matematiksel iktisat ders notları (kısıtlamalı optimizasyon)

KISITLAMALI KISITLAMALI

OPTOPTİİMMİİZASYONZASYON

Kısıtsız optimizasyon konusunda, seçim değişkenlerinden hiç

birinin, diğer seçim değişkenleri üzerinde bir sınırlayıcı etki

oluşturmadan optimali belirlediğini gördük. Ancak, örneğin

firmalar bir üretim kotası (kısıtı), toplam harcama kısıtı gibi

kısıtlar altında ya da bir tüketici bütçe (gelir) kısıtı altında

optimal seçimi gerçekleştirmek durumunda kalabilirler. Böyle

bir durumda seçim değişkenleri arasında, birbirlerini kısıtlayıcı

bir bağ oluşur.

Bütçe (gelir) kısıtı altında, faydasını maksimize etmeye çalışan

bir tüketiciyi şöyle düşünebiliriz.

22

33

1 2 1

1 2

2

4 2 60

U x x x

x x

= +

+ =

Fayda Fonksiyonu (Amaç Fonksiyonu)

Bütçe Kısıtı (Kısıt Fonksiyonu)

Şekil 3.1, hem serbest (kısıtsız) durumda oluşan maksimum

ile kısıtlama konulması durumunda oluşan maksimumu

göstermektedir. Kısıtlamalı maksimum, hiçbir zaman serbest

maksimumdan büyük değer alamaz.

Yukarıda verdiğimiz bütçe kısıtı altında faydayı maksimize

edecek olan tüketim düzeylerinin belirlenmesini basit bir

yolla çözelim.

44ŞŞekil 3.1. Serbest ve Kekil 3.1. Serbest ve Kııssııtltlıı UUççdedeğğerer

SerbestMaksimu

m

z

x

yKısıtlamalıMaksimum

••

0

55

( )

1 2 1

1 2 2 1

21 1 1 1 1

* *1 1 2

1

2

4 2 60 30 2

30 2 2 32 2

32 4 0 8 , 14

U x x x

x x x x

U x x x x x

U x x xx

= +

+ = → = −

= − + = −

∂= − = → = =

∂

66

Kısıt fonksiyonu daha karmaşık bir hal alırsa ya da kısıt sayısı

artarsa, yukarıdaki yöntemin kullanımı giderek zorlaşır. Bu

nedenle, analitik açıdan daha üstün olan Lagrange Çarpanı

yöntemine bakacağız.

Lagrange çarpanının özü, kısıtlamalı bir uçdeğer problemini,

serbest uçdeğer probleminin birinci sıra koşulunun

uygulanabileceği bir biçime dönüştürmektir. Yukarıdaki fayda

maksimizasyonu problemine Lagrange çarpanı yöntemiyle

yaklaşalım. Lagrange fonksiyonuLagrange fonksiyonu şöyle oluşacaktır:

( )1 2 1 1 22 60 4 2Z x x x x x= + + λ − −

λλ , değeri önceden bilinmeyen bir parametredir ve Lagrange Lagrange

ççarpanarpanıı olarak ifade edilmektedir.

Kısıtı tamamen yerine getirirsek, λ ortadan kalkar ve Z ile U

eşitlenir. Böylece U ‘nun kısıtlamalı maksimizasyonu yerine, Z

‘nin serbest maksimizasyonunu çözer duruma geliriz. Buna

göre, parantez içindeki ifadenin yok olmasını nasıl sağlarız?

Bunun yolu, Lagrange fonksiyonunda λ‘yı ek bir değişken gibi

dikkate almaktır.

77

88

Yani, Z=Z(λ, x1, x2). Bu durumda birinci sıra koşullar şöyle yazılır:

1 21

2 12

1 2

2 4 0

2 0

60 4 2 0

ZZ xx

ZZ xx

ZZ x xλ

∂≡ = + − λ =∂

∂≡ = − λ =∂

∂≡ = − + =∂λ

* *1 2

*

8 , 14

4 , 128

x x

Z

= =

λ = =

99

Lagrange fonksiyonunu, aşağıdaki gibi bir amaç ve kısıt

fonksiyonu için genel olarak yazalım.

( , )z f x y= Amaç Fonksiyonu

( , )g x y c= Kısıt Fonksiyonu

Lagrange Fonksiyonu:Lagrange Fonksiyonu:

[ ]( , ) ( , )Z f x y c g x y= + λ −

1010

Z ’nin durgunluk değerlerini belirlemek için birinci sıra koşulları

şöyle oluştururuz.

Birinci SBirinci Sııra Kora Koşşullar:ullar:

0

0

( , ) 0

x x x

y y y

Z f g

Z f g

Z c g x yλ

= − λ =

= − λ =

= − =

1111

ÖÖrnek 1: rnek 1: z=xy fonksiyonunun, x+y=6 kısıtı altında uçdeğer-

lerini bulalım.


[ ]6Z xy x y= + λ − −


0

0

6 0

x

y

Z y

Z x

Z x yλ

= − λ =

= − λ =

= − − =

* *

* *

3 , 3 , 3

9

x y

Z z

= = λ =

= =

Lagrange çarpanı (λ), kısıttaki değişme karşısında Z’nin (ve

z’nin) duyarlılığını ölçmektedir. Bunu görebilmek için, Lagrange

fonksiyonundan elde ettiğimiz birinci sıra koşulları kullanarak

bir karşılaştırmalı durağanlık analizi yaparız. Öncelikle birinci

koşuldaki her bir fonksiyonu, birer örtük fonksiyon olarak

tanımlayalım ve Jacobian determinantı elde edelim.

1212

1

2

3

( , ) 0

0

0

x x

y y

F c g x y

F f g

F f g

= − =

= − λ =

= − λ =

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 x y

x xx xx xy xy

y yx yx yy yy

F F Fx y g g

F F FJ g f g f gx y

g f g f gF F F

x y

∂ ∂ ∂∂λ ∂ ∂ − −∂ ∂ ∂

= = − − λ − λ∂λ ∂ ∂

− − λ − λ∂ ∂ ∂∂λ ∂ ∂

1313

Jacobian determinantın sıfırdan farklı olduğunu kabul edelim ve

kısıttaki (c) bir değişmenin, x, y ve λ optimal değerlerini nasıl

etkilediğini inceleyelim.

* *( )cλ = λ * *( )x x c= * *( )y y c=

1414

Birinci sıra koşulları, optimal x, y ve λ değerleri için yeniden

yazalım.

* *

* * * *

* * * *

( , ) 0

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

x x

y y

c g x y

f x y g x y

f x y g x y

− ≡

− λ ≡

− λ ≡

Benzer şekilde Lagrange fonksiyonunu da optimal x, y ve λ

değerleri için yeniden yazalım (Z’nin bu durumda dolaylı olarak

c’nin de fonksiyonu olduğuna dikkat edelim).

1515

( ) ( )* * * * * *( ), ( ) ( ) ( ), ( )Z f x c y c c c g x c y c⎡ ⎤= + λ −⎣ ⎦

Z ’nin c ’ye göre toplam türevini alalım.

( )

( ) ( ) ( )

* * * * * ** * *

* * * ** * * * *

( ), ( ) 1

( ), ( )

x y x y

x x y y

dZ dx dy d dx dyf f c g x c y c g gdc dc dc dc dc dc

dZ dx dy df g f g c g x c y cdc dc dc dc

⎛ ⎞λ⎡ ⎤= + + − + λ − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

λ⎡ ⎤= − λ + − λ + − + λ⎣ ⎦

0

0 0 0*

*dZdc

= λ

16161 2( , , ....., )nz f x x x= Amaç Fonksiyonu

1 2( , , ....., )ng x x x c= Kısıt Fonksiyonu


1 2 1 2( , , ....., ) ( , , ....., )n nZ f x x x c g x x x= + λ −⎡ ⎤⎣ ⎦Birinci SBirinci Sııra Kora Koşşullar:ullar:

1 2

1 1 1

2 2 2

( , , ....., ) 0

0

0

0

n

n n n

Z c g x x x

Z f g

Z f g

Z f g

λ = − =

= − λ =

= − λ =

= − λ =

17171 2

1 2

1 2

( , , ....., )( , , ....., )( , , ....., )

n

n

n

z f x x xg x x x ch x x x d

=

=

=

Amaç Fonksiyonu

Kısıt Fonksiyonları


1 2 1 2

1 2

( , , ....., ) ( , , ....., )

( , , ....., )n n

n

Z f x x x c g x x x

d h x x x

= + λ −⎡ ⎤⎣ ⎦+µ −⎡ ⎤⎣ ⎦


( , ) 0( , ) 0

0 , ( 1,2, ..., )i i i

Z c g x yZ d h x y

Z f g i n

λ

µ

= − =

= − =

= − λ = =

1818Yukarıda, kısıtlamalı optimizasyonda birinci sıra koşulları

kısıtsız optimizasyondakine benzer biçimde elde ettik. Şimdi

ikinci sıra koşulu da elde etmek için, d2z ifadesinin işaret

belirliliğini elde etmemiz gereklidir. Bunun için dz ’nin toplam

diferansiyelinden hareket edelim.

