1

Zadatak 301 (Valentina, srednja škola)

Povećavajući svoj obujam pri stalnom tlaku 0.4 MPa plin je obavio rad 60 kJ. Izračunajte konačni obujam plina ako je početni obujam bio 0.5 m3.

Rješenje 301

p = 0.4 MPa = 4 · 105 Pa, W = 60 kJ = 6 · 104 J, V1 = 0.5 m3, V2 = ?

Kad plinu dovodimo toplinu uz stalan tlak (izobarna promjena), plin se rasteže i obavlja rad koji je jednak

( )2 1 .W p V W p V V= ⋅ ∆ ⇒ = ⋅ −

Konačni obujam plina iznosi:

( ) ( ) 12 1 2 1 2 1 2 1/

W WW p V V W p V V V V

pV V

p p= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = − ⇒ − =⋅ ⇒

46 10 3 3

0.5 0.65 .2 1 54 10

W JV V m m

p Pa

⋅⇒ = + = + =

⋅

Vježba 301 Povećavajući svoj obujam pri stalnom tlaku 0.8 MPa plin je obavio rad 120 kJ. Izračunajte konačni obujam plina ako je početni obujam bio 0.5 m3.

Rezultat: 0.65 m3. Zadatak 302 (Valentina, srednja škola)

Izračunajte rad u termodinamičkom procesu ako je sustav primio toplinu 28 J i smanjio svoju unutarnju toplinsku energiju za 15 J.

Rješenje 302

Q = 28 J, ∆U = – 15 J unutarnja energija sustava se smanjila pa zato pišemo minus, W = ?

Prvi zakon termodinamike Toplina Q koju dovodimo nekom sustavu jednaka je zbroju promjene unutarnje energije �U sustava i rada W koji obavi sustav. Prvi zakon termodinamike poseban je slučaj zakona očuvanja energije za situaciju gdje do promjene unutarnje energije dolazi zbog izmjene topline i (ili) zbog obavljanja rada.

.Q U W= ∆ + Pravila:

Pozitivno Simbolički zapis Opis

Q Q > 0 Toplina se dovodi sustavu.

����U ����U > 0 Unutarnja energija sustava raste.

W W > 0 Sustav obavlja rad.

Negativno Simbolički zapis Opis

Q Q < 0 Toplina se odvodi sustavu. ����U ����U < 0 Unutarnja energija sustava pada.

W W < 0 Rad se obavlja na sustavu.

Rad u termodinamičkom procesu iznosi:

( )28 15 43 .Q U W U W Q W Q U J J J= ∆ + ⇒ ∆ + = ⇒ = − ∆ = − − =

Vježba 302 Izračunajte rad u termodinamičkom procesu ako je sustav primio toplinu 20 J i smanjio svoju unutarnju toplinsku energiju za 16 J.

Rezultat: 36 J.

2

Zadatak 303 (Valentina, srednja škola)

U posudi je 3.5 kg vode početne temperature 300 K. Na koju temperaturu će se voda ohladiti ako je okolini predala toplinu 88 000 J? (specifični toplinski kapacitete vode je c = 4185 J / ( kg · K)

Rješenje 303

m = 3.5 kg, T1 = 300 K, Q = – 88 000 J toplinu odvodimo od sustava pa je znak minus, c = 4185 J / ( kg · K), T2 = ?

Toplina Q je onaj dio unutarnje energije tijela koji prelazi s jednog tijela na drugo zbog razlike temperatura tih tijela. Toplina koju neko tijelo zagrijavanjem primi odnosno hlañenjem izgubi jednaka je

( ) ,2 1Q m c T Q m c T T= ⋅ ⋅ ∆ ⇒ = ⋅ ⋅ −

gdje je m masa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a ∆T promjena temperature. Toplina Q može biti pozitivna ili negativna:

• ( ) ako toplinu dov0 pozitivna , odimo sustavuQ >

• ( ) ako toplinu odvodi0 neg mo odativ sustna .a, avQ <

Temperatura na koju se voda ohladi iznosi:

( ) ( ) ( ) 1/2 1 2 1 2 1 2 1

QQ m c T T m c T T Q m c

mT

ccT T Q T

m= ⋅ ⋅ − ⇒ ⋅ ⋅ − = ⇒ ⋅ ⋅ − = ⇒ − =⋅

⋅⋅⇒

88000300 294 .2 1

3.5 4185

Q JT T K K

Jm ckg

kg K

−⇒ = + = + =

⋅ ⋅⋅

Vježba 303

U posudi je 7 kg vode početne temperature 300 K. Na koju temperaturu će se voda ohladiti ako je okolini predala toplinu 176 000 J? (specifični toplinski kapacitete vode je c = 4185 J / ( kg · K)

Rezultat: 294 K. Zadatak 304 (Petar, srednja škola)

Neka je na temperaturi t1 = 10 ºC gustoća tekućine ρ1 = 550 kg/m3. Izračunajte gustoću tekućine na temperaturi t2 = 18 ºC, ako je zadan koeficijent kubičnog rastezanja α = 2.5 · 10-4 ºC-1.

Rješenje 304

t1 = 10 ºC, ρ1 = 550 kg/m3, t2 = 18 ºC, α = 2.5 · 10-4 ºC-1, ρ2 = ?

