11_Esempi Di Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Le Equazioni Cardinali Della Statica

7/25/2019 11_Esempi Di Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Le Equazioni Cardinali Della Statica

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2007 Universit degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 [email protected]

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 11Titolo: Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con le

Equazioni Cardinali della Statica

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 11 Esempi di determinazione delle reazioni vincolari

con le Equazioni Cardinali della Statica.

Nucleotematico

Lez. Contenuto

5 11Esempi i determinazione delle reazioni vincolari con leEquazioni Cardinali della Statica.

Sono risolti nel seguito alcuni esempi di determinazione delle reazionivincolari con le Equazioni Cardinali della Statica.

Sono opportune alcune precisazioni preliminari.

1. Negli esempi che seguono ed in generale, salvo precisazionecontraria, le grandezze sono espresse rispetto ad un sistema diriferimento (xOy) con lasse x parallelo al lato corto e lasse yparallelo al lato lungo del foglio. Le direzioni identificate dagli assi xed y vengono brevemente dette anche orizzontale e verticale,rispettivamente. Cos, ad esempio con la dizione equazione diequilibrio alla traslazione verticale si intende lequazione cardinaledella statica che impone luguaglianza a zero della somma dellecomponenti secondo lasse y delle forze applicate.

2. Negli esempi che seguono necessario evidenziare le reazioni

vincolari, cio indicarle nello schema di riferimento mediante ivettori che le rappresentano ed identificarle mediante simboli. Nelfare questa operazione il verso assunto per vettore cherappresenta la reazione incognita del tutto arbitrario; le equazionidi equilibrio devono poi essere scritte coerentemente con i versiarbitrari assunti. Alla fine del procedimento un valore positivo diuna incognita trovata indica che il verso arbitrariamente scelto effettivamente quello della reazione incognita; viceversa un valorenegativo indica che la reazione incognita ha verso opposto rispettoa quello arbitrariamente scelto.

3. Nella lezione precedente si visto che relativamente ad unastruttura staticamente determinata costituita da n elementi rigidi lereazioni dei vincoli interni ed esterni possono essere trovate comesoluzione di un sistema lineare avente 3n equazioni che sono le treEquazioni Cardinali della Statica relative agli n elementi rigidicostituenti la struttura. Lapplicazione di questo procedimento pucomportare la necessit di risolvere sistemi con un notevolenumero di equazioni, operazione che pu talvolta essere piuttostolaboriosa e foriera di banali errori di calcolo in quanto il controllodella correttezza dei risultati pu avvenire solo a soluzionecompletata attraverso il diagramma di corpo libero della struttura,

introdotto nel seguito. In molti casi possibile, invece del sistemadi equazioni descritto coinvolgente tutte le incognite, evidenziaresolo alcune di queste che possono essere determinate scrivendo
mailto:[email protected]:[email protected]


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opportune equazioni di equilibrio (disaccoppiamento delle

equazioni). In questo modo il problema diventa analiticamente piagevole, i risultati sono controllabili ad ogni passo ed eventualierrori possono essere identificati immediatamente tendo sottocontrollo il problema fisico. Naturalmente questo non semprepossibile; vale comunque la pena, prima di iniziare la soluzione diun problema coinvolgente molte incognite, di effettuare valutazionidi questo tipo per scegliere la strategia di soluzione piopportuna. Negli esempi che seguono sono spesso propostiprocedimenti di questo tipo, accanto a quello pi generale edautomatico.

4. Negli esempi che seguono talvolta descritta anche la soluzionegrafica del problema. Questo tipo di soluzione di grandeimportanza in quanto consente di ben comprendere il problemafisico ed eventualmente di controllare i risultati ottenuti per viaanalitica.

