Ajuste de Curvas

Contenido

• Concepto de Ajuste de Curvas (Diferencia con Interpolación)• Estimación de Parámetros Lineales por Mínimos Cuadrados• Ajuste Polinomial• Estimación de Parámetros No Lineales por Mínimos Cuadrados• Ajuste de Curvas haciendo uso de Excel

Concepto de Ajuste de Curvas (Diferencia con Interpolación)• Una de las técnicas más extensamente usadas en métodos numéricos es la

estimación de parámetros por le principio de mínimos cuadrados.• Esta técnica es empleada para obtener información sobre la relación funcional

entre 𝒙𝒙 y 𝒚𝒚, asumiendo que tal relación existe, a partir de un juego de par de datos 𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒚𝒚𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏).

• La estimación de parámetros por mínimos provoca un "ajuste" a un juego de datos dados y elimina, en algún grado, errores de observación, medición, grabación, transmisión y conversión, también como otros tipos de errores aleatorios que puedan haber sido introducidos en los datos.

• Esta es una de las más importantes funciones del principio de mínimos cuadrados, y uno de los cuales lo distingue de la interpolación (un polinomio de interpolación llena exactamente todos los puntos de los datos usados, tal que cualquier error en los datos será detenido en la interpolación).

Concepto de Ajuste de Curvas (Diferencia con Interpolación)• Hay dos distintas pero relacionadas categorías de técnicas basadas en

el principio de mínimos cuadrados:1. La estimación de parámetros lineales por mínimos cuadrados2. La estimación de parámetros no lineales por mínimos cuadrados

Estimación de Parámetros Lineales por Mínimos Cuadrados• Dado un juego de pares de datos 𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒚𝒚𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏), los cuales pueden ser

interpretados como los valores medidos de las coordenadas de los puntos en la gráfica de 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙), asumiendo que la función desconocida 𝒇𝒇(𝒙𝒙) puede ser aproximada por una combinación lineal de funciones escogidas adecuadamente 𝒇𝒇𝟎𝟎 𝒙𝒙 ,𝒇𝒇𝟏𝟏 𝒙𝒙 , … ,𝒇𝒇𝒎𝒎(𝒙𝒙) de la forma

𝑭𝑭 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝟎𝟎𝒇𝒇𝟎𝟎 𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒇𝒇𝟏𝟏 𝒙𝒙 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒇𝒇𝒎𝒎 𝒙𝒙• donde los coeficientes desconocidos 𝒂𝒂𝟎𝟎,𝒂𝒂𝟏𝟏,𝒂𝒂𝟐𝟐, … ,𝒂𝒂𝒎𝒎 son parámetros

independientes que deberán ser determinados, y 𝒎𝒎 < 𝒏𝒏.• La diferencia entre los valores de la función aproximada 𝑭𝑭(𝒙𝒙𝒊𝒊) y los

correspondientes valores de los datos 𝒚𝒚𝒊𝒊 son llamado residuo 𝒓𝒓𝒊𝒊 y es definido por la relación

𝒓𝒓𝒊𝒊 = 𝑭𝑭 𝒙𝒙𝒊𝒊 − 𝒚𝒚𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏)• Por lo tanto tenemos un residuo 𝒓𝒓𝒊𝒊 por cada par de datos 𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒚𝒚𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏).

Estimación de Parámetros Lineales por Mínimos Cuadrados• La función 𝑭𝑭(𝒙𝒙) que mejor aproxima el juego de datos dados en el sentido de mínimos

cuadrados es la combinación lineal 𝒂𝒂𝟎𝟎𝒇𝒇𝟎𝟎 𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒇𝒇𝟏𝟏 𝒙𝒙 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒇𝒇𝒎𝒎(𝒙𝒙) de funciones 𝒇𝒇𝒌𝒌(𝒙𝒙) que producen los valores mínimos de la suma 𝑸𝑸 de los residuos al cuadrado

