Giriş• Mukavemet veya maddelerin mekaniği (strength of

materials, mechanics of materials) kuvvetlere maruzkalmış deforme olan cisimleri inceler.

• Şekil değiştirme ve gerilmelerin hesabı ile ilgilenir.

• Cisimlerin tasarımı ve cisimde oluşan şekil değiştirmelerihesaplamak için gerekli teorik alt yapıyı oluşturur.

• Malzemenin kuvvetler altındaki davranışını bilmek, omalzemeyi faydalı bir şekilde kullanabilmek için gereklidir.

– Malzemenin mekanik özellikleri, üretim aşamasındadeğiştirilebilir.

Giriş• Örneğin beton, seramik, çelik gibi cisimlerin mekanik özellikleri

malzemeyi oluşturan bileşenlerin oranlarına bağlı olarakdeğiştirilebilir.

• Bu ders kapsamında kuvvetler altında bu malzemeler nasıldavranır sorusuna cevap arayacağız.

Giriş

• Statikçe belirli problemlerde, yapısal elemanda gelişeniç kuvvetler aşağıdaki gibi hesaplanır:– Eleman iç kuvvetleri bulmak istediğimiz bir noktadan kesilir,

– Kesitin solundaki veya sağındaki kısmın serbest cisimdiyagramı çizilir,

– Denge denklemleri uygulanarak iç kuvvetler bulunur.

• Kesitteki kuvvetler iç reaksiyon kuvvetleridir ve aslında kesitboyunca dağılmış/yayılmış kuvvetlerin bileşkesini temsiletmektedir.

Giriş

• Statikçe belirsiz problemlerin iç kuvvetlerininbulunması için cismin şekil değiştirmesi de dikkatealınmak zorundadır.– Denge denklemleri problemin çözümü için yeterli

değildir.

Giriş

• Genel bir cisme etkiyen dış kuvvetler:

Yüzey kuvvetleri

Tekil kuvvetler

Doğrusal yayılı kuvvetler

Cisim kuvvetleri

Giriş• Genel bir cisimde oluşan iç kuvvetler (üç boyutlu):

Dikkat edilirse kesilen noktada, iç kuvvetler dağılmış/yayılıbir şekilde oluşur. Bu kuvvetler, üst parçanın alt parçayaetkittiği kuvvetlerdir ve bu yayılı kuvvetler GERİLME olarakda adlandırılır.

Denge Denklemleri

• İç kuvvetlerin bulunması (üç boyutlu cisimler):

=

=

∑∑

F 0

M 0

Vektörel ifade

• İç kuvvetlerin bulunması (iki boyutlu cisimler):

0

0

0

x

y

F

F

M

=

=

=

∑

∑

∑

Skaler ifade

İç Kuvvetler (düzlemsel kiriş örneği)

Örneğin A-A kesitindeki gerilmeleri veya bu gerilmelerinbileşkesi olan iç kuvvetleri bulmak isteyelim, bu durumdaelamanın eksenine dik bir kesit alınır ve o kesit incelenir.

Dış kuvvetler ve reaksiyon kuvvetlerinin etkisi altındaki düzlem elemanı ele alalım

Ax, Ay, ve Breaksiyon kuvvetleri denge denklemleri ile bulunur.

İç Kuvvetler

• Elemanın (kirişin) sol parçası üzerinde normal kuvvet F(veya N diye de gösterilir), kesme kuvveti V (T diye degösterilir) ve eğilme momenti M aşağıda gösterilmiştir.

SOL PARÇA

İç Kuvvetler

• Kirişin sağ parçasında ise eşit ama zıt yönlü içkuvvetler oluşacaktır.

SAĞ PARÇA

İç Kuvvetler

– Analizlerde kolaylık sağladığından, iç kuvvetlerinkesitin merkezinden geçtiği kabul edilir.

G

KESİT ve MERKEZİ

İç Kuvvetler

• Elemanlarda oluşan diğer bir tip iç kuvvetburulma momentidir (tork diye de adlandırılır).