2

2

2

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

x y x y

xx xy y yx yy y

dz dzd dz d z dx dyx y

f dx f dy f dx f dyd z dx dy

x y

dy dyd z f dx f dy f dx f dx f dy f dyx y

∂ ∂= = +

∂ ∂∂ + ∂ +

= +∂ ∂

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2

2

( )

( )

xx xy y

yx yy y

dyd z f dx f dydx f dxx

dyf dxdy f dy f dyy

∂= + +

∂

∂+ + +

∂Kısıtlı optimizasyonda seçim değişkenleri (x,y) birbirlerine

bağlı olduğundan dy=f(x,y) durumunu göz önünde

bulundurarak, bu fonksiyonun toplam diferansiyelinden

hareketle üçüncü ve altıncı terimleri yeniden şöyle

yazabiliriz:

1919

2( ) ( ) ( )y y ydy dyf dx dy f d dy f d yx y

⎡ ⎤∂ ∂+ = =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

Bunu dikkate alarak, d2z ifadesini yeniden düzenleyerek

yazalım:2 2 2 22xx xy yy yd z f dx f dxdy f dy f d y= + + +

2020

Daha önce kısıtsız optimizasyonda d2z şöyleydi:

2 2 22xx xy yyd z f dx f dxdy f dy= + +

Dikkat edilebileceği gibi, kısıtlı ve kısıtsız optimizasyonda d2z

ifadeleri arasındaki fark, yalnızca fyd2y teriminden kaynak-

lanmaktadır. Bu terim birinci dereceden olduğundan, kısıtlı

optimizasyondaki d2z ifadesi karesel biçim olamaz. Ancak

g(x,y)=c kısıtına dayanarak, d2z karesel biçime dönüştürü-

lebilir.

2121

20 ( ) 0dg d dg d g= ⇒ = =

Yukarıda d2z ifadesini elde etme yöntemini kullanarak, d2g

ifadesinde elde edebiliriz.

2222

2 2 2 22 0xx xy yy yd g g dx g dxdy g dy g d y= + + + =

Yukarıdaki son denklemi d2y için çözüp, d2z ‘deki yerine

koyarsak, karesel biçimi elde ederiz:

2 2 22y y yxx xx xy xy yy yy

y y y

f f fd z f g dx f g dxdy f g dy

g g g⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2323

y

y

fg

λ =Ayrıca birinci sıra koşullardan şunu da yazabiliriz:

( ) ( ) ( )2 2 22xx xx xy xy yy yyd z f g dx f g dxdy f g dy= − λ + − λ + − λ

Birinci sıra koşullardaki denklemlerin yeniden kısmi türevleri

alınırsa;

xx xx xx

yy yy yy

xy yx xy xy

Z f gZ f g

Z Z f g

= − λ

= − λ

= = − λ

00

( , ) 0

x x x

y y y

Z f gZ f g

Z c g x yλ

= − λ =

= − λ =

= − =

Buna göre d2z ifadesini yeniden yazalım:2424

2 2 22xx xy yyd z Z dx Z dxdy Z dy= + +

ya da

2 2 2xx xy yx yyd z Z dx Z dxdy Z dxdy Z dy= + + +

Yukarıda ulaştığımız d2z ifadesini kullanarak, iki seçim

değişkenli ve tek kısıt denklemli bir optimizasyon probleminde

uçdeğerleri bulmak için gereken ve yeterli olan işaret

belirlemesini yapabiliriz ve uçdeğere ilişkin genel koşulları

söyleyebiliriz.

2525

İİkinci Skinci Sııra Gerekli Kora Gerekli Koşşullar:ullar:

Maksimum Maksimum zz iiççin: in: dg=0 kısıtı altında d2z negatif yarı belirli

Minimum Minimum zz iiççin: in: dg=0 kısıtı altında d2z pozitif yarı belirli

İİkinci Skinci Sııra Yeterli Kora Yeterli Koşşullar:ullar:

Maksimum Maksimum zz iiççin: in: dg=0 kısıtı altında d2z negatif belirli

Minimum Minimum zz iiççin: in: dg=0 kısıtı altında d2z pozitif belirli

2626

İkinci sıra koşulu determinant biçiminde ifade edebilmek için

ççitlenmiitlenmişş HessianHessian ’dan yararlanacağız. Şimdi aşağıda bu

kavramı geliştirelim. Bunun için yine q karesel biçiminden

hareket edelim. Ancak burada ek olarak bir de kısıt

denklemimiz yer almaktadır.

( )

2 2

22 2 2

2

22 2

2

2 , 0

2

2

q au huv bv u v v u

q au h u b u

uq h ba

⎛ ⎞α= + + α + β = → = −⎜ ⎟β⎝ ⎠

α α= − +

β β

= αβ − αβ +β

2727

q ancak ve ancak parantezdeki ifade pozitif ise pozitif, negatif

ise negatif belirli olacaktır. Ayrıca parantezdeki ifadenin

simetrik determinantının da negatif olduğunu dikkate alarak şu

sonucu yazabiliriz:

0u vα +β = kısıtı altında,

2 2

02a h h a b

h b

α βα = αβ − β − αβ

0 0

0 0

q

q

< ⇒ >

> ⇒ <

2828

Şimdi bu genellemeyi, q karesel biçiminden d2z biçimine

aktaralım.

( ),x yg gα = β =0x yg dx g dy+ = kısıtı altında,

20 0d z< ⇒ >

20 0d z> ⇒ <

0 x y

x xx xy

y yx yy

g g

H g Z Z

g Z Z

=z minimumdur.

z maksimumdur.

Burada , ççitlenmiitlenmişş (k(kııssııtltlıı) Hessian) Hessian anlamına gelmektedir.H

2929

Kısıtlı uçdeğer probleminin Hessian determinantı ile, Jacobian

determinantın da eşit olduğuna dikkat edelim.

0 x y

x xx xy

y yx yy

g g

H g Z Z J

g Z Z

= =

3030

ÖÖrnek 2: rnek 2: zz==xyxy fonksiyonunun, xx++yy=6=6 kısıtı altında uçdeğer-

lerini Örnek 1’de incelemiştik. Şimdi bu problemi ikinci sıra

koşullar açısından inceleyelim. Daha önce şunları bulmuştuk:

0

0

6 0

x

y

Z y

Z x

Z x yλ

= − λ =

= − λ =

= − − =

* *

* *

3 , 3

3 , 9

x y

Z z

= =

λ = = =

Buna göre, ikinci derece kısmi türevleri bularak, Hessian

determinantı oluşturalım.

3131

Buna göre, ikinci derece kısmi türevleri bularak, Hessian

determinantı oluşturalım.

00

1

1

xx

yy

xy xy

x y

ZZ

Z Z

g g

=

=

= =

= =

0 1 11 0 1 2 01 1 0

H = = > z* = 9 bir maksimumdur.

