12_Esempi Di Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Le Equazioni Della Statica

7/25/2019 12_Esempi Di Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Le Equazioni Della Statica

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 12Titolo: Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con le

Equazioni Cardinali della Statica

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 12 Esempi di determinazione delle reazioni vincolari

con le Equazioni Cardinali della Statica.

Nucleotematico

Lez. Contenuto

5 12Esempi i determinazione delle reazioni vincolari con leEquazioni Cardinali della Statica.

Sono commentate nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nellasessione 3 della precedente lezione.

Soluzione dell esempio 11.6

La struttura rappresentata in figura 11.29 isostatica. Le 11reazioni vincolari incognite evidenziate infigura 12.1 possono esseredeterminate utilizzando le 9 equazioni di equilibrio relative ai treelementi costituenti il sistema (3 equazioni per ogni elemento) e le dueequazioni di equilibrio alla traslazione dellintorno della cerniera C(equilibrio del nodo, si riveda la figura 11.1).

Figura 12.1.

Evidenziate le componenti di reazione interna x8, x9, x10 ed x11esercitate dalla cerniera C sulle aste 2 e 3 le equazioni di equilibrio delnodo sono:

=+=+0xx

Fxx

119

108 (e.6.1)

Le (e.6.1) mostrano che non essendo applicate alla cerniera forzeverticali la somma delle componenti verticali delle reazioni esercitatedalla cerniera sulle aste 2 e 3 nulla mentre la somma delle

(b)(a)

1

2

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

F

A

B D

C

E

3

A

B D

E

B D

C C

CF

x1

x2

x3

x4

x5

x4

x5

x6

x7

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x9 x11

x8x10

1

2 3

x8

x9

x10

x112 3

x10x8

x9 x11 (c)
mailto:[email protected]:[email protected]


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componenti orizzontali esercitate dalla cerniera sulle aste 2 e 3 pari

ad F. La forza F applicata alla cerniera C si ripartisce tra le aste 2 e 3.Considerando le (e.6.1) le incognite del problema possono esseresemplificate come in figura 12.2, cio esprimendo x10 ed x11 infunzione di x8ed x9. Le restanti 9 incognite possono determinarsi conle 9 equazioni di equilibrio relative ai tre elementi rigidi costituenti ilsistema

=

==

=

=+=+

=

=+++=++

0Lx2

Lx

0xx

0xxF

0Lx2

Lx

0xx

0xx02

L

xLxL2

3

xLxLx2

0xxxx

0xxx

67

97

68

45

95

84

76541

7531

642

elemento 1

(e.6.2)elemento 1

elemento 3

In forma matriciale:

=

00F000000

x

x

x

x

x

x

x

x

x

002

1100000

101000000010100000

00002

11000

100010000010001000

002

11

2

31002

001010101000101010

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(e.6.3)

la cui soluzione :

Fx1 = Fx2 = Fx3 =

(e.6.4)2

Fx4= Fx5 =

2

Fx6 =

Fx7 = 2

Fx8 = Fx9 =

e corrisponde ai diagrammi di corpo libero difigura 12.3.


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Figura 12.2.

Figura 12.3.

Il problema avrebbe potuto essere risolto pi semplicementedeterminando dapprima le reazioni esterne mediante le equazioni diequilibrio scritte relativamente allintero sistema con riferimento alloschema difigura 12.4a

=+

=+=

0Fx

0yy

LF2Ly2

E

EA

A

da cui

Fx

Fy

Fy

E

E

A

=

==

(e.6.5)

1

2

F

A

B D

C

E

3

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

F F

F

1

A

B

D

E

F F

F

F F/2 F/2

F

F

F/2

F/2

F

F

F F/2 F/2

B D

CC

F/2F/2

F

FF

C

2 3

F C

F

F/2

F/2

FB D

2 3

B

DF F/2 F/2

F

1

A E

F F

F

A

B D

E

B D

C C

CF

x1

x2

x3

x4

x5

x4

x5

x6

x7

x6

x7

x8

x9

F-x8

x9

x9 x9

x8

F-x8

1

2 3

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L


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Pagina 4/28




Figura 12.4.