T torku elemanın boyune ekseni doğrultusundaki momentir.

Sağ el kuralına göremoment ekseni

İç Kuvvetler

• Tork oluşturan yükleme Şekil (a)’da gösterilmiştir.

– Eleman A–A kesitinde ortaya çıkan burulma momentiveya torklar (iç kuvvet), Fig. (b) ve (c)’de gösterilmiştir.

İç Kuvvetlerin Bileşenlerine Ayrılması

ORM ve

RF

Kesite dik ve teğetbileşenlere ayrılır.

Üç boyutlu durum

İki boyutlu durum

BurulmaMomenti

NormalKuvvet

KesmeKuvvetiEğilme

Momenti

Gerilme• Bir kesitteki iç kuvvetler kesit üzerindeki küçük

küçük alanlara etkiyen yayılı kuvvetlerinbileşkesidir. Bu yayılı kuvvetlere gerilme denir!– Genelde, ΔA alanlarına etkiyen gerilmelerin şiddet ve

yönleri kesit üzerinde değişmektedir.

Gerilme• Gerilmelerin farklı noktalardaki şiddeti, malzemenin

yük taşıma kapasitesini ve şekil değiştirme direncinietkilemektedir.

– Fig. (b) ve (c)’de gösterildiği gibi, kesite etkiyen kuvvetlerikesite dik (normal) ve kesite paralel (teğet) bileşenlereayrılabilir.

Gerilme (Normal Gerilme)

• Kesite dik olan ve birim alana etki eden yayılı kuvvetlernormal gerilme olarak adlandırılır.

– Yunan alfabesindeki σ (sigma) simgesiyle gösterilir.

• Normal gerilmenin kesit alanı ΔA

üzerindeki ortalama değeri:

Burada ΔF (veya ΔN), ΔA alanı üzerindeki kuvvetin normal bileşenidir.

• Bir noktadaki normal gerilme ΔA alanını limitte sıfırayaklaştırılarak bulunabilir. Bir noktadaki gerilmeortalama gerilmeden farklı.

Gerilme– Malzemeyi çeken gerilmeye çekme gerilmesi (tensile

stress) denir. Çekme gerilmesi normal gerilmedir!

– Malzemeye basınç uygulayan gerilmeye ise basınçgerilmesi (compressive stress) denir. Basınç gerilmeside normal gerilmedir.

Şekilde çekme gerilmesidurumu gösterilmiştir.

(Bunun tam tersi ise basınçgerilmesi durumudur).

Gerilme (Kesme Gerilmesi)

• Kesite paralel olan ve birim alana etki eden yayılı kuvvetlerkesme gerilmesi (shear stress) olarak adlandırılır.

– Yunan alfabesindeki (tau) simgesiyle gösterilir.

• Kesme gerilmesinin ΔA alanıüzerindeki ortalama değeri:

Burada ΔV, ΔA alanı üzerindeki kuvvetin

kesite paralel bileşenidir.

• Bir noktadaki kesme gerilmesi ise ΔA alanını limitte sıfıra yaklaştırılarak bulunabilir.

τ

Ortalama (Üniform) Normal Gerilme• Kesit bütününe dağılmış ortalama gerilme için gerilme genel formülü aşağıda

verilmiştir. Burada dikkat edilirse, gerilme kesit üzerinde noktadan noktayadeğişmemektedir:

– Burada F (veya P) kesitteki bileşke normal kuvvettir.

– A ise F kuvvetinin etkidiği toplam kesit alanıdır.

Çekme Basınç

(veya F)

(veya F)

Ortalama (Üniform) Normal Gerilmenin Eleman Boyunca Değişimi

A

Eleman ortasına doğrugerilme yaklaşık olarak

uniformlaşıyor

• Kesit bütününe dağılmış ortalama (üniform) kesme gerilmesiaşağıdaki gibi hesaplanır:

– V kesitteki kesme/kayma kuvvetidir.

