11-1 基本概念 11-2 再论阻抗和导纳 11-3 正弦稳态网络函数 11-4 正弦稳态的叠加 11-5 平均功率的叠加 11-6 RLC 电路的谐振

11-1 基本概念11-2 再论阻抗和导纳11-3 正弦稳态网络函数11-4 正弦稳态的叠加11-5 平均功率的叠加11-6 RLC电路的谐振

第九章正弦稳态电路的分析

知识点• 一、掌握网络函数和频率响应的概念• 会计算网络函数及绘出幅频、相频特性曲线

• 二、谐振、品质因数、通频带概念会计算。• 掌握低通、高通、带通电路。

• 三、熟练掌握简单 RLC 串联、并联谐振电路的分析计算方法。

四、多频电路的分析。

前两章相量分析法使用条件：线性时不变、渐近稳定；单一频率的正弦激励；求解稳定状态。多频正弦需逐个频率求解，再叠加求结果。

多个频率正弦激励分为两种情况：

4 1 1( ) sin( ) sin(3 ) sin(5 ) .....

3 5

Af t t t t

其二：电路的激励原本就是多个不同频率的正弦波。

§11-1 基本概念

其一电路的激励原本为非正弦周期波，如方波、锯齿波，可分解傅里叶级数后，可视为含有直流分量和一系列频率成整数倍的正弦分量、即谐波分量。

阻抗和导纳是频率的函数 I

U NI

UZ

例如电感和电阻串联电路

一、 1 、定义幅频特性：与频率的关系称为输入阻抗的幅频特性。

IY

U

jR LZ Z Z R L

2 2 2

( ) j

= arctan( )

= ( ) ( )Z

Z j R L

LR L

RZ j

§11-2 再论阻抗和导纳

Z

2 、相频特性：与频率的关系称为输入阻抗的相频特性。

( )Z

3 、我们把输入阻抗或导纳的幅频特性和相频特性（不论是解析还是曲线形式）都称为单口网络的频率响应二、输入阻抗可用实部和虚部表示：例： R 和 L 并联电路

2 2 2

2 2 2 2 2 2

j( )

j

=

R L

R L

Z Z LRZ j

Z Z R L

L R LRj

R L R L


( ) ( ) ( )Z j R jX

( )R 是实部 ( )X 是虚部( ) 0X 感性

( ) 0X 容性<

三、输入导纳也用实部和虚部表示


Y( ) G( ) B( )j j

G( ) 是实部称为电导分量

B( ) 是虚部称为电纳分量B( ) 0 感性

B( ) 0 >容性

( ) ( )( ) arctan ( ) arctan

( ) ( )Z Y

X B

R G

和

四、阻抗幅角和导纳角


( ) 0 ( ) 0X B >或

( ) ( )( ) arctan ( ) arctan

( ) ( )Z Y

X B

R G

和

四、阻抗幅角和导纳角

网络呈电感性时

( ) 0 ( ) 0X B 或网络呈电容性时

0z

0Y

90 ( ) 0

0 ( ) 90

0Z

0Y

0 ( ) 90

90 ( ) 0


例 11-1 P509

例 11-2 P510 绘幅频和相频曲线

一、网络函数的定义

1 对相量模型，在单一激励的情况下，网络函数定义为：

H(jw )=响应相量激励相量

§11-3 正弦稳态网络函数

2 、根据响应与激励所在位置不同，

可分为策动点函数和转移函数。例输入阻抗

和导纳是网络函数的一类 ------ 为（）

H(jw)=响应相量激励相量 =

R(jw )

E(jw )

H(jw )=电压

电压源

H(jw )=电流

电压源

H(jw )=电压

电流源

H(jw )=电流

电流源

阻抗电压比

导纳电流比

驱动点函数：激励和响应属于同一对端钮

转移函数：激励和响应不属于同一对端钮驱动点阻抗、驱动点导纳

转移阻抗、转移导纳、电压转移函数、电流转移函数


=R(s )

E(s)

