Upload
hacong
View
217
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UFRGS 2013 UFRGS 2013 26)(UFRGS-2013) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo.
Esse número de bactérias pode ser escrito como
(A) (B) .(C) .(D) .(E) .
SOLUÇÃO
Observe o desenvolvimento
Dez =
Cem =
Mil =
Dez mil =
Cem mil 100.000 =
Um milhão 1000.000 =
Um bilhão 1000. 000. 0000 =
Quer cem bilhões
100 1000 000 000
100. 000. 000. 000 =
ALTERNATIVA C
28)(UFRGS-2013) A nave espacial Voyager,
27)(UFRGS-2013) O algarismo das unidades da soma
é
(A) 0(B ) 1(C) 2(D) 3(E) 4
SOLUÇÃO
Quer o algarismo das unidades
Observe
unidade 4 unidade 6
unidade 4 unidade 6
.................. unidade 4
.................. unidade 6
Observe quando o índice impar a unidade é 4 quando o índice par a unidade é 6
logo o algarismo das unidade é 6
Observe
unidade 5 unidade 5
unidade 5 ............ unidade 5
Observe: o algarismo das unidades é 5
Que a soma
a soma é então o algarismo das unidades é
ALTERNATIVA B
29)(UFRGS-2013) A massa das medalhas olímpicas de Londres 2012 está entre 375 g e 400
1
UFRGS 2013 UFRGS 2013 criada para estudar planetas do Sistema Solar, lançada da Terra em 1977 e ainda em movimento, possui computadores com capacidade de memória de 68 kB (quilo bytes). Atualmente, existem pequenos aparelhos eletrônicos que possuem 8 GB (giga bytes) de memória.
Considerando as informações do enunciado e os dados do quadro, a melhor estimativa, entre as alternativas abaixo, para a razão da memória de um desses aparelhos eletrônicos e da memória dos computadores da Voyager, é(A) 100.
(B) 1.000.
(C) 10.000.
(D) 100.000.
(E) 1.000.000.
SOLUÇÃO
Razão é divisão
=
117.0000 LOGO a melhor estimativa é a letra D
ALTERNATIVA D
30)(UFRGS-2013) O gráfico e os dados
g. Uma medalha de ouro contém 92,5% de prata e 1,34% de ouro, com o restante em cobre. Nessa olimpíada, os Estados Unidos ganharam 46 medalhas de ouro. Supondo que todas as medalhas de ouro obtidas pelos atletas estadunidenses tinham a massa máxima, a quantidade de ouro que esses atletas ganharam em conjunto
(A) é menor do que 0,3 kg. (B) está entre 0,3 kg e 0,5 kg. (C) está entre 0,5 kg e 1 kg, (D) está entre 1 kg e 2 kg. (E) é maior do que 2 kg.
SOLUÇÃO
Vamos calcular quantas gramas de ouro temos em cada medalha, montando uma regra de três
400 g ................100% .................1,34%
Logo cada medalha tem 5,36 gramas de ouro, 46 medalhas devem ter
As alternativas estão em Kg, montar uma regra de três para passar de gramas para quilos
1Kg......................1000g ......................246,56
É menor que 0,3
ALTERNATIVA A
SOLUÇÃO Vamos verificar cada alternativa
2
UFRGS 2013 UFRGS 2013 abaixo mostram a precipitação de chuva que ocorreu nos meses de setembro, outubro e novembro no ano de 2011 e a previsão para os mesmos meses em 2012. Também apresentam a média histórica dessa precipitação, para as regiões leste e sul do Estado do Rio Grande do Sul.
Com base nesses dados, é correto afirmar que
(A) a previsão de chuvas para o mês de novembro de 2012, na região leste, é exatamente 25% superior à média histórica da região.
(B) a quantidade de chuvas, na região sul, foi igual à média histórica da região, nos meses de setembro dos anos de 2011 e 2012.
(C) a previsão de chuvas para a região leste, no mês de outubro de 2012, é 60% da quantidade de chuvas, na mesma região, no mesmo mês de 2011.
(D) a quantidade de chuvas, na região sul, em outubro de 2011, superou a média histórica dessa região em 26%.
(E) a quantidade de chuvas prevista para o mês de novembro de 2012, na região leste, supera exatamente em 150% a quantidade de chuvas da região, no mesmo mês, em 2011.
