1 Grupaosebje.famnit.upr.si/~penjic/algebraIII/zima2016_2017/17_Vse_nalog… · 1 Grupa De nicija (binarna operacija) Binarna operacija na mno zici Sje vsaka preslikava, ki slika

1 Grupa

Definicija (binarna operacija)Binarna operacija na množici S je vsaka preslikava, ki slika iz kartezičnega produkta S×S nazaj

v množico S. Običajno jo označimo z oznako ∗, to je ∗ : S×S → S. Dogovorimo se, da za a, b, c ∈ Snamesto c = ∗(a, b) pǐsemo c = a ∗ b = ab.

Definicija (zaprtost za operacijo ∗)Naj bo ∗ binarna operacija na S i naj bo H ⊆ S neprazna podmnožica. Če je a∗b ∈ H za poljubna

a, b ∈ H, potem rečemo, da je ∗ notranja operacija za H, oziroma, da je H zaprta podmnožica zaoperacijo ∗.

1. Pokaži, da je podmnožica GLn(R) množice Matn×n(R) ki jo sestavljajo od vseh n× n obrnljivematrike, zaprta glede na množenje matrik.

2. Naj bo U = {z ∈ C : |z| = 1} (U je krožnica v kompleksni ravnini s centrom v izhodǐsču inpolmerom 1). Pokaži, da je množica U zaprta glede na množenje.

3. Naj bo G množica vseh realnih števil oblike x+ y√

2, kjer sta x, y ∈ Q racionalni števil, kinista hkrati enaki ničli. Pokaži, da je G zaprta glede na običajeno množenje.

Definicija (asociativnost, komutativnost)Binarna operacija ∗ na množici S je asociativna, če za poljubne a, b, c ∈ S velja (a∗b)∗c = a∗(b∗c).

Rečemo tudi, da za ∗ velja asociativnost.Binarna operacija ∗ na množici S je komutativna, če za poljuben par a, b ∈ S velja a ∗ b = b ∗ a.

Rečemo tudi, da za ∗ velja komutativnost.

4. Dana je množica G = {a ∈ R | a > 0, a 6= 1} in dana je operacija ∗ definirana na naslednjinačin: a ∗ b = alog5 b. Preveri, ali je ∗ binarna operacija, ter ali je asociativna in komutativna namnožici G.

Za končne množice, se binarno operacijo na množici lahko definira s pomočjo tabele,

v kateri so vsi elementi množice natisnjeni zgoraj in na levi strani vsake vrste. Vedno

zahtevamo, da so vsi elementi natisnjeni v istem vrstnem redu. Takšna tabela se

imenuje Cayley-eva tabela. Npr. Cayley-eva tabela za (Z5,+) je dana na desni strani.

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3∗ a b c d

a a b db a c dc c d c dd

5. Tabelo dano na levi strani dopolni na takšen način, da bo ∗ komutativna binarnaoperacija na množici S = {a, b, c, d}.

6. Tabelo dano na desni strani se lahko dopolni tako da bo ∗ asociativna binarnaoperacija na množici S = {a, b, c, d}. S predpostavko, da je to mogoče, izračunajmanjkajoče elemente.

∗ a b c d

a a b cb b d cc c a d bd d a

7. Dana je množica G = {a, b, c}. Določiteštevilo različnih binarnih operacij definiranih namnožici G. Koliko izmed njih je komutativnih?

8. Na množici celih števil Z je definiranaoperacija ∗ na naslednji način: a ∗ b = a+ b− 1.Preveri, ali je ∗ binarna operacija, ter če je

komutativna in asociativna na množic Z.

9. Na množici pozitivnih realnih števil R+ jedefinirana operacija ∗ na naslednji način:a ∗ b = ab. Preveri, ali je ∗ binarna operacija, terče je komutativna in asociativna na množic R+.

1

Definicija (nevtralni element, inverz (obrat))Naj bo ∗ binarna operacija definirana na množici G.Elementu e ∈ G pravimo nevtralni element operacije ∗, če za vsak a ∈ G velja a ∗ e = e ∗ a = a.Elementu a′ pravimo inverz elementa a glede na operacijo ∗, če velja a ∗ a′ = e in a′ ∗ a = e, kje

je e nevtralni element.

10. Naj bo Un = {z ∈ C | zn = 1} (množica Un se imenuje množica n-tih korenov od 1). Pokažida: (i) je Un zaprta glede na običajno množenje; (ii) obstaja nevtralni element; (iii) ima vsakelement z ∈ Un inverz.

11. Operacija ”običajno” množenje je binarna operacija na množici G ={

1 + 2m

1− 2n: m,n ∈ Z

}.

Preveri če (i) obstaja nevtralni element; (ii) ima vsak element a ∈ G inverz.

Definicija (grupa, abelska grupa)Grupa (G, ∗) je množica G skupaj z operacijo ∗ na G, ki zadošča naslednjim aksiomom:

(ZAPRTOST) Za vse a, b ∈ G velja a ∗ b ∈ G;(ASOCIATIVNOST) Za vse a, b, c ∈ G velja (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).(NEVTRALNI ELEMENT) Obstaja tak element e ∈ G, da za vsak element a ∈ G velja e ∗ a =a ∗ e = a.(INVERZNI ELEMENT) Za vsak element a ∈ G obstaja a′ ∈ G, za katerega velja a∗a′ = a′ ∗a = e.

Če za binarno operacijo ∗ velja še, da je komutativna, to je, če za poljubna a, b ∈ G veljaa ∗ b = b ∗ a, pravimo, da je grupa abelska oziroma komutativna.

Če je operacija grupe ∗ množenje, potem se nevtralni element imenuje enota oziroma identiteta,in operacijo navadno izpuščamo, torej namesto grupa (G, ∗) pǐsemo grupa G, namesto a ∗ b pa karab.

12. Ali je množicaG = {X ∈ Mat2×2(R) : det(X) = 1}

glede na običajno množenje matrik grupa?Obrazložiti svojo trditev.

13. Naj bo GLn(R) ⊆ Matn×n(R) množicavseh n× n obrnljivih matrik, katerih elementi sorealna števila. Predpostavimo, da je G grupa sšestimi elementi iz GL2(R) glede na operacijomnoženja matrik. Pretpostavimo tudi, da velja(

0 11 0

)∈ G in

(−1 −10 1

)∈ G.

(a) Kateri so preostali elementi v G?Obrazložiti svojo trditev.

(b) Zapǐsi Cayley-evo tabelo za G.(c) Ali je G abelska grupa?

14. Naj bo Q+ množica pozitivnihracionalnih števil, in naj bo ∗ operacijadefinirana na množici Q+ na naslednji način:a ∗ b = ab

2. Preveri, ali je (Q+, ∗) grupa.

15. Naj bo G grupa, ki ima naslednjolastnost: ∀g ∈ G g2 = e. Pokaži, da je G abelskagrupa.

16. Naj bo G grupa z operacijo množenja, innaj bosta a, b ∈ G dana elementa. Dokaži, da zavsako pozitivno število n velja:

(aba−1)n = abna−1.

17. Naj bo G grupa, ki ima naslednjolastnost: a, b ∈ G, n ∈ Z+ ⇒ (ab)n = anbn.Pokaži, da je G abelska grupa.

18. Dana je podmnožica GLn(R) množiceMatn×n(R), ki vsebuje vse n× n obrnljivemetrike. Pokaži, da je GLn(R) grupa glede naoperacijo množenja metrik.

19. Naj bo n pozitivno celo število in naj bonZ = {nm |m ∈ Z}. Pokaži, da je (nZ,+)grupa.

Rešitve: 1. [GLn(R) = {A ∈ Matn×n(R) | ∃A−1 t.d. AA−1 = I}, (AB)(B−1A−1) = I] 2.[z = a+ ib = |z|(cosϕ+ i sinϕ) = |z|eiϕ, z1 · z2 = eiθ1 · eiθ1 ; |z1z2| = 1] 3.[g1 · g2 = x1x2 + 2y1y2︸︷︷︸

∈Q

+ (x1y2 + x2y1)︸︷︷︸∈Q

√2; 1◦ x1 6= 0, x2 6= 0 2◦ x1 6= 0, y2 6= 0, 3◦ y1 6= 0, x2 6= 0,

4◦ y1 6= 0, y2 6= 0] 4. [c = log5 b, ac 6= 1, ac > 0 ∀c ∈ R; (a ∗ b) ∗ c = alog5 b·log5 c = a ∗ (b ∗ c); je komutativna,

2

loga b =ln bln a ⇒ ln b = ln a · loga b ⇒

ln bln 5 =

ln aln 5 · loga b ⇒ b

ln aln 5 = ln bln 5 ⇒ a

ln bln 5 = b

ln aln 5 ⇒ a ∗ b = b ∗ a] 5.

[a ∗ c = c, b ∗ a = b, d ∗ a = d, d ∗ b = d, d ∗ c = d, d ∗ d = ∀] 6. [a ∗ d = d, b ∗ c = a, d ∗ b = c, d ∗ c = b] 7.[39 različnih, 36 komutativnih] 8. [zaprta, asocijativna, komutativna] 9. [zaprta, ni asocijativna, ni

komutativna, (a ∗ b) ∗ c = abc, a ∗ (b ∗ c) = abc , npr. 72 6= 27] 10. [1 = |zn| = |z|n|einϕ| ⇒ |z| = 1, 1 ∈ Un,1 · z = z · 1 = z, zn−1 ∈ Un, z · zn−1 = 1] 11. [e = 1, a′ = 1−2n1+2m =

1+2(−n)1+2(−m) ∈ G] 12. [G je grupa;

det(AB) = 1, A · (B · C) = (A ·B) · C, det(I) = 1, ∀A ∈ G A =[a bc d

]A−1 =

[d −b−c a

], A−1 ∈ G] 13.

[A =

[0 11 0

], B =

[−1 −10 1

], A2 = I, AB = C =

[0 1−1 −1

], CA = D,C2 = E =

[−1 −11 0

];

G = {I, A,B,C,D,E}, ni abelska] 14. [ab2 ∈ Q+, (a ∗ b) ∗ c = abc4 = a ∗ (b ∗ c), e = 2; a

′ = 4a ; je grupa] 15.

[ab ∈ G, (ab)2 = e ⇒ (ab)(ab) = e ⇒ a2(bab) = a ⇒ bab = a ⇒ b2ab = ba ⇒ ab = ba] 16.[(aba−1)1 = ab1a−1, (aba−1)2 = (aba−1)1 · (aba−1)1 = ab1a−1ab1a−1 = ab2a−1;(aba−1)n+1 = (aba−1)n · (aba−1)1] 17. [2 ∈ Z+, (ab)2 = a2b2 ⇒ (ab)(ab) = a2b2 ⇒ ... ⇒ ab = ba] 18.[(AB)(B−1A−1) = I] 19. [a = nm1, b = nm2, a+ b = n(m1 +m2) ∈ nZ, e = 0 = 0m ∈ nZ,a′ = n(−m) ∈ nZ]

POMEMBNI REZULTATI (Grupa. Red grupe. Red elementa.)

1. V grup je enota enolično določena edinstvena.

2. V grupi je inverz elementa enolično določen.

3. Če je (G, ·) grupa, potem je (a−1)−1 = a ∀a ∈ G.4. Če je (G, ·) grupa, potem je (ab)−1 = b−1a−1 ∀a, b ∈ G.5. Če je (G, ·) grupa in ab = ac, potem je b = c.6. Če je (G, ·) grupa in ba = ca, potem je b = c.7. V končni grupi je red vsakega elementa končan in ne more biti večji od reda grupe.

8. V grupi je red elementa in njegovega inverza isti.

Nekatere družine grup je mogoče povzeti v tabeli spodaj. Tukaj je R∗ = R/{0}; C∗ = C/{0};U(n) = {k ∈ N | k < n, gcd(k, n) = 1}; SL2(R) = {X ∈ Mat2×2(R) : det(X) = 1}

Grupa Operacia Identiteta Oblika elementa Inverz Abelska

Z seštevanje 0 k −k daQ+ množenje 1 m/n, m, n > 0 n/m daZn seštevanje modulo n 0 k n− k daR∗ množenje 1 x 1/x daC∗ množenje 1 a+ ib a

a2+b2− bi

a2+b2da

GL2(R) množenje matrik(

1 00 1

) (a bc d

) ( dad−bc

−bad−bc

−cad−bc

aad−bc

)ne

U(n) množenje modulo n 1 k, gcd(k, n) = 1 rešitev kxmodn = 1 da

Rn seštevanje pokomponentah

(0, 0, ..., 0)> (a1, a2, ..., an)> (−a1,−a2, ...,−an)> da

SL2(R) množenje matrik(

1 00 1

) (a bc d

), ad− bc = 1

(d −b−c a

)ne

Dn kompozicija R0 Rα, L R360−α, L ne

3

(Ta stranica je namerno puščena prazna.)

4

2 Nekatere družine grup in podgrupe

1. Recimo, da smo odstranili področje kvadratne oblike iz ravnine, ga premaknili na nek način,nato pa kvadrat vrnili nazaj na mesto, ki ga je prvotno zasedal. Opǐsite vse možne načine, nakatere se to lahko stori. Natančneje, želimo opisati možne odnose med štartnim položajem kvadratain njegovo končno pozicijo v smislu gibanja (zanima nas samo končni učinek gibanja, ne pa gibanjesamo. Recimo, vrtenje za 90◦ in vrtenje za 450◦ smatramo kot enaka, saj je končni učinek enak).

Definicija (simetrija geometrijskega lika)Simetrija geometrijskega lika je preureditev oglǐsč in stranic lika na tak način, da se ohranjajo vsaoglǐsča in stranice lika, njihovi medsebojni odnos, ter razdalje in koti.

2. Dana je množicaD4 = {R0, R90, R180, R270, H, V,D,D′}kje osem elementov množice predstavljaosem simetrij kvadrata, ki smo jih ugotoviliv predhodni nalogi. Dana je tudi Cayley-evatabela D4 glede na operacijo kompozicije.(i) Ali je množica D4 zaprta glede na op-eracijo kompozicije?

R0 R90 R180 R270 H V D D′

R0 R0 R90 R180 R270 H V D D′

R90 R90 R180 R270 R0 D′ D H V

R180 R180 R270 R0 R90 V H D′ D

R270 R270 R0 R90 R180 D D′ V H

H H D V D′ R0 R180 R90 R270V V D′ H D R180 R0 R270 R90D D V D′ H R270 R90 R0 R180D′ D′ H D V R90 R270 R180 R0

(ii) Ali obstaja enota?(iii) Ali ima vsak element inverz?(iv) Ali se vsak element iz D4 pojavi natanko enkrat v tabeli v vsaki vrstici in vsakem stolpcu?(v) Ali je množica D4 grupa glede na operacijo kompozicije? Ali je grupa abelska?

