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Istituzioni di Fisica SubnucleareA. Bettini 2006

Capitolo 6 QCD

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e+e– q≠qe+e–adroni è interpretato come la successione del processo elementare e+e– q≠q

qjet adronico + ≠q jet adronico

Nel cm e+e– i 2 quark hanno momenti pq=√s/2 (trascurando le masse)Come gli elettroni irradiano fotoni, i quark irradiano gluoni. Questi producono coppie ≠qq.I ≠q e i q adronizzano = formano adroniGli adroni hanno momenti, nel cm del q, dell’ordine di pT

0.5 - 1 GeV semi-apertura del cono del jet pT /pq=0.52/√s=1/√s

Esempio √s =30 GeV semiapertura 10˚A energie minori i jet sono larghi, non si distinguono

pT

e+ e–

q

≠q

h

h

Evento e+e– q≠q nel rivelatore JADE al collisore da 30 GeV PETRA ad Amburgo

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I rivelatori. Un esempio ALEPH a LEPNon sono tutti uguali, le dimensioni dipendono dall’energia della macchina, ma hanno le caratteristiche di base simili. Struttura “a cipolla”

Rivelatore ad alta risoluzione (10 µm) di Si

} Rivelatori traccianti nel campo B

B parallelo ai fasci

dentro la bobina per non “rovinare” sciami

scintillatori e lastre di Fe per ritorno del flusso

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e+e– adroni. Il colore

La sezione d’urto viene riferita a quella per oggetti puntiformi R ≡σ e+e– → adroni( )σ e+e– → µ+µ–( )

Se i quark sono puntiformi R è il rapporto delle somme delle cariche dei prodotti della reazione R =

qi2

i∑1

Si può sempre misurare la “sezione d’urto adronica”, anche se non si separano i getti

σ adronica = σ e+e– → adroni( ) = σ e+e– → qq( )q,soprasoglia

∑

Inizio anni ‘70. ADONE @ √s<3 GeV; possibili u, d, s

R =23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

=23⇒ Osservato R≈2

Non compresa la ragione. È il colore!

s =10−50 GeV u,c,d,s,b( )

un colore⇒ R=223

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+ 313

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

=119

tre colori⇒ R=3 223

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+ 313

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=

113

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R= σ(e+e–adroni) /σ(e+e–µ+µ–)

R =3 qi2

i∑

R u,d, s,c,b( ) =3.7

R u,d, s,c( ) =3.3

R u,d, s( ) =2

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La distribuzione angolare dei due getti

Se i q sono particelle puntiformi di spin 1/2 e se la direzione dei jet coincide con quella del quark la distribuzione angolare dei jet deve essere

e+e– q≠q jet + jet

dσdΩ

=α 2

4s1+cos2θ( )

La distribuzione angolare è “ripiegata” attorno a 90˚ perché non si sa quale sia il jet del q, quale del ≠q

I q sono puntiformi e hanno spin 1/2

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Spin del gluone e+e–Evento 3 jets al rivelatore JADE al collisore PETRA 30-40 GeV a DESY

Nel processo e+e– q≠q i quark emettono sempre gluoni di energia bassa, che non vengono osservati come jet separati da quello del quark

A volte, con probabilità dell’ordine di αs 10%, il gluone prende notevole momento (è “hard”) e dà origine a un jet osservabile

Non si riesce a distinguere un jet g da un jet q

Ordinare i getti : E1< E2<E3 nel CM

Definire g = jet energia minima

Trasformare nel CM di 12

Calcolare angolo tra g e j1j2

Distribuzione di o dipende da spin del gluone

Le misure (TASSO a PETRA) JP=1–

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Lezioni da e+e–

•I valori della sezione d’urto adronica richiedono il colore

•I quark appaiono come getti adronici, distribuzione angolare dà spin = 1/2

•I gluoni appaiono come terzo getto, distribuzione angolare dà JP=1–

•Il velore preciso di R indica che i gluoni hanno carica di colore

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Esperimenti di diffusionePer studiare la struttura di un oggetto, atomo, nucleo, nucleone,…lo si “illumina” con un fascio sonda (quasi) monocromatico e collimato e si misura la figura di diffrazione

In pratica si usa un fascio di particelle

Fascio quasi-monocromatico = le particelle hanno la stessa energia E entro un intervallo ∆E, con ∆E/E<<1

Di conseguenza hanno approssimativamente lo stesso momento p

Lunghezza d’onda del fascio è = 1/p. Deve essere < della struttura da studiare <D

Fascio collimato: tutte le particelle hanno la stessa direzione entro un’angolo << del minimo angolo di diffusione rilevante θmin ∆ p/p< θmin

Nello stato finale è presente una particella diffusa, cioè avente la stessa natura di quelle del fascio (es. un e se abbiamo un fascio di e). Misurare la figura di diffrazione = misurare l’energia E’ e l’angolo θ della particella diffusa, e ricavarne le loro distribuzioni

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Esperimenti di diffusioneLa figura di diffrazione è proporzionale alla trasformata di Fourier della distribuzione di densità del bersaglio

Più precisamente: la densità “vista” dal fascio, cioè la densità di cariche che interagiscano con la sonda

•carica elettrica per sonde e e µ. Anche carica debole, che però spesso dà effetti molto minori

•carica debole per •carica forte per sonde adroniche

Le sonde leptoniche (e,µ,) sono puntiformi più facile estrarre l’informazione; più difficile con le sonde adroniche (π,p,..) che sono oggetti compositi, non puntiformi

Nell’urto elastico di particelle senza spin, o non polarizzate, c’è una sola variabile indipendente E’ e θ sono completamente correlate (vedi poi)

Nell’urto anelastico il bersaglio non rimane nello stato iniziale, con trasferimento di energia dalla sonda dipendente dallo stato finale bisogna misurare sia E’ sia θ

