Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de MatematicasDepartamento de Matematica

Primer Semestre de 2016

Introduccion al Calculo - MAT 1106

Materia a evaluar este viernes 27/05:

Sea (xn)n∈N una sucesion convergente. Si xn ≥ m para todo n ∈ Nentonces lım

n→∞xn ≥ m.

Sean (xn)n∈N e (yn)n∈N dos sucesiones convergentes. Si xn ≤ yn ∀nentonces lım

n→∞xn ≤ lım

n→∞yn.√

2 +√

2 +√

2 + · · · = 2.

Ninguna sucesion de numeros pertenencientes a un intervalo ce-rrado [a, b] puede tender a un lımite que este fuera del intervalo:

a ≤ xn ≤ b ∀nxn → L

}⇒ a ≤ L ≤ b.

Es por esto que se llama cerrado (no deja que ninguna sucesion “seescape”). En general, decimos que un conjunto E ⊂ R es cerradosi el lımite de toda sucesion convergente (xn)n∈N de numeros enE esta tambien en E.

[0, 1) no es cerrado (ejs.: nn+1

, n√

1/2).

Q no es cerrado (ej.: 1 + 11+ 1

1+ 11+···

= 1+√5

2). A Q le faltan cosas. . .

(Bolzano-Weierstrass) Toda sucesion acotada tiene una subsuce-sion convergente.

Las expansiones decimales convergen.

Todo real tiene una expansion decimal

Problemas de apoyo para comenzar a estudiar:

1. Demuestre que si xn → L y xn ≤ M para todo n ∈ N entoncesL ≤M .

2. Demuestre que si xn → L y xn es eventualmente menor que Mentonces L ≤M .

3. Demuestre que

x1 = 5; xn+1 =xn + 5

xn

2∀n

converge a√

5.

4. Sea E la union de una cantidad finita de intervalos cerrados. De-muestre que si xn → L y xn ∈ E ∀n entonces L ∈ E.

5. Demuestre que

0, a1a2 . . . an ≤ 1− 1

10n

para cualquier n ∈ N y cualquier conjunto de dıgitos decimalesa1, a2, . . . , an ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}.

6. Demuestre que si r ∈ [0, 1) entonces a := [10r] ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} yr′ := 10r − a ∈ [0, 1).

7. Demuestre que 0, 78 = 7899

.

Desafıos:

1. De un ejemplo de un conjunto E que pueda escribirse como launion numerable de intervalos cerrados, y de una sucesion (xn)de numeros en E, tales que xn tienda a un lımite que no esta enE.

2. Demuestre que 1 + 11+ 1

1+ 11+···

converge a la razon aurea 1+√5

2usan-

do el teorema de Bolzano-Weierstrass (demuestre que la sucesionesta acotada y que toda subsucesion tiene una subsucesion queconverge a la razon aurea).