5. Nella lezione 5 si visto che le reazioni vincolari esercitate da unvincolo interno sui punti delle due aste da questo collegate sonouguali in modulo hanno la stessa retta di azione e verso opposto. ora opportuno specificare che questa affermazione valida ameno che non siano applicate forze esterne in corrispondenza delvincolo. In questo caso infatti la somma delle forze esercitate dalvincolo ai punti vincolati pari alla forza esterna applicata alvincolo. Questa evenienza si esprime talvolta affermando che laforza F applicata al vincolo si ripartisce tra le aste da questocollegate. tipico il caso di una forza applicata ad una cernierainterna che connette due aste (figura 11.1a); in questo caso si puimmaginare di isolare un sistema costituito dal vincolo e da duetratti molto piccoli delle aste collegate. Con riferimento alla figura11.1a le equazioni di equilibrio di questo sistema sono:

=+=+

y2y1y

x2x1x

FRR

FRR (11.1)

essendo Rx1 ed Ry1 le componenti della reazione vincolareesercitata dalla cerniera sullestremo dellasta 1, Rx2 ed Ry2 lecomponenti della reazione vincolare esercitata dalla cernierasullestremo dellasta 2 ed Fx ed Fy le componenti della forza F applicata al vincolo secondo gli assi x ed y. Le (11.1) mostranochiaramente quanto affermato.Ovviamente nel caso particolare in cui 0F = si ritrova con le(11.1)quanto gi visto nella lezione 5.Analoghe considerazioni valgono ovviamente nel caso in cui la

forza F una reazione vincolare esterna (figura 11.1b).


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Figura 11.1.

6. Generalizzando quanto sopra pu affermarsi che se un vincolo

interno connette pi elementi la somma delle reazioni vincolaritrasmesse agli elementi collegati deve eguagliare la forza esternaapplicata al vincolo. Con riferimento allo schema difigura 11.2a incui si hanno tre aste connessa da una cerniera deve cio aversi

=++=++

y3y2y1y

x3x2x1x

FRRR

FRRR (11.2)

essendo Rx3 ed Ry3 le componenti della reazione vincolareesercitata dalla cerniera sullestremo dellasta 3 secondo gli assi xed y. Anche in questo caso le stesse considerazioni valgono nel

caso in cui F una reazione vincolare. Nel caso particolare di0F = lequilibrio del sistema costituito dal vincolo e dai piccoli trattidelle aste collegate impone ovviamente (figura 11.2b)

=++=++

0RRR0RRR

3y2y1y

3x2x1x (11.3)

cio la somma delle reazioni esercitate dal vincolo sui punti delleaste da questo collegati nulla. Le equazioni di equilibrio(11.1) -(11.3),relative ad un sistema costituito da un vincolo e da piccolitratti delle aste da questo collegate sono dette equazioni di

equilibrio del nodo (si ricordi la definizione di nodo data nellalezione 1).

RRx

Ry

2

1

Ry2Rx2

Ry1Rx1 Rx1

Ry1

(b)

R

Rx

Ry

1

Fx

Fy

Ry2Rx2

Ry1Rx1

F

Fx

Fy

F

2

1

(a)

1Rx1

Ry1

2

Rx2Ry2

2

Rx2Ry2

x

y

Oz


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Figura 11.2.

Esempio 11.1

Relativamente alla struttura di figura 11.3 si determinino lereazioni dei vincoli esterni ed interni.

Figura 11.3.

immediato riconoscere che la struttura isostatica. Evidenziando le

reazioni vincolari incognite (figura 11.4) si possono scrivere leequazioni di equilibrio di ogni elemento rigido (si considera il polo Aper la valutazione dei momenti relativamente allelemento 1 ed il poloC per la valutazione dei momenti relativamente allelemento 2)

=

=+=

=+=++

=+

0L2

3FLx

0Fxx

0x

0Lx2Lx

0xxx

0xx

6

65

4

53

532

41

(e.1.1)

L L L/2L

F1 2A B C D

F

2

1

F

Fx

Fy

(a)3

Fx

Fy

Ry2Rx2

Ry1Rx1

Rx3

Ry3

3Rx3

Ry3

Rx1F

2

1

(b)3 Ry2

Rx2

Ry1

Rx3

Ry3

3Rx3

Ry3

x

y

Oz

2

Rx2Ry2

2

Rx2Ry2

1Rx1

Ry1

1Rx1

Ry1


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Figura 11.4.