Ako je ρ0 gustoća krutine ili tekućine na temperaturi 0ºC, onda je ona na temperaturi t jednaka

0 0ili1 1

,3t t

t t

ρ ρρ ρ

α β= =

+ ⋅ + ⋅ ⋅

gdje je α koeficijent kubičnog rastezanja, β koeficijent linearnog rastezanja. Izmeñu koeficijenata α i β postoji odnos

3 .α β= ⋅

Formule za gustoću tekućine na temperaturama t1 i t2 glase:

• 01 1 1t

ρρ

α=

+ ⋅

• 0 .2 1 2t

ρρ

α=

+ ⋅

Iz sustava jednadžbi izračunamo gustoću ρ2.

3

0podijelimo

jednadž

10 01 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2

100 1 1 112 1 11 11 12

be 0

t t t t

tt tt

ρ ρρ

α ρ α ρ α ρ α

ρρ ρ ρ ρα

ρ

ρα

ρ

αα

=+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

= + ⋅+ ⋅ + ⋅+ ⋅

1 1 12 1 2 1 12 11 1

/11 2 1 2

12

t t t

t t t

ρ α ρρ

α αρ ρ

ρ α ρ α α

+ ⋅ + ⋅ + ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =

+ ⋅ + ⋅ + ⋅⋅

14 01 2.5 10 100550 548.9 .

3 314 01 2.5 10 180

Ckg kgC

m mCC

−+ ⋅ ⋅

= ⋅ =−

+ ⋅ ⋅

Vježba 304

Neka je na temperaturi t1 = 10 ºC gustoća tekućine ρ1 = 550 kg/m3. Izračunajte gustoću tekućine na temperaturi t2 = 18 ºC, ako je zadan koeficijent kubičnog rastezanja α = 25 · 10-5 ºC-1.

Rezultat: 548.9 kg/m3.

Zadatak 305 (Petar, srednja škola)

Gustoća zlata na temperaturi t1 = 20 ºC iznosi ρ1 = 19320 kg/m3. Kolika je gustoća zlata na temperaturi t2 = – 20 ºC, ako je zadan koeficijent linearnog rastezanja zlata β = 14 · 10-6 ºC-1.

Rješenje 305

t1 = 20 ºC, ρ1 = 19320 kg/m3, t2 = – 20 ºC, β = 14 · 10-6 ºC-1, ρ2 = ?

Ako je ρ0 gustoća krutine ili tekućine na temperaturi 0ºC, onda je ona na temperaturi t jednaka

0 0ili1 1

,3t t

t t

ρ ρρ ρ

α β= =

+ ⋅ + ⋅ ⋅

gdje je α koeficijent kubičnog rastezanja, β koeficijent linearnog rastezanja. Izmeñu koeficijenata α i β postoji odnos

3 .α β= ⋅

Formule za gustoću zlata na temperaturama t1 i t2 glase:

• 01 1 3 1t

ρρ

β=

+ ⋅ ⋅

• 0 .2 1 3 2t

ρρ

β=

+ ⋅ ⋅

Iz sustava jednadžbi izračunamo gustoću ρ2.

0podijelimo

jednadžb

0 01 1 3 1 3 1 31 2 2 2 2

00 1 12 1 3 1 31 3 1 1

0

2

e

t t t

t tt

ρ ρρ

β ρ β ρ β

ρρ ρ ρρ

β ββ

ρ

ρ

=+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

=+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅

1

1 3 1 3 1 3 1 32 2 2 1 2 1 12 11 1 3 1 3 1 31 1 2 1 2 2

1 3 1

/ 1t t t t

t t t

t

ρ β ρ β ρ β βρ ρρ

ρ ρ β ρ β ββ

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅

⋅

4

( )

16 01 3 14 10 20019320 19352 .

3 316 01 3 14 10 200

Ckg kgC

m mCC

−+ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ =−

+ ⋅ ⋅ ⋅ −

Vježba 305

Gustoća zlata na temperaturi t1 = 20 ºC iznosi ρ1 = 19320 kg/m3. Kolika je gustoća zlata na temperaturi t2 = – 20 ºC, ako je zadan koeficijent linearnog rastezanja zlata β = 1.4 · 10-5 ºC-1.

Rezultat: 19352 kg/m3.

Zadatak 306 (Ivana, srednja škola)

Temperatura jednoatomnog idealnog plina iznosi T. Što će se dogoditi s unutarnjom energijom jednoatomnog idealnog plina ako se temperatura plina smanji na T/2?

. . . .A Povećat će se dva puta B Smanjit će se dva puta . . . .C Povećat će se četiri puta D Smanjit će se četiri puta

Rješenje 306

T1 = T, T2 = T/2, U2 : U1 = ?

Molekule idealnog jednoatomnog plina su točkaste čestice čija se interakcija može zanemariti. Unutarnja energija idealnog jednoatomnog plina računa se po formuli:

2,

3U N k T

B= ⋅ ⋅ ⋅

gdje je N broj molekula monoatomnog plina, kB Boltzmanova konstanta, T termodinamička temperatura plina.

1.inačica

Ako je N stalan broj iz formule vidi se da je unutarnja energija U razmjerna temperaturi T.

( )N sta3 3

.2

o2

lnU N k T NU T U TkB B

= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ∼

Ako se temperatura dva puta smanji i energija će se dva puta smanjiti. Odgovor je pod B.

2.inačica

Promatramo omjer unutarnjih energija U2 i U1.

3 32 12 2 2 2 2 2 2 2

3 3 21 1 1 112 2

3

23

2

TN k T N kU U U UB B

U U U

TN k

B

UN k T N k T

BN k T

B B

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

/ 11 12 .2 12 21

UU

U UU

⇒ = ⇒ = ⋅⋅

Unutarnja energija smanjila se dva puta. Odgovor je pod B.

