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CLCULOS Y REPRESENTACIONES GRFICAS EN LOS MTODOS EXPERIMENTALES (EN PREPARACIN). ALBERTO ROJAS HERNNDEZ Y MA. TERESA RAMREZ SILVA UAM-IZTAPALAPA TRIMESTRE: 2000-P.

Anlisis grfico La elaboracin de tablas y grficas que representen la informacin experimental capturada como mensurandos es de fundamental importancia, para poder evaluar la calidad de los resultados obtenidos, evaluar tendencias de comportamiento y su aplicacin a la resolucin de problemas y a la determinacin indirecta de otras propiedades. En una primera etapa y por las caractersticas que presentan, las lneas rectas en un espacio bidimensional son las que se pretende encontrar en los experimentos, utilizando para ello cambios de variable en los casos en que se requiera y se pueda concretar procedimientos conocidos como de cambio de variable. En este apartado se presenta el anlisis grfico de diferentes leyes que se encuentran empricamente en forma frecuente en el laboratorio. Funcin lineal o ley lineal La relacin funcional ms simple entre dos mensurandos es la de una lnea recta. Sea entonces un mensurando independiente (x) que da lugar a otro mensurando dependiente (y) que se relacionan a travs de la funcin

y = mx + b (69) y como los mensurandos x e y tienen valor central e incertidumbre, la ecuacin (69) debe escribirse en la siguiente forma

y = (yc + y) = m(x c + x) + b = mx + b (70) m y b son los parmetros de la relacin funcional, que se conocen tradicionalmente como la pendiente y la ordenada al origen, respectivamente. Estos parmetros son constantes, o sea, independientes de los valores que toman los mensurandos x y y, aunque s pueden depender de otras propiedades o mensurandos que se mantienen constantes en el experimento. Dado que los mensurandos x e y tienen incertidumbres asociadas, estas incertidumbres deben ser representadas en las tablas y grficas que muestran la relacin existente entre ambos. La figura 2 muestra una representacin tpica para un experimento de mensurandos relacionados a travs de las ecuaciones (69) o (70). En la figura 2 es posible observar la representacin de los valores centrales y de las incertidumbres de cada par de observaciones de los mensurandos x e y. Los valores centrales de dichos mensurandos se encuentran justo en el centro de las cruces y las barras de error dan cuenta de las incertidumbres de cada mensurando, a lo largo de su eje respectivo. 1


0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12

x /u(x)

y /u

(y)

Figura 2. Representacin de la relacin funcional (lineal) existente entre dos mensurandos tales que y = y(x). Ntese como en cada eje se ha representado el mensurando que se est

graficando con sus unidades (denotadas como u(y) para el mensurando y, y como u(x) para el mensurando x).

Haciendo el anlisis de la figura 2 es posible decir que los mensurandos x e y se relacionan a travs de una funcin lineal. El problema ahora es asociar una recta a los puntos determinados experimentalmente. Es claro que se puede establecer un sinnmero de rectas que pasen a travs de las diferentes cruces. Se sugiere entonces el siguiente procedimiento para realizar la asignacin de una recta. Dicho procedimiento puede llamarase, procedimiento de construccin de un paralelogramo de incertidumbre. Construccin de un paralelogramo de incertidumbre a) Trazo de la recta central En primer lugar, hay que dibujar una recta (central) que trate de unir la mayora de los valores centrales de la figura 2. La figura 3 muestra el aspecto de la grfica despus de este primer paso. b) Determinacin de los parmetros de la recta central Con dos puntos de la recta central (de preferencia tomados lo ms alejados posibles para tener menos incertidumbre en la determinacin de la pendiente y la ordenada al origen) se determinan sus parmetros mediante las ecuaciones 2


pendiente central = mc = (yII - yI)/(xII - xI) (71)

y

ordenada al origen central = bc = yII -mcxII = yI -mcxI (72)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12

x /u(x)

y /u

(y)

(y , x )II II

(y , x )I I

Figura 3. Trazo de la recta central. Ntese que el trazo de esta recta trata de unir todos los valores centrales de los mensurandos x e y. En la recta central se han sealado los puntos que se utilizan para el clculo de la pendiente y la ordenada al origen de la recta central.

c) Trazo de las rectas superior e inferior del paralelogramo de incertidumbre El principal problema es que las incertidumbres de los puntos determinados experimentalmente se traducen en incertidumbres en los parmetros de la que se ha trazado como recta central. Para ello, es necesario ahora trazar dos rectas, paralelas a la central, que pasen por los puntos extremos (de todos los intervalos graficados como barras de error), ms alejados de la recta central. Como son rectas paralelas a la central, sus pendientes son iguales a mc. En la figura 4 se muestra el trazo de estas rectas, superior e inferior, con los puntos extremos tomados para tal efecto. Las ordenadas al origen del as rectas superior e inferior son entonces

ordenada al origen superior = bsup = ysup - mcxsup (73) 3


y

ordenada al origen inferior = binf = yinf - mcxinf (74)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12

x /u(x)

y /u

(y)

(y , x )

(y , x )

