11

10. OPTİMİZASYON

OPTİMİZASYON NEDİR?İnsanların yaşamları boyunca karşılaştıkları sorunları çözüm arayışları zamanla bu çözümleri modeller üzerinde arama

yaklaşımını doğurmuştur. Matematik ve bilgisayardaki gelişmeleri dış dünyanın problemlerini matematiksel olarak problemleyip bu çözümleri modelleyip çözerek bu çözümleri

gerçek hayata yansıtma olanağı vermiştir.

22

Matematiksel modelleme tekniği öncelikle doğrusal ve az sayıda değişkenlerin kullanılmasıyla başlamıştır. Bir süre sonra doğrusallık varsayımını her problem için geçerli olmadığı anlaşılmıştır.Bu durumda doğrusal olmayan modellemeye gidilmiştir. Ancak doğrusal olmayan modellerin kendine özgü çözümleri uygulamada birçok sorunu beraberinde getirmiştir. Zamanla geliştirilen bazı yöntemlerle doğrusal olmayan modellerin hızla çözümlenmesi sağlanmış ve bu optimizasyon teorisini geliştirmiştir.

Optimizasyon, reel bir fonksiyonu maksimize veya minimize etme probleminin çözümünü, çözüm için izin verilen bir küme dahilindeki reel veya tamsayı değerlerini sistematik bir şekilde kullanarak arama işlemidir.

33

NEDEN OPTİMİZASYON?

Çünkü Optimizasyon "En İyileme" anlamına gelir ve herzaman için hedeflenen bir sonuçtur. Bir işin yapılmış olması demek, o işin en iyi şekilde yapıldığı anlamına gelmez. Optimizasyon teknikleri, yapılmış veya yapılmakta olan işin en iyi çözümünü ortaya koymak için kullanılır. Bu teknikler kullanılarak ortaya konulmuş olan çözüm, Optimum Çözüm olarak adlandırılır. Hedef her zaman için bu optimum çözümü yakalayabilmektir. Optimizasyon, anlamından da anlaşılacağı gibi, her alanda kullanılmaktadır. Yapılacak olan bir inşaattan tutun bir web sitesine kadar her alanda bu tekniklere ihtiyaç duyulur.

44

10. OPTİMİZASYON10. OPTİMİZASYON

Kök belirleme ve optimizasyon u birbirine Kök belirleme ve optimizasyon u birbirine benzetebileceğimiz kavramlardır. Kök belirleme benzetebileceğimiz kavramlardır. Kök belirleme bir fonksiyonun veya fonksiyonların sıfır olduğu bir fonksiyonun veya fonksiyonların sıfır olduğu

noktaların aranmasını içerir. Fakat noktaların aranmasını içerir. Fakat optimizasyonda ise minimum veya maksimum optimizasyonda ise minimum veya maksimum

noktaların aranması söz konusudur.noktaların aranması söz konusudur. Optimum nokta denilince akla bu noktadaki Optimum nokta denilince akla bu noktadaki f(x)’in türevinin sıfır olduğu x değerine karşı f(x)’in türevinin sıfır olduğu x değerine karşı

gelir. Ayrıca f’’(x) de yani ikinci türev de gelir. Ayrıca f’’(x) de yani ikinci türev de optimum un maksimum veya minimum optimum un maksimum veya minimum olduğunu belirtir. Eğer f’’(x)<0 ise nokta olduğunu belirtir. Eğer f’’(x)<0 ise nokta

maksimumdur;f’’(x)>0 ise nokta minimumdur.maksimumdur;f’’(x)>0 ise nokta minimumdur. f’(x)=0 kök problemini çözerek optimumu f’(x)=0 kök problemini çözerek optimumu

bulmaya yarar. bulmaya yarar.

55

OPTAMİZASYONUNOPTAMİZASYONUN TARİHÇESİTARİHÇESİ

Günümüzde optimum çözümleri için hâlâ diferansiyel Günümüzde optimum çözümleri için hâlâ diferansiyel hesap yöntemleri kullanılmaktadır. Lagrange interpolasyon hesap yöntemleri kullanılmaktadır. Lagrange interpolasyon yöntemi kısıtlanmış problemlerin optimizasyonu için yöntemi kısıtlanmış problemlerin optimizasyonu için geliştirilmiştir.geliştirilmiştir. Sayısal yöntemlerdeki ilk büyük ilerlemeler İkinci Dünya Sayısal yöntemlerdeki ilk büyük ilerlemeler İkinci Dünya Savaşı’ndan sonra sayısal bilgisayarların gelişmesinden Savaşı’ndan sonra sayısal bilgisayarların gelişmesinden sonra ortaya çıkmıştır. Örneğin İngiltere’de Koopmans ve sonra ortaya çıkmıştır. Örneğin İngiltere’de Koopmans ve eski Sovyetler Birliği’nde Kantorovich birbirlerinden eski Sovyetler Birliği’nde Kantorovich birbirlerinden bağımsız olarak en az maliyetli stok ve ürün dağılımları bağımsız olarak en az maliyetli stok ve ürün dağılımları probleminin üzerinde çalıştılar. probleminin üzerinde çalıştılar. Bilgisayar kullanımının yaygınlaşmasından sonra Bilgisayar kullanımının yaygınlaşmasından sonra kısıtlamasız optimizasyon yaklaşımları da hızlı bir şekilde kısıtlamasız optimizasyon yaklaşımları da hızlı bir şekilde gelişti.gelişti.