Pripomba. Osem simetrij kvadrata R0, R90, R180, R270, H, V , D in D′ skupaj z operacijo

kompozicije, tvorita grupo, ki jo imenujemo diederska grupa reda 8 (red grupe je število elementovgrupe). Ta grupa bo označena z D4.

Multiplikativna grupa Aditiva groupaa · b ali ab množenje a+ b seštevanjee ali 1 enota 0 enotaa−1 inverz od a −a inverz od aan potenca od a na večkratnik od aab−1 kvocijent a− b razlika

Če je dana multiplikativna grupa G in čeje g ∈ G potem: bomo g · g označevali zg2, ggg z g3, ..., gg...g︸︷︷︸

n dejavniki

z gn. Tabela levo

prikazuje razliko med aditivno in multi-plikativno grupo.

Dogovorimo se, da za a ∈ G namesto a−1 · a−1 · ... · a−1︸︷︷︸n

pǐsemo a−n (kje je a−1 inverz elementa a).

Definicija (red grupe, red elementa)

Kardinalnost ali red grupe G je enaka kardinalnosti pripadajoče množice G. Če je torej Gkončna množica, gre za število elementov v grupi G. Grupa, ki vsebuje neskonačno elementov, jeneskonačnega reda. Red grupe G označimo z |G|.

Naj bo G grupa in g ∈ G. Red elementa g je najmanǰse pozitivno naravno število n, da jegn = e. Red elementa g označimo z |g| (oziroma o(g)). Če tako število n ne obstaja, pravimo, da jeg neskonačnega reda. Nevtralni element je edini element reda 1.

3. Dana je grupa D4 (diederska grupa simetrij kvadrata - glej preǰsnja dva problema). Določi redgrupe, ter določi red elementov R0, R90 in H.

4. Naj bo G grupa, in naj bo g ∈ G konačnega reda. Pokaži, da obstaja pozitivno število k takoda velja g−1 = gk (kje je g−1 inverz elementa g).

Izrek o ostanku. Za dano celo število m ∈ Z in za pozitivno celo število n ∈ Z+ obstajata enoličnodoločena q ∈ Z (količnik) in r ∈ Z+ (ostanek) tako da velja: m = nq + r, in r ∈ {0, 1, ..., n− 1}.

5

Operacija moduloOperacija modulo (mod) vrne ostanek pri

celoštevilčnem deljenju (poǐsče ostanek deljenjaene številke z drugo). Če je m = nq + r, r ∈{0, 1, ..., n− 1} (m ∈ Z, n ∈ Z+) potem je

m mod n = r.

Definicija (seštevanje modulo n, množenjemodulo n)

Naj bo Zn = {0, 1, 2, ..., n − 1} (kje je n ≥ 1fiksno celo število). Na množici Zn definiramooperacijo seštevanje modulo n, +n na naslednjinačin:

+n : Zn × Zn −→ Zn(a, b) −→ a+ b (modn)

kje število a+b (modn) pomeni ostanek, ki ga do-bimo, ko vsoto a+ b delimo s n. Pogosto namesto+n pǐsemo +.

Podobno, na množici S ⊆ Zn definiramo op-eracijo množenje modulo n, ·n na naslednji način:

·n : S × S −→ Zn(a, b) −→ ab (modn)

kje število ab (modn) pomeni ostanek, ki ga do-bimo, ko produkt ab delimo s n. Pogosto namesto·n pǐsemo ·.

5. Definirajmo množico U(10) kot množicovseh pozitivnih celih števil manǰsih od 10, ki sotuji z 10. Z drugimi besedami,U(10) = {k ∈ N | k < 10, gcd(k, 10) = 1}. ZapǐsiCayley-evo tabelo za U(10) glede na operacijomnoženja modulo 10.

6. MnožicaU(15) = {k ∈ N | k < 15, gcd(k, 15) = 1} tvorigrupo glede na operacijo množenja modulo 15.

Določi red grupe, ter določi red elementov 1, 2, 7in 11.

7. Napǐsi Cayley-evo tabelo za množico Z5glede na operacijo seštevanja in množenjamodulo 5.

8. Dana je grupa Z10 z operacijo seštevanjamodulo 10. Določi red grupe, ter določi redelementov 0, 2, 5 in 7.

Definicija (podgrupa)Naj bo (G, ∗) grupa. Potem je podmnožica H ⊆ G glede na operacijo ∗ podgrupa grupe G, če je

(H, ∗) grupa. S simboli zapisano: H ≤ G.

9. Naj bo G abelska grupa glede na operacijomnoženja, in naj bo e identiteta. Pokaži, da jeH = {x2 |x ∈ G} podgrupa grupe G(podmnožica H je množica vseh ”kvadratov”elementov grupe G).

10. Naj bo G abelska grupa glede na operacijomnoženja, in naj bo e identiteta. Pokaži, da jeH = {x ∈ G |x2 = e} podgrupa grupe G.

11. Naj bo G abelska grupa, in naj bo Hpodmnožica tistih elementov grupe G, ki sokončnega reda. Dokaži, da je H podgrupa grupeG.

12. Naj bo R90 element iz grupe D4, in najbo H najmanǰsa podgrupa, ki vsebuje R90.Poǐsči druge elemente podgrupe H.

13. Določi vse podgrupe grupe D4.

14. Določi vse podgrupe grupe Z4.



17. Naj bo H končna neprazna podmnožicagrupe G. Pokaži, da je H podgrupa grupe G čein samo če xy ∈ H za poljubna x, y ∈ H.

18. Naj bo G grupa, in naj bo H nepraznapodmnožica možice G. Pokaži, da če jeab−1 ∈ H za poljubna a, b ∈ H, potem je Hpodgrupa grupe G.

19. Naj bo G grupa, in naj bo H nepraznapodmnožica grupe G. Pokazati, da če je ab v Hkadarkoli sta a in b v H (torej, če je H zaprtaglede na operacijo množenja), in če je a−1 v Hza poljuben a ∈ H (torej, če je H zaprta zainverze), potem je H podgrupa grupe G.

Opomba. Iz naloge 19 vidimo, da je H podgrupa grupe G če je (i) H 6= ∅, (ii) H zaprta glede naoperacijo množenja in (iii) ∀a ∈ H imamo a−1 ∈ H (da vsak a iz H ima inverz v H).

Zaradi naloge številka 18, vidimo da je H podgrupa grupe G če je (i) H 6= ∅ in (ii) ∀a, b ∈ Hab−1 ∈ H.

6

Rešitve: 1. [R0 = rotacija od 0◦ (brez sprememb v položaju), R90, R180, ..., D, D′,�CZPB

R90−−→ �BCZP , �CZPB R180−−−→ �PBCZ, �CZPB H−→ �ZCBP ] 2.(i) [je zaprta]; (ii) [e = R0] (iii)[imajo] (iv) [da] (v) [je grupa, ni abelska]. 3. [|D4| = 8, |R0| = 1, |R90| = 4, |H| = 2] 4. [gn = e,ggn−1 = gn−1g = e] 5. [3 · 7 = 1, 3 · 9 = 7, 7 · 1 = 7, 7 · 3 = 1, 7 · 7 = 9, 7 · 9 = 3, 9 · 1 = 9, 9 · 3 = 7, 9 · 7 = 3,9 · 9 = 1] 6. [|U(15)| = 8, |1| = 1, |2| = 4, |7| = 4, |11| = 2] 7. [3 · 2 = 1, 3 · 3 = 4, 3 · 4 = 2] 8.[|Z10| = 10, |0| = 1, |2| = 5, |5| = 2, |7| = 10] 9. [x2y2 = (xy)2, e2 = e, x−1 ∈ G⇒ (x−1)2 ∈ H] 10.[(xy)2 = x2y2 = e, e2 = e, x · x = e] 11. [x, y ∈ H, |x| = n, |y| = m (n,m ∈ Z), (xy)nm = xnmynm,xnm = (xn)m = em; xn = e, e = x−n = (x−1)n] 12. [H = {R0, R90, R180, R270}] 13. [{R0},{R0, R90, R180, R270}, {R0, R180}, {R0, H}, {R0, V }, {R0, D}, {R0, D′}, {R0, R180, H, V },{R0, R180, D,D′}, D4] 14. [{0}, {0, 2}, {0, 1, 2, 3}] 15. [{0}, Z7] 16. [{0}, {0, 2, 4, 6, 8, 10}, {0, 3, 6, 9},{0, 4, 8}, {0, 6}, Z12] 17. [x ∈ H, S = {x, x2, x3, ..., xn, ...}, S ⊂ H, ∃i 6= j t.d. xi = xj , e = xj−i ⇒ e ∈ H,x · xn−1 = e, x−1 = xn−1] 18. [e = xx−1 = ab−1 ∈ H, ex−1 = ab−1, xy = x(y−1)−1 = ab−1 ∈ H] 19.[a, b ∈ H, b−1 ∈ H, ab−1 ∈ H]

POMEMBNI REZULTATI (Podgrupe.)

1. Če je H podgrupa grupe G potem

(i) Je identiteta podgrupe H in grupe G ista.

(ii) Je inverz elementa v podgrupi H glede na grupo H in G isti.

(iii) Je red elementa v podgrupi H glede na grupo H in G isti.

2. Naj bo G grupa z binarno operacijo množenja. Podmnožica H grupe G je podgrupa grupe Gče velja eden od naslednji ekvivalentnih pogojov:

(a) ab ∈ H, a−1 ∈ H ∀a, b ∈ H(b) ab−1 ∈ H ∀a, b ∈ HČe je H končna je H podgrupa grupe G, če je ab ∈ H ∀a, b ∈ H.

3. Presek dveh podgrup grupe je tudi podgrupa grupe.

7


8

3 Ciklične grupe.

Definicija (〈a〉)Za vsak element a grupe G, definiramo 〈a〉 na naslednji način

〈a〉 = {an | n ∈ Z}.

Upoštevajte, da eksponent elementa a vključuje vsa negativna cela števila, kot tudi ničlo, in vsapozitivna cela števila (po definiciji, je a0 identiteta)

1. Naj bo G grupa, in naj bo a poljubni element grupe G. Pokažite, da je 〈a〉 podgrupa grupe G.2. Množica U(10) = {k ∈ N | k < 10, gcd(k, 10) = 1} tvori grupo glede na operacijo množenja

modulo 10. Določi 〈3〉.

3. Dana je grupa (Z10,+). Določi 〈2〉.4. Dana je grupa (Z,+). Določi 〈−1〉.

Definicija (ciklična grupa)

Podgrupo 〈a〉 imenujemo ciklična podgrupa grupe G generirana z a. Če je G = 〈a〉 za rez a ∈ G,potem pravimo, da je G ciklična grupa in da je a generator grupe G. (Ciklična grupa lahko ima večgeneratorjev). Upoštevajte, da čeprav ima niz ..., a−2, a−1, a0, a1, a2, ... neskončno mnogo elementov,je lahko množica {an | n ∈ Z} končna. Upoštevajte tudi da je zaradi aiaj = ai+j = aj+i = ajai,vsaka ciklična grupa abelska.

5. Množica G = {I, A,B,AB,BA,ABA} tvorigrupo glede na operacijo množenja, in njena Cayley-eva tabela je dana na desni strani.(a) Določi vse ciklične podgrupe grupe G. Za vsakopodgrupo, napǐsi vse mogoče generatorje.(b) Za vsak g ∈ G, izračunaj |g|. Obrazloži svojotrditev.

I A B AB BA ABA

I I A B AB BA ABAA A I AB B ABA BAB B BA I ABA A ABAB AB ABA A BA I BBA BA B ABA I AB AABA ABA AB BA A B I

6. Dana je grupa G, in dana sta dva elementa a, b ∈ G, ki imata naslednjo lastnost: |a| = 4 in|b| = 2. Če je a3b = ba, določi red elementa ab.

7. Dana je grupa G, in dana sta dva elementa a, b ∈ G, ki imata naslednjo lastnost: |a| = 4 in|b| = 2. Razloži, zakaj enakost a2b = ba ni mogoča.

8. Dana je grupa (Q,+). Pokaži, da ta grupa ni ciklična.9. Naj bo G abelska grupa. Pokaži, da je H = {x ∈ G | |x| je končno število} podgrupa grupe G.10. Pokaži, da za vsak element a grupe G obstaja enolično določen element b ∈ G tako da veljaab = ba = e.

11. Naj bo G grupa, in naj bosta a, b ∈ G. Pokaži, da je (ab)−1 = b−1a−1.12. Naj bo G abelska grupa, in najbo sta H in K podgrupi grupe G. Pokaži, da jeHK = {hk | h ∈ H, k ∈ K} podgrupa grupe G.

13. Naj bo G grupa neničelnih realnih števil glede na operacijo množenja. Preveri, ali staH = {x ∈ G | x = 1, ali x je iracionalno število} in K = {x ∈ G | x ≥ 1} podgrupi grupe G.

14. Naj bo H neprazna končna podmnožica grupe G. Pokaži, da če je H zaprta glede naoperacijo množenja, tedaj je H podgrupa grupe G.

9

15. Za element x ∈ G velja x2 = e natanko takrat, ko je x = x−1. Uporavi to pri dokazunaslednje tvrditve: vsaka grupa sodega reda vsebuje liho število elementov reda 2.

16. Naj bosta x in g elementa grupe G. Pokaži, da imata x in gxg−1 enak red. Zatem pokaži, daimata xy in yx enak red za poljubna dva elementa x, y ∈ G.

17. Naj go G abelova grupa in H, K končni ciklični podgrupi grupe G, kjer je |H| = r in|K| = s. Pokaži, da iz gcd(r, s) = 1 sledi, da v G obstaja ciklična podgrupa reda rs.

18. Pokaži, da je grupa, ki ima končno število podgrup, končna.19. Naj bo p praštevilo. Poǐsči število generatorjev ciklične grupe Zpr , kjer je r ≥ 1.