Vježba 306

Temperatura jednoatomnog idealnog plina iznosi T. Što će se dogoditi s unutarnjom energijom jednoatomnog idealnog plina ako se temperatura plina smanji na T/3?

. . . .A Povećat će se tri puta B Smanjit će se tri puta . . . .C Povećat će se šest puta D Smanjit će se šest puta

Rezultat: B.

5

Zadatak 307 (Tony, srednja škola)

Duljinu stupca žive pri 100 ºC označimo sa l100, a pri 0 ºC sa l0. Koji od navedenih izraza prikazuje temperaturu t pri kojoj je duljina stupca žive lt?

0 00. 100 . 100100 0 100 0

lltA C B Cl l l l

⋅ ⋅− −

0 0100 0. 100 . 100100 0 100 0

l l l lt tC C D C

l l l l

− −⋅ ⋅

− −

Rješenje 307

t1 = 100 ºC, l100, t2 = 0 ºC, l0, lt, t = ?

Kad štapu nekog čvrstog tijela, koji prema dogovoru pri 0 °C ima duljinu l0, povisimo temperaturu za t (od 0 °C do t), on će se produljiti za:

0 ,l l tβ∆ = ⋅ ⋅

gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom:

0

0.

l lt

l tβ

−=

⋅

Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K-1. Iz izraza za β slijedi da će nakon zagrijavanja duljina štapa biti jednaka:

( )10 .l l tt β= ⋅ + ⋅

Taj izraz vrijedi i za kubično rastezanje tekućine, kao i za šuplja čvrsta tijela. Duljinu stupca žive pri 100 ºC označimo sa l100, a pri 0 ºC sa l0. Tada β iznosi:

( ) ( )0 0 01001 100 1 100 1 100100 0 100 01

/00l

ll l C l l C C

lβ β β= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = + ⋅⋅ ⇒

0 0 0100 100 0 100 01 100 101

/0

0 1000 0 00 10

l l l l lC C C

l l l Cβ β β

− −⇒ − = ⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

01001 1100 0 0 .01000 100 0

l l l C

l l lCβ

β

− ⋅⇒ = ⋅ ⇒ =

−

Računamo temperaturu t pri kojoj je duljina stupca žive lt.

( ) ( ) 11 1 1 10 0

0/

0 0l

l lt tl l t l l t t tt tl l

β β β β= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ − = ⋅⋅ ⇒

011 0010 0 0 0 0

0 0 0 0 1/

00 0

l l l l l l l l l Ct t t tt t t t

l l l l l lββ β

β

− − − − ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

−⋅ ⇒

0100 00 0 100 .100 0 10

0

0 0 0

l l C l lt tt t C

l l l l

l

l

− ⋅ −⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

− −

Odgovor je pod D.

6

Vježba 307

Duljinu stupca žive pri 200 ºC označimo sa l200, a pri 0 ºC sa l0. Koji od navedenih izraza prikazuje temperaturu t pri kojoj je duljina stupca žive lt?

0 00. 200 . 200200 0 200 0

lltA C B Cl l l l

⋅ ⋅− −

0 0200 0. 200 . 200200 0 200 0

l l l lt tC C D C

l l l l

− −⋅ ⋅

− −

Rezultat: D. Zadatak 308 (MM, gimnazija)

Iz elektronske cijevi isisan je plin do tlaka 1.59 · 10-3 Pa pri 27 ºC. Obujam cijevi je 100 cm3. Koliko je molekula preostalo u cijevi? (Avogadrova konstanta NA = 6.022 · 1023 mol-1, plinska konstanta R = 8.314 J / (K · mol))

Rješenje 308

p = 1.59 · 10-3 Pa, t = 27 ºC => T = 273 + t = (273 + 27) K = 300 K, V = 100 cm3 = 10-4 m3, NA = 6.022 · 1023 mol-1, R = 8.314 J / (K · mol), N = ?

Broj atoma i molekula u makroskopskim tijelima je velik i obično se ne izražava brojnošću, već veličinom množina, tj. količina tvari (znak: n). Jedinica za količinu tvari ili množinu je mol (znak: mol). Jedan mol bilo koje tvari sadrži jednak broj jedinki (molekula, atoma itd.) i to 6.022 · 1023, što je brojčana vrijednost Avogadrove konstante NA = 6.022 · 1023 mol-1. Broj jedinki N u množini tvari n iznosi:

.N n NA

= ⋅

Jednadžba stanja plina, ako je zadana množina n idealnog plina, glasi:

,p V n R T⋅ = ⋅ ⋅

gdje je p tlak, V obujam plina, R plinska konstanta, T termodinamička temperatura plina. Računamo broj N preostalih molekula u cijevi.

1

/ metoda

supstitucijeR

p Vp V n R T p V n R T n

R TN n N

A N n N N NA

T

nA

⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒= ⋅

= ⋅

⋅⋅

= ⋅

3 4 31.59 10 10 123 13 13

6.022 10 3.84 10 4 10 .8.314 300

p V Pa mN N

A JR T molK

K mol

− −⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ≈ ⋅⋅ ⋅

⋅

Vježba 308

Iz elektronske cijevi isisan je plin do tlaka 3.18 · 10-3 Pa pri 27 ºC. Obujam cijevi je 50 cm3. Koliko je molekula preostalo u cijevi? (Avogadrova konstanta NA = 6.022 · 1023 mol-1, plinska konstanta R = 8.314 J / (K · mol))

Rezultat: 4 · 1013.

