21
1.2. Kinematika hmotnho bodu Po matematick pprav u meme zat s prvn kapitolou, kinematikou. Tato st fyziky se zabv popisem pohybu tles, ani by se ptala pro k pohybu dochz. Jak je ve fyzice astm zvykem, budeme studovat ne pohyb konkrtnho objektu, tlesa, ale budeme sledovat pohyb hmotnho bodu. Situaci tm zjednoduujeme, nahrazujeme reln tleso modelem - hmotnm bodem.
1.2.1. Hmotn bod, mechanick pohyb
1. Umt vysvtlit pojem hmotnho bodu.
2. Uvst konkrtn pklady, kdy tleso lze nahradit hmotnm bodem.
3. Znt definici vztan soustavy, umt ji zvolit v konkrtnm ppad.
Hmotn bod je mylen bodov objekt, kterm nahrazujeme skuten tleso. Hmotn bod m stejnou hmotnost jako tleso a pedstavujeme si ho umstn do jeho tit.
Toto zjednoduen lze pout, jsou-li rozmry tlesa zanedbateln vi vzdlenostem po kterch se pohybuje. Jedouc auto vzhledem ke
kilometrovm vzdlenostem, letc kmen, nebo dt na etzkovm kolotoi lze piblin povaovat za hmotn body.
Pklady na hmotn bod v pedchozm odstavci vdy ukazovaly tleso v pohybu. Zastavme auto. Jeho poloha se nemn vi okol. kme, e objekt je v klidu. Ale auto se pesto pohybuje spolu se Zem ot se s n, pohybuje se s n vi Slunci atp. Klid tles je vdy relativn, absolutn klid neexistuje. Oznam-li tleso za klidn, musm vdy uvst, vzhledem k emu je v klidu.
Stejn problm je i s pohybem. Auto jede po silnici devadestikilometrovou rychlost. To je rychlost vi silnici. Ale sledujeme-li jeho rychlost napklad vi Slunci, musme jet pidat rychlost pohybu Zem atd. Z tto vahy opt vyplv zvr, e pohyb tles je tak vdy relativn.
Vidme, e popis klidu i pohybu vdy zvis na tom, k jakm tlesm jej vztahujeme. Volme tedy soustavu tles, ke kterm vztahujeme pohyb nebo klid sledovanho tlesa - volme tzv. vztanou soustavu.
Nejastji vztahujeme pohyb k povrchu Zem. Ale nemus tomu tak bt vdy. Napklad jdeme-li ulikou v jedoucm vlaku, pak me bt vztanou soustavou vagon, nebo povrch Zem.
TO 1.2.-1 Kter z uvedench tles meme povaovat za hmotn bod? M vystelen na branku, m v rukou branke, bc zvodnk pi dlkovm bhu, rotujc kulika na stole, uml druice Zem.
TO 1.2.-2 Co znamen, e klid a pohyb jsou relativn?
TO 1.2.-3 Sedte v jedoucm aut. Jste v klidu nebo v pohybu? Uvaujte dv rzn vztan soustavy.
22
1.2.2. Polohov vektor, trajektorie, drha 1. Umt zapsat polohu hmotnho bodu pomoc pravohl soustavy souadnic.
2. Urit polohu hmotnho bodu pomoc polohovho vektoru, umt vypotat jeho velikost a smr.
3. Definovat pojmy drha a trajektorie.
4. Rozliovat podle tvaru trajektorie pmoar a kivoar pohyby.
5. Zakreslit do grafu zvislost drhy na ase.
Popisujeme-li mechanick pohyb hmotnho bodu vzhledem ke zvolen vztan soustav, musme urit jeho polohu
v libovolnm ase. Nejjednodu je urit polohu pomoc pravohl soustavy souadnic Oxyz. Na obrzku Obr.1.2.-1 stanovujeme polohu bodu P, teba umstn vzy na stole v mstnosti. Souadnou soustavu spojme s mstnost, potek souadnic O umstme do jednoho spodnho rohu mstnosti.
Obr.1.2.-1
Osami x, y, z jsou z tohoto rohu vybhajc rohy stn. Poloha naeho hmotnho bodu vzy je urena souadnicemi x = 3 m, y = 1 m, z = 2 m. Zkrcen zapisujeme tuto polohu jako P = [3 m, 1 m, 2 m] .