– A ise V kuvvetinin etkidiği toplam kesit alanıdır.

Ortalama (Üniform) Kesme Gerilmesi

F

Gerilme ile İlgili Bazı Genel Notlar

– Cisim içinde oluşan gerilme cismin yapıldığı malzemedenbağımsızdır.

– Gerilme, sadece iç kuvvetlere ve cismin kesit alanınabağlıdır.

– Dayanım (strength), malzemenin taşıyabileceği maksimumizin verilebilir gerilmedir (allowable stress).

• Bu karakteristik veya özellik deneysel ölçümlerle belirlenir.

– Gerilme dikkat edilirse, kesit üzerindeki birim iç kuvvettir.Birim alana etkiyen kuvvet diye düşünülebilir.

• İki malzemeyi kıyaslarken boyut etkisini elimine etmektedir.

Gerilme - Birimler

• Gerilme kuvvet / alan birimindedir.

• Anglo-sakson birimlerinde gerilmenin birimipound/inç-karedir, kısa olarak psi olarak gösterilir,

– Veya ksi diye gösterilir.

• SI veya metrik birimlerinde gerilmenin biriminewton/metre-karedir, kısa olarak N/m2, veyaPascal (Pa) şeklinde gösterilir.

– Pascal çok küçük bir gerilme birimi olduğundan, kilo-Pascal (kPa) veya mega-Pascal (MPa) kullanılır.

MECHANICS OF MATERIALS

1 - 25

Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı (Factor of Safety)

• Emniyet gerilmesi, bir malzeme türünün bellibir yükleme altında emniyetle taşıyabileceğimaksimum/en büyük gerilme değerine denir.

– Bu değer yapısal elemanların tasarımındakullanılabilir.

– Emniyet gerilmesi değerleri deneyler ve geçmişdeneyimler ışığında belirlenir.

– Ayrıca, bazen tasarım gerilme değeri olarak daadlandırılır.

MECHANICS OF MATERIALSEmniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı

(Factor of Safety)

• Emniyet gerilmesi σem (ya da σa)biliniyorsa, ilgili çekme veya basınçkuvvetlerini emniyetler taşıyabilecekalanın değeri hesaplanabilir:

• Emniyet gerilmesi τem (ya da τa)biliniyorsa, ilgili kesme (kayma) kuvvetiniemniyetle taşıyabilecek alanın değerihesaplanabilir:

Not: Dikkat edilirse, yukarıdaki denklemlerin kullanılabilmesi içinemniyet gerilmesi değerlerinin ve kesite etkiyen iç kuvvetlerinbilinmesi gerekmektedir.

MECHANICS OF MATERIALSEmniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı

(Factor of Safety)

• Bir malzeme için emniyet gerilmesi değeri malzemetestleri ile bulunabilir. Genellikle bunun için çekme vebasınç deneyleri yapılır. Daha sonra incelenecek!!!

• Emniyet katsayısı aşağıdaki formül ile tanımlanabilir:

������� ������ =��

���

• Burada �� malzemenin taşıdığı en büyük/maksimumgerilme değeridir.

��� < ��

MECHANICS OF MATERIALSEmniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı

(Factor of Safety)

• Emniyet katsayısının belirlenmesi etkileyen bazı faktörleraşağıda sıralanmıştır:• Malzeme özelliklerindeki belirsizlik,

• Yükleme durumundaki belirsizlik,

• Analiz yöntemlerinin yaklaşık olması,

• Yük tekrarındaki belirsizlik,

• Göçme türü/modundaki belirsizlik,

• Yapısal sistemin önemlilik derecesi,

• …

Eksenel Yüklü Elamanlarda OrtalamaNormal Gerilme Analizi

Düz iki ucundan yüklü sabit kesitli

bir elemanı ele alalım

Kuvvetlerin etki çizgisi elemanın boyuna ekseni doğrultusunda ve şekilde gösterildiği gibi kesitin

merkezinden geçmektedir.

