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1
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
x
y
2
0m
S 0
b
S
N
ii
N
ii yxbaN
11
(xi,yi)
y = b+mxyi -b-m xi
N
iii mxbyS
1
2)(
CRITERIO: Minimizar SCRITERIO: Minimizar S
AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
(Ajuste lineal)
N
iii
N
ii
N
ii yxxbxa
11
2
1
3
MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal de N puntos)
22 xNx
xyNyxm
22
2
xNx
xyxyxb
N
xx
N
yy
222
xy m
22
2
xxN
Nm
22
22
xxN
xb
DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)
Coeficiente de correlación
2222 11y
Nyx
Nx
Nyx
xyr
4
MÍNIMOS CUADRADOS (Ejemplo)
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60
x
y
x x y y
50 2 10 2
40 2 21 2
30 2 31 2
20 2 43 2
10 2 54 2
09.010.1 m
365b
99967.0r
bmxy
x x y y xy x^2 y^2
150 10 159 10 3670 5500 6267
x x y y xy x^2 y^2
50 2 10 2 500 2500 100
40 2 21 2 840 1600 441
30 2 31 2 930 900 961
20 2 43 2 860 400 1849
10 2 54 2 540 100 2916
5
EJEMPLO 2: Índice de refracción
• Medida del índice de refracción de una lámina de vidrio
i
r
n
sen i = n sen r
6
i i r r
25 1 15 1
30 1 20 1
35 1 21 1
40 1 24 1
45 1 27 1
50 1 29 1
55 1 30 1
60 1 32 1
65 1 33 1
70 1 36 1
bmxy
x x y y
sen r sen r sen i sen i
1 0,2588 0,0169 0,4226 0,0158
2 0,3420 0,0164 0,5000 0,0151
3 0,3584 0,0163 0,5736 0,0143
4 0,4067 0,0159 0,6428 0,0134
5 0,4540 0,0156 0,7071 0,0123
6 0,4848 0,0153 0,7660 0,0112
7 0,5000 0,0151 0,8192 0,0100
8 0,5299 0,0148 0,8660 0,0087
9 0,5446 0,0146 0,9063 0,0074
10 0,5878 0,0141 0,9397 0,0060
Medidas en grados sexagesimales
Índice de refracción: medidas (2)
rni sinsin
iiii
ii
cossin
sin
09.069.1 m
04.004.0 b
99301.0r
rrrr
rr
cossin
sin
7
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
sen r
sen
i
09.069.1 m
04.004.0 b
99301.0r
Índice de refracción: gráfica (3)
Índice de refracción
8
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
EJEMPLO 3. EXPONENCIALES
0 100 200 300 400 500 600 7000
1
2
3
4
5
t (s)
V (volts)
0 100 200 300 400 500 600 7000
1
2
3
4
5
/0
teVV
V )004.0008.5(0 V
s )2.05.251(
0 100 200 300 400 500 600 7000
1
2
3
4
5
t
eVV /0
Descarga de un condensador
9
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
Las exponenciales se transforman en lineales tomando logaritmos
1
1 a
0 100 200 300 400 500 600 700-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
t (s)
ln (V/V0)
0 100 200 300 400 500 600 700-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0 100 200 300 400 500 600 700-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0t
VV )/ln( 0
taay 10
)002.0015.0(0 a1-
1 s )000004.0003930.0( a
10
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
s
s’
ss
f1
'1
'1
f’
sf
s1
'1
'1
Ecuación de las lentes: forma de Gauss
EJEMPLO 4. FUNCIONES INVERSAS
Focal de una lente
11
s (cm) s’ (cm) 1/s (cm-1) 1/s’ (cm-1)97.50 67.65 0.010256 0.014782
106.00 63.95 0.0094340 0.015637
113.50 61.50 0.0088106 0.016260
120.30 59.70 0.0083126 0.016750
126.80 58.20 0.0078864 0.017182
(distancias s y s’ medidas con 0.05 cm)
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
Focal de una lente: tabla de valores
12
1.45 10-2
1.50 10-2
1.55 10-2
1.60 10-2
1.65 10-2
1.70 10-2
1.75 10-2
7.50 10-3 8.00 10-3 8.50 10-3 9.00 10-3 9.50 10-3 1.00 10-2 1.05 10-2
1/s'
1/s
12 cm10003.0510.2'
1 f
a
004.0004.1 b
99998.0r
sb a
s
1
'
1
DETERMINACIÓN DE LA ORDENADA EN EL ORIGEN
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
13
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
cm84.3910510.2
11'
2
a
f
cm05.0
10510.2
10003.01'
22
2
2
a
af
14
AJUSTE DE FUNCIONES SENOIDALES
15
Ejemplo 5. Ley de Malus
cos I = I 20
16
Ley de Malus (2)0 16110 12520 8730 5440 2845 1750 1055 660 465 770 1475 2280 3390 63100 94110 130120 158130 190140 207150 214160 205170 179180 147
(º) I (lux)
0
50
100
150
200
250
0 40 80 120 160
I = m1 + m2 cos2(+m3)
m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) lux
m3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924