66

OPTİMİZASYON VE MÜHENDİSLİKTEOPTİMİZASYON VE MÜHENDİSLİKTE UYGULAMALANMASIUYGULAMALANMASI

Optimizasyon bir problemin en iyi sonucunu bulmaya çalışır. En Optimizasyon bir problemin en iyi sonucunu bulmaya çalışır. En iyi tasarımı nasıl elde edeceğimizi anlatmak için kullanılır.iyi tasarımı nasıl elde edeceğimizi anlatmak için kullanılır.

Örneğin;Örneğin;

En az maliyetle malzeme kesme stratejisiEn az maliyetle malzeme kesme stratejisi

Minimum ağırlık ve maksimum mukavemet için uçak tasarımıMinimum ağırlık ve maksimum mukavemet için uçak tasarımı

Uzay araçlarının optimum yörüngeleriUzay araçlarının optimum yörüngeleri

Maliyeti minimum a indirmek için planlı bakımMaliyeti minimum a indirmek için planlı bakım

Gibi milyonlarca örnek optmizasyonun mühendisliğe Gibi milyonlarca örnek optmizasyonun mühendisliğe

uygulanışının göstergesidiruygulanışının göstergesidir..

77

OptimizasyonOptimizasyon problemlerinin temel unsurlarıproblemlerinin temel unsurları Optimizasyon problemlerinde dikkat etmemiz gerekenler;Optimizasyon problemlerinde dikkat etmemiz gerekenler;Problemin hedefi içeren bir amaç fonksiyonu olacaktır.Problemin hedefi içeren bir amaç fonksiyonu olacaktır.Bir tasarım vektörü olmalıdır.Bir tasarım vektörü olmalıdır.Problemdeki sınırlayıcı koşulları tanımlayan kısıtlar olmalıdır.Problemdeki sınırlayıcı koşulları tanımlayan kısıtlar olmalıdır.Yani yukarıdaki ifadelere göre optimizasyon problemini Yani yukarıdaki ifadelere göre optimizasyon problemini matematiksel ifade edersek;matematiksel ifade edersek;F(x)F(x)D(x)<aD(x)<aE(x)=b ifade ederim.E(x)=b ifade ederim.Burada x maksimum u veya minimum u gerçekleyecek bir tasarım Burada x maksimum u veya minimum u gerçekleyecek bir tasarım vektörü ;f(x)=amaç fonksiyonu ; d(x) ‘ ler eşitsizlik şeklindeki vektörü ;f(x)=amaç fonksiyonu ; d(x) ‘ ler eşitsizlik şeklindeki kısıtlamalar ; e(x) ler ise eşitlik şeklindeki kısıtlamaları ifade kısıtlamalar ; e(x) ler ise eşitlik şeklindeki kısıtlamaları ifade etmektedir.etmektedir. Optimizasyon problemlerinin bir başka sınıflandırma şekli de Optimizasyon problemlerinin bir başka sınıflandırma şekli de şudur;şudur; Bir boyutlu kısıtlamasız optimizasyonBir boyutlu kısıtlamasız optimizasyon Çok boyutlu kısıtlamasız optimizasyon Çok boyutlu kısıtlamasız optimizasyon

88

Bir boyutlu kısıtlamasız Bir boyutlu kısıtlamasız optimizasyonoptimizasyon

Bir boyutlu optimizasyon bir değişkenli bir f(x) Bir boyutlu optimizasyon bir değişkenli bir f(x) fonksiyonunun maksimum ve minimumunu bulmaya fonksiyonunun maksimum ve minimumunu bulmaya yarayan teknikleri kapsar.yarayan teknikleri kapsar. Kök belirlemede olduğu gibi bir boyutlu optimizasyon da Kök belirlemede olduğu gibi bir boyutlu optimizasyon da açık ve kapalı yöntemler olmak üzere ikiye ayrılabilir.açık ve kapalı yöntemler olmak üzere ikiye ayrılabilir. Kapalı yöntemlerKapalı yöntemlerGolden bölme aramasıGolden bölme aramasıİkinci derece interpolasyonİkinci derece interpolasyon Açık yöntemlerAçık yöntemlerNewton yöntemiNewton yöntemiBu yöntemlerden golden bölme yöntemi tek bi optimumu Bu yöntemlerden golden bölme yöntemi tek bi optimumu kıskaca alıp ilk tahminlere dayanan bir kapalı kıskaca alıp ilk tahminlere dayanan bir kapalı yöntemdir.Ama Newton yöntemi ise maksimumu ve yöntemdir.Ama Newton yöntemi ise maksimumu ve minimumu f’(x)=0 ın köklerine dayanarak bulmaya çalışır.minimumu f’(x)=0 ın köklerine dayanarak bulmaya çalışır.