Rešitve: 1. [anam = am+n, a0 = e, ana−n = a0] 2. [U(10) = {1, 3, 7, 9}, 30 = 1, 32 = 9, 33 = 7, 34 = 1,35 = 3,3−1 = 7,3−2 = 9, 3−3 = 3] 3. [Z10 = {0, 1, 2, ..., 9}, 〈2〉 = {0, 2, 4, 6, 8}] 4. [〈−1〉 = Z] 5. [〈I〉 = {I},〈A〉 = {I, A}, 〈B〉 = {I,B}, 〈AB〉 = 〈BA〉 = {I, AB,BA}, 〈ABA〉 = {I, ABA}] 6.[a2b = ba⇒ b = aba⇒ (ab)2 = e] 7. [a2b = ba⇒ a2 = bab⇒ abab = a3 ⇒ bab = e, abab = a3 ⇒ bab = a2,a2 = e] 8. [Q = 〈ab 〉,

a2b ∈ 〈

ab 〉, n

ab =

a2b , n =

12 ] 9. [|a| = m, |b| = n, (ab)

mn = (am)n(bn)m = enem = e,

(a−1)m = (am)−1 = e−1 = e] 10. [ab = e = ac, b = c] 11. [(ab)(ab)−1 = e, (ab)(b−1a−1) = e] 12. [e = ee,

a = h1k1, b = h2k2, ab = (h1h2)(k1k2), a−1 = h−11 k

−11 ] 13. [

√2 ·√

2 6∈ H, 2−1 6∈ K] 14. [1◦a = e 2◦a 6= e,{a, a2, a3, ...}, ai = aj , ai−j = e, i− j > 1, ai−j−1 = a−1, i− j − 1 ≥ 1] 15. [S = {x ∈ G | x2 6= e},|S| = 2m, G = {e} ∪ S ∪ {x ∈ G | x2 = 2}, disjunktna unija] 16. [(gxg−1)n = (gxg−1)(gxg−1)...(gxg−1)= gxng−1 = e⇒ |gxg−1| ≤ |x|, g′ = g−1, x′ = gxg, |g′x′g′−1| ≤ |x′|] 17. [1◦ r = 1. 2◦ s = 1. 3◦ r, s ≥ 2,H = 〈a〉, K = 〈b〉, ar = e, bs = e, c := ab, crs = (ab)rs = arsbrs = e, naj bo |c| = k; (i) če je k = 1 potemgcd(r, s) = r #protislovje; (ii) k > 1, rs = qk + t (0 ≤ t < k), t = 0, rs = qk, k = rs; M = 〈c〉, M ≤ G]

POMEMBNI REZULTATI (Ciklične grupe.)

1. Vsaka ciklična grupa je abelska.

2. Če je a generator ciklične grupe G, potem je a−1 tudi generator grupe G.

3. Če končna grupa reda n vsebuje element reda n, potem je ta grupa ciklična.

4. Vsaka grupa praštevilskega reda je ciklična.

5. V vsaki grupi sestavljenega reda obstaja prava podgrupa.

6. Naj bo G ciklična grupa generirana z elementom a ∈ G in naj bo o(a) = n. Za m < n, jeelement am generator grupe G če in samo če gcd(m,n) = 1.

7. (Fundamentalni izrek za ciklične grupe.) Vsaka podgrupa ciklične grupe je ciklična. Polegtega, če je |〈a〉| = n, potem je red katerekoli podgrupe grupe 〈a〉 delitelj števila n. Za vsakpozitiven deljitelj k števila n, ima grupa 〈a〉 natanko eno podgrupo reda k - namreč 〈ank 〉.

8. Za vsak pozitiven delitelj k števila n, je množica 〈n/k〉 podgrupa grupe Zn reda k. Poleg tega,te podgrupe so edine podgrupe grupe Zn.

9. Vsaka podgrupa ciklične grupe je ciklična.

10. Vsaka neskončna ciklična grupa ima natanko dva generatorja.

11. Vsaka prava podgrupa neskončne ciklične grupe je neskončna.

10

4 Podgrupe generirane z množico elementov in nekatere

lastnosti cikličnih podgrup

1. Šest simetrij r, s, s′, s′′, s′′′, s′′′′ pravilnega petkotnika je opisanih z naslednjimi slikami.

Simetrije s′, s′′, s′′′, s′′′′, s′s′′′′ in s′′′s′′ izrazi s simetrijami r in s.

Spomnimo se: Grupa G je ciklična, če obstaja a ∈ G tako, da je vsak element grupe G enakneki potenci elementa a. Element a imenujemo generator grupe G.

Definicija (〈M〉)Naj bo G grupa in naj bo M ⊆ G, M 6= ∅. Podgrupa, generirana z M (oznaka 〈M〉) je najmanǰsa

podgrupa grupe G, ki vsebuje M . Elemente množice M imenujemo generatorji grupe 〈M〉.

Podgrupo 〈M〉 lahko definiramo takole: Naj bo M ⊆ G neka podmnožica v grupi G. Najmanǰsapodgrupa v G, ki vsebuje M , je

〈M〉 =⋂{H ≤ G : M ⊂ H}

Množica M generira grupo G, če velja 〈M〉 = G.

Opomba. Če je G ciklična grupa, potem obstaja M moči 1, ki generira G. Če je M = {a} potemnamesto 〈{a}〉 pǐsemo 〈a〉.

Če M = {a, b} potem namesto 〈{a, b}〉 pǐsemo 〈a, b〉. Če je M = {a, b, ..., c}, potem namesto〈{a, b, ..., c}〉 pǐsemo 〈a, b, ..., c〉.

2. Dana je grupa D5 = {e, r =R72, r

2, r3, r4, s, rs, r2s, r3s, r4s} (grupa vsehsimetrij pravilnega petkotnika glede na op-eracijo kompozicije - ta grupa je znana podimenom diederska grupa reda 10). Dana jetudi njena Cayley-eva tabela (tabela levo).(a) Določi vse ciklične podgrupe grupe D5.(b) Določi 〈r, s〉, 〈r2, rs〉, 〈r, r3〉, 〈rs, r3s〉 in〈r2s, r4s〉.(c) Določi vse podgrupe grupe D5.

e r r2 r3 r4 s rs r2s r3s r4s

e e r r2 r3 r4 s rs r2s r3s r4sr r r2 r3 r4 e rs r2s r3s r4s sr2 r2 r3 r4 e r r2s r3s r4s s rsr3 r3 r4 e r r2 r3s r4s s rs r2sr4 r4 e r r2 r3 r4s s rs r2s r3ss s r4s r3s r2s rs e r4 r3 r2 rrs rs s r4s r3s r2s r e r4 r3 r2

r2s r2s rs s r4s r3s r2 r e r4 r3

r3s r3s r2s rs s r4s r3 r2 r e r4

r4s r4s r3s r2s rs s r4 r3 r2 r e

3. (a) Dana je grupa (Z20,+). Določi 〈8, 14〉. Ali je 〈2〉 = 〈8, 14〉?(b) Dana je grupa (Z,+). Določi 〈8, 13〉.(c) Dana je diederska grupa D4. Določi 〈H,V 〉 in 〈R90, V 〉.

4. Dana je grupa C∗, grupa vseh neničelnih kopleksnih števil glede na operacijo množenja. Določi〈1, i〉. Ali je 〈1, i〉 = 〈i〉?

5. (a) Dana je grupa (C,+). Določi 〈1, i〉.(b) Dana je grupa (R,+). Določi 〈2, π,

√2〉.

11

6. Dana je grupa v kateri a, b, c in d komutirajo. Določi 〈a, b, c, d〉.7. Dana je diederska grupa Dn reda 2n (grupa vseh simetrij pravilnega n-kotnika glede na

operacijo kompozicije) in naj bo R rotacija za 360n

stopinj. Določi 〈R〉.

8. Določi grupo ki vsebuje elemente a in b take, da je |a| = |b| = 2, in da je(a) |ab| = 3, (b) |ab| = 4, (c) |ab| = 5.

Ali lahko kaj povemo o relacijah med |a|, |b| in |ab|?

9. Določi red grupe G, ki je generirana z dvema elementoma x in y, ki imata naslednjo lastnost:x3 = y2 = (xy)2 = 1. Napǐsi vse mogoče podgrupe grupe G.

10. Dan je grupa (Q,+). Pokaži, da to grupo ni mogoče generirati s končno mnogo elementov.

11. Pokaži, da je H ={[

1 n0 1

]| n ∈ Z

}ciklična podgrupa grupe GL2(R).

12. S primerom pokaži, da produkt elementov končnega reda v neabelski grupi ni nujnokončnega reda.

13. Naj bo G ciklična grupa reda 6. Koliko elementov grupe G generira G?14. Naj bo G ciklična grupa reda n. Določi koliko elementov grupe G generira grupo G.15. Naj bo G grupa in naj bo a ∈ G končnega reda. Pokaži, da je |a| = |〈a〉|.16. Pokaži, da je vsaka podgrupa ciklične grupe ciklična.17. Naj bo G = 〈a〉 ciklična grupa reda n. Pokaži, da red poljubne podgrupe grupe G deli n.18. Naj bo G ciklična grupa reda n, in naj bo r celo število, ki deli n. Pokaži, da G vsebuje

natanko eno podgrupo reda r.

19. (a) Dokaži, da ima abelska grupa z dvema elementoma reda 2 vedno podgrupo reda 4.(b) Najdi primer neciklične grupe, v kateri so vse prave podgrupe ciklične.(c) Naj bo G grupa in naj bo a ∈ G. Dokaži, da je 〈a−1〉 = 〈a〉.(d) Dokaži, da mora biti grupa reda 3 ciklična.

Rešitve: 1. [s′ = sr3 = r2s, s′′ = sr = r4s, s′′′ = sr4 = rs, s′′′′ = sr2 = r3s, s′s′′′′ = r4, s′′′s′′ = r2] 2.[〈e〉 = {e}, 〈r〉 = {e, r, r2, r3, r4}, 〈s〉 = {e, s}, 〈rs〉 = {e, rs}, 〈r2s〉 = {e, r2s}, 〈r3s〉 = {e, r3s},〈r4s〉 = {e, r4s}] 3.(a) [〈8, 14〉 = {0, 2, 4, ..., 18} = 〈2〉]; (b) [〈8, 13〉 = Z]; (c) [〈H,V 〉 = {R0, R180, H, V },〈R90, V 〉 = D4]. 4. [〈1, i〉 = {1, i,−i,−i} = 〈i〉] 5.(a) [〈1, i〉 = {a+ ib | a, b ∈ Z}]; (b)[〈2, π,

√2〉 = {2a+ πb+ c

√2 | a, b, c ∈ Z}]. 6. [〈a, b, c, d〉 = {aqbrcsdt | q, r, s, t ∈ Z}] 7.

[〈R〉 = {e,R,R2, ..., Rn−1}] 8.(a) [D3]; (b) [D4]; (c) [D5]. 9. [|G| = 6, G = {1, x, x2, y, xy, yx},xy = (xy)−1 ⇒ xy = yx2, yx = x2y] 10. [Q = 〈a1b1 ,

a2b2, ..., anbn , 〉, ∃c1, c2, ..., cn t.d.

c1a1b1

+ c2a2b2

+ ...+ cnanbn

= 12b1b2...bn , c1a1b1

+ c2a2b2

+ ...+ cnanbn

= A1+A2+...+Anb1b2...bn ,A

b1b2...bn= 12b1b2...bn , A =

12 ] 11.

[

[1 n0 1

]·[1 m0 1

]=

[1 n+m0 1

], 〈[1 10 1

]〉 = H] 12. [G = GL2(R), A =

[1 00 −1

], B =

[1 10 −1

], |A| = 2,

|B| = 2, |AB| =∞] 13. [{1, g, g2, g3, g4, g5} = G = 〈g〉 = 〈g5〉] 14. [1◦ gcd(i, n) = 1, 1 = ip+ nt, g = gip,g ∈ 〈gi〉, 2◦ gcd(i, n) = d > 1, i = sd, n = pd, (gi)p = 1, |gi| ≤ p < n] 15. [∀k ∈ Z, ak ∈ {e, a, a2, ..., an−1},vsi elementi iz {e, a, a2, ..., an−1} so različni, 〈a〉 = {e, a, a2, ..., an−1}] 16. [1◦ H = {e}; 2◦ H 6= {e}; naj boH podgrupa, ∃t > 0 at ∈ H, naj bo m najmanǰsi celi t.d. am ∈ H, (i) 〈am〉 ⊆ H, (ii) b ∈ G, b = ak,k = mq + r, 0 ≤ r < m... 〈am〉 = H] 17. [|G| = n, H = 〈am〉, n = mk + r, r = 0, n = mk, |H| = k] 18.[G = {1, g, g2, ..., gn−1}, n = rp, H = {gp, g2p, ..., g(r−1)p, grp = gn = 1}, H ′ = 〈gk〉, k = ps, H ′ ⊆ H] 19. (a)[|a| = |b| = 2, G = {e, a, b, ab}, a 6= e, b 6= e, a 6= ab, b 6= ab, ab 6= e]; (b) [U(8) = {1, 3, 5, 7}, 〈3〉, 〈5〉, 〈7〉];(c) [⊆: x ∈ 〈a−1〉, x = (an)−1, x ∈ 〈a〉; ⊇: x ∈ 〈a〉, x = ((a−1)n)−1, x ∈ 〈a−1〉].

12

5 Permutacijske grupe

Definicija (permutacij množice A, grupa permutacij množice A)Permutacij množice A je bijekcija iz A v A.Množica vseh permutacij množice A je grupa glede na operacijo kompozicije funkcij. To grupo

imenujemo grupa permutacij množice A.

1. (a) Podaj primer permutacije množice {1, 2, 3, 4}. Dobjeno permutacijo α napǐsi v vrstniobliki

(1 2 3 4

α(1) α(2) α(3) α(4)

).

(b) Permutacijo β =

(1 2 3 4 5 65 3 1 6 2 4

)množice {1, 2, 3, 4, 5, 6} prikaži grafično (s pomočjo

Vene-ovega diagrami), in izračunaj β(3), β(5) in β(6).

(c) Dana sta permotacij σ =

(1 2 3 4 52 4 3 5 1

)in γ =

(1 2 3 4 55 4 1 2 3

)množice {1, 2, 3, 4, 5}.

Izračunaj γσ in σγ.

Definicija (simetrična grupa Sn)Grupa vseh permutacij množice {1, 2, ..., n} se imenuje simetrična grupa reda n in se označuje z

Sn. Elementi grupe Sn imajo obliko α =

(1 2 ... n

α(1) α(2) ... α(n)

).

2. (a) Napǐsi vse elemente grupe S3. Ali je S3 abelska grupa?

(b) Dani so elementi a, b, c ∈ S4, a =(

1 2 3 42 1 4 3

), b =

(1 2 3 43 4 1 2

), c =

(1 2 3 44 3 2 1

).

Določi red grupe 〈a, b, c〉.

(c) Določi red grupe Sn.