e successivamente le reazioni interne, considerando che la cerniera Cesercita sugli elementi 2 e 3 reazioni che hanno rette di azionecontenenti i segmenti CB e CD rispettivamente, non essendoapplicate forze lungo le aste CB e CD. Seguendo lo schema difigura12.4b in cui sono state gi imposte le equazioni di equilibrio allatraslazione degli elementi 2 e 3, lequilibrio alla rotazione rispetto al

polo D dellelemento 3 fornisce

( ) 02

Lx2LxF CBCB =+ da cui

2

FxCB= (e.6.6)

Infine, sia le reazioni esterne che quelle interne avrebbero potutoessere determinate anche per via grafica, seguendo lo schema difigura 12.5.

Figura 12.5.

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

(a)

1

2

F

A

B D

C

E

3r

s

K

RA

RE

F

RA RE

//r//s

F

t u

F

RB RD

F

RB RD

F

//t //u

RB RD

RCB RC

(b)

2

B D

C

3

B D

C C

(b)(a)

1

2

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

F

A

B D

C

E

3

A

B D

E

B D

C C

CF

F

F

F

xCB

2xCB

2xCB

xCB

2xCB

F-xCB

xCBF-xCB

1

2 3

yA

xE

yE

2xCB

2xCBxCB F-xCB

F-xCB

2xCB

xCB

2xCB //CB


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Relativamente alle reazioni esterne basta considerare che la reazionedel carrello la retta r verticale per A e che la reazione della cernieraha retta di azione passante per E e per K, intersezione di r con la rettadi azione di F . Relativamente alle reazioni interne basta considerareche le reazioni interne delle cerniere C e B esercitate sullasta 2devono avere retta di azione t contenente il segmento CB e quelledelle cerniere C e D esercitate sullasta 3 devono avere retta di azioneu contenente il segmento CD.


La struttura di figura 11.30 isostatica. Nellevidenziare leincognite si tiene conto che i moduli delle componenti orizzontale everticale del carrello che vincola il punto E devono essere uguali inquanto il vincolo cos disposto in grado di esercitare solo unareazione inclinata di /4 rispetto a queste direzioni (figura 12.6).

Figura 12.6.

Lequazione di equilibrio alla rotazione dellelemento 3 rispettoal polo C

3

LFLx

3

1Lx

3

2EE =+ da cui

3

FxE= (e.7.1)

le equazioni di equilibrio alla traslazione dellelemento 3 sono:

==+

CE

CE

xx

Fyx da cui F

3

2yC=

3

FxC= (e.7.2)

Lequazione di equilibrio alla traslazione orizzontale dellelemento 2 :

1

2

F

A

B

C

D

3

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3

2L/3

L/3

E

/4

F

xE

xE

1

2

A

B

C

D

3

E

B

C

yC

xC

yCxC

xB

xB

yB

yB

yA

xAzD

yD


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0xx CB = da cui 3

FxB = (e.7.3)

Lequazione di equilibrio alla rotazione dellelemento 1 rispetto al poloA :

0Lx3

Ly BB = da cui FyB =

(e.7.4)

avendo tenuto conto della(e.7.3).Le equazioni di equilibrio alla traslazione dellelemento 1 sono:

=+

=+

0yy

0xx

BA

BA

da cuiFy3

Fx

A

A

=

=

(e.7.5)

avendo tenuto conto della(e.7.3) e della(e.7.4).Lequazione di equilibrio alla traslazione verticale dellelemento 2 :

0yyy CBD = da cui3

FyD = (e.7.6)

avendo tenuto conto della(e.7.2) e della(e.7.4).Infine lequazione di equilibrio alla rotazione rispetto al polo Bdellelemento 2 :

0zL32y

3Ly DDC =++ da cui FL9

4zD= (e.7.7)

avendo tenuto conto della(e.7.2) e della(e.7.6).Si ottengono cos i diagrammi di corpo libero difigura 12.7.