Polohu hmotnho bodu meme urit tak pomoc polohovho vektoru r. Polohov vektor je vektor s potkem v bod O souadnicov soustavy a s koncovm bodem ve vyetovanm bod P. Souadnice polohovho vektoru jsou toton se souadnicemi hmotnho bodu x, y, z jak je vidt na Obr.1.2.-2. Vektor r tak meme zapsat jako r [x,y,z]. Jeho velikost je dna vztahem :
Obr.1.2.-2
)222 zyxr ++= ,
jeho smr je pak uren hly , , a , kter polohov vektor svr s osami souadnic.
U 1.2.-1 Na obrzku Obr.1.2.-3 je znzornna poloha bodu A lecho v rovin. Zapite jeho polohu pomoc polohovho vektoru, urete jeho
velikost a smr.
Obr.1.2.-3
23
Pohybuje-li se hmotn bod, opisuje v prostoru pomyslnou souvislou ru, kterou nazvme trajektorie hmotnho bodu.
Trajektorie je mnoina vech poloh, ktermi hmotn bod pi svm pohybu prochz.
Podle tvaru trajektorie rozliujeme pohyby:
pmoar trajektori je st pmky,
kivoar trajektori je kivka nebo jej st (krunice, parabola, elipsa nebo libovoln prostorov kivka).
Podle tvaru trajektorie usuzujeme na druh pohybu. Ns vak tak zajm dlka trajektorie drha.
Dlka s trajektorie, kterou hmotn bod ope za as t, se nazv drha. Drha je fyzikln veliina, kterou uvdme v jednotkch dlky.
Na obrzku Obr.1.2.-4 se pohybuje hmotn bod po pmoar trajektorii z bodu A do bodu B. V tomto ppad je dlka trajektorie drha s rovna vzdlenosti bod A a B.
Obr.1.2.-4
Na druhm obrzku Obr.1.2.-5 se hmotn bod pohybuje po kivoar trajektorii. Nyn musme mit drhu s podl cel kivky od bodu A do bodu B.
Jak se hmotn bod pohybuje po sv trajektorii, plyne as. S rostoucm asem se zvtuje drha, kterou hmotn bod urazil. kme, e drha s je funkc asu t. Tuto zvislost drhy na ase zapisujme vrazem s = s(t).
Obr.1.2.-5
Je vhodn si tuto zvislost zakreslovat do grafu. Na x osu nanme as t, na osu y uraenou drhu s.
TO 1.2.-4. Jak rozdlujeme pohyby podle trajektorie?
TO 1.2.-5. Urete podle tvaru trajektorie jak pohyb kon: vren otp, padajc list ze stromu, lokomotiva na pm trati, sprinter na trati 100 m a 200 m, uml druice Zem, cel Zem.
TO 1.2.-6 Jakou trajektorii opisuje jehla gramofonov penosky vzhledem: ke skni gramofonu, k penosce, otejc se gramofonov desce?
U 1.2.-2. Bec ubhl v kad sekund drhu 7 m. Jakou drhu ubhl za dobu 5 s, 10 s?
U 1.2.-3 Hmotn bod se pohybuje z jednoho msta do druhho a) po pmce, b) po sti krunice. Ve kterm ppad uraz vt drhu?
U 1.2.-4 Zakreslete do grafu zvislost uraen drhy na ase auta jedoucho stle stejnou rychlost 60 km/hod. Jak bude mt tvar vznikl kivka?
24
1.2.3. Rychlost hmotnho bodu
1. Umt definovat vektor rychlosti a znt matematick zpis tto definice.
2. Rozliovat prmrnou a okamitou rychlost.
3. Klasifikovat pohyby podle rychlosti.
Prozatm jsme u pohybu hmotnho bodu vyetovali pouze jeho drhu. Te se budeme zabvat druhou veliinou charakterizujc pohyb rychlost.
Hmotn bod se me pohybovat pomaleji nebo rychleji, tj. uraz stejnou drhu za rzn as. O tom, kter potebuje k uraen stejn drhy nejkrat as kme, e je nejrychlej, nebo m nejvt
rychlost.
