí Carlos i entre els dos tenen 13 €, quants diners té cada un? c) Marta té el doble de diners que el seu germà Luis i entre els dos tenen 15 €. Quants diners té cada un? d) Julia té el triple de diners que la seua cosina María. Si entre les dos tenen 16 €, quants diners té cada una?

18. (1r ESO) Calcula dos nombres enters consecutius la suma del qual siga 27. 19. (1r ESO) Calcula un número sabent que el dit número més la seua mitat és igual a 39.


–10–


20. (1r ESO) Susana té el doble de diners que el seu cosí Tomás. Si entre els dos tenen 70,2 €, quants diners té cadascun?

21. (1r ESO) En un triangle isòsceles cada un dels costats iguals mesura 6 m més que el desigual. Si el perímetre mesura 36 m, quant mesura cada costat?

22. (1r ESO) Calcula les dimensions d’un camp de futbol, sabent que el llarg és el doble de l’ample i que el perímetre mesura 294 m.

23. (1r ESO) Calcula un número sabent que el dit número més la seua mitat, més la seua tercera part és igual a 22.

24. (1r ESO) Silvia gasta la mitat de la seua paga en el cine i una sisena en llepolies. Si encara li queden 4 €, quant li han donat de paga?

25. (1r ESO) En un jardí, entre salzes, palmeres i pins hi ha 91 arbres. Si el nombre de palmeres és el doble que el de salzes i el de pins el doble que el de palmeres, quants arbres hi ha de cada classe?

26. (1r ESO) Calcula tres nombres enters consecutius sabent que la seua suma és 45. 27. (1r ESO) Cada costat d’un triangle mesura 5 m més que l’anterior. Si el perímetre mesura 37,5 m, quant

mesura cadascun dels costats? 28. (1r ESO) El perímetre d’un rectangle mesura 26 m. El costat major mesura 3 m més que el menor. Quant

mesura cada costat? 29. (1r ESO) El triple d’un número menys 7 és igual a 38. Quin és el número?

30. (1r ESO) Troba dos números sabent que un d'ells és 5 vegades major que l’altre i que entre els dos sumen 42. 31. (1r ESO) Troba un número sabent que la mitat del dit número més la seua tercera part, més la seua quarta part

és igual a 26. 32. (1r ESO) Troba un número sabent que el quàdruple del dit número més la seua quarta part és igual a 34.

33. (1r ESO) Vaig comprar una camisa i una jaqueta per 72 €. La jaqueta va costar 12 € més que la camisa. Quant va costar cada peça?

34. (1r ESO) Repartix 800 € entre María i Juan, de manera que María reba 200 € més que Juan. 35. (1r ESO) Un número més el doble del dit número, més la mitat del mateix número sumen 112. Calcula el

número. 36. (1r ESO) Els costats d’un romboide es diferencien en 7,5 m. Si el perímetre mesura 115 m, quant mesura cada

costat? 37. (1r ESO) Un nombre enter més el doble del següent és igual a 71. Calcula el número.

38. (1r ESO) En un centre escolar hi ha 17 xiques més que xics, i en total hi ha 1087 alumnes. Quants alumnes són xics i quants són xiques?

39. (1r ESO) Antonio, Santiago i Paloma són guàrdies de seguretat que han cobrat 1057 € per fer un treball. Santiago ha treballat la mitat de dies que Antonio, i Paloma el doble de dies que Antonio. Quant ha cobrat cada un?

40. (1r ESO) En un corral, entre conills i gallines, hi ha 55 caps i 160 potes. Quants conills i gallines hi ha en el corral?

41. (1r ESO) Calcula tres números parells consecutius la suma del qual siga 42.

42. (1r ESO) Els tres angles d’un triangle són nombres enters consecutius. Quant mesura cada un? 43. (1r ESO) Un autobús transporta 10 vegades més persones que un cotxe. Si entre els dos porten 55 persones,

quantes persones porta cadascun?


–11–


44. (1r ESO) Vaig comprar un pantaló, unes sabates i una corbata per 72 €. Les sabates van costar el doble que la corbata, i el pantaló igual que les sabates més la corbata. Quant va costar cada cosa?