II II

I I

(y , x )sup sup

(y , x )inf inf

Figura 4. Trazo de las rectas superior e inferior. Tambin en la figura se han sealado los

puntos extremos. Estas rectas delimitan dos lados del paralelogramo de incertidumbre. d) Trazo de los lmites del paralelogramo de incertidumbre En este paso, se trazan dos rectas verticales para encontrar los puntos extremos del paralelogramo. Las ecuaciones de las rectas verticales son

vertical izquierda: (xi - xi) (75) y

vertical derecha: (xd + xd) (75) Las intersecciones de estas verticales con las rectas superior e inferior definen los dos puntos superiores

(supyI, supxI) , (supyII, supxII) (76) y los dos puntos inferiores

(infyI, infxI) , (infyII, infxII) (77) 4


El procedimiento descrito en este punto (d), se ilustra en la figura 5.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12

x /u(x)

y /u

(y)

( y , x )inf I inf I

( y , x )sup II sup II

( y , x )inf II inf II

( y , x )sup I sup I

Figura 5. Localizacin de los cuatro vrtices del paralelogramo de incertidumbre, por la

interseccin de las verticales derecha e izquierda con las rectas superior e inferior. e) Trazo de las diagonales del paralelogramo de incertidumbres En este punto se trazan dos diagonales, la que une los puntos

(supyII, supxII) , (infyI, infxI) (78) que se llama diagonal superior, y la que une los puntos

(supyI, supxI) , (infyII, infxII) (79) que se llama diagonal inferior. El trazo de estas diagonales se muestra en la figura 6. f) Clculo de las incertidumbres sobre la pendiente y sobre la ordenada al origen de la recta central, a partir de los parmetros del paralelogramo de incertidumbre. El objetivo final de la construccin del paralelogramo de incertidumbre, como se dijo anteriormente, es la determinacin de la propagacin de las incertidumbres de los pares de

5


valores determinados experimentalmente, sobre la pendiente y la ordenada al origen de la recta central.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12

x /u(x)

y /u

(y)

Figura 6. Aspecto final del paralelogramo de incertidumbre considerando la recta central,

las rectas superior e inferior y las diagonales superior e inferior. De las ecuaciones (78) y (79) puede demostrarse que las pendientes de las diagonales superior e inferior son

pendiente de la diagonal superior = dmsup = (supyII - infyI)/(supxII - infxI) (80) y

pendiente de la diagonal inferior = dminf = (supyI - infyII)/(supxI - infxII) (81) As, uno de los valores absolutos de las dos diferencias, entre las pendientes de las diagonales y la pendiente central, es mayor. La incertidumbre sobre la pendiente central ser entonces el mximo de estos dos valores

m mx{|mc - dmsup|, |mc - dminf|} (82) De manera que la pendiente de la relacin funcional puede expresarse como

m = mc m (83)

6


Anlogamente, la incertidumbre sobre la ordenada al origen central ser entonces el mximo de los valores absolutos de las diferencias entre las ordenadas al origen de las rectas superior e inferior (dadas por las ecuaciones (73) y (74)), de manera que

b mx{|bc - dbsup|, |bc - dbinf|} (84) (Nota importante: en la ecuacin 84 la ordenada al origen central se compara contra lar ordenadas al origen de las diagonales. Se deja como ejercicio la deduccin de las ecuaciones con las que es posible calcularlas.) La ordenada al origen de la relacin funcional puede expresarse como

b = bc b (85) Finalmente, otra forma de expresar la relacin funcional dada por la ecuacin (69) es

y = (mc m)x + (bc b) (86) Representaciones grficas de leyes de potencias, exponenciales y logartmicas. cambios de variable y de los espacios de representacin grfica. Leyes de Potencias Las leyes de potencias son relaciones funcionales del tipo

nkxy = (1) x e y son llamadas variables independiente y dependiente, respectivamente, en tanto que n y k son llamados parmetros porque caracterizan una funcin particular de toda la familia. Estos parmetros son independientes de ambas variables (x e y). Experimentalmente es frecuente tener el problema de determinar los parmetros cuando se miden independientemente x e y, por lo que adicionalmente queda el problema de asociar incertidumbre a los valores de n y k, medidos indirectamente. Cambio de variable de la funcin en un espacio de representacin con escalas lineales Como el experimentador trata normalmente de trabajar con representaciones y/o funciones lineales, es comn buscar procedimientos tendientes a este fin, llamados procedimientos de cambio de variable. As, si se propone la definicin de las variables:

lnxv;lnyu == (2) 7


puede observarse que, aplicando logaritmo natural a ambos lados de la ecuacin 1, se obtiene:

nvlnklnxn lnklnyu +=+== (3) As, al graficar u como funcin de v, debe entonces encontrarse una lnea recta con pendiente n y ordenada al origen lnk. Experimentalmente, hay que considerar la propagacin de incertidumbres para las nuevas variables. Considerando una teora lineal del error (identificando la incertidumbre absoluta en las nuevas variables definidas con la diferencial total de la funcin utilizada para ello) se obtiene que:

cc xxv;

yyu (4)