99

Golden bölme aramasıGolden bölme araması

Golden bölme araması ikiye bölme yaklaşımına benzer.Golden bölme araması ikiye bölme yaklaşımına benzer. Şimdi de golden bölme aramasını ile bir fonksiyonun optimumunu bulmak için ikiye Şimdi de golden bölme aramasını ile bir fonksiyonun optimumunu bulmak için ikiye bölmeye benzer bir yaklaşım geliştirmeliyiz.bölmeye benzer bir yaklaşım geliştirmeliyiz. Golden bölme aramasında Xa ve Xü sınırlarından ayrı iki tane de iç nokta (ara nokta) Golden bölme aramasında Xa ve Xü sınırlarından ayrı iki tane de iç nokta (ara nokta) seçmeliyim.seçmeliyim. Antik çağlardan beri bilinen golden oranı golden bölme yönteminin anahtar öğesini Antik çağlardan beri bilinen golden oranı golden bölme yönteminin anahtar öğesini oluşturur.oluşturur.

Bu yaklaşımda;Bu yaklaşımda;d = golden oranı=(Xü-Xa)d = golden oranı=(Xü-Xa)X1=Xa+d =iç noktaX1=Xa+d =iç noktaX2=Xü-d =d,ğer iç noktaX2=Xü-d =d,ğer iç nokta Bu yaklaşım için daha sonraki adımımız f(x2) ve f(x1) i hesaplamaktır. Bu yaklaşım için daha sonraki adımımız f(x2) ve f(x1) i hesaplamaktır. Eğer f(x2)>f(x1) ise bir sonraki adımda X1=Xü olurEğer f(x2)>f(x1) ise bir sonraki adımda X1=Xü olurEğer f(x1)>f(x2) ise x2=Xa olur Eğer f(x1)>f(x2) ise x2=Xa olur Golden bölme aramasıyla ilgili problemimiz;Golden bölme aramasıyla ilgili problemimiz;Soru : Golden bölme aramasını kullanarak Soru : Golden bölme aramasını kullanarak F(x)=2sinx- (x*x)/10F(x)=2sinx- (x*x)/10Fonksiyonunun Xa=0 ile Xü =4 aralığında maksimumunu bulun.Fonksiyonunun Xa=0 ile Xü =4 aralığında maksimumunu bulun.Çözüm: öncelikle golden oranını bulalımÇözüm: öncelikle golden oranını bulalımd = Xü-Xa= 4-0=2.472 (golden oranı)d = Xü-Xa= 4-0=2.472 (golden oranı)iç noktaları bulalım şimdi deiç noktaları bulalım şimdi de

1010

X1=0+2.472=2.472X1=0+2.472=2.472X2=4-2.472=1.528X2=4-2.472=1.528İç noktaların fonksiyon değerlerini bulalımİç noktaların fonksiyon değerlerini bulalımF(x2)=1.765 f(x1)=0.63F(x2)=1.765 f(x1)=0.63Buradan da görüldüğü gibi f(x2)>f(x1) olduğu için yeni iterasyon Buradan da görüldüğü gibi f(x2)>f(x1) olduğu için yeni iterasyon için Xü x1 in değerini alarak Xü=2.472 olur. X1=1.528 (eski x2 için Xü x1 in değerini alarak Xü=2.472 olur. X1=1.528 (eski x2 değerini alır) olur. Xa=0 olarak kalır.değerini alır) olur. Xa=0 olarak kalır.En son olarak da yeni x2 yi bulmak kalır. Onun için de En son olarak da yeni x2 yi bulmak kalır. Onun için de X1=Xa+d den 1.528=0+d yeni oranımız yani d = 1.528 olur.X1=Xa+d den 1.528=0+d yeni oranımız yani d = 1.528 olur.Yeni X2= Xü-d Yeni X2= Xü-d X2=2.472-1.528X2=2.472-1.528X2=0.944 olur.X2=0.944 olur. Böylece ilk iterasyon tamamlanır.Diğer iterasyonlarda böyle Böylece ilk iterasyon tamamlanır.Diğer iterasyonlarda böyle gerçekleştirilir.gerçekleştirilir.