31)(UFRGS-2013) A interseção dos gráficos
Alternativa (A) é FALSA observe
Logo 104 + 26 = 130 Deveria ter dado 120
Alternativa (B) é FALSA observe
Por simples observação do gráfico
Alternativa (C) é FALSA observe
Deveria ter dado 50
Alternativas (D) é VERDADEIRA observe
Logo 100 +26 =126
Alternativa (E) é FALSA observe
Logo é 14 + 21 = 35
(deveria ter dado 120)
ALTERNATIVA D
Desenhando os gráficos no mesmo sistema de coordenadas cartesianas temos
3
UFRGS 2013 UFRGS 2013 das funções e , definidas por e
, os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono.
A área desse polígono é
(A) 0,125(B) 0,25(C) 0,5(D) 1(E) 2 SOLUÇÃO
Vamos montar os gráficos e após sobrepô-los
0 0 1 1 2 2 -1 1 -2 2
0 1 – 0 = 1 1 1 – 1 = 0 2 1 – 2 = -1 -1 1 – 1 = 0 -2 1 – 2 = -1
32)(UFRGS-2013)Dada a função , definida por o numero de valores de que satisfazem a
0
O polígono formado pelas funções sobrepostas e um quadrado cuja diagonal mede 1 unidade
1
diagonal
0
Área do quadrado = =
ALTERNATIVA C
33)(UFRGS-2013) Se
4
UFRGS 2013 UFRGS 2013 igualdade é
(A) 0.(B) 1.(C) 2(D) 3(E) 4
SOLUÇÃO
Resolvendo
Temos duas raízes reais e iguais , logo temos um só valor que satisfaz a igualdade
ALTERNATIVA B
SOLUÇÃOPara resolver temos que ter conhecimento da função modular.
1- O gráfico acima do eixo das abscissas
É o gráfico da função definida por então, das alternativas abaixo, a que pode representar o gráfico da função , definida por
é
(A) (B)
(C) (D)
(E)
34)(UFRGS-2013) Denominando P a soma dos números pares de 1 a 100 e I a soma dos números ímpares de 1 a 100, P – I é
5
UFRGS 2013 UFRGS 2013 permanece o mesmo
2- A parte abaixo do eixo das abscissas sofre uma reflexão (rebatimento) para cima do eixo das abscissas iniciando este rebatimento no ponto da abscissa onde o gráfico começa a descer.
ALTERNSTIVA D
COMENTÁRIO SOBRE FUNÇÃO MODULAR
35)(UFRGS-2013) A sequência representada, na figura abaixo, é formada por infinitos triângulos equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1, e a medida do lado de cada
(A) 49(B) 50(C) 51(D) 52(E) 53
SOLUÇÃO
Atenção de 1 a 100 temos 100 números
P = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ... + 100
É uma soma de uma P A finita
= = =
Logo P =
I= 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99
É uma soma de uma P A finita
= = =
Logo I =
P - I
ALTERNATIVA B
Triangulo 3 cálculo do lado
6
UFRGS 2013 UFRGS 2013
um dos outros triângulos é da medida do
lado do triângulo imediatamente anterior.
A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é
(A) 9(B) 12(C) 15(D) 18(E) 21
SOLUÇÃO
Triângulo 1
1 1
1
Perímetro 1 + 1 + 1 = 3
Triângulo 2 Cálculo do lado
Perímetro
36)(UFRGS-2013) Se é uma progressão aritmética de razão , a sequência
, , ,...,, é uma progressão
Perímetro
Seqüência de perímetros
Esta sequencia de perímetros é uma P G de razão
Calcular a soma infinita
ALTERNATIVA A
Outra maneira para a questão 36
A outra maneira é colocar em função da razão
7
UFRGS 2013 UFRGS 2013
(A) geométrica de razão 2r.
(B) geométrica de razão r.
(C) aritmética de razão - r
(D) aritmética de razão r
(E) aritmética de razão 2r
SOLUÇÃO
é uma PA
Vamos montar uma sequência (não é necessário ir ate 100)
( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 10)
R= = 1 ou r
conforme a questão a razão é r
Quer saber
( 1 – 10, 2 – 9 , 3 – 8, 4 – 7, 5 – 6 )
( -9 , -7 , -5, -3, -1 )
R = = -7 – (-9) = 2 ou 2r
Conforme a questão esta razão deve ser 2r
ALTERNATIVA E
37(UFRGS-2013) Dez bactérias são cultivadas para uma experiência, e o número de bactérias dobra a cada 12 horas.