• Elemanın ortasına doğru bir yerde dik B-B kesitialınırsa, ortaya çıkan iç kuvvet P olacaktır

(denge şartı), Figs. (b) & (c).

Eksenel Yüklü Elamanlarda OrtalamaNormal Gerilme Analizi

• Kesite dağılmış normal gerilme uniform çekme gerilmesi olacaktır.

P burada eksenel kuvvet A ise kesit alanıdır.

• Çekme gerilmesi:

• Bu formül eksenel yüklenmiş bir elemanda oluşan ortalama normal gerilmeyi verir.

Eksenel Yüklü Elamanlarda OrtalamaNormal Gerilme Analizi

• Figs. (d) ve (e)’de gerilme dağılımı gösterilmektedir.

• Dikkat edilirse, (gerilme × en kesit alanı), bileşkeeksenel kuvvete eşittir (σA = P).– Kesitte herhangi bir kesme kuvveti yoktur!

Eksenel Yüklü Elamanlarda OrtalamaNormal Gerilme Analizi

• Etkiyen kuvvetlerin yönü değişirse, gerilmeler basınç gerilmesiolacaktır.

• Burkulmanın (buckling) daha zor olduğu kısa elemanlardabasınç gerilmeleri yine aşağıdaki denklem kullanılarakhesaplanabilir:

Eksenel Yüklü Elamanlarda OrtalamaNormal Gerilme Analizi

• P ve A’nın ikisi de biliniyorsa, bu denklem cisimdeoluşan gerilmelerin hesabında direkt kullanılabilirveya bulunan gerilme değeri herhangi birmalzemenin izin verilebilir gerilme değeri ilekarşılaştırılarak o malzemenin bu kuvvetiemniyetle taşıyıp taşıyamadığına karar verilebilir.

Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçekmalzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımındakullanılabilir: 1. Durum

• A ve σ biliniyorsa, eleman tarafından taşınankuvvet P = σxA hesaplanabilir.– Eğer σ bir malzeme tipi için izin verilebilir maksimum

gerilme/emniyet gerilmesi ise ( ��� ) bu denklem omalzemeden yapılmış kesitin taşınabileceği maksimumeksenel kuvvet değerini verecektir.

Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçekmalzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımındakullanılabilir: 2. Durum

Pmax = σem x A

• P kuvveti ve gerilme σ biliniyorsa, bu durumdakesite etkiyen iç kuvveti taşıyacak gerekli kesitalanı A = p/σ denklemi ile hesaplanır.– Bu denklem elemanın boyutlarının ne olacağına ilişkin

bilgiyi sağlar.

Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçekmalzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımındakullanılabilir: 3. Durum

Örnek

Şekilde gösterilen çubuk 35 mm sabit yüksekliğesahiptir. Çubuğun kalınlığı ise 10mm’dir. Bu yüklemeninçubuktaoluşturacağımaksimum normalgerilme değerinihesaplayınız(σmaks = ?).

Örnek (devam):Kesitte oluşan maksimum eksenel kuvvet BCaralığında oluşmaktadır. Bu durumda maksimumeksenel (normal) gerilme de burada oluşacaktır.

Kesit üzerindeki uniform normal gerilme dağılımı:

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

• BC çubuğu eksenel kuvvet dolayısıyla normal gerilme etkisi altındadır!

• Ancak, BC çubuğunu C noktasına bağlayancivata/pin nasıl bir etkialtındadır? Bağlantıelemanlarında oluşanetkiler daha karmaşık vefarklı olabilir.

A B

C

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

• A, B ve C noktalarındakibağlantı detaylarınabakarsak, çubukları bunoktalara bağlayanpinlerde/civatalardaeleman kuvvetlerinin farklıetkiler oluşturduğunugörürüz.

• Pinlerde/civatalardaoluşan bu etkilerkesme/kayma kuvveti , yani kesme/kaymagerilmesi etkileridir.

