10.5 相似三角形的性质(1)

常州市同济中学 于娟

相似三角形的对应角相等、对应边成比例。

复习引入复习引入 ::（ 1 ）什么叫相似三角形？

（ 2 ）相似三角形有何性质？

A

B CA'

B' C'

∴∠A=∠A/ ∠B=∠ B/ ∠ C=∠C/

∵△ABC∽△A'B'C‘

（ k 为相似比）

/ / / / / /

AB BC CA

A B B C C A =

k

相似三角形除对应角相等 ,对应边成比例外 , 还有其它性质吗 ?

已知：△ ABC∽△A'B'C' ，相似比 k 为 2 ，A

B C

A'

B' C'

量一量

AB= BC= CA=

A/B/= B/C/= C/A/=

猜一猜 相似三角形周长的比与相似比之间有什么关系？

算一算

4cm 6cm 5cm

2cm 3cm 2.5cm

2

相等

/ / // / / / / /

ABC

A B C

C C C

C C C

∴ AB＝ k A'B'， BC＝ kB'C'， CA＝ kC'A'

已知：△ ABC∽△A/B/C/ ，相似比为 k ，

问 是否等于 K? 说明理由

A

B C

A'

B' C'

理由： ∵△ABC A∽△ /B/C/, 相似比为 k

kAC

CA

CB

BC

BA

AB

''''''∴

∴/ / /

/ / / / / /ABC

A B C

C C C

C C C

/ / / / / /

/ / / / / /

kA B kB C kC A

A B B C C A

k

/ / /

ABC

A B C

C

C

解：/ / /

ABC

A B C

CK

C

思考：思考： ΔABC∽ΔAΔABC∽ΔA//BB//CC// ，相似比为，相似比为 kk ，它们的，它们的面积比是多少？面积比是多少？

A′

B′ C′

A

CB

K2

D

D/

探究如图△ ABC∽ A′B′C′△ ，相似比为 k ，问 吗？说明理由

C

A

B D

A'

B' C'D'

如图，分别作出△ ABC 和△ A'B'C' 的高 AD 和 A'D' ．

∴ △ADC ∽△A/D/C/

又∵ △ ABC∽ △A′B′C′ ∴∠B=∠B’

理由：∴∠ADC =∠A/D/C/ =900

相似三角形对应高的比等于相似比

/ / /

2ABC

A B C

SK

S

解：

/ / / /

12

12

BC AD

B C A D

/ / / /

/ / / /

12

12

KB C KA D

B C A D

2K/ / /

ABC

A B C

S

S

/ / /

2ABC

A B C

SK

S

kCA

AC

DA

AD

''''

请完成下列表格：

任意两相似三角形

相似比 2 K ……

周长比 1.5 ……

面积比 9 3 ……

------ 考考你考考你 ------

你很棒！你很棒！

K2

K

1.5

2.25

3

3

4

2 3

3

探索—推广探索—推广猜想：相似多边形周长的比与相似比有怎样的关系？

如图五边形 ABCDE∽ 五边形 A/B/C/D/E/ ，相似比为 k,

说明

A

EC

B

D

A/

E/ C/

B/

D/

/ / / / /

ABCDE

A B C D E

CK

C五边形

五边形

探索—推广探索—推广

相似多边形面积的比与相似比有怎样的关系？

A

EC

B

D

A/

E/ C/

B/

D/

---例题解析

解：如图 设实际三角形地块△ A/B/C/

∵ △ABC∽ A△ /B/C/ ，且相似比

∴S A/B/C/△ =6×5002

=1500000(cm2)=150(m2)

答：这个三角形地块的实际周长为 60m, 面积为 150m2.

2

500

1

CBA

ABC

S

S

△

△

1 、在比例尺为 1:500 的地图上 , 测得一个三角形地块 ABC 的周长为 12cm,面积为 6cm2 , 求这个地块的实际周长和面积 .C

B

A

1

500k

∴' ' '

1

500ABC

A B C

C

C

' ' ' 12 500 6000 60A B CC cm m

---我能行---

2. 如图 ,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE 交于点 O, 则DE:BC= , 则△ DOE 与△ BOC 的周长之比是 ______, 面积比是 ______.

1. 两个相似五边形的面积比为 9:16, 其中较大的五边形的周长为 64cm, 则较小的五边形的周长 _____cm.

48

1:31:9

O

D

A

B C

E1

2

1:3

(1)△AMN 与△ ABC 的周长比是 ____;

---我能行---

1:4

A

B C

NM

1:23. 如图 : 在△ ABC 中 ,M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点 ,

(2)△AMN 与△ ABC 的面积比是 ____;(3)△AMN 与四边形 MNCB 的面积比是 _____;1:3

研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去。例：“圆心角相等的扇形叫做相似扇形，相似比为半径的比”；相似扇形性质：弧长比等于相似比、面积比等于相似比的平方…。请你协助他们探索这个问题。（提示：图 1 中∠ BAC 是圆心角，曲线 BC 的长度是弧 BC 的弧长） （ 1 ）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为 a 、弧长为 m ，另一个半径为 2a ，则它的弧长为 _________________ ； （ 2 ）如图 1 是一完全打开的纸扇，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120° ， AB 为 30cm ，现要做一个和它形状相同、面积是它的 的纸扇（如图 2 ），则新做纸扇（扇形）的圆心角是 ，半径 。

2m

4

1

1200

15m