Zadatak 309 (MM, gimnazija)

Otvorena staklena boca obujma 500 cm3 ispunjena je zrakom. Bocu zagrijavamo do 227 ºC i zatim je grlom prema dolje uronimo u vodu. Koja će masa vode ući u bocu kad se temperatura zraka u njoj snizi na 27 ºC? Gustoća zraka kod 27 ºC je 103 kg/m3.

7

Rješenje 309

V1 = 500 cm3 = 500 · 10-6 m3 = 5 · 10-4 m3, t1 = 227 ºC => T1 = 273 + t1 = (273 + 227) K = 500 K, t2 = 27 ºC => T2 = 273 + t2 = (273 + 27) K = 300 K, ρ = 103 kg/m3, m = ?

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma:

.m

m VV

ρ ρ= ⇒ = ⋅

Kad je tlak plina stalan, a mijenja se temperatura (izobarna promjena), obujam dane mase plina mijenjat će se prema Gay – Lussacovu [Gej – Lisak] zakonu. Jednadžba u termodinamičkoj ljestvici temperature glasi:

1 2 .1 2

V V

T T=

Budući da je tlak zraka u boci stalan (izobarna promjena) vrijedi Gay – Lussacov zakon pa će na temperaturi T2 obujam V2 zraka u boci iznositi:

1 2 1 2 2 .2/ 2 11 2 1 2 1

V V V V TV V

T T T TT

T⋅= ⇒ = ⇒ = ⋅

Obujam vode ∆V koja je ušla u bocu jednak je razlici obujma zraka prije i poslije hlañenja.

2 21 .1 2 1 1 11 1

T TV V V V V V V V

T T∆ = − ⇒ ∆ = − ⋅ ⇒ ∆ = ⋅ −

Masa vode koja je ušla u bocu iznosi:

metoda

supstituci

21 2j

1 111 e 1

TTV V

m VTT

m V

ρ

ρ

∆ = ⋅ −⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ − =

= ⋅ ∆

3003 4 310 5 10 1 0.2 .

3 500

kg Km kg

Km

−= ⋅ ⋅ ⋅ − =

Vježba 309

Otvorena staklena boca obujma 0.5 dm3 ispunjena je zrakom. Bocu zagrijavamo do 227 ºC i zatim je grlom prema dolje uronimo u vodu. Koja će masa vode ući u bocu kad se temperatura zraka u njoj snizi na 27 ºC? Gustoća zraka kod 27 ºC je 103 kg/m3.

Rezultat: 0.2 kg. Zadatak 310 (Lucijin prijatelj ☺☺☺☺, strukovna škola)

Koliko je bara 4.8 MPa?

Rješenje 310

SI – jedinica za tlak je paskal, oznaka Pa. Tlak se može još izražavati i jedinicom bar.

51 10 .bar Pa=

6 5 54.8 4.8 10 4.8 10 10 48 1

6

0 48 .

10

MPa

M

m Pa Pa Pa barega= = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

↓

↓

8

Vježba 310

Koliko je bara 0.7 MPa?

Rezultat: 7 bar. Zadatak 311 (MM, gimnazija)

Pri temperaturi zraka 17 ºC i normiranom atmosferskom tlaku uronimo staklenu cijev u posudu sa živom (slika). U staklenoj se cijevi nalazi neka količina zraka tako da je razina žive u cijevi 5 cm iznad razine žive u posudi. Duljina dijela cijevi koji je ispunjen zrakom iznosi 50 cm. Za koliko se mora povisiti temperatura okolnog zraka da se živa u cijevi spusti do razine žive u posudi?

50 cm

5 cm

Rješenje 311

t1 = 17 ºC => T1 = 273 + t1 = (273 + 17) K = 290 K, h = 5 cm = 0.05 m, d = 50 cm = 0.5 m, p0 = 76 cmHg – normirani atmosferski tlak, ∆t = ?

Obujam valjka Uspravni i kosi valjak polumjera osnovke (baze) r i visine v imaju jednake obujmove. Taj obujam iznosi:

2.V S v V r vπ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Općenitu ovisnost izmeñu tri parametra idealnog plina – obujma V, tlaka p i temperature T – možemo izraziti zakonom koji sadrži sva tri plinska zakona:

1 1 .2 2

1 2

p V p V

T T

⋅ ⋅=

Pri temperaturi T1 tlak stupca zraka u cijevi jednak je

5 76 5 71 .1 0p p cmHg cmHg cmHg cmHg= − = − =

Visina stupca zraka u cijevi je d pa njegov volumen iznosi:

2.1V r dπ= ⋅ ⋅

Budući da se živa u cijevi mora spustiti do razine žive u posudi, tlak zraka u cijevi p2 mora biti jednak vanjskom tlaku (atmosferskom tlaku p0) koji iznosi:

76 .2 0 2p p p cmHg= ⇒ =

Tada će se volumen zraka u cijevi povećati jer će u cijeloj cijevi sada biti zrak i iznosit će

9

( )2

22 .2V r l

V r h d

l h d

ππ

= ⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⋅ +

= +

Pomoću jednadžbe stanja plina izračunamo temperaturu T2.