A B

C

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

Ortalama kesme gerilmesi kavramının

uygulaması

İki çubuk birbirlerine kesme piniylebağlanmıştır.

ÜST GÖRÜNÜM

Eleman kuvveti

• Dengeden, iki düzlemdeki iç kuvvetlerin F/2 olduğunugörülür. Bu kuvvetler düzleme paraleldir yani düzlemikesmeye çalışır.

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

• Kesmeye karşı koyan pini iki farklı düzlemden keserek,çubukları şekildeki gibi birbirinden ayırabiliriz.Pin alanının A = ×d2/4 olduğu görülür:

• Bu durumda her bir düzlemdeki kesme gerilmesininortalama değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

Bu durumdaki (iki farklı noktadan kesilen) pinlere(perçinlere) çift etkili/çift tesirli pin/civata denir.

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

• Aşağıdaki örnekte ise iki plak bir perçinle/pinle birleştirilmişdurumdadır,

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

Karşılaştırma amacıyla, birönceki birleşim detayı burada

tekrar gösterilmiştir.

Perçin/pin/civata kesitinde oluşan kesmekuvveti dengeden F kuvvetine eşit olduğugörülür. Bu durumda ortalama kesme kuvvetişu şekilde hesaplanır:

Bu durumdaki pinlere tek tesirlipin/civata/perçindenir.

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

• Plakaları ayırmak için perçini tek bir kesitten ayırmakyeterlidir. Fig. (b) and (c):

Ortalama Kesme Gerilmesi AnaliziTek Tesirli – Çift Tesirli Civata/Pin/Perçin

� ��� =�

�=

�

�� ��� =

�

�=

�

2�

Tek Tesirli Çift Tesirli

Birleşimlerde Gelilen Ezilme Gerilmesi

� �� =�

�=

�

� × �

ÖrnekŞekilde gösterilen askı, ucuna birleştirilmiş disk ile çapı 40 mm olan daireselbir boşluktan geçirilerek mesnetlenmiştir. 20 kN’luk ağırlığı taşıyabilmesiiçin, askının gerekli min. çapının ve diskin min. kalınlığının ne olmasıgerektiğini bulunuz? σall = σem = 60 MPa ve τall = τem = 35 MPa olarak alınız.

Örnek (devam)

Çekme çubuğununçapı:

bu durumda,

Kesilen diskinkalınlığı:

Kesme gerilmelerinin üniform dağıldığı kabulü altında:

Örnek

Şekilde gösterilen ahşap birleşimin kalınlığı (sayfadüzlemine dik olan boyutu) 150 mm ise, a-a ve b-bkesitlerinde oluşan ortalama kesme gerilmelerinin bulunuz.

Örnek (devam):İç Kuvvetler:

a-a ve b-b kesitlerinin dengesinden (c ve d şekillerine referansla):

Ortalama kesme gerilmesi:

Gerilmelerin durumunu gösterir sonsuz küçük elemanlar şekilde gösterilmiştir.

Şekil Değiştirme (Strain)

F

F

� Bir cisme kuvvet etkidiğinde, cismin şeklini ve hacmini değiştiren biretki yaratır.

� Bu değişimlere deformasyon da denir.

� Deformasyonlar görünür olabilir veya görünmesi mümkünolmayabilir. Görünmesi mümkün olmayan deformasyonlar hassasaletlerle ölçülebilir.

� Görünmesi mümkün olan deformasyona kauçuk bir malzemenindeformasyonu örnek verilebilir.

� Görünmesi mümkün olmayan deformasyonlara ise yapısalelemanların deformasyonu örnek verilebilir.

� Kuvvet dışında sıcaklık değişimi de deformasyon oluşturan bir etkidir.

Şekil Değiştirme

Şekil Değiştirme

Genelde cisim üzerinde oluşan deformasyonlar cismin hacmi içinde üniform olarakoluşmaz. Bu sebeple, cisim üzerindeki bir hatta (doğrultu boyunca) şekildeğiştirmeler aynı olmaz. Cisim üzerinde incelenen parçalar çok küçük seçilerek, birnoktanın deformasyonu incelenir. Dikkat edilirse, deformasyon seçilen çizgisel hattınoriyantasyonuna da bağlıdır.