1111

İkinci derece interpolasyonİkinci derece interpolasyon

İkinci derece interpolasyon , ikinci derece bir polinomun İkinci derece interpolasyon , ikinci derece bir polinomun optimum yakınlarında f(x) in yaklaşma gerçeğine dayanır.optimum yakınlarında f(x) in yaklaşma gerçeğine dayanır.

İki noktayı birleştiren sadece tek bir doğru olduğu gibi üç İki noktayı birleştiren sadece tek bir doğru olduğu gibi üç noktayı da birleştiren sadece tek bir ikinci derece polinom noktayı da birleştiren sadece tek bir ikinci derece polinom veya parabol vardır.İşte ikinci derece interpolasyon da bu veya parabol vardır.İşte ikinci derece interpolasyon da bu üç noktaya parabol uydurup türevini sıfıra eşitleyerek üç noktaya parabol uydurup türevini sıfıra eşitleyerek optimum x ‘ i tahmin eder.optimum x ‘ i tahmin eder.

1212

NEWTON YÖNTEMİNEWTON YÖNTEMİ

Daha önceden öğrendiğimiz Newton – Raphson yöntemi f(x)=0 Daha önceden öğrendiğimiz Newton – Raphson yöntemi f(x)=0 olacak şekilde bir fonksiyonun kökünü bulan açık bir yöntemdir.olacak şekilde bir fonksiyonun kökünü bulan açık bir yöntemdir.

Xi+1=Xi-[f(Xi)/f’(Xi)] ifadesiyle özetlenir.Xi+1=Xi-[f(Xi)/f’(Xi)] ifadesiyle özetlenir.

Newton yönteminde ise g(x)=f’(x) şeklinde yeni bir fonksiyon Newton yönteminde ise g(x)=f’(x) şeklinde yeni bir fonksiyon tanımlayarak f(x) in optimum unu bulmak için Newton raphson a tanımlayarak f(x) in optimum unu bulmak için Newton raphson a benzer bir yaklaşım yaparız.benzer bir yaklaşım yaparız.

Xi+1=Xi-[f’(Xi)/f’’(Xi)] ifadesiyle ilk tahminleri gerektirmeyen ve Xi+1=Xi-[f’(Xi)/f’’(Xi)] ifadesiyle ilk tahminleri gerektirmeyen ve f(x) in maksimum ve minimum unu bulmaya yönelik olan Newton f(x) in maksimum ve minimum unu bulmaya yönelik olan Newton yöntemi oluşur. Açık bir yöntemdir. yöntemi oluşur. Açık bir yöntemdir.

1313

Doğrudan yöntemlerDoğrudan yöntemler a) Seçkisiz aramaa) Seçkisiz aramaÖrnek: Seçkisiz arama ile f(x,y)=y-x-2(x*x)-2xy-(y*y) Örnek: Seçkisiz arama ile f(x,y)=y-x-2(x*x)-2xy-(y*y) fonksiyonunun maksimumunu x=-2 den 2 ye ve y=1 den 3 fonksiyonunun maksimumunu x=-2 den 2 ye ve y=1 den 3 kadar sınırlı bölgede bulun.kadar sınırlı bölgede bulun. Öncelikle formülü belirleyelimÖncelikle formülü belirleyelimX=Xa+(Xü-Xa)rX=Xa+(Xü-Xa)rÖrnekte Xa=-2 Xü=2 dir X=-2+4rÖrnekte Xa=-2 Xü=2 dir X=-2+4rY=Ya+(Yü-Ya)r Y=1+2r olurY=Ya+(Yü-Ya)r Y=1+2r olurDenersek r=1/4 değerinde yani x=-1 ve y=1.5 de Denersek r=1/4 değerinde yani x=-1 ve y=1.5 de maksimum olurmaksimum olurBu basit kaba kuvvet yaklaşım yöntemi türevi alınamayan Bu basit kaba kuvvet yaklaşım yöntemi türevi alınamayan fonksiyonlar için kullanırız. Ama bu yöntem verimli değildir fonksiyonlar için kullanırız. Ama bu yöntem verimli değildir çünkü fonksiyonun davranışını dikkate almaz.çünkü fonksiyonun davranışını dikkate almaz.

1414

Çok boyutlu kısıtlamasız optimizasyonÇok boyutlu kısıtlamasız optimizasyon Çok boyutlu optimizasyon birçok değişkene Çok boyutlu optimizasyon birçok değişkene

bağlı bir fonksiyonun minimumunu ve bağlı bir fonksiyonun minimumunu ve maksimumunu bulmaya yarayan tekniklerdir. maksimumunu bulmaya yarayan tekniklerdir.

Çok boyutluları anlatırken genel olarak iki Çok boyutluları anlatırken genel olarak iki boyutluları ele aldık.boyutluları ele aldık.