1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 .21 2 1 2

2 1/1 1 1 1

T T

p V

p V p V p V p V p V TT

T T T T p V

⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒

⋅⋅=

Povećanje temperature okolnog zraka iznosi:

2 2 1 2 2 12 1 1 11 1 1 1

p V T p Vt T T t T t T

p V p V

⋅ ⋅ ⋅∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = ⋅ − ⇒

⋅ ⋅

( ) ( )22 21 11 1

2

122

1

p r h d p h dt T t T

p r d p d

r

r π

π

π

π⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⇒ ∆ = ⋅ − ⇒ ∆ = ⋅ − ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅

( ) ( )76 0.05 0.52 1 290 1 51.46 .1 71 0.51

p h d cmHg m mt T K K

p d cmHg m

⋅ + ⋅ +⇒ ∆ = ⋅ − = ⋅ − =

⋅ ⋅

h

d

5 cm

50 cm

l

10

Vježba 311

Pri temperaturi zraka 17 ºC i normiranom atmosferskom tlaku uronimo staklenu cijev u posudu sa živom (slika). U staklenoj se cijevi nalazi neka količina zraka tako da je razina žive u cijevi 50 mm iznad razine žive u posudi. Duljina dijela cijevi koji je ispunjen zrakom iznosi 500 mm. Za koliko se mora povisiti temperatura okolnog zraka da se živa u cijevi spusti do razine žive u posudi?

500 mm

50 mm

Rezultat: 51.46 K.

Zadatak 312 (Jelena, srednja škola)

Srebrna kugla uronjena u vodu temperature 0 ºC istisne 10 cm3 vode, a uronjena u vodu temperature 100 °C istisne 10.057 cm3. Koliki je koeficijent kubičnog rastezanja srebra?

Rješenje 312

t0 = 0 ºC, V0 = 10 cm3 = 10-5 m3, t = 100 °C, V = 10.057 cm3 = 1.0057 · 10-5 m3, α = ?

Kad čvrstom tijelu povisimo temperaturu, njegove se dimenzije povećaju. Ako su sve dimenzije čvrstog tijela podjednako izražene, riječ je o kubičnom rastezanju. Neka tijelo pri 0 °C ima obujam V0. Povisimo li tijelu temperaturu za t (od 0 °C do t), njegov će se obujam povećati za

0,V t Vα∆ = ⋅ ⋅

gdje je α koeficijent kubičnog rastezanja. Pri temperaturi t tijelo će imati obujam

( )10 .V V tt α= ⋅ + ⋅

Taj izraz vrijedi i za kubično rastezanje tekućina, kao i za šuplja čvrsta tijela. Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na tijelo uronjeno u tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego odozgo, tj. na tijelo djeluje uzgon. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u vakuumu.

1.inačica

Budući da je prema Arhimedovom zakonu volumen istisnute vode ujedno volumen srebrne kugle, radi se o kubičnom rastezanju čvrstog tijela pa vrijedi:

( ) ( ) ( )1 1 11

/0

10 0 00

VV V t V t

VVV V t V tα α α α= ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ =⋅ ⇒

0 0 010 0 0 0

1/

V V V V V VVt t t

V V V t Vtα α α α

− − −⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = =

⋅

11

5 3 5 31.0057 10 10 1 15

0.000057 5.7 10 .5 3100 10

m m

K KK m

− −⋅ − −

= = = ⋅−⋅

2.inačica

Budući da je prema Arhimedovom zakonu volumen istisnute vode ujedno volumen srebrne kugle, radi se o kubičnom rastezanju čvrstog tijela pa vrijedi:

( ) ( ) ( )5 3 5 31 1 10 1 100 1.0057 100 0V V t V t V m K mα α α

− −= ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒

( )5 3 5 310 1 100 1.0057 10 1 100 1.0057

1/

5 310

m K m

m

Kα α− −⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =⋅ ⇒

−⇒

100 1.0057 1 100 0.0057 100 0.00571

/100

K K KK

α α α⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅= ⇒

1 150.000057 5.7 10 .

K Kα α −

⇒ = ⇒ = ⋅

Vježba 312

Srebrna kugla uronjena u vodu temperature 0 ºC istisne 0.01 dm3 vode, a uronjena u vodu temperature 100 °C istisne 0.010057 cm3. Koliki je koeficijent kubičnog rastezanja srebra?

Rezultat: 15

5.7 10 .K

α−

= ⋅

Zadatak 313 (Jelena, srednja škola)

Plin ima volumen 100 cm3 na 25 °C. Koliki bi imao volumen na 0 °C uz jednak tlak?

1termički koeficijent promjene tlaka plina

273 Kα =

Rješenje 313

V = 100 cm3, t = 25 ºC => T = 273 + t = (273 + 25) K = 298 K,

t0 = 0 ºC => T0 = 273 + t0 = (273 + 0) K = 273 K, p = konst., 1

,273 K

α = V0 = ?

Kad čvrstom tijelu povisimo temperaturu, njegove se dimenzije povećaju. Ako su sve dimenzije čvrstog tijela podjednako izražene, riječ je o kubičnom rastezanju. Neka tijelo pri 0 °C ima obujam V0. Povisimo li tijelu temperaturu za t (od 0 °C do t), njegov će se obujam povećati za

0,V t Vα∆ = ⋅ ⋅

gdje je α koeficijent kubičnog rastezanja. Pri temperaturi t tijelo će imati obujam

( )10 .V V tt α= ⋅ + ⋅

Taj izraz vrijedi i za kubično rastezanje tekućina, kao i za šuplja čvrsta tijela. Kad je tlak plina stalan, a mijenja se temperatura (izobarna promjena), obujam dane mase plina mijenjat će se prema Gay – Lussacovu [Gej – Lisak] zakonu. Jednadžba u termodinamičkoj ljestvici temperature glasi:

1 2 .1 2

V V

T T=

1.inačica

Iz formule za kubično rastezanje plina dobije se:

12

( ) ( )3

100 31 1 91.61 .0 0 0 11 1 25

27

1/

13

V cmV V t V V t V cm

t tK

K

α ααα

= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = = =+ ⋅ + ⋅

⋅+ ⋅

2.inačica

Budući da je stanje plina izobarno, vrijedi:

3100 30 0 273 91.61 .0 0 2980 0/ 0

V VV V V cmV T K cm

T T T T KT

T= ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =⋅

Vježba 313

Plin ima volumen 0.1 dm3 na 25 °C. Koliki bi imao volumen na 0 °C uz jednak tlak?