Figura 12.7.

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3

2L/3

L/3

1

2

F

A

B C

D

3

E

B

C

F/3

F/3F/3

2F/3

2F/3F/3

F/3

F/3

F

F

F/3

4FL/9

F/3

F

1

2

F

A

B C

D

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F/3

F


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Pagina 7/28




Anche in questo caso pu ottenersi rapidamente una semplicesoluzione grafica al problema. Le reazioni esercitate dal carrello edalla cerniera interna sullelemento 3 (figura 12.8a) si determinanotenendo conto che la retta di azione r di ER inclinata di /4 rispettoallorizzontale e la retta di azione s di CR deve passare per C e,dovendo equilibrare la risultante tra ER ed F , per il punto K,intersezione tra r e la retta di azione di F .

Figura 12.8.

Si osserva ora che la reazione BR esercitata sullelemento 2 dallacerniera B ha come retta di azione la retta t contenente il segmentoAB (dovendo passare per B ed equilibrare da sola la reazione dellacerniera A). Lelemento 2 dunque soggetto ad CR applicatacambiata di segno, ad BR avente retta di azione t e alla reazioneverticale DR dellincastro scorrevole. Questultima reazione, perequilibrare la risultante tra BR ed CR deve passare per il punto H,intersezione tra t e s. Al solito i moduli ed i versi delle reazioni sideterminano costruendo i poligoni di equilibrio delle forze. Si osservainfine che la reazione DR applicata nel punto H equivalente ad un

sistema di forze costituito dalla reazione DR applicata nel punto D eda una coppia di momento pari al prodotto del modulo di DR per ladistanza d del punto D dalla retta u (figura 12.9).

//r

//s

F

F

RE

RC

F

3

E

C

K

rs

RE

RC

RC

s

t

H

1

2

A

B C

D

u

RC

//u//s

RC

RDRA

F

3

E

C

K

rs

RE

RC

RA

RD

RC

s

t

H

1

2

A

B C

D

u

d = 4L/3

F

3

E

C

K

rs

/4

(a)

(b)


8/28


Pagina 8/28




Figura 12.9.

F

3

E

K

rs

RE

RA

RD

s

t

H

1

2

A

B C

D

u

d = 4L/3

M = RDd


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LEZIONE 12 Sessione di studio 1

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con leEquazioni Cardinali della Statica.

Si propongono nel seguito quattro esempi. Si consiglia al lettore dirisolverli autonomamente e di confrontare successivamente i risultatitrovati con la soluzione descritta nella prossima sessione di studio.Relativamente alla soluzione grafica si consiglia lutilizzo di unprogramma di CAD.

Esempio 12.1

Relativamente alla struttura di figura 12.10 si determinino lereazioni dei vincoli esterni ed interni.

Figura 12.10.

Esempio 12.2


Figura 12.11.

L/2

L/2

1

2

A

B

C

3 D

L

M

1

2

A

BD

C

L L L

L/2

L/2

L/2

q

q


10/28


Pagina 10/28




Esempio 12.3

Relativamente alla struttura di figura 12.12, si determinino lereazioni dei vincoli esterni ed interni.

Figura 12.12.

Esempio 12.4


Figura 12.13.

1

2

A

B

C

3

D

L/2 L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

E

G

4

F

1 2

3

4

L L/2 L/2 L

L

q

A

BC D

E


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Pagina 11/28






Sono commentate nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nellaprecedente sessione.


La struttura d figura 12.10 isostatica. In figura 12.14 sonoevidenziate le incognite e sono stati sostituiti i carichi distribuiti con lerelative risultanti. Le equazioni di equilibrio alla traslazione

dellelemento 2 forniscono

DB

C

xx

0y

=

= (e.1.1)

Figura 12.14.