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Diffusione elasticaConsideriamo l’urto elastico di una particella leggera (e ad esempio) contro una pesante (un nucleo o un nucleone)

pµ =rp,E( ); p'µ =

rp',E'( ) pµ pµ =p'µ p'µ =me

2

Pµ =r0,M( ); P'µ =

rpr ,Er( ) PµPµ =P'µ P'µ =M 2

pµ +Pµ =p'µ+P'µ ⇒ pµpµ +PµPµ +2pµP

µ =p'µ p'µ+P'µ P'µ+2p'µ P'µ

pµPµ =p'µ P'µ EM −0 =E'Er −

rp'⋅

rpr

EM =E' E +M −E'( )−rp'⋅

rp−

rp'( ) =E'E +E'M −

rp⋅

rp'−me

2

Ad alta energia possiamo trascurare me2 e porre p=E EM =E'E(1–cosθ)+E'M

E ' =E

1+EM

(1–cosθ)

C’è completa correlazione tra angolo di diffusione e energia dell’elettrone diffuso

E–E’ è l’energia trasferita al bersaglio

Se la massa del bersaglio è grande E/M<<1, l’energia trasferita al bersaglio è trascurabile (ma non il momento, come per urti classici)

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Diffusione da potenzialeConsideriamo la diffusione elastica di un elettrone da parte di un bersaglio (prenderemo ad esempio un nucleo di carica Zqe) di massa molto grande. Durante la diffusione l’elettrone trasferisce momento, ma non energia al bersaglio E’=E. Trascuriamo gli spin.Ragionamento non relativistico: energia di interazione = qeElemento di matrice non invariante; SF non invarianteRappresentiamo il bersaglio come distribuzione di carica (r) che produce il potenziale (r) Usiamo l’approssimazione di Bohr: onda entrante e uscente = onde piane

ψ f qeφ r( ) ψ i ∝ qe exp i

rq ⋅

rr[ ]φ r( )∫ dV

rq =

rp'−

rp tri- momento trasferito

Come dipende l’elemento di matrice dalla densità di carica? ∇2φ = −ρ r( )

ε 0

∇2∫ exp i

rq ⋅

rr( )⎡⎣ ⎤⎦dV = exp i

rq ⋅

rr( )⎡⎣ ⎤⎦∇

2ϕ∫ dV+

Useremo l’identità

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Diffusione da potenziale come trasformazione di Fourier

∇2 exp i

rq ⋅

rr( ) = −q2 exp i

rq ⋅

rr( )

qe exp i

rq⋅

rr[ ]φ r( )∫ dV =−qe

1q2 ∇2 exp i

rq⋅

rr( )⎡⎣ ⎤⎦gφ r( )∫ dV =−qe

1q2 exp i

rq⋅

rr[ ]∇2φ r( )∫ dV

∇2φ = −ρ r( )

ε 0 ψ f qeφ r( ) ψ i ∝

qe

ε 0

1

q2 ρ r( )exp irq ⋅

rr[ ]∫ dV

dσdΩ

=qe2

2π( )2 ε02

E'2rq 4 r( )exp i

rq⋅

rr[ ]∫ dV

2Calcolando la sezione d’urto si ottiene (E’ = energia dell’elettrone finale)

Se la carica totale del bersaglio è Zqe facciamo la normalizzazione

f

rr( ) ≡

1Zqe

rr( )

Frq( ) = f

rr( )∫ exp i

rq⋅

rr[ ]dV

fattore di forma del bersaglio = trasformata di Fourier della distribuzione di carica normalizzata

dσdΩ

=4Z2α 2 E'2

q4 Frq( )

2

L’intensità diffusa è il quadrato della trasformata di Fourier (spaziale) della densità di carica del bersaglio

La misura della sezione d’urto differenziale elastica permette di “vedere” la forma del bersaglio

α =

1

4πε 0

qe2

hc

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Sezione d’urto di RutherfordSe il bersaglio è una carica puntiforme qb=Zqe nell’origine (r) è una e F(q)=1

dσdΩ

=4Z2α 2 E'2

q4

p ' =p E'=E q=2psinθ2

dσdΩ

=z2Z2α 2E2

16Ek2 sin4 θ

2

L’ampiezza di diffusione è proporzionale al prodotto dei vertici z√α e Z√α e al propagatore del fotone 1/q2

Se il proiettile ha carica zqe

Geiger e Marsden: particella α

dσdΩ

=z2Z2α 2

16Ek2

1

sin4 θ2

E ; m

dσdΩ

=4z2Z2α 2 E'2

q4

Energia cinetica Ek =p2

2m

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Sezioni d’urto di Rutherford e di Mott

dσdΩ

=z2Z2α 2

16Ek2

1

sin4 θ2

dσdcosθ

=π8

z2Z2α 2

Ek2

1

sin4 θ2

sin2 θ2=1−cosθ

2

dσdcosθ

=π2

z2Z2α 2

Ek2

11−cosθ( )2

NB. La sezione d’urto differenziale diverge per θ 0. È conseguenza del fatto che il potenziale di Coulomb diverge per r0. Man mano che il proiettile passa più vicino al bersaglio, la probabilità di diffusione aumenta indefinitivamente, ma pratica non ci sono bersagli puntiformi

La formula di Rutherford vale per diffusione non relativistica su bersaglio di massa infinita puntiforme

Tornando all’elettrone. Se velocità grande gli effetti dello spin dell’elettrone divengono importanti. Per processi elastici, se si possono trascurare gli effetti del rinculo del bersaglio, è la sezione d’urto di Mott.

