Àlgebra i Equacions de 1r Grau 2n ESO

Unitat 5: Àlgebra i equacions de primer grau

Activitats prèvies: problema inicial / analogia balances

1. Introducció a l'àlgebra

2. La unitat més senzilla en àlgebra: els monomis

a) Nomenclatura

b) Grau d'un monomi

c) Monomis semblants

3. Operacions amb monomis

a) Suma i resta

b) Producte

c) Quocient

d) La propietat distributiva

4. El valor numèric d'una expressió algebraica

Unitat 5: Àlgebra i equacions de primer grau

5. Les equacions

a) Igualtats, identitats i equacions

b) Equacions de 1r grau: elements i nomenclatura

6. Resolució d'equacions: primeres tècniques

a) Tipus x + a = b

b) Tipus x - a = b

c) Tipus a · x = b

d) Tipus x / a = b

7. Resolució d'equacions

a) Mètode general per a equacions senzilles

b) Equacions amb parèntesis

c) Equacions amb denominadors

d) Resum: mètode general

8. Problemes amb equacions

1. IntroduccióParts de les matemàtiques que coneixeu:

-Treball amb nombres, operacions,jerarquia, etc.

-Treball amb figures planes i cossos,al pla o a l'espai.

-Treball amb relacions de dependènciaentre nombres: funcions.

-Treball amb dades: recopilació,representació i interpretació.

-Treball amb nombres desconeguts,que substituïm per lletres: x, y, z, a, b,...

Àlgebra

Estadística i probabilitat

Anàlisi

Geometria

Aritmètica

2. La unitat més senzilla en àlgebra: els monomis

El grau és la suma de tots els exponents de la part literal.

a) Nomenclatura Monomi de grau 4(3+1=4)1

2b3 · h

Coeficient(el número)

Part literal(les lletres)

b) Grau d'un monomi

Si dos o més monomis tenen la mateixa part literal, direm que són

monomis semblants.

c) Monomis semblants

3x2−4x2 x2

3−53x 2

Un monomi és el producte indicat entre un valor conegut (el coeficient)

i un o més valors desconeguts, representats per lletres (la part literal).

Exercici 1 p86 Barcanova +ext


El producte d'un o més monomis és un monomi que té com a

coeficient el producte dels coeficients, i com a part literal el producte

de les parts literals.

a) Suma i resta:

b) Producte:

3x2+ 4x2

−9x2=−2x2

3a ·5b=(3 ·5)·(a ·b)=15ab

Dos monomis només es poden sumar si són semblants. En aquest

cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part

literal.

2a+ b−4a+ 2b=−2a+ 3b

Exercici 2 p86 i 10, 11 i 12 p94

5x2 ·2x3=(5 · 2)·( x2 · x3

)=10x5

Exercici 3 p87


c) Quocient:

2x2 :5x2=2x2

5x2 =25

Del quocient entre dos monomis se'n pot obtenir un nombre, un altre

monomi o una fracció algebraica. Posarem l'operació en forma de

fracció i simplificarem factors idèntics ("flas-flas").

Exercici 4 p87 i 13 p95

6a3b2 : 2ab2=6a3b2

2ab2 =2 ·3 · a · a · a · b · b

2 · a · b ·b=

3a2

1=3a2

8x2 y : 6y3=8x2 y

6y3 =2 ·2 ·2 · x · x · y2 ·3 · y · y · y

=4x2

3y2

(Nombre)

(Monomi)

(Fracció algebraica)


d) La propietat distributiva:

3x ·(5x3−2x)

Si tenim un factor multiplicant un parèntesi, podem aplicar la

propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes

de l'interior del parèntesi.

Exercici 5 full monomis 3r

3x ·(5x3−2x)=3x ·5x3

−3x ·2x

3x ·5x3−3x ·2x=15x4−6x2

4. Valor numèric d'una expressió algebraica

Exercici 2 p88 Barcanova+19 i 27

El valor numèric d'una expressió algebraica és el nombre o

resultat que s'obté en substituir les lletres per nombres determinats i

realitzar les operacions indicades.

Exemple: Trobar el valor numèric de la següent expressió

algebraica per a x = 5.

