11. Ung dung dao ham tim dieu kien có nghiem

GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số

1

Chuyên Đề SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực . x D∈Các bước giải tổng quát: i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X. ii) Bước 2: . min f(x) g(m) max f(x≤ ≤ )Chú ý: + Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem f(x)X D=

(miền xác định của f(x)). + Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x). + Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trởlên thì ta phải dùng BBT. + Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t). II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 2x 2x m 2x+ − = − 1 (1) 1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt.

HƯỚNG DẪN GIẢI

2 2 2

1 1x x

2 2x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1.

⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪≥ ≥⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪+ − = − = − + −⎪ ⎪⎩ ⎩

1

(1)

Đặt , với 2y 3x 6x= − + −1

x2

≥ ta có:

Bảng biến thiên

x −∞ 12 1 +∞

y 2

54 −∞

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

tanggiap.vn

Cùng ôn thi đại học môn Tóan http://www.facebook.com/CungOnThiDaiHocMonToan

tanggiap.vn Khảo Sát Hàm Số

2

1) , 2) m ≤ 25

m < ∨ , 3) m 24

=5

m 24≤ < .

Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình 1 1

x x x2 4

+ + + + = m (2) có

nghiệm thực. +∞HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt 21 1t x 0 x t

4 4= + ≥ ⇔ = − , (2) trở thành:

2 2 21 1 1t t t m t t m

4 4 4− + + + = ⇔ + + = .

1y ' 2t 1 0 t2

= + = ⇔ = −

Bảng biến thiên :

+∞

Suy ra : 1

m4

≥

Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình 2

2

m16 x 4 0

16 x− − − =

−

(3) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢIĐặt 2t 16 x t (0; 4]= − ⇒ ∈ ,

(3) trở thành 2m

t 4 0 t 4tt

− − = ⇔ − = m

0

.

Lập BBT của hàm số y = t2 – 4t , ta có . 4 m− ≤ ≤

Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 x 2

m 2x 2 x 1− +

− ++ −

0= (4)

có nghiệm thực.

x

y’ 0 − + +−∞ 1/ 2− 0 +∞

y14



3


Đặt x 1

t t (0; ) \ {1}x 2−

= ⇒ ∈ +∞+ ,

(4) trở thành 2m

t 2 0 t 2t mt

− + = ⇔ + =

3

.

Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có . 0 m< ≠

Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình

4 2x 1 m x 1 2 x 1+ − − + − = 0 (5) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI

x 1Điều kiện: . ≥+ x = 1: (5) vô nghiệm.

+ x > 1: 4 4x 1 x 1

(5) m 2 0x 1 x 1+ −

⇔ − +− +

= .

Đặt 4 4x 1 2

t 1 tx 1 x 1+

= = + ⇒ ∈ +− −

(1; )∞ ,

(5) trở thành 2m

t 2 0 t 2tt

− + = ⇔ + = m .

Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có m > 3.

Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình 2x 2x 3 x− − = + m (6) 1) có nghiệm thực,

2) có 2 nghiệm phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI

2x 2x 3 x m.⇔ − − − = Ta có (6)

Đặt 2y x 2x 3= − − − x

3Với : x 1 x≤ − ∨ ≥

2

2

2

x 1y ' 1

x 2x 3x 1 x 2x 3

x 2x 3

−⇒ = −

− −− − − −

=− −

.



4


x −∞ –1 3 +∞ y’ – + y +∞ 1− 1 –3 Dựa vào bảng biến thiên: 1) 3 m 1 m , 2) không có m. − ≤ < − ∨ ≥ 1Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

x 1 1 x m+ + − = (7). HƯỚNG DẪN GIẢI

Xét hàm số

/

2

1 x 1 xf(x) 1 x 1 x, x [ 1; 1] f (x)

2 1 x

− − += + + − ∈ − ⇒ =

− .


f’(x) + 0 –

2− 2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: + m 2 m< ∨ > 2 : (7) vô nghiệm. + m = 2 : (7) có 1 nghiệm. + 2 m≤ < 2 : (7) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 8. Tìm điều kiện m để phương trình 2x 9 x x 9x+ − = − + + m (8) có nghiệm thực.