Tomando como aproximação para o log 2 o valor 0,3, decorrida exatamente uma semana, o número de bactérias esta entre
observe
Voltando ao problema
=
=
Montando a sequência temos uma PA
Razão =
Sabendo que o log 2 = 0,3 devemos colocar logaritmo dos dois lados da desigualdade
8
UFRGS 2013 UFRGS 2013
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
SOLUÇÃO
Observações Gerais
Bactérias dobra a cada 12 horas
Dez Bactérias seguem uma sequência de PG (10, 20, 40, 80, . . . )
Razão da PG é 2
Uma semana 7 dias
Cada dia 24 horas
Uma semana 168 horas
Teremos 168 horas dividido por 12 teremos 14 duplicações
Queremos saber a 15ª duplicação
Nossa PG terá 15 termos
Vamos Resolver o Problema
( 10, 20, 40, 80, . . . )
38)(UFRGS-2013) As raízes do polinômio são
(A) -4, -1 e 0
(B) -4, 0 e 1
(C) -4, 0 e 4
resolvendo
Logo esta entre
ALTERNATIVA B
39)(UFRGS-2013) A função é definida por = sen 2x e é uma função cujo gráfico não intercepta o gráfico de , quando representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. Entre as alternativas que seguem, a única que pode representar é
(A) (B) (C) (D) (E)
SOLUÇÃO
9
UFRGS 2013 UFRGS 2013 (D) -1, 0 e 1
(E) 0, 1 e 4
SOLUÇÃO
Este polinômio não possui termo independente devemos colocar o em evidencia
Resolver a equação de 2º grau
Suas raízes são -4 , -1 e 0
ALTERNATIVA A
OBS. Sempre que um polinômio não tem seu termo independente uma raiz será nula
40)(UFRGS-2013) Os lados de um losango medem 4 e um de seus ângulos . A medida da diagonal menor do losango é
(A) (B) (C) (D) (E)
Vamos montar o gráfico
Imagem período =
ALTERNATIVA A interceptaALTERNATIVA B intercepta ALTERNATIVA C intercepta ALTERNATIVA D intercepta
ALTERNATIVA E NÃO intercepta imagem
ALTERNATIVA E
41)(UFRGS-2013) Na figura abaixo, os triângulos retângulos são congruentes e possuem catetos com medidas e
10
UFRGS 2013 UFRGS 2013
SOLUÇÃO
A soma dos ângulos internos de losango é 360° sendo iguais dois a dois
Em um triângulo qualquer quando temos dois lados e um ângulo e devemos determinar o outro lado usamos a lei dos cossenos
Colocar 16 em evidência
ALTERNATIVA C
42)(UFRGS-2013) Observe a figura abaixo
No quadrado ADCD de lado 2, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da região sombreada é
(A) (B) (C)
A área da região sombreada é
(A) (B) .(C) (D) (E)
SOLUÇÃO
b
a a
a b b
Observa que o quadrado sombreado tem lado
A área do quadrado sombreado é
Área =
ALTERNATIVA C
43)(UFRGS-2013)Dois círculos tangentes e de mesmo raio têm seus respectivos centros em vértices opostos de um quadrado, como mostra a figura abaixo
11
UFRGS 2013 UFRGS 2013
(D) (E)
SOLUÇÃO
Observe a figura abaixo
Para solucionar o problema devemos:
lado = 2
ALTERNATIVA E
Observe a figura abaixo Atenção o lado mede 2
A C
B 2
2
Quanto mede AC ?
Mede o valor do lado menos o raio
Se a medida do lado do quadrado é 2, então a área do triângulo ABC mede
(A)
(B)
(C) (D)
(E) SOLUÇÃO
raio Metade da diagonal ou raio
Vamos calcular esta diagonal e dividir por dois
como é a metade
logo o raio também 44)(UFRGS-2013)Considere as seguintes proposições de modelos de planificação de um cubo
12
UFRGS 2013 UFRGS 2013
AC =
Quanto mede AB ?
Mede o valor do lado menos o raio
AB =
Vamos calcular sua Área
=
evidência
=
ALTERNATIVA A
Observe a proposição II
X X
X
Não forma um cubo, se dobrarmos suas faces para formar um cubo as marcadas com X ficaram sobrepostas.
Com isso eliminamos as alternativas A, C D
Entre essas proposições de modelos de planificação, quais podem resultar em um cubo?
(A) I, II e V
(B) III, IV e V
(C) II, III e IV
(D) II, IV e V
(E) I, III e V
45)(UFRGS-2013) Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8, de maneira que dois de seus vértices, P e Q, sejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC, e os vértices da face superior desse sólido
13
UFRGS 2013 UFRGS 2013
Observe a proposição IV
Não forma um cubo, pois um cubo planificado podemos ter no máximo 3 arestas
E em um cubo pronto só podem se unir 3 arestas
Com isso eliminamos as alternativas B C D
ALTERNATIVA E
46)(UFRGS-2013) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por e , representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, interseção dos gráficos das funções f e g, como na figura abaixo.