3232

1 2( , , ....., )nz f x x x= Amaç Fonksiyonu

1 2( , , ....., )ng x x x c= Kısıt Fonksiyonu

1 2

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

0 n

n

n

n n n nn

g g gg Z Z Zg Z Z ZH

g Z Z Z

=

3333

Hessian determinantın ana minörleri:

1 2 31 2

1 11 12 132 1 11 12 3

2 21 22 232 21 22

3 31 32 33

00

,

g g gg g

g Z Z ZH g Z Z H

g Z Z Zg Z Z

g Z Z Z

= =

Sonuncu ana minör:

nH H=

3434

zz ’’ninnin minimum olmasminimum olmasıı iiççin:in:

22 3, , ......... , 0 0nH H H d z< ⇒ >

zz ’’ninnin maksimummaksimum olmasolmasıı iiççin:in:

22 3 40, 0, 0, ......... ,( 1) 0 0n

nH H H H d z> < > − > ⇒ <

1 2 1 21

( , , ....., ) ( , , ....., )m

n j j nj

Z f x x x c g x x x=

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦∑3535

1 1 11 22 2 21 2

1 21 21 1 1 11 12 11 22 2 2 21 22 2

1 21 2

0 0 00 0 0

0 0 0

n

n

m m mn

mn

mn

mn n n n n nn

g g gg g g

g g gH

g g g Z Z Zg g g Z Z Z

g g g Z Z Z

=

3636

n seçim değişkeni ve bir kısıtı yer alan bir problemin genel

uçdeğer koşulları şöyledir:

Koşul Maksimum Minimum

Birinci Sıra Koşul

İkinci Sıra Koşul

1 2 ... 0nZ Z Z Zλ = = = = =1 2 ... 0nZ Z Z Zλ = = = = =

2 3, , ..... , 0nH H H <2 3

4

0, 0,

0, ..... ,( 1) 0nn

H H

H H

> <

> − >

3737

nn seçim değişkeni ve mm kısıtı yer alan bir problemde;

MaksimumMaksimum iiççin yeterli koin yeterli koşşulul:

çitlenmiş ana minörün işareti olmak üzere, çit-

lenmiş ana minörler işaret değiştirmelidir.

Minimum iMinimum iççin yeterli koin yeterli koşşulul:

Tüm ana minörler aynı işareti, yani işaretini almalıdır.

1mH +1( 1)m+−

( 1)m−

3838ÖÖrnek 3:rnek 3:

2 2 2( , , ) 2

100 2 3

80 2

Z f x y w x y w

x y w

x y w

= = + +

= + +

= + +


( ) ( )

( )

2 2 22 100 2 3

80 2

x y w x y w

x y w

= + + + λ − − −

+ µ − − −

3939Birinci sBirinci sııra kora koşşular:ular:

2 2 0

2 2 0

4 3 0

100 2 3 0

80 2 0

x

y

w

x

y

w

x y w

x y w

λ

µ

= − λ − µ =

= − λ −µ =

= − λ −µ =

= − − − =

= − − − =

2 0 0 1 2 00 2 0 2 1 00 0 4 3 1 01 2 3 0 0 1002 1 1 0 0 80

xyw

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥µ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

* * * * *265 215 135 210, , , 10 ,11 11 11 11

x y w= = = λ = µ =

İİkinci skinci sııra kora koşşular:ular:

0 0 0 0 1 2 30 0 0 0 2 1 1

1 2 2 0 02 1 0 2 03 1 0 0 4

x y w

x y w

x x xx xy xw

y y yx yy yw

w w wx wy ww

g g g

h h h

g h f f fHg h f f f

g h f f f

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

3 9 0H = >

4 88 0H H= = >

4040

2( 1) ( 1) 1 0m− = − = >Kısıt sayısı: m=2

Bu nedenle bir minimizasyonminimizasyon vardır.

4141

Aşağıdaki gibi bir fayda fonksiyonuna ve bütçe kısıtına sahip

bir bireyin fayda maksimizasyonunu inceleyelim.

( , ) , ( , 0) ,

( , )

x y x y

x y

U U x y U U xP yP M

Z U x y M xP yP

= > + =

⎡ ⎤= + λ − −⎣ ⎦


0

0

0

x y

x x x

y y y

Z M xP yP

Z U P

Z U P

λ = − − =

= − λ =

= − λ =

yx

x y

UUP P

λ = = ya da

* UM∂

λ =∂

x x

y y

U PU P

= ve

4242

Tüketici Denge Koşulux x

y y

U PU P

=

İİkinci Skinci Sııra Kora Koşşullar:ullar:

2 2

0

2 0x y

x xx xy x y xy y xx x yy

y yx yy

P P

H P U U P P U P U P U

P U U

= = − − >

ise,

U ’nun x* ve y* ’daki durgunluk değeri (U*) maksimum

olacaktır.

4343ŞŞekil 3.2. Bekil 3.2. Büüttççe Doe Doğğrusurusu

x

y

Pdydx P

= −

Bütçe Doğrusu

x

MP

x

y

y

MP

4444ŞŞekil 3.3. Tekil 3.3. Tüüketici Dengesiketici Dengesi

Tüketicinin Bütçe Doğrusu (Kısıtı)

Kayıtsızlık Eğrileri

U1

x x

y y

U PU P

=

U2

U3

U*

x

y

*y

*x

E•

İkinci derece kısmi türevler (Uxx , Uyy , Uxy), fayda fonksiyonu

ve dolayısıyla kayıtsızlık eğrisi üzerinde çeşitli sınırla-malar

getirmektedir.

dy/dx=−Ux/Uy kayıtsızlık eğrisinin negatif eğimli, d2y/dx2>0

kesin dışbükey olmasını sağlar. Bunu görelim.

4545

x

y

Udydx U

= −

2

2 2

1

,

x

y yxy x

y

yxxx yx xy yy

x

y

Udy dd U dUdUd y dx U Udx dx dx U dx dx

dUdU dy dyU U U Udx dx dx dx

pdydx p

⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= + = +

= −

y xx

y

U pU

P=

4646

4747

2 22

2 2 2

2 x x xy y xx x yy

y y y y

HP P U P U P Ud ydx P U P U

− −= =

Fayda maksimizasyonu ikinci sıra koşulu sağlanırsa ( ),

d2y/dx2>0 olur, yani kayıtsızlık eğrisi orijine göre kesin

dışbükey (konveks) biçimdedir diyebiliriz. Bu nedenle, Şekil

3.3’de kesikli yeşil çizgiyle gösterilen kayıtsızlık eğrisi, bu

seçim noktalarında fayda maksimizasyonu sağlanamadığından,

fayda teorisinden dışlanan bir kısımdır.

0H >

4848

Eğer kayıtsızlık eğrisi, bütçe doğrusuna tek noktada değil de,

iki ve daha çok noktada teğet olacak şekilde bir doğru kısma

sahipse, d2y/dx2=0 olacağından, ‘dır. Ancak ikinci sıra

koşul ortadan kalkmakla birlikte, fayda maksimizasyonu

sağlanabilmektedir. Buna göre, fayda fonksiyonu bu bölümde

içbükeyimsidir deriz.

0H =

4949

CobbCobb--DouglasDouglas Fayda ve Talep FonksiyonlarFayda ve Talep Fonksiyonlarıı::

1. Genel Talep Fonksiyonunun T1. Genel Talep Fonksiyonunun Tüüretilmesiretilmesi

( )

max, , 0

0x y

x y

U x y x y

M xP yP

Z x y M xP yP

α β

α β

= ≥

− − ≥

= + λ − −

5050

( )

( )

( ) ( )

1

1

1

0

0

0

x x x

y yy

x y

x

MxZ x y P P

MZ x y P yP

Z M xP yPx y

P

∗α− β

α β− ∗

λ α− β∗ ∗∗

α=

⎫= α − λ = α + β⎪⎪ β⎪= β − λ = =⎬

α + β⎪⎪

= − − = ⎪⎭α

λ =

Gen

el Tale

p

Fo

nksi

yo

nla

rı

51512. Gelir2. Gelir--TTüüketim Eketim Eğğrisirisi

Birinci sıra koşulların ilk denkleminde λ ’ları çekerek, denklem-

leri eşitleyelim.

( ) ( ) ( ) ( )1 1

x y

x

y

x y x y

P P

Py x

P

α− β α β−∗ ∗ ∗ ∗∗

∗ ∗

α βλ = =

β=α

Gelir-Tüketim Eğrisi

5252ŞŞekil 3.4. ekil 3.4. SlutskySlutsky Teoremi: Normal MalTeoremi: Normal Mal

x1-x2 : İkame Etkisi (İE)

x2-x3 :Gelir Etkisi (GE)

x1-x3 : Toplam Etki (TE)

1e

2e 3e

1x 2x 3x

1y

A

B B′ B′′

1U 2U

İE GE

TE

•••

Tazmin EdilmişBütçe Doğrusu

y

x

5353

Slutsky Teoremini Şekil 3.4’ü kullanarak açıklayalım.