Definicija (cikli permutacije)

Naj bo σ ∈ Sn. Če obstaja niz x1, x2, ..., xr ∈ {1, 2, ..., n}, tak da jeσ(xi) = xi+1 (i = 1, 2, ..., r − 1)σ(xr) = x1 (i = 1, 2, ..., r − 1)σ(x) = x (x 6∈ {x1, x2, ..., xr})

tedaj permutacijo σ označimo z (x1 x2 ... xr−1 xr) in jo imenujemo cikel dolžine r. Cikel dolžine dva(2-cikel) se imenuje transpozicij.

Dva cikla (a1 a2 ... ar) in (b1 b2 ... bs) sta disjunktna če in samo če sta množici {a1, a2, ..., ar} in{b1, b2, ..., bs} disjunktni.

3. (a) Permutaciji α =(

1 2 3 4 52 1 3 5 4

)in

β =

(1 2 3 4 55 4 1 2 3

)napǐsi kot produkt

disjunktnih ciklov (v cikličnem zapisu),potem pa izračunaj αβ.

(b) Permutacijo id =

(1 2 3 4 51 2 3 4 5

)napǐsi v

cikličnem zapisu.

4. Naj bosta α =(

1 2 3 4 5 6 7 82 1 3 5 4 7 6 8

)in

β =

(1 2 3 4 5 6 7 81 3 8 7 6 5 2 4

).

(a) Napǐsi α in β kot produkt disjunktnihciklov.

(b) Napǐsi α in β kot produkt 2-ciklov (kotprodukt transpozicij).

(c) Določi α−1, β−1, α554 in β455.

13

5. (a) Permutaciji α =(

1 2 3 4 5 62 1 4 6 5 3

)in β =

(1 2 3 4 5 65 3 1 6 2 4

)napǐsi v obliki

produkta ciklov. Določi α−1 in β−1.

(b) Dana sta dva elementa grupe S8,α = (13)(27)(456)(8) inβ = (1237)(648)(5). Produkt αβ napǐsi vobliko disjunktinih ciklov (v cikličnizapisi). Določi (αβ)−1.

6. (a) Pokaži, da se vsaka permutacijakončne množice lahko napǐse kot cikel alikot produkt disjunktnih ciklov.

(b) Pokaži, da če je par ciklovα = (a1, a2, ..., am) in β = (b1, b2, ..., bn)disjunktan, potem je αβ = βα.

7. (a) Naj bo Sn simetrična grupa.Identiteto id ∈ Sn zapǐsi kot produkt ciklidolžine 2 (kot produkt transpozicij).

(b) Permutacije (12345) in (1632)(457) napǐsikot produkt transpozicij.

8. Pokaži, da se vsaka permutacija v Sn(n > 2) lahko napǐse kot produkt ciklov dolžine2 (kot produkt transpozicij).

Lema Naj bo id identiteta grupe Sn. Če je id = β1β2...βr, kjer so β-i transpozicije, potem je r sodoštevilo.

9. Dokaži Lemo zgoraj.10. Naj bo α dana permutacija. Če je α = β1β2...βr in α = γ1γ2...γs kjer so β-i in γ-i

transpozicije. Pokaži, da sta r in s bodisi oba soda, bodisi oba liha.

Definicija (sode in lihe permutacije)Permutacija α ∈ Sn je soda, če se lahko napǐse kot produkt sodo mnogo transpozicij (tj. cikli

oblike (ij)). Permutacija α ∈ Sn je liha, če ni soda.

11. Če je α soda permutacija, pokaži da je α−1 tudi soda. Če je α liha, pokaži da je α−1 tudi liha.12. Naj bo An množica vseh sodih permitacij iz grupe Sn. Pokaži, da je An grupa glede na

operaciji kompozicije (tj. glede na operacijo ki je podedovana iz Sn).

Definicija (alternativna grupa reda n) Grupo sodih permutacij na n elementih označujemoz An in imenujemo alternirajoča grupa reda n.

13. (a) Ali lihe permutacije iz Sn oblikujejogrupo? Obrazloži svojo trditev.

(b) Pokaži, da se permutacija (1234) ne morenapisati kot produkt 3-ciklov, (kot produktciklov dolžine 3).

14. (a) Določi vse elemente grup A2, A3 inA4. Ali je katera od teh grup abelska?

(b) Določi in dokaži formulo za število

elementov grupe An.

15. Pokaži, da je permutacija lihega redavedno soda permutacija. (Z drugimi besedami,pokaži, da če ima α ∈ Sn lih red, te da jeα ∈ An).

16. Pokaži, da je funkcija iz končne množiceS nase injekcija če in samo če je surjekcija. Alije to res, če je S neskončna množica?

Trditev (red permutacije) Naj bo α produkt disjunktnih ciklov dolžin k1, k2, ..., kr. Potem je redpermutacije α najmanǰsi skupni večkratnik naravnih števil k1, k2, ..., kr.

17. Dokaži Trditev zgoraj.

18. Določi rede vsake od naslednjihpermutacij: (a) (124)(357), (b) (124)(95367), (c)(124)(35), (d) (124)(357869), (e) (1235)(24567),

(f) (345)(245).

19. (a) Določi rede vseh 7! = 5040elementov iz S7.

(b) Določi število elementov reda 3 grupe S7.

14

Rešitve: 1.(a) [(

1 2 3 42 3 1 4

)]; (b) [β(3) = 1, β(5) = 2, β(6) = 4]; (c) [γσ =

(1 2 3 4 54 2 1 3 5

),

σγ =

(1 2 3 4 51 5 2 4 3

)]. 2.(a) [|S3| = 6]; (b) [|〈a, b, c〉| = 4]; (c) [|Sn| = n!] 3.(a) [α = (12)(45),

β = (153)(24), αβ = (14)(253)]; [id = (5) = (1) = ...] 4.(a) [α = (12)(45)(67), β = (23847)(56)]; (b)[β = (27)(24)(28)(23)(56)]; (c) [α554 = id, β455 = (56)]. 5.(a) [α = (12)(346), β = (1523)(46),α−1 = (643)(12), β−1 = (46)(3251)]; (b) [(αβ)−1 = (56)(48)(2371)]. 6.(a) [a1 ∈ A,a2 = α(a1), a3 = α(a2) = α

2(a1), ..., αm(a1) = a1, α = (a1, a2, ..., am)(...)...]; (b)

[S = {a1, a2, ..., am, b1, b2, ...bn, c1, c2, ..., ck}]. 7.(a) [id = (12)(12)]; (b) [(12345) = (15)(14)(13)(12)]. 8.[(a1, a2, ..., ak)(b1, b2, ..., bt)(c1, c2, ..., cs) = (a1, ak)...(a1a2)(b1, bt)...(b1, b2)...(c1, c2)]

9. [uporabi matematično indukcijo] 10. [id = γ1γ2...γsβr...β2β1, uporabi zgoraj lemo] 11. [α = τ1τ2...τm,

α−1 = τmτm−1...τ1] 12. [id = (12)(12), α−1 ∈ An] 13.(a) [Ne.] (b) [(1234) je liha permutacija] 14.(a)

[|A4| = 12]; (b) [|An| = n!/2]. 15. [α2n+1 = e, α = τ1τ2...τm, ...] 16. [uporabi matematično indukcijo povelikosti množice]

POMEMBNI REZULTATI (Permutacijske grupe.)

1. Množica SA vseh permutacij neprazne množice A je grupa glede na operacijo kompozicijefunkcij.

2. Vsaka grupa je izomorfna neki permutacijski grupi (Cayley).

3. Vsaka permutacija se lahko napǐse kot produkt transpozicij.

4. Množica vseh sodih permutacij končne množice je grupa glede na operacijo kompozicije funkcij.

5. Red permutacije končne množice zapisane kot produkt disjunktnih ciklov je najmanǰsi skupnivečkratnik dolžine ciklov.

6. Če je π permutacija potem π(a1a2...ak)π−1 = (π(a1)π(a2)...π(ak)).

15


16

6 Homomorfizmi in izomorfizmi grup

Definicija (injekcija, surjekcija, bijekcija)Preslikavi, ki preslika poljubna dva različna elementa v različna elementa, rečemo injektivna (ena-

na-ena, 1−1) preslikava ali injekcija. Z drugimi besedami, preslikava f : A→ B je injekcija (oziroma1− 1) če in samo če x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) (Ekvivalentno: f(x1) = f(x2)⇒ f1 = x2).

Preslikavi f : A → B, za katero je zaloga vrednosti kar cela množica B, rečemo surjektivna(oziroma na) preslikava ali surjekcija. Z drugimi besedami, če je f(A) = B, rečemo, da je f surjekcija(na). V tem primeru za vsak element y ∈ B najdemo tak x ∈ A, da je f(x) = y.

Preslikavi, ki je injektivna in surjektivna, rečemo bijektivna preslikava ali bijekcija (rečemo tudipovratno enolična).

1. (a) Naj bo G grupa, in naj bo φ : G→ G preslikava definirana s φ(x) = x−1. Pokaži, da je φbijekcija.

(b) Naj bo G = 〈a〉, a15 = e ciklična grupa reda 15, in naj bo f : G→ G preslikava definirana zf(x) = x5, ∀x ∈ G. Pokaži, da f ni injektivna funkcija.

Definicija (homomorfizem grup)

Naj bosta (G, ·) in (G, ◦) grupi in naj bo φ : G→ G. Preslikava φ je homomorfizem med grupamiG in G če in samo če za vsaka g1, g2 ∈ G velja φ(g1g2) = φ(g1) ◦ φ(g2).

2. Naj bo G ciklična grupa generirana z g(G = 〈g〉) in naj bo (Z,+) grupa celih številglede na operacijo seštevanja. Pokaži, da jepreslikava φ : Z→ G definirana s φ(n) = gnhomomorfizem med grupami Z in G.

3. Dani sta grupi (Z9,+) in (Z3,+). Poǐsči vsehomomorfizme iz grupe Z9 v grupo Z3.

4. Dana je grupa G = {1, 2, ..., 12} z operacijomnoženja po modulu 13. Določi vsehomomorfizme iz grupe G v grupo (Z6,+).

5. Dana sta grupi (GL2(R), ·) in (R∗, ·) (kjesta GL2(R) = {A ∈ Mat2×2(R) | ∃A−1} =

{[a bc d

]∈ Mat2×2(R) | ad− bc 6= 0} in

R∗ = {x ∈ R | x 6= 0}). Pokaži, da je preslikavaφ : GL2(R)→ R∗ definirana s φ(A) = det(A)homomorfizem med grupami GL2(R) in R∗.

6. Dani sta grupi (T, ·) in (R,+) (kje jeT = {z ∈ C : |z| = 1}. Pokaži, da obstajahomomorfizem med R in T.

Definicija (izomorfizem grup)Preslikava φ : G→ H grupe (G, ·) v grupo (H, ◦) se imenuje izomorfizem iz grupe G v grupo H

če in samo če(i) φ je injekcija;(ii) φ je surjekcija;(iii) φ(ab) = φ(a) ◦ φ(b) za vse a, b ∈ G (φ je homomorfizem).Če obstaja izomorfizem iz G v H, pravimo, da sta G in H izomorfni. Oznaka G ∼= H.

7. Naj bo G = Z3 × Z3 in H = Z9. Ali je G ∼= H? Odgovor utemelji!

17

8. Dana sta dve grupi (Z4,+) in (〈i〉, ·) kje jei =√−1 ∈ C. Naj bo φ : Z4 → 〈i〉 preslikava

definirana s φ(n) = in. Pokaži, da je φizomorfizem grupe Z4 na grupo 〈i〉.

9. Naj bo G grupa celih števil glede naoperacijo seštevanja in naj bo G podgrupa grupeQ∗ ki vsebuje elemente oblike 2n. Definirajmopreslikavo φ : G→ G na naslednji način:φ(n) = 2n. Pokaži, da φ je izomorfizem iz G v G.

10. Dana je grupa (R,+) in dana jepreslikava φ : R→ R definirana s φ(x) = x3.Preveri, ali je φ izomorfizem grupe G nase.

11. Naj bo G = SL2(R) grupa vsih realnihmetrik oblike 2× 2, katerih vrednostdeterminante je enaka 1, in naj bo M neke 2× 2realna metrik t.d. det(M) = 1. Pokaži, da jepreslikava φ : G→ G definirana sφM(A) = MAM

−1 izomorfizem grupe G nase.

Opomba. Obstajajo štiri koraki, ki jih moramoizvesti, da bi pokazali, da je grupa G izomorfna zgrupo G.

1. korak: ”Preslikava”.Definirajmo kandidata za izomorfizem, tj.

definirajmo funkcijo φ iz G v G.

2. korak: ”Injekcija”.Dokažimo da je φ injekcija, tj. domnevamo,

da je φ(a) = φ(b) in pokažimo, da je a = b.

3. korak: ”Surjekcija”.Dokažimo, da je φ surjekcija, tj. za poljubni

element g ∈ G najdimo element g ∈ G tako da jeφ(g) = g.

4. korak: ”Homomorfizem”.Dokažimo, da je φ homomorfizem, tj. za

poljubna elementa a, b ∈ G pokažemo, da jeφ(ab) = φ(a)φ(b).

12. (a) Naj bo G grupa realnih števil gledena operacijo seštevanja in naj bo G grupapozitivnih realnih števil glede na operacijomnoženja. Pokaži, da sta G in G izomorfnigrupi.

(b) Naj bo G neskončna ciklična grupa in najbo G grupa celih števil glede na operacijoseštevanja. Pokaži, da sta G in G

izomorfni grupi.

13. (a) Pokaži, da je U(10) ∼= Z4.

(b) Pokaži, da U(10) 6∼= U(12).

14. (a) Dana sta grupi (Q,+) in (Q∗, ·).Pokaži, da Q 6∼= Q∗.

(b) Naj bo G ciklična grupa reda n. Pokaži, daje G ∼= Zn.

Definicija (automorfizem grupe G)Preslikava φ iz grupe G samo vase se imenuje automorfizem grupe G če in samo če (i) φ(ab) =

φ(a)φ(b) za ∀a, b ∈ G; (ii) φ je injekcija; (iii) φ je surjekcija.

15. (a) Naj bo G ne-abelska grupa in najbo f : G→ G definirana s f(x) = x−1.Pokaži, da f ni automorfizem.

(b) Naj bo G = 〈a〉, a12 = e ciklična grupareda 12, in naj bo f : G→ G preslikavadefinirana na naslednji način: f(x) = x3,∀x ∈ G. Pokaži, da f ni automorfizem.

16. Pǐsči Aut(Z10) (vse automorfizme grupeZ10). Ali je Aut(Z10) ∼= U(10)?

17. Naj bo G grupa pozitivnih realnih številglede na operacijo množenja. Naj bo φ : G→ Gdefinirano s φ(x) = x2, x ∈ G. Pokaži, da je φautomorfizem.