Tenendo conto di questo, lequazione di equilibrio alla rotazione dellostesso elemento rispetto al polo B :

2Lxz DB = (e.1.2)

Le equazioni di equilibrio alla traslazione dellelemento 1 sono:

qLy

0qL2

3xx

A

BA

=

=++ (e.1.3)

La prima di queste, tenendo conto della(e.1.1),

qL2

3xx DA = (e.1.4)

Tutte le incognite sono state scritte in funzione della sola incognita xD;ne risulta lo schema di figura 12.5a.

L L

L/2

L/2

L/2

1

2

A

BD

C

B

xA

yA

3qL/2

qL

xB xBzB zB

yC

xD

L L


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Pagina 12/28




La reazione xD pu determinarsi con lequazione di equilibrio alla

rotazione dellintero sistema rispetto al polo A (figura 12.5b)

0Lx2

LqLL

4

3qL

2

3D =+ (e.1.5)

e vale

qL8

13xD = (e.1.6)

Utilizzando ora le(e.1.1) -(e.1.4) possono essere determinate le altrereazioni vincolari, che riassumendo sono:

qL813xD = 0xC= qL

813xB =

(e.1.7)2

B qL16

13z =

8

qLxA = qLyB =

Figura 12.15.

e corrispondono ai diagrammi di corpo libero difigura 12.16.Anche questo problema pu essere agevolmente risolto per via

grafica. La reazione DR del carrello D ha retta di azione r; la reazione

CR del carrello C ha retta di azione s. La risultante tra queste reazionipassa quindi per il punto K, intersezione tra r ed s. Lelemento 2 pertanto soggetto alla risultante tra DR ed CR passante per K ed alla

reazione orizzontale BR del doppio pendolo. Questultima reazione,per equilibrare DR ed CR deve anchessa passare per K (figura12.17).

1

2

A

BD

C

B

xD-3qL/2

qL

3qL/2

qL

xDxDxDL/2

xD

xDL/2

1

2

A

BD

C

xD-3qL/2

qL

3qL/2

qL

xD

L L L

L/2

L/2

L/2


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Pagina 13/28




Figura 12.16.

Figura 12.17.

2

B

D

C

r

s

K

1

r

Q

3qL/2

qL

tH

qq

3qL/2

qL

A

B

Q

r

t

Q RA

RB

1 2

B

D

C

r

s

Kr

Q

3qL/2

qL

tH

3qL/2

qL

A

B

RA

RB RB RD

RB RB

MB= RBd MB= RBdd

RA

RD

Q

3qL/2

qL

tH r

12

D

C

A

B B

1

2

A

B

D

C

qL/8

qL

3qL/2

qL

13qL/8

B 13qL/813qL/8

13qL2/16 13qL

2/16

L L L

L/2

L/2

L/2

1

AqL/8

qL

3qL/2

qL

13qL/8

B

2

C


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Lelemento 1 quindi soggetto alla reazione BR del doppio pendoloavente retta di azione r ed alla risultante Q dei carichi applicati aventeretta di azione t. La reazione della cerniera A deve passare per A e,per equilibrare la risultante tra BR e Q per il punto H intersezione tra ted r. Al solito i moduli ed i versi delle reazioni vincolari si trovanocostruendo il poligono delle forze.

Si osserva infine che la reazione BR avente retta di azione r equivalente ad un sistema di forze costituito dalla reazione BR applicata nel punto B e da una coppa di momento pari al prodotto delmodulo di BR per la distanza d del punto B dalla retta r (figura 12.17).


La struttura di figura 12.11 isostatica. Si ricorda che lasimbologia di figura 12.11 indicante lapplicazione di una coppia dimomento M equivale a tutti gli effetti allapplicazione di due forzedisposte come mostrato infigura 12.18.

Figura 12.18.

Infigura 12.19 sono evidenziate le incognite del problema.

Figura 12.19.