As, en el espacio de representacin u/v para la funcin definida en la ecuacin 1, que es el espacio de representacin comn para la ecuacin 3, hay que graficar cada punto experimental calculando las nuevas variables con sus incertidumbres (ecuaciones 2 y 4). Para obtener los valores centrales de los parmetros y sus incertidumbres, es posible aplicar el mtodo grfico del paralelogramo de incertidumbres, al igual que para cualquier funcin lineal. Cambio de variable de la funcin y del espacio de representacin con escala logartmica en las abscisas y en las ordenadas Otro procedimiento grfico de cambio de variable consiste en graficar las variables originales en un espacio de representacin de escalas logartmicas, sugerido por la ecuacin 3. En este espacio de representacin y/x con escalas logartmicas, se grafican directamente los valores experimentales de x e y, con sus incertidumbres. As, la tendencia que muestran los datos es aparentemente lineal, aunque en realidad la tendencia observada es la de una ley de potencias, en ese espacio de representacin de escalas logartmicas. Tambin es posible ayudarse de esa grfica para obtener los valores de los parmetros de la ley de potencias con sus incertidumbres. Si bien para el valor de k muchas veces es posible leerlo grficamente en la ordenada a la unidad (y = k cuando x = 1), para el clculo simple de n es necesario tomar los logaritmos de dos parejas de puntos (x1,y1) y (x2,y2) y utilizar la ecuacin de la recta mostrada en la ecuacin 3 (ya que su pendiente es igual a n). Para determinar las incertidumbres en k y n tambin puede generalizarse el mtodo del paralelogramo, dibujando una figura con apariencia de paralelogramo en el espacio de 8


representacin de escalas logartmicas, de acuerdo a algn convenio establecido previamente para tal efecto. En el caso del clculo de k, frecuentemente tambin es posible leer el intervalo directamente de la grfica, en las ordenadas a la unidad de las trayectorias superior e inferior que limitan el paralelogramo; pero para obtener el valor de n es necesario ayudarse del clculo de las pendientes de las diagonales del paralelogramo, ayudndose otra vez de la ecuacin 3. En cualquier papelera es posible comprar hojas con escalas logartmicas en ambas direcciones del papel, considerando un nmero adecuado de ciclos. Este tipo de papel es llamado logartmico o log-log. Leyes Exponenciales Las leyes exponenciales son relaciones funcionales del tipo

rxAey = (5) x e y son las variables dependiente e independiente, respectivamente, en tanto que r y A son los parmetros independientes de ambas variables. Se presenta otra vez el problema de determinar los parmetros cuando se miden independientemente x e y, y el de asociar incertidumbre a los valores de r y A, medidos indirectamente. Cambio de variable de la funcin en un espacio de representacin con escalas lineales Para linealizar la funcin exponencial es fcil ver que se puede definir la variable:

lnyu = (6) con lo que, aplicando logaritmo natural a ambos lados de la ecuacin 5, se obtiene:

rxlnAlnyu +== (7) As, al graficar u como funcin de x, debe entonces encontrarse una lnea recta con pendiente r y ordenada al origen lnA. La propagacin de incertidumbres para la nueva variable muestra que:

cyyu (8)

As, en el espacio de representacin u/x para la funcin definida en la ecuacin 5, que es el espacio de representacin comn para la ecuacin 7, hay que graficar cada punto 9


experimental calculando la nueva variable con su incertidumbre (ecuaciones 6 y 8). Para obtener los valores centrales de los parmetros y sus incertidumbres, es posible aplicar el mtodo grfico del paralelogramo de incertidumbres, al igual que para cualquier funcin lineal. Cambio de variable de la funcin y del espacio de representacin con escala lineal en las abscisas y escala logartmica en las ordenadas Otro procedimiento grfico de cambio de variable consiste en graficar las variables originales en un espacio de representacin con escala lineal en las abscisas y escala logartmica en las ordenadas, sugerido por la ecuacin 7. Este espacio de representacin es llamado semilogartmico. En este espacio de representacin y/x, se grafican directamente los valores experimentales de x e y, con sus incertidumbres. As, la tendencia que muestran los datos es aparentemente lineal, aunque en realidad la tendencia observada es la de una ley exponencial, en ese espacio de representacin semilogartmico. Tambin es posible ayudarse de esa grfica para obtener los valores de los parmetros de la ley exponencial con sus incertidumbres. Si bien para el valor de A muchas veces es posible leerlo grficamente en la ordenada al origen (y = A cuando x = 0), para el clculo simple de r es necesario tomar los logaritmos de las ordenadas para dos parejas de puntos (x1,y1) y (x2,y2) y utilizar la ecuacin de la recta mostrada en la ecuacin 7 (ya que su pendiente es igual a r). Para determinar las incertidumbres en A y r tambin puede generalizarse el mtodo del paralelogramo, dibujando una figura con apariencia de paralelogramo en el espacio de representacin semilogartmico, de acuerdo a algn convenio establecido previamente para tal efecto. En el caso del clculo de A, frecuentemente tambin es posible leer el intervalo directamente de la grfica, en las ordenadas al origen de las trayectorias superior e inferior que limitan el paralelogramo; pero para obtener el valor de r es necesario ayudarse del clculo de las pendientes de las diagonales, ayudndose otra vez de la ecuacin 7. En cualquier papelera es posible comprar hojas con una escala lineal (lado corto) y otra escala logartmica (lado largo) en el papel, considerando un nmero adecuado de ciclos. Este tipo de papel es llamado semilogartmico. Tambin es posible generalizar un procedimiento de cambio de variable similar a funciones logartmicas, del tipo:

lnx syy o += (9) Notas adicionales de uso para papel semilogartmico y logartmico

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En la figura 1 se muestran ejemplos de hojas de papel comercial semilogartmico y logartmico. En primer lugar es posible observar en la figura 1que la escala logartmica se reconoce porque sus divisiones van aproximndose para incrementos iguales en cada ciclo, hacia arriba o hacia la derecha, en forma logartmica; en tanto que en una escala lineal sus divisiones son equidistantes para incrementos iguales. Tambin es fcil apreciar que cada ciclo logartmico es idntico a los dems ciclos. Lo anterior se debe al principio de construccin del papel logartmico. En cada escala logartmica, para cada ciclo, se toma una distancia d (extremo final del ciclo), en la direccin de la escala logartmica, que se iguala con log10 = 1; a partir de un punto de referencia (extremo inicial del ciclo) que se iguala con log1 = 0 (log est representando el logaritmo base 10).

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03

(a) (b) Figura 1. Ejemplos de papel para representaciones de funciones no lineales que involucran leyes de potencias, leyes exponenciales o leyes logartmicas. a) Representacin de papel semilogartmico de 3 ciclos en su lado largo. b) Representacin de papel logartmico de 3x3 ciclos en ambos lados. Ahora bien, las ocho marcas superiores de las diez divisiones primarias de cada ciclo, donde i {2, 3, ..., 9}, se ubican a distancias xi tales que xi = d (logi). Para las subdivisiones secundarias se utiliza el mismo algoritmo, aunque no todas las divisiones primarias se subdividen en diez, por la dificultad tcnica que representa hacerlo para las divisiones primarias ms cercanas entre s. 11


Para graficar correctamente los valores en la escala logartmica es necesario ubicar correctamente cada uno de ellos, como se muestra en la figura 2.

1x10n9x10(n-1)

8x10(n-1)

7x10(n-1)

6x10(n-1)

5x10(n-1)

4x10(n-1)

3x10(n-1)

2x10(n-1)

9x10n

8x10n

7x10n

6x10n

5x10n

4x10n

3x10n

2x10n

1x10(n+1)

1x10(n-1)m-4j m-3j m-2j m-jm-5j m+j m+2j m+3j m+4jm m+5j

Figura 2. Asignacin general de divisiones en las escalas logartmica y lineal en un papel semilogartmico de 2 ciclos. n , donde representa el conjunto de los nmeros enteros; en tanto que m, j , donde representa el conjunto de los nmeros reales (aunque normalmente se acostumbra representar en las marcas de las divisiones de la escala lineal nmeros enteros).

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Tabla 1. Caractersticas relevantes de diferentes representaciones grficas de diversas funciones, que relacionan a las variables x e y, en papeles con escalas lineales y logartmicas.

Caractersticas Papel Milimtrico Semilogartmico Logartmico

Se pueden graficar valores negativos.

S, en ambas escalas.

No en la escala logartmica, s en la lineal.

No.

Origen del espacio de representacin grfica.

(0, 0)

(0, 1) o (1,0)

(1, 1)

Funciones que son lineales y se aprecian como tendencias

lineales en el espacio de representacin grfica.

y = yo + mx * Si se grafica y = f(x) se tiene

una funcin lineal que se observa como tendencia

lineal.

No.

No.

Funciones que corresponden a leyes de potencias.

y = kxn

u = logb y = a + n logb x ** u = a + nv a logb k

Si se grafica u = f(v) se tiene una funcin lineal que se observa como tendencia

lineal.

No.

Si se grafica y =f(x) se tiene una funcin no lineal que se

observa como tendencia lineal.

k es el valor de la variable y ledo como ordenada a la unidad. El clculo ms simple de n se realiza

utilizando el cambio de variable mostrado en la

columna 2.

Funciones que corresponden a leyes exponenciales.

y = Abrx

u = logb y = a + rx ** u = a + rx a logb A

Si se grafica u = f(x) se tiene una funcin lineal que se observa como tendencia

lineal.

Si se grafica y = f(x) se tiene una funcin no lineal

que se observa como tendencia lineal, usando la escala logartmica para la

variable y. A es el valor de y ledo

como ordenada al origen. El clculo ms simple de r

se realiza utilizando el cambio de variable

mostrado en la columna 2.

No.

Funciones que corresponden a leyes logartmicas. y = yo + s logb x **

y = yo + s logb x ** y = yo + sv

Si se grafica y = f(v) se tiene una funcin lineal que se observa como tendencia

lineal.

Si se grafica y = f(x) se tiene una funcin no lineal

que se observa como tendencia lineal, usando la escala logartmica para la

variable x. yo es el valor de y ledo

como ordenada a la unidad. El clculo ms simple de s

se realiza utilizando el cambio de variable

mostrado en la columna 2.

No.

* m representa la pendiente en tanto que yo representa la ordenada al origen. El parmetro yo tiene las unidades de y, en tanto que el parmetro m tiene unidades de acuerdo al cociente de las unidades de la variable y entre las de la variable x. ** b es la base de la funcin logaritmo que se est aplicando. Hay que mencionar que las variables u y v son adimensionales, as como los parmetros n, a y a. Los parmetros k, A y s tienen las unidades de la variable y. El parmetro r tiene unidades recprocas a las de la variable x. Para poder aplicar los logaritmos a las variables x e y es necesario multiplicar primero estas variables por un valor 1 con unidades recprocas a las de la variable correspondiente.