1termički koeficijent promjene tlaka plina

273 Kα =

Rezultat: 91.61 cm3. Zadatak 314 (Sanja, gimnazija)

Bimetalna traka od željeza i cinka kod 0 °C duga je 40 cm i ravna. Kod koje će temperature cinčana traka biti za 1 mm dulja od željezne? (koeficijent linearnog rastezanja željeza

151.2 10 ,1 K

β −= ⋅ koeficijent linearnog rastezanja cinka

152.9 10 .2 K

β −= ⋅ )

Rješenje 314

l0 = 40 cm = 0.4 m, ∆l = 1 mm = 0.001 m, 15

1.2 10 ,1 Kβ −

= ⋅

152.9 10 .2 K

β−

= ⋅ t = ?

Kad štapu nekog čvrstog tijela, koji prema dogovoru pri 0 °C ima duljinu l0, povisimo temperaturu za t (od 0 °C do t), on će se produljiti za:

0 ,l l tβ∆ = ⋅ ⋅

gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom:

0

0.

l lt

l tβ

−=

⋅

Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K-1. Iz izraza za β slijedi da će nakon zagrijavanja duljina štapa biti jednaka:

( )10 .l l tt β= ⋅ + ⋅

Budući da je koeficijent linearnog rastezanja cinka β2 veći od koeficijenta linearnog rastezanja željeza β1, bimetalna traka će se savinuti tako da će luk cinka biti veći za ∆l pa vrijedi:

( ) ( ) ( )1 1 1 12 1 0 2 0 1 0 2 1l l l l t l t l l t t lβ β β β− = ∆ ⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ + ⋅ − − ⋅ = ∆ ⇒

( ) ( ) ( )0 2 1 0 21 01 1 2 1l t t l l t t l l t lβ β β β β β⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ ⋅ − = ∆− ⇒

( ) ( ) ( )0 2 10

1/

0 2 12 1

ll t l t

llβ

βββ

ββ⋅

⋅

∆⇒ ⋅ ⋅ − = ∆ ⇒ = =

⋅ −−

0.001 0147.06 .1 15 50.4 2.9 10 1.2 10

0 0

mC

mC C

= = − −⋅ ⋅ − ⋅

13

Vježba 314

Bimetalna traka od željeza i cinka kod 0 °C duga je 4 dm i ravna. Kod koje će temperature cinčana traka biti za 0.1 cm dulja od željezne? (koeficijent linearnog rastezanja željeza

151.2 10 ,1 K

β−

= ⋅ koeficijent linearnog rastezanja cinka 15

2.9 10 .2 Kβ

−= ⋅ )

Rezultat: 147.06 °C. Zadatak 315 (Iva, gimnazija)

Ako se idealnomu plinu dovede 3000 J topline, plin prijeñe iz stanja A u stanje B, kao što je prikazano na crtežu. Kolika je promjena unutarnje energije plina?

Rješenje 315

Q = 3000 J, p = 3 · 105 Pa, VA = 1 · 10-3 m3, VB = 5 · 10-3 m3, ∆U = ? Promjene stanja idealnog plina pri kojima je tlak stalan nazivamo izobarnim promjenama. Prvi zakon termodinamike Toplina Q koju dovodimo nekom sustavu jednaka je zbroju promjene unutarnje energije �U sustava i rada W koji obavi sustav. Prvi zakon termodinamike poseban je slučaj zakona očuvanja energije za situaciju gdje do promjene unutarnje energije dolazi zbog izmjene topline i (ili) zbog obavljanja rada.

.Q U W= ∆ + Pravila:

Pozitivno Simbolički zapis Opis

Q Q > 0 Toplina se dovodi sustavu.

����U ����U > 0 Unutarnja energija sustava raste.

W W > 0 Sustav obavlja rad.

Negativno Simbolički zapis Opis

Q Q < 0 Toplina se odvodi sustavu.

����U ����U < 0 Unutarnja energija sustava pada.

W W < 0 Rad se obavlja na sustavu.

Kad plinu dovodimo toplinu uz stalan tlak (izobarna promjena), plin se rasteže i obavlja rad koji je jednak

( )2 1 .W p V W p V V= ⋅ ∆ ⇒ = ⋅ −

Kada plin prelazi iz stanja A u stanje B njegov se volumen promijeni za ∆V,

.V V VB A

∆ = −

Budući da je tlak stalan (izobarno stanje), obavljen je rad W,

( ) .W p V W p V VB A

= ⋅ ∆ ⇒ = ⋅ −

14

Promjena unutarnje energije plina ∆U ima vrijednost:

( )Q U W U W Q U Q W U Q p V VB A

= ∆ + ⇒ ∆ + = ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = − ⋅ − =

( )5 3 3 3 33000 3 10 5 10 1 10 1800 .J Pa m m J

− −= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =

W

Vježba 315

Ako se idealnomu plinu dovede 4000 J topline, plin prijeñe iz stanja A u stanje B, kao što je prikazano na crtežu. Kolika je promjena unutarnje energije plina?