X malının fiyatı (Px) düştüğünde, bütçe doğrusu toplam olarak

doğrudan AB den AB′ ye kayar. X malından satın alınan

miktar x1’den x2’ye yükselir. Bunun iki nedeni vardır:

İkame Etkisi

Gelir Etkisi

5454

İkame etkisine göre tüketici, göreli anlamda daha ucuz olan X

malı tüketimini artırmıştır. Bunu ifade edebilmenin yolu şudur:

Birey aynı fayda düzeyindeyken, yeni fiyatları gösteren bütçe

doğrusunu U1’e teğet olacak şekilde çizeriz. Teğet noktasında,

geçici denge noktası oluşur (e2).

e2 denge noktasına karşılık gelen x tüketim düzeyi x2 kadardır.

x’i y malına ikame etmemizden dolayı, x1-x2 kadar bir ikame ikame

etkisietkisi oluşur.

Diğer yandan, Px’in düşmesi nedeniyle bireyin reel gelirinde

bir artış olur. Yani birey her iki maldan da daha fazla

tüketebilme olanağına kavuşur. Bu nedenle bireyin fayda

düzeyi, daha yukarıda yer alan U2’ye çıkar. Bu durumda bütçe

doğrusunun eğimi, yeni göreli mal fiyatlarını ve yeni dengeyi

yansıtacak şekilde U2’ye teğet biçimde sağa kayar. x malı

tüketim düzeyi, x2’den x3’e artmış olmaktadır. Bu kısım gelir gelir

etkisietkisidir.

5555

Bu örneğimizde x malının normal malnormal mal olduğu varsayılmıştır. Bu

nedenle, Px’deki azalma, x’in satın alınan miktarını artırmıştır.

Yani talep yasası gerçekleşmiştir.

Talep yasası, gelir etkisinin ters yönde işlediği durumlarda

geçerliliğini yitirir. Bu türden mallar, Giffen malGiffen malıı olarak

tanımlanmaktadır. Giffen malları aşırı bayağıdır ve pozitif

eğimli talep eğrisine sahiptir. Aşağıdaki şekillerde bayağı ve

Giffen malı durumları için ikame ve gelir etkileri gösterilmiştir.

5656

5757ŞŞekil 3.5. ekil 3.5. SlutskySlutsky Teoremi: BayaTeoremi: Bayağığı MalMal

1x





1e3e

2x3x

1y

A

B B′ B′′İEGE

TE

•

••

y

x

2e

5858ŞŞekil 3.6. ekil 3.6. SlutskySlutsky Teoremi: Teoremi: GiffenGiffen MalMalıı

3x





1x 2x

1y

A

B B′ B′′İE

GE

( )TE −

••

y

x

•1e

3e

2e

1U

2U

Fayda maksimizasyonunu incelerken bireyin gelirini (M), mal

fiyatlarını (Px,Py ) veri (dışsal) olarak aldık. Birinci ve ikinci sıra

koşullar sağlandığında, denge değerlerini (x*, y*, l* ), dışsal

değişkenlerin bir fonksiyonu olarak yazabiliriz (çünkü bu

durumda ) ve gelirdeki ya da fiyatlardaki değişmelerin,

bireyin optimal dengesi üzerine etkilerini inceleyebiliriz. Buna

karşılaştırmalı durağanlık analizi diyoruz. Bunu dikkate alarak,

denge değerlerini tanımlayalım:

H J=

5959

6060

* *

* *

* *

( , , )

( , , )

( , , )

x y

x y

x y

P P M

x x P P M

y y P P M

λ = λ

=

=

Şimdi de birinci sıra koşulları, denge değerlerini dikkate alarak

yazalım.

* *

* * *

* * *

0

( , ) 0

( , ) 0

x y

x x

y y

M x P x P

U x y P

U x y P

− − ≡

− λ ≡

− λ ≡

6161Her bir özdeşliğin toplam diferansiyelini bulalım.

* * * *

* * * *

* * * *

x y x y

x xx xy x

y yx yy y

P dx P dy x dP y dP dM

P d U dx U dy dP

P d U dx U dy dP

− − = + −

− λ + + = λ

− λ + + = λ

Tüketicinin gelirindeki bir değişmenin, optimal tüketici

dengesine nasıl etki edebileceğini inceleyelim. Dolayısıyla

dPx=dPy=0 , dM≠0 varsayımlarını yapalım. Yukarıdaki birinci

sıra koşulların toplam diferansiyelleri soldaki biçime dönüşür.

Eşitliklerin her iki yanını dM terimiyle bölelim (sağdaki biçim).

6262* * *

* * *

* * *

0

0

0

x y

x xx xy

y yx yy

d P dx P dy dM

P d U dx U dy

P d U dx U dy

λ − − = −

− λ + + =

− λ + + =

* * *

* * *

* * *

0 1

0

0

x y

x xx xy

y yx yy

x yP PM M M

x yP U UM M M

x yP U UM M M

∂λ ∂ ∂− − = −

∂ ∂ ∂∂λ ∂ ∂

− + + =∂ ∂ ∂∂λ ∂ ∂

− + + =∂ ∂ ∂

6363

Yukarıdaki (sağdaki) son ifadeyi matris biçimiyle yazalım.

*

*

*

0 100

x y

x xx xy

y yx yy

P P dMP U U x dM

y dMP U U

⎡ ⎤− − ⎡ ⎤∂λ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ∂ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

H J=

Şimdi Cramer çözüm yöntemini kullanarak, karşılaştırmalı

durağanlıkları ifade edelim.

6464

*0 1

1 10

0

yx xy

x xyy yy

y yy

PP Ux P U

M J J P UP U

− −−∂

= − =∂ −

−

*0 1

1 100

xx xx

x xxy yx

y yx

PP Uy P UP UM J J

P U

− −−∂

= − =−∂

−

6565

Şimdi de Px ’deki değişimin etkilerine bakalım.

* *

* *

*

0

0

x y x

x xx xy x

xy yx yy

P P dP xP U U x dP

y dPP U U

⎡ ⎤− − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ∂ = λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

6666x malı için karşılaştırmalı durağanlık şöyle olacaktır:

** * *

*

* **

0 01

0

0( )

xx xy y

x xyx y yy y yy

y yy

y

y yy

x P P U Px xP UP J J P U J P U

P U

PxxM J P U

− − −∂ − λ= − λ = +

∂ − −−

−⎛ ⎞∂ λ= − +⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

Gelir Etkisi İkame Etkisi

Gelir etkisi terimindeki x*, ağırlık görevi görür. Toplam bütçede

x malının önemi ne kadar büyükse, gelir etkisi de o denli büyük

olacaktır.

6767

Px ’de meydana gelen değişimin yol açacağı gelir kaybını şu

diferansiyelle gösterebiliriz:

*x

x

dMdM xdP xdP

= − → = −

Bunu, karşılaştırmalı durağanlıktaki yerine yazalım.

** * *

*

0 01

0

xy

x xyx x y yy

y yy

x P Px x dMP UP J M dP J P U

P U

− −⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ λ= − λ = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ −⎝ ⎠⎝ ⎠

−


Şimdi Px ’deki artışın yol açtığı gelir kaybının, bireye ek bir gelir

verilerek telafi edildiğini varsayalım. Bu durumda gelir etkisini

ortadan kaldırmaktayız, telafi sonrası yalnızca ikame etkisini

görmüş olmaktayız. Gelir kaybının telafi edilmesi, birinci sıra

koşulların toplam diferansiyelinde yer alan ilk denklemdeki

dM=−xdPx teriminin sıfır olması anlamına gelir. dPx≠0 iken, bu

terimin sıfır olabilmesi için, x* ’ın Px ‘e göre karşılaştırmalı

durağanlığını oluşturduğumuz matris eşitliklerinin sağındaki

vektörün ilk terimi (x*) sıfır olmalıdır.

6868

6969

* 0x =*

* *

*

0 0

0

x y x

x xx xy x

xy yx yy

P P dPP U U x dP

y dPP U U

⎡ ⎤− − ⎡ ⎤∂λ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ∂ = λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

* **

0 0 01

0

xy

x xyTazminx y yyEdilmiş

y yy

P Px P UP J J P U

P U

− −⎛ ⎞∂ λ= − λ =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

−

7070

Buna, göre Px ’deki artışın yol açtığı gelir ve ikame etkilerini

birlikte yeniden yazalım.