C’è il fattore cos2(θ/2) in più. Esso aumenta la rapidità di diminuzione al crescere dell’angolo. A 180˚ la sezione d’urto di Mott si annulla

dσdΩ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Mott

=dσdΩ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Rutherford

cos2θ2=4z2Z2α 2 E'2

rq 4 cos2

θ2

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Sezione d’urto ultra-relativistica puntiformeUn caso rilevante:

Bersaglio puntiforme

Massa del proiettile trascurabile rispetto alla sua energia

Energia di rinculo del bersaglio non trascurabile, quindi E’<E

dσdΩ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟puntiforme

=dσdΩ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Mott

E'E

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Gli spettrometri di SLACNegli anni ‘60 fu costruito a Stanford un acceleratore lineare (LINAC) per elettroni lungo 2 miglia e con energia massima di 20 GeVIl laboratorio prese il nome di Stanford Linear Accelerator CenterUno dei programmi di ricerca fu lo studio della struttura del protone e del neutrone tramite diffusione elastica ed anelstica di elettroniIn una sala sperimentale furono costruiti da gruppi di MIT e SLAC 2 spettrometri, da 8 GeV e da 20 GeV. Possono ruotare attorno al bersaglio

Misure di momento e angolo disaccoppiate

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Le funzioni di strutturaConsideriamo un fascio di elettroni di alta energia che collide con un bersaglio di protoniMisuriamo l’energia E’ e l’angolo di diffusione θPer distinguere piccole strutture interne il momento trasferito deve essere grande diffusione profondamente anelastica (DIS)

Stato finale=insieme di adroni di massa W. Non analizzato processo “inclusivo”

W 2 = Pµ +qµ( ) Pµ +qµ( ) =mp2 +2Pµq

µ −Q2 ==mp2 +2mp −Q2

≡Pµqµ

mp

Lorentz-invar.Nel L Pµ= (mp,0), qµ= (E–E’, q)

E – E’ l’energia trasferita al bersaglio nel L, si trova misurando E’

Variabili cinematiche utili

t =qμqμ ≡ E'−E( )2 −(rp'−

rp)2 =–Q2

Q2 si usa per avere una quantità positiva nel canale t, è l’opposto del quadrato della massa della particella virtuale sonda

Per diffusione elastica W = mp 2mp=Q2 e Q2 completamente correlate

Per diffusione anelastica due variabili cinematiche ( e Q2) o (E e E’)

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Le funzioni di struttura

dσdΩdE'

=dσ

dΩdE'⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Puntiforme

W2 Q2 ,( )+ 2W1 Q2 ,( )tan2 θ2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

W1 e W2 si chiamano funzioni di struttura W2 interazione delle cariche; W1 interazione dei momenti magnetici (spin-spin)W1 e W2 sono funzioni delle due variabili cinematicheNelle condizioni cinematiche degli esperimenti che consideriamo W1 è trascurabile

Se il bersaglio ha struttura, che vogliamo misurare

dσdΩdE'

=W2 Q2 ,( )dσ

dΩdE'⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Puntiforme

Il fascio sonda di elettroni colpisce il bersaglio di cui vogliamo misurare la struttura

Si misura la direzione e l’energia dell’elettrone diffuso (ad alto momento trasferito) e la sezione d’urto in funzione di questi, a diversi valori dell’energia del fascio E

Dai valori di E’ e θ si calcolano Q2 e , la funzione di struttura è data da

W2 Q2 ,( ) =dσ

dΩdE'⎛⎝⎜

⎞⎠⎟misurata

/dσ

dΩdE'⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Puntiforme

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Funzioni di struttura. SLAC 1969

Prima sorpresa:

mentre la sezione d’urto elastica decresce rapidamente all’aumentare di Q2

le sezioni d’urto a fisso W

•decrescono poco al crescere di Q2

•sono quasi indipendenti da W

sembra che dentro il protone ci siano oggetti duri puntiformi

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Funzioni di strutturaFeynman chiamò inizialmente “partoni” gli oggetti puntiformi dentro il protone. Furono poi identificati come quark

Consideriamo il processo in un riferimento in cui il protone si muova con momento molto grande Pµ

Il protone si può pensare come un insieme di partoni che si muovono tutti con grande momento; possiamo trascurare le componenti trasversali. Viaggiano tutti paralleli.

Dato un partone, sia x la frazione di 4-momento che ha. Quadrimomento del partone = xPµ

Approssimazione di impulso: l’urto elettrone-partone avviene come se il partone fosse libero

A posteriori l’ipotesi è giustificata dalla libertà asintotica di QCD

qµ = qudrimomento trasmesso da e a partone

massa m del partone trascurabilem2 = xPµ +qµ( ) xPµ +qµ( ) ≈0

x2mp2 −Q2 +2xPµq

µ =0

Q2 >> x2mp2 ⇒ x=

Q2

2Pµqµ =

Q2

2mp

Se il modello è corretto, la funzione di struttura deve avere lo stesso valore ad un dato x, qualsiasi sia Q2 (purché sufficiente a garantire il potere risolutivo). Legge di scala di Bjorken

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Costituenti puntiformi

x

W2 a dimensioni di [energia]–1. Si preferisce la funzione di struttura adimensionalie

F2 x,Q2( ) ≡W2 Q2 ,( )

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Componenti dei barioni (adroni)•3 “quark di valenza” che ne determinano i numeri quantici

•I gluoni che trasportano il campo del colore

•Coppie quark-antiquark: quark del mare. Avvengono continuamente processi del tipo: un gluone si trasforma in una coppia, che subito si annichila, due gluoni si fondono in una coppia, ecc. La probabilità di processi di questo tipo nell’atomo è bassissima perché ααs

•Il mare contiene coppie u≠u, d≠d, meno s≠s e un po’ di c≠c

•Tanti quark quanti antiquark per ciascun sapore

•La probabilità di formare una coppia decresce al crescre della massa del quark

Distribuzione di frazione di momento del q di sapore f f(x)

f(x) dx è la probabilità che il quark trasporti la frazione di momento compresa tra x e x+dx

x f(x) dx è la quantità di frazione di momento corrispondente

Per gli antiquark ≠f(x)

Peri i gluoni g(x)

I quark f hanno carica elettrica zfqe. Gli antiquark –zfqe

I gluoni sono elettricamente neutri e privi di carica debole: non sono visti né da e né da

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Le funzioni di strutturaNel protone: come sono distribuiti in x: up (valenza + mare), down (valenza + mare), strano (mare), anti-up (mare), anti-down (mare), anti-strano (mare) 6 in tot. (trascurando charm)