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De la figura 2 se puede intuir que se presentan varias consecuencias cuando se construyen diferentes representaciones grficas con papeles que usan escala logartmica. Algunas de las ms importantes se muestran en la tabla 1 y se comparan con las representaciones ms familiares en papel milimtrico (papel comercial con dos escalas lineales). Comentarios adicionales sobre los procedimientos grficos de cambio de variable Aunque el desarrollo de las pginas anteriores muestra que en algunos casos ambos procedimientos son equivalentes, en realidad es ms general el cambio de las variables. Por ejemplo, si una funcin tiene alguna de las siguientes formas:

nkxcy += (10)

rxAbcy += (11) ( )xrAbcy += (12) no es posible aplicar una transformacin logartmica que permita la funcin se vea como una recta, directamente. Es indispensable realizar al menos un cambio de variable previamente para que la grfica en espacios de representacin logartmico o semilogartmico funcione correctamente, para observar tendencias lineales. As, para la ecuacin 10 habra que definir primero la variable y (y c) y graficar y = f(x) en un papel logartmico, o graficar u ln y = f(v ln x); para observar la tendencia lineal entre lny y lnx. Para la ecuacin 11, tambin debera definirse primero la variable y (y c), para graficar y= f(x) en un papel semilogartmico (graficando los valores de y en la escala logartmica), o graficar u ln y = f(x), para observar la tendencia lineal entre lny y x. Para la ecuacin 12, adems de definirse en primer lugar la variable y (y c), debera definirse tambin la variable z (1/x), para graficar entonces y = f(z) en un papel semilogartmico (graficando los valores de y en la escala logartmica), o graficar u ln y = f[(z (1/x)], para observar la tendencia lineal entre lny y z. Pero es claro que en los tres casos anteriores tendra que conocerse el valor del parmetro c, sin el cual no sera posible el clculo de y. Funciones matemticas con ms sumandos dependientes de x, que en las ecuaciones 10 a 12, deben ser estudiadas con procedimientos experiementales ms complicados (imponiendo adems una serie de restricciones para los diferentes estudios) de acuerdo a un enfoque univariante.

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De todas formas, lo aconsejable es graficar primero y = f(x) para, de acuerdo a un anlisis matemtico preliminar de la funcin obtenida, buscar por prueba y error los cambios de variable que podran lograr que la funcin se vea como una recta, con la ayuda de estas herramientas (si no se conoce un posible modelo matemtico que relacione las variables x e y). Ejemplos basados en el problema 6.5 del libro de Baird (1988). Ejemplo 1. En un experimento en el que se determina la intensidad de corriente elctrica como funcin de la diferencia de potencial aplicado en un sistema, se obtuvieron los resultados mostrados en la tabla 2.

Tabla 2. Valores obtenidos a partir de mediciones directas de intensidad de

corriente elctica y voltaje aplicado en un sistema.

V /V * V /V i /A * i /A0.10 0.01 0.6 0.2 0.20 0.01 0.8 0.2 0.30 0.01 0.9 0.2 0.40 0.01 1.2 0.2 0.50 0.01 1.4 0.2 0.60 0.01 1.7 0.2 0.70 0.01 2.0 0.2 0.80 0.01 2.6 0.2 0.90 0.01 3.0 0.2

* son valores centrales de la medicin

Problema: Encontrar la relacin funcional existente entre i y V. La figura 3a muestra la grfica i = f(V), para los valores de la tabla 2. Dicha grfica muestra que los datos no siguen una tendencia lineal, sino que se relacionan a travs de una funcin cncava, montnamente creciente. Esto demuestra que el sistema no cumple la ley de Ohm (i = V/R = LV, donde R es la resitencia y L la conductancia), por lo que es necesario buscar otra relacin funcional, que se aprecia de tipo exponencial o de ley de potencias. As, al graficar los valores de la tabla 2 en un papel semilogartmico, graficando la variable i en la escala logartmica, se obtiene la figura 3b, que presenta una tendencia lineal. Esto demuestra que la funcin ln i = f(V) s es lineal. La figura 3c muestra el paralelogramo de incertidumbre en el espacio de representacin semilogartmico; en tanto que la figura 3d muestra el paralelogramo de incertidumbre en el espacio de representacin normal, al graficar u ln i = f(V). Los datos utilizados para construir esta ltima grfica se presentan en la tabla 3.

15


La figura 3c permite comprobar que la representacin lineal es para una ecuacin del tipo

hVoeii = (13)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

V /V

i /A

0.1

1.0

10.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00V /V

i /A

(a) (b)

0.1

1.0

10.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

V /V

i /A

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

V /V

u =

ln i

(c) (d)

Figura 3. Grficas de los datos de la tablas 2 y 3. a) En papel milimtrico (tabla2). b) En papel semilogartmico (tabla 2). c) Representacin del paralelogramo de incertidumbre en el espacio semilogartmico (tabla 2). d) Representacin del paralelogramo de incertidumbre en el espacio lineal (tabla 3). La figura 3d demuestra que la relacin lineal observada es del tipo

hViln iln u o += (14) Por supuesto, las relaciones 13 y 14 son totalmente equivalentes. La tabla 4 muestra los valores de los puntos necesarios, ledos de las grficas mostradas en las figuras 3c y 3d, para el clculo de los parmetros de las ecuaciones 13 y 14.

