3

EinstiegEinstieg

Ausblick

1 Natürliche Zahlen

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, ...• wie man Zahlen der Größe nach ordnet.

• wie man Daten oder Zahlen aus Tabellen in Diagramme überträgt und

umgekehrt.

• wie man Anzahlen schätzt und sinnvoll rundet.

• wie man Zahlen aus dem Dezimalsystem in ein anderes Zahlensystem

umwandelt und umgekehrt.

• In welchen Situationen braucht man Zahlen? Finde Beispiele.

• Du bist nun in einer neuen Schule und einer völlig neuen Klasse.

Was würdest du gerne von deinen Mitschülern wissen?

Welche Informationen lassen sich mithilfe von Zahlen erfragen?

Beschreibe Möglichkeiten, Ergebnisse einer Umfrage zu veranschaulichen.

2 Rechnen mit natürlichen Zahlen

Einstieg

Ausblick

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, …• wie man die Grundrechenarten schriftlich ausführt.

• was Potenzen sind und wie man mit ihnen rechnet.

• wie man kombinatorische Aufgaben systematisch bearbeiten und lösen kann.

• welche Rechengesetze es gibt und wie man sie anwendet.

Der Augsburger Zoo ist ein beliebtes Ausflugsziel.

• Welches Angebot nutzt du, wenn du am Wochenende mit deiner Familie in den

Zoo gehen willst?

• Ermittle, wann sich der Kauf einer Jahreskarte lohnt.

• Suche weitere Daten und Fakten zum Augsburger Zoo und präsentiere sie.

März – Okt. Nov. – Feb. Jahreskarten

Erwachsene 10 f 8 f 35 f

Kinder (3–15 J.) 5 f 4 f 15 f

Ermäßigte 9 f 7 f 30 f

Inhalt

1 Natürliche Zahlen Startklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Die Menge der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Natürliche Zahlen ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Natürliche Zahlen darstellen – das Zehnersystem . . 12

1.4 Natürliche Zahlen veranschaulichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Natürliche Zahlen runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Schätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8 Themenseite: Römische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.9 Das kann ich! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.10 Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.11 Mathe mit Köpfchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Rechnen mit natürlichen Zahlen Startklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1 Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion 36

2.2 Natürliche Zahlen addieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Natürliche Zahlen subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division 42

2.5 Natürliche Zahlen multiplizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6 Natürliche Zahlen dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.8 Kombinieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.9 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.10 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.11 Themenseite: Fermi-Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.12 Das kann ich! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.13 Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.14 Mathe mit Köpfchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4

3 Rechnen mit Größen

Einstieg

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, …• was eine Größe ist und wie man Größen messen kann.

• wie man zwischen den verschiedenen Einheiten einer Größe umrechnet.

• wie man mit Größen rechnen kann.

• wie man mit Maßstäben umgeht.

• Betrachte das Bild. Gib an, wie hoch der Baum im Vordergrund sein könnte.

• Bäume produzieren das Gas Sauerstoff. Recherchiere, wie viel Kilogramm ( Liter) Sauerstoff ein Baum ungefähr produziert.

• Finde heraus, wie alt eine Kastanie (ein Walnussbaum) werden kann.

• Holz ist wertvoll: als Brennstoff, Werkstoff und Baustoff. Erstelle mithilfe des Internets eine Tabelle mit tagesaktuellen Preisen für Nadelgehölz.

Ausblick

4 Geometrische Grundbegriffe

Einstieg

Ausblick

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, …• geometrische Grundbegriffe wie Punkt, Strecke und Gerade sachgerecht

anzuwenden.

• Winkel zu messen, zu zeichnen und zu unterscheiden.

• geometrische Figuren anhand von Eigenschaften zu benennen.

• geometrische Körper zu erkennen und einfache Darstellungen zu zeichnen.

• Beschreibe, wo gerade Linien (Strecken) vorhanden sind und wo gekrümmte.