Nel neutrone: come sono distribuiti in x: up (valenza + mare), down (valenza + mare), strano (mare), anti-up (mare), anti-down (mare), anti-strano (mare) 6 in tot. (trascurando charm)

Totale: 12 funzioni di x da determinare

Non sono tutte indipendenti

Invarianza isotopica (4)

E anche (2)

Quark mare= antiquark mare (1)

Dobbiamo determinare 12–7=5 funzioni indipendenti

Chiamiamole

up x( ) =dn x( ); dp x( ) =un x( ); dp x( ) =un x( ); up x( ) =dn x( )

s x( ) =s x( )

u x( ) ≡up x( ) =dn x( )

d x( ) ≡dp x( ) =un x( ) d x( ) ≡dp x( ) =un x( )

u x( ) ≡up x( ) =dn x( )

s x( ) ≡sp x( ) =sn x( )

um x( ) =u x( ) ⇒ uv x( ) =u x( )−u x( ), dm x( ) =d x( ) ⇒ dv x( ) =d x( )−d x( )Poi per la separazione tra mare e valenza:

sp x( ) =sn x( ); sp x( ) =sn x( ) ⇒ s x( ) ≡sp x( ); s x( ) ≡sp x( )

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Fascio di elettroni

F2 x( ) =x zf2

f∑ qf x( )+qf x( )⎡⎣ ⎤⎦

Le funzioni di struttura sono determinate da esperimenti DIS con elettroni, neutrini, antineutrini

Sensibili in modo diverso alle cariche dei quark

Con fasci di elettroni: 3 misure in funzione di x

•bersaglio di H2 liquido per protone

•bersaglio di D2 liquido per neutrone

•bersaglio con nuclei che contengono tanti protoni quanti neutroni

F2en x( )x

=49

d x( )+d x( )⎡⎣ ⎤⎦+19

u x( )+u x( )+ s x( )+ s x( )⎡⎣ ⎤⎦

F2ep x( )x

=49

u x( )+u x( )⎡⎣ ⎤⎦+19

d x( )+d x( )+ s x( )+ s x( )⎡⎣ ⎤⎦

F2eN x( )x

=518

u x( )+u x( )+d x( )+d x( )⎡⎣ ⎤⎦+19

s x( )+ s x( )⎡⎣ ⎤⎦

DIS ep

DIS en

DIS e Nucleo

Ciascun quark contribuisce in proporzione al quadrato della carica

NB. 5/18 è la media dei quadrati delle cariche di up (4/9) e down (1/9)

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Fascio di neutrini-muI neutrini vedono certi sapori e non altri, viceversa gli antineutrini. Trascurando sReazioni permesse

Il leptone μ si trasforma in un µ– diminuendo la carica all’altro vertice la carica deve aumentare, viceversa ≠μ si trasforma in µ+ all’altro vertice la carica deve diminuire

Reazioni proibite

μ + d → µ− + u; ν μ + u → µ− + d

ν μ + u → µ+ + d; ν μ + d → µ+ + u

μ +u → µ+ + d; ν μ + d → µ+ + u

ν μ + d → µ− + u; ν μ + u → µ− + d

Su bersaglio protone (2 relazioni)µ p

F2ν µ p x( )

x= 2 d x( ) + u x( )⎡⎣ ⎤⎦

ν µ pF2

ν µ p x( )

x= 2 u x( ) + d x( )⎡⎣ ⎤⎦

Con fasci di neutrini e antineutrini su bersaglio neutrone si trovano le stesse due relazioni. Utilissimo per testare la consistenza della teoria

Con 5 funzioni di x misurate e 5 incognite si risolve il sistema e si trovano le 5 funzioni di struttura

Fattore 2 deriva da struttura V–A

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Le distribuzioni di momento. I gluoni

Manca il 50%!!Il 50% del momento del protone (e del neutrone) è portato da oggetti che non hanno né carica elettrica né carica debole. Sono i gluoni.Il contributo dei gluoni è grande per x < 0.3 e diviene dominante per x< 0.2I quark del mare contribuiscono a x< 0.1

Le distribuzioni dei q di valenza hanno massimi a x = 0.15-0.3Sono molto allargate come conseguenza del moto “di Fermi” nel nucleone (necessario per il principio di indeterminazione)Sia annullano sia per x0, sia per x1: è molto poco probabile che un q di valenza da solo trasporti più di 70% del momentoIntegrando i contributi di q e ≠q

x u x( )+d x( )+u x( )+d x( )⎡⎣ ⎤⎦

0

1

∫ dx= F2N x( )dx

0

1

∫ ;185

F2eN x( )dx ; 0.50

0

1

∫

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Violazioni della legge di scala

Molte misure con diversi tipi di sonda.

“Microscopio” col più alto potere risolutivo HERA a DESY: collisore di elettroni di 30 GeV contro protoni di 800 GeV

2.7 < Q2 < 30 000 GeV2

Per x>0.1 circa, legge di scala OK

Per piccoli x più partoni a Q2 piccolo rispetto a legge di scala

Previsto teoricamente in QCD (Dokshitzer, Gribov, Lipatov, Alatrelli, Parisi=DGLAP)

Curve sono previsioni di QCD, con fit della “costante” αs

04/11/23 C.5 A. Bettini 29

Perché è violata la legge di scalaUn quark di frazione di momento x che emette un gluone

il gluone si prende la frazione di momento (longitudinale) x–x’

la frazione di momento del quark, x’<x

Se Q2 non grande, il potere risolutivo non è sufficiente quark e gluone non risolti si misura x

se Q2 è grande, si risolvono e si misura x’

al crescere del potere risolutivo le funzioni di struttura, a fissato x piccolo, crescono con Q2.