Queste equazioni costituiscono un sistema lineare di 6 equazioni (3per ogni elemento costituente la struttura) nelle 6 incognite x1, x2,...,x6la cui soluzione :

0x1= 2

Fx2= Fx3 =

(e.1.2)0x4=

2

Fx5= F

2

3x6=

che corrisponde alla reazioni vincolari difigura 11.5.

Talvolta pu essere utile tracciare per la struttura il diagramma

di corpo libero, che si costruisce sostituendo ai vincoli le relativereazioni vincolari. Questo diagramma pu essere tracciato sia per isingoli elementi costituenti la struttura, rimuovendo sia i vincoli interniche quelli esterni (figura 11.6a), che per la struttura completa,rimuovendo solo i vincoli esterni (figura 11.6b).

Figura 11.5.

Il diagramma di corpo libero consente una immediata visualizzazionedelle condizioni di equilibrio del sistema ed utile per un rapidocontrollo dei risultati ottenuti. Inoltre, come si vedr nelle lezionisuccessive, un utile riferimento per tracciare i diagrammi dellesollecitazioni.

L L L/2L

1A B C

2

C

DF

F/2

F/2

F/2 F

3F/2

L L L/2L

1A B C

F2

C

D

x1

x2 x3

x4

x5

x5

x4

x6


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Figura 11.6.

Il procedimento adottato del tutto generale e nel caso di struttureisostatiche conduce sempre alla determinazione delle reazionivincolari. Come anticipato al precedente punto 3, in molti casi possibile identificare una strategia di soluzione che eviti la scritturasimultanea di tutte le equazioni di equilibrio necessarie. Ad esempionel presente caso, per lequilibrio alla traslazione orizzontaledellelemento 2, si deduce immediatamente che la reazione x4 nulla;le altre reazioni esercitate sullelemento 2 si determinano conriferimento allo schema di figura 11.7 mediante le equazioni diequilibrio alla rotazione ed alla traslazione verticale

0Fxx2

FLLx

56

5

=

= da cui

2

Fx5= F

2

3x6= (e.1.3)

Figura 11.7.

Lequilibrio dellelemento 1 pu essere ora imposto considerando irisultati gi ottenuti, quindi trattando la reazione interna x5 appenadeterminata come una forza esterna applicata al punto C(rappresentata in colore arancio in figura 11.8)e tenendo conto che,essendo x4 nulla, deve essere nulla anche x1 per lequilibrio allatraslazione orizzontale; le equazioni di equilibrio alla rotazione ed allatraslazione verticale dellelemento 1 sono

02F

xx2

FLLx

32

2

=++

=

da cuiFx2

Fx

3

2

=

= (e.1.4)

L/2L

F2

C

Dx5

x6

L L L/2L

1A B C

2

C

DFF/2F/2

F

3F/2

F/2

A C DF

F/2F

3F/2

1 B 2

(a)

(b)


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Figura 11.8.

Esempio 11.2


Figura 11.9.

immediato riconoscere che la struttura isostatica.Sostituendo al carico distribuito le sue risultanti applicate agli elementi2 e 3 ed evidenziando le reazioni vincolari incognite (figura 11.10)siriconosce immediatamente che la reazione x3deve essere nulla perlequilibrio alla traslazione orizzontale dellelemento 1; ovviamente,essendo nulla x3devono essere nulle x5ed x8.

Figura 11.10.

Lequilibrio alla rotazione rispetto al polo A dellelemento 1 consente dideterminare x2

2

LqL

3

Lx2 = da cui qL2

3x2 = (e.2.1)

lequilibrio alla traslazione verticale dellelemento 1 consente dideterminare x1

A

B

B C

D

D

E

1

2

3

qL

2qL/3

qL/3

x1

x2 x3

x3x2

x4

x5

x6

x5

x6

x7

x8x9

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D1 2 3

qLq

E

L L

1A B C

x2 x3

F/2


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qLxx 21 =+ da cui qL2

5x1= (e.2.2)

Sostituendo alle incognite questi risultati (le reazioni gi trovate sonorappresentate in colore arancio) si ha lo schema difigura 11.11.