* * **

Tazminx xEdilmiş

x x xxP M P

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Gelir ve ikame etkisini iki bileşene ayıran bu sonuca, Slutsky Slutsky

denklemidenklemi diyoruz.

7171

Px ‘deki artışın sonucunda gelir etkisi ve ikame etkisinin

işaretleri konusunda ne söyleyebiliriz?

* * 00y

Tazminx y yyEdilmiş

PxP J P U

−⎛ ⎞∂ λ= <⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

( )+ ( )−

* 010

x xy

y yy

P UxM J P U

− >∂=

∂ − <

İşaretin belirliliği, malın normal mal mı, yoksa bayağı mal mı olduğuna bağlıdır. Normal mallarda pozitif, bayağı mallarda negatif olur.( )+

( )?

( )?

7272Slutsky teoremini anlatırken, Lagrange fonksiyonunu bütçe

kısıtı altında faydanın maksimizasyonuna göre oluşturduk ve

problemi çözdük. Bu problemin duali (ikincili) fayda kısıtı

altında toplam harcamanın minimize edilmesidir. Bu durumda

Lagrange fonksiyonunu şöyle oluştururuz:

( )

min

, , 0

0

x y

x y

xP yP x y

U x y

Z xP yP U x y

α β

α β

⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

− ≥

= + + µ −

7373

Her iki problemin çözümünden elde edilecek olan optimal x* ve

y* değerleri aynıdır. Aşağıdaki örnek ile bunu görelim.

( )max

, , , 0

x y

U U x y xy x y

M xP yP

= = ≥

= +

7474

( )

0

0

0

x y

x x

y y

x y

Z xy M xP yP

Z y P

Z x P

Z M xP yPλ

= + λ − −

= − λ =

= − λ =

= − − =

,2 2x y

M Mx yP P

∗ ∗= =

7575Dolaylı Fayda Fonksiyonu:

2

2 2 4x y x y

M M MU x yP P P P

∗ ∗ ∗⎛ ⎞⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Şimdi de yukarıdaki problemin dualini yazalım:

( )

min

, , 0

,

x yxP yP x y

U U x y U xy

⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

− = −

7676

( )

0

0

0

x y

x x

y x

Z xP yP U xy

Z P y

Z P x

Z U xyµ

= + + µ −

= − µ =

= − µ =

= − =

,2

,2

c cx

c cy

Mx x xP

My y yP

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

= =

= =

yx x

y

PP Py x

y x Pµ = = → =

7777

12

12

2x x x

y y y

y

x

x

y

P P Py x U xy x x x

P P P

Px U

P

Py U

P

∗

∗

⎛ ⎞= → = = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x malının Tazmin Edilmiş

Genel Talep Fonksiyonu

y malının Tazmin Edilmiş

Genel Talep Fonksiyonu

7878

Harcama Fonksiyonu:

( )

1122

122

c cx y

y xx y

x y

x y

M x P y P

P PM U P U P

P P

M P P U

∗ ∗ ∗

∗

∗

= +

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Fiyat değişimleri karşısında tazmin edilmiş talep

fonksiyonlarına ulaşabilmek için, veri bir fayda düzeyini sabit

olarak kabul edip, bireyin buna ulaşmasını sağlayacak optimal

miktarları belirleriz. Bulacağımız tazmin edilmiş talep

fonksiyonlarını da kullanarak, bireyin aynı (veri) fayda

düzeyinde kalmasını sağlayacak olan minimum gelir düzeyini

belirlemiş oluruz.

Veri fayda düzeyi:

7979

2

4 x y

MUP P

=

8080

Veri faydayı, tazmin edilmiş genel fayda fonksiyonlarındaki

yerlerine yazalım ve düzenleyelim.

11 122 2

1 1 12 2 2

2

2

14 2

4 2

y yc

x x x y x x

x x xc

y y x y y x

P P M Mx UP P P P P P

P P PM My UP P P P P P

∗

∗

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8181

Veri fayda düzeyi için elde ettiğimiz talep fonksiyonlarını dual

problemin amaç fonksiyonundaki yerlerine yazarak, minimum

gelir düzeyini belirlemiş oluruz.

1 12 2

12

12 2

c x c y

xx y

x x y x

x

x

M x P y P

PM MM P PP P P P

PM M

P

∗ ∗ ∗

∗

∗

= +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

8282

Bu minimum gelirin gerçekleştirilebilmesi için, tüketiciye

optimal ( ) ve gerçek gelir ( ) düzeyleri arasındaki fark

kadar bir sübvansiyon sağlanmalıdır. Bu sübvansiyonu şöyle

belirleriz:12

12

1

x

x

x

x

PS M M M M

P

PS M

P

∗ ∗

∗

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

M ∗ M

ÖÖrnek 4:rnek 4:

Aşağıdaki fayda fonksiyonunu, veri gelir ve fiyatları dikkate

alalım. Buna göre optimal tüketim düzeylerini ( ), toplam

faydayı ( ), telafi edilmiş (düzeltilmiş) talep

fonksiyonlarını ( ), minimum gelir ve sübvansiyon

düzeylerini ( ) belirleyelim.

,x y∗ ∗

,c cx y∗ ∗ ,M S∗ ∗

U ∗

8383

2

, 100 , 4 , 54 x y

x y

MU M P PP P

= = = =

( )

( )

( )

1 12 2

12

1 12 2 1

2

22

100 10012.5 , 102 2(4) 2 2(5)

100125

4 4(4)(5)

1 100 1 252 2 4

100 52 2(5) 4

x y

x y

c xx x x

x xc x

y x

M Mx yP P

MUP P

Mx PP P P

P PMy PP P

∗ ∗

∗

−∗

∗

= = = = = =

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

8484

8585

( )( ) ( )( )( )

( )

1 12 2

12

12

25 5 (5)

50

50 100

c x c y x x x

x

x

M x P y P P P P

M P

S M M P

−∗ ∗ ∗

∗

∗ ∗

= + = +

=

= − = −

Şimdi x malı fiyatının 5 ’e yükseldiğini varsayarak, yukarıda

bulduklarımızı yeniden inceleyelim, ikame ve gelir etkilerini

belirleyelim.

( ) ( )

( ) ( )

1 12 2

1 12 2

25 25 5 11.18

5 5 5 11.18

c x

c x

x P

y P

− −∗

∗

= = =

= = =

8686

Buna göre ikame etkisi:

12.5 11.18 1.32

10 11.18 1.18

c

c

x x

y y

∗ ∗

∗ ∗

− = − =

− = − = −

8787ŞŞekil 3.7. ekil 3.7. SlutskySlutsky TeoremiTeoremi

y

x

•••

1U ∗

2U ∗

2cy∗

2uy∗

1y∗

2ux∗2cx∗

1x∗ • • •

••

12

x

MP

22

x

MP

11

x

MP

2

y

MP

1

y

MP

Gelir Etkisi

İkame Etkisi

Gelir Etkisi :

İkame Etkisi :

2 2c ux x∗ ∗−

1 2cx x∗ ∗−

8888

Bireyin, x malı fiyatının değişmesinden önceki fayda düzeyini

( ) sağlayabilmek için öncekinden daha yüksek bir parasal

gelire ihtiyacı vardır. Bu gelir:

1U ∗

( ) ( )1 12 250 50 5 112xM P∗ = = =

Aynı fayda düzeyini elde edebilmek için sağlanacak

sübvansiyon:

( )1250 100 112 100 12xS M M P∗ ∗= − = − = − =

8989

Sübvanse edilmemiş tüketim düzeylerini de ( ) şöyle

buluruz:

,u ux y∗ ∗

100 10010 , 102 2(5) 2 2(5)u u

x y

M Mx yP P

∗ ∗= = = = = =

Buna göre gelir etkisi:

11.18 10 1.18

11.18 10 1.18

c u

c u

x x

y y

∗ ∗

∗ ∗

− = − =

− = − =

9090

Slutsky Denklemi:Slutsky Denklemi:

Slutsky denklemini türetmek için, harcama minimizasyonu ya

da bunun duali olan fayda maksimizasyonu problemi ile işe

başlarız. Her iki şekilde oluşturulan problemin birinci sıra

koşullarının çözümünden elde edilecek optimal x ve y tüketim

düzeyleri ( ) aynıdır:,c cx x y y∗ ∗ ∗ ∗= =

( ) ( )( ), , , , , ,c x y x y x yx P P U x P P M P P U∗ ∗ ∗=

9191

Yukarıdaki eşitliğin her iki yanının Px ’e göre türevini alalım:

00 0000 00

xyy yy

c

x x x

c

dPdM dUdUx x xdPdP dPdP

x x x MP P M P

dx dx dx dMdP dP dM dP

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

== ==== ==

∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ya da

9292

Son ifadeyi yeniden düzenleyerek Slutsky denklemine ulaşırız:

00 0000 00

xyy yy

c

dPdM dUdUx x xdPdP dPdP

dxdx dx dMdP dP dM dP

∗∗ ∗ ∗

== ==== ==

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Slutsky denkleminin sağındaki son terim x* ’a eşittir. Bunu

görelim.