ÇekmeKuvveti

Uygulanıyor

� Şekil değişimini (deformasyon), cisim üzerindeki çizgilerin

boy değişimi veya aralarındaki açının açı değişimi

olarak tanımlamak için birim şekil değiştirme (strain)

kavramını kullanacağız.

� Birim şekil değiştirmenin ölçülmesi deneyler yoluyla

yapılmaktadır. Daha ileriki bölümlerde, şekil değiştirme -

gerilme (birim alandaki kuvvet) arasındaki ilişkiler

çıkarılacaktır.

Şekil Değiştirme

� Cisim üzerinde birim uzunluktaki bir çizginin boyunun uzaması veyakısalmasına normal birim şekil değiştirme denir. Formal bir tanımyapabilmek için aşağıdaki şekli ele alalım:

Normal Birim Şekil Değiştirme (Normal Strain)

Şekil Değiştirmemiş Cisim Şekil Değiştirmiş Cisim

ndoğrultusundaki orijinal uzunluğu

Δs olan AB parçası

Cisim deforme olduktan sonraAB çizgisi A’B’ çizgisi halini aldığını ve boyunun ise Δs’ olduğu kabul edilmiştir.

Normal Birim Şekil Değiştirme (Normal Strain)

� AB ve A’B’ çizgileri arasındaki boy farkı = Δs’ – Δs olarak bulunur. ndoğrultusundaki ortalama normal birim şekil değiştirme miktarıaşağıdaki gibi hesaplanır

ort

s s

sε

′∆ − ∆=

∆

� B noktası A noktasına yaklaştırılarak, limitte bir noktadaki normal birimşekil değiştirme formülü aşağıdaki forma dönüşür

- n boyuncalim

B A

s s

sε

→

′∆ − ∆=

∆

� Bir noktadaki normal birim şekil değiştirme biliniyorsa, cisimüzerindeki çizgisel parçanın son boyu yaklaşık olarak aşağıdaki gibibulunabilir

( )1s sε′∆ = + ∆

� Normal birim şekil değiştirmeyi oluşturan gerilme türü normal

gerilmedir (σ).

� Normal birim şekil değiştirmenin birimi yoktur (birimsizdir). Bu

durumda m / m olarak veya bu değer çok küçük olduğu için μm / m

olarak da gösterilir. Bu durumda, örneğin 480×(10-6) mm/mm 480

μm/m veya kısaca 480 mikron olarak gösterilebilir.

Normal Birim Şekil Değiştirme (Normal Strain)

ort

s s

sε

′∆ − ∆=

∆

Kayma/Kesme Birim Şekil Değiştirmesi (Shear Strain)

� Başta birbirine dik olan iki çizgi parçasının arasındaki açının değişimi

kayma/kesme birim şekil değiştirmesi olarak adlandırılır. Bu açı değişimi

γ (gama) ile gösterilir ve birimi radyandır. Nasıl tariflendiğini anlamak

için aşağıdaki şekli inceleyelim:

n doğrultusu

t doğrultusu

lim2

ntB A

C A

πγ θ

→

→

′= −

KuvvetUygulanıyor

Şekil Değiştirmemiş Cisim Şekil Değiştirmiş Cisim

Kartezyen Şekil Değişimi Bileşenleri

� Yukarıda yapılan tanımları kullanarak bir cisim üzerindeki farklı tür

deformasyonları tarifleyebiliriz. Aşağıdaki şekli ele alalım:

Cismi sonsuz küçük küpparçalara ayrılmış gibidüşünebiliriz.

Şekil değiştirmemiş, çok küçükΔx, Δy, Δz kenar boyutlarınasahip kübik bir elemanıinceleyelim. Bu eleman, şekildeğiştirmesini incelediğimiz cisminiçinden çıkarılmıl bir noktayıtemsil ediyor şeklindedüşünülebilir.