18. (a) Naj bo G nek grupa, kjer je a2 6= eza nek a ∈ G. Pokaži, da ima grupa Gnetrivialne automorfizme.

(b) Naj bo G grupa. Pokaži, da je preslikavax→ x−1 iz G v G automorfizem če insamo če je G abelska grupa.

(c) Naj bo G končna abelska grupa reda n, innaj bo m pozitivno celo število tuje z n.Pokaži, da je preslikava f : G→ Gdefinirana z f(x) = xm, x ∈ G,automorfizem grupe G.

19. Naj bo f automorfizem grupe G. Če je Hpodgrupa grupe G, pokaži, da je potem f(H)tudi podgrupa grupe G.

18

Rešitve: 1.(a) [x−1 = y−1 ⇒ x = y, (x−1)−1 = x]; (b) [f(a) = a5 = f(a4)]. 2. [φ1(x) = 0, ∀x ∈ Z9;φ2(x) = 2xmod 3, ∀x ∈ Z9] 3. [Obstaja 6 različnih homomorfizema, φ : G→ Z6, 2k → ka zaa ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}] 4. [φ(m+ n) = gm+n = gmgn = φ(m)φ(n)] 5.[φ(AB) = det(AB) = det(A) det(B) = φ(A)φ(B)] 6. [φ : R→ T, φ(θ) = cos(θ) + i sin(θ)] 7. [G 6∼= H,∀(a, b) ∈ Z3 × Z3 |(a, b)| ≤ 3] 8. 9. [2m = 2n ⇒ m = n, φ(m+ n) = 2m+n = 2m2n = φ(m)φ(n)] 10. [φ nihomomorfizem] 11. 12.(a) [φ : G→ G, φ(x) = ex]; (b) [G = 〈a〉, φ : G→ G, φ(ak) = k] 13.(a)[φ : U(10)→ Z4, φ(3k) = kmod 4]; (b) [U(10) = {1, 3, 7, 9}, U(12) = {1, 5, 7, 11}, x2 = 1 za ∀x ∈ U(12),φ(9) = φ(1)] 14.(a) [−1 = (φ(a2 ))

2]; (b) [φ : G→ Zn, φ(ak) = kmodn] 16. [f(a) = a3 = f(a5), ni 1− 1]

POMEMBNI REZULTATI (Homomorfizmi. Izomorfizmi.)

1. Če je φ homomorfizem iz grupe G v grupo G′ potem φ(e) = e′.

2. Če je φ homomorfizem iz grupe G v grupo G′ potem φ(a−1) = [φ(a)]−1 ∀a ∈ G.

3. Če je φ izomomorfizem iz grupe G v grupo G′ potem φ(an) = [φ(a)]n ∀a ∈ G.

4. Naj bo φ : G→ G′ izomomorfizem. Potem G = 〈a〉 če in samo če je G′ = 〈φ(a)〉.

5. Če je φ izomomorfizem iz grupe G v grupo G′ potem o(a) = o[φ(a)] ∀a ∈ G.

6. Naj bo φ : G→ G′ surjektivni homomorfizem. Potem je homomorfizem φ izomorfizem iz grupeG v grupo G′ če in samo če ker(φ) = {e}.

7. Naj bo φ : G→ G′ izomomorfizem. Potem je φ−1 izomomorfizem iz grupe G′ v grupo G.

19


20

7 Odseki in Lagrangeov izrek

Definicija (levi odsek, desni odsek)Naj bo G grupa, H ≤ G in a ≤ G. Potem je množica aH = {ah | h ∈ H} levi odsek podgrupe

H, ki vsebuje a in Ha = {ha | h ∈ H} desni odsek podgrupe H, ki vsebuje a.

1. Naj bo H podgrupa grupe Z6 ki vsebuje elementa 0 in 3. Poǐsči vse leve in vse desne odsekepodgrupe H v grupi Z6.

2. Naj bo D4 diederska grupa reda 8, in naj bo K = {R0, R180} podgrupa grupe D4. UporabiCayley-evo tabelo, ki smo jo imeli v eni od preǰsnjih nalog, in napǐsi vse leve odseke podgrupe K vgrupi D4.

3. (a) Naj bo H = {(1), (13)} podgrupa grupe S3. Preveri, ali je (132)H = H(132).

(b) Naj bo H = {0, 3, 6} podgrupa grupe Z9 glede na operacijo seštevanja. Preveri, ali je6 +H = 5 +H in ali je 4 +H = 8 +H. Določi, 5 +H ∩ 8 +H.

4. Naj bo K = {(1), (12)} podgrupa grupe S3. Poǐsči vse leve in vse desne odseke podgrupe K vgrupi S3.

5. Imejmo grupo U(20) in njeno ciklično podgrupo H = 〈9〉.(a) Pokaži, da je H podgrupa grupe U(20) in napǐsi vse leve odseke podgrupe H.

(b) Množica vseh levih odsek podgrupe H določa grupo U(20)/H glede na operacijo(aH)(bH) = abH. Napǐsi, Cayley-evo tabelo za U(20)/H.

(c) Določi vse podgrupe grupe U(20)/H.

6. (a) Imejmo grupo (Z,+) in označimo z H podgrupo 4Z grupe Z. Napǐsi štiri leve odsekepodgrupe H v Z.

(b) Naj bosta 1 +H in 2 +H odseka iz točke (a). Kaj bomo dobili, če seštejmo ta dva odseka?Napǐsi splošno formulo za vsoto n+H in m+H.

7. Naj bo H podgrupa grupe G, in naj bosta a in b elementa grupe G. Pokaži, da

(a) a ∈ aH.

(b) aH = H če in samo če a ∈ H.

(c) (ab)H = a(bH) in H(ab) = (Ha)b.

(d) aH = bH če in samo če a ∈ bH.

(e) aH = bH ali aH ∩ bH = ∅.

(f) aH = bH če in samo če a−1b ∈ H.

(g) |aH| = |bH|.

(h) aH = Ha če in samo če H = aHa−1.

(i) aH je podgrupa grupe G če in samo čea ∈ H.

8. Naj bosta H in K podgrupi grupe G. Pokaži, da je presek xH ∩ yK dveh odsekov podgrup Hin K ali prazna množica ali odsek podgrupe H ∩K.

LemaNaj bo H podgrupa grupe G in prevzemimo, da je g1, g2 ∈ G. Potem so naslednji pogoji

enakovredni

1. g1H = g2H;

2. Hg−11 = Hg−12 ;

3. g1H ⊆ g2H;

4. g2 ∈ g1H;

5. g−11 g2 ∈ H.

21

9. Dokaži Lemo zgoraj.10. Naj bo H podgrupa grupe G. Pokaži, da je grupa G disjunktna unija levih odsekov

podgrupe H v grupi G.

Definicija (indeks)Naj bo G grupa in H ≤ G. Indeks podgrupe H v grupi G značujemo z [G : H] in ga definiramo

kot število levih odsekov podgrupe H v grupi G.

11. Določi indeks

(a) podgrupe H = {0, 3} v grupi Z6;

(b) podgrupe K = {R0, R180} v grupi D4;

(c) podgrupe K = {(1), (12)} v grupi S3;

(d) podgrupe H = 〈9〉 v grupi U(20).

12. Naj bo H podgrupa grupe G. Pokaži, da je število levih odsekov podgrupe H v grupi Genako številu desnih odsekov podgrupe H v grupi G.

Izrek (Lagrangev izrek: |H| deli |G|)Naj bo G končna grupa in H njena podgrupa. Potem |H| (red podgrupe H) deli |G| (red grupe

G). Poleg tega, število različnih levih (desnih) odsekov podgrupe H v grupi G je enak|G||H|

.

13. Dokaži Lagrangev izrek zgoraj.14. Naj bo G grupa reda 4.

(a) Pokaži, da ima vsak element grupe G red 1, 2 ali 4.

(b) Kaj lahko zaključimo o grupi G, če vemo, da ta grupa vsebuje element reda štiri.

15. Naj bo σ = (1234)(23) element grupe S5. Določi indeks podgrupe 〈σ〉 v grupi S5.16. Naj bosta a in b elementa grupe G. Če je |a| = 10 in |b| = 21, pokaži, da je potem〈a〉 ∩ 〈b〉 = {e}.

17. Naj bo G grupa reda 4. Pokaži, da je G bodisi ciklična grupa, ali pa je x2 = 1 za vsak x ∈ G.Pokaži tudi, da mora biti G abelska grupa.

Posledica

(i) Če je G končna grupa in H ≤ G potem je [G : H] = |G||H| .

(ii) V končni grupi, red vsakega elementa grupe deli red grupe.

(iii) Grupa praštevilskega reda je ciklična.

(iv) Če je G končna grupa in a ∈ G potem a|G| = e.

(v) Za vsako celo število a in za vsako praštevilo p, ap mod p = amod p.

18. Dokaži Posledico zgoraj.19. Pokaži, da ima grupa reda 30 lahko največ 7 podgrup reda 5.

Rešitve: 1. [0 +H = 3 +H = {0, 3}, 1 +H = 4 +H = {1, 4}, 2 +H = 5 +H = {2, 5}] 2. [R0K == R180K = {R0, R180}, R90K = R270K = {R90, R270}, HK = VK = {H,V }, {D,D′}] 3.(a) [(132)H =

22

= {(12), (132)} 6= {(23), (132)} = H(132)]; (b) [5 +H ∩ 8 +H = 5 +H = 8 +H]. 4. [K(1) = K(12),K(13) = K(132), K(23) = K(123)] 5.(a) [{1, 9}, {3, 7}, {11, 19}, {13, 17}]; (b) [(3H)(11H) = 13H,(3H)(13H) = 11H]; (c) [{e}, U(20)/H, {1H, 3H}, {1H, 11H}, {1H, 13H}]. 6.(a)[0 +H = {...,−4, 0, 4, ...}, 1 +H = {...,−3, 1, 5, ...}, 2 +H = {...,−2, 2, 6, ...}, 3 +H = {...,−1, 3, 7, ...}]; (b)[(n+H) + (m+H) = (n+m) +H = (n+mmod 4) +H] 7.(a) [a = ae ∈ aH]; (b) [a = ae ∈ aH = H;h ∈ H, a−1h ∈ H, h = a(a−1h) ∈ aH]; (c) [(ab)h = a(bh), h(ab) = (ha)b]; (d) [a = ae ∈ aH = bH; a ∈ bH,a = bh, aH = (bh)H = b(hH) = bH]; (e) [c ∈ aH ∩ bH, cH = aH, cH = bH]; (f)[aH = bH ⇔ H = a−1bH]; (g) [φ : aH → bH, φ(ah) = bh, φ je bijekcija]; (h)[aH = Ha⇔ (aH)a−1 = (Ha)a−1 ⇔ ...]; (i) [e ∈ aH, aH ∩ eH 6= ∅, aH = eH = H, a ∈ H; a ∈ H,aH = H]. 8. [w ∈ xH ∩ yK ⇔ w ∈ z(H ∩K)] 9. [g1H = g2H ⇒ Hg−11 = Hg

−12

⇒ g1H ⊆ g2H ⇒ ...⇒ g−11 g2 ∈ H ⇒ g1H = g2H] 10. [g1H = g2H, a ∈ g1H ∩ g2H, g1 = g2h2h−11 ,

g1 ∈ g2H] 11.(a) [[Z6 : H] = 3]; (b) [[D4 : K] = 4]; (c) [[S3 : K] = 3]; (d) [[U(20) : 〈9〉] = 4]. 12.[φ : LH → RH , φ(gH) = Hg−1, φ je bijekcija] 13. [G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH,|G| = |a1H|+ |a2H|+ ...+ |arH|] 14.(a) [ker 1, 2 in 4 delijo 4]; (b) [G cikl.] 15. [40] 16. [c ∈ 〈a〉 ∩ 〈b〉, |c|deli 10, |c| deli 21] 17. [vsaka cikl. gr. je abel.; (ab)(ab) = 1, ababba = ba, ab = ba] 18. [uporabi Lagrangevizrek] 19. [H = {e, a, b, c, d}, |a| = |b| = |c| = |d| = 5, H1 ≤ G in H2 ≤ G (|H1| = |H2| = 5 in H1 6= H2) ⇒H1 ∩H2 = {e}, 4n+ 1]

POMEMBNI REZULTATI (Odseki in Lagrangeov izrek.)

1. Če je H podgrupa grupe G, potem sta vsaka dva desna (ali leva) odseka podgrupe H v grupiG enaka ali disjunktna.

2. Če je H podgrupa grupe G, potem obstaja bijektivna korespodenca med vsakima dvemadesnima (ali levima) odsekoma podgrupe H v grupi G.

3. Če je H podgrupa grupe G, potem je unija vseh desnih (ali levih) odsekov podgrupe H v grupiG enaka grupi G.

4. Če je H podgrupa grupe G, potem desni (ali levi) odseki podgrupe H v grupi G porodioparticijo grupe G.

5. Lagrangeov izrek. Red vsake podgrupe končne grupe deli red grupe.

6. Če je G končna grupa glede na operacijo množenja potem je ao(G) = e ∀a ∈ G.

23


24

8 Različne naloge

Spomnimo se: Grupoid S je množica z binarno operacijo ◦ : S × S → S. Polgrupa je grupoid zasociativno operacijo. Monoid je polgrupa z enoto.

1. Razǐsči strukturo naslednjih grupoidov:(a) S = R za operacijo x ◦ y = x+ y + xy;

(b) S =

{[1 x0 1

] ∣∣∣∣ x ∈ R} za operacijo množenja matrik;(c) S = R3 za operacijo vektorski produkt;(d) S = R za operaciji a ∗L b = a in a ∗R b = b;(e) S = {1, 2, 3, 4, 5} za operacijo, ki je podana s tabelo desno.

◦ 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 52 2 4 1 5 33 3 5 4 2 14 4 1 5 3 25 5 3 2 1 4

2. Dokaži, da sta naslednji množici z danima operacijama grupi:(a) S =

{[x y0 1

] ∣∣∣∣ x, y ∈ R, x 6= 0} za operacijo množenje matrik;(b) S =

{a+ b

√2∣∣∣ a, b ∈ R, (a, b) 6= (0, 0)} za množenje števil.

3. Izračunaj rede vseh elementov v grupah Z20, S3 in S5.

4. Dana je permutacija a =(

1 2 3 4 5 6 7 83 2 7 5 6 4 8 1

)∈ S8. Izračunaj a−1, a2 in a1000.