𝑸𝑸 = �𝒊𝒊

𝒓𝒓𝒊𝒊𝟐𝟐 ≡�𝒊𝒊

𝑭𝑭 𝒙𝒙𝒊𝒊 − 𝒚𝒚𝒊𝒊 𝟐𝟐

• Reescribiendo la ecuación anterior en su forma expandida tenemos

𝑸𝑸 = �𝒊𝒊

𝒂𝒂𝟎𝟎𝒇𝒇𝟎𝟎 𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒇𝒇𝟏𝟏 𝒙𝒙 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒇𝒇𝒎𝒎 𝒙𝒙 − 𝒚𝒚𝒊𝒊 𝟐𝟐

• Sean los parámetros 𝒂𝒂𝟎𝟎,𝒂𝒂𝟏𝟏,𝒂𝒂𝟐𝟐, … ,𝒂𝒂𝒎𝒎 las variables independientes de la función 𝑸𝑸, minimizando la sumatoria, esto es, diferenciando e igualando a cero, obtenemos

𝝏𝝏𝑸𝑸𝝏𝝏𝒂𝒂𝒌𝒌

≡ 𝟐𝟐�𝒊𝒊

𝑭𝑭 𝒙𝒙𝒊𝒊 − 𝒚𝒚𝒊𝒊𝝏𝝏𝑭𝑭 𝒙𝒙𝒊𝒊𝝏𝝏𝒂𝒂𝒌𝒌

= 𝟎𝟎 (𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝒎𝒎)

Estimación de Parámetros Lineales por Mínimos Cuadrados• Las restricciones impuestas para ésta ecuación forman un sistema de 𝒎𝒎 + 𝟏𝟏

ecuaciones algebraicas independientes (llamadas ecuaciones normales) las cuales son lineales en los 𝒎𝒎 + 𝟏𝟏 parámetros 𝒂𝒂𝒌𝒌 (𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝒎𝒎). La solución (𝒂𝒂𝟎𝟎,𝒂𝒂𝟏𝟏,𝒂𝒂𝟐𝟐, … ,𝒂𝒂𝒎𝒎) de este sistema de ecuaciones normales es tal que el juego de parámetros 𝒂𝒂𝒌𝒌 producirá los mínimos de la suma de los residuos al cuadrado.

• Las ecuaciones normales pueden ser reducidas a una forma más simple para el cálculo, realizando los siguientes pasos: Primero, sustituir la relación

𝝏𝝏𝑭𝑭(𝒙𝒙𝒊𝒊)𝝏𝝏𝒂𝒂𝒌𝒌

= 𝒇𝒇𝒌𝒌(𝒙𝒙𝒊𝒊)

• y expresar la ecuación 𝑭𝑭(𝒙𝒙𝒊𝒊) en su forma expandida𝝏𝝏𝑸𝑸𝝏𝝏𝒂𝒂𝒌𝒌

≡ 𝟐𝟐�𝒊𝒊

𝒂𝒂𝟎𝟎𝒇𝒇𝟎𝟎 𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒇𝒇𝟏𝟏 𝒙𝒙 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒇𝒇𝒎𝒎 𝒙𝒙 − 𝒚𝒚𝒊𝒊 𝒇𝒇𝒌𝒌(𝒙𝒙𝒊𝒊) = 𝟎𝟎 (𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝒎𝒎)

Estimación de Parámetros Lineales por Mínimos Cuadrados• Reordenando obtenemos:

Estimación de Parámetros Lineales por Mínimos Cuadrados• Las 𝒎𝒎 + 𝟏𝟏 ecuaciones normales obtenidas con la ecuación anterior,

cuando son evaluadas para 𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝒌𝒌 = 𝟏𝟏,𝒌𝒌 = 𝟐𝟐, … ,𝒌𝒌 = 𝒎𝒎, se pueden escribir en forma matricial tal que

donde todas las sumatorias son sobre 𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏).• La solución (𝒂𝒂𝟎𝟎,𝒂𝒂𝟏𝟏,𝒂𝒂𝟐𝟐, … ,𝒂𝒂𝒎𝒎) de la matriz de las ecuaciones normales es

el juego de parámetros 𝒂𝒂𝒌𝒌 (𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝒎𝒎) que minimiza la sumatoria 𝑸𝑸 de los residuos al cuadrado.