Şekil değiştirmiş eleman

KuvvetUygulanıyor

Kartezyen Şekil Değişimi Bileşenleri� Hem normal gerilme hem de kesme gerilmesi etkisindeki kübik bir

elemanın kenarları şekil değişiminden dolayı aşağıdaki şekli alır

( )

( )( )

1

1

1

x

y

z

x

y

z

ε

ε

ε

+ ∆

+ ∆

+ ∆

� Kübik elemanın kenarları uzar veya kısalır (normal gerilmenin etkisi) ayrıca bukenarları oluşturan çizgiler arasındaki açılar dik olma durumlarını kaybeder(kesme gerilmesinin etkisi)

2

2

2

xy

yz

xz

πγ

πγ

πγ

−

−

−

Dikkat edilirse, normal şekil değiştirmeler,cismin hacminde değişimleryaratmaktayken, kayma şekil değişimleriise cismin şeklini değiştirmektedir (kübikform bozulmakta). Genel bir yüklemedurumunda, bu iki etki eş zamanlı olarak(aynı zamanda) oluşmaktadır.K

en

arl

arı

nu

zam

ave

yakı

salm

ası

Ke

na

ra

çıla

rın

ınd

eğ

işim

i

Küçük Şekil Değişimleri Analizi

� Mühendislik tasarımlarında, küçük şekil değiştirmelere izin verilir,

� Dikkat edilirse, etrafımızdaki hemen hemen her yapıda şekil değiştirmeler

gözle fark edilemeyecek kadar küçüktür,

� Bu ders kapsamında, tüm cisimlerin küçük şekil değiştirmeler yaptığı kabul

edilecektir; yani normal birim şekil değiştirmeler ε << 1 ve açı değişimleri

ise (kesme şekil değişimi) sin(θ) =~ θ, cos(θ) = 1 ve tan(θ) = θ yaklaşımlarını

sağlayacak kadar küçük olacaktır,

� Bu duruma birinci mertebe yaklaşımı da denir,

� Dikkat edilirse bir noktadaki şekil değişimi 6 bileşenle tanımlanabilir:

x y z xy yz xzε ε ε γ γ γ

Örnek 1

� Şekilde gösterilen ince çubuk, sıcaklık

ektisine maruz kaldığından dolayı ekseni

doğrultusunda εz = 40×(10-3)z1/2

fonksiyonuna uygun olarak normal birim

şekil değişimi göstermiştir,

� Burada z metre cinsindedir. Bu durumda:

(a) B ucunun ne kadar yer değiştirdiğini

ve (b) çubukta oluşan ortalama normal

şekil değişimini bulunuz.

Örnek 1 (devam)(a) Çubuğun birim şekil değiştirme fonksiyonu verildiğine göre, dz

uzunluğunda bir çubuğun boy uzaması aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

=

� Bu değerin çubuk boyunca integrali, çubuğun toplam uzamasını yani B ucunun yer değiştirmesini verecektir

� Bu durumda, B ucunun yer değiştirmesi aşağıdaki şekilde bulunur:

Örnek 1 (devam)

� (b) Ortalama şekil değişimini (çubuk boyunca gerçekleşen) çubuğu bir çizgiolarak düşünerek bulabiliriz. Bu durumda:

olarak bulunur.

Örnek 3

Şekilde gösterilen rijit kiriş, A noktasından bir mesnetle ve BD ve CEhalatları ile taşınmaktadır.

Yayılı yük C ucunu 10 mm aşağıya doğru çekiyorsa, CE ve BDkablolarındaki normal birim şekil değişimini bulunuz.

Not: Eğer kiriş rijit olarak kabuledilmeseydi, bu durumdacevap değişir miydi?

Kiriş rijit kaldığı için benzerüçgenlerden B ve C noktlarının nekadar aşağıya doğru hareketettikleri geometri ile bulunabilir!