Definicija (Hom(G,H))Naj bosta G in H dve dani grupi. Definirajmo množico Hom(G,H) kot množico vseh homomor-

fizmov iz grupe G v grupo H.

Lahko se dokaže, da če sta G in H abelski grupi, potem je množica Hom(G,H) tudi abelska grupaglede na operacijo saštevanja, ki je definirana z (f+g)(x) = f(x)+g(x), ∀x ∈ G, ∀f, g ∈ Hom(G,H).

5. Poǐsči vse homomorfizme grup:(a) Z→ Q;(b) Q→ Z;(c) Zn → Z;(d) Zn → U , kje je U = {z ∈ C : |z| = 1}.

Zanimivo: Homomorfizmom iz grupe G v grupo U rečemo karakterji. Karakterji igrajo osrednjovlogo v teorijah Fourierovih vrst, Fourierove transformacije in diskretne Fourierove transformacije.Pri posplošitvi Fourierove teorije na nekomutativne grupe karakterje nadomestimo s homomorfizmidane grupe v matrične grupe, ki jih imenujemo tudi reprezentacije oziroma upodobitve.

6. Poǐsči vse automorfizme grup Z, Z5 in Z10.

Opomba. V splošnem so automorfizmi grupe Zn v bijektivni korespondenci z elementi U(n).Elementu m ∈ U(n) pripada preslikava množenja z m po modulu n.

7. Zapǐsi grupno tabelo za operacijo v grupi U(10). Kateri grupi je izomorfna grupa U(10).

Spomnimo se: Če sta A in B množici, potem je A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

8. Določi dve pravi podgrupi K grupe D4 (tj. podgrupe ki niso {e} in D4) za kateri velja, da jeaK = Ka za vsak a ∈ D4.

25

∗ e a b c

e e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

9. Dana je grupa G z grupno tabelo levo. Kateri znani grupi je izomorfna grupaG?

10. Opǐsi grupo izometrij kvadrata.

11. Pokaži, da je za poljubni ` ∈ U(n), funkcija φ : Zn → Zn definirana z φ(x) = x`modnautomorfizem grupe Zn.

12. Poǐsči vse podgrupe grup Z, Z10 in Q, kje je Qkvaternionska grupa (Cayleyjeva tabela kvaternionskegrupe Q je dana v tabeli desno; vsi simboli i, j in kso koreni števila −1, in množenje ∗ med njimi je defini-rano po pravilih: i ∗ j = k = −j ∗ i, j ∗ k = i = −k ∗ jin k ∗ i = j = −i ∗ k).

∗ 1 −1 i −i j −j k −k

1 1 −1 i −i j −j k −k−1 −1 1 −i i −j j −k ki i −i 1 −1 k −k −j j−i −i i −1 1 −k k j −jj j −j −k k 1 −1 i −i−j −j j k −k −1 1 −i ik k −k j −j −i i 1 −1−k −k k −j j i −i −1 1

13. Dokaži, da je vsaka grupa praštevilskega reda ciklična.14. Pokaži, da je U(8) ∼= U(12).15. Poǐsči vse homomorfizme

(a) iz grupe Z4 v grupo Z3;(b) iz grupe Z8 v grupo S3.

16. Grupa G je podana s tabelo◦ 1 a b c d e f g

1 1 a b c d e f ga a e c g b f 1 db b c f 1 e g d ac c g 1 a f d b ed d b e f a c g 1e e f g d c 1 a bf f 1 d b g a e cg g d a e 1 b c f

(a) Poǐsči rede vseh elementov grupe G.(b) Ugotovi, kateri znani grupi je izomorfna grupa G in poǐsči eksplicitni izomorfizem.

17. Preveri ali je dana preslikava homomorfizem grup:(a) φ : (R,+)→ (Z,+), φ(x) je največje celo število, manǰse od x;(b) φ : (R∗, ·)→ (R∗, ·), φ(x) = |x|;(c) φ : (R,+)→ (R∗, ·), φ(x) = 2x;(d) φ : Z9 → Z2, φ(x) = x (mod 2);(e) φ : G→ G, G poljubna grupa in φ(g) = g−1;(f) φ : (Rn×n,+)→ (R,+), φ(A) = det(A).

18. Poǐsči vse podgrupe grup S3.19. Naj bo S4 simetrična grupa reda 4!.

(a) Določite podgrupo grupe S4, ki vsebuje 6 elementov.

(b) Koliko podgrup reda 6 obstaja v grupi S4?

(c) Če je H = 〈(12), (13)〉, določite vse leve odseke podgrupe H v grupi S4.

26

Rešitve: 1.[(a) operacija je asociativna; število 0 je enota za operacijo ◦; operacija je komutativna;inverz x−1 = −x/(1 + x), so obrnljivi vsi elementi razen x = −1; (S, ◦) komutativen monoid; imamoizomorfizem f : (S, ◦)→ (R, ·), f(x) = x+ 1][(b) množica S je zaprta za množenje; asociativnost operacije

sledi iz asociativnosti matričnega množenja; enota I =

[1 00 1

]; inverz

[1 −x0 1

]; (S, ·) je grupa; izomorfna

je grupi realnih števil za seštevanje: f : (S, ·)→ (R,+), f([

1 x0 1

])= x][(c) vektorski produkt dveh

vektorjev iz R3 je spet vektor iz R3, zato je operacija dobro definirana; vektorski produkt ni asociativnaoperacija (~a× (~b× ~c) = ~b(~a · ~c)− ~c(~a ·~b), (~a×~b)× ~c) = ~b(~a · ~c)− ~a(~b · ~c), npr. ~i× (~i×~j) = −~j,(~i×~i)×~j) = ~0); operacija nima enote; je torej (R3,×) le grupoid]. [(a) komutativen monoid, imamoizomorfizem f : (S, ◦)→ (R, ·), f(x) = x+ 1; (b) je grupa; izomorfna je grupi realnih števil za seštevanje;(c) le grupoid; (d) množica R je za obe operaciji polgrupa; (e) operacija ni asociativna, ima enoto 1, vsak

element ima tako levi kot desni inverz, ki pa nista vedno enaka] 2.(a) [

[x y0 1

]−1=

[1/x −y/x0 1

]]; (b)

[(a+ b√

2)−1 = a−b√2

a2−2b2 ]. 3. [elementi ciklične grupe Z20, ki so tuji proti 20, imajo maksimalen možni red20. Če nek tak element množimo z 2, dobimo element reda 10. Če ga množimo s 4, dobimo element reda 5]

4. [a = (1378)(456), a−1 = (1873)(465), a2 = (17)(38)(465), a1000 = (456)] 5.(a) [Hom(Z,Q) ∼= Q] (b)[Hom(Q,Z) ∼= {0}] (c) [Hom(Zn,Z) ∼= {0}] (d) [Hom(Zn, U) ∼= Zn]. 6. [Aut(Z) = {Id,−Id}; grupa Z5 jeciklična, zato je vsak homomorfizem φ : Z5 → Z5 določen s sliko generatorja, Aut(Z5) ∼= U(5),Aut(Z10) ∼= U(10)] 7. [U(10) ∼= Z4] 8. [1− 1, na, homomorfizem] 9. [G ∼= Z2 × Z2] 10.[D4 = {a, b | a4 = 1, b2 = 1, bab = a3}] 11. [K1 = {R0, R180},...] 12. [{0}, Z; {0}, Z10, 〈5〉, 〈2〉; {0}, Q,{−1, 1}, {1, i,−1,−i}, {1, j,−1,−j}, {1, k,−1,−k}] 13. [|G| = p, a ∈ G, |a| deli |G|] 14. [napǐsi,Cayley-evo tabelo] 15.(a) [φ(k) = 0]; (b) [red elementa φ(1) mora deliti 8, dobimo štiri možnosti]. 16. 17.

18. [6] 19. (a) [S3 ≤ S4, S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}]. (b) [Obstajajo 4 grupe reda 6]. (c)[H = S3. Levi odseki so: (1)H, (14)H, (24)H, (34)H].

27


28

9 Direktni produkt grup

Definicija (kartezični produkt)Kartezični produkt množic S1, S2, ..., Sn je množica vseh urejenih n-teric (a1, a2, ..., an), kjer je

ai ∈ Si za i = 1, 2, ..., n. Kartezični produkt pǐsemo kot: S1 × S2 × ...× Sn ali∏n

i=1 Si.

1. Naj bosta (G1, ∗) in (G2, ◦) grupi. Za (a1, a2), (b1, b2) ∈ G1 ×G2 definirajmo operacijomnoženja po komponenah

(a1, a2)(b1, b2) = (a1 ∗ b1, a2 ◦ b2).

(a) Pokaži, da je G1 ×G2 skupaj s to operacijo grupa.

(b) Če sta H1 ≤ G1 in H2 ≤ G2, pokaži, da je potem H1 ×H2 ≤ G1 ×G2.

Izrek (direktni produkt grup)Naj bodo G1, G2, ..., Gn grupe. Za (a1, a2, ..., an) in (b1, b2, ..., bn) v

∏ni=1Gi definirajmo operacijo

množenja po komponentah

(a1, a2, ..., an)(b1, b2, ..., bn) = (a1b1, a2b2, ..., anbn).

Potem je∏n

i=1Gi skupaj s to operacijo grupa, ki jo imenujemo direktni produkt grup Gi.

2. Dokaži izrek zgoraj.

3. (a) Napǐsi vse elemente grupeU(8)× U(10). Izračunaj (3, 7) · (5, 3) in(3, 7) · (7, 9).

(b) Določi generator grupe Z× Zn.

4. Označimo z R× grupo realnih števil (R, ·)glede na operacijo množenja ter z C× grupokompleksnih števil (C, ·) glede na operacijo

množenja. Pokaži da R× × R× 6∼= C×.

5. Napǐsi vse elemente grupe Z2 × Z3. Pokažida je Z6 ciklična grupa, ter pokaži da jeZ2 × Z3 ∼= Z6.

6. Do izomorfizma natanko poǐsči vse grupereda 4.

7. Naj bo (g, h) ∈ G×H. Pokaži da je redelementa (g, h) enak najmanǰsem skupnemuvečkratniku redov elementov g in h.

Izrek (red elementa v direktnem produktu)

|(g1, g2, ..., gn)| = lcm(|g1|, |g2|, ..., |gn|)

(kjer je lcm ”least common multiple” (najmanǰsi skupni večkratnik) npr. lcm(2, 3, 5) = 15).

8. Dokaži izrek zgoraj.9. Poǐsči rede vseh elementov grupe Z2 × Z6.10. Določi število elementov reda 5 v grupi Z25 × Z5.

Spomnimo se fundamentalnega izreka za ciklične grupe ter izreka o številu elementov reda d vciklični grupi:

Izrek (fundamentalni izrek za ciklične grupe)Vsaka podgrupa ciklične grupe je ciklična. Poleg tega, če je |〈a〉| = n, potem je red katere koli

podgrupe grupe 〈a〉 delitelj števila n. Za vsaki pozitivni deljitelj k števila n, ima grupa 〈a〉 natankoeno podgrupo reda k - in sicer 〈ank 〉.

11. Dokaži fundamentalni izrek za ciklične grupe zgoraj.

29

Definicija (Eulerjeva funkcija fi)Naj bo φ(1) = 1, in za vsako celo število n > 1, označimo z φ(n) število pozitivnih celih števil,

ki so manǰsa od n, in so tuja z n. Tako definirano funkcijo φ(n) imenujemo Eulerjeva funkcija fi.Opazimo, da iz definicije grupe U(n) sledi, da |U(n)| = φ(n). Prvih 12 vrednosti funkcije φ(n) jedanih v naslednji tabeli.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4

Izrek (število elementov reda d v ciklični grupi)Če je d pozitivno celo število ki deli n, potem je število elementov reda d v ciklični grupi reda n

eneko φ(d).

12. Dokaži izrek zgoraj.13. Določi število cikličnih podgrup reda 10 v

grupi Z100 × Z25.

14. Določi število elementov reda 15 v grupiS3 × Z30 × U(9).

15. Dokaži izrek spodaj.

Izrek (kriterij da je G×H ciklična)Naj bosta G in H končni ciklični grupi. Potem je G × H ciklična če in samo če sta |G| in |H|

tuji.

16. Ugotovi, ali sta dani grupi izomorfni inpoǐsči eksplicitni izomorfizem, če sta:

(a) Z6 in Z2 × Z3;(b) Z4 in Z2 × Z2;(c) Z30 in Z2 × Z3 × Z5.

17. Pokaži, da je Zm × Zn izomorfna ciklični

grupi Zm·n natanko tedaj ko sta m in n tuji sištevili.

18. Poǐsči vse homomorfizme iz grupe Z2×Z2v grupo Z4.

19. Poǐsči vse podgrupe grupe Z2 × Z4.

Rešitve: 1.(a) [ai ∈ Gi, bi ∈ Gi, a1 ∗ b1 ∈ G1, a2 ∗ b2 ∈ G2] 2. [ai ∈ Gi, bi ∈ Gi, aibi ∈ Gi] 3. (a) [(7, 1),(5, 3)] (b) Z× Zn = 〈(1, 0), (0, 1)〉 4. 5. [napǐsi, Cayley-evo tabelo] 6. [G ∼= Z4, G ∼= Z2 × Z2] 7. 8. 9.[|(0, 3)| = lcm(|0|, |3|) = lcm(1, 2) = 2] 10. [obstaja 24 element reda 5] 11. 12. 13. [obstaja 6 cikličnihpodgrup reda 10] 14. [8+16+16+8+16+16+32=104] 15. 16.(a) [(1, 1) generira Z2 × Z3, grupi staizomorfni]; (b) [grupa Z2 × Z2 ni ciklična, grupi nista izomorfni]; (c) [lahko definiramo izomorfizemφ(k) = (kmod 2, kmod 3, kmod 5)] 17. 18. [4] 19. [8]

POMEMBNI REZULTATI (Direktni produkt grup.)

1. (Direktni produkt grup). Naj bodo G1, G2, ..., Gn grupe. Za (a1, a2, ..., an) in (b1, b2, ..., bn)v∏n

i=1Gi definirajmo operacijo množenja po komponentah (a1, a2, ..., an)(b1, b2, ..., bn) =(a1b1, a2b2, ..., anbn). Potem je

∏ni=1Gi skupaj s to operacijo grupa, ki jo imenujemo direktni

produkt grup Gi.