1

2

A

B

C

C

3 D

M

B

A

x1

x1

y1

y1

x1y2

x1

y1

x1

y1

y1

x1

y1+ y2A

y1+ y2

y1 y2

L/2

L/2

1

2

A

B

C

3 D

F F

b

M = Fb

L


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Queste incognite sono state disposte in modo da verificare leequazioni di equilibrio alla traslazione dei tre elementi costituenti lastruttura; si noti ad esempio che la somma delle componenti verticaliapplicate ai singoli elementi nulla. In questo modo sono dadeterminare solo le 3 incognite x1, y1, y2; le altre reazioni vincolarirestano definite in funzione di queste. Queste tre incognite devonoessere determinate mediate equazioni di equilibrio alla rotazione, inquanto le equazioni di equilibrio alla traslazione sonoautomaticamente soddisfatte per ogni valore di x1, y1, y2. Lequazionedi equilibrio alla rotazione dellelemento 1 fornisce

LMx1= (e.2.1)

Lequazione di equilibrio alla rotazione dellelemento 2

Ly2

Lx 11 = da cui L2

My1= (e.2.2)

Infine, lequazione di equilibrio dellintera struttura rispetto al polo A :

( ) MLyy 21 =+ da cui L2M

y2= (e.2.3)

Si ottengono i diagrammi di corpo libero difigura 12.20.

Figura 12.20.


La struttura di figura 12.12 isostatica. Sostituendopreliminarmente il carico distribuito sugli elementi 2 e 3 con le relativerisultanti ed evidenziando le reazioni vincolari incognite (figura 12.21)

si possono scrivere le equazioni di equilibrio di ogni elemento rigido

L/2

L/2

1

2

A

B

C

3 D

M

M/L M/L

M/L

M/LM/L

M/L M/2L

M/2L

M/2L M/2L

M/2L

M/L

M/L

M/L

M/2LM/2L

M/L

M/2L1

2

A

B

C

3 DAA

B

C


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Figura 12.21.

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

2

qLLxLx

qLxx

0xx

2

qLLx

2

Lx

qLxxx

0xxx

0L2

3xLx

0xx

0xx

0LxLx

0xx

0xx

2

1211

1210

119

2

108

1086

975

87

84

73

65

62

51

elemento 1

(e.3.1)

elemento 2

elemento 3

elemento 4


1

2

3

4

x1

x2

x3

x4

x6

x5 x5x6

x7x8

x8x7

x9x10 x9

x10

x11

x12

qL qL

x2 x4x3

x1RxA

RyA

A

A

A

B

B

C

C

D D

E

L

L L/2 L/2 L

3L/2

L


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=

2qL

qL02

qLqL0000000

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

110000000000 101000000000

010100000000

00102

10000000

001010100000000101010000

00002

31000000

000010001000000001000100000000110000000000100010 000000010001

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(e.3.2)

La soluzione del sistema :

3

qLx1=

3

qLx2=

2

qLx3 =

3

qLx4 =

(e.3.3)3

qLx5 =

3

qLx6 =

2

qLx7 =

3

qLx8 =

qL6

5x9 =

3

qLx10 = qL

6

5x11 = qL

3

4x12 =

che corrisponde alle reazioni rappresentate infigura 12.22.

Figura 12.22.

Si osserva che la soluzione del sistema pu trovarsi utilizzando laprocedura seguente, che evita la necessit di risolvere il sistema(e.3.1).Evidenziando solo le reazioni dei vincoli esterni (figura 12.23),lequazione di equilibrio alla rotazione rispetto al polo A dellinterastruttura

1

2

3

4

qL/3

qL/3

qL/2

qL/2

qL/3

5qL/6

qL/3

qL/3

qL/3

qL/3

qL/3

qL/2qL/3

5qL/6

qL/3

qL/3

5qL/6

4qL/3

qqL qL

q

A

A

B

C

C

D

D

E

B

2qL/3

5qL/6

A

qL/3 qL/3

qL/2

qL/3


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Figura 12.23.