2 22 2

0 x 9x 9 x 0(8)

(9x x ) 2 9x x 9 m.9 2 9x x 9x x m

⎧ ⎧⎪ ≤ ≤⎪+ − ≥⎪⎪⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪− − + − + =+ − = − +⎪⎪⎪ ⎪⎩⎩

Đặt 2 x (9 x) 9

t 9x x 0 t , x [0;2 2

+ −= − ⇒ ≤ ≤ = ∀ ∈ 9]

m ta có (8) trở thành:− + . 2t 2t 9+ =

X −∞ 1− 1 0 +∞

2f(x)



5

Lập BBT của hàm số trên [0 ; 9/2] ta có 2y t 2t= − + + 99

m 14

− ≤ ≤ 0 .

Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình x 4 x 4 x x 4 m+ − + + − = (9) có nghiệm thực.

HƯỚNG DẪN GIẢIĐặt 2t x 4 0 x t 4.= − ≥ ⇒ = + Ta có (9) trở thành:

2 2 2t 4t 4 t 4 t m t 2t 6 m+ + + + + = ⇔ + + = .0Lập BBT của hàm số ta có . 2y t 2t 6, t= + + ≥ m 6≥

Bài 10. Tìm m để phương trình x 1 3 x (x 1)(3 x) m− + − − − − = (10) có nghiệm thực.

HƯỚNG DẪN GIẢIt x 1 3 x 0= − + − ≥ ⇒ Đặt 2t 2 2 x 1. 3 x 2 t 2.= + − − ≥ ⇒ ≥

Mặt khác 2t 2 2 x 1. 3 x 2 [(x 1) (3 x)] 4 2 t 2.= + − − ≤ + − + − = ⇒ ≤ ≤

Ta có (10) trở thành: 2

2t 2 1t m t t 1 m.

2 2−

− = ⇔ − + + =

Lập BBT của hàm số 21

y t t 1, t 2; 2

2⎡ ⎤= − + + ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ta có 1 m . 2≤ ≤

Chú ý: Nên lập BBT của t x 1 3= − + − x để tìm miền giá trị t.

Bài 11. Tìm m để phương trình 1 x 8 x (1 x)(8 x) m+ + − + + − =

có nghiệm thực. Đáp số: 9 6 2

3 m2

+≤ ≤ .

Bài 12. Tìm m để phương trình 44 4x 4x m x 4x m+ + + + + = 6 (12) có nghiệm thực.

HƯỚNG DẪN GIẢI4 4t x 4x m 0.= + + ≥ Ta có: Đặt

42 4

4

(12) t t 6 0 t 2 x 4x m 2

x 4x 16 m

⇔ + − = ⇔ = ⇔ + + =

⇔ − − + = .



6

16 9Lập BBT của hàm số trên ta có . 4y x 4x= − − + m 1≤

Bài 13. Chứng tỏ rằng phương trình 23x 1

2x 1 mx2x 1

−= − +

− (13)

luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m. HƯỚNG DẪN GIẢI

22

1 12x 1 0 x x2 2(13) 3x 1 3x 23x 2x2x 1 mx mmx2x 1 2x 12x 1

⎧ ⎧⎪ ⎪⎧ ⎪ ⎪− >⎪ > >⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− −−⎪ ⎪ ⎪− − =⎪ ⎪ ⎪ ==⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ − ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ −⎩ −

.

Xét hàm số /3x 2 1 3x 1

f(x) , x f (x)22x 1 (2x 1) 2x 1

− −= > ⇒ =

− − − .

Mặt khác x

3x 2lim→+∞ 2x 1

−= +∞

− , 1

x2

3x 2lim

+ 2x 1→

−= −∞

− .

Suy ra hàm số f(x) có tập giá trị là . Vậy (13) luôn có nghiệm thực với mọi m.

Bài 14. Tìm m để phương trình x 1

(x 3)(x 1) 4(x 3) mx 3+

− + + − =− (14)

có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI

Điều kiện x 1

0 x 1 x 3x 3+

≥ ⇔ ≤ − ∨ >−

.

+ Với : x 1≤ − (16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m⇔ − + − − + = .

Đặt t (x 3)(x 1) 0, x 1= − + ≥ ∀ ≤ − ,

(14) trở thành . 2t 4t− = m m 4⇒ ≥ −

+ Với : x 3> (14) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m m 0⇔ − + + − + = ⇒ ≥ . Vậy . Chú ý : bài này sẽ có 2 bảng biến thiên. m ≥ −4Bài 15 (ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:

( )2 2 4 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − − 2 (15) có nghiệm thực.