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Tabla 3. Valores obtenidos de mediciones directas de

intensidad de corriente elctica y voltaje aplicado en un sistema.

V /V V /V u ln i * u = (ln i) ** 0.10 0.01 -0.51 0.33 0.20 0.01 -0.22 0.25 0.30 0.01 -0.11 0.22 0.40 0.01 0.18 0.17 0.50 0.01 0.34 0.14 0.60 0.01 0.53 0.12 0.70 0.01 0.69 0.10 0.80 0.01 0.96 0.08 0.90 0.01 1.10 0.07

* calculados a partir de la tercera columna de la tabla 2 ** calculados a partir de la ecuacin u = (ln i) =|i/(ic)|

Tabla 4. Valores ledos de las figuras 3c y 3d para el clculo de los parmetros de las

ecuaciones 13 y 14.

Representacin semilogartmica (figura 3c)

Recta de la representacin lineal (figura 3d)

1Vc = 0.10 V 1ic = 0.61 A 1Vc = 0.10 V 1uc = -0.50 2Vc = 0.90 V 2ic = 3.05 A 2Vc = 0.90 V 2uc = 1.15

1Vsup = 0.09 V 1isup = 0.78 A 1Vsup = 0.09 V 1usup = -0.19 2Vsup = 0.91 V 2isup = 4.08 A 2Vsup = 0.91 V 2usup = 1.50 1Vinf = 0.09 V 1iinf = 0.39 A 1Vinf = 0.09 V 1uinf = -0.87 2Vinf = 0.91 V 2iinf = 2.04 A 2Vinf = 0.91 V 2uinf = 0.82

Por medio de los clculos tpicos del paralelogramo de incertidumbre para la representacin en el espacio semilogartmico i/V de la figura 3c, es posible obtener los valores que se muestran en la tabla 5.

Tabla 5. Resultados obtenidos del paralelogramo de incertidumbre de la representacin semilogartmica i = f(V). Se consideraron las diagonales para io.

h /V-1 2.01 0.85 io /A 0.50 0.21

El valor de io se obtiene de la ordenada al origen de la figura 3c a partir de la tendencia lineal central, io se calcula como el valor absoluto de la peor desviacin absoluta de las ordenadas al origen de las tendencias lineales paralelas o diagonales, con respecto a la central, a partir de la misma figura. El valor de h se obtiene de las pendientes de la tendencias lineales central, diagonal superior y diagonal inferior, considerando el valor

17


absoluto de la peor desviacin absoluta con respecto a la central, tambin de la figura 3c, como

21

21

VVlnilni

h = (de puntos (V, i) de la tendencia lineal correspondiente en la tabla 5) (15)

Por lo tanto, de la ecuacin 13 es posible escribir la relacin funcional entre i y V como ( ) ( )V0.852.01e0.220.49i = (16) cuando el voltaje (V) est dado en volts y la intensidad de corriente (i) est dada en micromaperes. Asimismo, por medio de los clculos tpicos del paralelogramo de incertidumbre para la representacin en el espacio lineal u/V de la figura 3d, es posible obtener los valores de la tabla 6

Tabla 6. Resultados obtenidos del paralelogramo de incertidumbre de la representacin lineal

u = f(V). Se consideraron las diagonales para uo.

h /V-1 2.06 0.79 ln io -0.71 0.42

El valor de uo = ln io se obtiene de la ordenada al origen de la grfica a partir de la tendencia lineal central, uo se calcula como el valor absoluto de la peor desviacin absoluta de las ordenadas al origen de las rectas paralelas o diagonales, con respecto a la central, a partir de la misma figura. El valor de h se obtiene de las pendientes de las rectas central, diagonal superior y diagonal inferior, considerando el valor absoluto de la peor desviacin absoluta con respecto a la central, tambin de la figura 3d, como

21

21

21

21

VVlnilni

VVuu

h =

= (de puntos (V, u) de la recta correspondiente en la tabla 6) (17) (Ntese que el valor de h se calcula exactamente igual en ambos mtodos grficos.) Por lo tanto, de la ecuacin 14 es posible escribir la relacin funcional entre u y V como ( ) ( )V0.792.060.420.71-iln u += (18) cuando el voltaje (V) est dado en volts y la intensidad de corriente (i) est dada en micromaperes.