Pi definovn rychlosti vyjdeme z obrzku Obr.1.2.-7 . Chceme stanovit rychlost hmotnho bodu mezi body trajektorie Ao a A. Ne se hmotn bod v ase to dostal do bodu Ao, urazil od potku O drhu so. Ozname drhu od potku k bodu A jako s. Sem se hmotn bod dostane za as t. Ns bude zajmat rychlost, se kterou se hmotn bod pohybuje v seku (intervalu) drhy s = s - so. K uraen tohoto seku drhy potebuje as t = t to.
Obr.1.2.-7
Prmrn rychlost hmotnho bodu je podl jeho drhy s a odpovdajc doby pohybu t.
o
o
tt
ss
t
sv
== . 1.2.-1
Jednotkou rychlosti v soustav SI je metr za sekundu tj. m/s = m.s-1. Bn se pouv tak vedlej jednotka km/h.
U 1.2.-5 Automobil jede prmrnou rychlost 90 km/h. Vyjdete tuto rychlost pomoc jednotek SI.
Automobil projede prvn tetinu drhy s se stlou rychlost o velikosti v1, dal
dv tetiny drhy stlou rychlost o velikosti v2 = 72 km/h . Jeho prmrn
rychlost byla v = 36 km/h. Urete velikost rychlosti v1.
Prvou tetinu drhy s1 = s/3 projel automobil za dobu t
1 = s
1/v
1 = s/3v
1, druh dv
tetiny drhy s2 = 2s/3 za dobu t2 = s2/v2 = 2s/3v2 , celou drhu za as t = t1 + t2, kde t = s/v.
Po dosazen do vztahu pro celkov as t dostvme vraz s/v = s/3v1 + 2s/3v
2 a odtud pro
velikost rychlosti v1 = v v
2 / (3v
2 - 2v).
Pevedeme nyn rychlosti vyjden v km/h na jednotky m/s a dosadme do vztahu pro v1 =
10.20 / (3.20-2.10) = 5 m/s.
25
Velikost rychlosti automobilu v prv tetin drhy byla 5 m/s, tj. 18 km/h.
Vypotm-li si po ujet jist vzdlenosti autem prmrnou rychlost, neznamen to, e v kadm okamiku jzdy ukazuje tachometr tuto rychlost. Tento pstroj toti m drhu, kterou auto ujede za velice krtk as t a ukazuje nm velikost tak zvan okamit rychlosti.
Budeme-li zkracovat asov interval t a k nekonen malm hodnotm, potom s ds (interval pejde na diferencil zopakovat z matematiky!) pak dostaneme nsledujc vztah pro velikost okamit rychlosti
nebolikde ,0,lim = t
t
sv
t
sv
d
d= 1.2.-2
Velikost okamit rychlosti hmotnho bodu se rovn prvn derivaci jeho drhy podle asu.
Prozatm jsme si definovali pouze velikost rychlosti. Ale my potebujeme okamitou rychlost jako vektor, tedy urit nejen jej velikost, ale tak jej smr.
Obrame se k obrzku Obr.1.2.-8
Z obrzku je vidt, e zmnu polohy hmotnho bodu z msta Ao do bodu A meme vyjdit nejen pomoc drhy s, ale tak pomoc zmny polohovho vektoru r. Meme tak definovat prmrnou rychlost, tentokrte ji jako vektor.
o
o
ttt
==
rrv
r.
Obr.1.2.-8
Budeme-li zase zkracovat asov interval ve kterm urujeme zmnu drhy a do nekonen malch hodnot dostaneme se k vyjden okamit rychlosti jako vektoru:
nebolikde ,0,lim = t
t
rv
td
drv = . [m.s-1] 1.2.-3
Okamit rychlost hmotnho bodu se rovn prvn derivaci jeho polohovho vektoru podle asu.
Jak u bylo eeno ve stedokolsk fyzice meme podle velikosti rychlosti rozdlit pohyby do dvou skupin:
rovnomrn pohyb. U tohoto pohybu uraz hmotn bod ve stejnch asovch intervalech stejn drhy. Velikost jeho rychlosti se bhem pohybu nemn, je konstantn.
nerovnomrn pohyb. U nerovnomrnho pohybu se velikost rychlosti mn bhem pohybu, nen konstantn.
26