Figura 11.11.

Le equazioni di equilibrio alla rotazione rispetto al polo D ed allatraslazione verticale dellelemento 2 consentono la determinazione dix4ed x6

0qL3

2xxqL

2

33

LqL

3

2L

3

2xL

3

4qL

2

3

64

4

=++

=+

da cuiqL

6

11x

qL

3

8x

6

4

=

=

(e.2.3)

Infine (figura 11.12)pu affermarsi che per lequilibrio alla traslazioneverticale e per lequilibrio alla rotazione dellelemento 3 deve aversi

0x3

Lx

6

L

3

qL

qL6

13

3

qLqL

6

11x

97

7

=++

=+=

da cui2

9

7

qL3

2x

qL6

13x

=

=

(e.2.4)

Figura 11.12.

A

B

B C

D

D

E

1

2

3

qL

2qL/3

qL/3

5qL/2

x7

x9

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

3qL/2

3qL/2

8qL/3

11qL/6

11qL/6

A

B

B C

D

D

E

1

2

3

qL

2qL/3

qL/3

5qL/2

x4

x6

x6

x7

x9

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

3qL/2

3qL/2


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I diagrammi di corpo libero sono tracciati infigura 11.13.

Figura 11.13.

Il secondo schema difigura 11.13,relativo allintera struttura soggettaai carichi ed alle reazioni esterne, rende evidente che le reazioni deivincoli esterni costituiscono con i carichi un sistema di forze

equilibrato.Naturalmente le stesse reazioni vincolari avrebbero potuto esseredeterminate sulla base dello schema di figura 11.10 scrivendo unsistema lineare di 9 equazioni nelle 9 reazioni vincolari incognite.

A

B

B C

D

D

E1

2

3

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D E

1 2 3

qL

2qL/3

qL/3

5qL/2

3qL/2

3qL/2

8qL/311qL/6

11qL/6

13qL/6

2qL2/3

qL2qL/3

qL/3

5qL/2 8qL/3 13qL/6

2qL2/3


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LEZIONE 11 Sessione di studio 1

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con leEquazioni Cardinali della Statica.

Si propongono nel seguito tre esempi. Si consiglia al lettore dirisolverli autonomamente e di confrontare successivamente i risultatitrovati con la soluzione descritta nella successiva sessione di studio.Relativamente alla soluzione grafica si consiglia lutilizzo di unprogramma di CAD.

Esempio 11.3

Relativamente alla struttura di figura 11.14 si determinino lereazioni dei vincoli esterni.

Figura 11.14.

Esempio 11.4


Figura 11.15.

L/2 L/2L

F

L/2

L/2

A

B

C

1 2

L/2 L/2 L

L

L

L

F

A B


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Esempio 11.5


Figura 11.16.

2LL

L

A

B

C

1

2

q


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Sono commentate nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nellaprecedente sessione.

Soluzione dell esempio 11.3

La struttura di figura 11.14 isostatica. Le reazioni vincolariincognite sono evidenziate infigura 11.17.

Figura 11.17.

Queste reazioni si determinano con le equazioni di equilibrio

=+=+

=+

0LF3yL2

0yy0Fx

A

BA

B

da cui

=

=

=

F2

3y

F2

3y

Fx

B

A

B

(e.3.1)

in cui i momenti sono valutati rispetto al polo B. Si ottengono lereazioni di figura 11.18a ed il diagramma di corpo libero di figura11.18b.

Il problema avrebbe potuto agevolmente essere risolto per viagrafica ricordando che la retta di azione della reazione AR del carrello

che vincola punto A deve essere la retta r verticale per A; detto K ilpunto intersezione tra r e la retta di azione di F , la retta di azione sdella reazione BR della cerniera che vincola il punto B deve passare

L/2 L/2 L

L

L

L

A B

yA yB

xB

F


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per B e, per equilibrare la risultante tra AR ed F , per K. In altre parole,AR , BR ed F possono costituite un sistema di forze equilibrato solo se

le loro rette di azione hanno un punto in comune.