L’effetto dipende da αs e permette di misurarla

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Struttura della carica di colore

L’IF tra quark non può essere dovuta allo scambio di un bosone vettore con C=– analogo al

Infatti allora la forza tra q e≠q sarebbe attrattiva, tra q e q repulsiva. Invece sperimentalmente è in entrambi i casi attrattiva (vedi poi struttura iperfina)

Non può essere dovuta allo scambio di un bosone scalare o pseudoscalare, perché ne verrebbe un legame alla Yukawa che legherebbe qualsiasi combinazione di q: qq, qqq, qqqq, q≠q ,….Stesso risultato avrebbe un bosone vettore con C=+

Invece risultano legati solo le configurazioni qqq e q≠q

I vettori del campo dell’interazione forte devono avere “cariche” di struttura più complessa

La IF è mediata non da un solo bosone, ma da un insieme di questi (8 in numero), chiamati gluoni

La IF obbedisce ad una simmetria unitaria, la simmetria di colore. È una simmetria esatta

La simmetria non è abeliana = esistono generatori di trasformazioni del gruppo che non commutano fatto fisico: i gluoni hanno cariche di colore (mentre il fotone non ha carica elettrica)

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QCD

Per mantenere la simmetria, tutte le particelle, sia i quark sia i gluoni debbono appartenere a multipletti (= rappresentazioni) della simmetria. Il termine di interazione deve essere invariante sotto le operazioni del gruppo singoletto

Se esistono quark di colore diverso, potrebbero esistere adroni colorati, particelle tra loro uguali a parte il colore: un protone rosso, uno verde, uno blu. Ci sono solo adroni senza colore, cioè formati da quark colorati che si combinano a fare un singoletto del gruppo

Gli adroni sono stati stabili legati dalla forza di colore. Si dimostra che la simmetria SU(3) correttamente prevede che gli unici stati legati siano i singoletti

Oggetti liberi non possono essere colorati i quark non possono essere liberi confinamento

Il protone (e gli altri barioni) sono composti da tre quark. L’unica simmetria unitaria che permette di fare un singoletto con tre quark è SU(3)

Il numero di gluoni = numero di generatori di SU(3) = 8. Stanno nella rappresentazione aggiunta.

Non solo mediano la forza di colore, ma hanno carica di colore. [Potrebbero esistere stati legati instabili di soli gluoni, le glue-ball, ma l’evidenza che abbiamo trovato non è conclusiva]

04/11/23 C.5 A. Bettini 32

L’ottetto dei gluoni

3⊗3 =8a ⊕1s

1 è completamente simmetrico e non trasmette interazioni di colore

g0 =13

RR+BB+GG( )

g1 =RG

g2 =RB

g3 =GR

g4 =GB

g5 =BR

g6 =BG

g7 =12

RR−GG( )

g8 =16

RR+GG−2BB( )

Come per i mesoni

04/11/23 C.5 A. Bettini 33

Fattore di colore

Vertice e albero in QED e QCD

QED

QCD

04/11/23 C.5 A. Bettini 34

I fattori di colore

g1 =RG

g2 =RB

g3 =GR

g4 =GB

g5 =BR

g6 =BG

g7 =12

RR−GG( )

g8 =16

RR+GG−2BB( )

κ1RG = 1 κ 1

RG = −1

κ 2RB = 1 κ 2

RB = −1

κ 3GR = 1 κ 3

GR = −1

κ 4GB = 1 ..................

κ 5BR = 1

κ 6BG = 1

κ 6RG = 1

κ 7RR =

1

2; κ 7

GG = −1

2

κ 8RR =

1

6; κ 8

GG =1

6; κ 8

BB = −2

6

Gli antiquark hanno fattori di colore opposti

g1 --- g6 hanno un colore e un anticolore (accoppiano quark con diversi colori)

g7 ha due colori e due anticolori (accoppia anche quark con lo stesso colore)

g8 ha tre colori e due anticolori (accoppia anche quark con lo stesso colore)

04/11/23 C.5 A. Bettini 35

Esempio BBBBB q +B q→ B q+B q

1

2κ 8

BB 12κ 8

BB =12

−26

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−26

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=13

κ 8BB =−

26

04/11/23 C.5 A. Bettini 36

Esempio RRRRR q +R q→ R q+R q

κ 7RR =

1

2

κ 8RR =

1

6

1

2κ 7

RR 12κ 7

RR +12κ 8

RR 12κ 8

RR =12

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+12

16

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

16

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=13

04/11/23 C.5 A. Bettini 37

Autointerazione dei gluoni

La carica di colore dei gluoni rende possibile lo scattering g + g g + g

I gluoni di QCD hanno loro stessi carica di colore.

04/11/23 C.5 A. Bettini 38

Stati legati. I mesoni

3⊗3 =8 A ⊕1S

Gli adroni non hanno colore le cariche dei quark che li costituiscono devono “sommarsi a zero”. In elettromagentismo: carica positiva =carica negativa. QCD singoletto di colore

Due modi per realizzarlo: tripletto di quark, quark e antiquark

I mesoni sono stati legati di un quark e un antiquark (di valenza)

qq( )singoletto=

13

RqRq+B qBq+G qGq( )

Simmetria tre termini uguali. Calcoliamone uno e moltiplichiamo per 3. Tutti i casi in cui inizialmente

B qBq

Forza attrattiva

κ 2RB = 1; κ 2

RB = −1

κ 4GB = 1; κ 4

GB = −1

κ 8BB = −

2

6; κ 8

BB = +2

6

31

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 12

κ 8BBκ 8

BB +κ 5RBκ 5

RB +κ 6GBκ 6

GB⎡⎣ ⎤⎦=12

−46−1−1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=−

43

04/11/23 C.5 A. Bettini 39

Linee di colore

04/11/23 C.5 A. Bettini 40

Stati legati. I barioniPiù complicato, ci sono tre quark

Prodotto di due

Moltiplicare per il terzo

3⊗3 =6S ⊕3A

3⊗3( )⊗3 =6⊗3⊕3⊗3

Non contiene singoletti

3A ⊗3 =8 A ⊕1S

qqq( )singoletto=

16

RqBq−B qRq( )G

q+ GqRq−R qGq( )Bq+ BqGq−G qBq( )

Rq⎡

⎣⎤⎦

Si dimostra che i 6 fattori di colore sono uguali. Calcoliamo il primo e moltiplichiamo per 6R q +B q→ R q+B q Rq+B q→ B q+R q