0L2

5

qLL2

3

qLLy3 E = (e.3.4)

in cui, solo per maggiore chiarezza, le incognite sono state identificatediversamente rispetto alla soluzione precedente. Da questa si ricavasubito:

qL3

4yE = (e.3.5)

lequilibrio alla traslazione verticale fornisce:

qL3

2qL

3

4qL2yA == (e.3.6)

Inoltre lequilibrio alla traslazione orizzontale fornisce:

EA xx = (e.3.7)

A questo punto le reazioni incognite possono essere sostituite con ivalori trovati e la reazione incognita xE pu essere sostituita conlincognita xAcambiata di segno (figura 12.24). Al solito, infigura 12.24e nelle seguenti le reazioni determinate, che sono trattate a tutti glieffetti come forze note, sono indicate in colore arancio, perdistinguerle immediatamente da quelle ancora da determinare.

Figura 12.24.

Considerando ora lequilibrio dellelemento 4 (figura 12.25)la reazionexAsi determina subito con lequilibrio alla rotazione rispetto al polo D

2

1

3

4

xA

qL

xAA

B D

C

E

qL

L L/2 L/2 L

L

4qL/32qL/3

2

1

3

4

xE

yE

qL

xA

yA

A

B D

C

E

qL

L L/2 L/2 L

L


19/28


Pagina 19/28




Figura 12.25.

02

LqLLqL

3

4LxA =+ (e.3.8)

da cui

qL6

5xA = (e.3.9)

Lequilibrio alla traslazione orizzontale fornisce:

qL6

5xx AD == (e.3.10)

mentre lequilibrio alla traslazione verticale fornisce

3

qLqLqL

3

4yD == (e.3.11)

Sostituendo alle reazioni incognite questi risultati si ha lo schema difigura 12.26.

Figura 12.26.

La condizione di equilibrio alla rotazione dellelemento 3 impone chele reazioni vincolari esercitate su di esso dalle cerniere A e C abbianoretta di azione contenente il segmento AC. Infatti la reazione

esercitata su tale elemento dalla cerniera C deve avere retta di azionepassante per C; analogamente la reazione esercitata su tale elementodalla cerniera A deve avere retta di azione passante per A. Non

2

1

3

A

B

DC

qL

2qL/3

4

qL

D

E

4qL/3

5qL/6qL/3

5qL/6

5qL/6qL/3

5qL/6

2

1

3

xAA

B

DC

qL

2qL/3

4

xA

qL

D

E

4qL/3

xDyD xD

yD


20/28


Pagina 20/28




essendo presenti forze applicate lungo lasta AC queste due reazioni

devono soddisfare da sole le Equazioni Cardinali della Statica e quindicostituire una coppia di momento nullo e di conseguenza avere stessaretta di azione, stesso modulo e verso opposto (figura 12.27).

Figura 12.27.

Questa osservazione consente di affermare che le componenti dellareazione della cerniera C devono soddisfare:

cC x3

2y = (e.3.12)

e devono essere uguali, in modulo alle componenti della reazioneesercitata sullasta 3 dalla cerniera che vincola il punto A.Tenendo conto di questo si possono imporre le condizioni di equilibriodellelemento 2 (figura 12.28).

Figura 12.28.

Lequilibrio alla rotazione rispetto al polo C fornisce

3

qLyB = (e.3.13)

lequazione di equilibrio alla traslazione verticale

03

qL

qLx3

2

y cB =++

da cui 2

qL

xc=

(e.3.14)

avendo tenuto conto della(e.3.13).

1

3

A

B

2qL/3

2xC/3

xB xCyB C

2

B

D

C

qL

4

qL

D

E

4qL/3

5qL/6qL/3

5qL/6

5qL/6qL/3

xC

2xC/3

xB yB

5qL/6

A

C

RA3= RC

RC

3

A

C

3

xCyC

xC

yC

xCyC

A

C

3

xCyC= 2xC/3

xC

2xC/3

xC2xC/3


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Lequazione di equilibrio alla traslazione orizzontale

0qL6

5xx CB =+ da cui

3

qLxB = (e.3.15)

avendo tenuto conto della(e.3.14).Sostituendo alle reazioni incognite questi risultati si ha lo schema difigura 12.29.

Figura 12.29.