Figura 11.18.

I moduli ed i versi delle reazioni AR ed BR si determinano poicostruendo il poligono delle forze (figura 11.19).

Figura 11.19.

Soluzione dell esempio 11.4La struttura di figura 11.15 isostatica. Le reazioni vincolari

incognite sono evidenziate infigura 11.20.

A B

F F

r

s

r

s

F

//r //s

A B

RA RB

F

RA RB

K K

L/2 L/2 L

L

L

L

F

L/2 L/2 L

L

L

L

AB A B

(a) (b)

F

F

3F/23F/2

F

3F/23F/2


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Figura 11.20.

Si riconosce come la reazione x5, essendo lunica reazionevincolare verticale applicata allelemento 2 debba avere modulo pariad F ed essere diretta verso lalto (equilibrio alla traslazione verticale).Inoltre le reazioni x4 ed x6devono da sole soddisfare lequilibrio allatraslazione orizzontale, non essendo applicate allelemento 2 altreforze orizzontali e quindi devono avere uguale modulo e versoopposto. Pertanto alla reazione x5pu sostituirsi una forza di moduloF diretta verso lalto ed alla reazione x6pu sostituirsi la reazione x4con verso opposto (figura 11.21a). Devono quindi essere ancoradeterminate solo le incognite rappresentate in blu in figura 11.21amentre quelle gi determinate sono rappresentate in color arancio e

possono venire trattate come forze note.

Figura 11.21.

Si osserva ora che le due forze di modulo F applicate allelemento 2 difigura 11.21a costituiscono una coppia di verso orario momento dimodulo FL/2; per soddisfare lequilibrio alla rotazione le due forze dimodulo x4devono costituire una coppia di verso antiorario e momentodi modulo FL/2, pertanto il modulo della reazione x4deve essere pariad F; questo ulteriore risultato rappresentato in figura 11.21b nellaquale x4 sostituita con F. infine immediato determinare le reazionidellincastro che vincola il punto A

==

=

FL2x Fx

Fx

3

2

1

(e.4.1)

A

B

1

x1

x2x3

x4F

F

C

2B

x4F

x4

(a)

A

B

1

x1

x2x3

FF

F

C

2B

FF

F

(b)

L/2 L/2

L

L/2

L/2

A

B

1

x1

x2x3

x4x5

F

C

2B

x4x5

x6

L/2 L/2


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Si hanno cos i diagrammi di corpo libero difigura 11.22.

Figura 11.22.

Anche in questo caso le reazioni vincolari avrebbero potutovantaggiosamente determinarsi graficamente. La retta di azione dellareazione CR del carrello che vincola il punto C la retta r, orizzontaleper C; detto K il punto intersezione tra r e la retta di azione di F , laretta di azione s della reazione BR della cerniera interna deve passareper B e, per equilibrare la risultante tra CR ed F , per K. I moduli ed iversi delle reazioni BR ed CR si determinano poi costruendo ilpoligono delle forze (figura 11.23).

Figura 11.23.

La retta di azione della reazione dellincastro A ancora s e lareazione AR dellincastro la stessa BR esercitata sullelemento 2.Ricordando infine i criteri di equivalenza tra sistemi di forze, si osservache questa forza equivalente ad un sistema di forze costituito da AR pensata applicata al punto A e da una coppia di momento M pari alladistanza tra la retta s ed il punto A (figura 11.23).