κ 2RB = 1; κ 8

RR =1

6; κ 8

BB = −2

6

61

6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 12

κ 8RRκ 8

BB −κ 2RBκ 2

RB⎡⎣ ⎤⎦=12

−26−1⎡

⎣⎢⎤⎦⎥=−

23

La forza è attrattiva anche se le cariche di colore hanno lo stesso segno

–

Quark finali scambiati, bisogna sottrarre

04/11/23 C.5 A. Bettini 41

Linee di colore

04/11/23 C.5 A. Bettini 42

Struttura iperfina. L’idrogeno

L’atomo di idrogeno è formato da due particelle di spin 1/2 di carica opposta.Consideriamo stati con l=0. Gli spin del p e dell’e possono essere paralleli (3S1, J=1) o antiparalleli (1S0, J=0)

Nel caso dell’atomo, interazione EM, l’energia iperfina è data dall’interazione tra i momenti magnetici dell’elettrone (grande) e del protone (piccolo)La differenze di energia E(3S1) – E(1S0) è piccolissima (struttura iperfina) e >0

ESS : –

rμe⋅

rμp : −

e1e2memp

rs1 ⋅

rs2

Anche per gli adroni?

04/11/23 C.5 A. Bettini 43

Struttura iperfina. Gli adroni

Mesone = due particelle di spin 1/2 di carica di colore opposta (simile idrogeno?)

Consideriamo stati con l=0. Gli spin del q e del ≠q possono essere paralleli (3S1, J=1) o antiparalleli (1S0, J=0)

La differenze di energia E(3S1) – E(1S0) sono grandi (p.e. mK* – mK = 395 MeV) e >0

I barioni sono nel decimetto o nell’ottetto a seconda dello spin totale J di due quark. Esempio

J=1 (∆) J=0 (p)

struttura iperfina m(J=1 ) – m(J=0 ) = m– mp = 293 MeV >0 grandi e un po’ minori che per i mesoni (vero anche al di là dell’esempio preso)

L’interazione responsabile della separazione è analoga nel senso che è spin.spin, e basta

La struttura “iperfina” è grande nel caso degli adroni perché αs(1GeV) α

E i segni?

ESS : –

rμ1 ⋅

rμ2 : −

κ1κ 2

m1m2

rs1 ⋅

rs2

Se colore fosse come carica elettrica

κ1κ2 <0 per q ≠q in mesone

κ1κ2 >0 per q q in barione

04/11/23 C.5 A. Bettini 44

Separazione livelli. Come QED

2

rs1 ⋅

rs2 =J J +1( )−s1 s1 +1( )−s2 s2 +1( ) =J J +1( )−

32

Mesoni

E ∝+

rμ1 ⋅

rμ2 ∝−

32 per J =0 ∝ +

12 per J =1 ⇒ m 3S1( )−m 1S0( ) =+4KSe c1c2 =–1

Barioni. Bisogna sommare sulle tre coppie

2rs1 ⋅

rs2 +

rs2 ⋅

rs3 +

rs3 ⋅

rs1( ) =

rs1 +

rs2 +

rs3( )−s1 s1 +1( )−s2 s2 +1( )−s3 s3 +1( ) =J J +1( )−

94

2rs1 ⋅

rs2 +

rs2 ⋅

rs3 +

rs3 ⋅

rs1( ) =–

32 per J =

12

=+32 per J =

32

Se cicj =+1 E ∝−

rμ1 ⋅

rμ2 ∝+

32 per J =

12∝ –

32 per J =

32

⇒ m 10( ) −m 8( ) = –6K

1–

0–

1/2+

3/2+

04/11/23 C.5 A. Bettini 45

Separazione livelli. QCD

m 3S1( )−m 1S0( ) =−4K × −4 / 3( ) =+K ×16 / 3

m 10( ) −m 8( ) = –6K × −2 / 3( ) = +K ×12 / 3

Ma i fattori di colore sono di SU(3) non di U(1)

1/2+

3/2+

1–

0–

1–

0–

3/2+

1/2+

mas

sa

senza colore con colore

04/11/23 C.5 A. Bettini 46

La rinormalizzazione di QCD

√αs,eff √αs

Il processo di rinormalizzazione è analogo alla QED, ma non identico

Oltre ai loop fermionici ci sono ora loop bosonici (perché i gluoni sono colorati)

In entrambi i casi gli integrali divergono ed è necessario, e possibile, un procedimento di rinormalizzazione

I due tipi di loop hanno segni opposti

L’effetto di polarizzazione del vuoto dovuto ai quark è analogo a quello in elettrodinamica, con la carica di colore al posto della carica elettrica: schermano la carica di colore, ne riducono il valore al crescere della distanza, cioè al decrescere del momento trasferito usato nel processo di misura

Fissata la scala µ alla quale sottrarre i contro-termini, solo i quark di massa m<µ (nf in numero) contribuiscono

In QCD anche i gluoni contribuiscono alla polarizzazione del vuoto. Sparpagliano il colore del quark, con effetto di anti-schermo. Vincono i gluoni, complessivamente la carica efficace diminuisce al diminuire della distanza. Effetto di antischermo predetto da Politzer, Gross e Wilczek nel 1973

04/11/23 C.5 A. Bettini 47

α s Q2

( ) =α s µ2

( )

1+α s µ2

( )

12π33− 2n f( )log Q

2/ μ 2

( )

αs

(33–2nf) > 0 (non è mai nf>16), quindi αs,eff decresce al crescere di Q2

nf è il numero di sapori “eccitati” (= mf<Q)

NB. l’andamento di αs è determinato anche dalla dipendenza da Q2 di nf

Dà l’evoluzione, non il valore assoluto che deve essere determinato sperimentalmente

Alternativa: definire la scala di massa che sostituisce la dipendenza da µ

QCD non dà un valore per la si misura dipende da nf )(3) 400 MeV(5) 200 MeV

2 n f( ) = µ2 exp −12π

33− 2n f( )α s µ2( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

α s Q2( ) =

12π

33− 2n f( )log Q2

/ λ 2( )

Libertà asintotica: Quando |Q2|> 2 la costante di accoppiamento è piccola.