Rezultat: 2800 J. Zadatak 316 (Marija, gimnazija)

Crtež prikazuje graf ovisnosti tlaka plina p o obujmu plina V od početnog do konačnog stanja

za konstantan broj molova. Koliki je omjer temperatura plina konačnog i početnog stanja 2 ?1

T

T=

12 2 2 2. 4 . 2 . 1 .21 1 1 1

T T T TA B C D

T T T T= = = =

p/105

Pa

V/dm3

1

2

654321

5

3

4

2

1

15

Rješenje 316

p1 = 4 · 105 Pa, V1 = 3 dm3 = 3 · 10-3 m3, p2 = 1 · 105 Pa, V2 = 6 dm3 = 6 · 10-3 m3,

2 ?1

T

T=

Jednadžba stanja plina, ako je zadana množina n idealnog plina, glasi:

,p V n R T⋅ = ⋅ ⋅ gdje je p tlak, V obujam, R plinska konstanta, T temperatura. Računamo omjer temperatura plina konačnog i početnog stanja.

V2V1

p2

p1

2

1

V/dm3

p/105

Pa

654321

5

3

4

2

1

podijelimo

jednadžb

1 1 1 2 2 2 2 2 2

2 e2 2 1 1 1 1 1 1

p V n R T p V n R T p V T

p V n

n R

n RR T p V n R T p V T

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅

5 3 31 10 6 102 2 2 2 2 2 2

5 3 34 10 3 101 1 1 1 1 1 1

p V T T p V T Pa m

p V T T p V T Pa m

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 6 1 6 6 12 2 2 2 2 .4 3 12 24 31 1 1 1 1

5 3 310 10 6

5 3 3 1210 10

T T T T T

T T T T T

Pa m

Pa m

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ =

−

−⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅⋅ ⋅ ⋅

Odgovor je pod D.

Vježba 316

Crtež prikazuje graf ovisnosti tlaka plina p o obujmu plina V od početnog do konačnog stanja

za konstantan broj molova. Koliki je omjer temperatura plina konačnog i početnog stanja 1 ?2

T

T=

11 1 1 1. . 2 . 1 . 442 2 2 2

T T T TA B C D

T T T T= = = =

p/105

Pa

V/dm3

1

2

654321

5

3

4

2

1

Rezultat: B.

16

Zadatak 317 (Magy, gimnazija)

Plin dušik gustoće 1.5 kg/m3 nalazi se u posudi obujma 0.8 m3. Izračunajte broj molekula u posudi ako je masa jedne molekule dušika m0 = 2.33 · 10-26 kg.

Rješenje 317

ρ = 1.5 kg/m3, V = 0.8 m3, m0 = 2.33 · 10-26 kg, N = ?

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma:

.m

m VV

ρ ρ= ⇒ = ⋅

Broj molekula dušika N u posudi obujma V iznosi:

masa dušika obujmametoda

supstitucije

31.5 0.83 25

5.15 10 .26

2.33 1000

kgm V m

V mm

V

NN m kgm

ρρ

= ⋅ − ⋅⋅

⇒ ⇒ = = = ⋅−= ⋅

Vježba 317

Koliko je molekula u 1 m3 vode ako je gustoća vode 1000 kg/m3, a masa jedne molekule vode m0 = 3 · 10-26 kg?

Rezultat: 3.33 · 1028. Zadatak 318 (Magy, gimnazija)

Odredite tlak plina kisika pri gustoći 1.2 kg/m3 i temperaturi 340 K. Masa mola kisika iznosi 0.032 kg/mol. (univerzalna plinska konstanta R = 8.314 J/(K · mol))

Rješenje 318

ρ = 1.2 kg/m3, T = 340 K, M = 0.032 kg/mol, R = 8.314 J/(K · mol), p = ?

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma:

.m

m VV

ρ ρ= ⇒ = ⋅

Jednadžbu stanja plina možemo izraziti u obliku

,m

p V R TM

⋅ = ⋅ ⋅

gdje je p tlak plina, V obujam plina, m masa plina, M molna masa plina, R plinska konstanta i T termodinamička temperatura plina. Računamo tlak plina.

metoda 1/

supstitucije

m VV V

p V R T p V R TmM Mp V R T

MV

ρρ ρ

= ⋅⋅ ⋅

⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒=

⋅⋅ ⋅ ⋅

1.2 3 58.314 340 1.06 10 .

0.032

kg

Jmp R T K PakgM K mol

mol

ρ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⋅

Vježba 318

Odredite tlak plina kisika pri gustoći 1.2 kg/m3 i temperaturi 680 K. Masa mola kisika iznosi 0.032 kg/mol. (univerzalna plinska konstanta R = 8.314 J / (K · mol))

Rezultat: 2.12 · 105 Pa.

17

Zadatak 319 (Magy, gimnazija)

Koliki je rad u kružnom procesu A → B → C → D → A sa slike.

V/m3

p/Pa

B

C

A

D

5

4

3

2

1

7654320 1

Rješenje 319

p1 = 1 Pa, p2 = 5 Pa, V1 = 1 m3, V2 = 7 m3, W = ?

Izraz za rad plina pri izobarnoj (p = konst.) promjeni njegova obujma glasi

( )2 1 ,W p V V= ⋅ −

gdje je V1 obujam početnog stanja plina, V2 obujam konačnog stanja plina.

V

p

p

W

BA

V1 V2

Iznos rada plina W obavljenoga pri općenitom termodinamičkom procesu brojčano je jednak ploštini geometrijskog lika u p, V – dijagramu kojem je osnovica jednaka promjeni obujma ∆V = V2 – V1, lijeva stranica jednaka početnom tlaku p1, desna stranica jednaka konačnom tlaku p2, a s gornje strane je omeñen krivuljom koja opisuje ovisnost tlaka p o obujmu V tijekom te promjene.