3x2+ x+ 10

3 ·52+ 5+ 10=3 · 25+ 5+ 10=75+ 5+ 10=90

3 ·52+ 5+ 10

si x = 5

5. Les equacions

Una igualtat és una expressió matemàtica que indica

l'equivalència entre dues entitats mitjançant el símbol "=".

1r membre

=

a) Igualtats, identitats i equacions

2n membre

Numèriques: Tots els termes són valors coneguts.

Poden ser

Algebraiques: Hi ha termes desconeguts (lletres).

4 + 5 = 3 · 3

x + 32 - y = 2 · a + 1

Identitats

Equacions

5. Les equacions

-Una identitat és una igualtat algebraica que es compleix

sempre, siguin quins siguin els valors que prenguin les lletres.

Les identitats tenen infinites solucions.

a + b = 42

22 + 20 = 42 -34 + 76 = 423 + 39 = 42

-Una equació és una igualtat algebraica que es compleix

només per a determinats valors de les lletres.

Les equacions tenen solucions concretes.

3 · x + 1 = 7

3 · 2 + 1 = 7

5. Les equacions

Les equacions de primer grau tenen una sola incògnita, que té

exponent 1, i una única solució.

1r membre

b) Equacions de 1r grau: elements i nomenclatura

2n membre

-Incògnita: És la lletra que apareix a l'equació, normalment "x".

-Grau: És l'exponent de la incògnita.

-Solució: És el valor numèric de la incògnita per la qual es compleix la igualtat.

5x - 7 = 2x + 2

Termes

3x+ 1=7 x2=25Incògnita: x Grau: 1

Solució: x=2Incògnita: x Grau: 2

Solucions: x=5 i x=-5


Resoldre una equació consisteix en anar-la transformant fins a

aïllar la incògnita "x", és a dir, a deixar-la sola en un dels dos

membres.

a) Tipus x + a = b

x + a = b ;

Un terme "a" positiu al primer membre, passa com a negatiu al

segon membre, i viceversa.

x = b - a

x + 5 = 9 ; x = 9 - 5 ; x = 4Exemple:

Comprovació: 4 + 5 = 9 ; 9 = 9 Ok.

Demostració: x + a = b ; x + a - a = b - a ; x = b - a


b) Tipus x - a = b

x - a = b ;

Un terme "a" negatiu al primer membre, passa com a positiu al

segon membre, i viceversa.

x = b + a

x - 3 = 5 ; x = 5 + 3 ; x = 8Exemple:

Exercici 1 p104 Barcanovac) Tipus a · x = b

a · x = b ;

Un terme "a" que multiplica TOT el primer membre, passa a

dividir tot el segon membre, i viceversa.

Exemple:

x=ba

3x = 15 ; x=153

; x = 5


d) Tipus x/a = b

Un terme "a" que divideix TOT el primer membre, passa a

multiplicar tot el segon membre, i viceversa.

Exemple:

x=b· a

x=3 ·4 ; x = 12

xa=b ;

x4=3 ;

Exercicis 3 p105 Barcanova


a) Mètode general per a equacions senzilles

1r -Quan tenim diversos termes en cada membre, primer

reduïrem (sumant o restant) els que siguin semblants.

2n -Transposarem els termes en x al primer membre, i els

termes independents (números), al segon membre.

3r -Tornarem a reduir per a obtenir una equació amb un dels

formats de l'apartat 6.

4t -Aïllarem definitivament la x.

5è -Comprovarem el resultat substituint-lo en l'equació primitiva.


Exemple: 5x−2x=7+ x+ 5 ;

3x=x+ 12 ;

3x−x=12 ;

2x=12 ;

x=122;

x=6

Transposem: les "x" a l'esquerra

Reduïm

Reduïm

Transposem per aïllar la x

Comprovació:

5 ·6−2 ·6=7+ 6+ 5 ;30−12=18 ;

18=18OkExercicis 4 p105, 1 i 2 p106 i fitxa


Exemple:

3 ·(x−1)−6x=5−(x+ 7) ;

3 · x−3 ·1−6x=5−x−7 ;

3x−6x+ x=5−7+ 3 ;

−2x=1 ; x=1

−2

Transposem: les "x" a l'esquerra

Apliquem p.distr.