Çok boyutlu optimizasyon teknikleri iki Çok boyutlu optimizasyon teknikleri iki tanedir:tanedir:

Doğrudan yöntemler=türev hesabı Doğrudan yöntemler=türev hesabı gerektirmezlergerektirmezler

Gradyen yöntemleri=türev hesabı gerektirirler Gradyen yöntemleri=türev hesabı gerektirirler

1515

b) Powell yöntemib) Powell yöntemi Powell yöntemi eşlenik yönler fikrinden Powell yöntemi eşlenik yönler fikrinden yararlanılarak oluşturulan biçimsel yararlanılarak oluşturulan biçimsel algoritmalardır. Aşağıdaki şekilde de algoritmalardır. Aşağıdaki şekilde de göreceğimiz gibi armaya 0 noktasından göreceğimiz gibi armaya 0 noktasından başladık diyelim bu noktadan sonra x=1 başladık diyelim bu noktadan sonra x=1 noktasına geçerek aramaya devam ederiz. noktasına geçerek aramaya devam ederiz. Sırayla değerleri deneyerek verdiğimizde Sırayla değerleri deneyerek verdiğimizde diyelim x=5 noktasında çemberin orta diyelim x=5 noktasında çemberin orta noktasına en yakın olduk maksimuma noktasına en yakın olduk maksimuma yaklaşmış oluruz.Yani bu yöntemi yönlerle yaklaşmış oluruz.Yani bu yöntemi yönlerle ifade ederiz.ifade ederiz.

1616

1717

Gradyen yöntemleriGradyen yöntemleri Bu yöntemler ise optimumu belirlemek için türev bilgisini Bu yöntemler ise optimumu belirlemek için türev bilgisini doğrudan kullanır.doğrudan kullanır. Gradyenler ve Hessianlar Gradyenler ve Hessianlar Gradyen =Gradyen =Gradyen birinci türevin iki boyutlu bir f(x,y) Gradyen birinci türevin iki boyutlu bir f(x,y) deki ifadesidir.deki ifadesidir. Bu durumda Bu durumda Del f = fx*i+fy*j olarak tanımlanan gradyendir.Del f = fx*i+fy*j olarak tanımlanan gradyendir.Mesela ;f(x,y)=x(y*y) olsunMesela ;f(x,y)=x(y*y) olsunBu fonksiyonun (2,2) noktasındaki en hızlı artış yönünü Bu fonksiyonun (2,2) noktasındaki en hızlı artış yönünü bulalımbulalımFx=y*y=4 fy=2xy=8 olurFx=y*y=4 fy=2xy=8 olurBuradan da del f =4i+8j dir bunun büyüklüğü de 8.944 olurBuradan da del f =4i+8j dir bunun büyüklüğü de 8.944 olurBulduğumuz bu 8.944 değeri del f in bu yöndeki eğimidir.Bu Bulduğumuz bu 8.944 değeri del f in bu yöndeki eğimidir.Bu eğim yön değiştirdikçe değişir.eğim yön değiştirdikçe değişir.

1818

Hessian=Hessian= Hessian ise ikinci türevin Hessian ise ikinci türevin kullanımı ile ilgilidir.kullanımı ile ilgilidir.|H|=fxx*fyy-[fx(fy)].[fx(fy)]|H|=fxx*fyy-[fx(fy)].[fx(fy)]Buna göre Buna göre Eğer |H|>0 ve fxx>0 ise f(x,y) nin yerel Eğer |H|>0 ve fxx>0 ise f(x,y) nin yerel minimumu vardır.minimumu vardır.Eğer |H|>0 ve fxx<0 ise f(x,y) nin yerel Eğer |H|>0 ve fxx<0 ise f(x,y) nin yerel maksimumu vardır.maksimumu vardır.Eğer |H|<0 ise f(x,y) nin eyer noktası Eğer |H|<0 ise f(x,y) nin eyer noktası vardır.vardır.

1919

En hızlı artış yöntemiEn hızlı artış yöntemiGradyenli arama tekniklerinin arasında en Gradyenli arama tekniklerinin arasında en açık ve en doğru olanıdır.açık ve en doğru olanıdır.Bunu bir örnek üzerinden anlatalımBunu bir örnek üzerinden anlatalım Soru: x=-1 ve y=1 ilk tahminlerini Soru: x=-1 ve y=1 ilk tahminlerini kullanarak f(x,y)=2xy+2x-x*x-2y*y kullanarak f(x,y)=2xy+2x-x*x-2y*y fonksiyonunu maksimum yapalım.fonksiyonunu maksimum yapalım. Bunun cevabını öncelikle matematiksel Bunun cevabını öncelikle matematiksel yaparsak;yaparsak;Fx=2y+2-2x=0 ve fy=2x-4y=0 dan x=2 Fx=2y+2-2x=0 ve fy=2x-4y=0 dan x=2 ve y=1 optimum u gelir.ve y=1 optimum u gelir.