W

V

p

B - konačno stanjep2

V2

A - početno stanjep

1

V1

Rad plina u kružnom procesu Rad plina u kružnom procesu:

• pozitivan je ako se u p, V – dijagramu stanje plina mijenja u smjeru gibanja kazaljke sata

18

W > 0

V

p A

B

• negativan je ako se u p, V – dijagramu stanje plina mijenja u smjeru suprotnom smjeru gibanja

kazaljke sata.

W < 0

p

V

E

B

A

1.inačica

Ukupni rad možemo napisati u obliku

.W W W W WAB BC CD DA

= + + +

p/Pa

V/m3

p1

p2

V1 V2

W

B

D

A5

4

3

2

1

7654320 1

C

Za pojedinačne radove vrijedi:

19

• rad WAB Proces je izobaran (stalan tlak p2).

( ) ( )3 35 7 1 30 .2 2 1W p V V Pa m m J

AB= ⋅ − = ⋅ − =

• rad WBC U prijelazu B → C obujam se ne mijenja.

0.WBC

=

• rad WCD Proces je izobaran (stalan tlak p1).

( ) ( )3 31 1 7 6 .1 1 2W p V V Pa m m J

CD= ⋅ − = ⋅ − = −

• rad WDA U prijelazu D → A obujam se ne mijenja.

0.WDA

=

Stoga je rad W u promatranom kružnom procesu jednak

30 0 6 0 24 .W W W W W J J JAB BC CD DA

= + + + = + − + =

2.inačica

∆∆∆∆V

∆∆∆∆p

p/Pa

V/m3

p1

p2

V1 V2

W

B

D

A5

4

3

2

1

7654320 1

C

Iznos rada u kružnom procesu brojčano je jednak površini koju obuhvaća pripadni p, V – dijagram. Prema slici p, V – dijagram je pravokutnik sa 'stranicama'

3 3 37 1 6 , 5 1 42 1 2 1V V V m m m p p p Pa Pa Pa∆ = − = − = ∆ = − = − =

pa za rad W u kružnom procesu proizlazi

36 4 24 .2 1W V p V V m Pa J= ∆ ⋅ ∆ = − = ⋅ =

Vježba 319

Izračunajte rad u kružnom procesu A → B → C → A prikazanome na slici.

20

p/Pa

V/m3

A

22

7

82

B

C

Rezultat: Iz slike vidimo da je p, V – dijagram promatranog procesa trokut s 'osnovicom'

∆V = V2 – V1, i 'visinom' ∆p = p2 – P1. Primjenom formule za izračunavanje površine trokuta

2

a vaP⋅

=

odreñujemo rad u kružnom procesu

( ) ( )2 1 2 1 45 .2 2

V V V VV pW J

− ⋅ −∆ ⋅ ∆= = =

Zadatak 320 (Helena, gimnazija)

Sa koje visine mora pasti komad olova mase m da se srazom ugrije za 1°C ako padne na vodoravnu podlogu od koje ne odskače, a od topline koja nastaje pri srazu olovo primi polovinu? (specifični toplinski kapacitet olova c = 0.13 · 103 J/(kg · K), ubrzanje sile teže g = 9.81 m/s2)

Rješenje 320

m, ∆t = 1 °C = 1 K, c = 0.13 · 103 J/(kg · K), g = 9.81 m/s2, h = ?

Potencijalna energija je energija meñudjelovanja tijela. Ona ovisi o meñusobnom položaju tijela ili o meñusobnom položaju dijelova tijela. U polju sile teže tijelo mase m ima gravitacijsku potencijalnu energiju

,E m g hgp = ⋅ ⋅

gdje je g akceleracija slobodnog pada, a h vertikalna udaljenost tijela od mjesta gdje bi prema dogovoru tijelo imalo energiju nula.

Toplina Q je onaj dio unutarnje energije tijela koji prelazi s jednog tijela na drugo zbog razlike temperatura tih tijela. Toplina koju neko tijelo zagrijavanjem primi odnosno hlañenjem izgubi jednaka je

( ) ,2 1Q m c t Q m c t t= ⋅ ⋅ ∆ ⇒ = ⋅ ⋅ −

gdje je m masa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a ∆t promjena temperature. Zakon očuvanja energije:

• Energija se ne može ni stvoriti ni uništiti, već samo pretvoriti iz jednog oblika u drugi. • Ukupna energija zatvorenog (izoliranog) sustava konstantna je bez obzira na to koji se procesi

zbivaju u tom sustavu. • Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije, mora se pojaviti i jednak prirast

nekog drugog oblika energije. Komad olova mase m na visini h ima gravitacijsku potencijalnu energiju

,E m g hgp = ⋅ ⋅

a prema uvjetu zadatka polovina nje pretvori se, zbog sraza, u toplinu Q.

21

2/

1 1 1

2 2 2E Q m g h m c t m g h m c tgp

m g⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∆ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ ⋅⋅ ⋅

⋅= ⇒

32 0.13 10 1

226.5 .

9.81 2

JK

c t kg Kh m

mg

s

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ∆ ⋅

⇒ = = =

Vježba 320

Sa koje visine mora pasti komad olova mase m da se srazom ugrije za 2°C ako padne na vodoravnu podlogu od koje ne odskače, a od topline koja nastaje pri srazu olovo primi polovinu? (specifični toplinski kapacitet olova c = 0.13 · 103 J/(kg · K), ubrzanje sile teže g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 53 m.