È possibile lo sviluppo perturbativo. Nei processi in cui il momento trasferito al quark è ancora maggiore, il quark appare libero

04/11/23 C.5 A. Bettini 48

Evoluzione di αs (e di α)

αs non si misura direttamente, ma si determina in parecchi modi indipendenti. Ad es.

•Probabilità terzo getto in e+e–

•Contributo dei gluoni a R

•Violazioni legge di scala in DIS

•ecc

αs decresce rapidamente al crescere dell’energia = al diminuire della distanza alla quale la si misura

α cresce lentamente al crescere dell’energia

dal punto di vista teorico, l’evoluzione delle costanti è regolata dalle equazioni del “gruppo di rinormalizzazione”, che prevedono che α e αs divengano uguali all’energia di 1016 GeV, la scala della “grande unificazione”

αs(MZ)=0.118±0.002

04/11/23 C.5 A. Bettini 49

Regola OZI

Perché i decadimenti delle particelle di sapore nascosto in stati finali senza quel sapore sono soppressi?

Processo favorito, se sopra soglia

Viene irradiato un solo gluone ed è soffice

Processo sfavorito

L’annichilazione dei due quark iniziali

Non può essere in un gluone perché viola colore

Non può essere in due perché viola C

In tre va, ma è una radiazione di grande momento trasferito, quindi rara

α s3 mφ

2( ) ≈ 0.53 = 0.13

α s3 mJ /ψ

2( ) ≈ 0.33 = 0.03

α s3 mϒ

2( ) ≈ 0.23 = 0.008

04/11/23 C.5 A. Bettini 50

L’antischermo. Perché i quark non possono essere liberi

Se un quark fosse libero, la sua carica di colore polarizzerebbe il vuoto attorno a lui

L’effetto di antischermo fa sì che la carica cresca indefinitivamente al crescere della distanza da essa. La nuvola di quark, antiquark e gluoni virtuali avrebbe energia infinita

Il quark non può esistere libero

Un quark e un antiquark nello stesso: le due nuvole si elidono, energia nulla (anche tre quark in singoletto di colore)

Non possono essere nello stesso punto perché limitare la funzione d’onda richiede energia (principio di indeterminazione) compromesso = raggio del mesone (adrone)

04/11/23 C.5 A. Bettini 51

L’antischermo. Perché l’ipotesi impulsiva funziona

Un quark colpito violentemente da un elettrone (o neutrino) in un esperimento DIS accelera

Perché non irradia, ma si comporta come se non fosse carico?

A brevi distanze la sua carica è piccolissima. Inizialmente la nuvola non si accorge che il quark sta schizzando via. Poi una nuova nuvola gli si forma intorno, il quark adronizza: si forma una nuova nuvola che si muove con lui, senza significativo trasferimento di energia e momento

Gli esperimenti inclusivi, e i calorimetri, sono sensibili al flusso di energia e di momento, vedono il quark come flusso concentrato in una porzione di angolo solido

Per vedere un quark (e un gluone), non si deve cercare di tirarlo fuori dell’adrone, ma guardarlo come flusso di energia (DIS o Jet)

Antischermo spiega perché radiazione dura molto più rara della soffice

04/11/23 C.5 A. Bettini 52

Se proviamo a far uscire il quark

e−+ p→ e– +n+π +Esempio: un quark u viene urtato violentemente dall’e, si allontana dagli altri, ma non esce perché si forma una coppia≠d d. Il≠d si accoppia con un u a formare un π+

Quando due cariche elettriche si allontanano le linee di forza del campo elettrico su allargano; la densità di energia del campo diminuisce, man mano che il volume occupato dal campo si allarga

Quando due cariche di colore si allontanano le linee di forza rimangono confinate in un “tubo” nel quale la densità di energia è costante. L’energia del campo cresce, circa proporzionalmente alla distanza. A un certo punto conviene energeticamente formare una coppia≠q q

Facciamo la rozza approssimazione che l’energia d’interazione tra due q a distanza dell’ordine del raggio del protone sia proporzionale alla loro distanzaIndichiamo con k l’energia per unità di lunghezza nel tubo

04/11/23 C.5 A. Bettini 53

Masse dei quarkLa massa di una particella è data dalla “relazione di dispersione”

m2=E2–p2

valida per una particella libera

Per misurare la massa bisogna misurarne l’energia E e la q.d.m. p

I quark non sono mai liberi, la loro massa non è quindi definibile se non entro uno schema teorico. Nella lagrangiana compaiono dei parametri = masse dei quark

I parametri di massa dei quark si possono determinare solo indirettamente mediante la loro influenza sulle proprietà degli adroni (ad es. masse di mesoni)

I parametri di massa hanno significato solo entro lo schema teorico usato per definirli, risentendo in particolare di effetti di QCD e quindi dello schema di rinormalizzazione

Due regimi ben separati

quark leggeri (m < 1 GeV) = u, d, s

αs grande, energia potenziale >> massa nei mesoni, risultati dei calcoli incerti

quark pesanti (m > 1 GeV) = c, b

αs piccola, varie tecniche di calcolo possibili, energia potenziale<< massa

quark t. Molto pesante, decade prima di adronizzare; misura diretta possibile

04/11/23 C.5 A. Bettini 54

Le massa degli adroni

La massa degli adroni è molto maggiore della massa dei quark che lo compongono, anzi nel caso del protone e degli altri adroni composti di u e d, il contributo della massa dei quark è addirittura trascurabile. Perché?