9393

00 000 0

xyy y

c

dPdM dUx x dPdP dP

dxdx dxxdP dP dM

∗∗ ∗∗

== === =

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x y

x

M P x P y

M xP

∗ ∗ ∗

∗∗

= +

∂=

∂

HOMOJEN VE HOMOJEN VE

HOMOTETHOMOTETİİK K

FONKSFONKSİİYONLARYONLAR

9595

Homojen (THomojen (Tüürderdeşş) Fonksiyonlar) Fonksiyonlar

Eğer bir fonksiyonun tüm bağımsız değişkenleri j gibi bir sabitle

çarpıldığında fonksiyonun değeri jr oranında artıyorsa, bu tür bir

fonksiyona r. dereceden tdereceden tüürderdeşş (homojen) fonksiyon(homojen) fonksiyon deriz.

1 2 1 2( , , ....., ) ( , , ....., )rn nf jx jx jx j f x x x=

9696

ÖÖrnek 5: rnek 5: fonksiyonunu, türdeşlik açısından

inceleyelim.

2( , , )3

x wf x y wy x

= +

0

( ) 2( )( , , )( ) 3( )

23

( , , ) ( , , )

jx jwf jx jy jwjy jx

x wy x

f x y w j f x y w

= +

= +

= =

9797

ÖÖrnek 6: rnek 6: fonksiyonunu, türdeşlik açısından

inceleyelim.

2 22( , , ) x wf x y wy x

= +

2 2 2 2 2 2

2 2

1

( ) 2( ) 2( , , )( ) ( )

2

( , , ) ( , , )

jx jw j x j wf jx jy jwjy jx jy jx

x wjy x

jf x y w j f x y w

= + = +

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

= =

9898

ÖÖrnek 7: rnek 7: fonksiyonunu, türdeşlik

açısından inceleyelim.

2 2( , , ) 2 3f x y w x yw w= + −

( )

2 2

2 2 2

2

( , , ) 2( ) 3( )( ) ( )

2 3

( , , )

f jx jy jw jx jy jw jw

j x yw w

j f x y w

= + −

= + −

=

9999

Doğrusal türdeş fonksiyonlarda, tüm bağımsız değişkenler j

gibi bir oranda artırıldığında, fonksiyonun değeri de j oranında

artar. Bunun iktisat teorisindeki en iyi örneği, üretim

fonksiyonlarıdır. Şimdi doğrusal türdeş bir üretim

fonksiyonunu dikkate alalım:

( , )Q f K L=

Bu doğrusal türdeş üretim fonksiyonuna ilişkin aşağıdaki

özellikleri söyleyebiliriz.

100100

ÖÖZELLZELLİİK I: K I: Q=f(K,L) doğrusal türdeş üretim fonksiyonunda

ser-maye ve işgücünün ortalama fiziksel ürünleri (APPK ,

APPL) yalnızca K/L ’nin bir fonksiyonudur.

( , ) , ,1

( )

( )

L

K

Q K L KQ f K L f fL L L L

QAPP q kLQ Q L kAPPK L K k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = = φ

φ= = =

101101

Üretim fonksiyonu birinci dereceden türdeş ise (doğrusal

türdeş), sermaye ve işgücünün ortalama fizik ürünleri sıfırıncı

dereceden türdeştir. Yani K ve L ’deki aynı oranlı değişiklikler,

ortalama fizik ürünleri etkilemeyecektir.

102102

ÖÖZELLZELLİİK II :K II : Q=f(K,L) doğrusal türdeş üretim fonksiyonunda

ser-maye ve işgücünün marjinal fiziksel ürünleri (MPPK ,

MPPL) yalnızca K/L ’nin bir fonksiyonudur.

2

( , ) ( )

1

Q f K L Q L k

Kk LK K L

Kk KLL L L

= → = φ

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠= =∂ ∂

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠= =∂ ∂

[ ]

[ ]

2

( ) ( )

( ) 1( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

K

L

L kQ kMPP LK K K

d k kL L k kdk K L

L kQ kMPP k LL L L

kk L kK

Kk L k k k kL

∂ φ∂ ∂φ≡ = =∂ ∂ ∂

φ ∂ ′ ′= = φ = φ∂

∂ φ∂ ∂φ≡ = = φ +∂ ∂ ∂

∂′= φ + φ∂

−′ ′= φ + φ = φ − φ

103103

104104

Üretim fonksiyonu birinci dereceden türdeş ise (doğrusal

türdeş), sermaye ve işgücünün marjinal fizik ürünleri sıfırıncı

dereceden türdeştir. Yani K ve L ’deki aynı oranlı değişiklikler,

marjinal fizik ürünleri etkilemeyecektir.

ÖÖZELLZELLİİK III :K III : Q=f(K,L) doğrusal türdeş üretim fonksiyonuysa,

şunu yazabiliriz:

Q QK L QK L∂ ∂

+ ≡∂ ∂

105105

KanKanııt:t:

[ ]( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Q QK L K k L k k kK L

K k L k K k L k Q

∂ ∂ ′ ′+ = φ + φ + φ∂ ∂

′ ′= φ + φ − φ = φ =

EulerEuler TeoremiTeoremi olarak adlandırılan bu sonuca göre, doğrusal

türdeş üretim fonksiyonuyla üretim yapılan bir yerde, girdilere

marjinal ürünleri ölçüsünde ödeme yapıldığında, ortadan ne

dağıtılmayan, ne de fazla ürün kalmayacağını söylemektedir.

106106

CobbCobb--DouglasDouglas ÜÜretim Fonksiyonuretim Fonksiyonu

, 0 , 0Q AK Lα β= α > β >

Burada A, teknolojik düzey indeksi; α , sermayenin toplam

üründen aldığı pay (ya da üretim-sermaye esnekliği); β,

işgücünün toplam üründen aldığı paydır (ya da üretim-işgücü

esnekliği). Fonksiyonun bazı özellikleri şöyledir:

1. (α+β) derecesinden homojendir.

2.Eşürün eğrileri negatif eğimli ve kesin dışbükeydir.

3.Üretim fonksiyonu kesin içbükeyimsidir.

107107Türdeşliğini inceleyelim:

( ) ( )A jK jL j AK L j Qα β α+β α β α+β= =

α+β=1 durumunda Cobb-Douglas üretim fonksiyonu doğrusal

türdeştir. Şimdi de eşürün eğrisi ile ilgili özelliklere bakalım.

Bunun için Cobb-Douglas üretim fonksiyonundan hareketle,

üretim düzeyini veri (Q0) kabul ederek aşağıdaki işlemleri

yapalım.

0

0ln ln ln ln 0AK L Q

A K L Q

α β =

+ α + β − =

108108

Yukarıdaki son ifade bir örtük fonksiyondur. Yalnızca K ve L’nin değişimine izin vererek, toplam diferansiyeli yazalım.

0F F F FdK dL dK dLK L K L

FdK KL L

FdL LK K

∂ ∂ ∂ ∂+ = → = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ββ∂= − = − = −

∂ α α∂

EEşşüürrüün en eğğrisi risi

negatif enegatif eğğimlidir.imlidir.

109109

2

2

2

2 2

1 0

dK K Kd d dd KdL L L

dL dL dL dL

d K dKL KdL L dL

β⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟βα⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = − =α

β ⎛ ⎞= − − >⎜ ⎟α ⎝ ⎠

EEşşüürrüün en eğğrisi drisi dışışbbüükeydir.keydir.