2. (Red elementa v direktnem produktu). |(g1, g2, ..., gn)| = lcm(|g1|, |g2|, ..., |gn|)3. (Kriterij, da je G×H ciklična). Naj bosta G in H končni ciklični grupi. Potem je G×H

ciklična, če in samo če sta |G| in |H| tuji števili.4. (Kriterij za Zn1n2...nk ∼= Zn1 × Zn2 × ... × Znk). Naj bo m = n1n2...nk. Potem sta grupi Zm

in Zn1 × Zn2 × ...× Znk izomorfni če in samo če so si števila n1, n2, ..., nk v paroma tuja.5. Spomnimo se U(n) = {k ∈ N | k < n, gcd(k, n) = 1}. Naj bosta s, t tuji naravni števili. Potem

U(st) ∼= U(s)× U(t).

Poleg tega, če je Uk(n) = {x ∈ U(n) |xmod k = 1} potem Us(st) ∼= U(t) in Ut(st) ∼= U(s).

30

10 Podgrupe edinke. Kvocientne grupe.

Definicija (edinka)Naj bo G grupa in H ≤ G. Podgrupi H pravimo edinka, če je aH = Ha za vsak a ∈ G. To

označujemo z H �G.

1. Naj bo G Abelska grupa. Pokaži, da je vsaka podgrupa H grupe G edinka.2. (a) Naj bo H = {(1), (12)}. Ali je H edinka podgrupe S3?

(b) Naj bo N = {(1), (123), (132)}. Ali je N � S3?

Izrek (test za edinke)Podgrupa H grupe G je edinka v grupi G če in samo če xHx−1 ⊆ H za vsak x ∈ G.


4. (a) Naj bo H ={(

a b0 c

)| a, b, c ∈ R in ac 6= 0

}. Ali je H � GL2(R)? Obrazloži svojo

trditev.

(b) Pokaži da je SL2(R) � GL2(R).

5. (a) Če je [G : H] = 2 ([G : H] je indeks podgrupe H v grupi G) pokaži da je potem H �G.

(b) Pokaži da je An edinka grupe Sn.

6. Naj bosta H in J edinki grupe G. Če je H ∩ J = {e} (e je identiteta) pokaži, da je potemxy = yx za vse x ∈ H, y ∈ J .

7. Naj bo H �G, in naj bo K ≤ G. Definirajmo

HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}.

Pokaži da je HK ≤ G.

8. Naj bo G grupa in naj bo N podgrupa grupe G. Pokaži da je N edinka grupe G če in samo čeza ∀g ∈ G velja, da je gNg−1 = N .

Izrek (kvocientne grupe)Naj bo G grupa in naj bo H edinka grupe G. Množica G/H = {aH | a ∈ G} je grupa, glede na

operacijo (aH)(bH) = abH, reda [G : H].


10. (a) Pokaži, da je kvocientna grupaciklične grupe ciklična.

(b) Pokaži, da je kvocientna grupa abelskegrupe abelska.

11. Naj bo H = 〈4〉 podgrupa grupe G = Z(generirane s številom 4).

(a) Napǐsi vse elemente grupe H = 〈4〉.

(b) Pokaži, da je H edinka grupe G.

(c) Napǐsi vse elemente kvocientne grupeG/H = Z/〈4〉.

(d) Napǐsi Cayley-evo tabelo za Z/〈4〉.

(e) Določi red elementa 2 + 〈4〉 v grupi Z/〈4〉.

12. Določi red elementa 2 + 〈5〉 v grupi Z/〈5〉.

13. Naj bo H = 〈6〉 podgrupa grupe G = Z18.

(a) Napǐsi vse elemente grupe H = 〈6〉.

(b) Pokaži, da je H edinka grupe G.

31

(c) Napǐsi vse elemente kvocientne grupeZ18/〈6〉.

(d) Napǐsi Cayley-evo tabelo za Z18/〈6〉.

(e) Določi red elementov 2 + 〈6〉, 3 + 〈6〉 in5 + 〈6〉 v grupi Z18/〈6〉.

14. Naj bo K = 〈15〉 podgrupa grupe G = Z(generirane s številom 15).

(a) Napǐsi vse elemente grupe K = 〈15〉.

(b) Pokaži, da je K edinka grupe G.

(c) Napǐsi vse elemente kvocientne grupeG/K = Z/〈15〉.

(d) Določi red elementov 3 + 〈15〉, 4 + 〈15〉,5 + 〈15〉 in 6 + 〈15〉 v grupi Z/〈15〉.

(e) Pokaži, da je G/K = Z/〈15〉 ciklična.

(f) Pokaži da je Z/〈15〉 izomorfna grupi Z15.

15. Naj bosta G = 〈6〉 in H = 〈24〉 podgrupigrupe Z.

(a) Pokaži, da je H edinka v grupi G. Napǐsiodseke podgrupe H v grupi G. NapǐsiCayley-evo tabelo za G/H.

(b) Pokaži, da je G/H = 〈6〉/〈24〉 izomorfnagrupi Z4.

16. Naj bo G = U(16) grupa vseh pozitivnihcelih števil manǰsih od 16, ki so tuja s 16, gledena operacijo množenja modulo 16.

(a) Kakšen je red grupe G?

(b) Kakšen je red elementa 15 ∈ U(16)?

(c) Naj bo H = 〈15〉 podgrupa grupe U(16)(generirana s številom 15). Določi redkvocientne grupe U(16)/〈15〉.

(d) Napǐsi Cayley-evo tabelo za U(16)/H.

17. Naj bo G = H ×K (kje sta H in K danigrupi). Pokaži, da je potem H × {e}�G.

18. Poǐsči red dane kvocientne grupe

(a) (Z4 × Z4)/(〈2〉 × 〈2〉);

(b) (Z12 × Z18)/〈(4, 3)〉.

19. Določi red elementa 3〈16〉 v grupiU(35)/〈16〉.

Rešitve: 1. [h ∈ H, ∀g ∈ G gh = hg ⇒ gH = {gh |h ∈ H} = {hg |h ∈ H} = Hg, gH = Hg ∀g ∈ G,H �G] 2.(a) [(123)H = {(123), (13)}, H(123) = {(123), (23)}, H 6� S3]. (b) [(12)N = N(12) == {(12), (13), (23)}, N � S3] 3. H � G ⇒ ∀x ∈ G ∀h ∈ H ∃h′ ∈ H t.d. xh = h′x ⇒ xhx−1 = h′ ⇒

xHx−1 ⊆ H... 4.(a) [A =(

0 11 0

), A2 =

(1 00 1

), A = A−1, A ∈ GL2(R), B =

(1 10 1

), B ∈ H,

ABA−1 =

(1 01 1

)6∈ H, H 6� GL2(R)] 5.(b) [|Sn| = n!, |An| = n!/2, #(levih odsekov grupe An v

Sn) = [Sn : An] = 2, #(desnih odsekov grupe An v Sn) = 2, če je a ∈ An potem aAn = An = Ana, čea 6∈ An potem aAn 6= An 6= Ana, Sn = An ∪ aAn = An ∪Ana...] 6. [x ∈ H, y ∈ J , xyx−1y−1 ∈ G,xyx−1 ∈ J , y−1 ∈ J , xyx−1y−1 ∈ J ...] 7. [e = ee ∈ HK, ∀a = h1k1 in ∀b = h2k2 kjer h1, h2 ∈ H ink1, k2 ∈ K ∃h′ ∈ H t.d. ab−1 = h1k1k−12 h

−12 = h1(k1k

−12 )h

−12 = (h1h

′)(k1k−12 ) (npr.

h′ = (k1k−12 )h

−12 (k1k

−12 )−1) ⇒ ab−1 ∈ HK] 8.

POMEMBNI REZULTATI (Podgrupe edinke. Kvocientne grupe.)

1. (Test za edinke.) Podgrupa H grupe G je edinka v grupi G če in samo če xHx−1 ⊆ H zavsak x ∈ G.

2. (Kvocientne grupe.) Naj bo G grupa in naj bo H edinka grupe G. Množica G/H = {aH |a ∈ G} je grupa, glede na operacijo (aH)(bH) = abH, reda [G : H].

32

11 Homomorfizmi grup.

1. Razloži, zakaj preslikavaφ : Z/〈3〉 −→ Z6x+ 〈3〉 −→ 3x

ni dobro definirana.

2. Pokaži, da preslikava φ : R→ R, iz gruperealnih števil glede na operacijo seštevanja nase,definirana z φ(x) = x2, ni homomorfizem.

Definicija (homomorfizem)

Homomorfizem φ iz grupe G v grupo G je preslikava iz G v G, ki ohranja binarno operacijo grupe;torej φ(ab) = φ(a)φ(b) za vse a, b ∈ G.

Definicija (jedro homomorfizma)Jedro homomorfizma φ iz grupe G v grupo z ideniteto e je množica {x ∈ G |φ(x) = e}. Jedro

homomorfizma φ označujemo s kerφ.

3. Naj bo R∗ grupa neničelnih realnih številglede na operacijo množenja.

(i) Pokaži, da je preslikava φ(A) = det(A)homomorfizem iz GL2(R) v R∗. Določijedro homomorfizma φ.

(ii) Pokaži, da je preslikava φ iz R∗ v R∗, ki jedefinirana s φ(x) = |x|, homomorfizam.Določi jedro homomorfizma φ.

(iii) Ali je preslikava φ(x) = x2 iz R∗ nase,homomorfizem? Če je, določi jedrohomomorfizma φ.

4. Naj bosta G in H dani grupi.

(i) Pokaži, da je preslikava iz G×H v G,definirana z (g, h)→ g, homomorfizem.Določi jedro homomorfizma. Ta preslikavase imenuje projekcija grupe G×H nagrupo G.

(ii) Pokaži, da je preslikava η : G→ G×H,definirana z η(g) = (g, eH), homomorfizem(eh je identiteta grupe H). Določi jedrotega homomorfizma.

Izrek (lastnosti elementov glede na homomorfizem)Naj bo φ homomorfizem iz grupe G v grupo G, in naj bo g element grupe G. Potem

1. φ preslika identiteto grupe G v identitetogrupe G.

2. φ(gn) = (φ(g))n za vsak n ∈ Z.3. Če je |g| končen, potem |φ(g)| deli |g|.

4. kerφ je podgrupa grupe G.

5. φ(a) = φ(b) če in samo če akerφ = bkerφ.

6. Če je φ(g) = g′, potem je φ−1(g′) = {x ∈G |φ(x) = g′} = gkerφ.

5. Naj bosta G in G dve končni grupi in naj bo φ : G→ G surjektivni homomorfizem. Pokaži, dače ima G element reda n, potem ima tudi G element reda n.

Izrek (lastnosti podgrupe glede na homomorfizem)Naj bo φ homomorfizem iz grupe G v grupo G, in naj bo H podgrupa grupe G. Potem

1. φ(H) = {φ(h) |h ∈ H} je podgrupa grupeG.

2. Če je H ciklična, potem je φ(H) ciklična.

3. Če je H, abelska potem je φ(H) abelska.

4. Če je H edinka v G, potem je φ(H) edinkav φ(G).

5. Če je |kerφ| = n, potem je φ n-na-1 pres-likava iz G na φ(G) (φ je n-na-1 surjekcija).

6. Če je |H| = n, potem |φ(H)| deli n.7. Če je K podgrupa grupe G, potem jeφ−1(K) = {k ∈ G |φ(k) ∈ K} podgrupagrupe G.

8. Če je K edinka grupeG, potem je φ−1(K) ={k ∈ G |φ(k) ∈ K} edinka grupe G.

9. Če je φ surjekcija in kerφ = {e}, potem jeφ izomorfizem iz G v G

33

6. Poǐsči netrivialni homomorfizem φ iz G v G(to pomeni, poǐsči tak homomorfizem, da jeφ(G) 6= {e}). Za vsak primer pokaži, da je φhomomorfizem ter določi njegovo jedro.

(i) G = Z35, G = Z5.

(ii) G = Z5, G = Z35.

(iii) G = (R,+), G = GL2(R).

7. (i) Pokaži, da ne obstaja netrivialnihomomorfizem iz AAA5 v Z7 × Z7.

(ii) Pokaži, da ne obstaja surjektivnihomomorfizem iz Z8 × Z2 v Z4 × Z4.

8. Ali je mogoče, da obstaja homomorfizem izZ4 × Z4 na Z8 (tj. da obstaja surjektivnihomomorfizem iz Z4 × Z4 v Z8)? Ali je mogoče,da obstaja homomorfizem iz Z16 na Z2 × Z2?Odgovor utemelji!

9. Predpostavimo, da obstaja homomorfizemiz končne grupe G na Z10 (tj. da obstajasurjektivni homomorfizem iz končne grupe G vgrupo Z10). Pokaži, da ima potem G edinkiindeksa 2 in 5.

Izrek (jedro homomorfizma je edinka)Naj bo φ homomorfizem iz grupe G v grupo G. Potem je kerφ edinka grupe G.

Izrek (prvi izrek o izomorfizmu (Jordan, 1870))Naj bo φ homomorfizem grupa iz grupe G v grupo G. Potem je preslikava iz grupe G/kerφ v

grupo φ(G), podana z gkerφ→ φ(g), izomorfizam. Torej G/kerφ ∼= φ(G).

PosledicaNaj bo φ homomorfizem iz končne grupe G v grupo G. Potem |φ(G)| deli |G| in |G|.

10. Uporabi prvi izrek o izomorfizmu, inpokaži da je

(i) Z× Z/〈(1, 1)〉 ∼= Z.

(ii) Z× Z/〈(1, 5)〉 ∼= Z.

11. Razloži, zakaj Z× Z/〈(2, 4) ni izomorfnaz grupo Z.

12. Naj bodo G, H in K dane grupe. Naj boφ homomorfizem iz G v H in naj bo σhomomorfizem iz H v K. Pokaži, da je σφhomomorfizem iz G v K. Na kakšen način stakerφ in kerσφ povezana? Če sta φ in σsurjektivna homomorfizma in če je G končno,opǐsi [kerσφ : kerφ] preko |H| in |K|.

13. Prevzemimo, da k deli n. Pokaži, da jeZn/〈k〉 ∼= Zk.

14. Naj bo N edinka končne grupe G.

(i) Pokaži, da red elementa gN ∈ G/N delired elementa g.

(ii) Pokaži, da je vsaka podgrupa grupe G/Noblike H/N , kje je H podgrupa grupe G.

15. Pokaži, da je vsaka grupa reda 77 ciklična.

16. Določi vse homomorfizme iz Z na S3 (tj.vse surjektivne homomorfizme). Določi vsehomomorfizme iz Z v S3.

17. Naj bo p praštevilo. Določi številohomomorfizmov iz Zp × Zp v Zp.

18. Za vsak par pozitivnih celih števil m in n,lahko definiramo homomorfizem iz Z v Zm×Zn s

x −→ (xmodm,xmodn).