Reduïm i aïllem

b) Equacions amb parèntesis: caldrà aplicar la propietat distributiva

3x−3−6x=5−x−7 ;

Exercici 61 p123


Per eliminar tots els denominadors d'una equació, multiplicarem els

dos membres pel mcm de tots ells.

x−45=

3x5

−12;

c) Equacions amb denominadors

Exemple:

El mcm de 5 i 2 és 10

10 ·( x−45 )=10 ·( 3x

5−

12 ) ;

10 ·( x−45 )=10 ·( 3x

5−

12 ) ;

Apliquem p.distr.

10 · x−10 ·45=10 ·

3x5

−10 ·12;

10x−2 · 4=2 ·3x−5 ·1 ;

Simplifiquem denominadors

10x−8=6x−5 ; 10x−6x=−5+ 8 ; 4x=3 ; x=34

Exercicis Barcanova p108 1 i 2


Primer pas: Identificar els elements del problema.

x+ 55=6x

a) PROBLEMA TIPUS 1: Quin és el nombre que augmentat en 55

és igual a 6 vegades el seu valor inicial?

Un nombre

Un nombre augmentat en 55

Sis vegades el nombre

x

x+55

6·x

Segon pas: Expressar l'equació.

Tercer pas: Resoldre l'equació.

x+ 55=6x ; x−6x=−55 ;−5x=−55 ; x=−55−5

=11

Quart pas: Fer la comprovació.

11 + 55 = 6 · 11 ; 66 = 66 Ok!

R) El nombre que estem buscant és l'11.

Exercicis Barcanova p110 1, 2, 3 i 4

Exercicis Fitxa problemes: 1,2,3,4,5,6 i 7


Primer pas:

3 · x+ 2 ·(x+ 0,5)=7,25

b) PROBLEMA TIPUS 2: Per tres quilos de pomes i dos quilos de

préssecs he pagat 7,25 euros. Un quilo de préssecs val 50 cèntims

més que un de pomes. Quin és el preu del quilo de cada fruita?

Preu del quilo de pomes

Preu del quilo de préssecs

x

x+0,5

Segon pas:

Tercer pas:

3x+ 2x+ 1=7,25 ;5x=6,25 ; x=6,25

5=1,25

Quart pas:

3 · 1,25 + 2 · (1,25 + 0,5) = 7,25 ;

3,75 + 2 · 1,75 = 7,25;

3,75 + 3,50 = 7,25 ; 7,25 = 7,25 Ok!

R) El quilo de pomes val 1,25 euros i el quilo de préssecs val

1,75 euros (1,25+0,50).

Exercicis Barcanova p111 5

Exercicis Fitxa problemes: 10, 11, 13, 14, 15, 16 i 17


Primer pas:

15+ x+ 12+ x=40+ x

c) PROBLEMA TIPUS 3: L'Aleix té 15 anys, la seva germana 12 i

la seva mare 40. Quants anys han de passar perquè entre tots

dos fills igualin l'edat de la mare?

Segon pas:

Tercer pas:

27+ 2x=40+ x ;2x−x=40−27 ; x=13

Actualment D'aquí a x anys

Aleix 15 15 + x

Germana 12 12 + x

Mare 40 40 + x

Els anys que han de passar serà "x"

Quart pas:

15 + 13 + 12 + 13 = 40 + 13 ;

53 = 53 Ok!

R) Han de passar 13 anys perquè entre tots dos fills igualin l'edat

de la mare.


Exercicis Fitxa problemes: 20, 21 i 22


Primer pas:

x+ 2x+ x+ 2x=78

d) PROBLEMA TIPUS 4: La base d'un rectangle és el doble que

l'altura, i el preímetre mesura 78cm. Calcula les dimensions del

rectangle.

Segon pas:

Tercer pas:

x+ 2x+ x+ 2x=78 ;6x=78 ; x=786

=13

Costat més curt

Costat més llarg

x

2x xx

2x

2x

Quart pas:

13 + 2 · 13 + 13 + 2 · 13 = 78 ;

13 + 26 + 13 + 26 = 78 ; 78 = 78 Ok!

R) La base del rectangle mesura 26 cm (2 · 13) i la seva altura

13 cm.


Exercicis Fitxa problemes: 18 i 19

Education

Àlgebra i Equacions de 1r Grau 2n ESO