2020

Buradan da fxx=-2 fyy=-4 ve fx(fy)=2 olurBuradan da fxx=-2 fyy=-4 ve fx(fy)=2 olur|H|=4 bulunur.|H|=4 bulunur.Yani |H|>0 ve fxx<0 olduğu için f(2,1) maksimumdur.Yani |H|>0 ve fxx<0 olduğu için f(2,1) maksimumdur. Şimdi de maksimumun yerini belirleyelim;Şimdi de maksimumun yerini belirleyelim;g(h)=-180h*h+72h-7 yi f(x,y) yi h boyunca ifade eden bir g(h)=-180h*h+72h-7 yi f(x,y) yi h boyunca ifade eden bir boyutlu fonksiyon olarak tanımlarızboyutlu fonksiyon olarak tanımlarızg’(h)=-360h+72=0 dan h=0.2 alırız g’(h)=-360h+72=0 dan h=0.2 alırız buradan daburadan da x=X0+fx*h dan x=-1+6*0.2=0.2 dirx=X0+fx*h dan x=-1+6*0.2=0.2 diry=Y0+fy*h dan y=1-6*0.2=-0.2 olury=Y0+fy*h dan y=1-6*0.2=-0.2 olurikinci adımda yeni fx=1.2 fy=1.2 olur. ikinci adımda yeni fx=1.2 fy=1.2 olur. Böylelikle gradyen vektörümü de Böylelikle gradyen vektörümü de Del f=1.2i-1.2j olarak belirlerimDel f=1.2i-1.2j olarak belirlerimYani maksimumun yeri x ekseniyle 45 açıyla sağa yukarı Yani maksimumun yeri x ekseniyle 45 açıyla sağa yukarı doğruyu gösterir.doğruyu gösterir.

2121

MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI

OPTİMİZASYON

Bu bölümün amacı,Bölüm 13-15 arasında tartıştığımız sayısal işlemleri kullanarak optimizasyon içeren gerçek mühendislik problemlerini çözmektir.Bu problemler önemlidir,çünkü mühendislerden çoğu zaman problemlerin ‘en iyi’ çözümleri bulmaları istenir.Burada göreceğimiz uygulamalar;

2222

Seçilen ilk uygulama, doğrusal olmayan kısıtlamalı optimizasyon kullanarak optimum boyutlarda silindirik bir tank tasarımıyla ilgilidir.

Daha sonra, bir nehirde su kalitesi hedeflerini yerine getirmek için su arıtma maliyetinin minimuma indirilmesi incelenecektir.

Üçüncü örneğimizde ise, bir elektrik devresinde yer alan bir potansiyometre üzerindeki gücün maksimizasyonuyla ilgilidir.Çözüm bir boyutlu kısıtlamasız optimizasyon içermektedir.

Son olarak da iki boyutlu potansiyel enerji denklemini minimum yaparak bir dağ bisikletinin yaylanması sırasında oluşan yer değiştirme miktarını bulacağız.

2323

BİR TANKIN EN AZ MALİYET İÇİN TASARIMI

Temel Bilgi: Mühendisliklerde çok sık olarak sıvı ve gazların taşınması için kullanılan kapların tasarımı genel problemiyle karşılaşılır. Burada, bir kamyonetin arkasına monte edilerek zararlı atıkların taşınmasında kullanılacak silindir şeklinde küçük bir tankın boyutlarının belirlenmesi istenmiş olsun.Genel amacımız tankın maliyetini minimuma indirmek olacaktır.Ancak maliyetin yanında, tankın istenen miktarda sıvıyı alabilmesini ve kamyonetin kasa boyutlarını aşmamasını garanti etmelisiniz.Tank zararlı atık taşıyacağı için et kalınlığının yönetmeliklerle belirlendiğini belirtelim.

2424

TABLO 10.1 Zararlı atıkları taşımak için kullanılan silindirik bir tankın optimum boyutlarını belirlemek için parametreler.

Paramatre Sembol Değer Birim

Gerekli hacim Vo 0.8 m^3 Et kalınlığı t 3 cmYoğunluk p 8000 kg\m^3Kasa boyutu Lmax 2 mKasa genişliği Dmax 1 mMalzeme maliyeti Cm 4.5 $\kgKaynak maliyeti Cw 20 $\m

2525

Tank,bir silindirle bunun iki ucuna kaynatılmış iki plakadan oluşmaktadır.Tankın maliyetinin iki bileşeni vardır:

(1) Ağırlığa bağlı olan malzeme maliyeti,

(2) Kaynak uzunluğuna bağlı olan kaynak maliyeti.

İkinci bileşenin plaka ve silindirin birleştiği kenarlarda hem iç hem de dış kaynak dikişlerini içerdiğini belirtelim.problem için veriler tablo 10.1’de özetlenmiştir.