18


Las tablas 5 y 6 muestran la gran compatibilidad entre los valores de h obtenidos por ambos mtodos grficos. Sin embargo, como los valores de io y ln io se obtienen directamente de la grfica correspondiente, faltara por demostrar que estos valores son compatibles. As, aplicando la funcin exponencial al valor de ln ioc mostrado en la tabla 5 se obtiene que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) A0.49162.0334A1eA1eA1eA1i 0.71lniuoc ococ ===== (19) Por otra parte, hay que recordar que el valor de la incertidumbre absoluta de u se calcula como

( )ciilniu == (20)

As, es posible calcular la incertidumbre absoluta sobre ioc, a partir de los datos de la tabla 6 y del valor calculado en la ecuacin 19 como ( ) ( )( ) A2065.042.0A4916.0lniii ooc === (21)

Por lo tanto, de los resultados de la tabla 6 y de las ecuaciones 19 y 21 es posible escribir el resultado final redondeado (a partir de la representacin lineal u/V, figura 3d) para io como ( )A0.210.49i o = (22)

Al comparar el resultado final de la ecuacin 22 con el segundo rengln de la tabla 5 se puede apreciar la compatibilidad existente tambin entre los valores calculados por ambos mtodos grficos. Por lo tanto, la ecuacin 18 y de acuerdo a los clculos mostrados en las ecuaciones 19 y 21, puede reescribirse como ( ) ( ) ( ) ( )V0.852.01V0.792.06 e0.220.49e0.210.49i = (ver ecuacin 16) (23)

cuando el voltaje (V) est dado en volts y la intensidad de corriente (i) est dada en micromaperes. Ejemplo 2. En un experimento en el que se determina indirectamente la velocidad de una reaccin como funcin de la concentracin milimolar de un reactivo (manteniendo constantes otras variables como temperatura y concentracin de otros reactivos), se obtuvieron los resultados mostrados en la tabla 7. As, al graficar los valores de la tabla 3 en un papel logartmico, se obtiene la figura 4b, que presenta una tendencia lineal. Esto demuestra que la funcin ln v = f(ln C) s es lineal. La figura 4c muestra el paralelogramo de incertidumbre en el espacio de representacin logartmico; en tanto que la figura 4d muestra el paralelogramo de incertidumbre en el espacio de representacin normal, al graficar u ln i = f(w ln C). Los datos utilizados para construir esta ltima grfica se presentan en la tabla 5.

19


Tabla 7. Valores obtenidos a partir de mediciones indirectas de velocidad de reaccin y concentracin milimolar de un reactivo.

C /mmol l-1* C /mmol l -1 v /mmol l -1 min-1* v /mmol l -1 min-12.0 0.2 3.0 0.5 4.0 0.2 16.9 3.0 6.0 0.2 44.2 7.2 8.0 0.2 82 10 10.0 0.2 161 15 12.0 0.2 224 20 14.0 0.2 346 24 16.0 0.2 465 28 18.0 0.2 618 30

* son valores centrales de la medicin La figura 4c permite comprobar que la representacin lineal es para una ecuacin del tipo

noCvv = (24)

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

600.0

700.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

C /mmol l -1

v /m

mol

l-1 m

in-1

1.0

10.0

100.0

1000.0

1.0 10.0 100.0C /mmol l -1

v /m

mol

l-1

min

-1

(a) (b)

0.1

1.0

10.0

100.0

1000.0

1.0 10.0 100.0

C /mmol l -1

v /m

ol l-

1 min

-1

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

ln C

ln v

(c) (d)

Figura 4. Grficas de los datos de las tablas 7 y 8. a) En papel milimtrico (tabla 7). b) En papel logartmico (tabla 7). c) Representacin del paralelogramo de incertidumbre en el espacio logartmico (tabla 7). d) Representacin del paralelogramo de incertidumbre en el espacio lineal (tabla 8). La figura 4d demuestra que la relacin lineal observada es del tipo

20


nwu Cln n ln vln vu oo +=+= (25) Por supuesto, las relaciones 24 y 25 son totalmente equivalentes. La tabla 9 muestra los valores de los puntos necesarios, ledos de las grficas mostradas en las figuras 4c y 4d, para el clculo de los parmetros de las ecuaciones 24 y 25.

Tabla 8. Valores obtenidos de mediciones indirectas de velocidad de reaccin y concentracin milimolar de un reactivo.

w ln C * w ** u ln v u 0.69 0.10 1.10 0.17 1.39 0.05 2.83 0.18 1.79 0.03 3.79 0.16 2.08 0.03 4.41 0.12 2.30 0.02 5.08 0.09 2.48 0.02 5.41 0.09 2.64 0.01 5.85 0.07 2.77 0.01 6.14 0.06 2.89 0.01 6.43 0.05

* calculados a partir de la primera columna de la tabla 7 ** calculados a partir de la ecuacin w = (ln C) =|i/(Cc)| calculados a partir de la tercera columna de la tabla 7 calculados a partir de la ecuacin u = (ln v) =|v/(vc)|

Tabla 9. Valores ledos de las figuras 4c y 4d para el clculo de los parmetros de las

ecuaciones 24 y 25.

Representacin logartmica (figura 4c)

Recta de la representacin lineal (figura 4d)

1Cc = 3 mmol l-1 1vc = 8 mmol l -1 min-1 1wc = 1.00 1uc = 1.85 2Cc = 20 mmol l-1 2vc = 800 mmol l -1 min-1 2wc = 3.00 2uc = 6.70

1Csup = 1.8 mmol l-1 1vsup = 3 mmol l -1 min-1 1wsup = 0.59 1usup = 6.70 2Csup = 18.2 mmol l-1 2vsup = 830 mmol l -1 min-1 2wsup = 2.90 2usup = 1.50

1Cinf = 1.8 mmol l-1 1vinf = 1.9 mmol l -1 min-1 1winf = 0.59 1uinf = 0.60 2Cinf = 18.2 mmol l-1 2vinf = 530 mmol l -1 min-1 2winf = 2.90 2uinf = 6.20 Por medio de los clculos tpicos del paralelogramo de incertidumbre para la representacin en el espacio logartmico v/C de la figura 4c, es posible obtener los valores que se muestran en la tabla 10.