45. (1r ESO) Repartix 574 € entre Óscar, Sonia i Alba, de manera que Sonia reba el doble que Oscar i Alba el doble que Sonia.

46. (1r ESO) Un número més el triple del dit número menys la tercera part del mateix número fan 33. Calcula el dit número.

47. (1r ESO) En un aparcament, entre cotxes i motos, hi ha 65 vehicles i 190 rodes sense comptar les de recanvi. Quants cotxes i motos hi ha?

48. (1r ESO) Pablo va llegir en un dia la quarta part de les pàgines d’un llibre, i l’endemà, una tercera part. Si encara li queden per llegir 75 pàgines, quantes pàgines té el llibre?

49. (1r ESO) Álvaro escala una muntanya en 4 dies. El primer dia ascendix un terç del total, el segon un altre terç, el tercer ascendix la mitat del que li queda, i el quart puja 300 m. Quina altura té la muntanya?

50. (1r ESO) Verónica té hui 10 € més que José. Son pare els dóna l’endemà 5 € a cada un i resulta que Verónica té el doble de diners que José. Quants diners té hui cadascun?

51. (1r ESO) Pilar té 23 anys més que el seu fill Juan. D’ací a 7 anys l’edat de Pilar serà el doble que la del fill. Quants anys té actualment cada un?

52. (1r ESO) La suma del perímetre d’un quadrat i un triangle equilàter és 56 cm. Sabent que el costat del triangle i el del quadrat són iguals, quant mesura el costat?

53. (1r ESO) Roberto té el triple d’anys que el seu fill Julio; David, el fill xicotet, té la mitat d’anys que Julio, i entre els tres sumen 63 anys. Quina edat té cada un?

54. (1r ESO) Amb els diners que tinc més la mitat del que tinc, més la mitat de la mitat del que tinc, més un euro, tindria 64 €. De quants diners dispose?

55. (1r ESO) Cristina va comprar bulbs de nards. Al créixer, es van partir en dos i va obtindre el doble de bulbs. La tardor següent va tornar a plantar-los, i de nou tots els bulbs es van partir en dos. Quants bulbs va comprar, si eixa tardor va tindre en el seu jardí 100 nards?

56. (1r ESO) Un quilo de cireres costa dos euros més que un de peres. Amèlia ha pagat 8 € per tres quilos de peres i un de cireres. A com estan les unes i les altres?

57. (1r ESO) Un retolador costa mig euro més que un bolígraf. Tres bolígrafs i dos retoladors m’han costat 5 € Quant costa un bolígraf? I un retolador?

58. (1r ESO) La base d’un rectangle és doble que l’altura i el perímetre mesura 48 cm. Quines són les dimensions del rectangle?

59. (1r ESO) El preu de les taronges ha pujat 0,20 € per quilo. Cinc quilos costaven ahir el mateix que hui quatre. A com estan hui les taronges?

60. (1r ESO) Si a un cànter li afegires 13 litres d’aigua tindria el triple que si li tragueres dos. Quants litres d’aigua hi ha en el cànter?

61. (1r ESO) Sabent que un iogurt de fruites és 5 cèntims més car que un natural, i que sis de fruites i quatre naturals m’han costat 4,80 €, quant costa un iogurt natural? I un de fruites?

62. (1r ESO) Roberta té un any menys que la seua germana Marta, i ja tenia cinc quan va nàixer Antonio, el més xicotet. Quina és l’edat de cada ú, sabent que entre els tres, ara, sumen 35 anys?

63. (1r ESO) En una ferreteria es venen claus en caixes de tres grandàries diferents. La caixa gran conté el doble d’unitats que la mitjana, i esta, el doble que la xicoteta. Si compres una caixa de cada grandària, t’emportes 500 unitats. Quants claus té cada caixa?


–12–


64. (1r ESO) Un quilo de xirimoies costa el doble que un de taronges. Per tres quilos de xirimoies i quatre de taronges s’han pagat 11 €. A com estan les unes i les altres?

65. (1r ESO) Una bossa de quilo de fesols costa el mateix que tres bosses de quilo de llentilles. Per dos bosses, una de cada producte, he pagat 6 €. Quant costava cada bossa?