Soluzione dell esempio 11.5

La struttura di figura 11.16 isostatica. Sostituito il caricodistribuito con la sua risultante si evidenziano le reazioni vincolari

esterne tenendo conto del fatto che, per lequilibrio alla traslazioneorizzontale dellintera struttura, le componenti orizzontali delle reazioni

F

A

B

C

1 2

L/2 L/2L

L/2

L/2

r

s

K

//s//r F

F

RC

RB

F

A

B

C

1 2

r

s

K

BRB

RB

RA= RB

d

RC

RBd

F

F

F

F

F

F

F

F

2FLA

B

C

1 2B

F

F

F

F

2FLA

B

C

1 2

L/2 L/2L

L/2

L/2


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delle cerniere A e B sono uguali in modulo ed opposte in verso (figura

11.24).

Figura 11.24.

In questo modo sono state rimosse dal problema una incognita(componente xC) ed una equazione (equilibrio alla traslazioneorizzontale). Le equazioni di equilibrio dellintero sistema costituitodagli elementi 1 e 2 sono:

=

=+

2

LqLLy3

qLyy

C

CA

da cui

=

=

6

qLy

qL6

5y

C

A

(e.5.1)

queste equazioni non consentono la determinazione della reazione xA,per la determinazione della quale necessaria una equazione diequilibrio relativa ad uno dei due elementi da cui la struttura formata.Ad esempio, lequazione di equilibrio alla rotazione dellelemento 2rispetto al polo B fornisce subito (figura 11.25):

L26

qLLxA = da cui

3

qLxA = (e.5.2)

avendo tenuto conto del valore di yCgi determinato.

Figura 11.25.

qL

A

B

1

xA

5qL/6

yB

xB

C

2

xC= xA

yB

xB B

qL/6

2L

L

L

(b)

2LL

L

qL

A

B

C

1

2

xA xC= xA

yA yC


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Mediante le equazioni di equilibrio alla traslazione di uno dei due

elementi poi immediato determinare

3

qLxB =

6

qLyB= (e.5.3)

e quindi tracciare i diagrammi di corpo rigido difigura 11.26.

Figura 11.26.

Anche in questo caso le reazioni vincolari avrebbero potuto

vantaggiosamente determinarsi graficamente. La retta di azione dellareazione CR della cerniera che vincola il punto C deve passare per ilpunto C stesso; la retta di azione della reazione BR della cernierainterna deve passare per B; siccome lelemento 2 non soggetto aforze queste reazioni devono costituire una coppia di braccio nullo equindi avere la stessa retta di azione. Questa, dovendo passare per Be per C, non pu che essere la retta r contenente il segmento BC(figura 11.27). Lelemento 1 allora soggetto alla reazione dellacerniera interna B avente retta di azione r ed alla risultante qL delcarico; la reazione della cerniera nel punto A deve equilibrare larisultante tra la reazione della cerniera in B e la forza qL e quindi la

sua retta di azione deve necessariamente passare A e per il punto K,intersezione tra r e la retta di azione della risultante del carico.

Figura 11.27.

B

C

2

r

qL

A

B

1 rs

qL

A

B

1

5qL/6

C

2

qL/3

qL/6

B

qL/6

qL/3

qL/6

qL/3

qL/3

qL

A

B

1

5qL/6

C

2

qL/3

qL/6

qL/3

2LL

L


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Al solito i moduli e i versi delle reazioni vincolari si determinano

costruendo il poligono delle forze (figura 11.28).

Figura 11.28.

//s

//r

qL

qLRA

RC

2LL

L

K

qL

A

B

C

1

2

r

s

RA

RC

K

qL

A

B

1s

RA

RB

C

r

2

BRB

RC


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2007 Uni e sit degli st di e Camp s Via Isimba di 10 22060 No ed ate (CO) C F 08549051004 Pagina 19/19






Si propongono nel seguito due esempi. Si consiglia al lettore dirisolverli autonomamente e di confrontare successivamente i risultatitrovati con la soluzione descritta nella prossima lezione.Relativamente alla soluzione grafica si consiglia lutilizzo di unprogramma di CAD.

Esempio 11.6


Figura 11.29.

Esempio 11.7


Figura 11.30.

1

2

F

A

B

C

D

3

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3

2L/3

L/3

E

/4

1

2

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

F

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11_Esempi Di Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Le Equazioni Cardinali Della Statica