HƯỚNG DẪN GIẢI2 2t 1 x 1 x , 1 x 1= + − − − ≤ ≤ Đặt



7

( )2 2

2 2

x 1 x 1 xt ' 0 x 0

1 x . 1 x

+ + −⇒ = = ⇔ =

+ −

t( 1) 2, t(0) 0 t 0; 2 , x 1; 1 .⎡ ⎤ ⎡ ⎤± = = ⇒ ∈ ∀ ∈ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(15) trở thành 2

2 t tm(t 2) 2 t t m

t 2− + +

+ = − + ⇔ =+

2.

Xét hàm số 2 2

2

t t 2 t 4ty y ' 0, t

t 2 (t 2)− + + − −

0;⎡ 2 ⎤= ⇒ = ≤ ∀ ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦+ + .

Bảng biến thiên x −∞ 0 2 +∞

y’ 0 – y 1

2 1− 2 1 m 1.⇔ − ≤ ≤ Dựa vào bảng biến thiên, (15) có nghiệm thực

Bài 16. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm 2m x 2 x m+ = + (16).


( ) ( )2 2

2

xm x 2 1 x m do x 2 1 0, x

x 2 1⇔ + − = ⇔ = + − > ∀ ∈

+ −. (16)

Xét hàm số 2

xy =

x 2+ − 1

( )

22

2

22

xx 2 1

x 2y 'x 2 1

+ − −+⇒ =

+ −

( )2

22 2

2 x 20 x

x 2 x 2 1

− += =

+ + −2⇔ = ±

.

Giới hạn x x x

2

xlim y lim lim y 1.

2 1x 1

xx

→∞ →∞ →±∞= ⇒

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎟⎜⎝ ⎠

= ±

Bảng biến thiên Cùng ôn thi đại học môn Tóan

http://www.facebook.com/CungOnThiDaiHocMonToan


8

x −∞ 2− 2 +∞ y’ – 0 + 0 – y –1 2

2− 1

Dựa vào bảng biến thiên, ta có m 2 m< − ∨ > 2 : (16) vô nghiệm.

BÀI TẬP :

Bài 1 (ĐH Khối B – 2006) : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 2x mx 2 2x+ + = +1 2. (Đáp Số : ) m 9 /≥Bài 2 (ĐH Khối D – 2004) : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

x y 1

x x y y 1 3m

⎧ + =⎪⎨

+ = −⎪⎩. (Đáp Số : ) 0 m 1 /≤ ≤ 4

Bài 3 (ĐH Khối A – 2002) : Tìm m để hệ phương trình sau có í nhất một nghiệm

thuộc đoạn 3⎡1; 3 ⎤⎣ ⎦ : 2 2

3 3log x log x 1 2m 1 0+ + − − = 0 m 2≤ ≤. (Đáp Số : ) Bài 4 (CĐ KTĐN – 2007) : tìm m để phương trình sau có nghiệm 2x 2x 3 m− + − = 0 . (Đáp Số : m 2≥

(

) Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm

)x xm.4 m 1 .2 m 1 0− + + + = 3

3 2x 2x 4x 3m 2 0− − + − = 1

−

. (Đáp Số : ) m 1 /< Bài 6 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm x < 0 . (Đáp Số : ) m 14 / 8≥Bài 7 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm . (Đáp Số : 2 2cos x 6sinx 4m 2+ = 2 m 2≤− ≤ ) Bài 8 : Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm

( )( ) 2x 3 x 1 4x x 2m 1 0− − + − − + = . (Đáp Số : 1 ) m 17 / 8≤ ≤

Bài 9 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

( ) ( )x xx5 1 m 5 1 2+ + − = . (Đáp Số : 1m m

4= 0∨ ≤ )

Bài 10 (ĐH Khối B – 2007) : CMR phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt khi m dương : ( ) 2m x 2 x 2x 8− = + − Bài 11 (CĐ Tài Chính Hải Quan – 2007) : tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 x 1 m x 0+ − − = . (Đáp Số : ) m 2≤


Documents

11. Ung dung dao ham tim dieu kien có nghiem