x

y

o

简单的线性规划问题（ 1）

一、实际问题 某工厂用 A 、 B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h ，每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h ，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

按甲、乙两种产品分别生产 x、 y件，由已知条件可得二元一次不等式组

0

0

3

4

82

0y

0x

124y

164x

82y

y

x

y

x

yxx＋

将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。

y

x4 8

4

3

o

若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用那种生产安排利润最大？ 设工厂获得的利润为 z ，则 z ＝ 2x ＋3y把 z ＝ 2x ＋ 3y 变形

为

它表示斜率为 的直线系， z 与这条直线的截距有关。

33

2 zxy

3

2

如图可见，当直线经过可行域上的点 M 时，截距最大，即 z 最大。

M

二、基本概念

y

x4 8

4

3

o

把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量 x 、 y 的一次解析式，又称线性目标函数。

满足线性约束的解

（ x ， y ）叫做可行解。

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。

一组关于变量 x 、 y 的一次不等式，称为线性约束条件。

由所有可行解组成的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。

可行域

可行解

最优解

例 1 、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物， 0.06kg 的蛋白质， 0.06kg 的脂肪， 1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物， 0.07kg 蛋白质， 0.14kg 脂肪，花费 28 元；而1 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物， 0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物 B 多少 kg ？

食物／ kg 碳水化合物／ kg 蛋白质 /kg 脂肪／ kg

A 0.105 0.07 0.14B 0.105 0.14 0.07

分析：将已知数据列成表格

三、例题

解：设每天食用 xkg 食物 A ， ykg 食物 B ，总成本为 z ，那么

0

0

6714

6147

577

0

0

06.007.014.0

06.014.007.0

075.010.0105.0

y

x

yx

yx

yx

y

x

yx

yx

yx

＋＋

目标函数为： z ＝ 28x ＋ 21y

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域

把目标函数 z ＝ 28x ＋ 21y 变形为

x

y

o 5/7

5/7

6/7

3/7

3/7

6/7

283

4 zxy

它表示斜率为

随 z 变化的一组平行直线系

3

4

是直线在 y 轴上的截距，当截距最小时， z 的值最小。

28

zM

如图可见，当直线 z＝ 28x ＋ 21y 经过可行域上的点 M 时，截距最小，即 z 最小。

M 点是两条直线的交点，解方程组

6714

577

yx

yx

得 M 点的坐标为：

7

47

1

y

x

所以 zmin ＝ 28x ＋ 21y ＝16 由此可知，每天食用食物 A143g ，食物 B约 571g ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为 16 元。

四、练习题：1 、求 z ＝ 2x ＋ y 的最大值，使 x 、 y 满足约束条件：

1

1

－＋y

yx

xy

2 、求 z ＝ 3x ＋ 5y 的最大值，使 x 、 y 满足约束条件：

35x

1

1535

y

xy

yx

－＋

＋

解：作出平面区域

x

y

A

B C

x

y

o

o

A

B C

作出直线 y= － 2x ＋ z的图像，可知 z 要求最大值，即直线经过 C 点时。

求得 C 点坐标为（ 2 ，－1 ），则 Zmax=2x ＋ y ＝ 3

作出直线 3x ＋ 5y ＝ z 的图像，可知直线经过 A点时， Z 取最大值；直线经过 B 点时， Z 取最小值。 求得A （ 1.5 ， 2.5 ）， B （－ 2 ，－ 1 ），则Zmax=17 ， Zmin= －11 。

五、作业：

习题 3.3

A 组 3 、 4