A distancia entre os pontos A e B é
coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo.
O volume desse sólido é
(A) 64 (B) 128 (C) 256 (D) 512 (E) 1024
SOLUÇÃO
O sólido construído dentro do cubo é um prisma de base triangular
A área da base é um triângulo de base 8 e altura 8
e a altura do prima é 8
Logo
ALTERNATIVA C
Observação: O cubo e o prisma tem a mesma base. Quando temos esta situação o volume do prisma é igual ao volume do cubo dividido por 2
Ponto
14
UFRGS 2013 UFRGS 2013 (A) (B) (C) (D) (E)
SOLUÇÃO
Como as funções se interceptam vamos montar um sistema para determinar o ponto A e B
Vamos resolver pelo método da comparaçãoQue é igualar as funções
Substitui as raízes em qual quer uma equação acima
Ponto
47)(UFRGS-2013) Um círculo tangencia a reta r, como na figura abaixo.
O centro do círculo é o ponto (7 , 2) e a reta r é definida pela equação 3x – 4y + 12 = 0
A equação do círculo é
(A)
Agora devemos calcular a distancia entre os pontos pela fórmula
ALTERNATIVA E
Centro ( 7 , 2) raio = ?????
Vamos determinar o raio através da formula da distancia entre ponto e reta
15
UFRGS 2013 UFRGS 2013 (B) (C) (D) (E)
SOLUÇÃO
Temos o centro (7 , 2) falta o raio
(7 ,2)
Vamos usar a equação reduzida do círculo
centro centro raio
48)(UFRGS-2013) O sistema de equações
possui
(A) nenhuma solução
(B) uma solução
(C) duas soluções
(D) três soluções
(E) infinitas soluções
SOLUÇÃO
Vamos determinar o determinante do sistema
(7 , 2) 3x – 4y + 12 = 0
= = = 5
Centro ( 7 , 2) raio = 5
ALTERNATIVA A
49)(UFRGS-2013) Sobre uma mesa, há doze bolas numeradas de 1 a 12; seis bolas são pretas, e seis, brancas. Essas bolas serão distribuídas em 3 caixas indistinguíveis, com quatro bolas cada uma.
Escolhendo aleatoriamente uma caixa de uma dessas distribuições, a probabilidade de que essa caixa contenha apenas bolas pretas é
(A) (B) (C) (D) (E)
SOLUÇÃO
16
UFRGS 2013 UFRGS 2013
-12 – 20 = - 32
Multiplica Multiplica não Troca sinal Troca sinal
Atenção: como o determinante é diferente de zero o sistema é determinado e possui uma única solução
sistema possível admite uma única solução
ALTERNATIVA B
50)(UFRGS-2013) Observe a figura abaixo
Na figura, um triângulo equilátero está inscrito em um círculo, e um hexágono regular está circunscrito ao mesmo círculo. Quando se lança um dardo aleatoriamente, ele atinge o desenho.
A probabilidade de que o dardo não tenha atingido a região triangular é
(A) 32,5 % (B) 40 % (C) 62,5 % (D) 75 % (E) 82,5 %
SOLUÇÃO
Logo
TOTAL DE 12 BOLAS
6 BOLAS PRETAS
6 BOLAS BRANCAS
DISTRIBUIR AS BOLAS EM 4 CAIXAS POSSIBILIDADE DE TER 4 BOLAS PRETAS EM UMA CAIXA
SÃO EVENTOS INDEPENDENTES Vamos levar em conta só as bolas PRETAS
COMO PODEMOS COLOCAR AS BOLAS PRETAS EM UMA CAIXA
ALTERNATIVA A
Vamos determinar o lado do triângulo
Vamos calcular a área do hexágono
Vamos determinar a área do hexágono usando o
17
UFRGS 2013 UFRGS 2013
área do hexágono – área do triângulo
área do hexágono
Vamos determinar a área do triângulo usando o raio da circunferência
raio da circunferência
O hexágono é formado por 6 triângulos eqüiláteros Observe que o raio é a altura do eqüilátero Vamos determinar o lado do hexágono
Calcular a are de um triângulo e após multiplicar por 6
Área do hexágono
Cálculo de área do hexágono – área do triângulo
=
Finalmente
ALTERNATIVA C
18