Ajuste Polinomial

• Consideremos el caso especial en el que la estimación de los parámetros lineales por mínimos cuadrados es función de

𝒇𝒇𝒌𝒌 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝒌𝒌 (𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝒎𝒎)• tal que 𝑭𝑭(𝒙𝒙) se convierte en un polinomio de grado 𝒎𝒎, 𝒎𝒎 < 𝒏𝒏, denotado por 𝑷𝑷𝒎𝒎(𝒙𝒙)

𝑷𝑷𝒎𝒎 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝟎𝟎𝒙𝒙𝟎𝟎 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒙𝒙𝒎𝒎

• Esto es, podemos aproximar la función 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) a un polinomio de grado 𝒎𝒎, 𝑷𝑷𝒎𝒎(𝒙𝒙),sobre el rango de pares de datos 𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒚𝒚𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏). Los parámetros 𝒂𝒂𝟎𝟎,𝒂𝒂𝟏𝟏, … ,𝒂𝒂𝒎𝒎 son determinados tal que

𝑸𝑸 = �𝒇𝒇

𝒓𝒓𝒊𝒊𝟐𝟐 ≡�𝒊𝒊

𝑷𝑷𝒎𝒎 𝒙𝒙𝒊𝒊 − 𝒚𝒚𝒊𝒊 𝟐𝟐

• es un mínimo. Esto es, ajustaremos la curva de una función polinomial de grado 𝒎𝒎 a los datos en los mínimos cuadrados definidos anteriormente. Este caso especial de estimación de parámetros lineales es comúnmente conocida como Ajuste Polinomial por Mínimos Cuadrados.

Ajuste Polinomial

• Las ecuaciones normales que determinan 𝒂𝒂𝟎𝟎,𝒂𝒂𝟏𝟏, … ,𝒂𝒂𝒎𝒎 para este caso especial pueden ser obtenidos directamente sustituyendo 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌 (por ejemplo, 𝒙𝒙𝒊𝒊 por ejemplo 𝒌𝒌 potencia) por 𝒇𝒇𝒌𝒌(𝒙𝒙𝒊𝒊) en la ecuación matricial obtenida anteriormente. Esta sustitución nos da

• Estas ecuaciones normales para el polinomio de mínimos cuadrados puede ser escrita de la siguiente forma

Estimación de Parámetros No Lineales por Mínimos Cuadrados• Es posible utilizar el método visto anteriormente con funciones no

lineales, linealizando la función. Por ejemplo si tenemos la función exponencial

• Podemos linealizar la función de la siguiente forma:

Estimación de Parámetros No Lineales por Mínimos Cuadrados• Para este caso, la representación matricial de las ecuaciones

nominales queda de la siguiente forma:

Ajuste de Curvas haciendo uso de Excel

Ajuste de Curvas haciendo uso de Excel

Problemas1. Dado el siguiente juego de datos, ajustarlos a un polinomio cuadrático (grado 2) por mínimos cuadrados:

x y0.0 1.0000000.1 1.1051710.2 1.2214030.3 1.3498590.4 1.4918250.5 1.648721

2. Dado el siguiente juego de datos, ajustarlos a una función exponencial de la forma 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑏𝑏 por mínimos cuadrados:

x y0.0 0.5000000.1 0.6749290.2 0.9110590.3 1.2298020.4 1.6600580.5 2.240845

Considere para ambos problemas 6 dígitos de precisión.

Ajuste de Curvas