110110

α+β=1 durumunda Cobb-Douglas üretim fonksiyonu doğrusal

türdeştir:

1Q AK Lα −α=

Şimdi bu fonksiyonu, doğrusal türdeş fonksiyonun özellikleri

açısından inceleyelim. İlk olarak, fonksiyonu yoğunlaştırılmış

biçimde yazalım.

1Q AK L AK LL

K KQ A L LA LAkL L

α −α α −α

ααα

α

= =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

111111Ortalama Fizik Ortalama Fizik ÜÜrrüünler:nler:

11K

L

Q LAk

Q Q L LAk AkAPP AkK L K L k k

Q LAkAPP AkL L

α

α αα−

αα

=

= = = = =

= = =

112112Marjinal Fizik Marjinal Fizik ÜÜrrüünler:nler:

1 1

11 ( 1) 1

(1 )

(1 ) (1 )

K

L

QMPP A K LK

KA K L A A kL

QMPP A K LL

KA A kL

α− −α

α−α− − α− α−

α −α

αα

∂= = α∂

⎛ ⎞= α = α = α⎜ ⎟⎝ ⎠

∂= = − α∂

⎛ ⎞= − α = − α⎜ ⎟⎝ ⎠

113113

EULER Teoremi:EULER Teoremi:

( ) ( )

[ ]

1 (1 )

1

1

Q QK L K A k L A kK L

KLAkLk

LAk LAk Q

α− α

α

α α

∂ ∂+ = α + − α

∂ ∂

α⎡ ⎤= + − α⎢ ⎥⎣ ⎦

= α + − α = =

114114αα ve ve ββ parametrelerinin anlamlarparametrelerinin anlamlarıı::

1. Sermaye ve işgücünün üretimdeki göreli paylarıdır:

Sermayenin göreli payı:

1( )K Q K KA kQ LAk

α−

α

∂ ∂ α= = α

İşgücünün göreli payı:

( ) (1 ) 1L Q L LA kQ LAk

α

α

∂ ∂ −α= = −α

115115

2. Sermaye ve işgücünün üretime göre esneklikleridir:

1( )( ) ( )QKQ K A kQ K LAk K

α−

α

∂ ∂ αε = = = α

( ) (1 ) 1( ) ( )QLQ L A kQ L LAk L

α

α

∂ ∂ −αε = = = −α

116116

EndEndüüşşüükk Maliyetli Girdi BileMaliyetli Girdi Bileşşimiimi

Bir firmanın üretim kotası (üretim kısıtı) koyarak, toplam

maliyetlerini minimize etmeyi amaçladığını varsayalım. Bu tür

bir problem, kısıtlamalı optimizasyon konusuyla ilgilidir. Önce

genel bir üretim fonksiyonu ile çalışalım, daha sonra Cobb-

Douglas üretim fonksiyonunu kullanalım.

( , ) , 0 , 0K LQ Q K L Q Q= > >

TC rK wL= +AmaAmaçç Fonksiyonu:Fonksiyonu:

0( , )Q K L Q=KKııssııt Fonksiyonu:t Fonksiyonu:

117117Lagrange Fonksiyonu:Lagrange Fonksiyonu:

0 ( , )Z rK wL Q Q K L= + + µ −⎡ ⎤⎣ ⎦


0 ( , ) 0

0

0

K K

L L

Z Q Q K L

Z r Q

Z w Q

µ = − =

= − µ =

= − µ =

K L

r wQ Q

= = µÜÜretici Denge Koretici Denge Koşşulu:ulu:

Denge koşuluna göre, her iki girdinin birim marjinal ürünü

başına yapılan harcamaların eşitlendiği durumda, firma

maliyetlerini minimize etmektedir. Lagrange çarpanı (µ),

optimal durumdaki marjinal maliyettir.

118118

Denge koşulunu şöyle de yazabiliriz:

L

K L K

Qr w wQ Q Q r

= → =

Bu durumda denge koşulu, eşürün eğrisinin eğimiyle, bütçe

doğrusunun (toplam harcama doğrusunun) eğimi birbirine eşit

olmakta ya da her iki eğri denge noktasında teğet

olmaktadırlar.

0 0( , ) 0

L

K

Q QQ K L Q dQ dK dKK K

QdK Q LdL Q K Q

TC wTC rK wL K Lr r

dK wdL r

∂ ∂= → = + =

∂ ∂

∂ ∂= − =

∂ ∂

= + → = −

= −

119119

120120

ŞŞekil 3.8a. ekil 3.8a. ÜÜretim retim KKııssııttıı AltAltıında Maliyetin nda Maliyetin Minimizasyonu: DMinimizasyonu: Dışışbbüükey Ekey Eşşüürrüün En Eğğrisirisi

K*

L

K

Q wQ r

=

K

L*L B B′

0Q

A

A′

0

D

E

22 2

2 3

1 2 0KK L KL K L LL KL

d K Q Q Q Q Q Q QdL Q

− ⎡ ⎤= − + >⎣ ⎦

121121

ŞŞekil 3.8b. ekil 3.8b. ÜÜretim retim KKııssııttıı AltAltıında Maliyetin nda Maliyetin Minimizasyonu: Minimizasyonu: İİççbbüükey Ekey Eşşüürrüün En Eğğrisirisi

K*

L

K

Q wQ r

=

K

L*L B B′

0Q

A

A′

0

D

E

22 2

2 3



− ⎡ ⎤= − + <⎣ ⎦

122122İİkinci Skinci Sııra Kora Koşşullar:ullar:

Minimum maliyetin garanti edilebilmesi için, sağlanma-

lıdır:

0H <

2 2

2 2

0

2 0

0 , 2 0

K L

K KK KL

L LK LL

L KK KL K L K LL

L KK KL K L K LL

Q QH Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q Q

= −µ −µ−µ −µ

⎡ ⎤= µ − + <⎣ ⎦

⎡ ⎤µ > − + <⎣ ⎦

123123Eşürün eğrisinin eğimini inceleyelim:

22 2

2 3



− ⎡ ⎤= − + >⎣ ⎦

Bu sonuç, denge noktasında eşürün eğrisinin kesin dışbükey

olacağını söylemektedir. Ancak ve ancak, birinci ve burada elde

ettiğimiz ikinci sıra koşullar sağlandığında, belirli üretim kısıtı

altında toplam maliyeti minimize eden üretim düzeyini

belirleyebiliriz (Şekil 3.8a). Şekil 3.8b durumunda ise, birinci

sıra koşul sağlanmakla birlikte, ikinci sıra koşul yerine getirile-

memektedir.

Bu modelde, Q0 ‘daki değişmelerin üretici dengesi üzerine

etkilerine, karşılaştırmalı durağanlık analizleriyle bakalım.

Üretim kısıtındaki her değişme, üreticinin yeni bir denge

noktasına geçmesine neden olacaktır. Bu noktaları

birleştirirsek, üüretim geniretim genişşleme leme ççizgisiizgisini elde ederiz.

Eşürün eğrisinin kesin dışbükey olduğunu kabul

ederek,genişleme çizgisini birinci sıra koşullardan hareketle

elde ederiz. Cobb-Douglas ile bunu görelim. Birinci sıra

koşulundan, denge tanımını elde etmiştik:

124124

1251251

1L

K

Qw A K L Kr Q A K L L

α β−

α− β

β β= = =

α α

α ve β ile girdi fiyatları sabitken, bu oranı yeniden şöyle

yazabiliriz:

*

*

K wL r

α=β

Üretim Genişleme Çizgisi

α ve β ile Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda α ve β toplamının

bire eşit, büyük ya da küçük olmasından bağımsız olarak üretim

genişleme çizgisi Şekil 3.9b’deki gibi her zaman doğrusaldır.

Genel olarak, her hangi bir türdeş üretim fonksiyonu, doğrusal

üretim genişleme çizgisine yol açar.

126126

ŞŞekil 3.9. ekil 3.9. ÜÜretim Geniretim Genişşleme leme ÇÇizgisiizgisi


K

L0

1e2e

3e

•••

Üretim Genişleme ÇizgisiK

L0

1e2e

3e

•••

(a) (a) (b) (b)

α ve β ile Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda α ve β

toplamının bire eşit, büyük ya da küçük olmasından bağımsız

olarak üretim genişleme çizgisi Şekil 15b’deki gibi her zaman

doğrusaldır. Genel olarak, her hangi bir türdeş üretim

fonksiyonu, doğrusal üretim genişleme çizgisine yol açar.