Si pu ora verificare che lequilibrio alla rotazione rispetto al polo Adellelemento 1 soddisfatto in quanto la retta di azione della reazioneesercitata dalla cerniera B sullelemento 1 contiene il punto A; lereazioni vincolari esercitate dalla cerniera A sullelemento 1 sideterminano infine mediante le equazioni di equilibrio alla traslazionerelative a tale elemento (figura 12.31):

Figura 12.30.

3qLx 1A =

3qLy 1A = (e.3.16)

2qL/3

1

A

B

qL/3qL/3 2

B

DC

qL

4

qL

D

E

4qL/3

5qL/6qL/3

5qL/6

5qL/6qL/3

qL/3

qL/3

qL/2qL/3

3

CqL/2

qL/3

qL/2

qL/3

A

qL/3

qL/2

xA1

yA1

5qL/6

yA1

xA1

1

A

B

2qL/3

qL/3qL/3

2

B

DC

qL

4

qL

D

E

4qL/3

5qL/6qL/3

5qL/6

5qL/6qL/3

qL/3

qL/3

qL/2qL/3

3

CqL/2

qL/3

qL/2

qL/3

A

qL/3

qL/25qL/6


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Pagina 22/28




Si ottengono quindi le reazioni rappresentate infigura 12.31,uguali a

quelle difigura 12.26,nella quale le reazioni sono quelle determinatemediante la soluzione del sistema(e.1.1).

Figura 12.31.

Si osserva infine che la somma delle reazioni esercitate dalla cernieraA sulle aste 1 e 3 la reazione esterna della cerniere determinataallinizio del procedimento.Si ribadisce che il procedimento descritto pu apparire complesso;tuttavia comporta la risoluzione di equazioni spesso pi semplici e

consente il controllo anche intuitivo dei risultati man mano che questivengono determinati.


La struttura di figura 12.13 isostatica. Infigura 12.32 sonoevidenziate le reazioni esterne in modo che siano soddisfatte leequazioni di equilibrio alla traslazione. Nel seguito viene risolto ilproblema esprimendo tutte le reazioni vincolari in funzione di yA.Lequilibrio alla rotazione dellintero sistema rispetto al polo A forniscela relazione

( ) 0L23F

2LxFLy AA =+ (e.4.1)

da cui

( )Fy2x AA = (e.4.2)

sicch si ha lo schema di figura 12.33a. A questo punto possonoessere evidenziate le reazioni incognite agenti sullelemento 3 (lareazione verticale della cerniera E stata posta pari a yA per lanecessit di rispettare lequilibrio alla traslazione verticale).

1

A

B

qL/3qL/3 2

B

DC

qL

4

qL

D

E

4qL/3

5qL/6qL/3

5qL/6

5qL/6qL/3

qL/3

qL/3

qL/2qL/3

qL/3

qL/3

2qL/3

3

CqL/2

qL/3

qL/2

qL/3

A

qL/3

qL/25qL/6

qL/3

qL/3


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Pagina 23/28




Figura 12.32.

Figura 12.33.

Lequilibrio alla rotazione di questo elemento rispetto al polo E fornice

( ) LxLy2F3 DEA = da cui ADE y2F3x = (e.4.3)

mentre per lequilibrio alla traslazione orizzontale deve aversi

DEAE xy2F3x += da cui AE y4F6x = (e.4.4)

questi risultati sono schematizzati infigura 12.34.Possono ora essere evidenziate le reazioni esercitate sullelemento 2

in modo che sia soddisfatta lequazione di equilibrio alla traslazioneverticale e le reazioni sullelemento 4 in modo che siano soddisfattetutte le equazioni di equilibrio di questo elemento (si rammenta che le

1

2

A

B

C

3

D

E

G

4

F

2(yA- F)

yA

yA

3F 2yA

(a)

L/2 L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

3

D

G

yA

3F 2yA

yA

xDE

xEE

(b)

L/2 L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

1

2

A

B

C

3

D

E

G

4

F

xA

yA

yA

F - xA


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Pagina 24/28




reazioni delle cerniere B ed E devono avere retta i azione sulla

congiungente BE, non essendo presenti forze applicate lungo lasta.Siccome la somma delle forze applicate alla cerniera D deveuguagliare (in modulo) la forza applicata alla cerniera pu scriversilequazione

( ) 0Fy2F3x ADC = da cui ADC y2F4x = (e.4.5)

Figura 12.34.