H(j) 一般是 ω 的复值函数


|H(j)|—— 响应与激励的幅值比；

()—— 响应与激励的相位差

3 幅频特性与相频特性

( j ) | ( j ) | ( )H H

幅频特性——振幅比 |H(j)| 随 ω的

变化特性；

相频特性——相位 () 随 ω的变化特

性。可以用振幅比或相位作纵坐标，画出以频率为横坐标的曲线。这些曲线分别称为网络函数的幅频特性曲线和相频特性曲线。


1 、网络函数取决于网络的结构和参数，与输入无关。已知网络相量模型，计算网络函数的方法是外加电源法：在输入端加一个电压源或电流源，用正弦稳态分析的任一种方法（例节点法）求输出相量的表达式，然后将输出相量与输入相量相比，得相应的网络函数。

二、网络函数的计算方法


2 、频率响应也可以用实验方法确定：

这是在内部结构及元件参数不清楚，而输入、输出端钮可以触及的情况下，改变外施正弦激励的频率，测得在不同频率下的输出与输入的比值，输出与输入得相位差角，即可获得电路的频率响应曲线。

二、网络函数的计算方法


例 l 试求图 (a) 所示网络负载端开路时的策动点

阻抗和转移阻抗。 1 1/U I

解：相量模型如图 (b) 。用串并联公式得策动点阻抗

.2 2 2

1. 2 2

1

1j1 1 j31j j 22

j

R RCU R C RC

C C R CI RC

2 1/U I


为求转移阻抗，可外加电流源 .

2 .1

2 1

j1 1 j22

j

R I R CU R I

RCRC

求得：2

2

1

j

1 j2

U R C

I RC

在网络函数式中，频率ω是作为一个变量出现在函数式中的。

2 1/U I1I

则：


** 例 11-4 ：低通电路(1) 求电压转移函数

(2) 绘出幅频特性和相频特性曲线。

,12 UUAu R

+

-U 2

+

-U 1

)1( Cj

解：12 )1(

)1(U

CjR

CjU

RCjCjR

Cj

U

UAu

1

1

)1(

)1(

1

2


2)(1

1

RCAu

幅频特性：

0

1

0.707

uA

RC1

1,0 uA

21,1 uARC

0, uA


0 RC1

o90

o45

0,0 oRC 45,1 o90,

相频特性：

)( RCarctg


频率特性分析：从幅频特性看，这是一个低通网络；从相频特

性看，这是一个滞后网络。

=0 ~ = c 称为低通网络的通频带。

uA 幅频特性下降到其最大值 0.707 倍时所对应的频率称为截止频率（又称为半功率点频率），记为 c ，该网络的截止频率为 c=1/ RC


RC 串联电路，电阻电压对输入电压的转移电压比。

令上式为

RC 高通网络

22

1

1 4( j ) ( ) j

1 1 21j j

U

U R b b acH K

U aRC RC

C

1 1ω

RC τ

C

1( j ) | ( j ) | ( )

1j

H H

电路图？？


2

C

C

1| ( j ) |

1

( ) arctan

H

其中

幅频和相频特性曲线，如下图所示。

当ω=0时， ( j ) 0 ( )2

H

当 ω=ωC 时， 1( j ) ( )

42H

当 ω 时， ( j ) 1 ( ) 0H


)j( H

)(

1

0.707

0 ωC ω

0 ωC ω

4

2

截止频率： =C

阻带： 0<<C

通频带： >C

一阶超前网络


带通 : 转移电压比

11-5 超前滞后网络（ RC 带通、带阻和全通网络）

RCR

C

RCR

CR

CR

CR

CR

CR

U

UKU

j1j1

1

j1

j1

j1

j1

j1

j1

)j(1

2

R

Cj1

2U

1U

R

Cj1


)1

-RCj(3

1

RC

01

-RC RC

当

时即RC

1: 0

3

1)j( 0 UK

截止频率： C1=0.30 C2

=3.30

中心频率： 0通频带： C1<<C2

)j( UK

)(

13

0 ω0 ω

0 ω0 ω

2

2

带通

运用叠加定理计算多个正弦电源作用下时不变电路的稳态响应时，需注意有两种情况：其一，正弦电源频率相同；用同一相量模型求响应分量。

§11-4 正弦稳态叠加

其二，正弦电源频率不同；需分别建立相量模型求响应分量，然后运用叠加定理求得。

一，正弦电源频率相同。


( )