In linea di principio QCD deve permettere di calcolare lo spettro degli adroni. Ma la costante di accoppiamento αs è grande alle scale di energia coinvolte; in uno sviluppo in serie i contributi dei grafici degli ordini superiori non decrescono al crescere dell’ordine. Non è possibile quindi un tale sviluppo (perturbativo), ma si ricorre al calcolo numerico (potentissimi supercalcolatori)

04/11/23 C.5 A. Bettini 55

L’atomoLe dimensioni dell’atomo sono imposte dal principio di indeterminazione

Il sistema più semplice, l’idrogeno, è fatto da un e e un p legati dal potenziale Coulombiano. L’elettrone non può cadere sul protone né avvicinarsi troppo perché più si localizza più aumenta l’incertezza del suo memento e quindi il momento stesso e quindi l’energia cinetica. Possiamo considerare infinita la massa del p. L’elettrone ha velocità non relativistiche quindi a distanza r, l’energia è

E =

p2

2me

−e2

rcon e2 =

qe2

4πε0

; 2.3×10−28 Jm

NB. stiamo calcolando senza precisione, a parte “fattori π”

E =

h2

2mer2 −

e2

r

Distanza di “equilibrio” per E minima

dE

dr⎛⎝⎜

⎞⎠⎟a

=0 =−h2

mea3 +

e2

a2

⇒ a=h2

mee2 =52.8 pm

è il raggio di Bohr, ma costanti numeriche venute giuste per caso

mH c2 =mpc2 +mec

2 −13.6 eV

E a( ) =e2

2a−

e2

a=−

e2

2a=−13.6 eV

la massa dell’atomo di H è la somma delle masse dei costituenti, mp+me, aumentata del lavoro, negativo, che si deve fare sul sistema per portare e e p a distanze tali che non interagiscono = grandi

Principio di indeterminazione pr =h

04/11/23 C.5 A. Bettini 56

La massa del protoneL’interazione QCD tra quark è intensa a distanze dell’ordine del raggio del p. A distanze inferiori a 1/ diviene invece piccola: i quark sono liberi (= non interagiscono) a distanze piccole. Quindi la massa del p è la somma delle masse dei q costituenti (praticamente nulla) e del lavoro che si deve fare dall’esterno per portare i q in una posizione in cui non interagiscono, cioè vicinissimi tra loro. Questo lavoro è positivo perché si estrae energia dal sistema (si fa contrarre “la molla”) ed è la massa del protoneQuanto vale questo lavoro? In ordine di grandezza è, per ciascun quark, = 300-400 MeV. In totale (3q) quindi mp 3 1 GeV

Valutiamo l’ordine di grandezza del raggio del p. Il lavoro per aumentare di dr la distanza r dal centro cresce all’aumentare della distanza. Supponiamo che cresca linearmente energia in dr (il lavoro fatto dall’esterno) = kr dr.Energia cinetica di un quark = momento (medio) p. Principio indeterminazione pr 1La massa del protone = energia del sistema di 3 quark è

E =3p+ kr =3r+ kr

La distanza di “equilibrio” è quella che minimizza l’energia totale (mp= energia nel minimo)

dE

dr⎛⎝⎜

⎞⎠⎟rp

=0 =−3rp2 + k rp =

3k

oppure k=3rp2 ⇒ E rp( ) =

3rp

+3rp

mp =E rp( ) =6rp

Per mp 1 GeV rp=1.2 fm

La massa del protone è determinata da , il raggio dal principio d’indeterminazione

04/11/23 C.5 A. Bettini 57

Il campo di colore nel protoneSimulazione al supercalcolatore di Derek Leinweber (Adelaide). Densità di energia [tecnicamente, di azione] ridotta nel piano passante per i tre quark. Parte dell’energia esce dal protone. Si osservano tre tubi di colore. Questi non ci sono se i quark sono troppo vicini (vedi prossima animazione)

I tubi si formano quando la distanza dal centro del triangolo <r> è maggiore di circa 0.5 fm, come si vede nella prossima animazione.

<d> è la distanza media tra due quark

Il diametro dei tubi di colore rimane circa costante mentre i quark si separano. Il tubo contiene energia, corrispondente alle fluttuazioni del vuoto; quindi il lavoro per separare due quark di dx è proporzionale a dx sia nei barioni sia nei mesoni

Grosso modo: il potenziale di confinamento è lineare

http://www.physics.adelaide.edu.au/theory/staff/leinweber/

04/11/23 C.5 A. Bettini 58

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04/11/23 C.5 A. Bettini 59

Un mesoneLa prossima animazione mostra il campo gluonico nel vuoto tra quark e antiquark in un mesone. La distanza tra i quark varia tra 0.125 fm e 2.25 fm (circa 1.3 volte il diametro del protone)

Osservare il tubo di colore nel quale la massima energia del vuoto è concentrata

Quando i quark si separano il tubo diventa più lungo ma il suo diametro varia poco. Questo minimizza il lavoro di estrarre le fluttuazioni. Il potenziale di confinamento è circa lineare

http://www.physics.adelaide.edu.au/theory/staff/leinweber/

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Il vuoto quantisticoNel vuoto non ci sono particelle,reali, i campi sono nulli, su grande scala. Ma il vuoto quantistico è un mezzo dinamico estremamente attivo. Se si guarda a scale spaziali e temporali piccole

Alla scala 1/(2me)1MeV–1 vediamo la polarizzazione dovuta alle coppie virtuali e+e–

∆t6.610–22 s

c∆t200 fm

Alla scala 1/mq 1/10 MeV–1 vediamo la polarizzazione dovuta alle coppie virtuali ≠qq

∆t6.610–23 s

c∆t20 fm

Molti di più

E solo gluonici

04/11/23 C.5 A. Bettini 62

Il vuoto quantisticoLa figura e la prossima animazione mostrano tipiche strutture di configurazioni del campo gluonico: la descrizione QCD del vuoto. Il volume della scatola è di 2.42.43.6 fm3 (ci stanno un paio di protoni).

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QCD induce valori non nulli del campo di colore nello spazio-tempo nel suo livello di energia minima, il vuoto.

Le fluttuazioni a più alte frequenze sono state filtrate via. Le strutture che si vedono mostrate rappresentano tecnicamente la densità dell’azione, in pratica quella dell’energia

http://www.physics.adelaide.edu.au/theory/staff/leinweber/

04/11/23 C.5 A. Bettini 63

Il vuoto vive