• Findest du Strecken, die parallel bzw. senkrecht zueinander verlaufen?

• Kannst du Symmetrien auf dem Bild finden?

• Wo in deiner Umwelt findest du noch Geraden, Strecken, Senkrechten, …?

Inhalt

3 Rechnen mit Größen Startklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.1 Geld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2 Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.5 Hohlmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6 Dreisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.7 Maßstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.8 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.9 Toolbox: Tabellenkalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.10 Das kann ich! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.11 Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.12 Mathe mit Köpfchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4 Geometrische Grundbegriffe Startklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.1 Strecken und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2 Senkrecht und parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3 Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4 Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.5 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.6 Winkel messen und zeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.7 Neben- und Scheitelwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.8 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.9 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.10 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.11 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.12 Schrägbilder von Quader und Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.13 Netze von Quader und Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.14 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.15 Toolbox: Dynamische Geometrieprogramme . . . . . . 142 4.16 Das kann ich! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.17 Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.18 Mathe mit Köpfchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5

7 Teilbarkeit

Einstieg

Ausblick

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, …• was Teiler und Vielfache von Zahlen sind.

• wie man Teilbarkeitsregeln entdeckt und wozu man sie anwendet.

• wie man sich Zahlen aus „Bausteinen“ zusammengesetzt denken kann.

Getränkekartons werden oftmals so abgepackt, dass sie zusammen eine

rechteckige Fläche einnehmen.

• Welche Anzahlen eignen sich dazu? Woran liegt das?

6 Umfang und Flächeninhalt

Einstieg

Ausblick

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, …• was der Umfang von Figuren ist und wie man ihn bestimmen kann.

• was ein Flächeninhalt ist.

• welche Flächenmaße es gibt und wie man diese ineinander umrechnet.

• wie man den Flächeninhalt von Figuren bestimmen kann.

• Betrachte die Luftaufnahme der Felder.

Welches Feld ist am größten? Woran erkennt man das?

• Bei welchem Feld bräuchte man am meisten Zaun? Erkläre.

Paris

London

5

Rom 10

Minsk –10

Berlin –5

0

5 Ganze Zahlen

Einstieg

Ausblick

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, …• was ganze Zahlen sind.

• wie man ganze Zahlen anordnet.

• wie man mit ganzen Zahlen rechnet.

• wie man alltagsbezogene Aufgaben zu ganzen Zahlen löst.

Der Kartenausschnitt zeigt die erwarteten Höchsttemperaturen an einem

Januartag in einigen europäischen Hauptstädten.

• Welche Aussagen lassen sich machen? Finde möglichst viele verschiedene

Möglichkeiten.

Inhalt

5 Ganze Zahlen Startklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.1 Negative und positive Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.2 Gegenzahl und Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.3 Ganze Zahlen anordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.4 Situationstypen der Addition und Subtraktion . . . . . . 158

5.4 Ganze Zahlen addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . 160

5.6 Rechengesetze (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.7 Ganze Zahlen multiplizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.8 Ganze Zahlen dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.9 Rechengesetze (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.10 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.11 Das kann ich! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.12 Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.13 Mathe mit Köpfchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6 Umfang und Flächeninhalt Startklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.1 Umfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.2 Flächen vergleichen und messen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.3 Flächeneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.4 Flächeninhalt von Rechtecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.5 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.6 Themenseite: Bauernhof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.7 Das kann ich! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.8 Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.9 Mathe mit Köpfchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7 Teilbarkeit Startklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.1 Teiler und Vielfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.2 Teilbarkeit durch 2, 4, 5 und 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.3 Teilbarkeit durch 3 und 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.4 Primfaktoren und Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.5 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.6 Themenseite: Buchstabenhäufigkeit und Geheimschriften . . . . . . 216 7.7 Das kann ich! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.8 Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.9 Mathe mit Köpfchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Mathematische Zeichen und Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Bildnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224