66. (1r ESO) En una cafeteria, entre cadires (de 4 potes) i tamborets (de 3 potes) hem comptat 44 seients amb 164 potes. Quantes cadires i quants tamborets hi ha?

67. (1r ESO) Irene ha tret de la vidriola 14 monedes, unes de 20 cèntims i altres de 10 cèntims. Entre totes valen dos euros. Quantes ha tret de cada classe?

68. (1r ESO) En un concurs de 50 preguntes, donen tres punts per cada encert i lleven dos per cada errada. Quantes preguntes ha encertat un concursant que ha obtingut 85 punts?

69. (1r ESO) Pedro té 8 anys més que la seua germana Rosa. D’ací a 5 anys, l’edat de Pedro serà doble que la de Rosa. Quants anys té hui cadascun?

70. (1r ESO) Mónica té 12 € més que Javier i esperen que demà els donen 5 € de paga a cada u. En eixe cas, Mónica tindrà demà el doble que Javier. Quant té hui cadascun?

71. (1r ESO) Victòria té 50 segells més que Aurora, i si li donara 8 segells, encara tindria el triple. Quants segells té cada una?

72. Tres agricultors reben una indemnització de 100 000 € per l’expropiació de terrenys per a la construcció d’una autopista. Com han de repartir-se els diners, sabent que el primer ha perdut el doble de terreny que el segon, i este, el triple de terreny que el tercer?

73. En la caixa d’un supermercat hi ha 1 140 euros repartits en bitllets de 5, 10, 20 i 50 euros. Sabent que: - Hi ha el doble de bitllets de 5 € que de 10 €. - De 10 € hi ha la mateixa quantitat que de 20 €. - De 20 € hi ha sis bitllets més que de 50 €. Quants bitllets de cada classe té la caixa?

74. Un hortolà sembra la mitat de la seua horta de pimentons; la tercera part, de tomaques, i la resta, que són 200 m2, de creïlles. Quina superfície té l’horta?

75. Joaquín té 14 anys; la seua germana, 16, i sa mare, 42. Quants anys han de transcórrer perquè entre ambdós fills igualen l’edat de la mare?

76. Un pare té 38 anys, i el seu fill, 11. Quants anys han de transcórrer perquè el pare tinga només el doble d’edat que el fill?

77. L’edat de la senyora Adela és sis vegades la del seu nét Fernando, però d’ací a 8 anys només serà el quàdruple. Quina edat té cada un?

78. Un ciclista puja un port a 15 km/h i, després, descendix pel mateix camí a 35 km/h. Si el passeig ha durat 30 minuts, quant temps hi ha invertit en la pujada?

79. S’han pagat 66 € per una peça que estava rebaixada un 12%. Quin era el preu sense rebaixa? 80. Laura ha comprat una falda i una brusa per 66 €. Ambdós tenien el mateix preu, però en la falda li han fet un

20% de rebaixa, i en la brusa, només un 15%. Quant costava cada peça? 81. Per a delimitar en una platja una zona rectangular, el doble de llarga que d’ampla, s’han necessitat 84 m de

cinta. Quines són les dimensions del sector delimitat? 82. D’un nombre de dos xifres sabem que:

a) És múltiple de 5 però no de 10. b) Si s’invertix l’orde de les seues xifres, disminuïx en 27 unitats. De quin número es tracta?


–13–


83. Per tres quilos de peres i dos de pomes, Ramón ha pagat 7,80 €. Esbrina el preu d’unes i altres, sabent que un quilo de peres costa vegada i mitja el que un quilo de pomes.

84. En un triangle isòsceles, l’angle desigual mesura la quarta part del valor dels angles iguals. Calcula el valor dels tres angles.

Problemes de mescles

85. Es tenen 20 kg de cacau del tipus A a un preu de 3 € el quilo, i 30 kg de cacau del tipus B a un preu de 5 € el quilo. Si es mesclen, quin preu tindrà el quilo de mescla?

86. Un fabricant de formatge ha mesclat una certa quantitat de llet de vaca, a 0,5 €/L, amb una altra quantitat de llet d’ovella, a 0,80 €/L, obtenint 300 litres de mescla a un preu mitjà de 0,70 €/L. Quants litres de cada tipus de llet va emprar?