( )

k k k

k u

k T

U U U

U H j U s

U Z j I s


二正弦电源频率不同，分别建立相量模型求响应，然后运用叠加定理求得。

( ) ( ) ( )k k ku t u t u t 11-20


( ) ( ) ( ) ( )k k ku t u t u t 一

1

1

1

Re[ 2 ]

Re[ ( ) 2 ]

2 ( ) cos( )

kk

u

u h u

u U t

H j U s t

H j Us t

2

2

2

Re[ 2 ]

Re[ ( ) 2 ]

2 ( ) cos( )

kk

T

T Z i

u U t

Z j I s t

Z j Is t


（二）正弦电源频率不同，得到的波形。1 2

图 11-18

时的波形

1 2Tc mT nT

是以 Tc 为周期

非正弦波。

例如： r=1.2, 可得 Tc=5T1=6T2 ， uk(t) 的周期是周期的 5 倍或为周期的 6 倍。

n rm

ku

ku

例 11-7 同频率运用叠加定理。 P523

例 11-8 不同频率需建立不同相量模型。


例 11-9 所加激励为非正弦信号，先利用傅里叶级数展开，再分别建立不同的相量模型。

本节讨论多个电源作用于电路时功率的计算。

一、瞬时功率不满足叠加定理。

§11-5 平均功率的叠加

二、多个频率的正弦电流或电压产生的平均功率，若 m=n 时不能使用叠加定理。当 m≠n时可以利用叠加定理，即平均功率等于每个电流或电压单独作用时的平均功率的总和。

三、可以利用（ 11-29 ），（ 11-30 ）计算

非正弦波的有效值。

§11-5 平均功率的叠加2 2 2 2

0 1 2

0 1 2 n

...

= ....nP I R I R I R I R

P P P P

既：

2 2 2 20 1 2

2 2 2 20 1 2

... (11-29)

... (11-30)