21


Tabla 10. Resultados obtenidos del paralelogramo de

incertidumbre de la representacin logartmica v = f(C). Se consideraron las diagonales para vo.

n 2.43 0.19 vo /mmol l -1 min-1 0.56 0.26

El valor de vo se obtiene de la ordenada a la unidad de la figura 4c a partir de la tendencia lineal central; vo se calcula como el valor absoluto de la peor desviacin absoluta de las ordenadas al origen de las tendencias lineales paralelas o diagonales, con respecto a la central, a partir de la misma figura. El valor de n se obtiene de las pendientes de la tendencias lineales central, diagonal superior y diagonal inferior, considerando el valor absoluto de la peor desviacin absoluta con respecto a la central, tambin de la figura 4c, como

21

21

lnClnClnvlnv

n = (de puntos (C, v) de la tendencia lineal correspondiente en la tabla 9) (26)

Por lo tanto, de la ecuacin 24 es posible escribir la relacin funcional entre v y C como ( ) ( )19.043.2-1Cmin26.056.0i = (27) cuando la concentracin (C) est dada en mmol l-1 y la velocidad de reaccin (v) est dada en mmol l-1 min-1. Asimismo, por medio de los clculos tpicos del paralelogramo de incertidumbre para la representacin en el espacio lineal u/w de la figura 4d, es posible obtener los valores que se muestran en la tabla 11

Tabla 11. Resultados obtenidos del paralelogramo de incertidumbre de la representacin lineal

u = f(w). Se consideraron las diagonales para uo.

n 2.43 0.21 ln vo -0.57 0.38

El valor de uo = ln vo se obtiene de la ordenada al origen de la grfica a partir de la tendencia lineal central, uo se calcula como el valor absoluto de la peor desviacin absoluta de las ordenadas al origen de las rectas paralelas o diagonales, con respecto a la central, a partir de la misma figura. El valor de n se obtiene de las pendientes de las rectas central, diagonal superior y diagonal inferior, considerando el valor absoluto de la peor desviacin absoluta con respecto a la central, tambin de la figura 4d, como

22


21

21

21

21

lnClnClnvlnv

wwuu

n =

= (de puntos (w, u) de la recta correspondiente en la tabla 9) (28) (Ntese que el valor de h se calcula exactamente igual en ambos mtodos grficos.) Por lo tanto, de la ecuacin 28 es posible escribir la relacin funcional entre u y V como ( ) ( ) C0.21)ln (2.430.38)(-0.57w0.212.430.380.57-ln vu +=+= (29) cuando la concentracin (C) est dada en mmol l-1 y la velocidad de reaccin (v) est dada en mmol l-1 min-1. Las tablas 10 y 11 muestran la gran compatibilidad entre los valores de n obtenidos por ambos mtodos grficos. Sin embargo, como los valores de vo y ln vo se obtienen directamente de la grfica correspondiente, faltara por demostrar que estos valores son compatibles. As, aplicando la funcin exponencial al valor de ln voc mostrado en la tabla 5 se obtiene que ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) 11-11-0.571-1lnv1-1u1-1

oc

min0.5655mmol0.5655min1mmol

emin1mmolemin1mmolemin1mmolv ococ

======

lllll

(30)

Por otra parte, hay que recordar que el valor de la incertidumbre absoluta de u se calcula como

( )cv

vlnvu == (31) As, es posible calcular la incertidumbre absoluta sobre voc, a partir de los datos de la tabla 11 y del valor calculado en la ecuacin 30 como ( ) ( )( ) 1-11-1ooc minmmol21489.038.0minmmol5655.0lnvvv === ll (32) Por lo tanto, de los resultados de la tabla 11 y de las ecuaciones 30 y 32 es posible escribir el resultado final redondeado (a partir de la representacin lineal v/C, figura 4d) para vo como ( ) 1-1o minmmol0.210.57v = l (33) Al comparar el resultado final de la ecuacin 33 con el segundo rengln de la tabla 10 se puede apreciar la compatibilidad existente tambin entre los valores calculados por ambos

23


mtodos grficos. Por lo tanto, la ecuacin 29 y de acuerdo a los clculos mostrados en las ecuaciones 30 y 32, puede reescribirse como ( ) ( ) ( ) ( )0.192.430.212.43 C0.260.56C0.210.57v = (ver ecuacin 27) (34) cuando la concentracin (C) est dada en mmol l-1 y la velocidad de reaccin (v) est dada en mmol l-1 min-1.

24

Funcin lineal o ley linealConstruccin de un paralelogramo de incertidumbreLeyes de PotenciasCambio de variable de la funcin en un espacio de representaCambio de variable de la funcin y del espacio de representaLeyes ExponencialesCambio de variable de la funcin en un espacio de representaCambio de variable de la funcin y del espacio de representaNotas adicionales de uso para papel semilogartmico y logarComentarios adicionales sobre los procedimientos grficos deEjemplos basados en el problema 6.5 del libro de Baird (1988n

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