87. Es tenen 300 grams d’un aliatge de plata del tipus A amb una llei 0,7 i 100 grams d’un altre aliatge de plata del tipus B amb una llei 0,9. Si es fonen els dos aliatges, quina és la llei del nou aliatge?

Problemes de mòbils en sentit contrari o en el mateix sentit

88. Des de la ciutat A ix un cotxe cap a B amb una velocitat de 90 km/h. En el mateix instant ix de B cap a A una moto a 70 km/h. Si la distància entre les dos ciutats és de 240 km. a) Quants quilòmetres ha recorregut cada un? b) Quant temps tardaran a trobar-se el cotxe i la moto?

89. Dos ciclistes partixen simultàniament; u, de A cap a B, a la velocitat de 24 km/h, i l’altre, de B cap a A, a 16 km/h. Si la distància entre A i B és de 30 km. a) Quants quilòmetres ha recorregut cada un fins trobar-se? b) Quant tardaran a trobar-se?

90. Des de la ciutat A ix un cotxe cap a C amb una velocitat de 90 km/h. En la mateixa carretera i en el mateix instant ix de B, que està a 20 km de A, una moto cap a C, amb una velocitat de 80 km/h. a) Quants quilòmetres ha recorregut cada un? b) Quant temps tardarà a aconseguir el cotxe a la moto?

91. Un ciclista ix d’una certa població, per carretera, a la velocitat de 22 km/h. Hora i mitja després, ix en la seua busca un motorista a 55 km/h. Quant tardarà a donar-li abast?

Problemes d’aixetes

92. Una aixeta A plena un depòsit d’aigua en 2 h, i una altra aixeta B, en 3 h. Quant temps tardaran les dos aixetes a omplir al mateix temps el depòsit?

93. Una aixeta A plena un depòsit d’aigua en 4 h, i una altra aixeta B, en 6 h. El depòsit té un desaigüe que ho buida en 12 h estant les aixetes tancats. Quant temps tardaran les dos aixetes a omplir al mateix temps el depòsit estant el desaigüe obert?

94. Un depòsit disposa de dos aixetes, A i B. Obrint només A, el depòsit s’ompli en 3 hores. Obrint ambdós, s’ompli en 2 hores. Quant tardarà a omplir-se el depòsit si s’obri només B?

Problemes de repartiments proporcionals

95. La mare de Belén, Rosa i Antonio ha decidit repartir 450 € en parts directament proporcionals al nombre d’hores que els seus tres fills li han ajudat. Belén li ha ajudat durant 3 h; Rosa, durant 5 h, i Antonio, durant 7 h. Quina quantitat de diners li correspon a cada un?


–14–


Resolució de problemes amb equacions de segon grau

96. Si el doble d’un número es multiplica per eixe mateix número disminuït en 5 unitats, dóna 12. Quin número és?

97. El triple del quadrat d’un nombre natural és el doble del número més 645. Calcula el dit número. 98. Troba dos nombres enters la diferència del qual siga 7 i la suma dels seus quadrats siga 569.

99. Calcular les dimensions d’un rectangle sabent que és 7 cm més llarg que ample i que la seua àrea és de 120 cm2.

100. Les mesures, en centímetres, dels tres costats d’un triangle rectangle són tres nombres naturals consecutius. Calcula el perímetre del triangle.

101. En una cartolina rectangular de 0,1 m2 de superfície, retallem dos quadrats, de manera que un té 2 cm de costat més que l’altre. Si sobren 116 cm2 de cartolina, calcula la longitud dels costats dels quadrats retallats.

102. El perímetre d’un rectangle mesura 100 m, i l’àrea, 600 m2. Calcula les seues dimensions.

103. Troba el costat d’un quadrat sabent que si s’augmenten en 5 cm dos dels seus costats paral·lels, s’obté un rectangle de 24 cm2

104. Troba el costat d’un quadrat sabent que si augmenta en 1 cm el seu costat, la seua àrea augmenta en 5 cm2

Bloc II. Àlgebra. Tema 8: Equacions. SOLUCIONS Exercicis resolts en vídeo www.josejaime.com/videosdematematicas

–15–


SOLUCIONS:

1. Ver vídeo) 2. (Ver vídeo) 3. 4; b) 8; c) 3; d) 12; e) 5; f) 3; g) 9; h) 19/11; i) 4; j)

7; k) 1 (Veure vídeo) 4. 1; b) 1; c) –2; d) 1; e) –1; f) 1 (Veure vídeo) 5. 6; b) 1/4; c) –1 d) –7 (Veure vídeo) 6. 1; b) –5/8 (Veure vídeo) 7. –11/2; b) –11/2; c) 32; d) 7 (Veure vídeo) 8. 5/3; b) –3/4 (Veure vídeo) 9. –1; b) 0 (Veure vídeo) 10. 159/25; b) –71/4 (Veure vídeo) 11. (Veure vídeo) 12. –1; b) 15; c) –3/5; d) –2; e) 2; f) –1 (Veure vídeo)

13. 10 i –10; b) 20 i 20! ; c) No té solucions; d) 0; e) 1/2 i –1/2; f) 0 i 3; g) 0 i 1; h) 0 i –2; i) 0 i –5; j) 0 i 2/5; k) 0 i –1/2 l) 0 i 2 (Veure vídeo)

14. 7 i 3; b) No té solucions; c) 2/5 i 2/3; d) 5; e) 1 i –

5/6; f) –1/3; g) –1 i –1/6; h) i

2

51! (Veure vídeo)

15. 5 i –3; b) –2 i 1; c) 1/4 i –2/3; d) 5/3 i –1; e) –3 i 1/3; f) –4 i 3 (Veure vídeo)

16. –1/5 i 1/4; b) 0 i 7/10; c) No té solució; d) –8 i 2; e) –2 i 1; f) –8 i 8 (Veure vídeo)

17. 7€ i 9€; b) 5€ i 8€; c) 5e i 10€; d) 4€ i 12€ (Veure vídeo)

18. 13 i 14 (Veure vídeo) 19. 26 (Veure vídeo) 20. Susana: 46,8 € i Tomás: 23,4 € (Veure vídeo) 21. Costat desigual: 8 m. Costats iguals 14 m (Veure

vídeo) 22. Ample: 49 m, Llarg: 98 m (Veure vídeo) 23. 12 (Veure vídeo) 24. 12 € (Veure vídeo) 25. 13 salzes, 26 palmeres i 52 pins (Veure vídeo). 26. 14, 15 i 16 (Veure vídeo) 27. Costat xicotet: 7,5 m; costat mitjà: 12,5 m; costat

major: 17,5 m (Veure vídeo) 28. Costat menor: 5 m; costat major: 8 m (Veure vídeo) 29. 15 (Veure vídeo) 30. 7 i 35 (Veure vídeo) 31. 24 (Veure vídeo) 32. 8 (Veure vídeo) 33. Camisa: 30 €; jaqueta: 42 € (Veure vídeo)

34. Juan rep 300 € i María 500 € (Veure vídeo) 35. 32 (Veure vídeo) 36. Costat menor: 25 m; costat major: 32,5 m (Veure

vídeo) 37. 23 (Veure vídeo) 38. 535 xics i 552 xiques (Veure vídeo) 39. Antonio: 302 €; Santiago: 151 €; Paloma: 604 €

(Veure vídeo) 40. 25 conills i 30 gallines. (Veure vídeo) 41. 12, 14 i 16 (Veure vídeo) 42. 59º, 60º i 61º (Veure vídeo) 43. El cotxe porta 5 persones i l’autobús 50 persones

(Veure vídeo) 44. Corbata: 12 €, sabates: 24 €, pantaló: 36 € (Veure

vídeo) 45. Oscar: 82 €; Sonia: 164 €; Alba: 328 € (Veure

vídeo) 46. 9 (Veure vídeo) 47. 30 cotxes i 35 motos (Veure vídeo) 48. 180 pàgines (Veure vídeo) 49. 1800 m (Veure vídeo) 50. José té hui 5 € i Verónica 15 € (Veure vídeo) 51. Juan té actualment 16 anys i sa mare Pilar 39 anys.