n

n

I I I I I

U U U U U

既：

例 11-10 * 例 11-11

一、 RLC 串联谐振及谐振条件（一）在 R 、 L 、 C 串联电路中，在正弦激励下，当端口电压相量与电流相量同相时，称电路发生了串联谐振。

)(jj CL XXRXRZ

谐振条件为

)1

(jC

LR

R

XZ arctg

0]Im[ Z 0]arg[ Z

01

00

CL

LC1

0 LCf

π2

10

R Lj

Cj1

CULU

RUU

I

§11-6 RLC 电路的谐振

f0 完全由电路参数决定，反映了串联电路的一种固有

性质， f0 又称为电路的固有频率。

22 XRZ

( 二）、串联谐振的特征1 、谐振时的阻抗、 Q 值

阻抗的模

谐振时 X=0 RZ 阻抗的模有最小值。

LCf

π2

10

R Lj

Cj1

CULU

RUU

I


描述谐振电路的一个重要参数。

Q 值—品质因数

特性阻抗

无量纲

CL

00

1

CL

LLC

1

RQ

R

L0CR0

1

CL

R1

描述谐振电路的又一个重要参数。


RU

ZU

I

2 、谐振时的电流、电压电流

电压

当 U 一定时，谐振时阻抗的模为最小， I 最大。

RU

I

URU

RIRU R

UQR

ULILU L

jjj 00

UQR

U

CI

CUC

j1

j1

j00

IRU

CU

U

LU

0Z

0 CL UU

R Lj

Cj1

CULU

RUU

I


电感上电压与电容上电压大小相等，相位相反，相互完全抵消；电阻上电压等于电源电压。

cosUIP

又称为电压谐振3 、谐振时功率、能量有功功率

谐振时电感与电容之间进行着能量交换，与电源之间无能量交换。

IRU

CU

U

LU

0sin UIQ无功功率mm2

1IUUI


WL 、 WC

2

21

LiWL

设谐振时电感与电容中所储存的能量总和是不随时间变化的一个常量，正说明了电路与电源无能量交换。

2

21

CC CuW

tIi sinm

)90sin(m tUu CC

tLIWL 022

m sin2

1

tCUW CC 022

m cos2

1

m0

m

1I

CUC

mIC

L

tUC cosm

2m2

1CCU 2

m2

2

1UCQ

CL WWW )( 0

P

WQ

)( 00 Q

值


（三）、频率特性电路中电流、电压、阻抗（或导纳）的模和阻抗角（导纳角）等随频率变化的特性，称为频率特性，或称频率响应。

XRZ j

1 、阻抗的频率特性

R

XXR arctg22

R

XZ arctg

电流、电压随频率变化

22 XRZ 22 )1

(C

LR

幅频特性

的曲线，称为谐振曲线。


R

Xarctg

22 XRZ 22 )1

(C

LR

R

CL

1

arctg

相频特性

0

0

XC

XL

X

0

X

0

CX C

1

LX L

CL XXX

02

2

0 0

2

2

Z

0 +1

+j


2 、电流的谐振曲线

Z

UI

图中 R1<R200

I

R1

R2

3、

频率特性

通用曲线

U

U

U

U

U

U CLR ,,

0以为横坐标，以为纵坐标U

U

U

U

U

U CLR ,,


U

CLR

UR

U

U R 1

)1

( 22

通用曲线0以为横坐标，以为纵坐标

U

U R

2

20

000 )

1(

1

1

RC

L

2

0

0

201

1

RL

22 1

1

1

Q

UU R

0

1

1Q

2Q

3Q

1

0

321 QQQ


通用曲线

1 2

707.0

由曲线可以看出：电路对偏离谐振频率的输出有抑制能力。这种性能称为选择性。

通频带：

UU R

0

1

1Q

2Q

3Q

1

321 QQQ 2

2 11

1

Q

U

U R

选择性的好坏曲线的形状 Q 值的大小

这一点对应的两个707.0U

U R通用曲线上

频率点之间的宽度为通频带，规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。

★


通频带：

下边带上边带

11

22

Q 1

1

Q

QQ

2411 2

2

Q

Q2

411 2

1

Q1

12 0

12

0

12

fff

Qff

10

Q↑f↓ 通频带窄 Q ↓ f ↑ 通频带宽

2

2 11

1

Q

U

U R

1 2

707.0

UU R

0

1

1Q

2Q

3Q

1

321 QQQ


U

CLR

LU

U

U L 1

)1

( 22

220

0

)1

(C

LRR

LR

220 )

1(1

Q

Q

22 )1

(11

Q

Q

22

22 )

11(

1

Q

Q

U

CLRC

U

U

UC 1

)1

( 22

22

0

0

)1

(C

LRRC

R

22

0

)1

(1

Q

Q

22 )1

(1

Q

Q2222 )1(

Q

Q

3、

频率特性U

U

U

U

U

U CLR ,,


22

22 )

11(

1

Q

Q

U

U L

2222 )1(

Q

Q

U

UC

0

UL /U UC /U

1

Q

241

1Q

Q

UL /U

UC /U

1 21

0d

)d(

UUC

21 21

1Q

0d

)d(

UU L

122

2

2

2

QQ

< 1

> 1

出现峰值的条件为 Q >0.707

当 Q 很大时 , 两峰值向谐振频

率接近。当 Q<0.707 时 , UL/U 和 UC /U不

出现峰值。


例 : 某收音机的输入回路如图，电感线圈的 QL=

150 ， L=310H ，（ 1 ）若要收听频率为 540kHz 的电台节目，求 C=？（ 2 ）另一节目的频率为 600kHz ，1mV ， 540kHz 的节目，也是 1mV ，求电路调谐于 540

kHz 时这两个信号在回路中的电流。解： (1)LC1

0

LC 2

0

1

623 10310)105402(1

280 pF

RL

C

R

C

L


(2)