Çünkü eğer üretim fonksiyonu r derecesinden türdeş ise, QK ve

QL, K ve L girdilerine göre (r−1) derecesinden türdeştir. Bu

durumda her bir girdi j kat arttığında, QK ve QL de j(r−1) kat

artacağından, QK /QL oranında hiçbir değişme olmaz.

127127

128128

Homotetik FonksiyonlarHomotetik Fonksiyonlar

Yukarıda genel olarak, homojen üretim fonksiyonlarının

doğrusal bir genişleme çizgisine yol açtığını gördük. Homotetik

fonksiyonlar da aynı özelliğe sahiptir. Bir homotetik fonksiyon,

aynı zamanda türdeş olmayı içerir. Ancak bunun tersi doğru

değildir. Q(K,L), r. derecen homojen bir fonksiyon ise, bir

homotetik fonksiyonu şöyle yazabiliriz:

( ) ( ) ( ), , 0H Q h Q K L h Q′⎡ ⎤= ≠⎣ ⎦

H homotetik fonksiyonu, h gibi homojen bir fonksiyondan

türetilmesine rağmen, K ve L’ye göre homojen olmayabilir.

Buna karşın H’nin genişleme çizgisi, h’ninki gibi doğrusaldır.

Bunun nedeni, H eşürün eğrisinin, Q eşürün eğrisiyle aynı

eğime sahip olmasıdır.

129129

( )( )

LL L

K K K

h Q QH QH h Q Q Q

′− = − = −

′

130130

ŞŞekil 3.10. Homotetik ekil 3.10. Homotetik ÜÜretim Fonksiyonuretim Fonksiyonu


K

L0

1e

2e

••

0K

0L 0jL

0jK

2

1

00e

je

≡

0Q

0Q

ÖÖrnek 8:rnek 8:131131

( )

( )

( ) ( )

2

2 2 2 2

2 2 2 1

2 2 1 2

,

2 0

22

L

K

H Q Q Q AK L

h Q Q

H Q AK L A K L

H A K L KH LA K L

α β

α β α β

α β−

α− β

= =

′ = >

= =

β β− = − = −

αα

Hem Q hem de Hhomojen

Doğrusal Genişleme Patikası

ÖÖrnek 9:rnek 9:132132

( )

( )

( )

1

1

,

0

Q

Q

AK L

AK LL

AK LK

H Q e Q AK L

h Q e

H Q e

H AK L e KH LAK L e

α β

α β

α β

α β

α β−

α− β

= =

′ = >

=

β β− = − = −

αα

Q homojen, H ise homojen değil

Doğrusal Genişleme Patikası

133133CCES ES ÜÜretim Fonksiyonuretim Fonksiyonu

CES (Constant Elasticity of Substitution, Sabit İkame Esnekliği)

üretim fonksiyonu şöyledir:

1

(1 ) , 0 , 0 1 , 1 0Q A K L A−−ρ −ρ ρ⎡ ⎤= δ + − δ > < δ < − < ρ ≠⎣ ⎦

Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, CES üretim fonksiyonunun

(ρÆ0 iken) özel bir biçimidir. Bunu daha sonra göreceğiz.

CES’deki bir çok parametre ve değişken, Cobb-Douglas’daki

gibidir. A, etkenlik parametresidir (teknoloji endeksi); δ,

üretimin girdiler arasındaki dağılımını; ρ parametresi, ikame

esnekliğinin derecesini belirler.

134134İlk olarak CES’in türdeşliğini inceleyelim:

1

1

( ) (1 )( )

(1 )

A jK jL

jA K L jQ

−−ρ −ρ ρ

−−ρ −ρ ρ

⎡ ⎤= δ + − δ⎣ ⎦

⎡ ⎤= δ + − δ =⎣ ⎦

Bu sonuca göre CES, birinci dereceden (doğrusal) türdeştir.

Yani ölçeğe göre sabit getiriye sahiptir. Ortalama ve marjinal

fizik ürünler sıfırıncı dereceden türdeştir, Euler teoremini sağlar

ve kesin içbükeyimsidir (kayıtsızlık eğrileri kesin dışbükeydir).

Bu son özelliği görelim. Bunun için aşağıda sırasıyla işgücü ve

sermaye için marjinal fizik ürünleri belirleyelim.

( )

1 1 1

1(1 )

11 1 (1 )

1

1

1 (1 ) (1 )( )

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

(1 ) 0

0

L

K

QQ A K L LL

A K L L

A K L LA

QA L

Q QQK A K

− −−ρ −ρ −ρ−ρ

+ρ−−ρ −ρ − +ρρ

+ρ −+ρ ρ−ρ −ρ − +ρρ

+ρ

ρ

+ρ

ρ

⎛ ⎞∂ ⎡ ⎤= = − δ + − δ − δ −ρ⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ρ⎝ ⎠

⎡ ⎤= − δ δ + − δ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − δ δ + − δ⎣ ⎦

− δ ⎛ ⎞= >⎜ ⎟⎝ ⎠

∂ δ ⎛ ⎞= = >⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

135135

136136

Eşürün eğrisinin eğimi:

1

1

1

(1 )(1 ) 0L

K

QQdK KA L

dL Q LQA K

+ρ

+ρρ

+ρ

ρ

− δ ⎛ ⎞⎜ ⎟ − δ ⎛ ⎞⎝ ⎠= − = = − <⎜ ⎟δ ⎝ ⎠δ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Şimdi de d2K/dL2 ’ye bakalım:

( )2 1

22 (1 )

( / ) (1 )(1 ) 0d K d dK dL K LdL dL L

+ρ ρ

+ρ

− δ + ρ= = >

δ

137137

İkame esnekliği, göreli faktör fiyatlarındaki yüzde değişimin,

sermaye ve işgücü ikamesinde yüzde olarak nasıl bir değişme

olabileceğini, bir başka ifadeyle veri faktör fiyatlarında K ve L

’nin birbirini ne ölçüde ikame ettiklerini gösterir. Bunu CES için

görelim:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

d K L d K LK L d w r

d w r K Lw r w r

σ = = Genel olarak ikame esnekliği

138138

Optimal girdi bileşimi sağlandığında, şu denge koşulunun

geçerli olacağından hareket edelim:

1(1 )L

K

Q w KQ r L

+ρ− δ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟δ ⎝ ⎠

Buradan optimal girdi oranını yazabiliriz:

111

* 1

*

(1 )K wL r

+ρ

+ρ− δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

139139

Her iki yanın önce logaritmasını, sonra da (w/r)’ye göre türevini

alırsak, ikame esnekliğini elde ederiz.

* * * * * *ln( ) ( ) ( ) 1ln( ) ( ) ( ) 1

d K L d K L K Ld w r d w r w r

σ = = =+ ρ

140140

Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, CES üretim fonksiyonunun

(ρÆ0 iken) özel bir biçimidir. Aşağıdaki işlemleri yaparak, bunu

görelim:

( )

1

1

0 0

(1 )

0lim lim (1 )0

Q A K L

Q A K L

−−ρ −ρ ρ

−−ρ −ρ ρρ→ ρ→

⎡ ⎤= δ + − δ⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤= δ + − δ =⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠

Belirsizliğini ortadan kaldırmak için, her iki yanın doğal

logaritmasını alıp, L’Hopital kuralını kullanalım.

141141ln (1 )

lnK LQ

A

−ρ −ρ⎡ ⎤δ + − δ⎣ ⎦= −ρ

( )0 0

ln (1 )

lim ln lim

d K LQ d

dAd

−ρ −ρ

ρ→ ρ→

⎛ ⎞⎡ ⎤− δ + − δ⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟ρ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

L’Hopital kuralıuygulandı.

( )1

0 0

11

0 0

ln (1 ) lnlim ln lim ln1

lim lim (1 )

Q K L K LA

Q A K L AK L

δ −δ

ρ→ ρ→

−−ρ −ρ δ −δρρ→ ρ→

δ + − δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤= δ + − δ =⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠

Documents

matematiksel iktisat ders notları (kısıtlamalı optimizasyon)