Lequazione di equilibrio alla rotazione dellelemento 2 consentefinalmente la determinazione della reazione yA:

( ) 0Ly2F4Ly AA =+ da cui F4yA = (e.4.6)

Questo risultato pu essere sostituito nelle (e.4.1) (e.4.5) perdeterminare tutte le reazioni incognite. Si ottengono in definitiva lereazioni:

F4yA = F6xA = F5xG = F10xE = (e.4.7)

F5xDE = F4xDC =

che corrispondono ai diagrammi di corpo libero difigura 12.35.Comecontrollo dei risultati pu verificarsi che le reazioni determinatesoddisfano le equazioni di equilibrio anche relativamente allelemento

1.

1

2

A

B

C

3

D

E

G

4

F

2(yA- F)

yA

yA

3F 2yA

(a)

L/2 L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

3

D

G

yA

3F 2yA

yA

E

3F 2yA

6F 4yA

B E4

6F 4yA6F 4yA

2C

D

yA

xDC

xDCyA

F3F 2yA

xDCD


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Pagina 25/28




Figura 12.35.

La soluzione avrebbe potuto certamente essere trovata conriferimento alle incognite difigura 12.36 risolvendo il sistema

Figura 12.36.

1

2

A

B

C

3

D

E

G

4B E

D

x1

x2

x3

x4

x5 x5

x6x7 x7

x6

x8

x9

x10x9

x11 x11

F

Dx8

x10

1

2

A

B

C

3

D

E

G

4

F

B

C

D

E

6F

4F

4F4F

10F

10F

10F

10F

4F4F

4F4F

4F4F5F

5F

5F

4F


26/28


Pagina 26/28




=+

=

==

=+

=

=+

=

=+

=+

=+

Fxx

0xx

2

LxLx

0xx

0xxx

0LxLx

0xx

0xx

0Lx22

LxLx

0xx

0xxx

108

115

1110

94

11103

89

96

87

765

62

751

elemento 1

(e.4.8)

elemento 2

elemento 3

elemento 4

nodo D

nel quale sono state omesse le equazioni di equilibrio alla traslazioneverticale ed alla rotazione dellelemento 4 in quanto implicitamentesoddisfatte dallaver posto nulle le reazioni verticali delle cerniere D edE.


=

F

00

0

0

0

0

0

0

0

0

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

01010000000

1000001000012000000000

00100001000

11000000100

00110000000

00100100000

00011000000

00004120000

00000100010

00001010001

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(e.4.9)

Rispetto alla soluzione del sistema (e.4.8) il procedimento seguitoconsente di tenere pi efficacemente sotto controllo i risultati, consemplici considerazioni fisiche e quindi di controllarli man mano chevengono determinati.


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Si propongono nel alcuni esercizi la cui soluzione lasciata al lettoreRelativamente alla soluzione grafica si consiglia lutilizzo di unprogramma di CAD.

Esercizio 12.1

Relativamente alla struttura di figura 12.37 si determinino lereazioni dei vincoli interni ed esterni.

Figura 12.37.

Esercizio 12.2

Relativamente alla struttura di figura 12.38 si determinino lereazioni dei vincoli interni ed esterni. Si controllino per via grafica lereazioni vincolari determinate analiticamente.

Figura 12.38.

Esercizio 12.3


Figura 12.39.

L

L/2

L L

L/2

F

L/2

L L L

q

L/2

L/2 LL/2 L

q


28/28




Esercizio 12.4


Figura 12.40.

Esercizio 12.5


Figura 12.41.

L

LL

q

L

L

L

L

F

Documents

12_Esempi Di Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Le Equazioni Della Statica