RL

Q 0

RU

I 0

由于电容器损耗小，电感线圈的 Q

值可认为是谐振电路的 Q 值。

QL

R 0 7

540kHz 时回路中的电流

1437

10 3

600kHz 时回路中的电流

22 )1

(C

LR

UI

5.436.220

10 3 可见此电路选择性很强

R

C

L


二、 GLC 并联电路1 、定义：当端口电压相量与电流相量同相时，称电路发生了并联谐振。

CL

GY

jj

1 谐振条件为

0]Im[ Y

LC

10

LCf

π2

10

电路的固有频率

G

LI

USI +

-

CI

Lj1

Cj

GII


)1

(j0

0 LCGY

1 ）谐振时的导纳、阻抗2 、 GLC 并联谐振的特征

G

RG

Z 1 导纳最小，而阻抗最大。

2 ）谐振时的电压、电流

G

IRIU S

S0 )(

S00

0

1j

j)( I

LGL

UIL

Sj IQ

S0

00 jj)( IG

CUCIC

Sj IQ

G

LI

USI +

-

CI

Lj1

Cj

GII

谐振时的电压最大，

LI 与大小相等，CI

方向相反，之和为零。

又称为电流谐振。


GI

SI

UCI

LI

品质因数 Q ：电流 IL 或 IC 与总电流 IS 之比值。

L

C

GG

C

LGI

I

I

IQ CL 11 0

0SS

G

LI

USI +

-

CI

Lj1

Cj

GII


3 ）能量0Q

电路与电源无能量交换，能量

交换只在电感与电容之间进行。

谐振时电路呈阻性

设 tUu sinm )90sin(m tIi LL

tLIW LL 022

m cos2

1 tCUWC 022

m sin2

1

m0

m

1U

LIL

mUL

C

tIL cosm

2m2

1LLI 2

Sm2

2

1ILQCL WWW )( 0

2S

2ILQ 常数

G

LI

USI +

-

CI

Lj1

Cj

GII


三、电感线圈与电容并联的电路 1 、定义：在电感线圈与电容的并联电路中，在正弦激励下，当端口电压相量与电流相量同相时，称电路发生了并联谐振。

CLR

Y

jj

1

谐振条件为

0]Im[ YL

CRLC

2

0 11

CLR

L

LR

R

j)(

j)( 2222

LCR

LCf

2

0 12

1

CL

R 时，电路才会发生谐振。

R 1I

USI

+

-

2I

LC


20

2 )( LRR

Y

1 ）谐振时的导纳、阻抗2 、谐振的特征

LCR

0

1R

CRL

R 0

谐振时导纳不是最小，则阻抗也不是最大。 IS一定时，

端电压也不是最大。

2 ）谐振时的相量图

R 1I

USI

+

-

2I

LC

1I

2ISI

U

方向相反，之和为零。的无功分量谐振时 1I 2I与大小相等，

1

C

LR 时，该电路的谐振特点与 GLC 电路接近。


例：一电感线圈 L=20mH ， R=100 ，电容 C= 200

pF ，求（ 1 ）串联谐振频率；（ 2 ）并联时的谐振频率，谐振时阻抗。

LCf

π2

10 解：

123 102001020π2

1

6.79 kHz（ 1

）

（ 2） L

CR

LCf

2

0 1π2

1 6.79 kHz

6

12

3

0 1010010200

1020CRL

R

LCπ2

101 4

4812

3

101010200

1020

C

L>>100


一、阻抗和导纳是频率的函数二、正弦网络函数频率响应、低通、高通等电路分析。三、正弦稳态电路的叠加不同频率的激励下需做不同的相量模型，然后利用叠加定理。平均功率在 m=n 时不能使用叠加定理。当 m≠n 时可以利用叠加定理四、串联谐振和并联谐振谐振的条件及谐振的特点。

第十一章小结

Documents

11-1 基本概念 11-2 再论阻抗和导纳 11-3 正弦稳态网络函数 11-4 正弦稳态的叠加 11-5 平均功率的叠加 11-6 RLC 电路的谐振