2626

Çözüm:

Burada amaç minimum maliyetle bir tank imal etmektir.Maliyet, tankın kütlesini ve kaynak dikişi uzunluğunu etkilediği için tasarım değişkenlerine(uzunluk ve çap)bağlıdır. Ayrıca problem kısıtlamalıdır,Çünkü tank, (1)kamyonetin kasasına sığmalıdır, (2)istenen hacimde malzemeyi taşımalıdır.Maliyet tankın malzemesinden ve kaynak maliyetinden oluşmaktadır.O halde amaç fonksiyon:

C=Cm.m+Cw.Lw (10.1)

Şeklinde formüle edilebilir, burada C=maliyet($),m=kütle(kg),Lw=kaynak dikişi uzunluğu(m) ve Cm ve Cw=sırasıyla kütle($/kg) ve kaynak dikişi uzunluğu($/m) için maliyet çarpanlarıdır.

2727

Sonra kütlenin ve kaynak uzunluğunun deponun boyutlarına ne şekilde bağlı olduğunu formüle edelim.Bir kere kütle, malzemenin hacmi,

Vsilindir=L. ∏[(D/2+t)^2-(D/2)^2]

Olarak hesaplanabilir.Her bir uç plaka içinse hacim,

Vplaka=∏(D/2+t)^2.t

şeklindedir. Böylece kütle,

m=pL∏[(D/2+2)^2(D/2)^2+2. ∏(D/2+t)^2.t (10.2)

olarak hesaplanabilir,burada p=yoğunluktur(kg/m^3).

2828

Her bir plakayı silindirle birleştirmek için gereken kaynak dikişi uzunluğu silindirin iç ve dış çevre uzunluklarının toplamına eşittir.İki plaka için toplam kaynak uzunluğu ise,

Lw=2[2∏(D/2+t)+2∏(D/2)]=4∏(D+t) (10.3)

olacaktır.D ve L nin verilen değerleri için (t et kalınlığının yönetmeliklerle sabit olduğunu anımsarsak)(10.1) ile (10.3) arasındaki eşitlikler bize maliyeti hesaplamamızı sağlar.Ayrıca dikkat ederseniz,(10.2) ve (10.3) eşitlikleri (10.1) eşitliğinde yerine konulursa elde edilecek amaç fonksiyonu, bilinmeyenler cinsinden doğrusal olmayan bir ifadedir. Daha sonra kısıtları formüle edebiliriz.Önce bitmiş tankta ne kadar hacim depolayabileceğimizi hesaplamalıyız:

V = ∏ .D^2 .L 4

2929

ATIK SULARIN EN AZ MALİYETLE ARITILMASI Temel bilgi: Genellikle nehirlerin kirlenmesinin en önemli nedeni büyük şehirlerden boşaltılan atık sulardır.Şekil 10.4 de böyle bir sistem gösterilmektedir.Bir nehir ve kolları üzerinde birçok şehir yer almaktadır. Her bir şehir, yükleme oranı P ile gösterilen ve günde miligram(mg/gün) birimiyle ifade edilen bir kirlilik üretir.Kirlilik nedeniyle x oranında temizlemeyle sonuçlanan bir atık arıtımı yapılır.Dolayısıyla,nehre boşaltılan kısım arıtma sonrasında atık suda temizlenmeden kalan fazlalıktır.

Wi=(1-xi)Pi (10.4)burada Wi=i şehrinden boşaltılan atık miktarıdır. Boşaltılan atık nehre karışınca,nehrin yukarı havzasındaki kaynaklardan gelene diğer kirleticilerle karışır.Boşaltım noktasında tam karışma olduğu varsayılırsa,buradaki son derişiklik bir kütle dengesiyle hesaplanabilir;

ci=Wi+Qu.cu (10.5) Qi

3030

Burada Qu =debi(L/gün), cu =boşaltım noktasının hemen yukarısında nehir içerisindeki derişiklik(mg/L) ve

Qi =boşaltım noktasının hemen aşağısındaki debidir(L/gün).

Karışma noktasındaki derişiklik belirlendikten sonra,kimyasal ve biyolojik ayrıştırma süreçleri nehir aşağı doğru akarken kirleticilerin bir kısmını giderir.Bu örnek için,ayrıştırılan bu miktarın basit bir R eksilme çarpanıyla ifade edilebileceğini varsayacağız.