Določi jedro tega homomorfizma v primeru, koje (m,n) = (3, 4). Določi jedro tegahomomorfizma v primeru, ko je (m,n) = (6, 4).Rezultat posploši.

19. Naj bosta m, n dve tuji celi števili.Definirajmo preslikavo φ : Z→ Zm × Zn sφ(a) = (amodm, amodn).

(i) Pokaži, da je φ homomorfizem grup.

(ii) Uporabi prvi izrek o izomorfizmu inpokaži, da je Zmn ∼= Zm × Zn.

(iii) Uporabi (ii) in pokaži nasljednje: Dokaži,da obstaja celo število x tako da jex ≡ 3 mod 5 in x ≡ 12 mod 17.

34

12 Delovanje grupe na množici.

Definicija (delovanje grupe na množici)Naj bo X poljubna množica in naj bo G neka grupa. Delovanje grupe G na množici X (z leve

strani) je preslikava G×X → X za katero velja:(i) ex = x za vsak x ∈ X,(ii) (g1g2)x = g1(g2x) za vsak x ∈ X in za vsaka g1, g2 ∈ G.

Pod temi pogoji množico X imenujemo G-množica. Upoštevajmo, da ne zahtevamo od množice Xda bo v kakršni koli povezavi z grupom G.

1. Naj bo G = GL2(R) in naj bo X = R2. Pokaži da grupa G deluje na množici X v skladu zlevim množenjem.

2. Naj bo G = S5 in naj bo X = {{i, j} : i 6= j, i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5}}. Pokaži, da grupa G deluje namnožici X v skladu z naslednjim predpisom: G×X → X, σ{i, j} = {σi, σj}.

3. Dan je kvadrat katerega ogljǐsča so oz-načena s števi 1, 2, 3 in 4. Naj bo D4 ={R0, R90, R180, R270, H, V,D,D′} diederskagrupa reda 8, kje je Rα rotacija za kotα, medtem ko so H, V , D in D′ zrcal-jenja opisana s slikami desno. Obrazloži, nakakšen način elementi R90, H in D

′ grupe

D4 delujejo na ogljǐsčih 1 in 3. Če je X = {1, 2, 3, 4} napǐsi grupo D4 v obliki grupe permutacijmnožice X. Pokaži, da grupa D4 deluje na množici X.

4. Dana je grupa G in naj bo X = G. Definirajmo preslikavo G×X → X na naslednji način:g ∗ x = xg = gxg−1 (tako definirana preslikava se imenuje konjugacija). Pokaži, da je konjugacijadelovanje grupe.

5. Predpostavimo da grupa G deluje na množici X. (a) Pokaži, da če je x ∈ X, g ∈ G in y = gx,potem je x = g−1y. (b) Pokaži, da če je x 6= x′ potem gx 6= gx′.

Izrek. Naj bo X G-množica. Za vsak g ∈ G, je funkcija σg : X → X definirana z σg(x) = gx zax ∈ X, permutacija množice X. Tudi, preslikava φ : G→ SX definirana z φ(g) = σg je homomorfizemz lastnostjo, da je φ(g)(x) = gx.

Definicija (orbita elementa x pri delovanju grupe G)Naj grupa G deluje na množici X in naj bo x ∈ X. Množici

Gx = {gx | g ∈ G}

pravimo orbita elementa x pri delovanju grupe G na množici X.

6. (a) Dana je grupa G = {(1), (123), (132), (45), (123)(45), (132)(45)} ≤ S5 in dana je množicaX = {1, 2, 3, 4, 5} (X je G-množica). Določi orbite množice X glede na grupo G.(b) Poǐsči orbite delovanja podgrupe H = 〈(13), (247)〉 ≤ S8 na množici X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

7. Naj bo G ⊆ Mat2×2(R) grupa vseh obrnljivih matrik in naj bo X = R2 (G deluje na množiciX). Določi orbite množice X glede na grupo G.

8. Naj bo G dana grupa in naj bo X = G. Grupa G deluje na množici X v skladu z levimmnoženjem. Določi orbite množice X glede na delovanje grupe G.

35

Definicija (stabilizator elementa x)Naj grupa G deluje na množici X in naj bo x ∈ X. Množici

Gx = {g ∈ G : gx = x}

pravimo stabilizator elementa x v grupi G.

9. Naj bo X kvadrat in naj bo G grupa vsehsimetrij kvadrata X (G = Sym(X)). Opazimo,da G deluje na X. Določi orbito in stabilizatorelementa x ∈ X če je (a) x neko ogljǐsčekvadrata; (b) x sredina stranice kvadrata; (c) xtočka na 1

3dolžine neke stranice kvadrata.

10. Naj bo G grupa realnih števil z opearcijoseštevanja. Naj bo delovanje elementa α ∈ G namnožici R2 dano z rotacijo ravnine R2 okoli(0, 0) za α radianov v nasproti smeri urinegakazalca. Naj bo T poljubna točka v ravnini.

(a) Pokaži, da je R2 G-množica.

(b) Geometrijsko opǐsi orbito, ki vsebuje točkoT .

(c) Poǐsči stabilizator GT .

11. Grupa G := GL2(R) deluje na množici R2v skladu z levim množenjem A · v := Av.

(a) Izračunaj G[0,0]> .

(b) Izračunaj G[1,0]> .

(c) Določi vse orbite.

Izrek. Naj bo X G-množica in naj bosta x ∈ X,g ∈ G poljubna elementa. Potem je Ggx =gGxg

−1. Še več, če je H neka neprazna množica,potem je GgH = gGHg

−1.


13. Naj bo X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},σ = (123)(456)(789), τ = (12)(34)(56)(78),G = 〈σ, τ〉. Poglejmo si delovanje grupe G namnožici X. Opazimo, da je τ ∈ G9 in da jeτ ∈ G{3,4}. Kaj lahko brez neposrednogaračunanja rečemo o στσ−1.

14. Dan je pravilni petkotnik čigaar oglǐsča sooznačena s števili 1, 2, 3, 4 in 5. Če staρ = (13524) in µ = (25)(34), brez neposrednogračunanja določi ρµρ−1.

Izrek. Naj bo X G-množica in naj bosta x ∈ X,g ∈ G poljubna elementa. Če je gx = y inT = {t ∈ G | tx = y}, potem je T = gGx.

Izrek (orbita-stabilizator izrek)Naj bo X G-množica in naj bo x ∈ X. Potem je |Gx| = [G : Gx]. Če je G končna, potem je |Gx|

deljitelj od |G|. Poleg tega|G| = |Gx| · |Gx|.

15. Dokaži izreki zgoraj.16. (a) Naj bo X kocka in naj boG = RotSym(X) grupa vseh rotacijskihsimetrija kocke X. Določi red grupe G. (b) Najbo X dodekaeder in naj bo G = RotSym(X)grupa vseh rotacijskih simetrija dodekaedra X.Določi red grupe G.

17. Naj bo X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},σ = (123)(456)(789), τ = (12)(34)(56)(78),G = 〈σ, τ〉. Oglejmo si delovanje grupe G namnožici X. (a) Kaj je orbita delovanja grupe Gna elementu 2? na elementu 6? na elementu 8?(b) Izrazi |G1| preko |G|. (c) naj boY = {{a, b} | a, b ∈ X}. Ali G deluje na Y ?Zakaj? Kako? Kaj lahko rečemo o orbitah? (d)

Opazimo, da je τ ∈ G9 in da je τ ∈ G{3,4}. Kajlahko brez neposrednog računanja rečemo oστσ−1.

18. Predpostavimo, da grupa G deluje namnožici X. (a) Pokaži, da so različne orbitedisjunktne. (b) Za poljuben element x ∈ Xpokaži, da je stabilizator Gx elementa xpodgrupa grupe G.

19. (a) Naj bo G grupa reda 15, katera delujena množici X reda 22. Predpostavimo, damnožica X nima fiksnih točk. Določi številoorbit. (b) Naj bo G grupa reda 75, katera delujena množici X reda 11. Predpostavimo damnožica X nima fiksnih točk. Določi številoorbit.

36

13 Izreki Sylowa

Izrek (Cauchijev izrek za abelske grupe)Naj bo G končna abelska grupa in naj p deli |G|, kje je p praštevilo. Potem obstaja element

a ∈ G (a 6= e) t.d. ap = e.

Izrek (Cauchijev izrek)Naj bo G končna grupa in naj p deli |G|, kje je p praštevilo. Potem obstaja element a ∈ G (a 6= e)

t.d. ap = e (obstaja element reda p).

1. Pokaži, če je G grupa reda 2p, kje je ppraštevilo, potem ima G edinko reda p.

2. Naj bosta p in q praštevili. Pokaži, da jeabelska grup reda pq ciklična.

3. (a) Pokaži, da je vsaka abelska grupareda 6 ciklična.

(b) Poǐsči, vse ne-abelske grupe reda 6.

Izrek (Obrat Lagrange-ovog izreka zakončene abelske grupe)

Naj bo G končna abelska grupa. Če m delired grupe G, potem obstaja H ≤ G reda m.

4. Naj bo G končna grupa reda pn, kje je ppraštevilo. Pokaži, da ima G podgrupo reda 1,p, p2, ..., pn.

5. Pokaži, če je |G| = p2, kjer je p praštevilo,potem je G abelska.

Izrek (prvi izrek Sylowa)Naj bo G končna grupa reda pkq, kjer je p praštevilo, k, q ∈ N in gcd(p, q) = 1. Potem za vsak i

(1 ≤ i ≤ k) velja, da ima G najmanj edno podgrupo reda pi.

6. Če praštevilo p deli red končne grupe G, potem G vsebuje najmanj en element reda p.Pripomba. Posledica tega primera je Cauchy-ev izrek za končne grupe.

Definicija (p-podgrupa, p-grupa)Naj bo p praštevilo. Podgrupa H grupe G se imenuje p-podgrupa, če je red vsakega elementa iz

H enak potenci števila p. Podobno, če je red vsakega elementa iz grupe G enak potenci števila p,potem se G imenuje p-grupa.

Izrek Končna grupa G je p-grupa če in samo čeje |G| enak potenci števila p.

7. Dokaži izrek zgoraj.8. Katera od naslednjih grup je p-grupa:

(i) grupa G reda 21?

(ii) grupa G reda 25?

(iii) grupa G reda 128?

Definicija (Sylowa p-podgrupa)

Naj bo G končna grupa in naj bo p praštevilo. Podgrupa grupe G reda pk (k ∈ N) se imenujeSylowa p-podgrupa grupe G, če pk deli |G| in pk+1 ne deli |G|.Pripomba. Po definiciji Sylowe p-podgrupe, so vse Sylove p-podgrupe končne grupe istega reda.

9. Če je P Sylowa p-podgrupa končne grupe G, potem je za vsak x ∈ G, x−1Px tudi Sylowap-podgrupa grupe G.

Opomba. Če je P edina Sylowa p-podgrupa, potem je x−1Px = P ∀x ∈ G. Naj bosta g ∈ G,h ∈ P . Potem ghg−1 = (g−1)−1hg−1 = x−1hx ∈ x−1Px (vzemo x = g−1), ghg−1 ∈ P ∀g ∈ G, h ∈ P ,P je edinka v grupi G.

10. Naj bo |G| = pkq kje je p praštevilo, k, q ∈ N in gcd(p, q) = 1 in naj bo P Sylowa p-podgrupagrupe G. Če je H p-podgrupa grupe G t.d. P ⊆ H ⊆ G, potem pokaži, da je H = P .

37

Opomba. Iz primera zgoraj opazimo, da p-podgrupa grupe G ne more strogo vsebovati Sylowep-podgrupe grupe G.

Definicija (konjugirane podgrupe)Naj bo G grupa in naj bosta H, T podgrupe grupe G. Pravimo, da je podgrupa H konjugirana

podgrupi T , če obstaja element g ∈ G t. d. H = g−1Tg = {g−1tg : t ∈ T}.

Izrek (drugi izrek Sylowa)Naj bo G končna grupa reda pkq, kjer je p praštevilo, k, q ∈ N in gcd(p, q) = 1. Potem sta vsaki

dve podgrupi reda pk konjugirani.

Izrek (tretji izrek Sylowa)Naj bo G končna grupa reda pkq, kjer je p praštevilo, k, q ∈ N in gcd(p, q) = 1. Potem je število

podgrup reda pk oblike 1 + mp, kjer je m neko ne-negativno celo število. Velja tudi, da 1 + mp deli|G|.

11. Določi mogoče število Sylowih p-podgrup grupe S3, pa poǐsči vse Sylowe 2-podgrupe in vseSylowe 3-podgrupe grupe S3.

Definicija (enostavna grupa)Grupa G je enostavna, če sta njeni edini edinki trivijalna grupa in grupa G.

12. Poǐsči mogoče število Sylowih11-podgrup, Sylovih 7-podgrup in Sylowih5-podgrup v grupi reda 1925.

13. (a) Pokaži, da grupa reda 28 nienostavna.

(b) Pokaži, da grupa reda 40 ni enostavna.

14. Pokaži, da v grupi reda 20449 obstajaSylowa 11-podgrupa, ter da grupa ni enostavna.

15. (a) Pokaži, da grupa reda 30 nienostavna.

(b) Pokaži, da grupa reda 56 ni enostavna.

16. Če ima grupa G reda 28 edinko reda 4,potem pokaži, da je grupa G abelska.

17. Pokaži, da ne obstaja enostavna grupareda 48.

18. (a) Do izomorfizma natančno določi vsegrupe reda 99.

(b) Do izomorfizma natančno določi vse grupereda 66.

19. Pokaži, da je edina grupa reda 255 grupaZ255.

POMEMBNI REZULTATI (Izreki Sylowa.)

1. (Cauchijev izrek.) Naj bo G končna grupa in naj p deli |G|, kje je p praštevilo. Potemobstaja element a ∈ G (a 6= e) t.d. ap = e (obstaja element reda p).

2. Naj bo G končna abelska grupa. Če m deli red grupe G, potem obstaja H ≤ G reda m.

3. (prvi izrek Sylowa) Naj bo G končna grupa reda pkq, kjer je p praštevilo, k, q ∈ N ingcd(p, q) = 1. Potem za vsak i (1 ≤ i ≤ k) velja, da ima G najmanj edno podgrupo reda pi.

4. (drugi izrek Sylowa) Naj bo G končna grupa reda pkq, kjer je p praštevilo, k, q ∈ N ingcd(p, q

Documents

1 Grupaosebje.famnit.upr.si/~penjic/algebraIII/zima2016_2017/17_Vse_nalog… · 1 Grupa De nicija (binarna operacija) Binarna operacija na mno zici Sje vsaka preslikava, ki slika