(Veure vídeo) 52. 8 cm (Veure vídeo) 53. David: 7 anys; Julio: 14 anys; el pare Roberto: 42

anys. (Veure vídeo) 54. 36 € (Veure vídeo) 55. Va comprar 25 bulbs. (Veure vídeo) 56. Peres: 1,50 €/Kg; Cireres: 3,50 €/Kg (Veure vídeo) 57. Bolígraf: 0,80 €/u; Retolador: 1,30 €/u (Veure

vídeo) 58. Base: 16 cm; altura: 8 cm (Veure vídeo) 59. 1 €/Kg (Veure vídeo) 60. 9,5 litres (Veure vídeo) 61. Iogurt natural: 0,45 €/u; iogurt fruites: 0,50 €/u

(Veure vídeo) 62. Roberta: 13 anys; Marta: 14 anys; Antonio: 8 anys

(Veure vídeo) 63. Caixa xicoteta: 72 claus; mitjana: 144 claus i caixa

gran: 288 claus. (Veure vídeo) 64. Taronges: 1,10 €/Kg; xirimoies: 2,20 €/Kg (Veure

vídeo) 65. Llentilles: 1,50 €/bossa; fesols: 4,50 €/bossa (Veure

vídeo) 66. 32 cadires i 12 tamborets. (Veure vídeo)

Bloc II. Àlgebra. Tema 8: Equacions. SOLUCIONS Exercicis resolts en vídeo www.josejaime.com/videosdematematicas

–16–


67. 6 monedes de 20 cèntims i 8 monedes de 10 cèntims (Veure vídeo)

68. Ha contestat correctament 37 preguntes. (Veure vídeo)

69. Rosa té actualment 3 anys i Pedro 11 anys. (Veure vídeo)

70. Mónica té hui 19 € i Javier 7 € (Veure vídeo) 71. Aurora té 9 segells i Victòria 59 segells. (Veure

vídeo) 72. El primer: 60000€, el segon 30000€ i el tercer

10000€ (Veure vídeo) 73. 32 de 5€, 16 de 10€, 16 de 20€ i 10 de 50€ (Veure

vídeo) 74. 1200 m2. (Veure vídeo) 75. 12 anys (Veure vídeo) 76. 16 anys (Veure vídeo) 77. Adela 72 anys i Fernando 12 anys. (Veure vídeo) 78. a) 21 minuts y 9 minuts. b) 5,25 Km. (Veure vídeo) 79. 75 € (Veure vídeo) 80. Costava 40 € cada peça (Veure vídeo) 81. 28 m de llarga i 14 m d’ampla (Veure vídeo) 82. El 85 (Veure vídeo) 83. Peres a 1,80 €/Kg i pomes a 1,20 €/Kg (Veure

vídeo) 84. 80º, 80º i 20º (Veure vídeo) 85. 4,20 €/Kg (Veure vídeo)

86. 100 L de llet a 0,5 €/L i 200 L de llet a 0,70 €/L (Veure vídeo)

87. Llei: 0,75 (Veure vídeo) 88. a) El cotxe 135 Km i la moto 105 Km.; b)1,5 hores;

(Veure vídeo) 89. a) Un 18 Km i l’altre 12 Km ; b) 45 minuts; (Veure

vídeo) 90. a) La moto recorre 160 Km i el cotxe 180 Km ; b)2

hores; (Veure vídeo) 91. 1 hora (Veure vídeo) 92. 1,2 hores = 1h 12 min (Veure vídeo) 93. 3 hores (Veure vídeo) 94. 6 hores (Veure vídeo) 95. Belen: 90 €; Rosa: 150 € i Antonio: 210 € (Veure

vídeo) 96. El 6 (Veure vídeo) 97. El 15 (Veure vídeo) 98. El 20 i 13 o el –20 i –13 (Veure vídeo) 99. Llarg 22 cm i ample 15 cm (Veure vídeo) 100. 3, 4 i 5 cm. Perímetre = 12 cm (Veure vídeo) 101. Un quadrat de 20 cm de costat i l’altre de 22 cm

(Veure vídeo) 102. Un costat 30 m i l’altre 20 m (Veure vídeo) 103. 3 cm (Veure vídeo) 104. 2 cm (Veure vídeo)

Documents

1. EQUACIONS SIGNIFICAT I UTILITATDos equacions són equivalents quan tenen les mateixes incògnites i les mateixes solucions. Exemple: L’equació 3x+1=9!x és una equació de primer