Nehrin kaynağından gelen sularda (yani nehrin 1 ve 2 numaralı şehirlerin yukarısındaki kısmı) kirletici olmadığını varsayarsak,dört birleşme noktasındaki derişiklikleri aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz:

3131

Şehirler şematik olarak;c1=(1-x1)P1 , c2=(1-x2)P2 Q13 Q23

c3=R13.Q13.c1+R23.Q23.c2+(1-x3)P3 (10.6)Q34

c4=R34.Q34.c3+(1-x4)P4Q45

Daha sonra her tesiste atık arıtmanın maliyetinin,di (1000$/mg arıtılan) gibi farklı bir miktar olduğu dikkate alınır.Böylece arıtmanın toplam maliyeti(gün bazına)Z=d1.P1.x1+d2.P2.x2+d3.P3.x3+d4.P4.x4(10.7)olarak hesaplanabilir,burada Z arıtmanın günlük toplam maliyetidir(1000$/gün)“Karar bulmacası” ndaki son parçayı çevre koruma yönetmelikleri oluşturur.Nehirden yararlanan diğer kullanıcıların(tekneler,balıkçılık,yüzme) korumak için yönetmelikler nehirdeki derişikliğin cs su kalitesi standardını aşmaması gerektiğini ifade eder.

3232

TABLO 10.2 Bir nehir sistemine kirletici boşaltan dört adet atık su arıtma tesisinin parametreleri ve hiç arıtma yapılmaması durumunda elde edilecek derişiklik (ci). Nehir bölümleri için debi,arıtma miktarı ve standartlarda listelenmiştir.

Şehir 1 2 3 4Pi(mg/gün): 1.00x10^9 2.00x10^9 4.00x10^9

2.00x10^9di($10^-6/mg) : 2 2 4

4ci(mg/L): 100 40 47.3 22.5Bölüm : 1-3 2-3 3-4

4-5Q(L/gün): 1.00x10^7 5.00x10^7 1.10x10^8

2.5x10^8R: 0.5 0.35 0.6Cs(mg/L): 20 20 20 20

3333

Çözüm: Yukarda özetlenen etkenlerin hepsi birleştirilerek aşağıdaki doğrusal proğramlama problemi tanımlanabilir.

Minimum Z=d1.P1.x1+d2.P2.x2+d3.P3.x3+d4.P4.x4(10.8)

aşağıdaki kısıtlara bağlı olarak:

(1-x1)P1≤Cs1 , (1-x2)P2≤Cs2 Q13 Q23

R13.Q13.C1+R23.Q23.C2+(1-x3)P3≤Cs3(10.9)

Q34

R34.Q34C3+(1-x4)P4≤Cs4Q45

0≤x1,x2,x3,x4≤1(10.10)

3434

Böylece, amaç fonksiyonu [Eşitlik (10.8)], su kalitesi standardının nehrin bütün bölümlerinde sağlanması kısıtı altında [Eşitlik (10.9)]Arıtma maliyetini minimum kılmaktır. Ayrıca arıtma miktarı negatif veya %100’den fazla olamaz [Eşitlik (10.10)].

3535

10.3 BİR DEVRENİN MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ

Temel Bilgi:Şekil 10.6 de gösterilen direnç devresinde üç adet sabit direnç ve bir adet değişken ayarlanabilir direnç vardır. Ayarlanabilen dirençlere potansiyometre denir. Parametrelerin değerleri, V=80V, R1=8Ω, R2=12Ω, R3=10Ω’dur. (a) 1 ve 2 uçları arasındaki güç transferini maksimuma indiren Ra ayarlanabilen direncin değerlerini bulun.(b) Bir duyarlılık analizi yapara, V, 45 ile 105V aralığında değiştirildiğinde, maksimum gücün ve ona karşı gelen potansiyometre direncinin (Ra) nasıl değişeceğini belirleyin.

Şekil 10.8 Bir direnç devresi ve ayarlanabilen direnç veya pot.

R1 R2

R3V Ra

3636

Çözüm:

Devrenin gücünü veren bir ifade Kirchoff yasaları’ndan çıkarılabilir.

[V.R3.Ra]^2P(Ra)= [R1.(Ra+R2+R3)+R3.Ra+R3.R2]^2 (10.11)

Ra

Parametre değerlerinin yerlerine konulmasıyla Şekil 10.9 daki grafik elde edilir. Dikkat ederseniz maksimum güç transferi 10Ω’luk bir dirençle gerçekleşir.

3737

Çözüm:

Devrenin gücünü veren bir ifade Kirchoff yasaları’ndan çıkarılabilir.

[V.R3.Ra]^2P(Ra)= [R1.(Ra+R2+R3)+R3.Ra+R3.R2]^2(10.11)

Ra

Parametre değerlerinin yerlerine konulmasıyla Şekil 10.9 daki grafik elde edilir. Dikkat ederseniz maksimum güç transferi 16Ω’luk bir dirençle gerçekleşir.

3838

Kaynaklar:Kaynaklar:Müh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA,S ve diğ., Literatür Yayınları

BEYZA POYRAZ, OPTİMİZASYON, B. İle Sayısal Çözümleme Ödevi

Gizem KARALIOĞLU, Tuğçe DERTOP, OPTİMİZASYON, B. İle Sayısal Çözümleme Ödevi

Halil İbrahim SUATA, OPTİMİZASYON, B. İle Sayısal Çözümleme Ödevi